Fachdidaktische Grundlagen - Didaktik der Mathematik ...

Jürgen Roth 

Fachdidaktische Grundlagen 

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Fachdidaktische Grundlagen 1

Jürgen Roth 

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Jürgen Roth 


1. Was ist / soll Mathematikdidaktik? 

2. Rahmenbedingungen des MU 

3. Warum Mathematikunterricht? 

4. Lernziele im Mathematikunterricht 

5. Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras 

6. Wie funktioniert Lernen? 

7. Didaktische Prinzipien 

8. Begriffe erarbeiten 

9. Sachverhalte erarbeiten 

10. Algorithmen erarbeiten 

11. Anwenden und Modellieren 

12. Problemlösen 

13. Unterrichtsplanung 

14. Computereinsatz am Beispiel DGS 

Inhalte 


Jürgen Roth 


1 Was ist / soll 

Mathematikdidaktik? 


Jürgen Roth 

„Lehre vom Lehren und Lernen“ 

aus lat. didactica < gr. didaktiké [téchne] 

gr. didaktikós „lehrhaft“ 

gr. didáskein „lehren“ 

Was ist Didaktik? 

Duden - Das Herkunftswörterbuch 

[die; griechisch] ursprünglich die "Kunst des Lehrens". 

Begriff allgemeine Didaktik wird unterschiedlich verwendet: 

als Unterrichtslehre, Wissenschaft vom Unterricht; 

als Bildungslehre, Theorie der Bildungsinhalte 

und des Lehrplans. 

wissen.de 


Jürgen Roth 

Was ist Didaktik? 

Führer: Pädagogik des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1997, S. 14 

Didaktik ist der Versuch, folgende Frage im Hinblick 

auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten: 

Wer 

soll was 

mit wem 

wie lange, 

wie intensiv 

und mit welcher Hilfe 

zu welchem Zweck 

und warum 

tun? 


Jürgen Roth 

Mathematik 

(Lern- & 

Entwicklungs-) 

Psychologie 

Soziologie 

Was ist Mathematikdidaktik? 

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2 

Mathematikdidaktik 

ist die 

Bezugswissenschaft 

für Mathematiklehrkräfte 

Pädagogik 

Gesellschaftswissenschaften 

allg. Didaktik 

Unterrichtspraxis 

Schulwirklichkeit 


Jürgen Roth 

präskriptiv 

Mathematikdidaktik ist … 

macht Aussagen darüber, welche Inhalte und Unterrichtsmethoden 

bzgl. anzustrebender inhalts- und verhaltensbezogener 

Qualifikationen möglichst effektiv sind 

konstruktiv 

entwickelt Curricula, Lehrverfahren, Lernmaterialien u.v.m. 

integrativ 


versucht sämtliche Dimensionen des Tätigkeitsfeldes von 

Mathematiklehrkräften in ein kohärentes System zu bringen 


Jürgen Roth 

Sag Freund, 

was ist denn 

Theorie? 

Und was 

ist Praxis? 

Theorie und Praxis 


Wenn‘s stimmen soll 

und stimmt doch nie! 

Frag nicht dumm! 

Wenn‘s stimmt und 

keiner weiß warum. 


Jürgen Roth 

Mathematikdidaktische 

Forschung 

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education. In: Notices of the AMS, 2000, p. 641-649 

„Research in mathematics education has 

two main purposes, one pure and one applied. 

Pure (Basic Science) 

To understand the nature of mathematical 

thinking, teaching, and learning; 

Applied (Engineering): 

To use such understandings to 

improve mathematics instruction.” 


Jürgen Roth 


2 Rahmenbedingungen des 

Mathematikunterrichts 


Jürgen Roth 

Alter der Schülerinnen und 

Schüler (S) und Lehrkräfte (L) 

Entwicklungsstand (S) 

Geschlecht (S) 

allgemeines Interesse (S/L) 

Einstellung zur Mathematik 

(S/L) 

Begabung / Intelligenz (S) 

Leistungsstand und 

Lernvoraussetzungen (S) 

Lerntempo (S) 

Mitarbeit (S) 

Anthropogene Bedingungen 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36 

Disziplin (S) 

fachliche und didaktische 

Kompetenz (L) 

Engagement für Schüler und 

Unterricht (L) 

Klassenatmosphäre 

Gruppierungen 

innerhalb der Klasse 

Arbeitsstil der Klasse 

… 

Heftführung, 

Gruppenarbeit, 

Hausaufgaben … 

Fachdidaktische Grundlagen 12 

anthropogen = durch den Menschen beeinflusst, verursacht (duden.de)

Jürgen Roth 

Schultyp 

Stadt- oder Landschule 

Größe der Schule 

Größe der Klasse 

Relation Jungen ↔ Mädchen 

soziale Herkunft (S), 

Berufe der Eltern 

häusliches Milieu, 

familiäre Situation 

Vorgeschichte der Klasse 

frühere L. 

ausgefallener Unterricht … 

Lehr- & Unterrichtspläne 

Soziokulturelle Bedingungen 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36 

innerschulische 

Organisationsform 

Jahrgangsübergreifende 

Klassen, Orientierungsstufe, 

LK, Förderkurs, … 

Besonderheiten personeller 

oder materieller Ausstattung 

Lehrbuch, Medien, 

Kopiergeräte, … 

räumliche Gegebenheiten 

Architektonische Gestaltung 

Gruppenräume … 

Sitzordnung 

zeitlicher Rahmen 

Stundenplan 


soziokulturell = die Gesellschaft und ihre Kultur betreffend; gesellschaftlich-kulturell (duden.de)

Jürgen Roth 

Merkmale guten Unterrichts 

(Meyer) 

Helmke, Schrader: Lehrerprofessionalität und Unterrichtsqualität - Den eigenen Unterricht reflektieren und beurteilen. 

In: Schulmagazin 5 bis 10, 2006, S. 5-12 

Leistungserwartung 

transparent 

Intelligentes 

Üben 

Vorbereitete 

Umgebung 

Individuelles 

Fördern 

Klare Strukturierung 

Methodenvielfalt 

Hoher Anteil 

echter 

Lernzeit 

SinnstiftendesKommunizieren 

Lernförderliches 

Klima 

Inhaltliche 

Klarheit 


Jürgen Roth 

Merkmale der 

Unterrichtsqualität (Helmke) 



Vielfältige 

Motivierung 

Konsolidieren,sichern, 

intelligent 

üben 

Passung: 

Umgang 

mit Heterogenität 

Aktives & 

selbstständigesLernen 

fördern 

Strukturiert, 

klar, verständlich 

Führung & 

Zeitnutzung 

effizient 

Sinnvolle 

Variation v. 

Methode & 

Sozialform 

SchülerorientierungUnterstützung 

Lernförderliches 

Klima 

an Ziel, 

Wirkung & 

Kompetenz 

orientiert 


Jürgen Roth 

Wie lernen Schüler erfolgreich? 

Angebots-Nutzungs-Modell nach Helmke 




Jürgen Roth 

Differenziert fördern 

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f 


Jürgen Roth 

Differenziert fördern 

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f 


Jürgen Roth 


3 Warum Mathematikunterricht? 


Jürgen Roth 

Aufgaben allgemeinbildender Schulen 

Lebensvorbereitung 

Stiftung kultureller Kohärenz 

Aufbau eines Weltbildes 

Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch 

Förderung von Phantasie und Kreativität 

Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft 

Stärkung des Schüler-Ichs 

Beitrag zur Allgemeinbildung 

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff 


Jürgen Roth 

Arithmetik 

sicheres Beherrschen 

der Grundrechenarten 

Umgang mit Größen 

(und Größenordnungen) 

Beherrschen der Dezimalbrüche 

Prozentrechnung / 

Zinsrechnung 

ein wenig Schlussrechnung / 

„Gefühl“ für Zahlen 

Einführung in den Gebrauch 

des Taschenrechners 

Lebensvorbereitung 


Geometrie 

elem. Formen- und Körperlehre 

visuellen Darstellung von 

Größen und -verhältnissen 

(Schaubilder, Diagramme) 

Elementare Stochastik 

Daten erfassen, darstellen und 

interpretieren 

Aussagen über Wahrscheinlichkeiten 

treffen und verstehen 

Umgang 

des Lehrers mit Schülern 

der Schüler untereinander 

mit der Mathematik 

(Frage der Methode!) 


Jürgen Roth 

Grundschule und Sekundarstufe I 

Stiftung kultureller Kohärenz 

Durchschnittliche Eltern müssen verstehen oder sich 

mit ihren Kindern darüber verständigen können, was 

diese im Fach Mathematik lernen. 

Negativbeispiel 


Überstürzte Einführung der “Neuen Mathematik“ 

(Stichwort: Mengenlehre) 


Jürgen Roth 

Umwelterschließung 

Mathematik als Strukturierungsmittel zum 

besseren und tieferen Verstehen der Umwelt. 

Anwendungsorientierung 

Mathematik als Mittel zum Problemlösen. 

Ausgang vom Problem 

Aufbau eines Weltbildes 


Prozess der Mathematisierung und Modellierung 

„Der zentrale Beitrag des Mathematikunterrichts zum Aufbau eines 

Weltbildes liegt in der Ermöglichung von Erfahrungen, wie 

Mathematik als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren 

Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer 

Phänomene herangezogen werden kann.“ 


Jürgen Roth 

„Verstehen lehren“ (Wagenschein) 

„sokratische Gespräche“ 

Reflexion 

„Sprechen über Mathematik“ 

Was wäre wenn … ? 

Anleitung zum kritischen 

Vernunftgebrauch 


Propädeutik des mathematischen Modellierens 

Verstehen des 

Verstehbaren ist ein 

Menschenrecht. 

Mathematik ist eine von Menschen gedanklich konstruierte 

„Wirklichkeit“, die trotzdem keinen willkürlichen Charakter hat, 

sondern von Notwendigkeiten geprägt ist und „Entdeckungen“ 

zulässt. 

Es gibt eine Übereinstimmung zwischen unserem mathematischen 

Denken und unseren Alltagserfahrungen. 

Nicht alles, was wichtig ist in der Welt, lässt sich mathematisch 

modellieren. 


Jürgen Roth 

Spielerischer Umgang mit Mathematik 

Konkretes Arbeiten mit Material 

„Be-greifen“ 

Problemlösen 

Phantasie und 

Kreativität fördern 


Beschäftigung mit Problemaufgaben 

(allein, mit Partner, in der Gruppe) 

„Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität, 

vergleichbar ihrer Rolle in künstlerisch-schöpferischen Prozessen, 

als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im 

Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.“ 


Jürgen Roth 

Verantwortung für andere 

gegenseitige Hilfe 

Beratung und Lösungskontrolle 

bei Partner- und Gruppenarbeit 

Übernahme von Funktionen eines Tutors 

beim binnendifferenzierten Unterricht 

Verantwortung für den eigenen Lernprozess 

Muss sich im Laufe eines 

Schullebens sukzessive steigern. 

Entfaltung von Verantwortung 



Jürgen Roth 

Stärkung des Schüler-Ichs 

Vertrauen in die Kraft des eigenen Denkens entwickeln 

Dies schließt die Fähigkeit zur Selbstkritik ein! 

Wichtig! 

Erst durch eine Ausbalancierung der genannten schulischen 

Aufgaben wird Allgemeinbildung möglich. 

Neben den genannten Aufgaben hat die Schule weitere 

Funktionen: 

Lebensraum, Testfeld für die Heranwachsenden 

„Aufbewahrende“ Funktion 

Funktion der „Auslese“ 



Jürgen Roth 

Grunderfahrungen (Winter) 

Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41 

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf 

Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen: 

Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder 

angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer 

spezifischen Art wahrnehmen und verstehen. 

Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in 

Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige 

Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art 

kennenlernen und begreifen. 

In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten 

erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische 

Fähigkeiten). 


Jürgen Roth 

Mathematik als … (Vollrath) 

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 10ff 

allgemeinbildendes Fach 

Entfaltung der Persönlichkeit 

Umwelterschließung 

Teilhabe an der Gesellschaft 

Vermittlung von Normen und 

Werten 

qualifizierendes Fach 

Berufsreife 

Hochschulreife 

authentisches Fach 

Was ist Mathematik? 

Wie entsteht Mathematik? 

Was kann man mit Mathematik 

anfangen? 


Jürgen Roth 


4 Lernziele im Mathematikunterricht 


Jürgen Roth 

Richtziele 

sollen ein Unterrichtsfach 

legitimieren und 

sollen richtungweisend für den 

Unterricht wirken. 

sind Ziele, die über die gesamte 

Schulzeit hinweg in einem Fach 

bzw. fachübergreifend erreicht 

werden sollen. 

findet man z. B. in Vorbemerkungen/Fachbeschreibungen 

der Lehrpläne. 

sind nicht an bestimmte mathematische 

Inhalte gebunden. 

