Quantenoptik

Quantenoptik
Dirk–Gunnar Welsch

Inhaltsverzeichnis
1 Feldquantisierung 7
1.1 Kanonische Feldquantisierung . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Das freie elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Lineare Hintergrundmedien . . . . . . . . ....... 35
1.4 Wechselwirkung mit atomaren Systemen . . . . . . . . 42
2 Quantenzustände 57
2.1 Fock-Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Glauber-Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Gequetschte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Feldstärkezustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5 Phasenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Phasenraumfunktionen 103
3.1 P -, W -undQ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 s-parametrisierte Phasenraumfunktionen . ....... 109
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 Photodetektion 121
4.1 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Übergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3 Photoelektronenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Photoelektronen- und Photonenstatistik . . . . . . . . 135
5 Optische 4-Kanal-Systeme 141
5.1 Klassische Grundgleichungen . . . . . . . . ....... 141
5.2 Quantenmechanische Grundgleichungen . . ....... 143
5.3 Operator- und Zustandstransformation . . . . . . . . . 146
3

4 INHALTSVERZEICHNIS
5.4 Phasenraumfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5 Spezielle Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6 Verlustbehaftete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6 Quantenzustandsmessung 163
6.1 Phasenempfindliche Messungen . . . . . . . ...... 166
6.1.1 Statistik verschobener Fock-Zustände . . . . . . 166
6.1.2 Feldstärkestatistik . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1.3 Phasenraumfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2 Quantenzustandsrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.1 Punktweise Rekonstruktion im Phasenraum . . 180
6.2.2 Tomographische Rekonstruktion der Wigner-
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.3 Dichtematrix in einer Feldstärkebasis . . . . . . 187
6.2.4 Dichtematrix in der Fock-Basis . . . ...... 193
6.2.5 Quantenphase . . . ................ 201
7 Quantenkohärenz 209
7.1 Verschränkte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.2 No-Cloning-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.3 EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.4 Bellsche Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.5 Quantenkryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.6 Quantenteleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.7 Quantencomputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8 Fundamentale Quanteneffekte 261
8.1 Hamilton-Operator . . . . ................ 262
8.2 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.2.1 Schwache Atom-Feld-Kopplung . . . . . . . . . 267
8.2.2 Starke Atom-Feld-Kopplung . . . . . . . . . . . 279
8.3 Das Jaynes-Cummings-Modell . . . . . . . . . . . . . . 284
8.3.1 Collapse und Revival . . . . . . . . . . . . . . . 289
8.3.2 Photonenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.4 Der Mikromaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.5 Resonanzfluoreszenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.5.1 Quellenmäßige Darstellung von Ê(r) . . . . . . 303

INHALTSVERZEICHNIS 5
8.5.2 Bloch-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8.5.3 Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.5.4 Intensitätskorrelation . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.5.5 Squeezing . . . . ................. 314
8.6 Casimir-Polder-Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.6.1 Kraft auf ein Atom . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.6.2 Kraft auf einen makroskopischen Körper . . . . 324

6 INHALTSVERZEICHNIS

Die ganzen 50 Jahre bewußter Grübelei
haben mich der Antwort der Frage
Was sind Lichtquanten?“ nicht näher
”
gebracht. Heute glaubt zwar jeder Lump,
er wisse es, aber er täuscht sich.
Albert Einstein (1951)
Kapitel 1
Quantisierung des
elektromagnetischen
Feldes
1.1 Kanonische Feldquantisierung
Wir wollen die wesentlichen Gesichtspunkte am Beispiel eines reellen
(physikalisch meßbaren), skalaren Feldes ψ(r,t)erörtern, und zwar im
Vergleich mit und in Analogie zu der Punktmechanik.
Punktmechanik:
An die Spitze eines abgeschlossenen Systems kann eine Lagrange-Funktion
L = L(q α , ˙q α ) (1.1)
gestellt werden, und das Hamilton-Prinzip
δ
∫ t2
t 1
dtL=0, δq α (t 1 )=δq α (t 2 )=0 (1.2)
liefert als Bewegungsgleichungen für die Koordinaten q α (t) dieLagrange-Gleichungen
d ∂L
− ∂L =0 (1.3)
dt ∂ ˙q α ∂q α
(α =1, 2,...,f). Falls das betrachtete System nicht abgeschlossen ist
und von außen zeitlich kontrollierbar ist, kann die Lagrange-Funktion
auch explizit von der Zeit abhängen, L = L(q α , ˙q α ,t).
7

8 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Feldtheorie:
Das (reelle) Feld ψ(r,t)alsFunktionderkontinuierlichenOrtsvariablen
kann gewissermaßen als kontinuierlicher Grenzfall eines Systems mit
(nicht abzählbar) unendlich vielen Koordinaten aufgefaßt werden. Wegen
des Kontinuums von Koordinaten ist es zweckmäßig, eine Lagrange-
Dichte L einzuführen, die von ψ und ˙ψ abhängt, aber auch (im Gegensatz
zum diskreten Fall) von Ableitungen der Feldfunktion abhängen
kann. Wir wollen annehmen, daß L noch von den ersten räumlichen
Ableitungen abhängt, d.h. von ∂ k ψ ≡ ψ ,k ≡ ∂ψ/∂x k ,
L = L(ψ, ψ ,k , ˙ψ). (1.4)
Solange die Feldgleichungen Differentialgleichungen höchstens zweiter
Ordnung sind, brauchen Ableitungen höherer als erster Ordnung in der
Lagrange-Dichte nicht berücksichtigt werden. Mit der Lagrange-Dichte
kann dann eine Lagrange-Funktion, genauer ein Lagrange-Funktional
∫
L =
d 3 r L(ψ, ψ ,k , ˙ψ) (1.5)
definiert und ein Hamilton-Prinzip formuliert werden:
δ
∫ t2
t 1
dtL= δ
=
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
∫
dt
∫
dt
d 3 r L(ψ, ψ ,k , ˙ψ)
d 3 r δL(ψ, ψ ,k , ˙ψ) =0, (1.6)
δψ(r,t 1 )=δψ(r,t 2 )=0. (1.7)
Wir führen die Variation von L aus und finden zunächst
δL = ∂L ∂L
δψ + δψ ,k + ∂L
∂ψ ∂ψ ,k ∂ ˙ψ δ ˙ψ (1.8)
(über doppelt auftretende Vektorindizes ist zu summieren). Wir formen

