Fachdidaktische Grundlagen - Didaktik der Mathematik ...

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Fachdidaktische Grundlagen - Didaktik der Mathematik ...

Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

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Fachdidaktische Grundlagen 1


Jürgen Roth

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Fachdidaktische Grundlagen 2


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

1. Was ist / soll Mathematikdidaktik?

2. Rahmenbedingungen des MU

3. Warum Mathematikunterricht?

4. Lernziele im Mathematikunterricht

5. Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras

6. Wie funktioniert Lernen?

7. Didaktische Prinzipien

8. Begriffe erarbeiten

9. Sachverhalte erarbeiten

10. Algorithmen erarbeiten

11. Anwenden und Modellieren

12. Problemlösen

13. Unterrichtsplanung

14. Computereinsatz am Beispiel DGS

Inhalte

Fachdidaktische Grundlagen 3


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

1 Was ist / soll

Mathematikdidaktik?

Fachdidaktische Grundlagen 4


Jürgen Roth

„Lehre vom Lehren und Lernen“

aus lat. didactica < gr. didaktiké [téchne]

gr. didaktikós „lehrhaft“

gr. didáskein „lehren“

Was ist Didaktik?

Duden - Das Herkunftswörterbuch

[die; griechisch] ursprünglich die "Kunst des Lehrens".

Begriff allgemeine Didaktik wird unterschiedlich verwendet:

als Unterrichtslehre, Wissenschaft vom Unterricht;

als Bildungslehre, Theorie der Bildungsinhalte

und des Lehrplans.

wissen.de

Fachdidaktische Grundlagen 5


Jürgen Roth

Was ist Didaktik?

Führer: Pädagogik des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1997, S. 14

Didaktik ist der Versuch, folgende Frage im Hinblick

auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten:

Wer

soll was

mit wem

wie lange,

wie intensiv

und mit welcher Hilfe

zu welchem Zweck

und warum

tun?

Fachdidaktische Grundlagen 6


Jürgen Roth

Mathematik

(Lern- &

Entwicklungs-)

Psychologie

Soziologie

Was ist Mathematikdidaktik?

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2

Mathematikdidaktik

ist die

Bezugswissenschaft

für Mathematiklehrkräfte

Pädagogik

Gesellschaftswissenschaften

allg. Didaktik

Unterrichtspraxis

Schulwirklichkeit

Fachdidaktische Grundlagen 7


Jürgen Roth

präskriptiv

Mathematikdidaktik ist …

macht Aussagen darüber, welche Inhalte und Unterrichtsmethoden

bzgl. anzustrebender inhalts- und verhaltensbezogener

Qualifikationen möglichst effektiv sind

konstruktiv

entwickelt Curricula, Lehrverfahren, Lernmaterialien u.v.m.

integrativ

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2

versucht sämtliche Dimensionen des Tätigkeitsfeldes von

Mathematiklehrkräften in ein kohärentes System zu bringen

Fachdidaktische Grundlagen 8


Jürgen Roth

Sag Freund,

was ist denn

Theorie?

Und was

ist Praxis?

Theorie und Praxis

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 7

Wenn‘s stimmen soll

und stimmt doch nie!

Frag nicht dumm!

Wenn‘s stimmt und

keiner weiß warum.

Fachdidaktische Grundlagen 9


Jürgen Roth

Mathematikdidaktische

Forschung

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education. In: Notices of the AMS, 2000, p. 641-649

„Research in mathematics education has

two main purposes, one pure and one applied.

Pure (Basic Science)

To understand the nature of mathematical

thinking, teaching, and learning;

Applied (Engineering):

To use such understandings to

improve mathematics instruction.”

Fachdidaktische Grundlagen 10


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

2 Rahmenbedingungen des

Mathematikunterrichts

Fachdidaktische Grundlagen 11


Jürgen Roth

Alter der Schülerinnen und

Schüler (S) und Lehrkräfte (L)

Entwicklungsstand (S)

Geschlecht (S)

allgemeines Interesse (S/L)

Einstellung zur Mathematik

(S/L)

Begabung / Intelligenz (S)

Leistungsstand und

Lernvoraussetzungen (S)

Lerntempo (S)

Mitarbeit (S)

Anthropogene Bedingungen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36

Disziplin (S)

fachliche und didaktische

Kompetenz (L)

Engagement für Schüler und

Unterricht (L)

Klassenatmosphäre

Gruppierungen

innerhalb der Klasse

Arbeitsstil der Klasse


Heftführung,

Gruppenarbeit,

Hausaufgaben …

Fachdidaktische Grundlagen 12

anthropogen = durch den Menschen beeinflusst, verursacht (duden.de)


Jürgen Roth

Schultyp

Stadt- oder Landschule

Größe der Schule

Größe der Klasse

Relation Jungen ↔ Mädchen

soziale Herkunft (S),

Berufe der Eltern

häusliches Milieu,

familiäre Situation

Vorgeschichte der Klasse

frühere L.

ausgefallener Unterricht …

Lehr- & Unterrichtspläne

Soziokulturelle Bedingungen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36

innerschulische

Organisationsform

Jahrgangsübergreifende

Klassen, Orientierungsstufe,

LK, Förderkurs, …

Besonderheiten personeller

oder materieller Ausstattung

Lehrbuch, Medien,

Kopiergeräte, …

räumliche Gegebenheiten

Architektonische Gestaltung

Gruppenräume …

Sitzordnung

zeitlicher Rahmen

Stundenplan

Fachdidaktische Grundlagen 13

soziokulturell = die Gesellschaft und ihre Kultur betreffend; gesellschaftlich-kulturell (duden.de)


Jürgen Roth

Merkmale guten Unterrichts

(Meyer)

Helmke, Schrader: Lehrerprofessionalität und Unterrichtsqualität - Den eigenen Unterricht reflektieren und beurteilen.

In: Schulmagazin 5 bis 10, 2006, S. 5-12

Leistungserwartung

transparent

Intelligentes

Üben

Vorbereitete

Umgebung

Individuelles

Fördern

Klare Strukturierung

Methodenvielfalt

Hoher Anteil

echter

Lernzeit

SinnstiftendesKommunizieren

Lernförderliches

Klima

Inhaltliche

Klarheit

Fachdidaktische Grundlagen 14


Jürgen Roth

Merkmale der

Unterrichtsqualität (Helmke)

Helmke, Schrader: Lehrerprofessionalität und Unterrichtsqualität - Den eigenen Unterricht reflektieren und beurteilen.

In: Schulmagazin 5 bis 10, 2006, S. 5-12

Vielfältige

Motivierung

Konsolidieren,sichern,

intelligent

üben

Passung:

Umgang

mit Heterogenität

Aktives &

selbstständigesLernen

fördern

Strukturiert,

klar, verständlich

Führung &

Zeitnutzung

effizient

Sinnvolle

Variation v.

Methode &

Sozialform

SchülerorientierungUnterstützung

Lernförderliches

Klima

an Ziel,

Wirkung &

Kompetenz

orientiert

Fachdidaktische Grundlagen 15


Jürgen Roth

Wie lernen Schüler erfolgreich?

Angebots-Nutzungs-Modell nach Helmke

Helmke, Schrader: Lehrerprofessionalität und Unterrichtsqualität - Den eigenen Unterricht reflektieren und beurteilen.

In: Schulmagazin 5 bis 10, 2006, S. 5-12

Fachdidaktische Grundlagen 16


Jürgen Roth

Differenziert fördern

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f

Fachdidaktische Grundlagen 17


Jürgen Roth

Differenziert fördern

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f

Fachdidaktische Grundlagen 18


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

3 Warum Mathematikunterricht?

Fachdidaktische Grundlagen 19


Jürgen Roth

Aufgaben allgemeinbildender Schulen

Lebensvorbereitung

Stiftung kultureller Kohärenz

Aufbau eines Weltbildes

Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch

Förderung von Phantasie und Kreativität

Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft

Stärkung des Schüler-Ichs

Beitrag zur Allgemeinbildung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Fachdidaktische Grundlagen 20


Jürgen Roth

Arithmetik

sicheres Beherrschen

der Grundrechenarten

Umgang mit Größen

(und Größenordnungen)

Beherrschen der Dezimalbrüche

Prozentrechnung /

Zinsrechnung

ein wenig Schlussrechnung /

„Gefühl“ für Zahlen

Einführung in den Gebrauch

des Taschenrechners

Lebensvorbereitung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Geometrie

elem. Formen- und Körperlehre

visuellen Darstellung von

Größen und -verhältnissen

(Schaubilder, Diagramme)

Elementare Stochastik

Daten erfassen, darstellen und

interpretieren

Aussagen über Wahrscheinlichkeiten

treffen und verstehen

Umgang

des Lehrers mit Schülern

der Schüler untereinander

mit der Mathematik

(Frage der Methode!)

Fachdidaktische Grundlagen 21


Jürgen Roth

Grundschule und Sekundarstufe I

Stiftung kultureller Kohärenz

Durchschnittliche Eltern müssen verstehen oder sich

mit ihren Kindern darüber verständigen können, was

diese im Fach Mathematik lernen.

Negativbeispiel

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Überstürzte Einführung der “Neuen Mathematik

(Stichwort: Mengenlehre)

Fachdidaktische Grundlagen 22


Jürgen Roth

Umwelterschließung

Mathematik als Strukturierungsmittel zum

besseren und tieferen Verstehen der Umwelt.

Anwendungsorientierung

Mathematik als Mittel zum Problemlösen.

Ausgang vom Problem

Aufbau eines Weltbildes

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Prozess der Mathematisierung und Modellierung

„Der zentrale Beitrag des Mathematikunterrichts zum Aufbau eines

Weltbildes liegt in der Ermöglichung von Erfahrungen, wie

Mathematik als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren

Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer

Phänomene herangezogen werden kann.“

Fachdidaktische Grundlagen 23


Jürgen Roth

„Verstehen lehren“ (Wagenschein)

„sokratische Gespräche“

Reflexion

„Sprechen über Mathematik

Was wäre wenn … ?

Anleitung zum kritischen

Vernunftgebrauch

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Propädeutik des mathematischen Modellierens

Verstehen des

Verstehbaren ist ein

Menschenrecht.

Mathematik ist eine von Menschen gedanklich konstruierte

„Wirklichkeit“, die trotzdem keinen willkürlichen Charakter hat,

sondern von Notwendigkeiten geprägt ist und „Entdeckungen“

zulässt.

Es gibt eine Übereinstimmung zwischen unserem mathematischen

Denken und unseren Alltagserfahrungen.

Nicht alles, was wichtig ist in der Welt, lässt sich mathematisch

modellieren.

Fachdidaktische Grundlagen 24


Jürgen Roth

Spielerischer Umgang mit Mathematik

Konkretes Arbeiten mit Material

„Be-greifen“

Problemlösen

Phantasie und

Kreativität fördern

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Beschäftigung mit Problemaufgaben

(allein, mit Partner, in der Gruppe)

„Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität,

vergleichbar ihrer Rolle in künstlerisch-schöpferischen Prozessen,

als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im

Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.“

Fachdidaktische Grundlagen 25


Jürgen Roth

Verantwortung für andere

gegenseitige Hilfe

Beratung und Lösungskontrolle

bei Partner- und Gruppenarbeit

Übernahme von Funktionen eines Tutors

beim binnendifferenzierten Unterricht

Verantwortung für den eigenen Lernprozess

Muss sich im Laufe eines

Schullebens sukzessive steigern.

Entfaltung von Verantwortung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Fachdidaktische Grundlagen 26


Jürgen Roth

Stärkung des Schüler-Ichs

Vertrauen in die Kraft des eigenen Denkens entwickeln

Dies schließt die Fähigkeit zur Selbstkritik ein!

Wichtig!

Erst durch eine Ausbalancierung der genannten schulischen

Aufgaben wird Allgemeinbildung möglich.

Neben den genannten Aufgaben hat die Schule weitere

Funktionen:

Lebensraum, Testfeld für die Heranwachsenden

„Aufbewahrende“ Funktion

Funktion der „Auslese“

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Fachdidaktische Grundlagen 27


Jürgen Roth

Grunderfahrungen (Winter)

Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf

Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen:

Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder

angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer

spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in

Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige

Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art

kennenlernen und begreifen.

In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten

erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische

Fähigkeiten).

Fachdidaktische Grundlagen 28


Jürgen Roth

Mathematik als … (Vollrath)

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 10ff

allgemeinbildendes Fach

Entfaltung der Persönlichkeit

Umwelterschließung

Teilhabe an der Gesellschaft

Vermittlung von Normen und

Werten

qualifizierendes Fach

Berufsreife

Hochschulreife

authentisches Fach

Was ist Mathematik?

Wie entsteht Mathematik?

Was kann man mit Mathematik

anfangen?

