Aufgabensammlung Robotik SS 2013 - Institut für Robotik - JKU

AUFGABENSAMMLUNG ÜBUNG ROBOTIK
Assoz.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Hubert Gattringer
Dipl.-Ing. Johannes Kilian
Dipl.-Ing. Klemens Springer
Institut für Robotik, www.robotik.jku.at
.

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgaben
Organisatorisches Die folgenden Aufgaben sollen den Studierenden die Möglichkeit geben, sich weiter in
die Robotik zu vertiefen und schaffen gleichzeitig eine Beurteilung für die Übung Robotik. Der/die Studierende
muss zur positiven Absolvierung der Lehrveranstaltung eine der Aufgaben lösen. Die letzte Ziffer der
Matrikelnummer entscheidet dabei über das zu lösende Beispiel (1 → Beispiel 1, 2 → Beispiel 2, ... 0 →
Beispiel 10). Die Abgabe muss digital am Institut erfolgen und es ist darauf zu achten, dass für jede Aufgabe
ein eigenes File (am besten ein eigener Ordner) existiert. Ein darauffolgendes Kolloquium am 25.6.2013
bzw. am 28.6.2013 schließt die Beurteilung der Lehrveranstaltung ab. Die Anmeldung und die Termineinteilung
für das Kolloquium erfolgt über das Sekretariat des Instituts. Die Abgabe muss mind. 3 Arbeitstage vor
dem Kolloquium erfolgen. Für das Kolloquium müssen sowohl die Berechnungen als auch die Simulationen
funktionstüchtig vorbereitet sein, sodass die Simulation präsentiert und verändert und der Rechengang erklärt
werden kann.
Vorgehensweise In den zu erarbeitenden Aufgaben sind Simulationen in MATLAB/SIMULINK und Berechnungen
in MAPLE zu erstellen. Die Berechnungen in MAPLE müssen ausreichend kommentiert und selbsterklärend
verfasst sein. Händische Berechnungen sind natürlich ebenfalls möglich, müssen jedoch für eine
digitale Abgabe in ein pdf - Format umgewandelt werden. Modelle und Regelungen in Simulationen sollten
in einer CS - Function in MATLAB/SIMULINK implementiert werden, für die Abtastzeiten sollten sinnvolle
Werte gewählt werden. In Simulationen dient als Bahn eine Polynombahn mit den Parametern: lokale Zeit t,
Verfahrweg∆σ, Anstiegszeit∆T und PeriodendauerT p . Diese Parameter sind, falls nicht explizit angegeben,
im eigenen Ermessen zu wählen. Die Bahn liefert als Ausgang den Bahnparameter und dessen Ableitungen:
σ, ˙σ,¨σ, ... σ und .... σ . Unter
http://www.robotik.jku.at/joomla16/index.php/education/begleitmaterial/robotik
findet sich diese beschriebene Bahn als Download. Während die Position mit einem Encoder mit 2000 Strichen/Umdrehung
bzw. 10’000 Strichen/m ermittelt wird, sollte die Geschwindigkeit ausschließlich durch Differenzierung
des Positionssignals gebildet werden. Damit erhält man eine möglichst gute Abbildung der Realität.
t
∆σ
∆T
T p
σ
˙σ
¨σ
...
σ
....
σ
Bild 0.1: Ein/Ausgänge Polynombahn
Aufgabensammlung Robotik SS2013 1

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 1
Für die Modellbildung des Systems aus Bild 1.1 mit den Freiheitsgradenq T = (q 1 q 2 ) werden die beiden Arme
der LängeL 1 ,L 2 als masselos angenommen und an den Enden der Arme jeweils eine Endmassem 1 sowiem 2
und Trägheiten 1 J S 1 = diag{A 1 , B 1 , C 1 }, 2 J S 2 = diag{A 2 , B 2 , C 2 } berücksichtigt. Die Einträge M 1 und M 2
bezeichnen hierbei die Motormomente in den Gelenken 1 und 2.
[ ]
M11 0
¨q+
0 M 22
} {{ }
M(q)
( )
g1
=
g 2
} {{ }
g(q,˙q)
(
M1
)
M 2
} {{ }
Q
M 11 = m 2 (cos(q 2 )) 2 L 2 2 +(cos(q 2 )) 2 A 2 +2m 2 L 1 cos(q 2 )L 2 +L 1 2 m 1 +m 2 L 1 2 +A 1 +B 2 −B 2 (cos(q 2 )) 2
M 22 = L 2 2 m 2 +C 2
g 1 = −2 ˙q 1 m 2 sin(q 2 ) ˙q 2 L 2 L 1 −2 ˙q 1 m 2 sin(q 2 ) ˙q 2 L 2 2 cos(q 2 )−2 cos(q 2 ) ˙q 1 A 2 sin(q 2 ) ˙q 2
+2 sin(q 2 ) ˙q 1 B 2 cos(q 2 ) ˙q 2 +L 1 m 1 cos(q 1 )g +L 1 m 2 cos(q 1 )g +m 2 cos(q 1 )cos(q 2 )gL 2
g 2 = sin(q 2 ) (˙q 2 1m 2 L 2 L 1 + ˙q 2 1m 2 L 2 2 cos(q 2 )+cos(q 2 ) ˙q 2 1A 2 − ˙q 2 1B 2 cos(q 2 )−m 2 sin(q 1 )gL 2
)
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 7
m 2 kg 3
L 1 m 0.9
L 2 m 0.8
A 1 = C 1 kg m 2 0.15
B 1 kg m 2 0.012
A 2 = C 2 kg m 2 0.1
B 2 kg m 2 0.01
Tabelle 1.1: Parameterwerte Beispiel 1
Aufgabensammlung Robotik SS2013 2

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Iz
y 0
E
g
K2z
Arm 2
K2y
m2
K1z
Arm 1
K1y
q 1
L1
m1
K2y
Iy
Arm 2
m2
Arm 1
m1
q 2
I
y= y
K1
K2x
L2
I
x= x
K1
Bild 1.1: Skizze Beispiel 1
Aufgabe 1.1 Berechnung: Stellen Sie das System Θ(q, ˙q,¨q)p = Q für die Parameteridentifikation auf. Welche
Parameter können identifiziert werden?
Aufgabe 1.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematikx E ,y E undz E des Endpunkts als Funktion
der beiden Freiheitsgradeq 1 und q 2 .
x E (t)=f 1 (q 1 (t),q 2 (t))
y E (t)=f 2 (q 1 (t),q 2 (t))
z E (t)=f 3 (q 1 (t),q 2 (t))
Aufgabe 1.3 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt q 1 = 0 ↦→ π und q 2 = 0 ↦→ π. Verwenden Sie in der Vorsteuerung einen Parametervektor
mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der Gelenks-
Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabe 1.4 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 1.5 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y f z ) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 1.6 Berechnung: Bahnoptimierungen
Aufgabensammlung Robotik SS2013 3