1.1. KANONISCHE FELDQUANTISIERUNG 9
(1.8) etwas um,
δL = ∂L ∂L ∂δψ
δψ + + ∂L ∂δψ
∂ψ ∂ψ ,k ∂x k ∂ ˙ψ ∂t
[ ∂L
=
∂ψ − ∂ ∂L
− ∂ ]
∂L
∂x k ∂ψ ,k ∂t ∂ ˙ψ
δψ
+ ∂ ( ) ∂L
δψ + ∂ ( ) ∂L
∂x k ∂ψ ,k ∂t ∂ ˙ψ δψ . (1.9)
Wir setzen (1.9) in (1.6) ein. Das erste Glied in der letzten Zeile von
(1.9) ist eine Vektordivergenz und liefert wegen des Gaußschen Satzes
(und der Randbedingung im Unendlichen) keinen Beitrag. Das zweite
Glied in der letzten Zeile von (1.9) liefert ebenfalls keinen Beitrag wegen
den Variationsbedingungen (1.7). Wir erhalten also
∫ t2
t 1
∫
dt
d 3 r
[ ∂L
∂ψ −
− ∂ ]
∂L
∂ψ ,k ∂t ∂ ˙ψ
δψ =0. (1.10)
∂ ∂L
∂x k
Da δψ beliebig ist, muß
∂L
∂ψ −
∂ ∂L
∂x k
− ∂ ∂L
=0 (1.11)
∂ψ ,k ∂t ∂ ˙ψ
gelten. Die Feldgleichung (1.11) stellt offensichtlich das Analogon zu
den Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen) für die Koordinaten
q α des diskreten Systems dar.
Die Analogie zwischen Punktmechanik und Feldtheorie kann noch
weiter getrieben werden, wenn man L anstelle von L betrachtet. In der
Punktmechanik ist L = L(q α , ˙q α )eineFunktionderKoordinatenund
der zeitlichen Ableitungen der Koordinaten (Geschwindigkeiten). In

10 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
der Feldtheorie kann gemäß (1.5) L = L[ψ(r), ˙ψ(r)] als ein Funktional
der Feldgröße und ihrer zeitlichen Ableitung aufgefaßt werden. 1 Die
partiellen Ableitungen in der Punktmechanik sind bekanntlich gemäß
∂L 1
=lim
∂q α ɛ→0 ɛ [L(q α ′+ɛδ αα ′, ˙q α ′) − L(q α ′, ˙q α ′)] (1.12)
definiert. In Verallgemeinerung von (1.12) können Funktionalableitungen
in der Feldtheorie definiert werden,
δL
δψ(r) =lim 1
{ [
L ψ(r ′ )+ɛδ(r−r ′ ),
ɛ→0 ɛ
˙ψ(r
] [
′ ) − L ψ(r ′ ), ˙ψ(r
]}
′ ) ,
(1.13)
d.h., das Kronecker-Symbol wird durch die δ-Funktion ersetzt [δ(r) ≡
δ(x)δ(y)δ(z)]. Die Feldgleichung (1.11) kann dann mittels der Funktionalableitungen
in völliger Analogie zu (1.3) in der Form
δL
δψ − ∂ δL
=0 (1.14)
∂t δ ˙ψ
geschrieben werden. Wie der Vergleich von (1.14) mit (1.11) zeigt,
müssen die Relationen
δL ∂L
=
δ ˙ψ ∂ ˙ψ
(1.15)
und
δL
δψ = ∂L
∂ψ −
∂ ∂L
(1.16)
∂x k ∂ψ ,k
gelten. Es genügt offensichtlich, die Gültigkeit der Relation (1.16) zu
zeigen; die Relation (1.15) ergibt sich als die einfachere als Spezialfall.
1 Das hier nicht interessierende Zeitargument von ψ ist der Bequemlichkeit halber weggelassen.

1.1. KANONISCHE FELDQUANTISIERUNG 11
Für ɛ → 0gilt
[
L ψ(r ′ )+ɛδ(r−r ′ ), ˙ψ(r
]
′ )
∫ [
= d 3 r ′ L ψ(r ′ )+ɛδ(r−r ′ ), ψ ,k (r ′ )+ɛ ∂
∫
=
[
d 3 r ′ L ψ(r ′ ), ψ ,k (r ′ ), ˙ψ(r
]
′ )
∫
+ ɛ
[
= L ψ(r ′ ), ˙ψ(r ′ )
∫
+ ɛ
[ ∂L
d 3 r ′ ∂ψ(r ′ ) δ(r−r′ )+
]
[ ∂L
d 3 r ′ ∂ψ(r ′ ) −
[
= L ψ(r ′ ), ˙ψ(r
]
′ )
+ ɛ
∂
∂x ′ k
[ ∂L
∂ψ(r) −
woraus mit (1.13) sofort (1.16) folgt.
Anmerkung
∂x ′ k
∂L
∂ψ ,k (r ′ )
]
δ(r−r ′ ), ˙ψ(r ′ )
∂
∂x ′ k
]
∂L
δ(r−r ′ )
∂ψ ,k (r ′ )
∂
∂x k
∂L
∂ψ ,k (r)
]
δ(r−r ′ )
]
, (1.17)
Mit Hilfe der Funktionalableitungen kann die Feldgleichung (1.14)
natürlich auch direkt aus dem Hamilton-Prinzip hergeleitet werden:
δ
∫ t2
t 1
=
=
=
=
dtL=
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
∫
dt
∫
dt
∫
dt
∫
dt
∫ t2
t 1
dt δL
( )
δL
d 3 δL
r δψ + δ ˙ψ
δψ δ ˙ψ
( )
δL
d 3 δL ∂δψ
r δψ +
δψ δ ˙ψ ∂t
[( δL
d 3 r
δψ − ∂ δL
∂t δ ˙ψ
( δL
d 3 r
δψ − ∂ δL
∂t δ ˙ψ
)
δψ + ∂ ∂t
( δL
δ ˙ψ δψ )]
)
δψ =0, (1.18)