Fachdidaktische Grundlagen 29


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

4 Lernziele im Mathematikunterricht

Fachdidaktische Grundlagen 30


Jürgen Roth

Richtziele

sollen ein Unterrichtsfach

legitimieren und

sollen richtungweisend für den

Unterricht wirken.

sind Ziele, die über die gesamte

Schulzeit hinweg in einem Fach

bzw. fachübergreifend erreicht

werden sollen.

findet man z. B. in Vorbemerkungen/Fachbeschreibungen

der Lehrpläne.

sind nicht an bestimmte mathematische

Inhalte gebunden.

Ermöglichen die Ableitung von

von Inhalten des Mathematikunterrichts

nicht vollständig.

Richtziele

Appell: Lernziele im Mathematikunterricht

Bigalke. In: Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 47

Richtziele für den MU (Bigalke):

Förderung des wissenschaftlichen

Denkens und Arbeitens

Förderung des logischen

Denkens

Förderung der Bereitschaft und

Fähigkeit zum Argumentieren,

Kritisieren und Urteilen

Förderung geistiger Initiative,

Phantasie und Kreativität

Förderung des

Anschauungsvermögens

Förderung des sprachlichen

Ausdrucksvermögens

Förderung der Fähigkeit,

Mathematik anwenden zu

können.

Fachdidaktische Grundlagen 31


Jürgen Roth

Grob- und Feinziele des MU

beziehen sich immer auf

bestimmte Inhalte.

Lerninhalte sind aber nicht

dasselbe wie Lernziele.

Man kann zwar z. B. davon

ausgehen, dass mit der

Behandlung des Lerninhalts

„Systeme linearer Gleichungen

mit zwei Variablen“ dass Ziel

erreicht werden soll, dass die

Schüler derartige Gleichungssysteme

lösen können, aber

dieses Ziel reicht nicht aus, um

zu beschreiben, was der

Unterricht zu diesem Thema

bewirken soll.

Grob- und Feinziele

Appell: Lernziele im Mathematikunterricht

In den aktuellen Lehrplänen

werden nur noch die Lerninhalte

und Grobziele von Unterrichtssequenzen

(mehrere – mindestens

drei – zusammenhängende

Unterrichtsstunden) genannt.

Es ist also vorgegeben, was

behandelt werden und worauf

die Behandlung dieser Inhalte

abzielen soll.

Lehrkräften bleibt viel Entscheidungsspielraum

hinsichtlich der

Inhalten und Feinziele.

Feinziele beschreiben möglichst

genau, was die Schüler in

einer Unterrichtseinheit (1-2

Unterrichtsstunden) lernen

sollen.

Fachdidaktische Grundlagen 32


Jürgen Roth

Lernziele

Unterrichtsfach

Mathematik

Inhalte des

Mathematikunterrichts

Lernzielhierarchie

Lehrpläne

Standards

Richtziele

Grobziele

Feinziele

Lehrerin

Lehrer

Fachdidaktische Grundlagen 33


Jürgen Roth

kognitive Lernziele

affektive Lernziele

psychomotorische Lernziele

Taxonomie der Lernziele

nach Bloom

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 66ff

kognitiv (lat.)

die Erkenntnis betreffend

affektiv (lat.)

das Gefühl betreffend

psychomotorisch (lat.)

vom Gehirn gesteuerte

Bewegungen betreffend

Taxonomie [griechisch táxis „(An)ordnung“ und nómos „Gesetz“]

Fachdidaktische Grundlagen 34


Jürgen Roth

K

O

M

P

L

E

X

I

T

Ä

T

Kognitive Lernziele (Bloom)

Wissen

Kenntnis von Fakten oder Verfahren

Verstehen

Informationen aufnehmen, übertragen,

interpretieren und verallgemeinern

Anwenden

allgemeine Regeln und Verfahren

in speziellen Situationen anwenden

Analyse

Informationen so in Teile zerlegen, dass

Beziehungen und Strukturen deutlich werden

Synthese

Teile zu einem neuen Ganzen zusammensetzen

Bewertung

Materialien und Methoden beurteilen

Fachdidaktische Grundlagen 35


Jürgen Roth

Typen von Lernzielen?

Den Begriff „Variable“ erklären

können.

Wissen, dass …

Begründen können, warum …

ein System linearer

Gleichungen mit zwei

Variablen

genau eine Lösung,

keine Lösung oder

unendlich viele

Lösungen

haben kann.

Kognitive Lernziele am Beispiel

linearer Gleichungssysteme

Ein System linearer Gleichungen

mit zwei Variablen mit Hilfe

des Additionsverfahrens lösen

können.

Den Schnittpunkt zweier

Geraden einer Ebene

rechnerisch bestimmen können.

Zu einer Bewegungsaufgabe

ein entsprechendes System

linearer Gleichungen angeben

können.

Zu einem gegebenen linearen

Gleichungssystems ein

günstiges Lösungsverfahren

angeben können.

Fachdidaktische Grundlagen 36


Jürgen Roth

Lösungen linearer

Gleichungssysteme

Die Lösungsmenge ist leer, wenn die Geraden parallel sind.

Fachdidaktische Grundlagen 38


Jürgen Roth

Lösungen linearer

Gleichungssysteme

Die Lösungsmenge ist ein geordnetes Paar (ein Punkt),

wenn die Geraden sich schneiden.

Fachdidaktische Grundlagen 39


Jürgen Roth

Lösungen linearer

Gleichungssysteme

Die Lösungsmenge ist unendliche Menge von geordneten

Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden

identisch sind.

Fachdidaktische Grundlagen 40


Jürgen Roth

Kriterien

Operationalisieren

von Lernzielen (Mager)

Eindeutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens

Angabe der Voraussetzungen und Bedingungen

unter denen das Verhalten gezeigt werden muss

Angabe eines Beurteilungsmaßstabes

für die Güte des Endverhaltens

(Insbesondere Angabe, eines noch akzeptablen Verhaltens.)

Anliegen

Lernerfolg objektiv überprüfbar machen

Lernenden offen legen, was sie nach

dem Unterricht können sollen

Appell: Lernziele im Mathematikunterricht

Fachdidaktische Grundlagen 41


Jürgen Roth

Vorteile

Wirkt dem Missverständnis

von Lernenden entgegen,

dass Inhalte mehr oder weniger

auswendig gelernt werden

sollen.

Schüler lernen effektiver,

wenn sie wissen, was sie

lernen sollen.

Der Lehrer kann besser

zwischen leistungsstärkeren

und leistungsschwächeren

Schülern differenzieren.

Gerade wichtige Lernziele

sollten genau spezifiziert

werden.

Operationalisieren

von Lernzielen (Mager)

Nachteile

Präzisierte (vorgegebene)

Lernziele schränken die

Lehrfreiheit des Unterrichtenden

erheblich ein.

Energisch zielbestimmter

Unterricht nimmt den Lernenden

die Mitbestimmungsmöglichkeit.

Das leicht prüfbare ist oft auch

das weniger wichtige Wissen

und Können.

Beobachtbares wird zu stark

betont � Gefahr andere nicht

beobachtbare Ziele aus den

Augen zu verlieren.

Fachdidaktische Grundlagen 42


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

5 Beispiel – Satzgruppe

des Pythagoras

Fachdidaktische Grundlagen 43


Jürgen Roth

Satzgruppe des Pythagoras

Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke.

Zu ihr gehören folgende Sätze:

Satz des Pythagoras

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die

Summe der Flächeninhalte der Quadrate

über den Katheten gleich dem Flächen-

inhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

a 2 + b 2 = c 2

Satz des Pythagoras

A


b a

c

A B

Fachdidaktische Grundlagen 44

b

q

C

D

h

C

c


p

a


B


Jürgen Roth

Kathetensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein

Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt

wie das Rechteck aus der Hypotenuse und

dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

Höhensatz

a 2 = c � p und b 2 = c � q

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das

Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie

das Rechteck aus den beiden Hypotenusen-

abschnitten.

h 2 = p � q

Kathetensatz und Höhensatz

c�q

c�p

Fachdidaktische Grundlagen 45



C

h


D p

A q

B

p�q


Jürgen Roth

Satz � Kehrsatzproblematik!

Satz des Pythagoras � Ägyptische Seilspanner

Logische Abhängigkeit der Sätze:


C

Satz des Pythagoras � Kathetensatz

Satz des Pythagoras � Höhensatz

Kathetensatz � Höhensatz

Höhensatz � Satz des Thales � Satz des Pythagoras

Höhensatz � Satz des Thales � Kathetensatz


b a

c

A B




� �

c�q

c�p

?

C

� �

h² h

D p �

A q

B

Logische Struktur

der Satzgruppe

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/

p�q

Fachdidaktische Grundlagen 46

A

C

M

B


Jürgen Roth

Pythagoras � Kathetensatz bzw. Höhensatz

Anwendung des Satzes des

Pythagoras auf die Teildreiecke

Arithmetische Umformungen

Höhensatz � Satz des Pythagoras bzw. Kathetensatz

Einzeichnen eines geeigneten

Thaleskreises

Anwendung des Höhensatzes

auf ein geeignetes Teildreieck

Kathetensatz � Höhensatz

Mehrfache Anwendung des

Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke

Beweisideen

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/

Fachdidaktische Grundlagen 47


Jürgen Roth

(1) Kongruenzbeweis

(2) Abbildungsbeweis

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit

(5) Arithmetischer Beweis

(6) Ähnlichkeitsbeweis

(7) Methoden der analytischen Geometrie

Beweistypen bzw.

Beweismethoden

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras

Fachdidaktische Grundlagen 48


Kongruenzbeweis

Euklid:

Die Elemente

J

Jürgen Roth

H

A L1

B

D

C

G

L2 E

F

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras4.html

( I ) AC BF A CBF A ABF = �

( II ) CL1 BE � A = L A

1 EB CEB

(III) Zu zeigen : ABF @ CEB

( I ), ( II ), ( III )

(1) |AB| =

(2) |�FBA| = |�CBE| (90 � + b )

(3) |BF| = |BC| (Kathete a)

SWS



ABF @ CEB

A ABF A CEB =

� A = CBF A L1BE 2 � a = c � |L 1 B|

Analog ergibt sich :

2 = c � |AL |

b 1

|EB|

(Hypotenuse c)

( Kathetensatz 1. Teil)

� a 2 + b 2 = c � |L 1B| + c � |AL 1|

( Kathetensatz 2. Teil)

= c � (|L 1B| + |AL 1|) = c � c = c 2

Fachdidaktische Grundlagen 49

#


Scheren=0

Drehen=0

Scheren=0

Scheren=0

Drehen=0

1

1

1

1

1

(2) Abbildungsbeweis

Scheren=0 1

A 0 6_Scheren=0 1 B

A 0 6_Scheren=0 B

1

0 6_Scheren=0 1

A B

A B

Jürgen Roth

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=0 1

0 3_Scheren=0 1

C

0 4_Scheren=0 1

0 5_Drehen=0 1

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=1 1

0 3_Scheren=1 1

0 4_Scheren=1 1

0 5_Drehen=0 1

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=1 1

0 3_Scheren=0 1

C

0 4_Scheren=0 1

0 5_Drehen=0 1

C

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=1 1

0 3_Scheren=1 1

C

0 4_Scheren=0 1

0 5_Drehen=0 1

6_Scheren=0 0 6_Scheren=0 1

A B

A 0 6_Scheren=1 1 B

A B

0 1

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=1 1

0 3_Scheren=1 1

0 4_Scheren=1 1

0 5_Drehen=1 1

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

Scherung � Drehung � Scherung

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras1.html

0 1_Scheren=1 1

0 2_Drehen=1 1

0 3_Scheren=1 1

C

0 4_Scheren=1 1

0 5_Drehen=1 1

Fachdidaktische Grundlagen 50

C

C


(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

Jürgen Roth

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

Stuhl der Braut

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras5.html

Fachdidaktische Grundlagen 51


(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit

Jürgen Roth

4


Altindischer Ergänzungsbeweis

3

1 2

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras6.html

4

2


Fachdidaktische Grundlagen 52

1


3


(5) Arithmetischer Beweis

Jürgen Roth

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

Ein Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn

(evtl. anhand einer vorliegenden Figur) rein algebraische

Umformungen durchgeführt werden.

