Lösung Aufgabe 4.8.1 ”Carnot-Prozess” a) p, v-Diagramm a ...

Lösung Aufgabe 4.8.1 ”Carnot-Prozess”
a) p, v-Diagramm
p
p max
2
isotherm
adiabat
3
p min
T 1 = T min
= const
1
s 1 = const
adiabat
isotherm
T 2 = T max = const
4 s 3 = const
a) Spezifische technische Arbeiten und Wärmen
1 - 2: Adiabate Kompression
1. Hauptsatz für stationären Fließprozess:
Zahlenwert:
q 12 + w t 12 = h 2 − h 1 adiabat: q 12 = 0
w t 12 = c p (T 2 − T 1 ) > 0 (ideales Gas)
w t 12 = 5 2
2 - 3: Isotherme Expansion
1. Hauptsatz für stationären Fließprozess:
kJ
kJ
2, 077 550 K = 2856
kgK kg
q 23 + w t 23 = h 3 − h 2 = c p (T 3 − T 2 ) ideales Gas und isotherm: T 3 = T 2
q 23 ≠ 0 , w t 23 ≠ 0 1

Definition:
w t = ∫ vdp
Mit Zustandsgleichung: pv = RT = const ⇒ v = RT 2 /p
w t 23 = RT 2
∫ 3
2
w t 23 = RT 2
∫ 3
Kopplung an das Temperaturverhältnis:
Zahlenwert:
p 3
p 2
= p 3
p 4
p 4
p 2
mit
2
dp
p = RT 2
ln( p 3
p 2
)
∫ 3
2
dp
p
p 3
= ( T κ
3
) κ − 1 = ( T κ
3
) κ − 1
p 4 T 4 T 4
κ
w23 t = RT 2 ln(( T 3
) κ − 1 p 4
) = −q 23
T 4 p 2
w23 t = 2, 077 kJ 850 K ln( (850
kgK 300 ) 5 2
1
kJ
) = −2310
50 kg
Analog für die anderen beiden Teilprozesse:
3 - 4: Adiabate Expansion
1. Hauptsatz für stationären Fließprozess:
q 34 + w34 t = h 4 − h 3 adiabat: q 34 = 0
w34 t = c p (T 3 − T 4 ), 0 (ideales Gas)
w34 t = −w12
t
Zahlenwert:
w t 12 = 5 2
4 - 1: Isotherme Kompression
2, 077
kJ
kgK
− 550 K = −2856
kJ
kg
1. Hauptsatz für stationären Fließprozess:
q 41 + w t 41 = h 4 − h 1 = c p (T 4 − T 1 ) ideales Gas und isotherm: T 4 = T 1
q 41 ≠ 0 , w t 41 ≠ 0 2

w t 41 = RT 1
∫ 1
4
w t 41 = RT 1
∫ 1
Kopplung an das Temperaturverhältnis:
p 1
p 4
= p 1
p 2
p 2
p 4
4
mit
∫
dp
1
p = RT dp
1
4 p
ln( p 1
p 4
)
p 1
= ( T κ
1
) κ − 1
p 2 T 2
κ
w41 t = RT 1 ln(( T 1
) κ − 1 p 2
) = −q 23
T 2 p 1
Zahlenwert:
Nutzarbeit:
⇒ p 1
p 4
= p 2
p 3
w41 t = 2, 077 kJ 300 K ln( (850
kgK 300 ) 5 kJ
2 50) = +81, 5
kg
Zahlenwert:
Wirkungsgrad:
Zahlenwert:
− ∑ w t = −[w t 12 + wt 23 + wt 34 + wt 41 ] = −[wt 23 + wt 41
− ∑ w t = −[−2310 + 815] kJ
kJ
kg
= 1495
kg
∑ w
t
η th = − = −wt 23 − wt 41
= q 23 + q 41
q zu q 23 q 23
= 1 + q 41
= 1 + −RT 1 ln p 1
p 4
q 23 −RT 2 ln p 3
= 1 − T 1
T 2
p 2
η th = 1 − 300
850
= 0, 647
3