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
1. Parametrieren Sie die unter Aufgabe 1.3 definierte Bahn über einen Bahnparameterσ = 0..π. Transformieren
Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ +B(σ)z +C(σ) = u und plotten Sie
die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ,c 1 ,c 2 ) über den Bahnparameter σ.
2. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 100Nm
an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max = 1rad/s. Die maximale
Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen. Zeichnen Sie auch diese Geraden in die
Diagramme ein.
3. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 1.7 Berechnung: Betrachten Sie die Bewegung des Roboters in Kontakt mit einer vertikalen Ebene
(y 0 vom inertialen System entfernt). Berechnen Sie die Bindungsgleichungen φ(r) und φ(q), die Ableitungen
∂φ(r)
∂r
und ∂φ(q)
∂q , sowie den Normalenvektor n und die Normalkraft λ. (Es gilt r = r E = (x E , y E , z E ) T .)
Aufgabe 1.8 Berechnung: Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung des gesperrten Systems, für q 1 = 0 nach
Bild 1.2.
I
z= z
K1
K2z
K2y
m 2
Arm 2
Arm 1
q 2
q =0 1
m 1
K2x
I
y= y
K1
I
x= x
K1
Bild 1.2: Sperren des 1. Freiheitsgrades
Aufgabensammlung Robotik SS2013 4

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 2
Der angegebene Roboterarm in Bild 2.1, welcher sich nur in derx-y-Ebene bewegt, besitzt die zwei Freiheitsgrade
q T = ( q 1 (t) q 2 (t) )
q 1 (t)...Drehung um die Hochachse
q 2 (t) ...Länge des Auslegers (q 2 > 0),
wobei der Ausleger um den konstanten Abstandl 1 von der Drehachse angebracht ist. Die beiden Arme werden
als masselos betrachtet. Nur der zweite Arm besitzt eine Endmasse m 2 (z.B. Reinigungsgerät).
M 1
Iy
m 2
F 1
q 1
l 1
q 2
E
Ix
Iy
x0
Ix
Bild 2.1: Skizze Beispiel 2
Parameter Einheit Wert
m 2 kg 3
l 1 m 1
Tabelle 2.1: Parameterwerte Beispiel 2
[ ][ ] [ ] [ ]
m2 l1 2 +m 2 q2 2 l 1 m 2 ¨q1 2q2 m
+ 2˙q 1˙q 2 M1
l 1 m 2 m 2 ¨q 2 −˙q 2 =
} {{ }
1m 2 q 2 F 1
} {{ } } {{ }
M
g Q
Aufgabe 2.1 Berechnung: Stellen Sie das System Θ(q, ˙q,¨q)p = Q für die Parameteridentifikation auf. Welche
Parameter können identifiziert werden?
Aufgabe 2.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik x E und y E als Funktion der beiden Freiheitsgrade
q 1 undq 2 .
x E (t)=f 1 (q 1 (t),q 2 (t))
y E (t)=f 2 (q 1 (t),q 2 (t))
Aufgabensammlung Robotik SS2013 5

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 2.3 Berechnung: Berechnen Sie für die Inverskinematik q 1 und q 2 als Funktion der kartesischen
Koordinatenx E und y E .
q 1 (t)=g 1 (x E (t),y E (t))
q 2 (t)=g 2 (x E (t),y E (t))
Aufgabe 2.4 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt x = 0 ↦→ 0.5m und y = 1.1m. Verwenden Sie in der Vorsteuerung einen Parametervektor
mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der Gelenks-
Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabe 2.5 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 2.6 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 2.7 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Weltkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
x E = f(σ) und y E = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ,c 1 ,c 2 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 10Nm
bzw. u k,Max = 20N an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max =
1rad/s bzw. ˙q i,Max = 0.5m/s. Die maximale Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen.
Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 2.8 Berechnung: Betrachten Sie die Bewegung des Roboters in Kontakt mit der Ebenex 0 . Berechnen
Sie die Bindungsgleichungenφ(r) undφ(q), die Ableitungen ∂φ(r) und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektorn
∂r ∂q
und die Normalkraft λ. (Es gilt r = r E = (x E , y E , z E ) T .)
Aufgabensammlung Robotik SS2013 6

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 3
Das in Bild 3.1 dargestellte System besitzt drei Freiheitsgrade q = ( q 1 q 2 q 3
) T
. Die starre Führung ist
fix mit dem Inertialsystem verbunden. Auf dieser Führung kann sich der Körper 1 mit dem translatorischen
Freiheitsgradq 1 bewegen. Der Körper 2 (Schubmuffe) kann sich relativ zum Körper 1 mit dem translatorischen
Freiheitsgrad q 2 bewegen. Der Körper 3 ist über ein Drehgelenk (Freiheitsgrad q 3 ) an der Schubmuffe im
Abstand h befestigt. In den Muffen und im Drehgelenk sind jeweils Antriebe integriert, die die eingeprägten
Kräfte F 1 und F 2 bzw. das eingeprägte Moment M 3 erzeugen.
Iy
starre Führung
l 3
E
Körper 3
s 3 q 3
Körper 1
h
y 0
S 2
Körper 2
q 1
q 2
Ix
Körper 3
S 2
Körper 2
Bild 3.1: Skizze Beispiel 3
Aufgabensammlung Robotik SS2013 7

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 10
m 2 kg 7
m 3 kg 2
s 3 m 0.25
l 3 m 0.5
h m 0.1
C 3 kg m 2 0.15
Tabelle 3.1: Parameterwerte Beispiel 3
Dieses System wird durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben
⎡
⎤⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
m 1 +m 2 +m 3 0 m 3 s 3 cos(q 3 ) ¨q 1 −m 3 s 3 sin(q 3 ) ˙q 3
2 F 1
⎢ 0 m 2 +m 3 −m 3 s 3 sin(q 3 )
⎥⎜
¨q 2
⎟
⎣
⎦⎝
⎠ + ⎜ −m 3 s 3 cos(q 3 ) ˙q 2 3 ⎟ =
⎜ F 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
m 3 s 3 cos(q 3 ) −m 3 s 3 sin(q 3 ) C 3 +m 3 s 2 3 ¨q 3 0 M 3
} {{ } } {{ } } {{ }
M(q)
g(q,˙q)
Q
mit
⎡
Körper 1: m 1 , 1J 1 = ⎣
⎡
Körper 2: m 2 , 2J 2 = ⎣
⎡
Körper 3: m 3 , 3J 3 = ⎣
⎤
A 1 0 0
0 B 1 0 ⎦
0 0 C 1
⎤
A 2 0 0
0 B 2 0 ⎦
0 0 C 2
⎤
A 3 0 0
0 B 3 0 ⎦
0 0 C 3
Aufgabe 3.1 Berechnung: Schreiben Sie dieses System in der Form (Identifikationsgleichung)
Θ(q, ˙q,¨q)p = Q
an. Welche Systemparameter können identifiziert werden? Achten Sie dabei auf die linearen Abhängigkeiten.
Aufgabe 3.2 Berechnung: Der in Bild 3.1 dargestellte Roboter besitzt drei Freiheitsgrade. Der EndeffektorpunktE
kann in derx E −y E Ebene jede beliebige Position mit beliebiger Orientierungγ E erreichen. Berechnen
Sie die Vorwärtskinematik
x E (t) = f 1 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
y E (t) = f 2 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
γ E (t) = f 3 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t)),
sowie die Inverskinematik
q 1 (t) = g 1 (x E (t),y E (t),γ E (t))
q 2 (t) = g 2 (x E (t),y E (t),γ E (t))
q 3 (t) = g 3 (x E (t),y E (t),γ E (t)).
Aufgabe 3.3 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt x E = 0.7m, y E = 0 ↦→ 0.5m und γ E = 0 ↦→ 0.25. Verwenden Sie in der
Vorsteuerung einen Parametervektor mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der
Bestimmung der Gelenks- Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 8
.

