6 TM III Übung 11 & 12 - Institut für Robotik

N
UE Technische Mechanik 3 Übung 11 & 12
6 TM III Übung 11 & 12
6.1 Näherungslösung nach Ritz, allgemein
Wahl der Ansatzfunktion w (x)
• so, dass alle w i linear unabhängig sind.
w (x, t) = w (x) T q (t)
w (x, t) ′ = w (x) T ′ q (t)
ẇ (x, t) = w (x) T ˙q(t)
• so, dass die geometrischen Randbedingungen erfüllt sind.
• soviele, dass die gesuchte Eigenfrequenz ω i hinreichend genau erreicht wird.
6.2 Beispiel 1: Beidseitig gelagerter Balken
@
H ) @ N
M N J
Die Bewegungsgleichung wird z.B. mit dem Hamilton Prinzip hergeleitet. Die Lösung kann bei diesem speziellen
Beispiel mit einem Separationsansatz berechnet werden. Es ergeben sich folgende Eigenfrequenzen:
1- gliedriger Ritzansatz
ω 1exakt
ω 2exakt
ω 3exakt
= 9.87 1 l 2 √
EI y
ρA
= 39.48 1 l 2 √
EI y
ρA
= 88.83 1 l 2 √
EI y
ρA
( ) 2 2
w (x) = x(l − x)
l
√
ω 1Ritz = 10.95 1 EI y
l 2 ρA
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2- gliedriger Ritzansatz
(
w (x) =
[ 1
M = ρAl 30
Die Eigenfrequenzen berechnen sich aus:
1
105
x(l−x)
l 2
1
105
1
252
x 3 (l−x)
l 4
) T
]
;K = EI y
l 3 [ 4 2
2
24
5
]
det [ −ω 2 M + K ] = 0
Ergebnisse:
ω 1Ritz
ω 2Ritz
√
= 10.69 1 EI y
l 2 ρA
√
= 56.57 1 EI y
l 2 ρA
3- gliedriger Ritzansatz
M = ρAl ⎣
Die Eigenfrequenzen berechnen sich aus:
(
w (x) =
⎡
1
30
1
105
1
252
1
105
1
252
1
495
x(l−x)
l 2
1
252
1
495
1
898
x 3 (l−x)
l 4
⎤
⎦;K = EI y
l 3
x 5 (l−x)
l 6
⎡
⎣
) T
4 2 2
24
2
5
30
2
7
30
7
50
7
⎤
⎦
det [ −ω 2 M + K ] = 0
Ergebnisse:
ω 1Ritz
ω 2Ritz
ω 3Ritz
= 10.36 1 l 2 √
EI y
ρA
= 40.14 1 l 2 √
EI y
ρA
= 181.46 1 l 2 √
EI y
ρA
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6.3 Beispiel 2: Mittig federgelagerter Balken
M(t)
M(t)
c
A, , E, I
w(x,t)
z
x
z
L
L
1- gliedriger Ritzansatz
( x
) 2
w (x) =
l
Bewegungsgleichung:
[ 1
1
M = 2ρAl 3
1
3
1
5
] [ c 0
;K =
0
Eigenfrequenzen für ρ = A = c = 1, l = 1 2 und EI y = 100:
]
8EI y
;Q =
l 3
( 0
4 M l
)
ω 1 = 0.999990 ω 2 = 268.3
2- gliedriger Ritzansatz
w (x) =
( (x
l
) 2 ( x
l
) 4
) T
,qR (t) = ( q 1 (t) q 2 (t) ) T ,qmin = (z(t), q 1 (t), q 2 (t)) T
w (x, t) = q 1 (t)x 2
l 2 + q 2 (t)x 4
l 4
ẇ (x, t) = ( ˙q 1 (t))x 2
l 2 + ( ˙q 2 (t)) x 4
l 4
Kinetische Energie:
(ẇ (x, t)) 2 = ( ˙q 2 (t)) 2 x 8
⎛
Ir S = ⎝
T = 1 2
∫
l 8 + 2 ( ˙q 1 (t))( ˙q 2 (t))x 6
l 6 + ( ˙q 1 (t)) 2 x 4
l 4
x
0
z(t) + w(x, t)
(B)
⎞
⎛
⎠ , I v S = ⎝
0
0
ż(t) + ẇ(x, t)
IvS T Iv S dm = 1 ∫ l
2 ρA (ż(t) + ẇ(x, t)) 2 dx
−l
⎞
⎠