Kathetensatz � Satz des Pythagoras

a


2 2

= � = �

a

c � p

2 +

b

2

=

=

=

b

c � p + c � q

c � c

( )

c � p + q

=

c

c 2

#

q


c�q

c�p

Fachdidaktische Grundlagen 53


Jürgen Roth

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

(5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)

a


c

Fläche A Tr des Trapezes:

1 2

b

( I ), ( II )

� ab

2 ab

+

+

1

2

c

c

2

3

2

=

=

a

2

2

c

a

1 ( ) 2

a

+

+

b

2 ab

+

b

2

b

(I)

(II)



A

A

Trapez

Trapez

2 ab

c

2

=

=

=

=

=

=

+

a

2

A

D

1

2

ab +

a

1

2

c

( ) 2

a + b

( a + b )

Fachdidaktische Grundlagen 54

2

1

ab

+

2

+

=

b

+

b

+

2

1

2

c


A

D

1

2

2

2

ab

( a + b )

#

+

+

2

A

D

1

2

3

c

2


(6) Ähnlichkeitsbeweis

A

b

Jürgen Roth

q

C

D

h

c

p

a

B


Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

D ABC ~ D ACD ~ D BCD (ww)

h

p

b

q

a

p

q

=

h

c

=

b

c

=

a

(7) Methoden der analytischen Geometrie


h 2

= q � p

� b = c � q

2

� a = c � p

2

Höhensatz

Katheten-

satz

Fachdidaktische Grundlagen 55

#


Jürgen Roth

Eigentätigkeit

Großteil der Schüler muss in

der Lage sein, durch Eigentätigkeit,

den Beweis oder die

entscheidende Beweisidee

selbst zu entdecken bzw. einen

wesentlichen Beitrag dazu zu

leisten

Vielfalt

Schüler sollen unterschiedliche

Beweismethoden kennen lernen

Auswahlkriterien für

Beweismethoden

Anschauen und Begreifen

Beweis lässt sich gut

visualisieren oder enaktiv

erarbeiten.

Verständnis fördern

Beweis ist leicht durchschaubar

Beweis erleichtert eine wichtige

Erkenntnis

Beispiel:

Satzgruppe des

Pythagoras: Aussagen

über Flächeninhalte

Sollte beim Beweis

direkt erkennbar sein

Fachdidaktische Grundlagen 56


Jürgen Roth

Ebene Geometrie

Berechnungen

Diagonale des Rechtecks

Höhe & Flächeninhalt eines

gleichseitigen Dreiecks

Abstand zweier Punkte

(im Koordinatensystem)

Kreistangenten und Sehnen

Reguläre n-Ecke

Kosinussatz

Konstruktionen

Flächenverwandlung

Strecken der Länge n

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

Raumgeometrie

Berechnungen

Raumdiagonalen

Längen im Raum

Fachdidaktische Grundlagen 57


Jürgen Roth

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

c

Kathetensatz Höhensatz


q

0 l = 3,1 10

0 b = 5,4 10



� �


b


l






Fachdidaktische Grundlagen 58


Jürgen Roth

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

c

Kathetensatz


q



� �


Man geht von der

Figur zum Katheten-

satz aus.

Kann man das Quadrat

der Figur konstruieren,

wenn man

c�q c�p

das Rechteck hat? � Konstruktion

der entsprechenden Kathete.

Welche Schritte sind notwendig?


Fachdidaktische Grundlagen 59



Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

6 Wie funktioniert Lernen?

Fachdidaktische Grundlagen 60


Jürgen Roth

Lernen …

ist ein Prozess, der zu relativ stabilen Veränderungen

im Verhalten oder Verhaltenspotential führt.

baut auf Erfahrung auf.

ist nicht direkt zu beobachten.

Was ist Lernen?

muss aus den Veränderungen des beobachtbaren Verhaltens

erschlossen werden.

Wissen

Nach Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, 1995 6

deklaratives Wissen

(Wissen über Sachverhalte)

prozedurales Wissen

(Wissen über Fertigkeiten)

Fachdidaktische Grundlagen 61


Jürgen Roth

Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus

Hirn ist ein passiver Behälter

Informationsverarbeitendes

"Gerät"

informationell

geschlossenes

System

Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert

Wissen ist

eine korrekte Input-

Output-Relation

Lernziele richtige Antworten

ein adäquater

interner Verarbeitungsprozess

richtige Methoden

zur

Antwortfindung

mit einer Situation

operieren zu können

komplexe Situationen

bewältigen

Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion

Strategie lehren

beobachten

und helfen

Lernparadigmen

kooperieren

Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Trainer

Feedback extern vorgegeben extern modelliert intern modelliert

Fachdidaktische Grundlagen 62


Jürgen Roth

Behavioristische Lerntheorien

Überblick über Lerntheorien

Klassisches, emotionales, operantes Konditionieren

(Pawlow, Watson, Skinner)

Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike)

Kognitivistische Lerntheorien

Modelllernen (Bandura)

Äquilibrationsmodell (Piaget)

(+ Stufenmodell der kognitiven Entwicklung)

Regellernen (Gagné)

Sinnvolle-rezeptives Lernen (Ausubel)

Entdeckendes Lernen (Bruner)

Konstruktivistische Lerntheorien

Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld)

Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl)

Fachdidaktische Grundlagen 63


Jürgen Roth

Experiment

Modelllernen

(Bandura)

Kindern sehen in einen Film, wie eine Erwachsene u.a.

mit einem Hammer auf eine Plastikpuppe einschlägt.

Danach werden die Kinder einzeln in ein Zimmer

geführt, in dem diese Puppe und der Hammer liegen.

Die Kinder schlagen die Puppe mit dem Hammer.

http://youtu.be/hHHdovKHDNU

Fachdidaktische Grundlagen 64


Jürgen Roth

Definition

Modell- oder Beobachtungslernen

ist Beeinflussung von

Verhaltensweisen durch

Beobachtung eines Modells

(Vorbilds), das real (z. B. als

Person) oder symbolisch (z. B.

als Text) gegeben sein kann.

Anwendung

bei komplexen

Verhaltensweisen im Bereich

des sprachlichen und sozialen

Verhaltens

Mögliche Effekte

Aneignung neuer kognitiver

Fähigkeiten & Verhaltensmuster

Modelllernen

(Bandura)

Hemmung bzw. Enthemmung von

gelernten Verhaltensweisen

Abhängig von den am Modell

beobachteten Konsequenzen

Reaktionserleichterung/bahnung

Verhalten des Modells dient als

Auslöser für die Ausführung des

gleichen Verhaltens.

Veränderung des emotionalen

Erregungsniveaus

durch Beobachtung emotionaler

Inhalte beim Modell

Stimulusintensivierung

Modell lenkt die Aufmerksamkeit des

Beobachters auf spezifische Stimuli

die vom Beobachter in Zukunft

häufiger verwendet bzw. beachtet

werden.

Fachdidaktische Grundlagen 65


Jürgen Roth

Regelfall

Modellverhalten wird weitgehend

in der dargebotenen

Art übernommen.

Sonderfälle

Modelllernen

(Bandura)

abstrakte Modellierung

Übernahme von Regeln oder

Prinzipien, die dem Modellverhalten

zugrunde liegen

Erkennen von Merkmalen

einer Situation

Abstraktion der

Gemeinsamkeiten

in Form von Regeln

Anwendung der Regeln in

neuen situativen Feldern

Kreative Modellierung

Einflüsse mehrerer Modelle

werden zu neuen Kombinationen

zusammengeführt.

Fachdidaktische Grundlagen 66


Jürgen Roth

Prozesse beim Modelllernen

Aneignung (Akquisition)

Aufmerksamkeitsprozesse

Gedächtnis- /

Behaltensprozesse

Ausführung (Performanz)

motorische

Reproduktionsprozesse

Verstärkungs- /

Motivationsprozesse

Modelle im Unterricht

Lehrer

Mitschüler

Eltern

Modelllernen

Modelllernen

(Bandura)

schnelle und effiziente

Art der Übernahme von

Verhaltensweisen

insbesondere bei

komplexen Verhaltensnormen

Rolle im / für den MU

Rationales Argumentieren

Problemlösen

Mathematisieren / Modellieren

Einstellung zur Mathematik

Fachdidaktische Grundlagen 67


Bei der Assimilation wird die

Information, die das Individuum

aufnimmt, so verändert, dass sie

sich in vorhandene kognitive

Schemata einfügt.

Jürgen Roth

Äquilibrationsprinzip

Kognitive Entwicklung

durch Anpassung (Adaption)

Äquilibrationsmodell

(Piaget)

Assimilation Akkomodation

Bei der Akkomodation werden die

Schemata verändert, um der Information

angemessen zu sein oder um

nicht im Widerspruch zu anderen

Schemata bzw. der Gesamtstruktur

zu stehen.

Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen der wahrgenommenen Umwelt und

den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten.

Erfahrung eines „Ungleichgewichtes“ (fehlschlagende Assimilationsversuche,

Widersprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive

Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen.

Fachdidaktische Grundlagen 68


Jürgen Roth

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

Reiz und (motorische) Reaktion bilden eine Einheit

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)

Zentrierung: Nur ein Merkmal kann gleichzeitig

berücksichtigt werden.

Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus der

Sicht eines anderen vorzustellen.

http://youtu.be/OinqFgsIbh0

Fachdidaktische Grundlagen 69


Jürgen Roth

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Überwindung des Egozentrismus

Dezentrierung: Verschiedene Aspekte eines Sachverhaltes

können gleichzeitig berücksichtigt werden.

Verständnis für Erhaltung bei Transformationen

Masse

Volumen

Flächeninhalt

Anzahl

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

Fachdidaktische Grundlagen 70


Jürgen Roth

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Reversiblität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte

Handlungen können gedanklich umgekehrt werden.

Schlussfolgernden Denken bei konkreten Problemen

Fähigkeit zur Abstraktion fehlt

Denken ist noch an konkrete Vorstellungen gebunden

(unmittelbare Anschauung oder Erfahrungen)

Denkhandlungen sind bereits „Operationen“, sind also

kompositionsfähig (zusammensetzbar) und

reversibel (umkehrbar)

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

Fachdidaktische Grundlagen 71


Jürgen Roth

Wer ist der kleinste?


Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Hans ist größer als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. Wer ist der kleinste?

Fachdidaktische Grundlagen 72


Jürgen Roth

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

Denken wird abstrakter

(nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden)

Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven

Schließen („Wenn … und … gilt, dann gilt …“)

Variablenkontrolle: Bei der Kausalanalyse von Ereignissen können

verschiedene Faktoren systematisch variiert werden.

Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen

Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales

Schließen). Im Beispiel: Wenn a < b und b < c, dann a < c.

Reversibles Denken ist möglich.

Inversion (Umkehrung einer Operation)

Reziprozität (Kompensation einer Operation)

15 Cent 1 Cent

Fachdidaktische Grundlagen 73


Jürgen Roth

Stufen der kognitiven

Entwicklung

Bei einem Kartenspiel wurde jeder Karte auf einer Seite eine Zahl und

auf der anderen Seite ein Buchstabe aufgedruckt.

Es gilt folgende Regel:

Wenn der Buchstabe auf einer Karte ein Vokal ist, dann ist

die Zahl auf der anderen Seite der Karte eine gerade Zahl.

Welche der folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu

überprüfen ob die Regel eingehalten wurde?

E K 4

7

Fachdidaktische Grundlagen 74


Jürgen Roth

Die kindliche Entwicklung verläuft

etappenweise, d. h. in Stufen.

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)

Piagets empirische

Hauptresultate

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)

sequentiell, d. h. alle Kinder durchlaufen die Stadien

(Stufen) in gleicher Reihenfolge.

Übergang von einem Stadium zum nächsten bedeutet

weder das Aufgeben bereits erworbener Schemata,

noch bloßes Hinzufügen weiterer Schemata,

Reorganisation der verfügbaren Schemata bzgl.

neuer effektiverer Organisationsformen.

Wichtig: Es sind erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich!

Fachdidaktische Grundlagen 75


Jürgen Roth

Regeln

Aussagen jeder Form

Begriffsketten

Wissen

Kombination von Begriffen

Lernen einer Regel

Erkennen der Beziehungen

zwischen den Begriffen

(Im Gegensatz zum Lernen

einer verbalen Kette)

Voraussetzung:

Alle Begriffe bekannt

Regellernen erfolgt meist

durch verbale Unterweisung

Lehrmethode

Definition

Beispiele

Regellernen (Gagné)

redundanter Sprachgebrauch

Test

Hierarchischer Aufbau

Begriffsbildung

Begriffe sind Bausteine

des Wissens

Wissenserwerb

Regeln sind Begriffsketten

Regelhierarchie (Gemeinsamkeiten/Unterschiede)

Problemlösen

Anwenden von Regeln

Fachdidaktische Grundlagen 76


Jürgen Roth

Die vier

Grundformen

des Lernens

nach Ausubel

rezeptiv

(fertig dargeboten)

entdeckend

(selbst erarbeitet)

mechanisch

(nicht inhaltlich)

Dargebotene

Informationen werden

wortwörtlich gelernt

und nicht mit

Vorwissen assimiliert.

Vom Lernenden

entdeckter Sachverhalt

wird wortwörtlich

gelernt und nicht mit

Vorwissen assimiliert.

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

sinnvoll

(inhaltlich, zufallsfrei)

Dargebotene

Informationen werden

inhaltlich gelernt und

mit Vorwissen

assimiliert.

Vom Lernenden

entdeckter Sachverhalt

wird inhaltlich gelernt

und mit Vorwissen

assimiliert.