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 3.4 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 3.5 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 3.6 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Weltkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
x E = f(σ),y E = f(σ) und γ E = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,c 1 ,c 2 ,c 3 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 5Nm
bzw. u k,Max = 70N an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max =
0.5rad/s bzw. ˙q i,Max = 1m/s. Die maximale Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen.
Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 3.7 Berechnung: Betrachten Sie die Bewegung des Roboters mit Kontakt wie in Bild 3.1 gezeigt.
Der Endpunkt E hat Kontakt mit der Ebene im Abstand y 0 . Berechnen Sie die Bindungsgleichungen φ(r)
und φ(q), die Ableitungen ∂φ(r) und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektor n und die Normalkraft λ. (Es gilt
∂r ∂q
r = r E = (x E , y E ) T .)
Aufgabensammlung Robotik SS2013 9

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 4
Das in Bild 4.1 dargestellte System wird durch folgende nichtlineare Bewegungsgleichung beschrieben:
[ ∣ ][ ] [
m1 s 2 1 +C 1 +m 2 (s 2 2 +q2)+C 2 2 ∣∣∣ m 2 s 2 ¨q1 2˙q1˙q
+ 2 q 2 m 2 +d 1˙q 1
m 2 s 2 m 2 ¨q 2 −˙q 1m 2 2 q 2 +k F (q 2 −x 0 )
]
=
[
M1
F
]
. (4.1)
Es handelt sich hierbei um ein System, welches einen rotatorischen Freiheitsgradq 1 und einen translatorischen
Freiheitsgradq 2 besitzt. Die beiden Körper besitzen die Massenm 1 undm 2 sowie die Trägheitstensoren i J i =
diag{A i ,B i ,C i } im jeweiligen körperfesten Koordinatensystem. Die Drehung des 1. Körpers ist durch einen
Dämpfer d 1 gedämpft, die Muffe (2. Körper) ist durch eine Feder mit der Steifigkeit k F vorgespannt. Die
entspannte Federlänge beträgt x 0 .
Iz
Iy
2
1y
Iy
2y
1
q 2
k
s F
1
F
s 2
l 2
q 1 E
M 1
d 1
Bild 4.1: Skizze Beispiel 4
Ix
1x= 2x
Ix
Aufgabensammlung Robotik SS2013 10

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 10
m 2 kg 5
s 1 m 0.5
s 2 m 0.4
C 1 kgm 2 1
C 2 kgm 2 0.5
l 2 m 1
k F
N
m
12.5
x 0 m 0.6
d 1 Nms 1
1
Ω
s
1
Tabelle 4.1: Parameterwerte Beispiel 4
Aufgabe 4.1 Berechnung: Stellen Sie das System Θ(q, ˙q,¨q)p = Q für die Parameteridentifikation auf. Welche
Parameter können identifiziert werden?
Aufgabe 4.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik x E und y E als Funktion der beiden Freiheitsgrade
q 1 undq 2 .
x E (t)=f 1 (q 1 (t),q 2 (t))
y E (t)=f 2 (q 1 (t),q 2 (t))
Aufgabe 4.3 Berechnung: Berechnen Sie für die Inverskinematik q 1 und q 2 als Funktion der kartesischen
Koordinatenx E und y E .
q 1 (t)=g 1 (x E (t),y E (t))
q 2 (t)=g 2 (x E (t),y E (t))
Aufgabe 4.4 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt x = 1.5m und y = 0 ↦→ 0.5m. Verwenden Sie in der Vorsteuerung einen Parametervektor
mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der Gelenks-
Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabe 4.5 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 4.6 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 4.7 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Weltkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
x E = f(σ) und y E = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ,c 1 ,c 2 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven−u k,Max ≤ a k (σ)z ′ +b k (σ)z+c k (σ) ≤ u k,Max mitu k,Max = 50Nm bzw.
u k,Max = 100N an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max =
1rad/s bzw. ˙q i,Max = 0.5m/s. Die maximale Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen.
Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabensammlung Robotik SS2013 11

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 4.8 Berechnung: Die Endmasse soll entlang einer der Ebene I y = 0m in Kontakt treten. Berechnen
Sie die Bindungsgleichungenφ(r) undφ(q), die Ableitungen ∂φ(r) und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektorn
∂r ∂q
und die Normalkraft λ. (Es gilt r = r E = (x E , y E , z E ) T .)
Aufgabe 4.9 Berechnung: Das System rotiert um die I z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω. Berechnen
Sie die quasi-statische Auslenkung q 20 für die stationäre Drehbewegung.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 12

