Visualisierung I 5. Statistische Graphiken - IWR

Visualisierung I 

5. Statistische Graphiken 

Vorlesung: Mi, 9:00 – 11:00, INF 368 – 532 

Übung: Do, 14:00 – 16:00, INF 350 – OMZ R U011 

JProf. Dr. Heike Jänicke – http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/CoVis/

Inhaltsverzeichnis 

1. Einführung 

2. Visuelle Wahrnehmung 

3. Datentypen und Datenrepräsentation 

4. Skalardaten 


6. Interaktion und Datenexploration 

7. Darstellung von Graphen 

8. Vektordaten 

9. Tensordaten 

Visualisierung I – 5. Statistische Graphiken 2



1. Statistische Grundlagen 

2. Stamm-Blatt-Diagramm 

3. Histogramme 

4. Statistische Maßzahlen 

5. Boxplot 

6. Streudiagramm 

7. Hauptkomponentenanalyse 


Beispiel Autokauf 

● 

● 

● 

Wir möchten uns ein neues Auto kaufen 

und haben uns dazu einige Modelle 

ausgesucht, die unseren Anforderungen 

entsprechen. 

Der nun ausschlaggebende Faktor ist der 

Preis und es sollen die Preise der 

verschiedenen Wagen verglichen werden. 

Die Visualisierung soll uns nun bei der 

Entscheidungsfindung helfen. 


Direkte Visualisierung 

● 

Ein erster Ansatz ist die direkte Visualisierung der Originaldaten: 

Preis 

Ford 

Ford 

Nissan 

Ford 

Ford 

Nissan 

Vauxhall 

Nissan 

Jeep 

Land Rover 

Ford 

Ford 

Mercedes 

Saab 

Ford 

Rover 

Morgan 

BMW 

Rolls 

BMW 

Saab 

Mercedes 

Mercedes 

BMW 

£0 £10.000 £20.000 £30.000 £40.000 £50.000 £60.000 


Direkte Visualisierung 

● 

Die gezeigten Visualisierungen haben folgende Stärken und Schwächen: 

● 

● 

Positiv: 

– Minimum und Maximum können leicht abgelesen werden. 

– Man kann die allgemeine Verteilung sehen. 

– Cluster kann man erkennen. 

Negativ: 

– Die Darstellung (noch) größerer Datenmenge ist schwierig. Entweder kommt es 

zu Überlappungen/Verdeckung oder man benötigt sehr viel Platz. 

– Das Labeling (Annotieren von Datenpunkten) ist schwierig. 

● 

Die Interpretation großer Datenmengen kann durch Aggregation vereinfacht werden. 


Aggregation – Histogramm 

● 

● 

Das Histogramm ist die wohl am häufigsten vorkommende 

Darstellung aggregierter Information. Hierbei wird für jede 

Klasse (Autos mit einem Preis in einem bestimmten 

Bereich) angezeigt, wieviele Elemente diese Klasse enthält. 

Wir können ablesen: 

– In welcher Preisspanne bewegen sich die ausgewählten 

Autos? 

– In welchen Preisklassen gibt es viele bzw. wenige 

Fahrzeuge? 

– Preisspannen in denen es zu Häufungen kommt (ein 

Bereich vs. mehrere). 

– Lokale Maxima, d.h. in welchem Preissegment haben 

wir eine große Auswahl. 


Aggregation – Boxplot 

● 

● 

● 

● 

● 

Ein Boxplot ist eine visuelle Darstellung 

wichtiger statistischer Merkmale und gibt 

Antworten auf relevante Fragen: 

In welcher Preisspanne bewegen sich die 

Autos? 

Was ist der durchschnittliche Preis für ein Auto 

in der gewählten Klasse? 

In welchem Bereich liegen 50% der Wagen? 

Gibt es Wagen, die extrem teuer oder billig 

sind? 

sehr teuer 

Mittelwert 

50% der Autos 

sehr günstig 


Darstellung mit und ohne Aggregation 

Ford 

Ford 

Nissan 

Nissan 

Land Rover 

Ford 

Preis 

Saab 

Rover 

BMW 

BMW 

Mercedes 

BMW 

£0 £20.000 £40.000 £60.000 






3. Histogramm 






Merkmal oder Statistische Variable 

● 

● 

● 

Die Objekte, auf die sich eine statistische Analyse bezieht, heißen 

Untersuchungseinheiten (z.B. Personen, Staaten, Datenpunkte). Die 

Zusammenfassung aller Untersuchungseinheiten bildet die Grundgesamtheit. 