12 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
woraus mit der üblichen Argumentation sofort (1.14) folgt.
In der Punktmechanik werden die zu den q α kanonisch konjugierten
Variablen p α als
p α = ∂L
∂ ˙q α
(1.19)
eingeführt. Damit kann die Hamilton-Funktion
H = ∑ α
p α ˙q α − L (1.20)
des Systems als Funktion der q α und p α konstruiert werden. Analog
kann in der Feldtheorie das zu ψ(r) kanonischkonjugierteFeldπ(r)
definiert werden,
π = δL ∂L
= ,
δ ˙ψ ∂ ˙ψ
(1.21)
und es kann die Hamilton-Funktion
∫
H = d 3 r H (1.22)
konstruiert werden, wobei die Hamilton-Dichte
H = π ˙ψ − L (1.23)
als eine Funktion von ψ(r) undπ(r) aufzufassenist.DieHamilton-
Funktion ist dann als ein Funktional von ψ und π aufzufassen, H =
H[ψ(r), π(r)], und es gilt
∫
δH =
d 3 r
( δH
δψ
δψ +
δH
δπ δπ )
. (1.24)
Andererseits haben wir
∫
δL =
∫
=
∫
=
( )
δL
d 3 δL
r δψ + δ ˙ψ
δψ δ ˙ψ
(
d 3 r ˙πδψ+ πδ ˙ψ
)
d 3 r
[
˙πδψ+ δ(π ˙ψ) − ˙ψδπ
]
, (1.25)

1.1. KANONISCHE FELDQUANTISIERUNG 13
d.h.
∫
δH = δ
∫
=
d 3 r π ˙ψ − δL
d 3 r
(
− ˙πδψ+ ˙ψδπ
)
, (1.26)
und der Vergleich mit (1.24) liefert die Hamilton-Gleichungen für die
Felder ψ und π:
wobei gemäß (1.16)
δH
δψ
= − ˙π, (1.27)
δH
δπ = ˙ψ, (1.28)
δH
δψ = ∂H
∂ψ −
δH
δπ = ∂H
∂π −
∂
∂x k
∂H
∂ψ ,k
, (1.29)
∂ ∂H
∂x k ∂π ,k
= ∂H
∂π
(1.30)
gilt.
Mit (1.27) und (1.28) ergibt sich für die zeitliche Änderung einer
beliebigen [als Funktional F = F [ψ(r), π(r)] analog zum Hamilton-
Funktional (1.22) definierten] Größe
˙ F =
∫
∫
=
( δF
d 3 r
δψ ˙ψ + δF )
δπ ˙π
( δF
d 3 δH
r
δψ δπ − δF
δπ
)
δH
δψ
≡ {F, H} , (1.31)
wobei die Poisson-Klammer {F, G} zweier Größen F und G als Funktional
von ψ(r) undπ(r) invölliger Analogie zur Punktmechanik definiert
ist,
∫
{F, G} =
d 3 r
( δF
δψ
δG
δπ − δF
δπ
)
δG
. (1.32)
δψ

14 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Insbesondere gilt in Analogie zu der aus der Punktmechanik bekannten
Relation
{q α ,p α ′} = δ αα
′ (1.33)
für die kanonisch konjugierten Felder ψ und π
{ψ(r), π(r ′ )} = δ(r−r ′ ) . (1.34)
Zum Beweis stellen wir ψ und π in der Form
∫
ψ(r) = d 3 r ′ ψ(r ′ ) δ(r−r ′ ) , (1.35)
∫
π(r) =
d 3 r ′ π(r ′ ) δ(r−r ′ ) (1.36)
dar, woraus ersichtlich ist, daß
ist und folglich
δψ(r)
δψ(r ′ ) = δ(r−r′ ) ,
δπ(r)
δπ(r ′ ) = δ(r−r′ ) ,
δψ(r)
δπ(r ′ )
δπ(r)
δψ(r ′ )
=0, (1.37)
=0 (1.38)
{ψ(r), π(r ′ )}
∫ [ δψ(r)
= d 3 r ′′ δπ(r ′ )
δψ(r ′′ ) δπ(r ′′ ) − δψ(r) δπ(r ′ ]
)
δπ(r ′′ ) δψ(r ′′ )
∫
= d 3 r ′′ δ(r−r ′′ ) δ(r ′ −r ′′ )=δ(r−r ′ ) (1.39)
gilt.
Sind die q α und p α kanonisch konjugierte Variablen mit kontinuierlichem,
nicht eingeschränktem reellen Wertebereich, dann kann der Übergang
zur Quantentheorie in der Weise erfolgen, daß q α und p α durch
hermitesche Operatoren ˆq α und ˆp α ersetzt werden und die Poisson-
Klammern in mit (i) −1 multiplizierte Kommutatoren übergehen (kanonische
Quantisierung):
q α ,p α ↦→ ˆq α , ˆp α (1.40)

