TEIL ANALYSIS Friedrich Liese 10. Juli 2013 - Fachbereich ...

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1.1 Reelle Zahlen 1 Das Rechnen im Bereich der reellen Zahlen 1.1 Reelle Zahlen Bereits aus der Schule sind verschiedene Typen von Zahlen bekannt, die alle zu der umfassenden Menge der reellen Zahlen gehören. Wir starten mit der Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, ... . Diese Zahlen bezeichnen in der Regel Anzahlen. Das kann die Anzahl von Personen in einem bestimmten Raum, die Anzahl der Universitäten in Deutschland oder Ähnliches sein. Die Zahl 0 bezeichnet dann z.B. die Situation, dass sich keine Person in dem betreffenden Raum befindet. Die Menge {0, 1, 2, ...} ist die Menge der natürlichen Zahlen, die wir stets mit N bezeichnen. Nimmt man die negativen Zahlen −1, −2, ... hinzu, so erhält man alle ganzen Zahlen G = {..., −3, −2 − 1, 0, 1, 2, 3, ...}. Wir haben hierbei die geschweiften Klammern {....} als Symbol für eine Menge verwendet. Es handelt sich also hier und im Weiteren um die Menge der Elemente, die in der geschweiften Klammer aufgeführt sind. Die nächste größere Klasse sind die so genannten rationalen Zahlen, die man als Quotient von ganzen Zahlen erhält, wo der Nenner natürlich nicht Null sein darf. Will man z.B. 2 Pizzen gerecht zwischen drei Personen aufteilen, so erhält jede Person 2 3 einer Pizza. Wir können rationale Zahlen auch als Dezimalbruch schreiben. Es gilt z.B. 1 4 = 0, 25; 2 3 = 0, 6666.... , 117 −481 = −0, 243243243... Wir sehen also, dass rationale Zahlen stets darstellbar sind als abbrechende Dezimalzahlen oder als unendliche aber periodische Dezimalzahlen, wobei prinzipiell jede natürliche Zahl als Periode auftreten kann. Darüber hinaus gibt es auch reelle Zahlen, die nicht so darstellbar sind, also keine rationalen Zahlen sind. So ist z.B. √ 2 keine rationale Zahl. Weitere Beispiele sind die Kreiszahl π, deren Anfangsziffern gegeben sind durch 3, 1415927 und die Eulersche Zahl e, deren erste Ziffern lauten 2, 7182818. Solche nicht abbrechenden oder nicht periodischen Dezimalzahlen nennt man irrationale Zahlen. Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen. Eine anschauliche Vorstellung von den reellen Zahlen gewinnt man mittels der Zahlengeraden. Das ist eine horizontale Strecke, auf der der Nullpunkt fixiert ist und von dort eine Einheitsstrecke abgetragen ist, womit die Zahl 1 festgelegt ist. Alle anderen Zahlen sind dann auf dieser Geraden fixiert. Ganze Zahlen haben einen Abstand vom Nullpunkt, der ein ganzzahliges Vielfaches der Länge der Einheitsstrecke ist. Unterteilt man die Einheitsstrecke in q Strecken gleicher Länge, so hat jede dieser Strecken die Länge 1 q . Fügt man p dieser kleinen Strecken zusammen, so hat die neue Strecke die Länge p q . Rationale Zahlen entstehen also durch Zerlegen von großen Strecken in kleine gleichlange Strecken und durch Zusammenfügen dieser kleinen Strecken. Wir fassen unsere Betrachtungen zusammen. Reelle Zahlen sind Punkte auf der Zahlengeraden. Sie können ganzzahlig, rational oder irrational sein. Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen geschrieben werden, die entweder endlich viele oder unendlich viele Ziffern hat. Eine Zahl ist genau dann rational, wenn sie als Dezimalzahl mit endlich vielen Ziffern oder als periodische Dezimahlzahl geschrieben werden kann. Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen, die nicht periodisch auftreten. Wichtige Beispiele sind Wurzeln, die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e. 1.2 Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln Im Bereich R der reellen Zahlen sind die vier Grundrechenarten erklärt. Das sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division mit Ausnahme der Null. Beim Ausführen dieser Rechenoperationen treten bestimmte Gesetzmäßigkeiten auf, die zu beachten sind. Es gilt z.B. 3 + 4 = 4 + 3 4