Fachdidaktische Grundlagen 77


Jürgen Roth

Sinnvolles Lernen

inhaltlich (nicht wortwörtlich)

zufallsfreie Angliederung an das

Vorwissen (Assimilation)

untergeordnet (progressive

Wissensdifferenzierung)

übergeordnet

kombinatorisch

Mechanisches Lernen

Lernen verbaler Ketten

Auswendiglernen

Rezeptives Lernen

Lernmaterial wird fertig

dargeboten

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

Entdeckendes Lernen (EL)

Lernmaterial muss vom

Lernenden erarbeitet werden,

wird nicht fertig vorgegeben

Sinnvoll-rezeptives Lernen

inhaltliche Assimilation

(Orientierung an Vorwissen, zunächst

alltagssprachliche Formulierungen)

aktiver Prozess

advance organizer (!)

postorganizer

tritt in der kognitiven

Entwicklung nach dem EL auf

besser als EL für den Erwerb

von Sachwissen und größere

Stoffgebiete geeignet

(ökonomischer)

Fachdidaktische Grundlagen 78


Jürgen Roth

1. An vertraute Vorstellungen anschließen

Alltagsbegriffe

vertraute Grundbegriffe

2. „Verständniskerne“ bilden & formulieren

in Umgangssprache

3. Unterrichtsinhalte vorstrukturieren

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer)

Vorbereitung eines „Verständniskerns“

4. Progressiv ausdifferenzieren

„roten Faden“ bewusst halten

5. Integrativ verbinden und abgrenzen

6. Beachten der Vergessenstendenz

anschauliche Zusammenfassungen (postorganizer)

wiederholte Verständnisaufgaben

Sinnvolles

Lernen

� Anknüpfen

an die kognitive

Struktur des

Lernenden

Fachdidaktische Grundlagen 79


Jürgen Roth

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

„Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften ein

fundiertes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können

zu einem selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende der

Schulzeit allein weiterkommen wird.“ Bruner

Lernen ist aktive

Informationsaufnahme

Informationsverarbeitung

Informationsspeicherung

Intellektuelle

Entwicklung

Wissensrepräsentation

• enaktiv (handelnd)

• ikonisch (bildhaft)

• symbolisch

Prozesse des Lernvorgangs

Wissenserwerb

Wissenstransformation

Bewertung von Wissen

Lern-

prozess

Fachdidaktische Grundlagen 80


Jürgen Roth

Entdeckendes Lernen

eigenständige, induktive

Organisation

sprachliche Assimilation

Ziele des Lernens

Verständnis

Problemlösefähigkeit erwerben

intuitives, selbständiges,

spontanes Denken

Transferförderung

spezieller Transfer

allgemeiner Transfer

general ideas

induktive & deduktive

Denkvorgänge

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

Problemlösefähigkeit

Problemlösestrategien

Problemlösetechniken

lernen wie man lernt

Intuitives Denken

rechtshemisphärisch

spontan / sprunghaft

nonverbal

Intrinsische Motivation

„Kompetenzmotivation“

Prinzip der minimale Hilfe

kaum ergebnisorientierte Hilfe

hauptsächlich motivations- und

prozessorientierte Hilfe

Fachdidaktische Grundlagen 81


Rechte Gehirnhälfte

Körpersprache-

Bildersprache

Intuition-Gefühl

Kreativität-

Spontaneität

Sprunghaftigkeit

Neugier-Spielen-Risiko

Synthese-Überblick

Kunst-Tanz-Musik

Ganzheitlich

Zusammenhänge

Raumempfinden

Rechte

Gehirnhälfte

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

Linke

Gehirnhälfte

Linke Gehirnhälfte

Sprache – Lesen –

Rechnen

Ratio-Logik

Regeln-Gesetze

Konzentration auf

einen Punkt

Analyse-Detail

Wissenschaft

Schritt für Schritt

Einzelheiten

Zeitempfinden

Linearität

Die rechte Gehirnhälfte steuert die Intuition, Kreativität,

Die linke Gehirnhälfte ist für alles zuständig, was im

Symbole und Gefühle. Diese Gehirnhälfte wird durch

allgemeinen Verständnis als Denken bezeichnet

Metaphern aktiviert, durch die beim Zuhörer eigene, dazu

wird. Sie denkt in Sprache, in Begriffen, sie denkt

passende Bilder, Symbole, Melodien oder Gerüche

entstehen können. Das Rohmaterial der Gedanken, die

aufblitzenden Ideen, die Bilder, ja alle Sinneseindrücke

werden rechts bearbeitet.

logisch, analytisch.

Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen 82


Jürgen Roth

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

Fachdidaktische Grundlagen 83


Jürgen Roth

Steht in enger Verbindung zum kognitive Ansatz.

Jedes Individuum konstruiert ein individuelles

und subjektives Bild seiner Umwelt.

Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht

eine individuelle kognitive Landkarte der Welt.

Diese Wirklichkeitskonstruktionen

beeinflussen unwillkürlich

was das Individuum sieht,

wie es das Gesehene bewertet,

welche Verhaltenspläne es entwickelt und

wie es sich dann tatsächlich verhält.

Es gibt demnach nicht eine für alle gültige Wirklichkeit,

sondern viele subjektive und individuelle Wirklichkeiten.

Konstruktivismus

Fachdidaktische Grundlagen 84


Jürgen Roth

Wissen …

wird nicht einfach rezeptiv übernommen,

wird aktiv erworben,

Aktive Wissenskonstruktion

abhängig von Vorwissen, Motivation und Einstellung des Einzelnen

ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse,

Vgl. hierzu Dewey (amerikanischen Pragmatismus),

oder Kerschensteiner (deutsche Reformpädagogik):

Bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit

sind zentrale Grundlagen allen Lernens.

ist keine bloße Reflexion einer außerhalb des

Menschen existierenden, objektiven „Realität“,

ist ein durch Erkenntnisprozesse geschaffenes

subjektives „Konstrukt“ des Individuums.

Fachdidaktische Grundlagen 85


Jürgen Roth

Lernen ist kein …

Lernen aus

konstruktivistischer Sicht

rezeptiver Vorgang, bei dem eine objektiv bestimmbare und

begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des

Lehrenden in den des Lernenden „transportiert“ wird.

Lernen ist ein …

aktiver,

selbstgesteuerter,

konstruktiver,

emotionaler,

sozialer und

situativer Prozess

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30

Fachdidaktische Grundlagen 86


Jürgen Roth

aktiver Prozess

Lernen ist nur durch aktive Beteiligung

des Lernenden möglich.

selbstgesteuerter Prozess

Der Lernende selbst übernimmt

die Steuerung und Kontrolle

seines Lernprozesses.

konstruktiver Prozess

Neues Wissen kann nur

erworben und genutzt werden,

wenn es in vorhandene

Wissensstrukturen eingebaut

und auf der Basis

individueller Erfahrungen

interpretiert wird.

Lernen ist ein …

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30

emotionaler Prozess

Sowohl leistungsbezogene als

auch soziale Emotionen

beeinflussen das Lernen.

Für die Lernmotivation ist die

emotionale Komponente

besonders wesentlich.

sozialer Prozess

Lernen ist fast immer ein

interaktives Geschehen

und wird durch soziale

Komponenten beeinflusst.

situativer Prozess

Wissenserwerb erfolgt stets in

einem spezifischen Kontext und

ist mit diesem verbunden.

Fachdidaktische Grundlagen 87


Jürgen Roth

Eine

pragmatische

Position zum

Lehren und

Lernen:

Lernen aus

konstruktivistischer Sicht

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30

Fachdidaktische Grundlagen 88


Bücher

Anderson: Kognitive Psychologie. Spektrum Verlag, Heidelberg Berlin, 2001 3

Edelmann: Lernpsychologie. Beltz Verlag, Weinheim, 1994 4

Krapp, Weidenmann: Pädagogische Psychologie. Beltz Verlags, Weinheim, 2001 4

Stampe: Repetitorium Fachdidaktik Mathematik. Klinkhardt, Bad Heilbrunn / Obb., 1984

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1981 6

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, 1998 9

Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1995 6

Internet-Seiten

http://ddi.cs.uni-potsdam.de/Lehre/SPS/MaterialMicroteaching.htm#ged

http://www.lern-psychologie.de

http://www.stangl-taller.at/ARBEITSBLAETTER/LERNEN/

http://www.ship.edu/~cgboeree/piaget.html

http://dsor.uni-paderborn.de/de/forschung/publikationen/blumstengel-diss/Lerntheorien.html

http://www.medizin-lernplaner.de/Lerntechnik/lerntechnik_lerntheorie.html

http://www.psychologie.uni-wuerzburg.de/i4pages/Download/Schneider_Psycho/11-08-00-I.pdf

Jürgen Roth

Literatur

Fachdidaktische Grundlagen 89


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

7 Didaktische Prinzipien

Fachdidaktische Grundlagen 90


Jürgen Roth

Prinzipien

Genetisches Prinzip

Sokratisches Prinzip

Exemplarisches Prinzip

Operatives Prinzip

Integrationsprinzip

Prinzip des

aktiven Lernens

(gelenkten) Entdeckenden

Lernens

Didaktische Prinzipien

(unvollständige Liste)

Prinzip der

Realitätsnähe oder Lebensnähe

Beziehungshaltigkeit

integrierten Wiederholung

Isolation der Schwierigkeiten

Selbsttätigkeit

Variation

adäquaten Visualisierung

Variation der

Veranschaulichungsmittel

Fachdidaktische Grundlagen 91


Jürgen Roth

Wissensentwicklung

Entwicklungsstufen

Prinzipien des

Lernens und Lehrens

Wittmann: Standard Number Representations in the Teaching of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S.149-178

Repräsentationsformen

fundamentale

Ideen

grund-

legende

Repräsenta-

tionen aus-

wählen

Zone der

proximalen

Entwicklung

Spiralprinzip

(inter-)

aktives

ganzheitliches

Lernen orga-

nisieren

Operatives

Prinzip

inter-

aktiver

Zugang zu

Repräsen-

tationen

schrittweise

Schemati-

sierung

natürliche

Differen-

zierung

Vorwissen

& natürliche

Neugier

nutzen

Fachdidaktische Grundlagen 92


Jürgen Roth

Piaget:

Operatives Prinzip

Operationen sind verinnerlichte / gedachte Handlungen.

Denken vollzieht sich in Operationen.

Operationen sind flexibel und beweglich, also:

umkehrbar oder reversibel (Reversibilität),

zusammensetzbar oder kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit)

assoziativ (Assoziativität),

d. h. man kann auf verschiedenen

Weisen zum Ziel kommen.

Fachdidaktische Grundlagen 93


Jürgen Roth

Operatives Prinzip

Zech: Operative Prinzipien. In: Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinheim und Basel: Beltz Verlag, 1998, S. 114-124

Bruner:

Wissensrepräsentation

• enaktiv (handelnd)

• ikonisch (bildhaft)

• symbolisch

Prinzipien:

• Stufengemäßheit

(vgl. Piaget)

• Aufbauprinzip

• Verinnerlichung

• Reflexion

Piaget:

Stufen der

kognitiven

Entwicklung

Operatives

Prinzip

Prinzip des

operativen

Durch-

arbeitens

Aebli:

Verinnerlichungsstufen

• konkrete Stufe

• figurale Stufe

• symbolische Stufe

Variation

• Darstellungsebene

• „Unwesentliches“

(Veranschaulichungs-

mittel, mathematische

Variablen, Kontext, …)

• Ausgangssituation

(Was passiert mit … ,

wenn … ? )

• Lösungsweg

• gesuchte Größen

Fachdidaktische Grundlagen 94


Jürgen Roth

Operatives Prinzip

Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. Mathematik lehren 11, 1985, S. 7-11

Objekte erfassen bedeutet,

zu erforschen,

wie sie konstruiert sind

wie sie sich verhalten, wenn

auf sie Operationen ausgeübt

werden.

Im Erkenntnisprozess wird

systematisch untersucht,

welche Operationen ausführbar

und wie sie verknüpft sind,

welche Eigenschaften und

Beziehungen den Objekten

durch Konstruktion aufgeprägt

sind,

welche Wirkungen Operationen

auf Eigenschaften und

Beziehungen der Objekte

haben.

Fachdidaktische Grundlagen 95


Jürgen Roth

Spiralprinzip

(an fundamentalen Ideen orientiert)

Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S. 173-182

Spiralprinzip

Fundamentalen Ideen (Leitideen)

werden im Unterricht in

mehreren Durchgängen mit

steigendem Niveau behandelt.

Prinzip

des vorwegnehmenden Lernens

der Fortsetzbarkeit

Fundamentale Ideen des MU

Zahl

Messen

räumliches Strukturieren

funktionaler Zusammenhang

Daten und Zufall

Algorithmus

mathematisches Modellieren

Fachdidaktische Grundlagen 96


Jürgen Roth

? ? ?

?