Bestimmte Aspekte oder Eigenschaften einer Untersuchungseinheit bezeichnet man 

als Merkmal oder statistische Variable X (z.B. Körpergröße, Einwohnerzahl, 

Temperatur). 

Bei jeder Untersuchungseinheit nimmt das Merkmal X eine mögliche Ausprägung x 

aus dem Merkmalsraum (Menge der möglichen x-Werte) an (z.B. 1,76m, 82 Mio., 

24°C). 


Häufigkeiten 

● 

● 

● 

Die absolute Häufigkeit n j 

ist die Anzahl der Untersuchungseinheiten, die die 

Merkmalsausprägung a j 

, j = 1, ..., k besitzen. 

Die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Merkmalsausprägungen ergibt die 

Gesamtzahl n der Beobachtungen: 

k 

∑ 

j=1 

n j 

=n 

Für den vom Stichprobenumfang unabhängigen Vergleich von Untersuchungen 

benötigt man die relativen Häufigkeiten f j 

: 

f j 

=f a j 

= n j 

n , j=1,,k. 

Sie geben den Anteil der Untersuchungseinheiten an, die die Ausprägung a j 

besitzen. 

● 

Die Summe der relativen Häufigkeiten aller Merkmalsausprägungen ergibt 1: 

k 

∑ 

j=1 

f j 

=1 


Empirische Verteilungsfunktion 

● 

Sind die Beobachtungen x 1 

, ..., x n 

des Merkmals X der Größe nach als x 1 

≤ x 2 

≤ ... ≤ x n 

geordnet und ist das Datenniveau mindestens ordinal, so ist die empirische 

Verteilungsfunktion an der Stelle x die kumulierte relative Häufigkeit aller Merkmalsausprägungen 

a j 

, die kleiner oder gleich x sind: 

F x=∑ 

a j 

x 

f a j 

 






3. Histogramm 






Abfahrtszeiten 


Stamm-Blatt-Diagramm 


Stamm-Blatt-Diagramm – Konstruktion 

● 

● 

● 

● 

● 

Ein Stamm-Blatt-Diagramm besteht aus zwei Spalten: dem Stamm und den Blättern. 

Der Stamm entspricht den Äquivalenzklassen, in die die Grundgesamtheit unterteilt 

wird (z.B. volle Stunde, ersten n Stellen einer ganzen Zahl, ganzzahliger Anteil einer 

Gleitkommazahl). 

Die Blätter sind eine Auflistung aller Elemente/Untersuchungseinheiten, die in der 

jeweiligen Äquivalenzklasse auftreten. 

Als Daumenregel für die Anzahl der Äquivalenzklassen gilt 10∙log 10 

(n). 

Ist die Einheit der Blätter nicht intuitiv klar, sollte diese separat angegeben werden. 






3. Histogramm 






Histogramm 

● 

● 

● 

Bei metrischen Merkmalen helfen Balkendiagramme oft nicht weiter, da viele 

Merkmalsausprägungen nur einmal auftreten (z.B. Temperaturmessung auf 6 

Nachkommastellen genau). 

Um eine sinnvolle Häufigkeitsverteilung zu erhalten, muss das Merkmal zunächst 

klassifiziert werden (z.B. Temperatur auf ganze Zahl runden). Die hieraus 

resultierenden Häufigkeitsverteilung kann dann in einem Histogramm grafisch 

veranschaulicht werden. 

Die Histogrammflächen sind proportional zu 

den relativen Häufigkeiten f j 

, die Höhe h j 

des 

Rechtecks über der j-ten Klasse berechnet 

sich somit gemäß: 

h j 

= f j 

d j 

mit der Klassenbreite d j 

= e j 

– e j-1 

. Dabei ist e j 

die obere Klassengrenze des j-ten Intervalls 

und e j-1 

die untere. 


