Differentialgleichungen

worin y p (x) eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. Diese kann man z.
B. durch Raten erhalten, was aber natürlich kein gängiges Verfahren sein kann. Vielmehr
wendet man zur Ermittlung der kompletten Lösung y(x) das Lösungsverfahren Variation der
Konstanten an (=Verfahren von Lagrange). Dazu betrachtet man den Faktor c nicht als
konstant, sondern setzt ihn als Funktion der unabhängigen Variablen x:
Einsetzen in DGL liefert
Somit erhalten wir
y( x)
= c(
x)
⋅ ~ y ( x)
⇒ y'(
x)
= c'(
x)
⋅ ~ y ( x)
+ c(
x)
⋅ ~ y '( x)
.
h
f ( x)
= c'(
x)
⋅ ~ y ( x)
+ c(
x)
⋅ ~ y '( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ~
h
x a x c x yh(
x)
h
.
h
= 0!
f ( x)
f ( x)
A(
x)
c'(
x)
= ~ ⇒ c(
x)
= ∫ dx + C = ∫ e f ( x)
dx + C
y ( x)
~
.
y ( x)
h
Die allgemeine Lösung der inhomogen DGL erhält man dann zu
h
A(
x)
− A(
x)
( e f ( x)
dx + C) ⋅ e
y(
x)
= c(
x)
⋅ ~ y ( x)
= ∫ .
h
Wenn nötig, wird zur Bestimmung der Konstanten C das Anfangswertproblem gelöst.
h
1 3
Beispiel 1: y ' + y = x , x,
y > 0 .
x
1. Homogene DGL mit Trennung der Variablen lösen. Es ergibt sich
1 dyh
1 dyh
dx dyh
dx
yh'
+ yh
= 0 ⇒ = − yh
⇒ = − ⇒ = −
x dx x y x
∫
y
∫
x
h
1
⇒ ln( y h ) = −ln(
x)
+ c*
⇒ y h = c ⋅ = c ⋅ y
~
h
x
2. Variation der Konstanten führt zu y( x)
= c(
x)
⋅ ~ y ( x)
. Somit lässt sich c(x) bestimmen
3
f ( x)
x
4 1 5
zu c( x)
= ∫ ~ dx = ∫ dx = ∫ x dx = x + C .
yh(
x)
1
5
x
3. Die gesamte Lösung der inhomogenen DGL ergibt sich dann zu
1 ⎛ 1 5 ⎞ 1 4 C
y( x)
= c(
x)
⋅ ~ yh ( x)
= ⋅ ⎜ x + C ⎟ = x + .
x ⎝ 5 ⎠ 5 x
h
h
Beispiel 2:
y ' = y + x mit dem AWP y ( 0) = 2 .
5