1.2 Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln oder 3 · 4 = 4 · 3. Die linke Seite der ersten Gleichung besagt, dass man ausgehend von der Zahl 3 auf der Zahlengeraden vier Einheitsschritten nach rechts geht. Die rechte Seite besagt, dass man beginnend mit 4 drei Schritte nach rechts geht. Man gelangt immer zur Zahl 7. Um solche und ähnliche Aussagen allgemein, knapper und in übersichtlicher Form formulieren zu können, arbeitet man mit allgemeinen Zahlen (Buchstaben), die dann alle möglichen Werte annehmen können. Nur durch das Rechnen mit allgemeinen Zahlen gelangt man in der Mathematik zu allgemein gültigen Aussagen. Wir erinnern zunächst an die so genannten Kommutativgesetze oder Vertauschungsgesetze. Es gilt 3 + 7 = 7 + 3 = 10 und 3 · 7 = 7 · 3 = 21. Allgemein formuliert führen diese Aussagen zu den Kommutativgesetzen der Addition und der Multiplikation a + b = b + a, a, b ∈ R a · b = b · a, a, b ∈ R. Hierbei bedeutet a, b ∈ R, dass die entsprechende Aussage für alle reellen Zahlen a, b gelten soll. Die oben formulierten Kommutativgesetze gelten nicht nur für zwei Summanden oder Faktoren, sondern auch für eine größere Anzahl von Summanden und Faktoren. Beispiele: 1. x + y + a + 5 = 5 + x + y + a = a + y + 5 + x , weitere Gleichheiten könnte man hinzufügen. 2. Kommutativgesetze werden verwendet, um gleichnamige Glieder zusammenzufassen. Es gilt und 2 + x + a + 5 + 3x + 4a = 7 + 4x + 5a 6abx · 7 = 6 · 7 · abx = 42abx. Der Malpunkt · kann geschrieben oder weggelassen werden. Wenn man konkrete Zahlen am Ende hat wird er in der Regel geschrieben: 6ac · 7 bzw. man setzt eine Klammer (6ac)7. Auch bei gleichen Faktoren schreibt man den Malpunkt: a · x · x · a = a 2 · x 2 . Weitere Gesetze sind die Assoziativgesetze der Addition und der Multiplikation (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c ∈ R (ab)c = a(bc), a, b, c ∈ R. Das Assoziativgesetz der Addition besagt inhaltlich, dass es bei der Addition von drei reellen Zahlen gleichgültig ist, ob man zuerst die beide ersten Zahlen addiert und danach die dritte Zahl addiert oder zuerst die beiden letzten Zahlen addiert und danach die erste Zahl. Man kann also Klammern beliebig setzen und schreibt deshalb auch kürzer durch Weglassen der Klammern (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c, a, b, c ∈ R. Eine analoge Interpretation gilt für die Multiplikation und wir erhalten durch Weglassen der Klammern (ab)c = a(bc) = abc, a, b, c ∈ R. Die Operationen Addition und Multiplikation werden durch das Distributivgesetz miteinander verknüpft. Es lautet a(b + c) = ab + ac, a, b, c ∈ R. Das Distributivgesetz besagt, dass man einen Faktor vor einer Klammer auf beide Summanden anwenden muss. Das gilt entsprechend, wenn in der Klammer mehr als ein Summand steht. Beispiele: 1. a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae, a, b, c, d, e ∈ R. 5
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6.3 Berechnung unbestimmter und bes
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