Kumuliertes Histogramm 

● 

● 

● 

Während beim Histogramm häufig die Häufigkeitsverteilung/Dichtefunktion eines 

Merkmals dargestellt wird, kann ebensogut die empirische/kumulierte 

Verteilungsfunktion abgetragen werden. 

Man kann nun ablesen wie der Grenzwert x gewählt werden muss, so dass k% der 

Daten unterhalb dieses Wertes liegen und (100-k)% der Daten oberhalb. 

Die Abstände zwischen benachbarten 

Balken geben die relativen Häufigkeiten 

der einzelnen Klassen an. 

Anteil (< Filmlänge) 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,32 

0,64 

0,72 0,76 0,84 0,88 0,96 

1 

0,2 

0,1 

0,08 

0 

70 80 90 100 110 120 130 140 150 

Filmlänge 


Histogramm – Anzahl der Klassen 

● 

● 

● 

Ein Parameter, der dem Histogrammalgorithmus gegeben werden muss ist die 

Anzahl der Klassen. Wählt man diese falsch kann es zu folgenden Problemen 

kommen: 

Zu viele Klassen: 

Es ist schwer die tatsächlich zugrunde liegende 

Struktur abzulesen, da lokale zufällige 

Schwankungen starken Einfluss haben. 

Zu wenige Klassen: 

Lokale Eigenschäften/Unterschiede werden 

durch zu das Zusammenfassen verschiedener 

Klassen eliminiert und können nicht mehr 

erkannt werden. 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

[Shimazaki 2005] 

0 

0.100 0.250 0.400 0.550 0.700 0.850 1.000 

0.025 0.175 0.325 0.475 0.625 0.775 0.925 

0 

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 


Histogramm – Anzahl der Klassen 

● 

● 

Allgemein gilt: Es ist sehr schwierig automatisch einen guten Grenzwert für die 

Anzahl der Klassen anzugeben. Je nach Datenlage kann dieser Wert stark variieren. 

Deshalb erweist es sich meist als günstig, wenn der Nutzer die Klassenzahl interaktiv 

variieren kann. 

Grobe Richtlinien wären etwa: 

Anzahl der 

Messungen 

Anzahl an 

Klassen 

250 10 bis 20 

● 

Es gibt auch wissenschaftliche Untersuchungen, die u.a. zu folgenden Empfehlungen 

kommen: 

– Sturges: k = ceil( log 2 

n + 1 ) 

– Scott: k = 3.5 σ / n 1/3 , wobei σ die Standardabweichung in den Daten ist. 






3. Histogramm 






Modalwert 

● 

Als Modalwert x M bezeichnet man den häufigsten Wert einer Verteilung. 

x M =a j ⇔n j =max {n 1, n 2, ,n k }. 

● 

Die Angabe des Modalwertes ist meist nur sinnvoll, wenn es in den Daten nur einen 

„Gipfel“ gibt. 


Median und Quantile 

● 

Der Median teilt die Daten in zwei gleichgroße Bereich. Die eine Hälfte der Daten ist 

kleiner als der Median, die andere größer als er. 

● 

Der Median wir mit Q 0.5 

bezeichnet und durch die Forderung FQ definiert. 

={ 

x n1/2 falls n ungerade 

} 

0.5 

=0.5 

Q 0.5 1 

2 x n/2x n/ 21 

falls n gerade 

● 

Das Quantil ist eine Verallgemeinerung des Medians. Das α-Quantil wird durch die 

Forderung F( Q 

) = α definiert. Bei diskreten Daten bedeutet dies, dass höchstens 

n(1 – α) Werte größer oder gleich sind. 

Q 

={ 

x ceiln falls n nicht ganzzahlig 

} 

Q 1 

2 x nx n1 

falls n ganzzahlig 

● 

Quartile sind die Quantile zum 25%- bzw. 75%-Niveau. Q oder heißt unteres 

.25 

Q 1 

Quartil, Q .75 

oder Q heißt oberes Quartil. 

3 


Median und Quantile 

[fao.org] 


Mittelwert und Streuungsmaße 

● 

Das arithmetische Mittel (oft auch Mittelwert) x ist der Durchschnittswert aller 

Beobachtungen: 

n 

x= 1 n ∑ i=1 

x i. 