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 5
Das in Bild 5.1 dargestellte System besitzt drei Freiheitsgrade q T = (q 1 q 2 q 3 ). Die starre Führung ist fix mit
dem Inertialsystem verbunden. Auf dieser Führung kann sich der Körper 1 mit dem translatorischen Freiheitsgrad
q 1 bewegen. Der Körper 2 dreht sich mit dem rotatorischen Freiheitsgrad q 2 und Körper 3 ist mit einem
Drehgelenk (Freiheitsgrad q 3 ) mit Körper 2 verbunden. In der Schubmuffe sind jeweils Antriebe in Form der
eingeprägten KraftF 1 bzw. der eingeprägten MomenteM 2 undM 3 integriert. Dieses System wird durch nachfolgende
Bewegungsgleichung beschrieben.
⎡
⎤
M =
⎢
⎣
m 1 +m 2 +m 3 m 2 cos(q 2 )s 2 +m 3 cos(q 2 )l 2 −m 3 cos(q 3 )s 3
m 2 cos(q 2 )s 2 +m 3 cos(q 2 )l 2 C 0 2 +m 3 l 2
2
−m 3 s 3 l 2 cos(q 2 +q 3 )
⎥
⎦
⎛
g = ⎝
−m 3 cos(q 3 )s 3 −m 3 s 3 l 2 cos(q 2 +q 3 ) C 0 3
−(m 2 s 2 +m 3 l 2 )sin(q 2 ) ˙q 2 2 +m 3 s 3 sin(q 3 ) ˙q 3 2 +(m 1 +m 2 +m 3 )g
+m 3 s 3 l 2˙q 3sin(q 2 2 +q 3 )+(m 2 s 2 +m 3 l 2 )gcos(q 2 )
m 3 s 3 l 2˙q 2sin(q 2 2 +q 3 )−m 3 s 3 gcos(q 3 )
⎡ ⎤
F 1
Q =
⎢ M 2
⎥
⎣ ⎦
M 3
⎞
⎠
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 10
m 2 kg 5
m 3 kg 2
l 1 m 0.1
l 2 m 1
l 3 m 1
s 1 m 0.1
s 2 m 0.5
s 3 m 0.5
C2 0 kgm 2 2
C3 0 kgm 2 1
Tabelle 5.1: Parameterwerte Beispiel 5
Aufgabensammlung Robotik SS2013 13

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
l 2
Körper 2
Körper 1
starre
Führung
S 2
q 2
l 1
l 3
q 3
S 3 Körper 3
q 1
γ
y
S 1
q 1
x
Iy
Körper 2
Körper 1
q 3
Körper 3
q 2
E
r
starre
Führung
y 0
Ix
x 0
Bild 5.1: Skizze Beispiel 5
Aufgabe 5.1 Berechnung: Schreiben Sie dieses System in der Form (Identifikationsgleichung)
θ(q, ˙q,¨q)p = Q
an. Welche Systemparameter können identifiziert werden?
Aufgabe 5.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik
x E (t) = f 1 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
y E (t) = f 2 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
γ E (t) = f 3 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t)).
Aufgabe 5.3 Berechnung: Berechnen Sie für die Inverskinematik
q 1 (t) = g 1 (x E (t),y E (t),γ E (t))
q 2 (t) = g 2 (x E (t),y E (t),γ E (t))
q 3 (t) = g 3 (x E (t),y E (t),γ E (t)).
Aufgabe 5.4 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt q 1 = 0 ↦→ 1.5, q 2 = 0 ↦→ 30 ◦ und q 3 = 30 ◦ ↦→ 0. Verwenden Sie in der
Vorsteuerung einen Parametervektor mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der
Bestimmung der Gelenks- Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabe 5.5 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe).Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 14

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 5.6 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 5.7 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Gelenkkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
q 1 ,q 2 ,q 3 = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,c 1 ,c 2 ,c 3 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven−u k,Max ≤ a k (σ)z ′ +b k (σ)z+c k (σ) ≤ u k,Max mitu k,Max = 10Nm bzw.
u k,Max = 200N an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max =
1rad/s bzw. ˙q i,Max = 0.5m/s. Die maximale Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen.
Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 5.8 Berechnung: Betrachten Sie die Bewegung des Roboters mit Kontakt in Bild 5.1 (unten). Der
EndpunktE hat Kontakt mit der Ebene im Abstandy 0 (45 ◦ Schraffur). Berechnen Sie die Bindungsgleichungen
φ(r) und φ(q), die Ableitungen ∂φ(r)
∂r
und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektornund die Normalkraft λ.
∂q
Aufgabe 5.9 Berechnung: Der Endeffektorpunkt soll nun Kontakt mit einer Ebene im Abstand x 0 haben (in
Bild 5.1 unten mit Kreuzschraffur). Berechnen Sie die Bindungsgleichung φ(r) und φ(q), die Ableitungen
∂φ(r)
∂r
und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektor n und die Normalkraft λ.
∂q
Aufgabe 5.10 Berechnung: Es wird nun im System aus Bild 5.1 der Freiheitsgrad 3 gesperrt q 3 = −q 2 . Weiters
wird nun zwischen Inertialsystem und Körper 1 eine lineare Feder mit Federkonstante k 1 und mit einer
ungedehnten Federlängeq 10 eingeführt. Darüber hinaus wird zwischen Körper 1 und Körper 2 eine Drehfeder
mit Federkonstante k 2 (ungedehnter Federwinkel q 20 ) und ein Drehdämpfer mit der Dämpfungskonstante d 2
angebracht. Geben Sie die Bewegungsgleichung für dieses System in der Form M(q)¨q + g(q, ˙q) = B(q)u
mitq T = (q 1 ,q 2 ) an.
s 1
l 1
q 2
S 2
q 1
S 1
k 1
d 2
k 2
s 2
l 2
Bild 5.2: Sperren von Freiheitsgraden
Aufgabensammlung Robotik SS2013 15

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Parameter Einheit Wert
k 1
N
m
20
k 2 Nm 10
d 2 Nms 0.05
q 10 m 0.5
q 20 m 1
Tabelle 5.2: Parameterwerte gesperrter Roboter Beispiel 5
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Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 6
Der angegebene SCARA-Roboter in Bild 6.1 besitzt die drei Freiheitsgrade q T = ( q 1 q 2 q 3
)
q 1 (t)...Drehung um die 1 z-Achse
q 2 (t)...Drehung um die 2 z-Achse
q 3 (t) ...Länge des Endeffektors.
Die Modellbildung des Roboters resultiert in der Bewegungsgleichung
⎡
⎤
M 11 M 12 0
M(q) = ⎣ M 12 s 2 2m 2 +l2m 2 3 +C 2 0 ⎦
0 0 m 3
M 11 = s 2 1m 1 +sin(q 2 ) 2 l 2 1m 2 +(cos(q 2 )l 1 +s 2 ) 2 m 2 +sin(q 2 ) 2 l 2 1m 3 +(cos(q 2 )l 1 +l 2 ) 2 m 3 +C 1 +C 2
M 12 = s 2 m 2 (cos(q 2 )l 1 +s 2 )+l 2 m 3 (cos(q 2 )l 1 +l 2 )+C 2
⎛
g(q, ˙q) = ⎝
−sin(q 2 )˙q 2 l 1 (2s 2 m 2˙q 1 +2l 2 m 3˙q 1 +m 2˙q 2 s 2 +m 3˙q 2 l 2 )
sin(q 2 )l 1˙q 1(s 2 2 m 2 +l 2 m 3 )
−m 3 g
⎛ ⎞
M 1
Q = ⎝ M 2
⎠.
F 3
⎞
⎠
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 2.77
m 2 kg 2.29
m 3 kg 0.48
l 1 m 0.35
l 2 m 0.35
l K m 0.4
s 1 m 0.175
s 2 m 0.175
s 3 m 0.25
C 1 kgm 2 0.000105
C 2 kgm 2 0.000134
h 1 m 0.05
h 2 m 0.05
Tabelle 6.1: Parameterwerte Beispiel 6
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Aufgabensammlung Robotik SS 2013
lK
l2
q2
K
h1
1x
2x
3z
h2
l1
Ix
q1
1x
s2
2x
3z
3y
2z
q3
s3
2y
Iz= 1z
3x
E
s1
Iy
1y
y0
Bild 6.1: Skizze Beispiel 6
Aufgabe 6.1 Berechnung: Schreiben Sie dieses System in der Form (Identifikationsgleichung)
θ(q, ˙q,¨q)p = Q
an. Welche Systemparameter können identifiziert werden?
Aufgabe 6.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik die Weltkoordinaten I x E , I y E , I z E als
Funktionen der drei Freiheitsgradeq 1 , q 2 , q 3 :
x E (t) = f 1 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
y E (t) = f 2 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
z E (t) = f 3 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t)).
Aufgabe 6.3 Berechnung: Berechnen Sie für die Inverskinematik die Minimalkoordinatenq 1 , q 2 , q 3 als Funktionen
der kartesischen Weltkoordinaten I x E , I y E , I z E :
q 1 (t) = g 1 (x E (t),y E (t),z E (t))
q 2 (t) = g 2 (x E (t),y E (t),z E (t))
q 3 (t) = g 3 (x E (t),y E (t),z E (t)).
Aufgabensammlung Robotik SS2013 18