1.1. KANONISCHE FELDQUANTISIERUNG 15
mit
[ˆq α , ˆp α ′]=i δ αα ′, (1.41)
[ˆq α , ˆq α ′]=[ˆp α , ˆp α ′]=0. (1.42)
Wenden wir das kanonische Quantisierungskonzept auf die betrachtete
Feldtheorie an, so haben wir die klassischen, reellen Felder ψ und π
durch hermitesche Feldoperatoren zu ersetzen,
ψ(r), π(r) ↦→ ˆψ(r), ˆπ(r) (1.43)
die den (gleichzeitigen) Vertauschungsrelationen
[
ˆψ(r), ˆπ(r )]
′ = i δ(r−r ′ ) (1.44)
[
ˆψ(r), ˆψ(r ′ )]
=[ˆπ(r), ˆπ(r ′ )] = 0 (1.45)
genügen. Die Hamilton-Dichte H und die Hamilton-Funktion H gehen
in die entsprechenden Operatoren Ĥ und Ĥ über, und die Feldgleichungen
im Heisenberg-Bild folgen aus
˙ˆF = 1 [ ˆF, Ĥ ] , (1.46)
i
d.h. speziell
˙ˆψ = 1 [ ˆψ, Ĥ ] = δĤ
i δˆπ , (1.47)
˙ˆπ = 1
i
[ˆπ, Ĥ ] = − δĤ . (1.48)
δ ˆψ

16 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
1.2 Das freie elektromagnetische Feld
Wir wollen das Konzept auf das freie elektromagnetische Feld (Strahlungsfeld)
anwenden und beginnen mit den Maxwell-Gleichungen
∇ · B =0, ∇ × E = −Ḃ, (1.49)
∇ · E =0, ∇ × B = 1 Ė. (1.50)
c2 Die Gleichungen werden üblicherweise mittels Potentialansatz gelöst,
B = ∇ × A, (1.51)
E = −Ȧ − ∇ϕ. (1.52)
Damit sind die Gleichungen (1.49) erfüllt, und die Gleichungen (1.50)
liefern
∇ × ∇ × A + 1 c ∇ ˙ϕ + 1 Ä =0, (1.53)
2 c2 bzw.
∆ϕ + ∇ · Ȧ =0 (1.54)
∇
(∇ · A + 1 )
c ˙ϕ − ∆A + 1 Ä =0, (1.55)
2 c2 ∂
(∇ · A + 1 )
∂t c ˙ϕ + ∆ϕ − 1 ¨ϕ =0. (1.56)
2 c2 Lorentz-Eichung:
∇ · A + 1 ˙ϕ =0, (1.57)
c2 ∆A − 1 Ä =0, (1.58)
c2 ∆ϕ − 1 ¨ϕ =0. (1.59)
c2 Coulomb-Eichung:
∇ · A =0, (1.60)
∆A − 1 Ä =0 (1.61)
c2

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 17
∆ϕ =0 ❀ ϕ =0. (1.62)
Wir wollen im weiteren die Coulomb-Eichung verwenden, so daß als
Feldgleichung die Wellengleichung (1.61) für das Vektorpotential verbleibt,
aus dem dann das elektrische und das magnetische Feld gemäß
B = ∇ × A, E = −Ȧ (1.63)
folgen. Die Wellengleichung (1.61) kann aus der Lagrange-Dichte
L = 1 2
(ε 0 E 2 − 1 µ 0
B 2 )
= 1 2
[ε 0 Ȧ 2 − 1 µ 0
(∇ × A) 2 ]
(1.64)
bzw. des entsprechenden Lagrange-Funktionals
∫
L =
d 3 r L = 1 2
∫
d 3 r
[ε 0 Ȧ 2 − 1 µ 0
(∇ × A) 2 ]
(1.65)
abgeleitet werden. Mit
(∇ × A) 2 = ɛ kij ɛ kln A j,i A n,l
=(δ il δ jn − δ in δ jl ) A j,i A n,l
= A 2 j,l − A j,nA n,j
= A 2 j,l − (A jA n,j ) ,n
+ A j A n,n,j (1.66)
(ɛ kij -Levi-Civita-Tensor)kanndieLagrange-Funktion(1.65)inder
Form
∫ (
L = 1 d 3 r ε
2
0 A˙
2 k − 1 )
A 2 k,l
(1.67)
µ 0
aufgeschrieben werden. Das zweite Glied in (1.66) liefert keinen Beitrag
zum (Volumen-)Integral in (1.65), da eseineVektordivergenzdarstellt
und in ein Oberflächenintegral im Unendlichen umgewandelt werden
kann (Gaußscher Satz plus Randbedingung im Unendlichen), und das

18 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
dritte Glied in (1.66) liefert wegen der Coulomb-Eichung keinen Beitrag.
Wir bilden die Funktionalableitungen
und finden, daß die Lagrange-Gleichungen
δL
δA ˙ = ε 0 A˙
k , (1.68)
k
δL
δA k
= 1 µ 0
A k,l,l (1.69)
δL
δA k
− ∂ ∂t
δL
δ ˙ A k
=0 (1.70)
auf
bzw.
1
µ 0
A k,l,l − ε 0 Ä k =0 (1.71)
A k,l,l − 1 c 2 Äk =0 (1.72)
führen, wobei natürlich noch zu beachten ist, daß nur solche Lösungen
der Wellengleichung (1.72) zulässig sind, die der Coulomb-
Eichbedingung genügen, A k,k =0. Die Lagrange-Gleichungen (1.72)
liefern also genau die Wellengleichung (1.61), und somit kann (1.67)
tatsächlich als Lagrange-Funktion des Strahlungsfeldes angesehen werden.
2 Die zu den A k kanonisch konjugierten Felder Π k ergeben sich als:
Π k = δL
δA ˙ = ε 0 A˙
k = −ε 0 E k (1.73)
k
Damit können wir nun die Hamilton-Funktion des Strahlungsfeldes
2 Der Lagrange-Formalismus kann natürlich auch angewendet werden, ohne eine spezielle Eichung
zu verwenden. Das Ergebnis sind die Potentialgleichungen (1.53) und (1.54), die den Feldgleichungen
(1.50) entsprechen.