● 

Der Quartilsabstand (IQR) ist gegeben durch 

d Q =Q 0.75 −Q 0.25 

● 

Er definiert den zentralen Bereich einer Verteilung, in dem 50% der Werte liegen. 

Die Varianz σ² misst die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel: 

n 

2 = 1 n ∑ i=1 

x i 

−x 2. 

● 

Die Standardabweichung σ ist die positive Wurzel aus der Varianz: 

= 1 ∑ n 

n i=1 

x i 

−x 2 . 






3. Histogramm 






Boxplot 

● 

● 

Boxplots sind eine graphische Darstellung wichtiger statistischer Kenngrößen: 

– Median 

– unteres und oberes Quartil 

– Ausreißer 

– „Normalbereich“ 

Folgende Informationen können 

leicht abgelesen werden: 

– Minimum und Maximum 

– Mittlerer Wert 

– Was ist normal? 

– Welche Werte sind ungewöhnlich? 

– Spannweite der Daten 

größter Wert mit 

x j 

≤ Q 3 

+ 1.5 IQR 

Median = Q 2 

kleinster Wert mit 

x j 

≤ Q 1 

- 1.5 IQR 

Extremwert 

Ausreißer 

Q 3 

Q 1 

Ausreißer 

Extremwert 


Beispiele Boxplots 

Autopreise 

Anzahl der Geburten nach Wochentag 

[C. Schwarz, www.math.sfu.ca] 






3. Histogramm 






Zusammenhänge zwischen zwei Variablen 

# Schlafzimmer Preis 

1 £25,000 

1 £48,000 

1 £60,000 

1 £80,000 

1 £98,000 

1 £275,000 

2 £57,000 

2 £81,000 

2 £100,000 

2 £120,000 

2 £140,000 

2 £175,000 

2 £280,000 

3 £125,000 


Streudiagramm 

● 

● 

● 

Ein Streudiagramm ist eine visuelle Darstellung von bivariaten Daten (Daten mit zwei 

Merkmalen). Die x-Achse wird entsprechend dem einen Merkmal skaliert, die y- 

Achse entsprechend dem anderen Merkmal. Die Wertepaare der einzelnen 

Messwerte werden nun als 2D Datenpunkte in das Diagramm eingetragen. 

Das Streudiagramm gibt Auskunft über 

– Existenz und Art von Korrelationen. 

– Clusterbildung. 

– Ausreißer in bivariaten Daten, d.h. die Kombination der beiden Werte ist 

ungewöhnlich. 

Ein wichtiger Aspekt bei der Darstellung von Streudiagrammen ist die Skalierung der 

Achsen. Häufig werden die beiden Verteilungen normiert und mit gleicher 

Ausdehnung abgetragen. Dies kann auf den ersten Blick einen falschen Eindruck 

vermitteln, wenn die eine Variable stark variiert und die andere nur wenig um einen 

bestimmten Wert schwankt. Betrachtung der Varianz kann hier helfen. 


Streudiagramm – Beispiele für verschiedene Korrelationen 

keine Korrelation positive lineare Korrelation negative lineare Korrelation 

quadratischer 

Zusammenhang 

exponentieller 

Zusammenhang 

Ausreißer 


Streudiagramm – Beispiele 

[boston.com] 

[Piotr Deuar] 

Zusammensetzung von Olivenöl 

[M. Daszykowski, 2005] 


Kontinuierliche Streudiagramme 

Hurricane Isabel data set: These two images show a continuous and a discrete scatterplot of the 

hurricane Isabel data set. The continuous version was created with the tetrahedral approach as 

described in the paper "Continuous Scatterplots". This data set is the downsampled version with a size 

of 128 x 128 x 30. In the discrete scatterplot, near-vertically aligned clusters of points are visible. Those 

clusters are misleading, since they originate solely from the low sampling density in the z-dimension. 

(See next example for a high-resolution version of this data set.) 

[S. Bachthaler and D. Weiskopf: Continuous Scatterplots, TVCG, 2008] 


Streudiagramm Matrizen 

[Originlab] 






3. Histogramm 






Beispiel 

● 

Gegeben sei eine Kugel die an einer Feder gleichmäßig hoch und runter schwingt. 