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 6.4 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrtq 1 = 0 ↦→ 1.5,q 2 = 0 ↦→ 1 undq 3 = 0 ↦→ 0.5. Verwenden Sie in der Vorsteuerung
einen Parametervektor mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der
Gelenks- Positionen bzw. den Geschwindigkeiten.
Aufgabe 6.5 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 6.6 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 6.7 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Gelenkkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
q 1 ,q 2 ,q 3 = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,c 1 ,c 2 ,c 3 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 5Nm
an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max = 1rad/s. Die maximale
Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen. Zeichnen Sie auch diese Geraden in die
Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 6.8 Berechnung: Der Kontaktpunkt K soll nun Kontakt mit einer Ebene im Abstand y 0 haben (in
Bild 6.1). Berechnen Sie die Bindungsgleichungen φ(r) und φ(q), die Ableitungen ∂φ(r) und ∂φ(q)
∂r ∂q , sowie
den Normalenvektor n und die Normalkraft λ.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 19

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 7
Ein SCARA-Roboter mit 2 Freiheitsgraden, vgl. Bild 6.1 ohne den Freiheitsgrad q 3 (d.h. m 3 = 0), und mit
dem Übergang auf Absolutkoordinaten und identischen Längen beider Arme l = l 2 = l 3 , sei durch folgende
Bewegungsgleichung beschrieben
M(q)¨q+g(q, ˙q) = Bu
[ ]
C1 +m
M(q) = 1 s 2 1 +m 2 l 2 m 2 s 2 lcos(q 2 −q 1 )
m 2 s 2 lcos(q 2 −q 1 ) C 2 +m 2 s 2 2
( )
−˙q
2
g(q, ˙q) = 2 m 2 s 2 lsin(q 2 −q 1 )+(m 1 s 1 +m 2 l)gsin(q 1 )
+˙q 1m 2 2 s 2 lsin(q 2 −q 1 )+m 2 s 2 gsin(q 2 )
[ ] 1 0
B =
0 1
( )
M1
u = .
M 2
Aufgabe 7.1 Berechnung: Schreiben Sie obiges System in der Identifikationsgleichung der FormΘ(q, ˙q,¨q)p =
Q an. Welche Systemparameter können identifiziert werden?
Aufgabe 7.2 Berechnung: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik die Weltkoordinaten I x E , I y E als Funktionen
der zwei Freiheitsgrade q 1 , q 2 :
x E (t) = f 1 (q 1 (t),q 2 (t))
y E (t) = f 2 (q 1 (t),q 2 (t))
Aufgabe 7.3 Berechnung: Berechnen Sie für die Inverskinematik die Minimalkoordinaten q 1 , q 2 als Funktionen
der kartesischen Weltkoordinaten I x E , I y E :
q 1 (t) = g 1 (x E (t),y E (t))
q 2 (t) = g 2 (x E (t),y E (t))
Aufgabe 7.4 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD Regelung
für eine Bahnfahrt x = 0.4m ↦→ 0.6m und y = 0.35m. Verwenden Sie in der Vorsteuerung einen Parametervektor
mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der Gelenks-
Positionen bzw. den Geschwindigkeiten. (Als Parametersatz jene aus Tab. 6.1 verwenden.)
Aufgabe 7.5 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 7.6 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 7.7 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Parametrieren Sie die geforderte Bahn in Weltkoordinaten mit einem Bahnparameter σ = 0..1, d.h.:
x E ,y E = f(σ). Ermitteln Sie die Abhängigkeiten der Gelenkswinkel vonσ.
2. Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und
plotten Sie die einzelnen Einträge (a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ,c 1 ,c 2 ) über den Bahnparameter σ.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 20

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 55Nm
an 6 diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max = 1rad/s. Die maximale
Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2 betragen. Zeichnen Sie auch diese Geraden in die
Diagramme ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 7.8 Berechnung: Der Endeffektorpunkt soll am Kontaktpunkt K nun Kontakt mit einer Ebene im
Abstandy 0 haben (in Bild 6.1). Berechnen Sie die Bindungsgleichungenφ(r) undφ(q), die Ableitungen ∂φ(r)
∂r
und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektor n und die Normalkraftλ.
∂q
Aufgabensammlung Robotik SS2013 21

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 8
Der angegebene Roboterfinger besitzt 3 Freiheitsgrade q T = (q 1 q 2 q 3 ) und bewegt sich nur in der x-y Ebene.
Beachten sie den Nullpunkt der jeweiligen Relativwinkel. Der Schwerpunkt des Arms 1 befindet sich am
Ende des Armes, d.h. s 1 = l 1 , gleiches gilt für den zweiten Arm s 2 = l 2 . Die Trägheiten der Arme werden
vernachlässigt.
l 3
q 3
l 2
Iy
q 2
j
γ E
E(x E(x,y) E,
y E
)
l 1
x E
q 1
Ix
y E
Iy
q 3
q 2
E(x E(x,y) E,
y E
)
r E
y 0
q 1
Ix
1
y
E(x,y)
x
Bild 8.1: Skizze Beispiel 8
Aufgabensammlung Robotik SS2013 22