Ermöglichen die Ableitung von 

von Inhalten des Mathematikunterrichts 

nicht vollständig. 

Richtziele 

Appell: Lernziele im Mathematikunterricht 

Bigalke. In: Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 47 

Richtziele für den MU (Bigalke): 

Förderung des wissenschaftlichen 

Denkens und Arbeitens 

Förderung des logischen 

Denkens 

Förderung der Bereitschaft und 

Fähigkeit zum Argumentieren, 

Kritisieren und Urteilen 

Förderung geistiger Initiative, 

Phantasie und Kreativität 

Förderung des 

Anschauungsvermögens 

Förderung des sprachlichen 

Ausdrucksvermögens 

Förderung der Fähigkeit, 

Mathematik anwenden zu 

können. 


Jürgen Roth 

Grob- und Feinziele des MU 

beziehen sich immer auf 

bestimmte Inhalte. 

Lerninhalte sind aber nicht 

dasselbe wie Lernziele. 

Man kann zwar z. B. davon 

ausgehen, dass mit der 

Behandlung des Lerninhalts 

„Systeme linearer Gleichungen 

mit zwei Variablen“ dass Ziel 

erreicht werden soll, dass die 

Schüler derartige Gleichungssysteme 

lösen können, aber 

dieses Ziel reicht nicht aus, um 

zu beschreiben, was der 

Unterricht zu diesem Thema 

bewirken soll. 

Grob- und Feinziele 


In den aktuellen Lehrplänen 

werden nur noch die Lerninhalte 

und Grobziele von Unterrichtssequenzen 

(mehrere – mindestens 

drei – zusammenhängende 

Unterrichtsstunden) genannt. 

Es ist also vorgegeben, was 

behandelt werden und worauf 

die Behandlung dieser Inhalte 

abzielen soll. 

Lehrkräften bleibt viel Entscheidungsspielraum 

hinsichtlich der 

Inhalten und Feinziele. 

Feinziele beschreiben möglichst 

genau, was die Schüler in 

einer Unterrichtseinheit (1-2 

Unterrichtsstunden) lernen 

sollen. 


Jürgen Roth 

Lernziele 

Unterrichtsfach 

Mathematik 

Inhalte des 

Mathematikunterrichts 

Lernzielhierarchie 

Lehrpläne 

Standards 

Richtziele 

Grobziele 

Feinziele 

Lehrerin 

Lehrer 


Jürgen Roth 

kognitive Lernziele 

affektive Lernziele 

psychomotorische Lernziele 

Taxonomie der Lernziele 

nach Bloom 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 66ff 

kognitiv (lat.) 

die Erkenntnis betreffend 

affektiv (lat.) 

das Gefühl betreffend 

psychomotorisch (lat.) 

vom Gehirn gesteuerte 

Bewegungen betreffend 

Taxonomie [griechisch táxis „(An)ordnung“ und nómos „Gesetz“] 


Jürgen Roth 

K 

O 

M 

P 

L 

E 

X 

I 

T 

Ä 

T 

Kognitive Lernziele (Bloom) 

Wissen 

Kenntnis von Fakten oder Verfahren 

Verstehen 

Informationen aufnehmen, übertragen, 

interpretieren und verallgemeinern 

Anwenden 

allgemeine Regeln und Verfahren 

in speziellen Situationen anwenden 

Analyse 

Informationen so in Teile zerlegen, dass 

Beziehungen und Strukturen deutlich werden 

Synthese 

Teile zu einem neuen Ganzen zusammensetzen 

Bewertung 

Materialien und Methoden beurteilen 


Jürgen Roth 

Typen von Lernzielen? 

Den Begriff „Variable“ erklären 

können. 

Wissen, dass … 

Begründen können, warum … 

ein System linearer 

Gleichungen mit zwei 

Variablen 

genau eine Lösung, 

keine Lösung oder 

unendlich viele 

Lösungen 

haben kann. 

Kognitive Lernziele am Beispiel 

linearer Gleichungssysteme 

Ein System linearer Gleichungen 

mit zwei Variablen mit Hilfe 

des Additionsverfahrens lösen 

können. 

Den Schnittpunkt zweier 

Geraden einer Ebene 

rechnerisch bestimmen können. 

Zu einer Bewegungsaufgabe 

ein entsprechendes System 

linearer Gleichungen angeben 

können. 

Zu einem gegebenen linearen 

Gleichungssystems ein 

günstiges Lösungsverfahren 

angeben können. 


Jürgen Roth 

Lösungen linearer 

Gleichungssysteme 

Die Lösungsmenge ist leer, wenn die Geraden parallel sind. 


Jürgen Roth 



Die Lösungsmenge ist ein geordnetes Paar (ein Punkt), 

wenn die Geraden sich schneiden. 


Jürgen Roth 



Die Lösungsmenge ist unendliche Menge von geordneten 

Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden 

identisch sind. 


Jürgen Roth 

Kriterien 

Operationalisieren 

von Lernzielen (Mager) 

Eindeutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens 

Angabe der Voraussetzungen und Bedingungen 

unter denen das Verhalten gezeigt werden muss 

Angabe eines Beurteilungsmaßstabes 

für die Güte des Endverhaltens 

(Insbesondere Angabe, eines noch akzeptablen Verhaltens.) 

Anliegen 

Lernerfolg objektiv überprüfbar machen 

Lernenden offen legen, was sie nach 

dem Unterricht können sollen 



Jürgen Roth 

Vorteile 

Wirkt dem Missverständnis 

von Lernenden entgegen, 

dass Inhalte mehr oder weniger 

auswendig gelernt werden 

sollen. 

Schüler lernen effektiver, 

wenn sie wissen, was sie 

lernen sollen. 

Der Lehrer kann besser 

zwischen leistungsstärkeren 

und leistungsschwächeren 

Schülern differenzieren. 

Gerade wichtige Lernziele 

sollten genau spezifiziert 

werden. 

Operationalisieren 

von Lernzielen (Mager) 

Nachteile 

Präzisierte (vorgegebene) 

Lernziele schränken die 

Lehrfreiheit des Unterrichtenden 

erheblich ein. 

Energisch zielbestimmter 

Unterricht nimmt den Lernenden 

die Mitbestimmungsmöglichkeit. 

Das leicht prüfbare ist oft auch 

das weniger wichtige Wissen 

und Können. 

Beobachtbares wird zu stark 

betont � Gefahr andere nicht 

beobachtbare Ziele aus den 

Augen zu verlieren. 


Jürgen Roth 


5 Beispiel – Satzgruppe 

des Pythagoras 


Jürgen Roth 

Satzgruppe des Pythagoras 

Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke. 

Zu ihr gehören folgende Sätze: 

Satz des Pythagoras 

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die 

Summe der Flächeninhalte der Quadrate 

über den Katheten gleich dem Flächen- 

inhalt des Quadrates über der Hypotenuse. 

a 2 + b 2 = c 2 

Satz des Pythagoras 

A 

b² 

b a 

c 

A B 


b 

q 

C 

D 

h 

C 

c 

c² 

p 

a 

a² 

B

Jürgen Roth 

Kathetensatz 

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein 

Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt 

wie das Rechteck aus der Hypotenuse und 

dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. 

Höhensatz 

a 2 = c � p und b 2 = c � q 

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das 

Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie 

das Rechteck aus den beiden Hypotenusen- 

abschnitten. 

h 2 = p � q 

Kathetensatz und Höhensatz 

c�q 

c�p 


b² 

h² 

C 

h 

a² 

D p 

A q 

B 

p�q

Jürgen Roth 

Satz � Kehrsatzproblematik! 

Satz des Pythagoras � Ägyptische Seilspanner 

Logische Abhängigkeit der Sätze: 

b² 

C 

Satz des Pythagoras � Kathetensatz 

Satz des Pythagoras � Höhensatz 

Kathetensatz � Höhensatz 

Höhensatz � Satz des Thales � Satz des Pythagoras 

Höhensatz � Satz des Thales � Kathetensatz 

a² 

b a 

c 

A B 

c² 

a² 

b² 

� � 

c�q 

c�p 

? 

C 

� � 

h² h 

D p � 

A q 

B 

Logische Struktur 

der Satzgruppe 

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/ 

p�q 


A 

C 

M 

B

Jürgen Roth 

Pythagoras � Kathetensatz bzw. Höhensatz 

Anwendung des Satzes des 

Pythagoras auf die Teildreiecke 

Arithmetische Umformungen 

Höhensatz � Satz des Pythagoras bzw. Kathetensatz 

Einzeichnen eines geeigneten 

Thaleskreises 

Anwendung des Höhensatzes 

auf ein geeignetes Teildreieck 

Kathetensatz � Höhensatz 

Mehrfache Anwendung des 

Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke 

Beweisideen 

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/ 


Jürgen Roth 

(1) Kongruenzbeweis 

(2) Abbildungsbeweis 

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit 

(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit 

(5) Arithmetischer Beweis 

(6) Ähnlichkeitsbeweis 

(7) Methoden der analytischen Geometrie 

Beweistypen bzw. 

Beweismethoden 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras 


Kongruenzbeweis 

Euklid: 

Die Elemente 

J 

Jürgen Roth 

H 

A L1 

B 

D 

C 

G 

L2 E 

F 

Beweismöglichkeiten 


http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras4.html 

( I ) AC BF A CBF A ABF = � 

( II ) CL1 BE � A = L A 

1 EB CEB 

(III) Zu zeigen : ABF @ CEB 

( I ), ( II ), ( III ) 

(1) |AB| = 

(2) |�FBA| = |�CBE| (90 � + b ) 

(3) |BF| = |BC| (Kathete a) 

SWS 

� 

� 

ABF @ CEB 

A ABF A CEB = 

� A = CBF A L1BE 2 � a = c � |L 1 B| 

Analog ergibt sich : 

2 = c � |AL | 

b 1 

|EB| 

(Hypotenuse c) 

( Kathetensatz 1. Teil) 

� a 2 + b 2 = c � |L 1B| + c � |AL 1| 

( Kathetensatz 2. Teil) 

= c � (|L 1B| + |AL 1|) = c � c = c 2 


#

Scheren=0 

Drehen=0 

Scheren=0 

Scheren=0 

Drehen=0 

1 

1 

1 

1 

1 

(2) Abbildungsbeweis 

Scheren=0 1 

A 0 6_Scheren=0 1 B 

A 0 6_Scheren=0 B 

1 

0 6_Scheren=0 1 

A B 

A B 

Jürgen Roth 


0 2_Drehen=0 1 


C 











C 



C 




C 



6_Scheren=0 0 6_Scheren=0 1 

A B 

A 0 6_Scheren=1 1 B 

A B 

0 1 








Scherung � Drehung � Scherung 





C 




C 

C

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit 

Jürgen Roth 



Stuhl der Braut 



(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit 

Jürgen Roth 

4 

c² 

Altindischer Ergänzungsbeweis 

3 

1 2 




4 

2 

a² 


1 

b² 

3

(5) Arithmetischer Beweis 

Jürgen Roth 



Ein Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn 

(evtl. anhand einer vorliegenden Figur) rein algebraische 

Umformungen durchgeführt werden. 

Kathetensatz � Satz des Pythagoras 

a 

� 

2 2 

= � = � 

a 

c � p 

2 + 

b 

2 

= 

= 

= 

b 

c � p + c � q 

c � c 

( ) 

c � p + q 

= 

c 

c 2 

# 

q 

b² 

c�q 

c�p 


a²

Jürgen Roth 



(5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.) 

a 

� 

c 

Fläche A Tr des Trapezes: 

1 2 

b 

( I ), ( II ) 

� ab 

2 ab 

+ 

+ 

1 

2 

c 

c 

2 

3 

2 

= 

= 

a 

2 

2 

c 

a 

1 ( ) 2 

a 

+ 

+ 

b 

2 ab 

+ 

b 

2 

b 

(I) 

(II) 

� 

� 

A 

A 

Trapez 

Trapez 

2 ab 

c 

2 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

+ 

a 

2 

A 

D 

1 

2 

ab + 

a 

1 

2 

c 

( ) 2 

a + b 

( a + b ) 


2 

1 

ab 

+ 

2 

+ 

= 

b 

+ 

b 

+ 

2 

1 

2 

c 

� 

A 

D 

1 

2 

2 

2 

ab 

( a + b ) 

# 

+ 

+ 

2 

A 

D 

1 

2 

3 

c 

2

(6) Ähnlichkeitsbeweis 

A 

b 

Jürgen Roth 

q 

C 

D 

h 

c 

p 

a 

B 

� 



D ABC ~ D ACD ~ D BCD (ww) 

h 

p 

b 

q 

a 

p 

q 

= 

h 

c 

= 

b 

c 

= 

a 

(7) Methoden der analytischen Geometrie 

� 

h 2 

= q � p 

� b = c � q 

2 

� a = c � p 

2 

Höhensatz 

Katheten- 

satz 


#

Jürgen Roth 

Eigentätigkeit 

Großteil der Schüler muss in 

der Lage sein, durch Eigentätigkeit, 

den Beweis oder die 

entscheidende Beweisidee 

selbst zu entdecken bzw. einen 

wesentlichen Beitrag dazu zu 

leisten 

Vielfalt 

Schüler sollen unterschiedliche 

Beweismethoden kennen lernen 

Auswahlkriterien für 

Beweismethoden 

Anschauen und Begreifen 

Beweis lässt sich gut 

visualisieren oder enaktiv 

erarbeiten. 