Die Bewegung der Kugel wird von 3 Kameras aufgezeichnet und ergibt zu jedem 

Zeitpunkt t i 

6 Messung (jeweils x- und y-Koordinate im Kamerabild). 

t t 1 

t 2 

 

x A x A1 x A2 

y A 

y A1 

y A2 

 

x B x B1 x B2 

y B 

y B1 

y B2 

 

x C 

x C1 

x C2 

 

y C y C1 y C2 

● 

● 

Im 7D Raum ergäben die Datenpunkte eine perfekt Linie und es würde ausreichen 

die Messung mit Hilfe eines Parameters (Auslenkung der Kugel entlang der Achse zu 

beschreiben). 

Die PCA hilft so eine niederparametrige Darstellung zu finden, indem das 

Koordinatensystem neu ausgerichtet wird. 


Basistransformation 

● 

● 

Verallgemeinert untersuchen wir Daten mit m Variablen (Kamerapositionen) und n 

Datenpunkten (Zeitschritte). 

Die naive bisher gewählte Basis für unsere Daten ist dann gegeben durch: 

1 0 0 

B=[b b 2 

0 1 0 

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 

b m]=[1 0 0 1]=I 

● 

Mit dieser Basis können die Datenpunkte wie folgt dargestellt werden: 

X i =[x Ai 

y Ai 

x Bi 

y Bi 

x Ci 

y Ci] 


Basistransformation 

● 

● 

Die Hauptkomponentenanalyse berechnet eine lineare Transformation P der 

Originalbasis, die die Daten besser charakterisiert. 

Seien X und Y m×n-Matrizen und P eine lineare Transformation (m×m-Matrix) 

P X=Y 

● 

Die Gleichung kann wie folgt interpretiert werden: 

– Die Matrix P transformiert X nach Y. 

– Geometrisch betrachtet entspricht P einer Rotation und Skalierung, die ebenfalls 

X nach Y transformiert. 

– Die Zeilen von P, {p 1 

, ..., p m 

}, bilden die neuen Basisvektoren zur Darstellung der 

Spalten in X. 

P X=[ 

p 1 ⋅x 1 p 1 ⋅x n 

⋮ ⋱ ⋮ 

p m 

⋅x 1 

p m 

⋅x n]=Y 


Welche Transformation? 

● 

Wir haben gesehen, dass wir mittels einer linearen Transformation die Daten in ein 

neues Koordinatensystem abbilden können. Zwei Fragen bleiben bestehen: 

– Was ist die beste neue Darstellung der Originaldaten in X? 

– Was ist eine gute Wahl für P? 


Information in den Daten 

● 

● 

● 

● 

Die neue Darstellung der Daten soll die enthaltene Information erhalten und leicht 

sichtbar machen. 

Die zwei wichtigsten Aspekte, die die Aussage von Daten unkenntlich machen sind 

– Rauschen und 

– Redundanz. 

Rauschen entsteht z.B. durch kleine Fehler in der Messung. 

Redundanz entsteht wenn eine Ursache sich auf mehrere Variablen auswirkt oder die 

gleichen Daten unterschiedlich gemessen werden. 


Varianz und Kovarianz 

● 

● 

Sowohl das Rauschen (Signal-Rausch-Verhältnis) als auch Redundanz in den Daten 

kann mittels der Kovarianz ausgedrückt werden. 

Seien zwei simultane Messung mit arithmetisches Mittel = 0 gegeben: 

A={a 1, a 2, ,a n } B={b 1, b 2, ,b n } 

● 

● 

Die Varianz in A und B ist gegeben durch: 

Die Kovarianz zwischen A und B ist gegeben durch: 

mit 

2 A 

= 1 ∑ n 

n−1 i=1 

– σ² AB 

= 0 gdw. A und B völlig unkorreliert sind. 

a i 

2 

2 AB 

= 1 ∑ n 

n−1 i=1 

2 B 

= 1 ∑ n 

n−1 i=1 

a i 

b i 

b i 

2 

– σ² AA 

= σ² A 

● 

Man kann die Kovarianz nun als Skalarprodukt formulieren: 

2 a b 

= 1 

n−1 a bT a=[a 1 

a 2 

a n 

] b=[b 1 

b 2 

b n 

] 


Kovarianzmatrix 

● 

Werde nun nicht zwei einzelnen Messungen betrachtet, sondern viele Messungen, 

kann man diese in einer Matrix X speichern. 