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 19
konstruieren,
∫
H =
∫
=
d 3 r Π k ˙ A k − L
d 3 r
(
Π k A˙
k − ε 0
2 Ȧ2 k + 1 )
A 2 k,l , (1.74)
2µ 0
so daß mit (1.73)
H = 1 2
∫
d 3 r
( 1
ε 0
Π 2 k + 1 µ 0
A 2 k,l
)
(1.75)
bzw. [unter Berücksichtigung von (1.66)]
H = 1 2
∫
[ 1
d 3 r Π 2 + 1 ]
(∇ × A) 2
ε 0 µ 0
(1.76)
folgt. Gehen wir in (1.75) wieder zu den elektromagnetischen Feldern
über, so ist unschwer zu sehen, daß die Hamilton-Funktion erwartungsgemäß
die Energie des Strahlungsfeldes darstellt:
H = 1 2
∫
d 3 r
(
ε 0 E 2 k + 1 µ 0
B 2 k
Aus (1.75) folgen die kanonischen Gleichungen als
)
. (1.77)
A˙
k = δH = 1 Π k , (1.78)
δΠ k ε 0
˙Π k = − δH
δA k
= 1 µ 0
A k,l,l . (1.79)
Differentiation von (1.78) nach der Zeit und Elimination von ˙Π k liefert
natürlich genau die Feldgleichungen (1.72).
Hinsichtlich der Poisson-Klammer von A k (r) undΠ k ′(r ′ )könnte
man zunächst denken, daß
{A k (r), Π k ′(r ′ )} = δ kk
′ δ(r−r ′ ) (falsch!) (1.80)

20 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
gilt. Dies kann jedoch auf Grund der Coulomb-Eichung A k,k = Π k,k =0
nicht der Fall sein. Auf der rechten Seite von (1.80) muß die sogenannte
transversale (tensorwertige) δ-Funktion stehen, die ebenfalls der
Coulomb-Eichung (auch Transversalitätsbedingung genannt) genügt,
{A k (r), Π k ′(r ′ )} = δ ⊥ kk ′(r−r′ ) (richtig!). (1.81)
Die transversale δ-Funktion δ ⊥ kk ′ (r−r ′ )istimeinzelnenfolgendermaßen
definiert:
(a) Wenn f k (r) zu dem Raum der transversalen Vektorfunktionen
gehört, d.h. f k,k (r)=0, dann soll
∫
d 3 r ′ δ ⊥ kk ′(r−r′ ) f k ′(r ′ )=f k (r) (1.82)
gelten, d.h., im Hinblick auf transversale Tensorfunktionen ist
die Wirkung der transversalen δ-Funktion die gleiche wie die der
üblichen (tensorwertigen) δ-Funktion δ kk ′δ(r−r ′ ).
(b) Wenn eine Vektorfunktion g k (r) nichtzumRaumdertransversalen
Vektorfunktionen gehört, dann soll
∫
d 3 r ′ δkk ⊥ ′(r−r′ ) g k ′(r ′ )=gk ⊥ (r) (1.83)
gerade die Projektion von g k (r) auf diesen Raum sein, d.h.
g ⊥ k,k (r)=0.
(c) Die transversale δ-Funktion ist symmetrisch,
Offensichtlich gilt
∂
∂x k
δ ⊥ kk ′(r−r′ )=
δ ⊥ kk ′(r−r′ )=δ ⊥ k ′ k (r′ −r) . (1.84)
∂
∂x ′ k ′ δ ⊥ kk ′(r−r′ )=0. (1.85)
Eine häufig verwendete explizite Darstellung der transversalen δ-
Funktion ist
δkk ⊥ ′(r) =δ kk ′ δ(r)+ 1 ∂ 2 1
4π ∂x k ∂x k
′ |r| . (1.86)

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 21
Anmerkung
• Die transversale δ-Funktion kann verwendet werden, um transversale
Funktionalableitungen zu definieren,
δ− F
δ−
f k (r) =lim 1 { [
F fk ′(r ′ )+ɛδkk ⊥ ɛ→0 ɛ
′(r−r′ ) ] − F [f k ′(r ′ )] } . (1.87)
• Der Lagrange- und Hamilton-Formalismus kann auch sofort mit
diesen Funktionalableitungen formuliert werden. In diesem Fall
muß die Coulomb-Eichung nicht als ständige Bedingung mitgeführt
werden, da man sich automatisch immer im Raum der
transversalen Vektorfunktionen befindet.
Feldquantisierung
Sinngemäße Anwendung von (1.43) – (1.45) liefert:
A k (r) ↦→ Âk(r), Π k (r) ↦→ ˆΠ k (r) (1.88)
[Âk (r), ˆΠ k ′(r ′ )]
= i δ ⊥ kk ′(r−r′ ) (1.89)
[Âk (r), )]
Âk ′(r′ =
[ˆΠk (r), ˆΠ k ′(r )]
′ =0 (1.90)
Die Vertauschungsregel (1.89) impliziert insbesondere die fundamentale
Vertauschungsregel
[Êk (r), ˆB k ′(r ′ )]
= − i
ε 0
ɛ kk′ n
∂
∂x n
δ(r−r ′ ) (1.91)

