Automatentheorie und ihre Anwendungen Teil 1: endliche ...

Grundbegriffe Textsuche Abschlusseig. Reguläre Ausdrücke Charakterisierungen Entscheidungsprobleme
Endliche Automaten
Grundbegriffe Textsuche Abschlusseig. Reguläre Ausdrücke Charakterisierungen Entscheidungsprobleme
Beispiel und graphische Repräsentation von NEAs
Definition 1
Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA) über einem
Alphabet Σ ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, ∆, I, F ), wobei
Q eine endliche nichtleere Zustandsmenge ist,
Σ eine endliche nichtleere Menge von Zeichen ist,
∆ ⊆ Q × Σ × Q die Überführungsrelation ist, (*)
I ⊆ Q die Menge der Anfangszustände ist,
F ⊆ Q die Menge der Endzustände ist.
(*) bedeutet:
∆ besteht aus Tripeln (q, a, q ′ ) mit q, q ′ ∈ Q und a ∈ Σ
(q, a, q ′ ) ∈ ∆ bedeutet:
ist A in Zustand q und liest ein a, geht er in Zustand q ′ über.
Betrachte A =
({q 0 , q 1 }, {a, b}, {(q 0 , a, q 0 ), (q 0 , b, q 1 ), (q 1 , b, q 1 )}, {q 0 }, {q 1 })
Zustände: q 0 , q 1
Alphabet {a, b}
Übergänge: von q 0 mittels a zu q 0 , . . . q 0
Anfangszustand q 0
q 0
Endzustand q 1
q 1
a
b
b
A: q 0 q 1
q i
a
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Berechnungen und Akzeptanz
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Beispiele
Definition 2
Sei A = (Q, Σ, ∆, I, F ) ein NEA.
Eine Berechnung (Run) von A auf w = a 1 a 2 . . . a n ist eine
Folge
q 0 q 1 q 2 . . . q n ,
so dass für alle i = 0, . . . , n gilt: (q i , a i+1 , q i+1 ) ∈ ∆.
Man sagt auch: w überführt q 0 in q n .
A akzeptiert w = a 1 a 2 . . . a n ,
wenn es eine Berechnung q 0 q 1 q 2 . . . q n von A auf w gibt
mit q 0 ∈ I und q n ∈ F .
Die von A erkannte Sprache ist
L(A) = {w ∈ Σ ∗ | A akzeptiert w}.
a
b
A 1 : q 0 q 1
b a a, b
a b
A 2 : q 0 q 1 q 2
b
L(A 2 ) = {w ∈ {a, b} ∗ | w enthält Teilwort ab}
a, b
a b
A 3 : q 0 q 1 q 2
L(A 3 ) = {w ∈ {a, b} ∗ | w endet auf ab}
L(A 1 ) = {a n b m | n 0, m 1}
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