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T
= ρ A (ż (t)) 2 l + 1/2 ρ A
= ρ A (ż (t)) 2 l + 1/2 ρ A
+ρ Aż (t)
= ρ Al
∫ l
−l
∫ l
−l
∫ l
−l
∫ l
(ẇ (x, t)) 2 dx + ρ Aż (t) ẇ (x, t)dx
−l
(
)
( ˙q 2 (t)) 2 x 8
l 8 + 2 ( ˙q 1 (t)) ( ˙q 2 (t))x 6
l 6 + ( ˙q 1 (t)) 2 x 4
l 4 dx
( ( ˙q1 (t))x 2
l 2 + ( ˙q 2 (t)) x 4
l 4 )
dx
(
ż (t) 2 + 1 9 ˙q 2 (t) 2 + 2 7 ˙q 1 (t) ˙q 2 (t) + 1 5 ˙q 1 (t) 2 + 2 5 ˙q 2 (t)ż (t) + 2 3 ˙q 1 (t)ż (t)
)
⎛
( ) ∂ T T
= 2ρ Al ⎝
∂ ˙q min
ż(t) + 1 3 ˙q 1(t) + 1 5 ˙q 2(t)
1
3ż(t) + 1 5 ˙q 1(t) + 1 7 ˙q 2(t)
1
5ż(t) + 1 7 ˙q 1(t) + 1 9 ˙q 2(t)
⎞
⎠
Potentielle Energie:
( )
d ∂ T T
= 2ρ Al
dt ∂ ˙q min
⎛
⎝
¨z(t) + 1 3 ¨q 1(t) + 1 5 ¨q 2(t)
1
3 ¨z(t) + 1 5 ¨q 1(t) + 1 7 ¨q 2(t)
1
5 ¨z(t) + 1 7 ¨q 1(t) + 1 9 ¨q 2(t)
⎞
⎠,
w (x, t) ′ = 2 q 1 (t)x
l 2 + 4 q 2 (t)x 3
l 4
⎛
( ) ∂ T T
= ⎝
∂ q min
w (x, t) ′′ = 2 q 1 (t)
l 2 + 12 q 2 (t)x 2
l 4
(w (x, t) ′′) 2 (q 1 (t)) 2
= 4
l 4 + 48 q 1 (t)q 2 (t)x 2
l 6 + 144 (q 2 (t)) 2 x 4
l 8
0
0
0
⎞
⎠
V = 1 2 EI y
= 1 2 EI y
= 1 2 EI y
∫ l
−l
∫ l
(
−l
(
w (x, t) ′′) 2
dx + 1/2 c (z (t))
2
(
)
4 (q 1 (t)) 2
l 4 + 48 q 1 (t) q 2 (t)x 2
l 6 + 144 (q 2 (t)) 2 x 4
l 8 dx + 1/2 c (z (t)) 2
8 (q 1 (t)) 2
l 3
)
+ 32 q 1 (t) q 2 (t)
l 3 + 288 (q 2 (t)) 2
5 l 3 + 1/2 c (z (t)) 2
Generalisierte Kraft Q:
⎛
0
Iϕ = ⎜
⎝ −2 q 1(t)x
− 4 q 2(t)x 3
l 2 l 4
0
⎛
( ) ∂ V T
⎜
= ⎝
∂ q min
⎞
⎟
⎠ , ∂ I ϕ
∂q min
=
Q = ∂ Iϕ
∂q min
∣ ∣∣∣
T
x=−l
⎡
⎢
⎣
8 E I y
l
16 E 3
I y
l 3
⎞
c z(t)
16 E Iy ⎟
q 1 (t) + q
l 3 2 (t) ⎠
288 E Iy
q 1 (t) + q
5 l 3 2 (t)
0 0 0
0 −2 x l 2 −4 x3
l 4
0 0 0
M L + ∂ Iϕ
∂q min
∣ ∣∣∣
T
x=l
⎤
⎥
⎦ ,M L =
M R =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎝
0
4 M(t)
l
8 M(t)
l
0
M(t)
0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎛
⎠,M R = ⎝
0
−M(t)
0
⎞
⎠
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Bewegungsgleichung:
⎡
M = 2ρAl ⎣
1
1
3
1 1
3 5
1 1
5 7
1
5
1
7
1
9
⎤
⎦;K =
Eigenfrequenzen für ρ = A = c = 1, l = 1 2 und EI y = 100:
⎡
⎢
⎣
c 0 0
8EI
0 y
l 3 l
16EI 3
0 y
16EI y
288
l 3 5
EI y
l 3
⎤
⎥
⎦;Q =
⎛
⎝
0
4 M l
8 M l
⎞
⎠
ω 1 = 0.9977 ω 2 = 225.6 ω 3 = 2233.6
6.4 Beispiel 3: Klausurbeispiel vom 29. 01. 1998
F
F
a
starr,
masselos
c
x
m
z
A, , E, I
m
L
2 L
1- gliedriger Ritzansatz
w (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
Bewegungsgleichung:
Eigenfrequenz:
( ) ( )
46
128
15 ρAL + 18m ¨q +
L 3 EI + c q = −8 a L F
ω =
√
128
46
15
EI + c
L 3
ρAL + 18m
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