22 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
zwischen elektrischem Feld und Induktionsfeld, und gemäß (1.90) gilt:
[Êk (r), )]
Êk ′(r′ =
[
ˆBk (r), ˆB k ′(r )]
′ =0 (1.92)
Zum Beweis von (1.91) führen wir zunächst die kanonisch konjugierten
Variablen ein und schreiben
[Êk (r), ˆB k ′(r )]
′ = − 1 ∂
ɛ k′ nj
[ˆΠk (r), )]
ε Âj(r ′ , (1.93)
0
woraus wegen (1.89)
[Êk (r), ˆB k ′(r ′ )]
∂x ′ n
= i
ε 0
ɛ k′ nj
∂
∂x ′ n
δ ⊥ jk (r′ −r) (1.94)
folgt. Verwenden wir die Darstellung (1.86) für die transversale δ-
Funktion und berücksichtigen wir die Antisymmetrie des ɛ-Tensors, so
folgt unschwer, daß der zweite Term in (1.86) nicht zu dem Kommutator
beiträgt, d.h.
[Êk (r), ˆB k ′(r )]
′
= i
ε 0
ɛ k′ nj
∂
∂x ′ n
δ jk δ(r ′ − r) =− i
ε 0
ɛ kk′ n
Gemäß (1.75) lautet der Hamilton-Operator:
∂
∂x n
δ(r ′ −r).
(1.95)
Ĥ = 1 2
∫
d 3 r
( 1
ε 0
ˆΠ2 k + 1 µ 0
 2 k,l
)
(1.96)
Im Heisenberg-Bild ist die Bewegungsgleichung für irgendeinen (nicht
explizit zeitabhängigen) Operator ˆF durch
gegeben. Insbesondere überzeugt man sich, daß
˙ˆF = 1 [ ˆF, Ĥ ] (1.97)
i
˙Â k = 1 [Âk ,
i Ĥ] = 1 ˆΠk , (1.98)
ε 0

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 23
˙ˆΠ k = 1 [ ˆΠk ,
i Ĥ] = 1 Â k,l,l (1.99)
µ 0
gilt. In anderen Worten, die klassischen Bewegungsgleichungen (1.78)
und (1.79) sind nunmehr als Operatorgleichungen im Heisenberg-Bild
aufzufassen, und es folgt die Wellengleichung für den Operator des Vektorpotentials,
Modenentwicklung
 k,l,l − 1 c 2 ¨Âk =0. (1.100)
Die Wellengleichung (1.100) wird üblicherweise durch einen Separationsansatz
gelöst und das Vektorpotential in Form einer Modenentwicklung
dargestellt,
 k (r,t)= √ 1 ∑
c λ A λk (r)ˆq λ (t)
ε0
(1.101)
λ
wobei die Modenfunktionen Lösungen der Helmholtz-Gleichung sind,
A λk,l,l + ω2 λ
c 2 A λk =0 (1.102)
(mit A λk,k =0), und die ˆq λ (als Operatoren im Heisenberg-Bild) Bewegungsgleichungen
für harmonische Oszillatoren genügen,
¨ˆq λ + ω 2 λˆq λ =0. (1.103)
Die Modenentwicklung des kanonisch konjugierten Feldes ˆΠ k ergibt sich
dann aus
ε 0
˙Âk (r,t)= √ ∑
ε 0 c λ A λk (r) ˙ˆq λ (t) (1.104)
als:
λ
ˆΠ k (r,t)= √ ∑
ε 0 c λ A λk (r)ˆp λ (t) (1.105)
λ

24 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Die Modenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem im Raum der
transversalen Vektorfunktionen:
∫
c λ c λ
′ d 3 rA λk (r)A λ′ k(r) =δ λλ ′, (1.106)
Anmerkungen
∑
c 2 λ A λk(r)A λk ′(r ′ )=δkk ⊥ ′(r−r′ ) . (1.107)
λ
• Wir haben die Moden mit dem diskreten Index λ charakterisiert.
Dies ist in Strenge jedoch nur möglich, wenn das Strahlungsfeld
ganz in einem endlichen Raumbereich konzentriert ist, wie es
beispielsweise in einem von ideal leitenden Wänden begrenzten
Resonator mit den Randbedingungen
e ‖ (r) · A λ (r) ∣ =0, (1.108)
Rand
e ⊥ (r) · [∇ × A λ (r)] ∣ ∣
Rand
=0 (1.109)
[e ‖ (r) -EinheitsvektorinderRandfläche, e ⊥ (r) -Einheitsvektor
senkrecht zur Randfläche] der Fall wäre. Da dies unter realen
Bedingungen natürlich nicht der Fall ist, hat man es i. allg.
mit mehr oder weniger ausgeprägten Modenkontinua zu tun. Um
trotzdem die in der Regel einfachere diskrete Schreibweise beizubehalten,
wird häufig so vorgegangen, daß das betrachtete System
zunächst als in einem endlichen Volumen (mit geeigneten Randbedingungen)
befindlich angenommen wird, und erst am Ende
der Rechnungen wird der Grenzübergang zum Modenkontinuum
vollzogen, indem man das Volumen gegen unendlich streben läßt.
• Die Modenentwicklungen (1.101) und (1.105) beziehen sich
zunächst auf das Heisenberg-Bild. Es ist klar, daß sie auch
im Schrödinger-Bild gelten. Mit den Feldoperatoren sind
natürlich auch die Modenoperatoren im Schrödinger-Bild als
zeitunabhängig anzusehen, und die Zustände tragen die volle
Zeitabhängigkeit. Wir werden deshalb in Zukunft das Zeitargument
weglassen, solange nicht ein bestimmtes Bild favorisiert
wird.