Verständnis fördern 

Beweis ist leicht durchschaubar 

Beweis erleichtert eine wichtige 

Erkenntnis 

Beispiel: 

Satzgruppe des 

Pythagoras: Aussagen 

über Flächeninhalte 

Sollte beim Beweis 

direkt erkennbar sein 


Jürgen Roth 

Ebene Geometrie 

Berechnungen 

Diagonale des Rechtecks 

Höhe & Flächeninhalt eines 

gleichseitigen Dreiecks 

Abstand zweier Punkte 

(im Koordinatensystem) 

Kreistangenten und Sehnen 

Reguläre n-Ecke 

Kosinussatz 

Konstruktionen 

Flächenverwandlung 

Strecken der Länge n 

Anwendungen 


Raumgeometrie 

Berechnungen 

Raumdiagonalen 

Längen im Raum 


Jürgen Roth 

Anwendungen 


Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat 

c 

Kathetensatz Höhensatz 

� 

q 

0 l = 3,1 10 

0 b = 5,4 10 

� 

� 

� � 

� 

b 

� 

l 

� 

� 

� 

� 

� 


Jürgen Roth 

Anwendungen 


Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat 

c 

Kathetensatz 

� 

q 

� 

� 

� � 

� 

Man geht von der 

Figur zum Katheten- 

satz aus. 

Kann man das Quadrat 

der Figur konstruieren, 

wenn man 

c�q c�p 

das Rechteck hat? � Konstruktion 

der entsprechenden Kathete. 

Welche Schritte sind notwendig? 

… 


b² 

a²

Jürgen Roth 


6 Wie funktioniert Lernen? 


Jürgen Roth 

Lernen … 

ist ein Prozess, der zu relativ stabilen Veränderungen 

im Verhalten oder Verhaltenspotential führt. 

baut auf Erfahrung auf. 

ist nicht direkt zu beobachten. 

Was ist Lernen? 

muss aus den Veränderungen des beobachtbaren Verhaltens 

erschlossen werden. 

Wissen 

Nach Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, 1995 6 

deklaratives Wissen 

(Wissen über Sachverhalte) 

prozedurales Wissen 

(Wissen über Fertigkeiten) 


Jürgen Roth 

Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus 

Hirn ist ein passiver Behälter 

Informationsverarbeitendes 

"Gerät" 

informationell 

geschlossenes 

System 

Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert 

Wissen ist 

eine korrekte Input- 

Output-Relation 

Lernziele richtige Antworten 

ein adäquater 

interner Verarbeitungsprozess 

richtige Methoden 

zur 

Antwortfindung 

mit einer Situation 

operieren zu können 

komplexe Situationen 

bewältigen 

Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion 

Strategie lehren 

beobachten 

und helfen 

Lernparadigmen 

kooperieren 

Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Trainer 

Feedback extern vorgegeben extern modelliert intern modelliert 


Jürgen Roth 

Behavioristische Lerntheorien 

Überblick über Lerntheorien 

Klassisches, emotionales, operantes Konditionieren 

(Pawlow, Watson, Skinner) 

Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike) 

Kognitivistische Lerntheorien 

Modelllernen (Bandura) 

Äquilibrationsmodell (Piaget) 

(+ Stufenmodell der kognitiven Entwicklung) 

Regellernen (Gagné) 

Sinnvolle-rezeptives Lernen (Ausubel) 

Entdeckendes Lernen (Bruner) 

Konstruktivistische Lerntheorien 

Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld) 

Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl) 


Jürgen Roth 

Experiment 

Modelllernen 

(Bandura) 

Kindern sehen in einen Film, wie eine Erwachsene u.a. 

mit einem Hammer auf eine Plastikpuppe einschlägt. 

Danach werden die Kinder einzeln in ein Zimmer 

geführt, in dem diese Puppe und der Hammer liegen. 

Die Kinder schlagen die Puppe mit dem Hammer. 

http://youtu.be/hHHdovKHDNU 


Jürgen Roth 

Definition 

Modell- oder Beobachtungslernen 

ist Beeinflussung von 

Verhaltensweisen durch 

Beobachtung eines Modells 

(Vorbilds), das real (z. B. als 

Person) oder symbolisch (z. B. 

als Text) gegeben sein kann. 

Anwendung 

bei komplexen 

Verhaltensweisen im Bereich 

des sprachlichen und sozialen 

Verhaltens 

Mögliche Effekte 

Aneignung neuer kognitiver 

Fähigkeiten & Verhaltensmuster 

Modelllernen 

(Bandura) 

Hemmung bzw. Enthemmung von 

gelernten Verhaltensweisen 

Abhängig von den am Modell 

beobachteten Konsequenzen 

Reaktionserleichterung/bahnung 

Verhalten des Modells dient als 

Auslöser für die Ausführung des 

gleichen Verhaltens. 

Veränderung des emotionalen 

Erregungsniveaus 

durch Beobachtung emotionaler 

Inhalte beim Modell 

Stimulusintensivierung 

Modell lenkt die Aufmerksamkeit des 

Beobachters auf spezifische Stimuli 

die vom Beobachter in Zukunft 

häufiger verwendet bzw. beachtet 

werden. 


Jürgen Roth 

Regelfall 

Modellverhalten wird weitgehend 

in der dargebotenen 

Art übernommen. 

Sonderfälle 

Modelllernen 

(Bandura) 

abstrakte Modellierung 

Übernahme von Regeln oder 

Prinzipien, die dem Modellverhalten 

zugrunde liegen 

Erkennen von Merkmalen 

einer Situation 

Abstraktion der 

Gemeinsamkeiten 

in Form von Regeln 

Anwendung der Regeln in 

neuen situativen Feldern 

Kreative Modellierung 

Einflüsse mehrerer Modelle 

werden zu neuen Kombinationen 

zusammengeführt. 


Jürgen Roth 

Prozesse beim Modelllernen 

Aneignung (Akquisition) 

Aufmerksamkeitsprozesse 

Gedächtnis- / 

Behaltensprozesse 

Ausführung (Performanz) 

motorische 

Reproduktionsprozesse 

Verstärkungs- / 

Motivationsprozesse 

Modelle im Unterricht 

Lehrer 

Mitschüler 

Eltern 

Modelllernen 

Modelllernen 

(Bandura) 

schnelle und effiziente 

Art der Übernahme von 

Verhaltensweisen 

insbesondere bei 

komplexen Verhaltensnormen 

Rolle im / für den MU 

Rationales Argumentieren 

Problemlösen 

Mathematisieren / Modellieren 

Einstellung zur Mathematik 


Bei der Assimilation wird die 

Information, die das Individuum 

aufnimmt, so verändert, dass sie 

sich in vorhandene kognitive 

Schemata einfügt. 

Jürgen Roth 

Äquilibrationsprinzip 

Kognitive Entwicklung 

durch Anpassung (Adaption) 

Äquilibrationsmodell 

(Piaget) 

Assimilation Akkomodation 

Bei der Akkomodation werden die 

Schemata verändert, um der Information 

angemessen zu sein oder um 

nicht im Widerspruch zu anderen 

Schemata bzw. der Gesamtstruktur 

zu stehen. 

Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen der wahrgenommenen Umwelt und 

den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten. 

Erfahrung eines „Ungleichgewichtes“ (fehlschlagende Assimilationsversuche, 

Widersprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive 

Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen. 


Jürgen Roth 

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre) 

Stufen der kognitiven 

Entwicklung (Piaget) 

Reiz und (motorische) Reaktion bilden eine Einheit 

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre) 

Zentrierung: Nur ein Merkmal kann gleichzeitig 

berücksichtigt werden. 

Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus der 

Sicht eines anderen vorzustellen. 

http://youtu.be/OinqFgsIbh0 


Jürgen Roth 

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre) 

Überwindung des Egozentrismus 

Dezentrierung: Verschiedene Aspekte eines Sachverhaltes 

können gleichzeitig berücksichtigt werden. 

Verständnis für Erhaltung bei Transformationen 

Masse 

Volumen 

Flächeninhalt 

Anzahl 




Jürgen Roth 


Reversiblität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte 

Handlungen können gedanklich umgekehrt werden. 

Schlussfolgernden Denken bei konkreten Problemen 

Fähigkeit zur Abstraktion fehlt 

Denken ist noch an konkrete Vorstellungen gebunden 

(unmittelbare Anschauung oder Erfahrungen) 

Denkhandlungen sind bereits „Operationen“, sind also 

kompositionsfähig (zusammensetzbar) und 

reversibel (umkehrbar) 




Jürgen Roth 

Wer ist der kleinste? 

� 




Hans ist größer als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. Wer ist der kleinste? 


Jürgen Roth 

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre) 



Denken wird abstrakter 

(nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden) 

Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven 

Schließen („Wenn … und … gilt, dann gilt …“) 

Variablenkontrolle: Bei der Kausalanalyse von Ereignissen können 

verschiedene Faktoren systematisch variiert werden. 

Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen 

Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales 

Schließen). Im Beispiel: Wenn a 

Reversibles Denken ist möglich. 

Inversion (Umkehrung einer Operation) 

Reziprozität (Kompensation einer Operation) 

15 Cent 1 Cent 


Jürgen Roth 


Entwicklung 

Bei einem Kartenspiel wurde jeder Karte auf einer Seite eine Zahl und 

auf der anderen Seite ein Buchstabe aufgedruckt. 

Es gilt folgende Regel: 

Wenn der Buchstabe auf einer Karte ein Vokal ist, dann ist 

die Zahl auf der anderen Seite der Karte eine gerade Zahl. 

Welche der folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu 

überprüfen ob die Regel eingehalten wurde? 

E K 4 

7 


Jürgen Roth 

Die kindliche Entwicklung verläuft 

etappenweise, d. h. in Stufen. 

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre) 

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre) 

Piagets empirische 

Hauptresultate 


Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre) 

sequentiell, d. h. alle Kinder durchlaufen die Stadien 

(Stufen) in gleicher Reihenfolge. 

Übergang von einem Stadium zum nächsten bedeutet 

weder das Aufgeben bereits erworbener Schemata, 

noch bloßes Hinzufügen weiterer Schemata, 

Reorganisation der verfügbaren Schemata bzgl. 

neuer effektiverer Organisationsformen. 

Wichtig: Es sind erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich! 


Jürgen Roth 

Regeln 

Aussagen jeder Form 

Begriffsketten 

Wissen 

Kombination von Begriffen 

Lernen einer Regel 

Erkennen der Beziehungen 

zwischen den Begriffen 

(Im Gegensatz zum Lernen 

einer verbalen Kette) 

Voraussetzung: 

Alle Begriffe bekannt 

Regellernen erfolgt meist 

durch verbale Unterweisung 

Lehrmethode 

Definition 

Beispiele 

Regellernen (Gagné) 

redundanter Sprachgebrauch 

Test 

Hierarchischer Aufbau 

Begriffsbildung 

Begriffe sind Bausteine 

des Wissens 

Wissenserwerb 

Regeln sind Begriffsketten 

Regelhierarchie (Gemeinsamkeiten/Unterschiede) 

Problemlösen 

Anwenden von Regeln 


Jürgen Roth 

Die vier 

Grundformen 

des Lernens 

nach Ausubel 

rezeptiv 

(fertig dargeboten) 

entdeckend 

(selbst erarbeitet) 

mechanisch 

(nicht inhaltlich) 

Dargebotene 

Informationen werden 

wortwörtlich gelernt 

und nicht mit 

Vorwissen assimiliert. 

Vom Lernenden 

entdeckter Sachverhalt 

wird wortwörtlich 

gelernt und nicht mit 

Vorwissen assimiliert. 

Sinnvoll-rezeptives Lernen 

(Ausubel) 

sinnvoll 

(inhaltlich, zufallsfrei) 

Dargebotene 

Informationen werden 

inhaltlich gelernt und 

mit Vorwissen 

assimiliert. 