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
⎡
M(q) = ⎣
⎤
M 11 M 12 M 13
M 12 M 22 M 23
⎦
M 13 M 23 M 33
M 11 = l 2 1(m 1 +m 2 +m 3 )+l 2 2(m 2 +m 3 )+s 2 3m 3 +2l 2 l 1 cos(q 2 )(m 2 +m 3 )
+2s 3 m 3 (l 1 cos(q 3 +q 2 )+l 2 cos(q 3 ))
M 12 = l 2 m 2 cos(q 2 )l 1 +l 2 2m 2 +l 2 m 3 l 1 cos(q 2 )+l 2 2m 3 +2s 3 m 3 cos(q 3 )l 2 +s 3 m 3 l 1 cos(q 3 +q 2 )+s 2 3m 3
M 13 = s 3 m 3 l 1 cos(q 3 +q 2 )+s 3 m 3 cos(q 3 )l 2 +s 2 3m 3
M 22 = l 2 2m 2 +l 2 2m 3 +2s 3 m 3 cos(q 3 )l 2 +s 2 3m 3
M 23 = s 3 m 3 cos(q 3 )l 2 +s 2 3m 3
M 33 = s 2 3m 3
⎛
g(q, ˙q) = ⎝
⎞
g 1
g 2
⎠
g 3
g 1 = −m 3˙q 2 2l 2 l 1 sin(q 2 )−m 3 s 3 l 1 sin(q 3 +q 2 )(˙q 2 2 + ˙q 2 3)−m 3 sin(q 3 )˙q 2 3l 2 s 3 −m 2 sin(q 2 )˙q 2 2l 1 l 2
−2m 3˙q 2 s 3 l 1 sin(q 3 +q 2 )˙q 3 −2s 3 m 3˙q 1 (l 1 sin(q 3 +q 2 )˙q 3 +l 1 sin(q 3 +q 2 )˙q 2 +sin(q 3 )˙q 3 l 2 +sin(q 3 )˙q 3 l 2 )
−2m 2 l 2˙q 1 sin(q 2 )˙q 2 l 1 −2m 3˙q 1 l 1˙q 2 l 2 sin(q 2 )
g 2 = m 2 sin(q 2 )l 1˙q 2 1l 2 +m 3˙q 2 1l 1 l 2 sin(q 2 )+m 3˙q 2 1s 3 l 1 sin(q 3 +q 2 )−m 3 sin(q 3 )˙q 2 3l 2 s 3 −2s 3 m 3˙q 1 sin(q 3 )˙q 3 l 2
−2s 3 m 3˙q 2 sin(q 3 )˙q 3 l 2
g 3 = 2m 3˙q 1 s 3˙q2sin(q 3 )l 2 +m 3˙q 1s 2 3 l 1 sin(q 3 +q 2 )+m 3˙q 1s 2 3 sin(q 3 )l 2 +m 3˙q 2s 2 3 sin(q 3 )l 2
⎛ ⎞
M 1
Q = ⎝ M 2
⎠
M 3
Parameter Einheit Wert
m 1 kg 5
m 2 kg 5
m 3 kg 5
l 1 m 1
l 2 m 1
l 3 m 1
s 3 m 0.5
Tabelle 8.1: Parameterwerte Beispiel 8
Aufgabe 8.1 Berechnung 1: Schreiben Sie obiges System in der Identifikationsgleichung der FormΘ(q, ˙q,¨q)p =
Q an. Welche Systemparameter können identifiziert werden?
Aufgabe 8.2 Berechnung 2: Berechnen Sie für die Vorwärtskinematik γ E , x E , y E als Funktionen der drei
Freiheitsgradeq 1 , q 2 , q 3
γ E (t) = f 1 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
x E (t) = f 2 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t))
y E (t) = f 3 (q 1 (t),q 2 (t),q 3 (t)).
Aufgabe 8.3 Berechnung 3: Berechnen Sie die Inverskinematik (q 1 , q 2 und q 3 als Funktion der kartesischen
Koordinaten x E und y E ). Benützen Sie dabei Winkelwerte im Bereich 0

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
und 0

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 9
Ein Roboter laut Bild 9.1 soll Gegenstand der Betrachtung sein. Die Daten können dem Bild entnommen
werden.
3y
Iy, 1y
2y
Körper 3
2x
3z
S3
3x
2z
S2
Körper 2
Körper 1
1x
q1
1z
l
Iz
Ix
s3
Schnitt durch Koordinatensystem 1
q3
S3
Iy, 1y
l
s2
S2
q2
Körper 1
S1
s1
1x
h
Bild 9.1: Skizze Beispiel 9
Die Freiheitsgrade des Roboters lauten q T = ( )
q 1 q 2 q 3 . In der Bewegungsgleichung lautet die Massenmatrix
⎡
⎤
M 11 0 0
M = ⎣ 0 s 2 2m 2 +C 2 +m 3 l 2 +2cos(q 3 )lm 3 s 3 +s 2 3m 3 +C 3 cos(q 3 )lm 3 s 3 +m 3 s 2 3 +C 3
⎦
0 cos(q 3 )lm 3 s 3 +m 3 s 2 3 +C 3 s 2 3m 3 +C 3
mit
M 11 = B 1 +sin(q 2 ) 2 s 2 2m 2 +cos(q 2 ) 2 A 2 +sin(q 2 ) 2 B 2 +(−lsin(q 2 +q 3 )−sin(q 2 )s 3 ) 2 m 3 +cos(q 2 ) 2 A 3 +sin(q 2 ) 2 B 3 ,
der g-Vektor g(q, ˙q) = (g 1 ,g 2 ,g 3 ) T mit
g 1 = ˙q 1 (sin(q 2 )cos(q 2 )˙q 3 A 3 +l 2 sin(q 2 +q 3 )m 3 cos(q 2 +q 3 )˙q 2 +l 2 sin(q 2 +q 3 )m 3 cos(q 2 +q 3 )˙q 3 +
l 2 sin(q 2 + q 3 )sin(q 2 )m 3 sin(q 3 )˙q 2 − l 2 sin(q 2 + q 3 )cos(q 2 )m 3˙q 2 cos(q 3 ) − lsin(q 2 + q 3 )cos(q 2 )m 3˙q 3 s 3 +
sin(q 2 )s 3 m 3 lcos(q 2 + q 3 )˙q 2 + sin(q 2 )s 3 m 3 lcos(q 2 + q 3 )˙q 3 + s 3 m 3 sin(q 3 )l˙q 2 − s 3 m 3 sin(q 3 )l˙q 2 cos(q 2 ) 2 −
sin(q 2 )s 3 cos(q 2 )m 3˙q 2 cos(q 3 )l−sin(q 2 )s 2 3cos(q 2 )m 3˙q 3 −cos(q 2 )sin(q 2 )B 3˙q 3 )
g 2 = cos(q 2 )˙q 2 1m 2 sin(q 2 )s 2 2 +cos(q 3 )lcos(q 2 )˙q 2 1m 3 sin(q 2 )s 3 +cos(q 2 )˙q 2 1m 3 sin(q 2 )s 2 3 −
sin(q 3 )l 2 sin(q 2 )˙q 2 1m 3 sin(q 2 +q 3 )−sin(q 3 )lm 3˙q 2 3s 3 −2sin(q 3 )lm 3˙q 2˙q 3 s 3 +sin(q 2 )˙q 2 1cos(q 2 )B 2 −
sin(q 2 )˙q 2 1cos(q 2 )A 2 −sin(q 3 )l˙q 2 1m 3 s 3 +sin(q 3 )l˙q 2 1m 3 s 3 cos(q 2 ) 2 +cos(q 3 )l 2 cos(q 2 )˙q 2 1m 3 sin(q 2 +q 3 )+
s 3 cos(q 2 )˙q 2 1m 3 lsin(q 2 +q 3 )−sin(q 2 )˙q 2 1A 3 cos(q 2 )+cos(q 2 )˙q 2 1B 3 sin(q 2 )
Aufgabensammlung Robotik SS2013 25