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 25
Wir drücken die ˆq λ und ˆp λ durch die Felder Âk(r) und ˆΠ k (r) aus,
ˆq λ = √ ε 0 c λ
∫
d 3 rA λk (r)Âk(r), (1.110)
ˆp λ =
c ∫
λ
√
ε0
d 3 rA λk (r) ˆΠ k (r), (1.111)
und berechnen ihre Vertauschungsregeln,
∫ ∫
[ˆq λ , ˆp λ ′]=c λ c λ
′ d 3 r d 3 r ′ A λk (r)A λ′ k ′(r′ )
[Âk (r), ˆΠ
]
k ′(r ′ )
= ic λ c λ
′
= ic λ c λ
′
so daß (wie erwartet)
∫
∫
∫
d 3 r d 3 r ′ A λk (r)A λ′ k ′(r′ )δkk ⊥ ′(r−r′ )
d 3 rA λk (r)A λ′ k(r), (1.112)
[ˆq λ , ˆp λ ′]=iδ λλ
′ (1.113)
gilt. Analog finden wir:
[ˆq λ , ˆq λ ′]=[ˆp λ , ˆp λ ′]=0 (1.114)
Der Übergang von den Âk(x n ), ˆΠ k (x n )zudenˆq λ , ˆp λ kann offensichtlich
als kanonische Transformation aufgefaßt werden.
Wir setzen die Modenentwicklungen (1.101) und (1.105) in den
Hamilton-Operator (1.96) ein underhalten(erwartungsgemäß):
∑
Ĥ = 1 2
(ˆp
2 λ + ω λ)
λˆq2 2
λ
(1.115)

26 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Das heißt, das Strahlungsfeld (in einem endlichen Volumen) kann als
ein System (abzählbar) unendlich vieler harmonischer Oszillatoren aufgefaßt
werden, wobei jeder (diskreten) Mode ein Oszillator entspricht.
Photonenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren
Ein harmonischer Oszillator der Frequenz ω hat bekanntlich ein äquidistantes
Energieniveauschema, wobei der Abstand zweier benachbarter
Energieniveaus ω ist. Mit anderen Worten, jedes Niveau kann durch
Angabe der jeweiligen Anzahl von Quanten ω eindeutig charakterisiert
werden. Im Falle des Strahlungsfeldes (in einem endlichen Volumen)
werden die Quanten der den (diskreten) monochromatischen
Moden entsprechenden harmonischen Oszillatoren auch Photonen genannt.
Neben den Operatoren ˆq λ , ˆp λ ist es deshalb zweckmäßig, Operatoren
einzuführen, die direkt der Erzeugung und Vernichtung dieser
Quanten sowie ihrer Anzahl zugeordnet werden können:
bzw.
√
ˆq λ =
(â λ +â † λ
2ω λ
√
ωλ
ˆp λ = −i
2
)
, (1.116)
( )
â λ − â † λ
, (1.117)
√ √
ωλ 1
â λ =
2 ˆq λ + i ˆp λ , (1.118)
2ω λ
√ √
â † λ = ωλ 1
2 ˆq λ − i ˆp λ . (1.119)
2ω λ
Man überzeugt sich leicht, daß folgende Vertauschungsregeln gelten:
[â λ , â † λ ′ ]
= δ λλ
′ (1.120)
]
[â λ , â λ ′]=
[â † λ , ↠λ
=0 (1.121)
′

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 27
Mit (1.116) und (1.117) lautet der Hamilton-Operator (1.115)
Ĥ = ∑ λ
ω λ
(ˆnλ + 1 2
)
(1.122)
Die nicht hermiteschen Operatoren â λ und â † λ
heißen Photonenvernichtungs-
und Photonenerzeugungsoperator der Mode λ,undderausihnen
gebildete hermitesche Operator
ˆn λ =â † λâλ (1.123)
heißt Photonenanzahloperator (auch Photonenzahloperator) der Mode
λ. DieVertauschungsregeln(1.120)und(1.121)weisenPhotonenals
Bosonen aus (siehe auch Abschnitt 2.1).
Die Modenentwicklungen der Felder (1.101) und (1.105) können
durch Einführen der Erzeugungs- und -vernichtungsoperatoren wie
folgt dargestellt werden:
 k (r) = ∑ √
c λ A λk (r)â λ +h.c., (1.124)
2ω λ ε 0
λ
√
∑
ˆΠ k (r) =−ε 0 iω λ c λ A λk (r)â λ +h.c.. (1.125)
2ω λ ε 0
λ
Wird über c λ so verfügt, daß c λ =1 ist, dann sind die Modenfunktionen
A λk (r) aufeinsnormiert.Häufig wird auch über die c λ so verfügt, daß
√
2ω λ ε 0
c λ =1 (1.126)
gilt und die Modenfunktionen auf /(2ω λ ε 0 )normiertsind.Indiesem
Fall nehmen die Gleichungen (1.124) und (1.125) formal die einfache
Form
 k (r) = ∑ A λk (r)â λ +h.c., (1.127)
λ
∑
ˆΠ k (r) =−ε 0 iω λ A λk (r)â λ +h.c. (1.128)
λ