Vom Lernenden 

entdeckter Sachverhalt 

wird inhaltlich gelernt 

und mit Vorwissen 

assimiliert. 


Jürgen Roth 

Sinnvolles Lernen 

inhaltlich (nicht wortwörtlich) 

zufallsfreie Angliederung an das 

Vorwissen (Assimilation) 

untergeordnet (progressive 

Wissensdifferenzierung) 

übergeordnet 

kombinatorisch 

Mechanisches Lernen 

Lernen verbaler Ketten 

Auswendiglernen 

Rezeptives Lernen 

Lernmaterial wird fertig 

dargeboten 


(Ausubel) 

Entdeckendes Lernen (EL) 

Lernmaterial muss vom 

Lernenden erarbeitet werden, 

wird nicht fertig vorgegeben 


inhaltliche Assimilation 

(Orientierung an Vorwissen, zunächst 

alltagssprachliche Formulierungen) 

aktiver Prozess 

advance organizer (!) 

postorganizer 

tritt in der kognitiven 

Entwicklung nach dem EL auf 

besser als EL für den Erwerb 

von Sachwissen und größere 

Stoffgebiete geeignet 

(ökonomischer) 


Jürgen Roth 

1. An vertraute Vorstellungen anschließen 

Alltagsbegriffe 

vertraute Grundbegriffe 

2. „Verständniskerne“ bilden & formulieren 

in Umgangssprache 

3. Unterrichtsinhalte vorstrukturieren 


(Ausubel) 

kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer) 

Vorbereitung eines „Verständniskerns“ 

4. Progressiv ausdifferenzieren 

„roten Faden“ bewusst halten 

5. Integrativ verbinden und abgrenzen 

6. Beachten der Vergessenstendenz 

anschauliche Zusammenfassungen (postorganizer) 

wiederholte Verständnisaufgaben 

Sinnvolles 

Lernen 

� Anknüpfen 

an die kognitive 

Struktur des 

Lernenden 


Jürgen Roth 

Entdeckendes Lernen 

(Bruner) 

„Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften ein 

fundiertes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können 

zu einem selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende der 

Schulzeit allein weiterkommen wird.“ Bruner 

Lernen ist aktive 

Informationsaufnahme 

Informationsverarbeitung 

Informationsspeicherung 

Intellektuelle 

Entwicklung 

Wissensrepräsentation 

• enaktiv (handelnd) 

• ikonisch (bildhaft) 

• symbolisch 

Prozesse des Lernvorgangs 

Wissenserwerb 

Wissenstransformation 

Bewertung von Wissen 

Lern- 

prozess 


Jürgen Roth 


eigenständige, induktive 

Organisation 

sprachliche Assimilation 

Ziele des Lernens 

Verständnis 

Problemlösefähigkeit erwerben 

intuitives, selbständiges, 

spontanes Denken 

Transferförderung 

spezieller Transfer 

allgemeiner Transfer 

general ideas 

induktive & deduktive 

Denkvorgänge 


(Bruner) 

Problemlösefähigkeit 

Problemlösestrategien 

Problemlösetechniken 

lernen wie man lernt 

Intuitives Denken 

rechtshemisphärisch 

spontan / sprunghaft 

nonverbal 

Intrinsische Motivation 

„Kompetenzmotivation“ 

Prinzip der minimale Hilfe 

kaum ergebnisorientierte Hilfe 

hauptsächlich motivations- und 

prozessorientierte Hilfe 


Rechte Gehirnhälfte 

Körpersprache- 

Bildersprache 

Intuition-Gefühl 

Kreativität- 

Spontaneität 

Sprunghaftigkeit 

Neugier-Spielen-Risiko 

Synthese-Überblick 

Kunst-Tanz-Musik 

Ganzheitlich 

Zusammenhänge 

Raumempfinden 

Rechte 

Gehirnhälfte 


(Bruner) 

Linke 

Gehirnhälfte 

Linke Gehirnhälfte 

Sprache – Lesen – 

Rechnen 

Ratio-Logik 

Regeln-Gesetze 

Konzentration auf 

einen Punkt 

Analyse-Detail 

Wissenschaft 

Schritt für Schritt 

Einzelheiten 

Zeitempfinden 

Linearität 

Die rechte Gehirnhälfte steuert die Intuition, Kreativität, 

Die linke Gehirnhälfte ist für alles zuständig, was im 

Symbole und Gefühle. Diese Gehirnhälfte wird durch 

allgemeinen Verständnis als Denken bezeichnet 

Metaphern aktiviert, durch die beim Zuhörer eigene, dazu 

wird. Sie denkt in Sprache, in Begriffen, sie denkt 

passende Bilder, Symbole, Melodien oder Gerüche 

entstehen können. Das Rohmaterial der Gedanken, die 

aufblitzenden Ideen, die Bilder, ja alle Sinneseindrücke 

werden rechts bearbeitet. 

logisch, analytisch. 

Jürgen Roth 


Jürgen Roth 


(Bruner) 


Jürgen Roth 

Steht in enger Verbindung zum kognitive Ansatz. 

Jedes Individuum konstruiert ein individuelles 

und subjektives Bild seiner Umwelt. 

Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht 

eine individuelle kognitive Landkarte der Welt. 

Diese Wirklichkeitskonstruktionen 

beeinflussen unwillkürlich 

was das Individuum sieht, 

wie es das Gesehene bewertet, 

welche Verhaltenspläne es entwickelt und 

wie es sich dann tatsächlich verhält. 

Es gibt demnach nicht eine für alle gültige Wirklichkeit, 

sondern viele subjektive und individuelle Wirklichkeiten. 

Konstruktivismus 


Jürgen Roth 

Wissen … 

wird nicht einfach rezeptiv übernommen, 

wird aktiv erworben, 

Aktive Wissenskonstruktion 

abhängig von Vorwissen, Motivation und Einstellung des Einzelnen 

ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse, 

Vgl. hierzu Dewey (amerikanischen Pragmatismus), 

oder Kerschensteiner (deutsche Reformpädagogik): 

Bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit 

sind zentrale Grundlagen allen Lernens. 

ist keine bloße Reflexion einer außerhalb des 

Menschen existierenden, objektiven „Realität“, 

ist ein durch Erkenntnisprozesse geschaffenes 

subjektives „Konstrukt“ des Individuums. 


Jürgen Roth 

Lernen ist kein … 

Lernen aus 

konstruktivistischer Sicht 

rezeptiver Vorgang, bei dem eine objektiv bestimmbare und 

begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des 

Lehrenden in den des Lernenden „transportiert“ wird. 

Lernen ist ein … 

aktiver, 

selbstgesteuerter, 

konstruktiver, 

emotionaler, 

sozialer und 

situativer Prozess 

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30 


Jürgen Roth 

aktiver Prozess 

Lernen ist nur durch aktive Beteiligung 

des Lernenden möglich. 

selbstgesteuerter Prozess 

Der Lernende selbst übernimmt 

die Steuerung und Kontrolle 

seines Lernprozesses. 

konstruktiver Prozess 

Neues Wissen kann nur 

erworben und genutzt werden, 

wenn es in vorhandene 

Wissensstrukturen eingebaut 

und auf der Basis 

individueller Erfahrungen 

interpretiert wird. 

Lernen ist ein … 


emotionaler Prozess 

Sowohl leistungsbezogene als 

auch soziale Emotionen 

beeinflussen das Lernen. 

Für die Lernmotivation ist die 

emotionale Komponente 

besonders wesentlich. 

sozialer Prozess 

Lernen ist fast immer ein 

interaktives Geschehen 

und wird durch soziale 

Komponenten beeinflusst. 

situativer Prozess 

Wissenserwerb erfolgt stets in 

einem spezifischen Kontext und 

ist mit diesem verbunden. 


Jürgen Roth 

Eine 

pragmatische 

Position zum 

Lehren und 

Lernen: 

Lernen aus 

konstruktivistischer Sicht 



Bücher 

Anderson: Kognitive Psychologie. Spektrum Verlag, Heidelberg Berlin, 2001 3 

Edelmann: Lernpsychologie. Beltz Verlag, Weinheim, 1994 4 

Krapp, Weidenmann: Pädagogische Psychologie. Beltz Verlags, Weinheim, 2001 4 

Stampe: Repetitorium Fachdidaktik Mathematik. Klinkhardt, Bad Heilbrunn / Obb., 1984 

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1981 6 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, 1998 9 

Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1995 6 

Internet-Seiten 

http://ddi.cs.uni-potsdam.de/Lehre/SPS/MaterialMicroteaching.htm#ged 

http://www.lern-psychologie.de 

http://www.stangl-taller.at/ARBEITSBLAETTER/LERNEN/ 

http://www.ship.edu/~cgboeree/piaget.html 

http://dsor.uni-paderborn.de/de/forschung/publikationen/blumstengel-diss/Lerntheorien.html 

http://www.medizin-lernplaner.de/Lerntechnik/lerntechnik_lerntheorie.html 

http://www.psychologie.uni-wuerzburg.de/i4pages/Download/Schneider_Psycho/11-08-00-I.pdf 

Jürgen Roth 

Literatur 


Jürgen Roth 


7 Didaktische Prinzipien 


Jürgen Roth 

Prinzipien 

Genetisches Prinzip 

Sokratisches Prinzip 

Exemplarisches Prinzip 

Operatives Prinzip 

Integrationsprinzip 

Prinzip des 

aktiven Lernens 

(gelenkten) Entdeckenden 

Lernens 

Didaktische Prinzipien 

(unvollständige Liste) 

Prinzip der 

Realitätsnähe oder Lebensnähe 

Beziehungshaltigkeit 

integrierten Wiederholung 

Isolation der Schwierigkeiten 

Selbsttätigkeit 

Variation 

adäquaten Visualisierung 

Variation der 

Veranschaulichungsmittel 


Jürgen Roth 

Wissensentwicklung 

Entwicklungsstufen 

Prinzipien des 

Lernens und Lehrens 

Wittmann: Standard Number Representations in the Teaching of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S.149-178 

Repräsentationsformen 

fundamentale 

Ideen 

grund- 

legende 

Repräsenta- 

tionen aus- 

wählen 

Zone der 

proximalen 

Entwicklung 

Spiralprinzip 

(inter-) 

aktives 

ganzheitliches 

Lernen orga- 

nisieren 

Operatives 

Prinzip 

inter- 

aktiver 

Zugang zu 

Repräsen- 

tationen 

schrittweise 

Schemati- 

sierung 

natürliche 

Differen- 

zierung 

Vorwissen 

& natürliche 

Neugier 

nutzen 


Jürgen Roth 

Piaget: 


Operationen sind verinnerlichte / gedachte Handlungen. 

Denken vollzieht sich in Operationen. 

Operationen sind flexibel und beweglich, also: 

umkehrbar oder reversibel (Reversibilität), 

zusammensetzbar oder kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit) 

assoziativ (Assoziativität), 

d. h. man kann auf verschiedenen 

Weisen zum Ziel kommen. 


Jürgen Roth 


Zech: Operative Prinzipien. In: Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinheim und Basel: Beltz Verlag, 1998, S. 114-124 

Bruner: 

Wissensrepräsentation 

• enaktiv (handelnd) 

• ikonisch (bildhaft) 

• symbolisch 

Prinzipien: 

• Stufengemäßheit 

(vgl. Piaget) 

• Aufbauprinzip 

• Verinnerlichung 

• Reflexion 

Piaget: 

Stufen der 

kognitiven 

Entwicklung 

Operatives 

Prinzip 

Prinzip des 

operativen 

Durch- 

arbeitens 

Aebli: 

Verinnerlichungsstufen 

• konkrete Stufe 

• figurale Stufe 

• symbolische Stufe 

Variation 

• Darstellungsebene 

• „Unwesentliches“ 

(Veranschaulichungs- 

mittel, mathematische 

Variablen, Kontext, …) 

• Ausgangssituation 

(Was passiert mit … , 

wenn … ? ) 

• Lösungsweg 

• gesuchte Größen 


Jürgen Roth 


Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. Mathematik lehren 11, 1985, S. 7-11 

Objekte erfassen bedeutet, 

zu erforschen, 

wie sie konstruiert sind 

wie sie sich verhalten, wenn 

auf sie Operationen ausgeübt 

werden. 

Im Erkenntnisprozess wird 

systematisch untersucht, 

welche Operationen ausführbar 

und wie sie verknüpft sind, 

welche Eigenschaften und 

Beziehungen den Objekten 

durch Konstruktion aufgeprägt 

sind, 

welche Wirkungen Operationen 

auf Eigenschaften und 

Beziehungen der Objekte 

haben. 