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
g 3 = s 3 m 3 sin(q 3 )l˙q 2 2 +s 3 cos(q 2 )˙q 2 1m 3 lsin(q 2 +q 3 )+cos(q 2 )˙q 2 1m 3 sin(q 2 )s 2 3 −sin(q 2 )˙q 2 1A 3 cos(q 2 )+
cos(q 2 )˙q 2 1B 3 sin(q 2 )
und der Vektor der generalisierten Kräfte Q T = (M 1 , −M 2 , −M 3 ). Die Gravitation wird in der gesamten
Rechnung vernachlässigt!
Parameter Einheit Wert
m 2 kg 7
m 3 kg 3
l 1 m 1
l 2 m 1
s 1 m 0.2
s 2 m 0.5
s 3 m 0.5
A 2 kgm 2 0.001
B 2 = C 2 kgm 2 0.01
A 3 kgm 2 0.001
B 3 = C 3 kgm 2 0.01
Tabelle 9.1: Parameterwerte Beispiel 9
Aufgabe 9.1 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer Vorsteuerung und einer überlagerten PD
Regelung für eine Bahnfahrt q 1 = 0 ↦→ π/2, q 2 = 0 ↦→ π/2 und q 3 = 0 ↦→ −π/4. Verwenden Sie in
der Vorsteuerung einen Parametervektor mit einer Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der
Bestimmung der Gelenks- Positionen bzw. den Geschwindigkeiten. (Parameter aus Tab. 9.1)
Aufgabe 9.2 Simulation: Bauen Sie eine Bahnregelung nach dem COMPUTED TORQUE Verfahren auf und
vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Vorsteuerung und PD-Regelung (aus voriger Aufgabe). Verwenden Sie
auch hier den veränderten Parametervektor und Quantisierungsrauschen.
Aufgabe 9.3 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y f z ) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten der beiden Regelungskonzepte.
Aufgabe 9.4 Berechnung: Sperren und Identifikation des Roboters:
1. Der erste Freiheitsgrad des Roboters soll gesperrt werden (q 1 = 0). Konstruieren Sie hierzu die Funktionalmatrix
F = ∂q
∂q neu
für die neuen Koordinaten q neu = [q 2 q 3 ].
2. Schreiben Sie die Massenmatrix M neu , den Vektor g neu sowie Q neu für das gesperrte System an. Setzen
Sie C 0 2 = C 2 +m 2 s 2 2 und C 0 3 = C 3 +m 3 s 2 3 ein.
3. Identifikation: Konstruieren Sie für die Identifikationsgleichung Θ(q, ˙q,¨q)p = Q die entsprechenden
Matrizen Θ und p. Achten Sie bitte darauf, dass das System auch nach dem Einsetzen von Messwerten
gelöst werden kann.
Aufgabe 9.5 Berechnung: Inverskinematik und Parametrierung durch einen Bahnparameter:
1. Inverskinematik: Berechnen Sie die Inverskinematik ( q 2 q 3
) T
= f(I x, I y) für den Roboter im ebenen
Fall I z = 0. Die Höhe des Sockels soll vernachlässigt werdenh ! = 0
2. Nun soll eine geplante Bahn in Weltkoordinaten nachgefahren werden, und zwar so, dass
x = f(σ),y = f(σ),z = 0 für σ = 0..1 gilt. Wählen Sie beliebige Start- und Endpunkte der Bahn.
Ermitteln Sie q 2 undq 3 in Abhängigkeit vonσ.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 26

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 9.6 Berechnung: Gegeben ist folgendes System:
σ
q 2 = π/4+arccos(
l √ (2) )
q 3 = −arccos( σ2
l 2 −1)
1. Berechnen Sie die Einträge q ′ 2 und q ′ 3 für eine mögliche Begrenzung der maximalen Motordrehzahl.
Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse!
2. Berechnen Sie anschließend die Einträge q ′ 2 und q ′ 3 jeweils für 6 diskrete Werte von σ. Setzen Sie für die
Länge l = 1 ein.
3. Berechnen Sie weiters die Einträge q 2 und q 3 jeweils für diese 6 Werte von σ. Setzen Sie für die Länge
l = 1 ein.
Aufgabe 9.7 Berechnung: Die Bewegungsgleichung kann in Abhängigkeit des Wegparameters σ umgeschrieben
werden und man erhält nach dem Einsetzen der Parameter folgendes System:
C 0 2 = 1,C 0 3 = 1,m 3 = 1,m 2 = 1,s 2 = 0.5,s 3 = 0.5,l = 1
u 2 = ±1, u 3 = ±1,
⎡ σ ⎤ ⎡ ⎤
√
σ 2
σ2 (2−σ 2 )
⎢
⎣ σ(σ 2 ⎥
−3) ⎦¨σ + (σ 2 −2) √ σ 2 (2−σ 2 )
2 √ ⎢
⎣ σ 2 ⎥
σ 2 (2−σ 2 ) 2(σ 2 −2) √ ⎦ ˙σ2 =
σ 2 (2−σ 2 )
1. Bilden Sie die Bewegungsgleichung entsprechend der FormA(σ)z ′ +B(σ)z = Q. Schreiben Sie hierfür
die Einträge a 1 ,a 2 ,b 1 und b 2 an.
2. Die Stellgrößen beschränken zusätzlich zu den maximalen Motordrehzahlen die möglichen Bahnparameter.
Es gilt für die jeweiligen Achsen:
˙q min ≤ ˙q ≤ ˙q max
Aus dieser Bedingung kann eine Grenze für z ermittelt werden
[ ˙q
2
]
˙σ Grenz 2 i,max
= z G ≤ min
q ′ 2
.
i
Zur Bestimmung der Grenzkurve benötigen wir die Einträgea 1 ,a 2 ,b 1 undb 2 jeweils für die6Werte von
σ. (Berechnen Sie die numerischen Werte!)
3. Zeichnen Sie die Kurven für a 1 ,a 2 ,b 1 und b 2 zwischenσ = 0..1
4. Berechnen Sie das maximal erlaubtez G auf Grund der Geschwindigkeitsbegrenzung der Gelenke (˙q max,i =
1) an den 6 Stellen vonσ.
5. Konstruieren Sie den zulässigen Arbeitsbereich auf Grund der Beschränkungen der Stellgrößen und der
Gelenksgeschwindigkeiten für die 6 Punkte. Die maximale Bahnbeschleunigung soll a E,Max = 5m/s 2
betragen. Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme ein.
[
u2
u 3
]
6. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabensammlung Robotik SS2013 27

