Lösung Aufgabe 10.2.2 Nichtisentrope, eindimensionale ...

Lösung Aufgabe 10.2.2
Nichtisentrope, eindimensionale kompressible Strömung
- Rayleigh Kurve
Vergleiche auch Übung 10.2.1: Fanno-Kurve.
a) Bilanzen
Massenbilanz:
Impulsbilanz:
Energiebilanz:
b) Massenstromdichte
d
dx (ρc) = 0
ρc dc
dx = −dp dx
d
dx (h + 1 2 c2 ) = q
ρc = ṁ
A = µ
Näherungsweise für ein ideales Gas ρc = p 1
RT 1
c 1 , oder für reale Gase direkt
aus Tabellen: ρ = ρ(p 1 ,T 1 )
c) Rayleigh-Kurve
Im Vergleich zur Übungsaufgabe 10.2.1 ist diesmal der Wärmestrom unbestimmt.
Massen- und Impulsbilanz können ausgewertet werden, wenn Reibungskräfte
vernachlässigt werden.
Welche Aussagen lassen sich aus Massen- und Impulsbilanz gewinnen?
Es werden nur mechanische und thermische Gröen (keine kalorischen) betrachtet.
Naheliegend ist daher zunächst die Darstellung der Ortskurve von
Massen- und Impulsbilanz im p,v-Diagramm.
d
dx (ρc) = 0
d
dx (ρc2 + p) = 0
ṁ
ρc = const =
A = µ
ρc 2 + p = const
µ 2 /ρ + p = const oder p = const − µ 2 v
Dies stellt eine Gerade mit negativer Steigung im p,v-Diagramm dar.
1

Hier:
p
p − p 1 = −µ 2 (v − v 1 ). Isenthalpen
h = const
h
Rayleigh-Kurven
1
p
p 1 -p 2 für m/A = µ
1
2
p 2
p 1 -p 2' für m/A = 2µ
p 2'
2'
h 1
h 2 = h 2'
d) h,s-Diagramm
Mit einer entsprechenden
Wertetabelle aus Dampfdruckdiagramm
kann jedem Zustandspunkt
p,v ein Zustandspunkt h,s
zugeordnet werden.
h
h max
Ma 1
S, Ma=1
Isobaren
p = const
p
Rayleigh-Kurve
Heizen
e) Diskussion interessanter Zusammenhänge
s max
s
Durch Heizen findet im allgemeinen eine Erhöhung der Enthalpie statt.
Das h,s-Diagramm liefert Punkte maximaler Enthalpie (E) und einen Punkt
maximaler Entropie (S). Darasu ergibt sich für die beifden Kurvenäste folgendes:
Unterer Kurvenast:
Durch Heizen nimmt die Enthalpie entlang der Rohrstrecke zu. Bei Wärmezufuhr
entlang der Rohrstrecke wird die Entropie des Gases erhöht. Daraus ergibt
sich der Durchlaufsinn des unteren Kurvenastes für Heizen bzw. Kühlen
entlang der Rohrstrecke.
Der Punkt maximaler Entropie kann allerdings nicht überschritten werden.
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Ist die Rohrstrecke genügend lang oder die Wärmezufuhr genügend groß,
wird der Punkt maximaler Entropie erreicht. Ein längeres Rohr oder ein
höherer Wärmezufluss entlang der Rohrstrecke ist mit dem 2. Hauptsatz
nicht verträglich. In einem solchen Fall liegt die Lösung von Massen- und Impulsbilanz
auf einer anderen Rayleigh-Kurve, das heißt, ein anderer Massenstrom
durch die Rohrstrecke wird sich einstellen (Choking).
Oberer Kurvenast:
Bei Wärmezufuhr entlang der Rohrstrecke wird die Entropie des Gases
erhöht. Daraus ergibt sich wieder der Durchlaufsinn des oberen Kurvenastes
für Heizen bzw. Kühlen entlang der Rohrstrecke analog zu den
Überlegungen beim unteren Kurvenast.
Der Punkt maximaler Enthalpie E wird jetzt jedoch erreicht bevor die Entropie
maximal wird.
Weiters Heizen nach Erreichen des Punktes E führt zu einer Abnahme der
Enthalpie (oder der Temperatur) in der Strömung. Die zugeführte Wärme
und die Enthalpiereduktion führen zu einer Erhöhung der kinetischen Energie
des Gases.
Wie beim unteren Kurvenast ist Wärmezufuhr solange möglich, bis die maximale
Entropie erreicht wird.
Weitere Wärmezufuhr erzwingt wieder eine Anpassung des Massenstroms,
also eine Lösung auf einer anderen Rayleigh-Kurve.
e) Machzahl am Punkt E
Am Punkt E gilt folgende Bedingung:
Die Isenthalpe im p,v-Diagramm und die Rayleighkurve haben die gleiche
Steigung gegeben durch:
Näherung für ideales Gas:
∂p
∂v∣ = −µ 2 = −(ρc) 2
R
Kalorische Zustandsgleichung:
Thermische Zustandsgleichung:
h = const falls T = const
p v = const
Die Steigung der Isenthalpe im p,v-Diagramm lautet damit:
( ∂p
∂v ) h = ( ∂ ∂v (const )) h = −const 1 v
v 2 = −pρ
Die Gleichheit der Steigungen von Isenthalpe und Rayleigh-Kurve am Punkt
E liefert:
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∂p
∂v ∣ R,E
= −(ρ E c E ) 2 !
= ( ∂p
∂v ) h,E = −p E ρ E
⇒ ρ E c 2 E = p E
c 2 E = p E
ρ E
= 1 κ a2 E (a 2 = κ p ρ )
⇒ Ma E =
√ 1
κ
< 1 (κ > 1)
Am Punkt E liegt eine Unterschallströmung vor.
f) Wie groß ist die Machzahl am begrenzenden Punkt?
Am Punkt S haben die Rayleigh-Kurve und die Isentrope die gleiche Steigung:
Isentrope: p · v k = const
∂p
∂v ∣ = −(ρc) 2
R
(Annahme eines idealen Gases nötig.)
( ∂p
∂v ) s = −const kv −(k+1) = kpρ
Die Gleichheit der Steigungen von Isentrope und Rayleigh-Kurve am Punkt
S liefert:
( ∂p
∂v ) R,S = −(ρc) 2 S
!
= ( ∂p
∂v ) s,S = −k(pρ) S
⇒
c S = k( p ρ ) S = a S
⇒ Ma S = 1
Die Annahme eines idealen Gases wurde hierbei nicht benutzt. Für ein ideales
Gas ist der Isentropenexponent k durch das Verhältnis der spezifischen
Wärmen κ bestimmt.
Damit liegt fest:
Oberer Ast: alle Unterschallzustände mit vorgegebenem Massenstrom
Unterer Ast: alle Überschallzustände mit vorgegebenem Massenstrom.
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