Jürgen Roth 

Spiralprinzip 

(an fundamentalen Ideen orientiert) 

Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S. 173-182 

Spiralprinzip 

Fundamentalen Ideen (Leitideen) 

werden im Unterricht in 

mehreren Durchgängen mit 

steigendem Niveau behandelt. 

Prinzip 

des vorwegnehmenden Lernens 

der Fortsetzbarkeit 

Fundamentale Ideen des MU 

Zahl 

Messen 

räumliches Strukturieren 

funktionaler Zusammenhang 

Daten und Zufall 

Algorithmus 

mathematisches Modellieren 


Jürgen Roth 

? ? ? 

? 

? ? 

? ? 

? 


Lehrprinzip der Mäeutik 

Hebammenkunst 

Ausgangspunkt 

Menon-Sokrates-Dialog 

Pädagogische Grundhaltung 

Nicht belehren, sondern beim 

eigenen Entdecken und Urteilen 

helfen. 


L. initiiert und steuert durch 

Fragen den Problemlöseprozess 

der S. 

L. hilft den S. sich Wissen selbst 

anzueignen und ein Verständnis 

zu entwickeln 


Sokrates A � A‘ = 2A 

Jürgen Roth 

a = 2 Fuß � a‘ = ? 

Sklave a‘ = 2a = 4 Fuß 

Sokrates a‘ = 2a � A‘ = ? 

Sklave A‘ = 2A 

Sokrates 4 Ausgangsquadrate 

Sklave A‘ = 4A 

Sokrates a‘ = a = 2 Fuß � A‘ = A < 2A 

Sklave a‘ = 3 Fuß 

a‘ = 2a = 4 Fuß � A‘ = 4A > 2A 

Sokrates a‘ = 3 Fuß � A‘ = ? 

Sklave A‘ = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A 

Sokrates Wie dann? 

Sklave ? 

Sokrates … 

Menon-Sokrates-Dialog 

Platon: Auszug aus dem „Menon – Sokrates – Dialog“ 

a 


A 

a

Jürgen Roth 

Trichtermuster � 

Lehrerin: … da ist kein bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30 

Tage und rechnet mit den 30 Tagen, und in a) ist ja die Wassermenge 

von einem Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für einen 

Monat? 

Schülerin: (schweigt) 

Lehrerin: Na, du weißt, ein Monat hat 30 Tage ... 

Schülerin: (bejahend) … Hm … 

Lehrerin: Und nun? 


Lehrerin: Eine Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel ein 

Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also ein Tag hat x Hektoliter, 

nich und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen? 


Lehrerin: Na, wie viel haben wir gesagt für einen Monat? 

Schülerin: 30 Tage. 

Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im Mathematikunterricht. 

In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S. 158 – 170 

Eine Heilquelle hat eine 

Ausschüttung von 200 hl pro 

Stunde. Welche Wassermenge 

liefert sie 

a) täglich, 

b) monatlich, 

c) jährlich? 

Lehrerin: Also x Hektoliter mal 30. Das wären die Hektoliter für einen Monat. 


Jürgen Roth 

Genetisches Prinzip 

Wagenschein: Verstehen lehren. Beltz Verlag, Weinheim und Basel, 1975 5 

Zentrales Anliegen 

Folge 

Mathematik nicht als 

Fertigprodukt lehren! 

S. sollen einen Einblick in 

den Prozess der Entstehung 

von Mathematik erhalten. 

(Genese = Entstehung, Entwicklung) 

Unterricht nach genetischem 

Prinzip ist problemlösender 

Unterricht 

Begriffe werden als Antworten 

auf Fragen mit bzw. von den S. 

entwickelt 


Jürgen Roth 

Erdumfangsbestimmung 

(Eratosthenes) 

http://www.grenzstein.de/era/eratosthenes.html 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/eratosthenes/eratosthenes_wagenschein_erdumfangsbestimmung.html 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/eratosthenes/eratosthenes_beleuchtung_mond_erde_durch_sonne.html 

Jedes Jahr am 21. Juni wirft der Obelisk auf dem 

Marktplatz in Assuan (damals Syene) in Oberägypten 

zur Mittagszeit keinen Schatten. Die Sonne steht also 

zu dieser Zeit genau senkrecht über diesem Obelisk. 

Zur gleichen Zeit wirft der Obelisk auf dem Marktplatz 

im 5000 Stadien (ca. 1000 km) nördlich von Assuan 

liegenden Alexandria einen deutlich erkennbaren 

Schatten. 

Eratosthenes hat den Winkel gemessen, den die Sonnenstrahlen mit dem 

Obelisken in Alexandria einschlossen. Der Winkel betrug 1/50 des Vollwinkels. 

Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen? 

Welches Ergebnis erhielt er? 

Umfang 

der Erde? 

Libyen 

Alexandria 

Ägypten 

Assuan 

(Syene) 


Jürgen Roth 

Grundlage 

Prinzip der 

Beziehungshaltigkeit 

Wissen wird im Gedächtnis als 

Netzwerk von Beziehungen 

gespeichert. 

Neues Wissen heißt eingliedern 

in und erweitern von bereits 

vorhandene(n) Begriffsnetze(n). 

Stichworte 

Ausgehen von den 

Vorerfahrungen der S. 

kumulatives Lernen 

Kompetenzentwicklung 

erfahrbar machen 

Prinzip der Lebensnähe 

fachübergreifendes Lernen 


Jürgen Roth 

Prinzip des produktiven Übens 

Produktives (sinnvolles) Üben 

ist keine isolierte Tätigkeit, 

ist mit Einsicht verbunden, 

findet regelmäßig statt, 

wird in die Erarbeitung 

neuer Inhalte integriert, 

geschieht in herausfordernden 

und anregenden Kontexten, 

orientiert sich an dem was wirklich 

gebraucht wird (→ Produkt). 

Gegensatz: Stereotypes Üben 

geht nicht auf Fehlerursachen ein, 

bietet keine konstruktive Hilfe, 

trägt zur Verfestigung von 

Denkfehlern bei. 


Jürgen Roth 

A 

c 

B 

Offene Aufgabe 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/knobelaufgaben/quader_kippen/index.html 

Ein Glasquader wird teilweise mit Wasser gefüllt, 

auf einen Tisch gestellt und um eine seiner 

Bodenkanten gekippt. 

Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim 

Kippen verschiedene geometrische Formen an, 

die sich auch in ihren Ausmaßen verändern. 

Versuchen Sie so viele unveränderliche 

Beziehungen wie möglich bezüglich dieser 

Formen und deren Ausmaßen zu finden. 

Notieren Sie Ihre 

Entdeckungen und 

versuchen Sie sie 

zu begründen. 

b 

C 

b·c = const. 


A 

D 

a 

M 

B 

N 

C 

b 

a + b = const.

Jürgen Roth 

Aufgabenvariation (Strategien) 

Schupp: Variatio delectat! Der Mathematikunterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S. 4-12 und 53 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/ueberlappende_quadrate/ueberlappende_quadrate.html 


Jürgen Roth 

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 227-246 


8 Begriffe erarbeiten 


Jürgen Roth 

Bausteine des Wissens 

charakterisieren Objektklassen 

verdichten Informationen 

Grundlage sprachlicher Kommunikation 

beeinflussen die Gedächtnisleistung 

beeinflussen das Problemlösen 

Begriffe 


Jürgen Roth 

Begriffe und Problemlösen 

Quelle von Problemstellungen 

Mittel zum Präzisieren von 

Problemstellungen 

Lösungshilfen für Probleme 

Lösungen von Problemen 

Mittel zur Sicherung von 

Problemlösungen 


Jürgen Roth 

Leitbegriff eines Themenstrangs 

Rolle von Begriffen 

z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrscheinlichkeit, Figur, … 

Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz 

z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, … 

Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit 

Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird. 

Arbeitsbegriff 

Benennung, um über Sachverhalte überhaupt 

ohne Umschreibung sprechen zu können. 

Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut. 


Jürgen Roth 

Intuitives Begriffsverständnis 

Begriff als Phänomen 

Beispiele kennen. 

Inhaltliches Begriffsverständnis 

Begriff als Träger von Eigenschaften 

Eigenschaften kennen 

Integriertes Begriffsverständnis 

Begriff als Teil eines Begriffsnetzes 

Beziehungen von Eigenschaften untereinander 

und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen 

Formales Begriffsverständnis 

Begriff als strukturierbares Objekt 

Stufen des 

Begriffsverständnisses 

Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S. 215-217 

Begriffe als Objekte die verknüpft werden können 


6 

1 

2 

3 

4 

5 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Größe 

Größe 

Seiten 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Größe 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

Größe 

Rechteck 

3 

4 

5 

6 

1 

2 

2 

3 

4 

5 

6 

Größe 

1 

Größe 

4 

5 

6 

1 

2 

3 

Größe

Jürgen Roth 

Lernen als Ersteigen von Stufen 

Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens 

führt zu Wissen höherer Qualität. � Höhere Stufe 

Lernen durch Erweiterung 

Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim 

Operieren mit den bisherigen Objekten stößt. 

� Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen. 

Modelle langfristigen 

Begriffslernens 


Jürgen Roth 

Verstehen eines Begriffs 

Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie 

Bezeichnung des Begriffs kennen, 

Beispiele angeben und jeweils begründen können, 

warum es sich um ein Beispiel handelt, 

Gegenbeispiele angeben und begründen können, 

weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt, 

charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen, 

Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen, 

mit dem Begriff arbeiten können 

(z. B. im Rahmen von Problemlösungen) 


Jürgen Roth 

Erfahrungen zum Begriff sammeln 

Handlungen (enaktive Repräsentation) 

Objekte darbieten 

Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation) 

Merkmale entdecken 

Prinzip der Variation 

Prinzip des Kontrasts 

Sprache (benennen, beschreiben) 

Erarbeiten eines Begriffs 

Definition erarbeiten 

Genetische Definition 

Charakterisierende Definition 

Oberbegriff angeben 

Definierende Eigenschaft � Bedingung notwendig & hinreichend 

Kritisch Reflektieren 

Definition durch möglichst „schwache“ Forderung 

Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache 


Jürgen Roth 

Einstieg 

An einem geeigneten Problemkontext werden 

ersten Vorstellungen vom Begriff entwickelt. 

Erarbeitung 

Umfang und Inhalt des Begriffs herausarbeiten 

Sicherung 

Ergebnisse festhalten 

mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen, 

ob der Begriff erfasst ist und etwa gegen 

andere Begriffe abgegrenzt werden kann 

(z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen) 

Vertiefung (Transfer) 

Querverbindungen zu anderen Begriffen herstellen 

Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten 

(z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften) 

Anwendungen, … 

Unterrichtsphasen 

(bei zentralen Begriffen) 

Verankerung 

in kognitiver 

Struktur 


Einstieg 

Wie viele Punkte können 

ein Kreis und eine Gerade 

gemeinsam haben? 

Erarbeitung 

Tangente, 1 Berührpunkt, 

Sekante, 2 Schnittpunkte, 

Passante, keine gem. Punkte. 

Sicherung: Tangente zeichnen! 

Vertiefung: 

Jürgen Roth 

Besitzt die Figur aus Kreis und 

Tangente eine Symmetrieachse? 

Ja! � Tangente steht senkrecht 

auf dem Berührpunktradius. 

Wie kann man die Tangente konstruieren? 

Beispiel: Tangente 

an einen Kreis 


k 

M 

B 

t

Jürgen Roth 

Vertiefung: 

M P 

Beispiel: Tangente 

an einen Kreis 

Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P? 

Skizziere Sie! 

Wie kann man die Tangenten konstruieren? 


Jürgen Roth 

Beispiel: 

Dreiecksgrundformen 

Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S. 21-25 

Grundverständnis der Begriffe 

gleichschenkliges Dreieck 

rechtwinkliges Dreieck 

spitzwinkliges Dreieck 

stumpfwinkliges Dreieck 

Ziel: Erarbeitung einer Verständnisgrundlage 

Begriffe als „bewegliche“ Strukturen aufbauen 

Begriffe flexibler verfügbar machen 

als mit statischen Prototypen 

A 


C 

B

Jürgen Roth 

Gleichschenklige Dreiecke 

1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, die 

a) gleichschenklig mit |AC| = |BC| sind, 

b) gleichschenklig mit |AC| = |AB| sind, 

c) gleichschenklig mit |BC| = |AB| sind. 

2) Angabe von Kurven 

(Begründung) 

3) Widerlegen bzw. vertrauens- 

bildende Maßnahme durch 

Binden von C an die Kurven. 