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Aufgabe 9.8 Berechnung: Am Ende der Bahnfahrt tritt nun der Roboter mit einer Umgebung in Kontakt (Bild
9.2). Entlang dieser Kurve soll der Roboter nun kraftgeregelt entlang fahren. Die Kurve ist eine Ellipse mit
den Längenaund b.
a
Iy
r k
F N
b
Ix
Bild 9.2: Kontakt des Roboters mit einer elliptischen Umgebung
1. Berechnen Sie den Endpunktvektor I r K .
2. Geben Sie die holonome Bindung φ(x,y,z) mit a = 2 undb = 1 und φ(q) in impliziter Form an.
3. Berechnen Sie die Ableitungen ∂φ(r)
∂r
und ∂φ(q) , sowie den Normalenvektor n und die Normalkraft λ.
∂q
Aufgabensammlung Robotik SS2013 28

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Beispiel 10
Gegeben ist das System nach Bild 10.1, welches ein elastisches Gelenk darstellt.
sA
L E
x
k F
g
m A
q M
q
m E A
y
Bild 10.1: Skizze Beispiel 10
Die Bewegungsgleichung ergibt sich in absoluten Koordinaten mit den Abkürzungen
• C 0 = C A +m A s 2 A +m EL 2 E ,
• mL = m A s A +m E L E ,
• ϕ = q A −q M
zu
[ ]( ) (
Cm i 2 G 0 ¨qM
+
0 C 0 ¨q A
−k F
(
qA −q M
)
+(dM + k2 mi 2 G
R A
)˙q M
k F
(
qA −q M
)
+mgL sin(qA )
)
=
M a¨q a +g(q a , ˙q a ) = Bu.
( iG k m
)
R A U A 0
(10.1)
In relativen Koordinaten lautet das System
[
Cm i 2 G +C ](
0 C 0
C 0
¨qM¨ϕ
C 0
) (
+
+mgL sin(q M +ϕ)+(d M + k2 mi 2 G
R A
)˙q M
mgL sin(q M +ϕ)+k F (ϕ)
)
=
( iG k m
)
R A U A 0
(10.2)
M r¨q r +g(q r , ˙q r ) = Bu.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 29

Aufgabensammlung Robotik SS 2013
Parameter
Wert
Getriebeübersetzung i G 70
Massem A 0.106 kg
LängeL E 0.395 m
Schwerpunktsabstand s A 0.208 m
Trägheitsparameter C A 1.2e−4 kgm 2
TrägheitsparameterC M 4.7e−7 kgm 2
Drehmomentenkonstante k m 7.67e−3 Nm/A
Ankerwiderstand Motor R A 2.6 Ω
Reibungsparameter d A 0.003 Nms
Reibungsparameter d M 0.006 Nms
Federkonstante k F 1.2262 N/m
Endmassem E 0.06 kg
Tabelle 10.1: Parameterwerte Beispiel 10
Aufgabe 10.1 Berechnung: Schreiben Sie obiges System mit den Relativkoordinaten (siehe Gl. 10.2) in der
Identifikationsgleichung der FormΘ(q, ˙q,¨q)p = Q an. Welche Systemparameter können identifiziert werden?
Aufgabe 10.2 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit einer starren Vorsteuerung (Vernachlässigung der
Elastizität) und einer überlagerten Motor - PD Regelung für eine Bahnfahrt q M = 0 ↦→ π/2.
Aufgabe 10.3 Simulation: Bauen Sie eine Simulation mit Zustandsregler. Verwenden Sie dafür das System mit
Relativkoordinaten (Gl. 10.2), transformieren Sie das System in den Zustandsraum und verwenden Sie für den
Entwurf der Rückführung k T einen LQR - Entwurf. Gehen Sie dabei davon aus, dass der gesamte Zustand
gemessen werden kann.
Aufgabe 10.4 Berechnung: Berechnen Sie die Bahnkorrektur für das gegeben Modell, verwenden Sie das
Modell mit den relativen Koordinaten q T = (q M ,ϕ) aus Gl. 10.2.
Aufgabe 10.5 Simulation: Erstellen Sie eine Simulation mit der Bahnkorrektur für eine Bahnfahrt y = q R =
0 ↦→ π/2. Verwenden Sie in der Vorsteuerung sowohl einen idealen als auch einen Parametervektor mit einer
Abweichung von 10% und Quantisierungsrauschen bei der Bestimmung der Gelenks- Positionen bzw. den
Geschwindigkeiten.
Aufgabe 10.6 Berechnung: Bahnoptimierungen
1. Sperren Sie den Motorfreiheitsgrad des Systems in Absolutkoordinaten.
2. Parametrieren Sie eine Bahn q A = 0 ↦→ π/2 über einen Bahnparameter σ. Transformieren Sie die
Bewegungsgleichung auf die Darstellung A(σ)z ′ + B(σ)z + C(σ) = u und plotten Sie die einzelnen
Einträge (a 1 ,b 1 ,c 1 ) über den Bahnparameter σ.
3. Zeichnen Sie die Grenzkurven −u k,Max ≤ a k (σ)z ′ + b k (σ)z + c k (σ) ≤ u k,Max mit u k,Max = 5V an 6
diskreten Werten für σ. Die maximalen Motorgeschwindigkeiten sind ˙q i,Max = 1rad/s. Die maximale
Bahnbeschleunigung solla E,Max = 5m/s 2 betragen. Zeichnen Sie auch diese Geraden in die Diagramme
ein.
4. In einem letzten Schritt zeichnen Sie noch die Geschwindigkeitsgrenzkurve (als Punkte) (z über σ).
Aufgabe 10.7 Simulation: Wenn zusätzlich die Messung ϕ vorliegt, kann diese Größe (mit einem geeigneten
Verstärkungsfaktor) rückgeführt werden. Muss das Vorzeichen positiv oder negativ für eine Schwingungsdämpfung
gewählt werden? Verifizieren Sie in der Simulation.
Aufgabe 10.8 Simulation: Bringen Sie eine impulsartige Störkraft am Endeffektor I F T E = (f xf y 0) ein. Vergleichen
Sie das Verhalten aller Regelungskonzepte.
Aufgabensammlung Robotik SS2013 30