? ?

? ?

?

Sokratisches Prinzip

Lehrprinzip der Mäeutik

Hebammenkunst

Ausgangspunkt

Menon-Sokrates-Dialog

Pädagogische Grundhaltung

Nicht belehren, sondern beim

eigenen Entdecken und Urteilen

helfen.

Sokratisches Prinzip

L. initiiert und steuert durch

Fragen den Problemlöseprozess

der S.

L. hilft den S. sich Wissen selbst

anzueignen und ein Verständnis

zu entwickeln

Fachdidaktische Grundlagen 97


Sokrates A � A‘ = 2A

Jürgen Roth

a = 2 Fuß � a‘ = ?

Sklave a‘ = 2a = 4 Fuß

Sokrates a‘ = 2a � A‘ = ?

Sklave A‘ = 2A

Sokrates 4 Ausgangsquadrate

Sklave A‘ = 4A

Sokrates a‘ = a = 2 Fuß � A‘ = A < 2A

Sklave a‘ = 3 Fuß

a‘ = 2a = 4 Fuß � A‘ = 4A > 2A

Sokrates a‘ = 3 Fuß � A‘ = ?

Sklave A‘ = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A

Sokrates Wie dann?

Sklave ?

Sokrates …

Menon-Sokrates-Dialog

Platon: Auszug aus dem „Menon – Sokrates – Dialog“

a

Fachdidaktische Grundlagen 98

A

a


Jürgen Roth

Trichtermuster �

Lehrerin: … da ist kein bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30

Tage und rechnet mit den 30 Tagen, und in a) ist ja die Wassermenge

von einem Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für einen

Monat?

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin: Na, du weißt, ein Monat hat 30 Tage ...

Schülerin: (bejahend) … Hm …

Lehrerin: Und nun?

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin: Eine Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel ein

Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also ein Tag hat x Hektoliter,

nich und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen?

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin: Na, wie viel haben wir gesagt für einen Monat?

Schülerin: 30 Tage.

Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im Mathematikunterricht.

In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S. 158 – 170

Eine Heilquelle hat eine

Ausschüttung von 200 hl pro

Stunde. Welche Wassermenge

liefert sie

a) täglich,

b) monatlich,

c) jährlich?

Lehrerin: Also x Hektoliter mal 30. Das wären die Hektoliter für einen Monat.

Fachdidaktische Grundlagen 99


Jürgen Roth

Genetisches Prinzip

Wagenschein: Verstehen lehren. Beltz Verlag, Weinheim und Basel, 1975 5

Zentrales Anliegen

Folge

Mathematik nicht als

Fertigprodukt lehren!

S. sollen einen Einblick in

den Prozess der Entstehung

von Mathematik erhalten.

(Genese = Entstehung, Entwicklung)

Unterricht nach genetischem

Prinzip ist problemlösender

Unterricht

Begriffe werden als Antworten

auf Fragen mit bzw. von den S.

entwickelt

Fachdidaktische Grundlagen 100


Jürgen Roth

Erdumfangsbestimmung

(Eratosthenes)

http://www.grenzstein.de/era/eratosthenes.html

http://www.juergen-roth.de/dynageo/eratosthenes/eratosthenes_wagenschein_erdumfangsbestimmung.html

http://www.juergen-roth.de/dynageo/eratosthenes/eratosthenes_beleuchtung_mond_erde_durch_sonne.html

Jedes Jahr am 21. Juni wirft der Obelisk auf dem

Marktplatz in Assuan (damals Syene) in Oberägypten

zur Mittagszeit keinen Schatten. Die Sonne steht also

zu dieser Zeit genau senkrecht über diesem Obelisk.

Zur gleichen Zeit wirft der Obelisk auf dem Marktplatz

im 5000 Stadien (ca. 1000 km) nördlich von Assuan

liegenden Alexandria einen deutlich erkennbaren

Schatten.

Eratosthenes hat den Winkel gemessen, den die Sonnenstrahlen mit dem

Obelisken in Alexandria einschlossen. Der Winkel betrug 1/50 des Vollwinkels.

Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen?

Welches Ergebnis erhielt er?

Umfang

der Erde?

Libyen

Alexandria

Ägypten

Assuan

(Syene)

Fachdidaktische Grundlagen 101


Jürgen Roth

Grundlage

Prinzip der

Beziehungshaltigkeit

Wissen wird im Gedächtnis als

Netzwerk von Beziehungen

gespeichert.

Neues Wissen heißt eingliedern

in und erweitern von bereits

vorhandene(n) Begriffsnetze(n).

Stichworte

Ausgehen von den

Vorerfahrungen der S.

kumulatives Lernen

Kompetenzentwicklung

erfahrbar machen

Prinzip der Lebensnähe

fachübergreifendes Lernen

Fachdidaktische Grundlagen 102


Jürgen Roth

Prinzip des produktiven Übens

Produktives (sinnvolles) Üben

ist keine isolierte Tätigkeit,

ist mit Einsicht verbunden,

findet regelmäßig statt,

wird in die Erarbeitung

neuer Inhalte integriert,

geschieht in herausfordernden

und anregenden Kontexten,

orientiert sich an dem was wirklich

gebraucht wird (→ Produkt).

Gegensatz: Stereotypes Üben

geht nicht auf Fehlerursachen ein,

bietet keine konstruktive Hilfe,

trägt zur Verfestigung von

Denkfehlern bei.

Fachdidaktische Grundlagen 103


Jürgen Roth

A

c

B

Offene Aufgabe

http://www.juergen-roth.de/dynageo/knobelaufgaben/quader_kippen/index.html

Ein Glasquader wird teilweise mit Wasser gefüllt,

auf einen Tisch gestellt und um eine seiner

Bodenkanten gekippt.

Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim

Kippen verschiedene geometrische Formen an,

die sich auch in ihren Ausmaßen verändern.

Versuchen Sie so viele unveränderliche

Beziehungen wie möglich bezüglich dieser

Formen und deren Ausmaßen zu finden.

Notieren Sie Ihre

Entdeckungen und

versuchen Sie sie

zu begründen.

b

C

b·c = const.

Fachdidaktische Grundlagen 104

A

D

a

M

B

N

C

b

a + b = const.


Jürgen Roth

Aufgabenvariation (Strategien)

Schupp: Variatio delectat! Der Mathematikunterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S. 4-12 und 53

http://www.juergen-roth.de/dynageo/ueberlappende_quadrate/ueberlappende_quadrate.html

Fachdidaktische Grundlagen 105


Jürgen Roth

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 227-246

Fachdidaktische Grundlagen

8 Begriffe erarbeiten

Fachdidaktische Grundlagen 106


Jürgen Roth

Bausteine des Wissens

charakterisieren Objektklassen

verdichten Informationen

Grundlage sprachlicher Kommunikation

beeinflussen die Gedächtnisleistung

beeinflussen das Problemlösen

Begriffe

Fachdidaktische Grundlagen 107


Jürgen Roth

Begriffe und Problemlösen

Quelle von Problemstellungen

Mittel zum Präzisieren von

Problemstellungen

Lösungshilfen für Probleme

Lösungen von Problemen

Mittel zur Sicherung von

Problemlösungen

Fachdidaktische Grundlagen 108


Jürgen Roth

Leitbegriff eines Themenstrangs

Rolle von Begriffen

z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrscheinlichkeit, Figur, …

Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz

z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, …

Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit

Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.

Arbeitsbegriff

Benennung, um über Sachverhalte überhaupt

ohne Umschreibung sprechen zu können.

Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut.

Fachdidaktische Grundlagen 109


Jürgen Roth

Intuitives Begriffsverständnis

Begriff als Phänomen

Beispiele kennen.

Inhaltliches Begriffsverständnis

Begriff als Träger von Eigenschaften

Eigenschaften kennen

Integriertes Begriffsverständnis

Begriff als Teil eines Begriffsnetzes

Beziehungen von Eigenschaften untereinander

und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen

Formales Begriffsverständnis

Begriff als strukturierbares Objekt

Stufen des

Begriffsverständnisses

Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S. 215-217

Begriffe als Objekte die verknüpft werden können

Fachdidaktische Grundlagen 110

6

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

Größe

Größe

Seiten

1

2

3

4

5

6

Größe

5

6

1

2

3

4

Größe

Rechteck

3

4

5

6

1

2

2

3

4

5

6

Größe

1

Größe

4

5

6

1

2

3

Größe


Jürgen Roth

Lernen als Ersteigen von Stufen

Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens

führt zu Wissen höherer Qualität. � Höhere Stufe

Lernen durch Erweiterung

Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim

Operieren mit den bisherigen Objekten stößt.

� Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.

Modelle langfristigen

Begriffslernens

Fachdidaktische Grundlagen 111


Jürgen Roth

Verstehen eines Begriffs

Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie

Bezeichnung des Begriffs kennen,

Beispiele angeben und jeweils begründen können,

warum es sich um ein Beispiel handelt,

Gegenbeispiele angeben und begründen können,

weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt,

charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,

Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,

mit dem Begriff arbeiten können

(z. B. im Rahmen von Problemlösungen)

Fachdidaktische Grundlagen 112


Jürgen Roth

Erfahrungen zum Begriff sammeln

Handlungen (enaktive Repräsentation)

Objekte darbieten

Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)

Merkmale entdecken

Prinzip der Variation

Prinzip des Kontrasts

Sprache (benennen, beschreiben)

Erarbeiten eines Begriffs

Definition erarbeiten

Genetische Definition

Charakterisierende Definition

Oberbegriff angeben

Definierende Eigenschaft � Bedingung notwendig & hinreichend

Kritisch Reflektieren

Definition durch möglichst „schwache“ Forderung

Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache

Fachdidaktische Grundlagen 113


Jürgen Roth

Einstieg

An einem geeigneten Problemkontext werden

ersten Vorstellungen vom Begriff entwickelt.

Erarbeitung

Umfang und Inhalt des Begriffs herausarbeiten

Sicherung

Ergebnisse festhalten

mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen,

ob der Begriff erfasst ist und etwa gegen

andere Begriffe abgegrenzt werden kann

(z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen)

Vertiefung (Transfer)

Querverbindungen zu anderen Begriffen herstellen

Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten

(z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften)

Anwendungen, …

Unterrichtsphasen

(bei zentralen Begriffen)

Verankerung

in kognitiver

Struktur

Fachdidaktische Grundlagen 114


Einstieg

Wie viele Punkte können

ein Kreis und eine Gerade

gemeinsam haben?

Erarbeitung

Tangente, 1 Berührpunkt,

Sekante, 2 Schnittpunkte,

Passante, keine gem. Punkte.

Sicherung: Tangente zeichnen!

Vertiefung:

Jürgen Roth

Besitzt die Figur aus Kreis und

Tangente eine Symmetrieachse?

Ja! � Tangente steht senkrecht

auf dem Berührpunktradius.

Wie kann man die Tangente konstruieren?

Beispiel: Tangente

an einen Kreis

Fachdidaktische Grundlagen 115

k

M

B

t


Jürgen Roth

Vertiefung:

M P

Beispiel: Tangente

an einen Kreis

Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?

Skizziere Sie!

Wie kann man die Tangenten konstruieren?

Fachdidaktische Grundlagen 116


Jürgen Roth

Beispiel:

Dreiecksgrundformen

Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S. 21-25

Grundverständnis der Begriffe

gleichschenkliges Dreieck

rechtwinkliges Dreieck

spitzwinkliges Dreieck

stumpfwinkliges Dreieck

Ziel: Erarbeitung einer Verständnisgrundlage

Begriffe als „bewegliche“ Strukturen aufbauen

Begriffe flexibler verfügbar machen

als mit statischen Prototypen

A

Fachdidaktische Grundlagen 117

C

B


Jürgen Roth

Gleichschenklige Dreiecke

1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, die

a) gleichschenklig mit |AC| = |BC| sind,

b) gleichschenklig mit |AC| = |AB| sind,

c) gleichschenklig mit |BC| = |AB| sind.

2) Angabe von Kurven

(Begründung)

3) Widerlegen bzw. vertrauens-

bildende Maßnahme durch

Binden von C an die Kurven.

4) Beobachtung der Innenwinkel

� Basiswinkelsatz

5) Gleichseitige Dreiecke

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/

75°

3,6 cm

� b

Fachdidaktische Grundlagen 118

C


A B

60°

5 cm

4,5 cm

45°


Jürgen Roth

Rechtwinklige Dreiecke

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/

Fachdidaktische Grundlagen 119


Jürgen Roth

Dreiecksgrundformen

„Merkbild“

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/

Fachdidaktische Grundlagen 120


Jürgen Roth

Eckpunkt wandert auf einer

Kurve

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/

Fachdidaktische Grundlagen 121


Jürgen Roth

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 246-260

Fachdidaktische Grundlagen

9 Sachverhalte erarbeiten

Fachdidaktische Grundlagen 122


Jürgen Roth

Eigenschaften

mathematischer

Objekte

Regeln für

den Umgang mit

mathematischen

Objekten

Regeln

Sachverhalte

Gesetze

Eigenschaften

von Begriffen

Begründbare Aussagen

Sätze

Sachverhalte?!