4) Beobachtung der Innenwinkel 

� Basiswinkelsatz 

5) Gleichseitige Dreiecke 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/ 

75° 

3,6 cm 

� b 


C 

� 

A B 

60° 

5 cm 

4,5 cm 

45°

Jürgen Roth 

Rechtwinklige Dreiecke 



Jürgen Roth 


„Merkbild“ 



Jürgen Roth 

Eckpunkt wandert auf einer 

Kurve 



Jürgen Roth 



9 Sachverhalte erarbeiten 


Jürgen Roth 

Eigenschaften 

mathematischer 

Objekte 

Regeln für 

den Umgang mit 

mathematischen 

Objekten 

Regeln 

Sachverhalte 

Gesetze 

Eigenschaften 

von Begriffen 

Begründbare Aussagen 

Sätze 

Sachverhalte?! 

Beziehungen 

zwischen 

Begriffen 


Jürgen Roth 

Entdecken von Sachverhalten 

Induktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegen 

Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“ 

Formulieren der Sachverhalte 

als mathematische Aussagen 

Begründen der Aussagen 

Logische Struktur (Voraussetzung, 

Behauptung) herausarbeiten 

Ziele des Begründens 

Wahrheit einer Aussage sichern 

Einsicht in den Sachverhalt vermitteln 

Verstehen der Sachverhalte 

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu 

(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen 

Didaktische Aufgaben 

2² = 4 > 2 

3² = 9 > 3 

4² = 16 > 4 

a² > a 

� a � R\[0;1] 

Fallunter- 

scheidung 

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 


y 

3 

2,5 

2 

1,5 

1 

0,5 

-0,5 

x

Jürgen Roth 

Erfahren von 

Handlungsspielräumen 

und Sachzwängen 

Probieren 

Verschiedene 

Begründungsweisen 

Messen � b � � + b + � 

31° 44,5° 115° 180,5° 

51° 92° 35° 179° 


Jürgen Roth 

Sonderfälle 

Beweis 

Verschiedene 

Begründungsweisen 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/winkelverschiebung/innenwinkelsumme_dreieck.html 

� 

� 1 � 2 

b 

�B �C bA 

bC 

90 ° + 90 ° = 

� 180 ° = 

C 

A B 

( � + � 1 ) + ( b + � 2 ) 

� + b + � 

�A 

�B Winkelverschiebung 


Einstieg: Die Seitenlänge a eines Quadrates wird um b vergrößert. 

Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates? 

Erarbeitung: 

Sicherung: heißt 

1. binomische Formel (Plusformel). 

Jürgen Roth 

( b ) 

a + 

( a + b ) 

2 

2 

= 

2 

( a + b ) = 

2 

a + 2ab 

Skizze einer Unterrichtseinheit 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/binomische_Formeln/binomische_Formeln.html 

+ b 

2 

= ( a + b ) · ( a + b ) 

2 

= a + ab + ab b 

2 

= a + 2ab + b 

2 

2 

a + 2ab + b 

2 

+ 2 

(x + y) 2 , (x + 3) 2 , (5 + z) 2 , (a + 2b) 2 , 

(x 2 + y 3 ) 2 , c 2 + 2cd + d 2 , … 

Vertiefung: Verwandle (a � b)² in eine Summe. 

Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? … 


b 

a 

ab 

a² 

a 

b² 

ab 

b 

Probleme: 

(a+b)² � = a²+b² 

(2xy+3vw)²

Jürgen Roth 



10 Algorithmen erarbeiten 

Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren 


Jürgen Roth 

Didaktische Aufgaben 

Verfahren Schrittfolgen, die abzuarbeiten sind. 

Ziele: Die Schülerinnen und Schüler 

Alle Schritte begründen. 

(U. a. Beitrag zur Lösung verdeutlichen.) 

Das verstandene (!) Verfahren 

durch Anwendung üben. 

eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens) 

(d. h. sie verstehen es und können es anwenden) 

können zwischen dem Ziel und dem Weg dahin unterscheiden 

(Ziel: „+2 auf die andere Seite bringen“; 

Weg: „Auf beiden Seiten 2 subtrahieren.“) 

denken über Alternativen nach und versuchen, 

den gefundenen Algorithmus zu verbessern, 

notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter 

als Algorithmus, der von Computern ausführbar ist. 


Jürgen Roth 

Benötigte Vorkenntnisse 

und Fähigkeiten 

Voraussetzungen für das Lernen eines Verfahrens: 

Beherrschung einer Regelhierarchie 

Zur Sicherstellung sind u. U. Wiederholungen nötig. 

Beispiel für eine 

Fähigkeitshierarchie: 

Schriftliche Addition 

mehrstelliger Zahlen. 

Einspluseins im Kopf 

Schriftliche Multiplikation 

mehrstelliger Zahlen 

miteinander 

Schriftliche Multiplikation 

mehrstelliger Zahlen mit 

einer einstelligen Zahl 

Kleines Einmaleins im Kopf 


Jürgen Roth 

Der größte gemeinsame Teiler 

(ggT) zweier Zahlen lässt sich 

über die Primfaktorzerlegung 

oder den Euklidischen 

Algorithmus bestimmen. 

72 21 1 1 

= 1 + = 1 + = 1 + 

51 51 51 9 

2 + 

21 21 

1 

1 

= 1 + = 1 + 

1 

1 

2 + 2 + 

21 

3 

2 + 

9 

9 

1 

1 

= 1 + = 1 + 

1 

1 

2 + 

2 + 

1 

1 

2 + 

2 + 

9 

3 

3 

Euklidischer Algorithmus (ggT) 

72 

ggT(72, 51) = ? 3 

51 


Jürgen Roth 

72 = 1 � 51 + 21 

51 = 2 � 21 + 9 

21 = 2 � 9 + 3 

9 = 3 � 3 + 0 

Euklidischer Algorithmus (ggT) 

72 

http://www.juergen-roth.de/excel/ 

51 


Jürgen Roth 

Heron-Verfahren 

(Wurzelberechnung) 

Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren: 

An die Straße grenzende Grundstückslänge 

(Frontmetermaßstab). 

Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen 

als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist. 

Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen. 

Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage 

Straßenreinigungsgebühren 

werden aus der Seitenlänge 

eines zum Grundstück 

flächeninhaltsgleichen 

Quadrats berechnet. 

Frage: Wie findet man die 

Seitenlänge dieses Quadrats? 

A 


B

Jürgen Roth 



http://www.juergen-roth.de/dynageo/heronverfahren/ 


Jürgen Roth 

Gesucht: A 

Anfangswert: a 0 

a 

b = 

n + 1 

= 

A 

n a n 

a 

n 

+ 

2 

b 

n 

b 

0 

= 

a 

A 

0 

= 

6 

b 

1 



= 

a 

A 

1 

a 

1 

a 0 = 

A = 24 

= 

= 

4 , 8 


a 

0 

4 

http://www.juergen-roth.de/excel/ 

+ b 

2 

0 

= 

5

Jürgen Roth 

Schwierigkeiten und 

Überraschungen 


Jürgen Roth 



11 Anwenden und Modellieren 


Jürgen Roth 

innermathematische 

Anwendung 

Ziel: Querverbindungen 

zwischen 

mathematischen 

Gebieten herstellen 

Mathematik anwenden 

1. Weg: 

Einstieg in neues 

Gebiet mit einem 

„praktischen“ 

Problem 

außermathematische 

Anwendung 

Ziel: „Nutzen“ 

der Mathematik 

verdeutlichen & 

motivieren 

Anwenden?! 

2. Weg: 

Anwendungsbeispiele 

nach 

Erarbeitung 

eines Gebietes 


Jürgen Roth 

Es geht nicht um 

„frisierte“, also 

mindestens bereinigte 

oder eingekleidete 

Sachaufgaben, 

sondern um die 

Auseinandersetzung 

mit realen Problemen. 

Die Schüler sollen 

das Modellieren an 

einfachen Beispielen 

selbst erfahren und 

darüber reflektieren 

können. 

Geistige Abenteuerlust 


Kann man die Flüssigkeit 

aus dem linken 

Standzylinder in den 

rechten Standzylinder 

schütten, ohne dass er 

überläuft? 

Jürgen Roth 

Beispiel: Standzylinder 

http://www.juergen-roth.de/dynageo/knobelaufgaben/umfuellproblem/index.html 


Jürgen Roth 

Idealisieren 

Strukturieren 

Vereinfachen 

Präzisieren 

reales 

Modell 

reale 

Situation 

Mathe- 

matisieren 

Anwenden 

Interpretieren 

Validieren 

Modellierungskreislauf 

mathem. 

Modell 

mathem. 

Resultate 

mathematische 

Überlegungen 


Jürgen Roth 

Beispiel: Luft-Nummer 

Viel heiße Luft bringt einen mit 

Sicherheit nach oben. Niemand weiß 

das besser als lan Ashpole. Der 43jährige 

stand in England auf der Spitze 

eines Heißluftballons. Die Luftnummer 

in 1500 Meter Höhe war noch der 

ungefährlichste Teil der Aktion. 

Kritischer war der Start: Nur durch ein 

Seil gesichert, musste sich Ashpole auf 

dem sich füllenden Ballon halten. Bei 

der Landung strömte dann die heiße 

Luft aus einem Ventil direkt neben 

seinen Beinen vorbei. Doch außer 

leichten Verbrennungen trug der 

Ballonfahrer keine Verletzungen davon. 

Wie viel Liter Luft sind wohl in 

diesem Heißluftballon? 


Jürgen Roth 


12 Problemlösen 


Jürgen Roth 

Kapitel 12: Problemlösen 

12.1 Was ist ein Problem? 

12.2 Problemlösen im Mathematikunterricht 

12.3 Heuristische Strategien und Hilfsmittel 

12.4 Wie sucht man die Lösung? 

12.5 Hilfen beim Problemlösen 

Inhaltsverzeichnis 


Jürgen Roth 

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen 

12.1 Was ist ein Problem? 


Jürgen Roth 

Zahlenzauber 

http://www.messe-ideen.de/online-spiel-magisches-zahlenraetsel.htm 


Jürgen Roth 

Zahlenzauber 


Jürgen Roth 

(Routine-)Aufgabe 

Was ist ein Problem? 

Anfangszustand Algorithmus 

Zielzustand 

Problem 

? 

Anfangszustand Zielzustand 


Jürgen Roth 

Subjektiv sehr verschieden 

Abhängig von Vorwissen 

Dieselbe Aufgabe kann für 

verschiedene Menschen 

einen Routineaufgabe oder 

ein Problem sein. 

Fehleinschätzungen bzgl. der 

Schwierigkeit einer Aufgabe 

beruhen in der Regel auf der 

falschen Einschätzung des 

Vorwissens. 

Aufgabe oder Problem? 


Jürgen Roth 

Anschaulichkeit bzw. 

Abstraktionsgrad 

Formalisierungs- bzw. 

Mathematisierungsgrad 

Bekanntheit 

Komplexität 

Anforderungsniveau 

von Problemen 


Jürgen Roth 


12.2 Problemlösen im 

Mathematikunterricht 


Jürgen Roth 

Mathematik im Entstehen 


problemorientiertes 

Lernen 

Jürgen Roth 

Problem finden 

• Probleme in Kontexten entdecken 

• Problemsituation erfassen und bewerten 

Problem lösen (Problemlösen im engeren Sinn) 

• Mathematische Kompetenzen in neuer Weise 

oder Kombination einsetzen 

• Vorhandene Kompetenzen / Begriffe werden 

dabei gefestigt und flexibilisiert 

Problem weiterentwickeln 

• Suche nach Problemlösungen führt auf neue 

mathem. Ideen oder weiterführende Probleme 

• Neue math. Begriffe und Verfahren entstehen 

Problemlösen 

(im weiteren Sinn) 

Nach Leuders (Hrsg.): Mathematik-Didaktik, Cornelsen Scriptor, 2003 

entdeckendes 

Lernen 


Jürgen Roth 

Warum Problemlösen im MU? 

Gelegenheit Mathematik individuell und aktiv zu konstruieren 

angemessenes Bild der Mathematik 

Kontexte die mathematischen Konstrukten Sinn geben 

Behalten, Motivation, nachhaltiges Lernen 

Schlüsselkompetenz für das lebenslange Lernen 

eigene Lösungsansätze und Strategien entwickeln 

mit uneindeutigen Informationen umgehen 

emotionale Erlebnisse 

Durchhaltevermögen, Aushalten von Widerständen 

Durchbrüche, Aha-Erlebnisse 

Transfer 

Umgang mit unbekannten Situationen 

Sammeln und strukturieren von Informationen 


Jürgen Roth 

führt auf allgemeine mathematische Ideen 

macht übergreifende Zusammenhänge verständlich 

neue Begriffsbildungen werden nötig und einsichtig 

Kriterien für ein 

„gutes“ Problem 

bietet Anlass zu divergentem Arbeiten & individuellem Erkunden 

erlaubt verschiedene Ansätze auf unterschiedlichen Niveaus 

bietet einen inner- oder außermathematischen Kontext 

für eine mathematisches Konzept 

ist leicht zugänglich und unmittelbar verständlich 

macht die Selbstentwicklung einer Strategie notwendig 

führt zur Nutzung und neuen Kombination 

von vorhandenen Kenntnissen 


Jürgen Roth 


12.3 Heuristische Strategien 

und Hilfsmittel 


Jürgen Roth 

Einfache Einstiegsprobleme 

Roth: Online-Spiele im Mathematikunterricht?! In: Mathematik lehren, Heft 146, Februar 2008, S. 68-69 

http://www.gamecraft.de/get_gruppe.php?gruppe=ma 


Jürgen Roth 

Vorwärtsarbeiten 

Was ist gegeben? 