11 x 12 x 1n 

X=[x x 21 x 22 x 2n 

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 

x m1 

x m2 

x mn] 

● 

Die Kovarianzmatrix ist definiert durch: 

mit folgenden Einträgen: 

S X ≡ 1 

n−1 X XT 

– Der Eintrag an der Stelle (i,j) entspricht der Kovarianz zwischen x i 

und x j 

. 

– S X 

ist eine symmetrische m×m-Matrix. 

– Die Einträge auf der Hauptdiagonale sind die Varianzen in den einzelnen 

Variablen. 

– Alle anderen Einträge sind die Kovarianzen zwischen verschiedenen Variablen. 


Kovarianz 

● 

Angenommen wir würden nicht die Daten manipulieren, sondern die Kovarianzmatrix. 

Welche Eigenschaften wollten wir erzielen? 

– Um die Redundanz möglichst klein zu halten, sollten die Daten in den 

verschiedenen Variablen möglichst wenig voneinander abhängen. 

→ Dies kann erreicht werden indem nur noch die Einträge auf der 

Hauptdiagonale ≠ 0 sind. 

– Die Daten sollen geordnet sein, so dass wir bestimmen können in welcher 

Variable die größte/kleinste Varianz besteht. 

→ Wir benötigen also neben den neuen Basisvektoren noch einen Wert der dies 

quantifiziert. Dies wird die Varianz in Richtung der neuen Achsen sein. 

– Die neue Basis soll orthonormal sein. 

→ Hierdurch lässt sich das Problem u.a. leicht lösen. Außerdem sind die neuen 

Richtung nun unkorreliert. 


Hauptkomponenten 

● 

● 

Wir suchen also eine Matrix P mit Y = PX, so dass die Kovarianzmatrix 

S Y 

= YY T /(n-1) eine Diagonalmatrix ist. Die Zeilen in P sind dann die Hauptachsen 

(principal components) von X. 

Zuerst formulieren wir die Kovarianzmatrix um: 


Hauptkomponenten 

● 

Die Matrix A = XX T kann diagonalisiert werden, indem man mit einer Matrix E 

multipliziert, deren Spalten die Eigenvektoren (EV) von A sind: 

A=EDE T 

mit D = diag(λ 1 

, λ 2 

, ..., λ n 

) und E = [ EV(λ 1 

) EV(λ 1 

) ... EV(λ 1 

)]. 

● 

Jetzt wählen wir die Matrix P so, dass die Zeilen von P den Eigenvektoren von A = 

XX T entspricht. 

● 

Nun gilt P ≡ E T , A = P T DP und außerdem P -1 = PT. Hiermit erhalten wir: 


Hauptkomponentenanalyse – Ergebnisse 

● 

Eigenschaften: 

– Aufgrund der gegebenen Wahl von P wird S Y 

diagonalisiert. (Das Ziel der PCA.) 

– Die Hauptkomponenten sind die Eigenvektoren 

von XX T . 

– Der i-te Eintrag in der Kovarianzmatrix S Y 

ist 

die Varianz von X in Richtung der i-ten Hauptkomponente. 

● 

Algorithmus: 

– Berechne das arithmetische Mittel über alle Datenpunkte in jeder Variable. 

– Subtrahiere das arithmetische Mittel von den Daten. 

– Ordne die n Datenpunkte mit m Variablen in einer m×n-Matrix X an. 

– Berechne die Kovarianzmatrix S X 

= XX T . 

– Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Kovarianzmatrix S X 

. 


Referenzen 

Die Erklärungen folgen den Beschreibungen in: 

● 

A. C. Telea. Data Visualization: Principles and Practice, A K Peters, Ltd., 2008. 

● 

H. Toutenburg, M. Schomaker, M. Wißmann, C. Heumann: Arbeitsbuch zur 

deskriptiven und induktiven Statistik, Springer, 2009. (online über Heidi verfügbar). 

● 

R.Spence: Information visualization, Addison-Wesley, 2001. 

● 

S. H. and Shinomoto S., A method for selecting the bin size of a time histogram 

Neural Computation (2007) Vol. 19(6), 1503-1527 

● 

J. Shlens: A Tutorial on Principal Component Analysis, 2003

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