Beziehungen

zwischen

Begriffen

Fachdidaktische Grundlagen 123


Jürgen Roth

Entdecken von Sachverhalten

Induktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegen

Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“

Formulieren der Sachverhalte

als mathematische Aussagen

Begründen der Aussagen

Logische Struktur (Voraussetzung,

Behauptung) herausarbeiten

Ziele des Begründens

Wahrheit einer Aussage sichern

Einsicht in den Sachverhalt vermitteln

Verstehen der Sachverhalte

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu

(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen

Didaktische Aufgaben

2² = 4 > 2

3² = 9 > 3

4² = 16 > 4

a² > a

� a � R\[0;1]

Fallunter-

scheidung

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

Fachdidaktische Grundlagen 124

y

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

x


Jürgen Roth

Erfahren von

Handlungsspielräumen

und Sachzwängen

Probieren

Verschiedene

Begründungsweisen

Messen � b � � + b + �

31° 44,5° 115° 180,5°

51° 92° 35° 179°

Fachdidaktische Grundlagen 125


Jürgen Roth

Sonderfälle

Beweis

Verschiedene

Begründungsweisen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/winkelverschiebung/innenwinkelsumme_dreieck.html


� 1 � 2

b

�B �C bA

bC

90 ° + 90 ° =

� 180 ° =

C

A B

( � + � 1 ) + ( b + � 2 )

� + b + �

�A

�B Winkelverschiebung

Fachdidaktische Grundlagen 126


Einstieg: Die Seitenlänge a eines Quadrates wird um b vergrößert.

Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates?

Erarbeitung:

Sicherung: heißt

1. binomische Formel (Plusformel).

Jürgen Roth

( b )

a +

( a + b )

2

2

=

2

( a + b ) =

2

a + 2ab

Skizze einer Unterrichtseinheit

http://www.juergen-roth.de/dynageo/binomische_Formeln/binomische_Formeln.html

+ b

2

= ( a + b ) · ( a + b )

2

= a + ab + ab b

2

= a + 2ab + b

2

2

a + 2ab + b

2

+ 2

(x + y) 2 , (x + 3) 2 , (5 + z) 2 , (a + 2b) 2 ,

(x 2 + y 3 ) 2 , c 2 + 2cd + d 2 , …

Vertiefung: Verwandle (a � b)² in eine Summe.

Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? …

Fachdidaktische Grundlagen 127

b

a

ab


a


ab

b

Probleme:

(a+b)² � = a²+b²

(2xy+3vw)²


Jürgen Roth

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 261-270

Fachdidaktische Grundlagen

10 Algorithmen erarbeiten

Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren

Fachdidaktische Grundlagen 128


Jürgen Roth

Didaktische Aufgaben

Verfahren Schrittfolgen, die abzuarbeiten sind.

Ziele: Die Schülerinnen und Schüler

Alle Schritte begründen.

(U. a. Beitrag zur Lösung verdeutlichen.)

Das verstandene (!) Verfahren

durch Anwendung üben.

eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens)

(d. h. sie verstehen es und können es anwenden)

können zwischen dem Ziel und dem Weg dahin unterscheiden

(Ziel: „+2 auf die andere Seite bringen“;

Weg: „Auf beiden Seiten 2 subtrahieren.“)

denken über Alternativen nach und versuchen,

den gefundenen Algorithmus zu verbessern,

notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter

als Algorithmus, der von Computern ausführbar ist.

Fachdidaktische Grundlagen 129


Jürgen Roth

Benötigte Vorkenntnisse

und Fähigkeiten

Voraussetzungen für das Lernen eines Verfahrens:

Beherrschung einer Regelhierarchie

Zur Sicherstellung sind u. U. Wiederholungen nötig.

Beispiel für eine

Fähigkeitshierarchie:

Schriftliche Addition

mehrstelliger Zahlen.

Einspluseins im Kopf

Schriftliche Multiplikation

mehrstelliger Zahlen

miteinander

Schriftliche Multiplikation

mehrstelliger Zahlen mit

einer einstelligen Zahl

Kleines Einmaleins im Kopf

Fachdidaktische Grundlagen 130


Jürgen Roth

Der größte gemeinsame Teiler

(ggT) zweier Zahlen lässt sich

über die Primfaktorzerlegung

oder den Euklidischen

Algorithmus bestimmen.

72 21 1 1

= 1 + = 1 + = 1 +

51 51 51 9

2 +

21 21

1

1

= 1 + = 1 +

1

1

2 + 2 +

21

3

2 +

9

9

1

1

= 1 + = 1 +

1

1

2 +

2 +

1

1

2 +

2 +

9

3

3

Euklidischer Algorithmus (ggT)

72

ggT(72, 51) = ? 3

51

Fachdidaktische Grundlagen 131


Jürgen Roth

72 = 1 � 51 + 21

51 = 2 � 21 + 9

21 = 2 � 9 + 3

9 = 3 � 3 + 0

Euklidischer Algorithmus (ggT)

72

http://www.juergen-roth.de/excel/

51

Fachdidaktische Grundlagen 132


Jürgen Roth

Heron-Verfahren

(Wurzelberechnung)

Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren:

An die Straße grenzende Grundstückslänge

(Frontmetermaßstab).

Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen

als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.

Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen.

Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage

Straßenreinigungsgebühren

werden aus der Seitenlänge

eines zum Grundstück

flächeninhaltsgleichen

Quadrats berechnet.

Frage: Wie findet man die

Seitenlänge dieses Quadrats?

A

Fachdidaktische Grundlagen 133

B


Jürgen Roth

Heron-Verfahren

(Wurzelberechnung)

http://www.juergen-roth.de/dynageo/heronverfahren/

Fachdidaktische Grundlagen 134


Jürgen Roth

Gesucht: A

Anfangswert: a 0

a

b =

n + 1

=

A

n a n

a

n

+

2

b

n

b

0

=

a

A

0

=

6

b

1

Heron-Verfahren

(Wurzelberechnung)

=

a

A

1

a

1

a 0 =

A = 24

=

=

4 , 8

Fachdidaktische Grundlagen 135

a

0

4

http://www.juergen-roth.de/excel/

+ b

2

0

=

5


Jürgen Roth

Schwierigkeiten und

Überraschungen

Fachdidaktische Grundlagen 136


Jürgen Roth

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 270-281

Fachdidaktische Grundlagen

11 Anwenden und Modellieren

Fachdidaktische Grundlagen 137


Jürgen Roth

innermathematische

Anwendung

Ziel: Querverbindungen

zwischen

mathematischen

Gebieten herstellen

Mathematik anwenden

1. Weg:

Einstieg in neues

Gebiet mit einem

„praktischen“

Problem

außermathematische

Anwendung

Ziel: „Nutzen“

der Mathematik

verdeutlichen &

motivieren

Anwenden?!

2. Weg:

Anwendungsbeispiele

nach

Erarbeitung

eines Gebietes

Fachdidaktische Grundlagen 138


Jürgen Roth

Es geht nicht um

„frisierte“, also

mindestens bereinigte

oder eingekleidete

Sachaufgaben,

sondern um die

Auseinandersetzung

mit realen Problemen.

Die Schüler sollen

das Modellieren an

einfachen Beispielen

selbst erfahren und

darüber reflektieren

können.

Geistige Abenteuerlust

Fachdidaktische Grundlagen 139


Kann man die Flüssigkeit

aus dem linken

Standzylinder in den

rechten Standzylinder

schütten, ohne dass er

überläuft?

Jürgen Roth

Beispiel: Standzylinder

http://www.juergen-roth.de/dynageo/knobelaufgaben/umfuellproblem/index.html

Fachdidaktische Grundlagen 140


Jürgen Roth

Idealisieren

Strukturieren

Vereinfachen

Präzisieren

reales

Modell

reale

Situation

Mathe-

matisieren

Anwenden

Interpretieren

Validieren

Modellierungskreislauf

mathem.

Modell

mathem.

Resultate

mathematische

Überlegungen

Fachdidaktische Grundlagen 141


Jürgen Roth

Beispiel: Luft-Nummer

Viel heiße Luft bringt einen mit

Sicherheit nach oben. Niemand weiß

das besser als lan Ashpole. Der 43jährige

stand in England auf der Spitze

eines Heißluftballons. Die Luftnummer

in 1500 Meter Höhe war noch der

ungefährlichste Teil der Aktion.

Kritischer war der Start: Nur durch ein

Seil gesichert, musste sich Ashpole auf

dem sich füllenden Ballon halten. Bei

der Landung strömte dann die heiße

Luft aus einem Ventil direkt neben

seinen Beinen vorbei. Doch außer

leichten Verbrennungen trug der

Ballonfahrer keine Verletzungen davon.

Wie viel Liter Luft sind wohl in

diesem Heißluftballon?

Fachdidaktische Grundlagen 142


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

12 Problemlösen

Fachdidaktische Grundlagen 143


Jürgen Roth

Kapitel 12: Problemlösen

12.1 Was ist ein Problem?

12.2 Problemlösen im Mathematikunterricht

12.3 Heuristische Strategien und Hilfsmittel

12.4 Wie sucht man die Lösung?

12.5 Hilfen beim Problemlösen

Inhaltsverzeichnis

Fachdidaktische Grundlagen 144


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen

12.1 Was ist ein Problem?

Fachdidaktische Grundlagen 145


Jürgen Roth

Zahlenzauber

http://www.messe-ideen.de/online-spiel-magisches-zahlenraetsel.htm

Fachdidaktische Grundlagen 146


Jürgen Roth

Zahlenzauber

Fachdidaktische Grundlagen 147


Jürgen Roth

(Routine-)Aufgabe

Was ist ein Problem?

Anfangszustand Algorithmus

Zielzustand

Problem

?

Anfangszustand Zielzustand

Fachdidaktische Grundlagen 148


Jürgen Roth

Subjektiv sehr verschieden

Abhängig von Vorwissen

Dieselbe Aufgabe kann für

verschiedene Menschen

einen Routineaufgabe oder

ein Problem sein.

Fehleinschätzungen bzgl. der

Schwierigkeit einer Aufgabe

beruhen in der Regel auf der

falschen Einschätzung des

Vorwissens.

Aufgabe oder Problem?

Fachdidaktische Grundlagen 149


Jürgen Roth

Anschaulichkeit bzw.

Abstraktionsgrad

Formalisierungs- bzw.

Mathematisierungsgrad

Bekanntheit

Komplexität

Anforderungsniveau

von Problemen

Fachdidaktische Grundlagen 150


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen

12.2 Problemlösen im

Mathematikunterricht

Fachdidaktische Grundlagen 151


Jürgen Roth

Mathematik im Entstehen

Fachdidaktische Grundlagen 152


problemorientiertes

Lernen

Jürgen Roth

Problem finden

• Probleme in Kontexten entdecken

• Problemsituation erfassen und bewerten

Problem lösen (Problemlösen im engeren Sinn)

• Mathematische Kompetenzen in neuer Weise

oder Kombination einsetzen

• Vorhandene Kompetenzen / Begriffe werden

dabei gefestigt und flexibilisiert

Problem weiterentwickeln

• Suche nach Problemlösungen führt auf neue

mathem. Ideen oder weiterführende Probleme

• Neue math. Begriffe und Verfahren entstehen

Problemlösen

(im weiteren Sinn)

Nach Leuders (Hrsg.): Mathematik-Didaktik, Cornelsen Scriptor, 2003

entdeckendes

Lernen

Fachdidaktische Grundlagen 153


Jürgen Roth

Warum Problemlösen im MU?

Gelegenheit Mathematik individuell und aktiv zu konstruieren

angemessenes Bild der Mathematik

Kontexte die mathematischen Konstrukten Sinn geben

Behalten, Motivation, nachhaltiges Lernen

Schlüsselkompetenz für das lebenslange Lernen

eigene Lösungsansätze und Strategien entwickeln

mit uneindeutigen Informationen umgehen

emotionale Erlebnisse

Durchhaltevermögen, Aushalten von Widerständen

Durchbrüche, Aha-Erlebnisse

Transfer

Umgang mit unbekannten Situationen

Sammeln und strukturieren von Informationen

Fachdidaktische Grundlagen 154


Jürgen Roth

führt auf allgemeine mathematische Ideen

macht übergreifende Zusammenhänge verständlich

neue Begriffsbildungen werden nötig und einsichtig

Kriterien für ein

„gutes“ Problem

bietet Anlass zu divergentem Arbeiten & individuellem Erkunden

erlaubt verschiedene Ansätze auf unterschiedlichen Niveaus

bietet einen inner- oder außermathematischen Kontext

für eine mathematisches Konzept

ist leicht zugänglich und unmittelbar verständlich

macht die Selbstentwicklung einer Strategie notwendig

führt zur Nutzung und neuen Kombination

von vorhandenen Kenntnissen

Fachdidaktische Grundlagen 155


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen

12.3 Heuristische Strategien

und Hilfsmittel

Fachdidaktische Grundlagen 156


Jürgen Roth

Einfache Einstiegsprobleme

Roth: Online-Spiele im Mathematikunterricht?! In: Mathematik lehren, Heft 146, Februar 2008, S. 68-69

http://www.gamecraft.de/get_gruppe.php?gruppe=ma

Fachdidaktische Grundlagen 157


Jürgen Roth

Vorwärtsarbeiten

Was ist gegeben?