Heuristische Strategien 

Was weiß ich über das Gegebene? 

Was kann ich daraus ermitteln? 

Rückwärtsarbeiten 

Was ist gesucht? 

Was weiß ich über das Gesuchte? 

Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln? 

Invarianzprinzip 

Was ändert sich nicht? 

Was haben alle Objekte gemeinsam? 

Kombination 

Zerlegungsprinzip 

Welche Teilfragen sind zu lösen? (Zerlegen) 

Abarbeiten der Teilprobleme 


Jürgen Roth 

Analogiebildung 

Heuristische Strategien 

Hast du schon einmal etwas Ähnliches gelöst? 

Lassen sich Lösungsschritte übernehmen? 

Suchraumeingrenzung 

In welchen Grenzen liegt das Ergebnis? 

Systematisches Probieren 

Ziel-Mittel-Analyse 

Welche (heuristischen) Hilfsmittel können 

auf dem Weg zum Ziel hilfreich sein 

Spezialisieren, Grenzfälle ausloten 

Konkretisieren 


Jürgen Roth 

Lernen von Heurismen 

Bruder: Lernen geeignete Fragen zu stellen – Heuristik im MU. In: Mathematik lehren 115, 2002, S. 4-8 

1. Implizite Gewöhnung an heuristische 

Vorgehensweisen und zugehörige 

typischen Fragestellungen. 

2. Zu lernende Strategie an Hand von 

Musteraufgaben explizit vorstellen. 

3. Übungsphase mit Aufgaben 

unterschiedlicher Schwierigkeit, 

in denen die neue Strategie 

bewusst angewandt werden soll. 

4. Anstreben einer unterbewussten 

flexiblen Strategieanwendung. 

� Reflexionsphase: Beschreibung 

mit heuristischer Fragetechnik. 


Jürgen Roth 


12.4 Wie sucht man die Lösung? 


Erstens 

Du musst die Aufgabe verstehen. 

Zweitens 

Suche den Zusammenhang zwischen 

den Daten und der Unbekannten. 

Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten, 

wenn ein unmittelbarer Zusammenhang 

nicht gefunden werden kann. 

Du musst schließlich einen Plan 

der Lösung erhalten. 

Drittens 

Führe deinen Plan aus. 

Viertens 

Prüfe die erhaltene Lösung. 

Jürgen Roth 

Wie sucht man die Lösung? 

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite 


Jürgen Roth 




Jürgen Roth 




Jürgen Roth 




Jürgen Roth 




Jürgen Roth 

Beispiel: Kreiskonstruktion 


Jürgen Roth 

Beispiel: Hubschrauber 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, Basel, 1998 4 , S. 319 

Zwei Orte A und B liegen 245 km voneinander entfernt. In Ort A 

startet ein Auto in Richtung Ort B und legt durchschnittlich in einer 

Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet in Ort B ein Auto in 

Richtung Ort A und legt in der Stunde durchschnittlich 80 km 

zurück. Während die beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig ein 

Hubschrauber in Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit einer 

Durchschnittsgeschwindigkeit von 240 km/h in Richtung Ort B. In 

dieser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er 

wendet ohne Zeitverlust und fliegt in Richtung Ort A, bis er auf das 

Auto, das in Ort A gestartet ist, trifft. Auf diese Weise fliegt der 

Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos hin und her, bis 

die Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt der 

Hubschrauber währenddessen zurück? 


Jürgen Roth 

2 

2 


240 km/h 

60 km/h 80 km/h 

245 km = 

245 km 

1,75 h 

km 

km h 

140 h 

� 

240 1,75 h = 420 km 


Jürgen Roth 



Jürgen Roth 



Jürgen Roth 



Jürgen Roth 



Jürgen Roth 



Jürgen Roth 



Jürgen Roth 


12.5 Hilfen beim Problemlösen 


So wenig wie möglich aber so viel wie nötig. 

Jürgen Roth 

Motivationshilfen 

Rückmeldungshilfen 

Allgemeinstrategische Hilfen 

Inhaltsorientierte strategische Hilfen 

Inhaltliche Hilfen 

Hilfen beim Problemlösen 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998 9 , S. 315 


Motivationshilfen 

Die Aufgabe ist 

nicht schwer. 

Du kannst das 

schaffen. 

Man braucht 

nicht viel Zeit zur 

Lösung. 

Man findet 

schnell 

Lösungsideen. 

Jürgen Roth 

Rückmeldungshilfen 

Du bist auf 

einem richtigen 

Weg. 

Du stehst kurz 

vor der Lösung. 

Da musst du 

noch einmal 

nachrechnen 

Mach weiter so. 

Allgemeinstrategische 

Hilfen 

Lies die Aufgabe 

genau durch. 

Notiere 

gegebene Daten. 

Erstelle eine 

Skizze. 

Überprüfe deinen 

Lösungsweg. 

Hilfen beim Problemlösen 

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998 9 , S. 319 

Inhaltsorientierte 

strategische 

Hilfen 

Versuche deine 

Kenntnisse zu … 

anzuwenden. 

Versuche 

graphisch zu 

lösen. 

Überprüfe die 

Größenordnung 

der Ergebnisse. 

Überprüfe die 

Ergebnisse am 

Text. 

Inhaltliche 

Hilfen 

Zeichne folgende 

Hilfslinie ein. 

Denk an den 

Zusammenhang 

… 

Versuche aus 

den gegebenen 

Größen … die 

fehlende zu 

berechnen. 

Jetzt weißt 

du …, also …! 


Jürgen Roth 


Barzel, Holzäpfel: Leitfragen zur Unterrichtsplanung. In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 4-9 

Jaschke: Von der klassischen zur didaktischen Sachanalyse. In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 10-13 

Bostelmann: Unterricht als Lernprozess planen – Was macht ein Pantograph? In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 50-52 


13 Unterrichtsplanung 


5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

Jürgen Roth 

Lehrplanüberblick Mathematik 

Zahlen Funktionen Geometrie Stochastik 

• natürliche und ganze Zahlen 

• Grundrechenarten 

• Größen i. Alltag / Sachaufg. 

• Bruch- und Dezimalzahlen 

• Grundrechenarten 

• Prozentrechnung (Grundl.) 

• Terme berechnen/umform. 

• lineare Gleichungen 

• Prozentrechnung vertiefen 

• lineare Ungleichungen 

• lin. Gleichungssysteme 

• Potenzen mit neg. Expo. 

• Bruchterme & –gleichungen 

• Quadratwurzeln, irrationale 

Zahlen 

• quadratische Gleichungen 

• Potenzen (rat. Exponenten) 

• Kreiszahl � 

• Exponentialgleichungen und 

Logarithmen 

• Funktionspropädeutik: 

Diagramme 

• Funktionspropädeutik: 

Diagramme, Schlussrechnung 

(Dreisatz) 

• Funktionspropädeutik: Terme & 

Gleichungen aufstellen; Interpretieren/Veranschaulichen 

von und 

Argumentieren mit Termen 

• Einführung i. d. Funktionenlehre 

• lineare Funktionen und Anwend. 

• elementare gebrochenrationale 

Funktionen 

• quadratische Funktionen und 

Anwendungen 

• exponentielles Wachstum 

• ganzrationale Funktionen 

• trigonometrische Funktionen 

• Vertiefen der Funktionenlehre 

• Euler'sche Zahl e • gebrochenrationale Funktionen 

• natürliche Exponential- & 

Logarithmusfunktion 

• Wurzel-, Umkehrfunktion 

• Differential- & Integralrechnung 

• geometrische Grundbegriffe, 

Grundfiguren und Grundkörper 

• Flächenmessung (Rechteck) 

• Flächenmessung (Dreieck, 

Parallelogramm, Trapez) 

• Körpernetze & Schrägbilder 

• Volumenmessung (Quader) 

• Achsen- und Punktsymmetrie 

• Winkelbetrachtungen an 

Figuren 

• Dreieck als Grundfigur 

• Zählprinzip und 

Baumdiagramm 

• relative Häufigkeit 

• Auswerten von Daten 

statistischer Erhebungen und 

ihre Darstellung 

• Strahlensatz und Ähnlichkeit • intuitiver 

Wahrscheinlichkeitsbegriff 

(Laplace-Experiment) 

• Satzgruppe des Pythagoras 

• Trigonometrie rechtw. Dreieck 

• Prisma, Pyramide, Zylinder, 

Kegel 

• Kreis, Kugel 

• Trigonometrie im allg. Dreieck 

• Koordinatengeometrie im 

Raum, Ergänzung bisheriger 

Kenntnisse und Verfahren 

durch die Vektorrechnung 

• Geraden & Ebenen im Raum 

• zusammengesetzte 

Zufallsexperimente 

(Pfadregeln) 

• zusammengesetzte 

Zufallsexperimente 

(bedingte Wahrscheinlichkeit) 

• axiom. 

Wahrscheinlichkeitsbeg. 

• Wahrsch. verknüpfter Ereign. 

• Binomialverteilung 

• beurteilenden Statistik 


Jürgen Roth 

Zeitlicher Umfang der Behandlung von Themen 

Gefahr: Man hält sich bei einzelnen Themen 

(zu Beginn des Schuljahres) zu lange auf und hat 

am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete. 

Bildung von Unterrichtssequenzen 

Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen 

von Zusammenhängen … benötigt mehrere 

zusammenhängende Unterrichtseinheiten. 

Anordnung der Unterrichtssequenzen 

Sachlogik 

Didaktische Prinzipien 

Jahresplan 


Jürgen Roth 

Beispiel: Klasse 7 

Geometrie Zahlen Funktionen Stochastik 

Winkelbetrachtungen 

an Figuren 

Achsen- & punktsym- 

metrische Figuren; 

Grundkonstruktionen 


Dreieckstransversalen 

Konstruktionen 

Kongruenz 

Term � Zahl 

Term � Abhängigkeit 

Daten & Mittelwerte 

Diagramme & Prozentrechnung 

Termumformungen 

Gleichungen 


Jürgen Roth 

Entscheidung über die Didaktische Konzeption 

Hintergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung) 

„Roter Faden“ (Schlüsselbegriff, durchgängige 

Problemstellung, durchgängige Methode) 

Auswahl der Inhalte 

Unterrichtssequenz 

Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen 

und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden? 

„Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist, 

und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist!“ Diesterweg 

Anordnung/Verteilung der Inhalte 

Genetisches Prinzip, operatives Prinzip, Prinzip der Isolation 

der Schwierigkeiten, „Vom Leichtern zum Schwereren“ 

Unterrichtseinheiten nicht überladen 

Gründlich beginnen und tragfähige Vorstellungen aufbauen 


Jürgen Roth 

Einstieg 

Erarbeitung 

Sicherung 

Vertiefung 

Unterrichtseinheit 

Ergebnisse 

festhalten 

Erreichen der 

Lernziele mit 

Hilfe geeigneter 

Aufgaben 

überprüfen 


Jürgen Roth 

Einstiege sollen 

Unterrichtseinheit 

die S. motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen 

auseinander zu setzen, 

der Unterricht von Beginn an problemorientiert ausrichten, 

den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren. 

Übungen sollten 

neue Entdeckungen zulassen 

problemorientiert sein 

das operative Prinzip berücksichtigen 

produktiv sein (d. h. möglichst mit 

praktischen Tätigkeiten verbunden) 

anwendungsorientiert sein (d. h. 

Sachsituationen mit einbeziehen & 

praktische Erfahrungen vermitteln) 


Jürgen Roth 

Wie ist die fachliche Struktur des Themas? 

Wie kann das Thema erarbeitet werden? 

Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten) 

müssen die S. mitbringen? 

Welche Lernziele sollen erreicht werden? 

Wie sollen die S. motiviert werden? 

Wie soll der Einstieg in das Thema erfolgen? 

Welche Repräsentationsformen sind angemessen? 

Welche Medien sollen eingesetzt werden. 