Heuristische Strategien

Was weiß ich über das Gegebene?

Was kann ich daraus ermitteln?

Rückwärtsarbeiten

Was ist gesucht?

Was weiß ich über das Gesuchte?

Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?

Invarianzprinzip

Was ändert sich nicht?

Was haben alle Objekte gemeinsam?

Kombination

Zerlegungsprinzip

Welche Teilfragen sind zu lösen? (Zerlegen)

Abarbeiten der Teilprobleme

Fachdidaktische Grundlagen 158


Jürgen Roth

Analogiebildung

Heuristische Strategien

Hast du schon einmal etwas Ähnliches gelöst?

Lassen sich Lösungsschritte übernehmen?

Suchraumeingrenzung

In welchen Grenzen liegt das Ergebnis?

Systematisches Probieren

Ziel-Mittel-Analyse

Welche (heuristischen) Hilfsmittel können

auf dem Weg zum Ziel hilfreich sein

Spezialisieren, Grenzfälle ausloten

Konkretisieren

Fachdidaktische Grundlagen 159


Jürgen Roth

Lernen von Heurismen

Bruder: Lernen geeignete Fragen zu stellen – Heuristik im MU. In: Mathematik lehren 115, 2002, S. 4-8

1. Implizite Gewöhnung an heuristische

Vorgehensweisen und zugehörige

typischen Fragestellungen.

2. Zu lernende Strategie an Hand von

Musteraufgaben explizit vorstellen.

3. Übungsphase mit Aufgaben

unterschiedlicher Schwierigkeit,

in denen die neue Strategie

bewusst angewandt werden soll.

4. Anstreben einer unterbewussten

flexiblen Strategieanwendung.

� Reflexionsphase: Beschreibung

mit heuristischer Fragetechnik.

Fachdidaktische Grundlagen 161


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen

12.4 Wie sucht man die Lösung?

Fachdidaktische Grundlagen 162


Erstens

Du musst die Aufgabe verstehen.

Zweitens

Suche den Zusammenhang zwischen

den Daten und der Unbekannten.

Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten,

wenn ein unmittelbarer Zusammenhang

nicht gefunden werden kann.

Du musst schließlich einen Plan

der Lösung erhalten.

Drittens

Führe deinen Plan aus.

Viertens

Prüfe die erhaltene Lösung.

Jürgen Roth

Wie sucht man die Lösung?

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite

Fachdidaktische Grundlagen 163


Jürgen Roth

Wie sucht man die Lösung?

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite

Fachdidaktische Grundlagen 164


Jürgen Roth

Wie sucht man die Lösung?

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite

Fachdidaktische Grundlagen 165


Jürgen Roth

Wie sucht man die Lösung?

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite

Fachdidaktische Grundlagen 166


Jürgen Roth

Wie sucht man die Lösung?

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite

Fachdidaktische Grundlagen 167


Jürgen Roth

Beispiel: Kreiskonstruktion

Fachdidaktische Grundlagen 168


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, Basel, 1998 4 , S. 319

Zwei Orte A und B liegen 245 km voneinander entfernt. In Ort A

startet ein Auto in Richtung Ort B und legt durchschnittlich in einer

Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet in Ort B ein Auto in

Richtung Ort A und legt in der Stunde durchschnittlich 80 km

zurück. Während die beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig ein

Hubschrauber in Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit einer

Durchschnittsgeschwindigkeit von 240 km/h in Richtung Ort B. In

dieser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er

wendet ohne Zeitverlust und fliegt in Richtung Ort A, bis er auf das

Auto, das in Ort A gestartet ist, trifft. Auf diese Weise fliegt der

Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos hin und her, bis

die Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt der

Hubschrauber währenddessen zurück?

Fachdidaktische Grundlagen 169


Jürgen Roth

2

2

Beispiel: Hubschrauber

240 km/h

60 km/h 80 km/h

245 km =

245 km

1,75 h

km

km h

140 h


240 1,75 h = 420 km

Fachdidaktische Grundlagen 170


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 171


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 172


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 173


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 174


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 175


Jürgen Roth

Beispiel: Hubschrauber

Fachdidaktische Grundlagen 176


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen – Kapitel 12: Problemlösen

12.5 Hilfen beim Problemlösen

Fachdidaktische Grundlagen 177


So wenig wie möglich aber so viel wie nötig.

Jürgen Roth

Motivationshilfen

Rückmeldungshilfen

Allgemeinstrategische Hilfen

Inhaltsorientierte strategische Hilfen

Inhaltliche Hilfen

Hilfen beim Problemlösen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998 9 , S. 315

Fachdidaktische Grundlagen 178


Motivationshilfen

Die Aufgabe ist

nicht schwer.

Du kannst das

schaffen.

Man braucht

nicht viel Zeit zur

Lösung.

Man findet

schnell

Lösungsideen.

Jürgen Roth

Rückmeldungshilfen

Du bist auf

einem richtigen

Weg.

Du stehst kurz

vor der Lösung.

Da musst du

noch einmal

nachrechnen

Mach weiter so.

Allgemeinstrategische

Hilfen

Lies die Aufgabe

genau durch.

Notiere

gegebene Daten.

Erstelle eine

Skizze.

Überprüfe deinen

Lösungsweg.

Hilfen beim Problemlösen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998 9 , S. 319

Inhaltsorientierte

strategische

Hilfen

Versuche deine

Kenntnisse zu …

anzuwenden.

Versuche

graphisch zu

lösen.

Überprüfe die

Größenordnung

der Ergebnisse.

Überprüfe die

Ergebnisse am

Text.

Inhaltliche

Hilfen

Zeichne folgende

Hilfslinie ein.

Denk an den

Zusammenhang


Versuche aus

den gegebenen

Größen … die

fehlende zu

berechnen.

Jetzt weißt

du …, also …!

Fachdidaktische Grundlagen 179


Jürgen Roth

Vollrath, Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum, 2012, S. 177-226

Barzel, Holzäpfel: Leitfragen zur Unterrichtsplanung. In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 4-9

Jaschke: Von der klassischen zur didaktischen Sachanalyse. In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 10-13

Bostelmann: Unterricht als Lernprozess planen – Was macht ein Pantograph? In: Mathematik lehren 158, 2010, S. 50-52

Fachdidaktische Grundlagen

13 Unterrichtsplanung

Fachdidaktische Grundlagen 180


5

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7

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10

11

12

Jürgen Roth

Lehrplanüberblick Mathematik

Zahlen Funktionen Geometrie Stochastik

• natürliche und ganze Zahlen

• Grundrechenarten

• Größen i. Alltag / Sachaufg.

• Bruch- und Dezimalzahlen

• Grundrechenarten

• Prozentrechnung (Grundl.)

• Terme berechnen/umform.

• lineare Gleichungen

• Prozentrechnung vertiefen

• lineare Ungleichungen

• lin. Gleichungssysteme

• Potenzen mit neg. Expo.

• Bruchterme & –gleichungen

• Quadratwurzeln, irrationale

Zahlen

• quadratische Gleichungen

• Potenzen (rat. Exponenten)

• Kreiszahl �

• Exponentialgleichungen und

Logarithmen

• Funktionspropädeutik:

Diagramme

• Funktionspropädeutik:

Diagramme, Schlussrechnung

(Dreisatz)

• Funktionspropädeutik: Terme &

Gleichungen aufstellen; Interpretieren/Veranschaulichen

von und

Argumentieren mit Termen

• Einführung i. d. Funktionenlehre

• lineare Funktionen und Anwend.

• elementare gebrochenrationale

Funktionen

• quadratische Funktionen und

Anwendungen

• exponentielles Wachstum

• ganzrationale Funktionen

• trigonometrische Funktionen

• Vertiefen der Funktionenlehre

• Euler'sche Zahl e • gebrochenrationale Funktionen

• natürliche Exponential- &

Logarithmusfunktion

• Wurzel-, Umkehrfunktion

• Differential- & Integralrechnung

• geometrische Grundbegriffe,

Grundfiguren und Grundkörper

• Flächenmessung (Rechteck)

• Flächenmessung (Dreieck,

Parallelogramm, Trapez)

• Körpernetze & Schrägbilder

• Volumenmessung (Quader)

• Achsen- und Punktsymmetrie

• Winkelbetrachtungen an

Figuren

• Dreieck als Grundfigur

• Zählprinzip und

Baumdiagramm

• relative Häufigkeit

• Auswerten von Daten

statistischer Erhebungen und

ihre Darstellung

• Strahlensatz und Ähnlichkeit • intuitiver

Wahrscheinlichkeitsbegriff

(Laplace-Experiment)

• Satzgruppe des Pythagoras

• Trigonometrie rechtw. Dreieck

• Prisma, Pyramide, Zylinder,

Kegel

• Kreis, Kugel

• Trigonometrie im allg. Dreieck

• Koordinatengeometrie im

Raum, Ergänzung bisheriger

Kenntnisse und Verfahren

durch die Vektorrechnung

• Geraden & Ebenen im Raum

• zusammengesetzte

Zufallsexperimente

(Pfadregeln)

• zusammengesetzte

Zufallsexperimente

(bedingte Wahrscheinlichkeit)

• axiom.

Wahrscheinlichkeitsbeg.

• Wahrsch. verknüpfter Ereign.

• Binomialverteilung

• beurteilenden Statistik

Fachdidaktische Grundlagen 181


Jürgen Roth

Zeitlicher Umfang der Behandlung von Themen

Gefahr: Man hält sich bei einzelnen Themen

(zu Beginn des Schuljahres) zu lange auf und hat

am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete.

Bildung von Unterrichtssequenzen

Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen

von Zusammenhängen … benötigt mehrere

zusammenhängende Unterrichtseinheiten.

Anordnung der Unterrichtssequenzen

Sachlogik

Didaktische Prinzipien

Jahresplan

Fachdidaktische Grundlagen 182


Jürgen Roth

Beispiel: Klasse 7

Geometrie Zahlen Funktionen Stochastik

Winkelbetrachtungen

an Figuren

Achsen- & punktsym-

metrische Figuren;

Grundkonstruktionen

Dreiecksgrundformen

Dreieckstransversalen

Konstruktionen

Kongruenz

Term � Zahl

Term � Abhängigkeit

Daten & Mittelwerte

Diagramme & Prozentrechnung

Termumformungen

Gleichungen

Fachdidaktische Grundlagen 183


Jürgen Roth

Entscheidung über die Didaktische Konzeption

Hintergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung)

„Roter Faden“ (Schlüsselbegriff, durchgängige

Problemstellung, durchgängige Methode)

Auswahl der Inhalte

Unterrichtssequenz

Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen

und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden?

„Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist,

und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist!“ Diesterweg

Anordnung/Verteilung der Inhalte

Genetisches Prinzip, operatives Prinzip, Prinzip der Isolation

der Schwierigkeiten, „Vom Leichtern zum Schwereren“

Unterrichtseinheiten nicht überladen

Gründlich beginnen und tragfähige Vorstellungen aufbauen

Fachdidaktische Grundlagen 184


Jürgen Roth

Einstieg

Erarbeitung

Sicherung

Vertiefung

Unterrichtseinheit

Ergebnisse

festhalten

Erreichen der

Lernziele mit

Hilfe geeigneter

Aufgaben

überprüfen

Fachdidaktische Grundlagen 185


Jürgen Roth

Einstiege sollen

Unterrichtseinheit

die S. motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen

auseinander zu setzen,

der Unterricht von Beginn an problemorientiert ausrichten,

den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren.

Übungen sollten

neue Entdeckungen zulassen

problemorientiert sein

das operative Prinzip berücksichtigen

produktiv sein (d. h. möglichst mit

praktischen Tätigkeiten verbunden)

anwendungsorientiert sein (d. h.

Sachsituationen mit einbeziehen &

praktische Erfahrungen vermitteln)

Fachdidaktische Grundlagen 186


Jürgen Roth

Wie ist die fachliche Struktur des Themas?

Wie kann das Thema erarbeitet werden?

Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten)

müssen die S. mitbringen?

Welche Lernziele sollen erreicht werden?

Wie sollen die S. motiviert werden?

Wie soll der Einstieg in das Thema erfolgen?

Welche Repräsentationsformen sind angemessen?

Welche Medien sollen eingesetzt werden.

In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden?

Welcher Grad der Selbsttätigkeit wird angestrebt?

Wie soll geübt und vertieft werden?

Grundfragen der

Unterrichtsplanung

Fachdidaktische Grundlagen 187


Jürgen Roth

Sozialform

Selbsttätig-

keit

Klassen- bzw.

Frontalunterricht

Gruppenarbeit

Partnerarbeit

Einzelarbeit

Instruktion

Lehrervortrag

Gruppeninstruktion

Partnerinstruktion

Individualisierte

Instruktion

gelenktes

Entdecken

Fragendentwickelnder

Unterricht



Sozialformen und

Selbsttätigkeitsgrad

nur Impulse

Freies

Unterrichtsgespräch

… …

Fachdidaktische Grundlagen 188



Jürgen Roth

Inhalte

Flächeninhalt des Dreiecks

Flächeninhalt des Parallelogramms

Flächeninhalt des Trapezes

inhaltsgleiche Figuren

binomische Formeln

Umfang und Flächeninhalt des Kreises

Unterrichtssequenz

Flächeninhalte

Fachdidaktische Grundlagen 189


Jürgen Roth

Flächen-

messung

Seitenlängen

aus N

Seitenlängen

aus Q +

Seitenlängen

aus R +

Flächeninhalt?!

Axiome des

Flächeninhalts

Themenkreis Flächeninhalt

Ergänzungs-

gleichheit

Flächen-

vergleich

Zerlegungs-

gleichheit

Fachdidaktische Grundlagen 190


Jürgen Roth

Stufen bei der

Behandlung von Größen

1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter

Maßeinheiten

ein drittes Objekt als Vermittler benutzen

ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter

Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen

Messgeräten

5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der

Maßeinheiten

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen

7. Stufe: Rechnen mit Größen

Fachdidaktische Grundlagen 191


Jürgen Roth

Tangram

Fachdidaktische Grundlagen 196


Jürgen Roth

Tangram

Fachdidaktische Grundlagen 197


Jürgen Roth

Flächeninhaltsbestimmung

Rechteck

Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw.

Intervallschachtelung)

Dreieck

Flächenvergleich

mit dem Rechteck

Polygon

Kreis

Triangulierung

(Einteilen in Dreiecke)

Einschachtelung

Fläche des Rechtecks:

A Rechteck = g * h

Formel

deshalb ist die

Fläche des Dreiecks

A Dreieck = 1/2 * g * h

Regler nach rechts ziehen

----------------->

A

g

C

h

Das Dreieck kann an den Eckpunkten

verändert werden

B

Fachdidaktische Grundlagen 198

A

C

h

Regler nach rechts ziehen

-------------->

R

B


Jürgen Roth

Kreisinhaltsbestimmung

http://geogebratube.org/student/m279

Fachdidaktische Grundlagen 199


Jürgen Roth

Schätze die Fläche

der Antarktis, indem

du den Maßstab der

Karte benutzt.

Schreibe deine

Rechnung auf und

erkläre, wie du zu

deiner Schätzung

gekommen bist.

Du kannst in der

Karte zeichnen, wenn

dir das bei deiner

Schätzung hilft.

PISA-Aufgabe

0

Kilometer

Fläche eines Kontinents

(Antarktika)

200 400 600 800

1000

Fachdidaktische Grundlagen 200


Jürgen Roth

Schätze die Fläche

der Antarktis, indem

du den Maßstab der

Karte benutzt.

Schreibe deine

Rechnung auf und

erkläre, wie du zu

deiner Schätzung

gekommen bist.

Du kannst in der

Karte zeichnen, wenn

dir das bei deiner

Schätzung hilft.

PISA-Aufgabe

0

Idee: Mit Einheitsfläche

„auslegen“

Fläche mit Schelfeistafeln:

13 975 000 km 2

Kilometer

200 400 600 800

1000

Fachdidaktische Grundlagen 201


Schätze die Fläche der

Antarktis, indem du den

Maßstab der Karte benutzt.

Schreibe deine Rechnung

auf und erkläre, wie du zu

deiner Schätzung

gekommen bist.

(Du kannst in der Karte

zeichnen, wenn dir das bei

deiner Schätzung hilft.)

PISA-Aufgabe

Jürgen Roth

Idee: „Vergleichen“ mit einer

„einfachen“ Fläche

0

Fläche mit Schelfeistafeln:

13 975 000 km 2

Kilometer

200 400 600 800

1000

Fachdidaktische Grundlagen 202


Jürgen Roth

D C

A B

Parallelogramm

D C

A B

Fachdidaktische Grundlagen 203


Parallelogrammflächen, die in der

Länge einer Seite & der zugehörigen

Höhe übereinstimmen sind

zerlegungsgleich.

Beweisidee: ΔADF ~ ΔBCE

Voraussetzung: [CD] � [EF] � �

F

Jürgen Roth

E

F

A B

Parallelogramm

D E

A B

D

Fachdidaktische Grundlagen 204

C

C


Jürgen Roth

Flächeninhaltsbestimmung

am Trapez

Fachdidaktische Grundlagen 205


Jürgen Roth

Projektthemen sollen …

aus den Inhalten der

Jahrgangsstufe erwachsen.

möglichst mehrere

mathematische Themen

miteinander verbinden und

früher behandelte Inhalte

einbeziehen.

möglichst Verbindungen zu

anderen Fächern herstellen.

einen Bezug zum Leben haben.

fachliche und historische

Hintergründe erhellen können.

Projekt

Ludwig: Projekte im Mathematikunterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998

Möglichkeiten zur Entfaltung

von Ideen und zu selbst-

ständiger Tätigkeit bieten.

unterschiedliche Interessen und

Fähigkeiten ansprechen.

die Beschaffung notwendiger

Informationen

durch die Schüler erlauben.

ergiebig sein, also Arbeit in

mehreren Gruppen

ermöglichen und Einsichten

vermitteln.

so gestaltet sein, dass am Ende

etwas

vorgezeigt werden kann.

Fachdidaktische Grundlagen 206


Jürgen Roth

Termin

Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend)

Gruppen

Präsentation

Materialien

Kosten (evtl. Sponsoring)

Projektorganisation

Einparken

Fachdidaktische Grundlagen 207


Jürgen Roth

Vertiefung

„open-ended problem solving“

Beispielstunde Japan -

Geometrie

Zur Förderung des logischen Denkens verwenden japanische Lehrer

häufig den methodischen Ansatz des „open-ended problem solving“,

der sich durch Erarbeitung unterschiedlicher Lösungsansätze in

Einzel- und Gruppenarbeit auszeichnet.

Aufgabe für die Gruppenarbeit

Es soll die Länge der Mittelparallele

eines Trapezes mit bekannten Längen

der parallelen Seiten bestimmt werden.

Der Lehrer

klärt die Problemstellung und teilt

die Klasse in Vierergruppen ein.

Die Schülerinnen und Schüler

tauschen ihre Ideen aus.

Fachdidaktische Grundlagen 210

A

6 cm

D

E F

B 10 cm C


Jürgen Roth

Fachdidaktische Grundlagen

14 Computereinsatz

am Beispiel DGS

Dynamisches Geometriessystem (DGS)

Fachdidaktische Grundlagen 212


Jürgen Roth

in jeder Sozialform

in allen Graden der Selbsttätigkeit

für die Konstruktion von Lernumgebungen

als Werkzeug


Einsetzbar …

Fachdidaktische Grundlagen 213


Jürgen Roth

Konstruktionswerkzeug

Makros, …

Visualisierungswerkzeug

dynamische Ortslinien

Zugmodus


Erforschungswerkzeug

Begriffsumfang

Entdecken


Werkzeugcharakter von DGS

http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/dynamik_von_dgs/roth_dynamik_von_dgs.pdf

Modellierungswerkzeug

rekonstruktives Modellieren, …

Heuristisches Werkzeug

vgl. „Dreiecksaufgabe“

„Denkwerkzeug“

Auslagern mathematischer

Fertigkeiten

Dynamik von DGS

Wozu und wie sollte

man sie nutzen?

Voraussetzung:

Bewegliches Denken

Fachdidaktische Grundlagen 214


Jürgen Roth

Bewegung hineinsehen

und damit argumentieren

Gesamtkonfiguration

erfassen und analysieren

Änderungsverhalten

erfassen und beschreiben

Bewegliches Denken

Fachdidaktische Grundlagen 215


Jürgen Roth

Kontrollinstanz

im Kopf abgelaufene bewegliche Denkvorgänge

auf ihre Tragfähigkeit hin kritisch überprüfen

Denkzeug

Funktionen von DGS

für „bewegliche Denker“

Verringerung der Komplexität

(Gedächtnisentlastung, Realisierung von Bewegungen)

Konzentration auf Planung, Interpretation,

Analyse und Argumentation wird möglich

Kommunikationsmittel

Ergebnisse beweglicher Denkvorgänge vermitteln

„dynamisches Vorführen“ von Veränderungen

Aufmerksamkeitsfokussierung

Fachdidaktische Grundlagen 216


Jürgen Roth

Schüler sollen

Ziele des DGS-Einsatzes

bzgl. der „Dynamik“

ohne Computer, also im Kopf, Bewegungen hineinsehen,

analysieren und Änderungsverhalten erfassen können

bei komplexeren Gegebenheiten einen geeigneten Computereinsatz

planen, vorstrukturieren und reorganisieren können

Auf dem Weg zu diesem Ziel:

Fokussierungshilfen in Lernumgebungen einbauen

Konzentration auf Analyse- und Argumentationsprozesse

Fachdidaktische Grundlagen 217


Jürgen Roth

Konfiguration vollständig vorgegeben

Drei Stufen der

Fokussierungshilfen

Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte

(z. B. Farbgebung, Linienstärken, Mitführung von Messwerten …)

Elemente können evtl. ein- und ausgeblendet werden

Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst eingeschränkt

Veränderbare (Teil-)Konfiguration vorgegeben

kann / muss ergänzt oder verändert werden

nur einzelne Fokussierungshilfen vorhanden

Leeren, unstrukturierten DGS-Datei

DGS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt

Fachdidaktische Grundlagen 218


Jürgen Roth

Bewegliche Argumentation kommunizieren

Beweisideen vermitteln

Verständnisgrundlagen

für Begriffe und ihre Eigenschaften bilden

Experimentelles Arbeiten

Entdecken von Zusammenhängen

Finden von Ideen im Problemlöseprozess

Reflexion von Problemlöseprozessen

Zweck des DGS-Einsatzes

Fachdidaktische Grundlagen 219



Jürgen Roth

Zweck des

DGS-Einsatzes

Bewegliche Argumentation

kommunizieren

Beweisideen vermitteln

Verständnisgrundlage

für Begriffe und ihre

Eigenschaften bilden

Experimentelles Arbeiten

• Entdecken von

Zusammenhängen

• Finden von Ideen im

Problemlöseprozess

Reflexion von

Problemlöseprozessen

Fertig vorgegebene

Konfiguration

(evtl. Möglichkeit zum

Ein- und Ausblenden

von Elementen)

Inhaltsdimension &

Unterstützungsdimension

► Grad der Fokussierungshilfen

Veränderbare

Konfiguration

mit einzelnen

Fokussierungshilfen

Leere,

unstrukturierte

DGS-Datei

Fachdidaktische Grundlagen 220


Jürgen Roth

GeoGebra = Geometrie + Algebra

Interaktive dynamische Verbindung von

ikonischer & symbolischer Darstellungsform

(vgl. Bruner & operatives Prinzip)

Open Source, kostenlos verfügbar von

www.geogebra.org

Dynamische Geometrie,

Tabellenkalkulation, Computeralgebra

Speziell für den Mathematikunterricht

entwickelt

Freie Online-Unterrichtsmaterialien

GeoGebraWiki, www.geogebra.org/wiki

Creative Commons Share-Alike Lizenz

GeoGebra

http://www.geogebra.org

Fachdidaktische Grundlagen 221


Jürgen Roth

Maxima

Computeralgebra

Open Source

http://wxmaxima.sourceforge.net

Maxima & Open Office Calc

Open Office Calc

Tabellenkalkulation

Open Source

http://www.openoffice.org/

Fachdidaktische Grundlagen 222


Jürgen Roth

Link-Datenbank

www.mathematik-digital.de

Interessante Internetseiten

Links rund um den MU: www.juergen-roth.de -> Links

Fachportale

Lehrer Online, Fachportal Mathematik

ZUM, Fachportal Mathematik

NCTM Illuminations, "Lessons" für alle Altersstufen

Themensammlungen

Medienvielfalt 1 & Medienvielfalt 2, interaktive Lernpfade

Mathematik-Labor, Materialien für Projekte

MathePrisma, interaktive Lernumgebungen

Interaktive Übungen & Arbeitsblätter

Dynama, Realmath, GeoGebraWiki, …

Fachdidaktische Grundlagen 223

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