In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden? 

Welcher Grad der Selbsttätigkeit wird angestrebt? 

Wie soll geübt und vertieft werden? 

Grundfragen der 

Unterrichtsplanung 


Jürgen Roth 

Sozialform 

Selbsttätig- 

keit 

Klassen- bzw. 

Frontalunterricht 

Gruppenarbeit 

Partnerarbeit 

Einzelarbeit 

Instruktion 

Lehrervortrag 

Gruppeninstruktion 

Partnerinstruktion 

Individualisierte 

Instruktion 

gelenktes 

Entdecken 

Fragendentwickelnder 

Unterricht 

… 

… 

Sozialformen und 

Selbsttätigkeitsgrad 

nur Impulse 

Freies 

Unterrichtsgespräch 

… … 


… 

…

Jürgen Roth 

Inhalte 

Flächeninhalt des Dreiecks 

Flächeninhalt des Parallelogramms 

Flächeninhalt des Trapezes 

inhaltsgleiche Figuren 

binomische Formeln 

Umfang und Flächeninhalt des Kreises 

Unterrichtssequenz 

Flächeninhalte 


Jürgen Roth 

Flächen- 

messung 

Seitenlängen 

aus N 

Seitenlängen 

aus Q + 

Seitenlängen 

aus R + 

Flächeninhalt?! 

Axiome des 

Flächeninhalts 

Themenkreis Flächeninhalt 

Ergänzungs- 

gleichheit 

Flächen- 

vergleich 

Zerlegungs- 

gleichheit 


Jürgen Roth 

Stufen bei der 

Behandlung von Größen 

1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln 

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten 

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter 

Maßeinheiten 

ein drittes Objekt als Vermittler benutzen 

ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen 

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter 

Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen 

Messgeräten 

5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der 

Maßeinheiten 

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen 

7. Stufe: Rechnen mit Größen 


Jürgen Roth 

Tangram 


Jürgen Roth 

Tangram 


Jürgen Roth 

Flächeninhaltsbestimmung 

Rechteck 

Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. 

Intervallschachtelung) 

Dreieck 

Flächenvergleich 

mit dem Rechteck 

Polygon 

Kreis 

Triangulierung 

(Einteilen in Dreiecke) 

Einschachtelung 

Fläche des Rechtecks: 

A Rechteck = g * h 

Formel 

deshalb ist die 

Fläche des Dreiecks 

A Dreieck = 1/2 * g * h 

Regler nach rechts ziehen 

-----------------> 

A 

g 

C 

h 

Das Dreieck kann an den Eckpunkten 

verändert werden 

B 


A 

C 

h 

Regler nach rechts ziehen 

--------------> 

R 

B

Jürgen Roth 

Kreisinhaltsbestimmung 

http://geogebratube.org/student/m279 


Jürgen Roth 

Schätze die Fläche 

der Antarktis, indem 

du den Maßstab der 

Karte benutzt. 

Schreibe deine 

Rechnung auf und 

erkläre, wie du zu 

deiner Schätzung 

gekommen bist. 

Du kannst in der 

Karte zeichnen, wenn 

dir das bei deiner 

Schätzung hilft. 

PISA-Aufgabe 

0 

Kilometer 

Fläche eines Kontinents 

(Antarktika) 

200 400 600 800 

1000 


Jürgen Roth 

Schätze die Fläche 

der Antarktis, indem 

du den Maßstab der 

Karte benutzt. 

Schreibe deine 

Rechnung auf und 

erkläre, wie du zu 



Du kannst in der 

Karte zeichnen, wenn 

dir das bei deiner 

Schätzung hilft. 

PISA-Aufgabe 

0 

Idee: Mit Einheitsfläche 

„auslegen“ 

Fläche mit Schelfeistafeln: 

13 975 000 km 2 

Kilometer 

200 400 600 800 

1000 


Schätze die Fläche der 

Antarktis, indem du den 

Maßstab der Karte benutzt. 

Schreibe deine Rechnung 

auf und erkläre, wie du zu 



(Du kannst in der Karte 

zeichnen, wenn dir das bei 

deiner Schätzung hilft.) 

PISA-Aufgabe 

Jürgen Roth 

Idee: „Vergleichen“ mit einer 

„einfachen“ Fläche 

0 

Fläche mit Schelfeistafeln: 

13 975 000 km 2 

Kilometer 

200 400 600 800 

1000 


Jürgen Roth 

D C 

A B 

Parallelogramm 

D C 

A B 


Parallelogrammflächen, die in der 

Länge einer Seite & der zugehörigen 

Höhe übereinstimmen sind 

zerlegungsgleich. 

Beweisidee: ΔADF ~ ΔBCE 

Voraussetzung: [CD] � [EF] � � 

F 

Jürgen Roth 

E 

F 

A B 

Parallelogramm 

D E 

A B 

D 


C 

C

Jürgen Roth 

Flächeninhaltsbestimmung 

am Trapez 


Jürgen Roth 

Projektthemen sollen … 

aus den Inhalten der 

Jahrgangsstufe erwachsen. 

möglichst mehrere 

mathematische Themen 

miteinander verbinden und 

früher behandelte Inhalte 

einbeziehen. 

möglichst Verbindungen zu 

anderen Fächern herstellen. 

einen Bezug zum Leben haben. 

fachliche und historische 

Hintergründe erhellen können. 

Projekt 

Ludwig: Projekte im Mathematikunterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998 

Möglichkeiten zur Entfaltung 

von Ideen und zu selbst- 

ständiger Tätigkeit bieten. 

unterschiedliche Interessen und 

Fähigkeiten ansprechen. 

die Beschaffung notwendiger 

Informationen 

durch die Schüler erlauben. 

ergiebig sein, also Arbeit in 

mehreren Gruppen 

ermöglichen und Einsichten 

vermitteln. 

so gestaltet sein, dass am Ende 

etwas 

vorgezeigt werden kann. 


Jürgen Roth 

Termin 

Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend) 

Gruppen 

Präsentation 

Materialien 

Kosten (evtl. Sponsoring) 

Projektorganisation 

Einparken 


Jürgen Roth 

Vertiefung 

„open-ended problem solving“ 

Beispielstunde Japan - 

Geometrie 

Zur Förderung des logischen Denkens verwenden japanische Lehrer 

häufig den methodischen Ansatz des „open-ended problem solving“, 

der sich durch Erarbeitung unterschiedlicher Lösungsansätze in 

Einzel- und Gruppenarbeit auszeichnet. 

Aufgabe für die Gruppenarbeit 

Es soll die Länge der Mittelparallele 

eines Trapezes mit bekannten Längen 

der parallelen Seiten bestimmt werden. 

Der Lehrer 

klärt die Problemstellung und teilt 

die Klasse in Vierergruppen ein. 

Die Schülerinnen und Schüler 

tauschen ihre Ideen aus. 


A 

6 cm 

D 

E F 

B 10 cm C

Jürgen Roth 


14 Computereinsatz 

am Beispiel DGS 

Dynamisches Geometriessystem (DGS) 


Jürgen Roth 

in jeder Sozialform 

in allen Graden der Selbsttätigkeit 

für die Konstruktion von Lernumgebungen 

als Werkzeug 

… 

Einsetzbar … 


Jürgen Roth 

Konstruktionswerkzeug 

Makros, … 

Visualisierungswerkzeug 

dynamische Ortslinien 

Zugmodus 

… 

Erforschungswerkzeug 

Begriffsumfang 

Entdecken 

… 

Werkzeugcharakter von DGS 

http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/dynamik_von_dgs/roth_dynamik_von_dgs.pdf 

Modellierungswerkzeug 

rekonstruktives Modellieren, … 

Heuristisches Werkzeug 

vgl. „Dreiecksaufgabe“ 

„Denkwerkzeug“ 

Auslagern mathematischer 

Fertigkeiten 

Dynamik von DGS 

Wozu und wie sollte 

man sie nutzen? 

Voraussetzung: 

Bewegliches Denken 


Jürgen Roth 

Bewegung hineinsehen 

und damit argumentieren 

Gesamtkonfiguration 

erfassen und analysieren 

Änderungsverhalten 

erfassen und beschreiben 

Bewegliches Denken 


Jürgen Roth 

Kontrollinstanz 

im Kopf abgelaufene bewegliche Denkvorgänge 

auf ihre Tragfähigkeit hin kritisch überprüfen 

Denkzeug 

Funktionen von DGS 

für „bewegliche Denker“ 

Verringerung der Komplexität 

(Gedächtnisentlastung, Realisierung von Bewegungen) 

Konzentration auf Planung, Interpretation, 

Analyse und Argumentation wird möglich 

Kommunikationsmittel 

Ergebnisse beweglicher Denkvorgänge vermitteln 

„dynamisches Vorführen“ von Veränderungen 

Aufmerksamkeitsfokussierung 


Jürgen Roth 

Schüler sollen 

Ziele des DGS-Einsatzes 

bzgl. der „Dynamik“ 

ohne Computer, also im Kopf, Bewegungen hineinsehen, 

analysieren und Änderungsverhalten erfassen können 

bei komplexeren Gegebenheiten einen geeigneten Computereinsatz 

planen, vorstrukturieren und reorganisieren können 

Auf dem Weg zu diesem Ziel: 

Fokussierungshilfen in Lernumgebungen einbauen 

Konzentration auf Analyse- und Argumentationsprozesse 


Jürgen Roth 

Konfiguration vollständig vorgegeben 

Drei Stufen der 

Fokussierungshilfen 

Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte 

(z. B. Farbgebung, Linienstärken, Mitführung von Messwerten …) 

Elemente können evtl. ein- und ausgeblendet werden 

Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst eingeschränkt 

Veränderbare (Teil-)Konfiguration vorgegeben 

kann / muss ergänzt oder verändert werden 

nur einzelne Fokussierungshilfen vorhanden 

Leeren, unstrukturierten DGS-Datei 

DGS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt 


Jürgen Roth 

Bewegliche Argumentation kommunizieren 

Beweisideen vermitteln 

Verständnisgrundlagen 

für Begriffe und ihre Eigenschaften bilden 

Experimentelles Arbeiten 

Entdecken von Zusammenhängen 

Finden von Ideen im Problemlöseprozess 

Reflexion von Problemlöseprozessen 

Zweck des DGS-Einsatzes 


▼ 

Jürgen Roth 

Zweck des 

DGS-Einsatzes 

Bewegliche Argumentation 

kommunizieren 

Beweisideen vermitteln 

Verständnisgrundlage 

für Begriffe und ihre 

Eigenschaften bilden 

Experimentelles Arbeiten 

• Entdecken von 

Zusammenhängen 

• Finden von Ideen im 

Problemlöseprozess 

Reflexion von 

Problemlöseprozessen 

Fertig vorgegebene 

Konfiguration 

(evtl. Möglichkeit zum 

Ein- und Ausblenden 

von Elementen) 

Inhaltsdimension & 

Unterstützungsdimension 

► Grad der Fokussierungshilfen 

Veränderbare 

Konfiguration 

mit einzelnen 

Fokussierungshilfen 

Leere, 

unstrukturierte 

DGS-Datei 


Jürgen Roth 

GeoGebra = Geometrie + Algebra 

Interaktive dynamische Verbindung von 

ikonischer & symbolischer Darstellungsform 

(vgl. Bruner & operatives Prinzip) 

Open Source, kostenlos verfügbar von 

www.geogebra.org 

Dynamische Geometrie, 

Tabellenkalkulation, Computeralgebra 

Speziell für den Mathematikunterricht 

entwickelt 

Freie Online-Unterrichtsmaterialien 

GeoGebraWiki, www.geogebra.org/wiki 

Creative Commons Share-Alike Lizenz 

GeoGebra 

http://www.geogebra.org 


Jürgen Roth 

Maxima 

Computeralgebra 

Open Source 

http://wxmaxima.sourceforge.net 

Maxima & Open Office Calc 

Open Office Calc 

Tabellenkalkulation 

Open Source 

http://www.openoffice.org/ 


Jürgen Roth 

Link-Datenbank 

www.mathematik-digital.de 

Interessante Internetseiten 

Links rund um den MU: www.juergen-roth.de -> Links 

Fachportale 

Lehrer Online, Fachportal Mathematik 

ZUM, Fachportal Mathematik 

NCTM Illuminations, "Lessons" für alle Altersstufen 

Themensammlungen 

Medienvielfalt 1 & Medienvielfalt 2, interaktive Lernpfade 

Mathematik-Labor, Materialien für Projekte 

MathePrisma, interaktive Lernumgebungen 

Interaktive Übungen & Arbeitsblätter 

Dynama, Realmath, GeoGebraWiki, …

Fachdidaktische Grundlagen - Didaktik der Mathematik ...

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