28 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
an. Damit können wir die Operatoren der elektrischen und magnetischen
Feldstärke wie folgt angeben:
Ê k (r) =− 1 ε 0
ˆΠk (r) = ∑ λ
iω λ A λk (r)â λ +h.c., (1.129)
ˆB k (r) =ɛ kij  j,i (r) = ∑ λ
ɛ kij A λj,i (r)â λ +h.c.. (1.130)
Oft werden die Feldoperatoren in den sogenannten positiven Frequenzanteil,
der die Vernichtungsoperatoren enthält, und den negativen
Frequenzanteil, der die Erzeugungsoperatoren enthält, zerlegt. So
schreibt man beispielsweise das Vektorpotential auch in der Form
 k (r) =Â(+) k
(r)+Â(−) k
(r), (1.131)
 (+)
k
(r) = ∑ λ
A λk (r)â λ ,
 (−)
[Â(+)
†
k
(r) =
k
(r)]
(1.132)
[und ˆΠ k (r), Ê k (r) und ˆB k (r) inanalogerForm].
Anmerkungen
• Wir haben bis jetzt immer mit reellen Modenfunktionen gerechnet.
Es kann jedoch von Vorteil sein, komplexwertige Modenfunktionen
zu verwenden. Alle bisherigen Überlegungen bleiben
sinngemäß gültig, und man kann sich überlegen, daß insbesondere
die Gleichungen (1.127) – (1.130) ohne Modifikation auch
für komplexwertige Modenfunktionen richtig bleiben. Ein typisches
Beispiel ist die Entwicklung des Strahlungsfeldes im freien
Raum nach ebenen Wellen (Seite 30). Anstelle reelle Sinus- und
Kosinusfunktionen zu verwenden, ist es weitaus bequemer, nach
komplexen Exponentialfunktionen zu entwickeln.
• Die Darstellung der Feldoperatoren mittels Modenentwicklung
erhält man direkt aus den Modenentwicklungen der klassischen
Felder, wenn man die dortigen Modenfunktionen übernimmt
und die (komplexen) Entwicklungskoeffizienten – bis auf

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 29
entsprechende Faktoren – durch Photonenvernichtungs- und -
erzeugungsoperatoren ersetzt. Die Bestimmung der Modenstruktur
des Strahlungsfeldes ist ein rein klassisches, i. allg. nicht triviales
Problem. Die Quantennatur der Strahlung wird durch die
Photonenvernichtungs- und -erzeugungsoperatoren repräsentiert.
Vakuumenergie
Bekanntlich besitzt ein harmonischer Oszillator der Frequenz ω die
Grundzustandsenergie 1 2ω (auch Nullpunktsenergie oder Vakuumenergie
genannt). Die proportionale Grundzustandsenergie ist offensichtlich
ein reiner Quanteneffekt und widerspiegelt das Quantenphänomen,
daß Ort und Impuls nicht gleichzeitig wohldefinierte Werte annehmen
können. Im Falle der den unendlich vielen Moden des Strahlungsfeldes
entsprechenden unendlich vielen harmonischen Oszillatoren ergibt sich
offensichtlich eine unendlich große Grundzustandsenergie
W 0 = ∑ λ
1
2 ω λ . (1.133)
Um diese (unphysikalische) Divergenz zu vermeiden, könnte die Energie
des Strahlungsfeldes derart renormiert werden, daß die Energie eines
jeden Oszillators vom Grundzustand – dem Photonenvakuum – aus
gezählt und die unendlich große Konstante in (1.122) einfach weglassen
wird, d.h.
Ĥ = ∑ ω λ ˆn λ . (1.134)
λ
Dies ist im freien Raum und in vielen Fällen auch bei Anwesenheit
makroskopischer Körper tatsächlich sinnvoll.
Wird bei Anwesenheit makroskopischer Körper die Geometrie der
Anordnung geändert und fragt man nach der daraus resultierenden
Differenz der (vor und nach der Änderung jeweils unendlich großen)
Vakuumenergien, so stellt man fest, daß diese Energiedifferenz und deren
Ableitungen nach charakteristischen Längen der betrachteten Anordnung
endlich sein können. Diese Gradienten können als Kräfte –
Casimir-Kräfte genannt – interpretiert und nachgewiesen werden. Ein
typisches Beispiel ist die Änderung der Vakuumenergie, die mit der
Änderung des Abstands zweier perfekt reflektierender (metallischer)

30 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Platten (im ansonsten leeren Raum) einhergehtundzueinergegenseitigen
Anziehung der Platten Anlaß gibt, wobei sich die Kraft pro
Flächeneinheit betragsmäßig als
F
L = 1 ∣ ∣∣∣ ∂W 0
2 L 2 ∂d ∣ = π2
240
c
d 4 (1.135)
abschätzen läßt. Der Casimir-Effekt ist natürlich nicht auf perfekt
reflektierende Körper beschränkt; wichtig ist, daß beispielsweise die
Struktur des Strahlungsfeldes hinreichend empfindlich auf die räumlichen
Anordnungen der Körper reagiert (siehe die systematische Behandlung
im Abschnitt 8.6.2).
Strahlungsfeld im freien Raum
Für den Fall des Strahlungsfeldes im ansonsten leeren Raum sind transversale
ebene Wellen Lösungen der Helmholtz-Gleichung. Betrachten
wir zunächst ein endliches Quantisierungsvolumen V = L 1 L 2 L 3 und
nehmen periodische Randbedingungen an, so ist unschwer zu sehen,
daß sich das Vektorpotential in der Form
Â(r) = ∑ l,µ
√
2ε 0 ω l V e lµe ik l·râ
l,µ +h.c. (1.136)
angeben läßt, wobei die (diskreten) Wellenzahlvektoren durch
k l =2π
(
l1
L 1
, l 2
L 2
, l 3
L 3
)
, l i ganz (1.137)
(ω 2 l = k2 l c2 )festgelegtsindundfür jeden Wellenzahlvektor zwei Polarisationseinheitsvektoren
e lµ ⊥ k l , µ =1, 2 (1.138)
existieren. Wie bereits erwähnt, kann der Übergang zum unendlich
ausgedehnten freien Raum und dem entsprechenden Modenkontinuum

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 31
durch den Grenzübergang V →∞ realisiert werden, bei dem die Fourier-
Reihe in (1.136) in das Fourier-Integral
Â(r) = ∑ µ
∫
√
d 3
k
2ε 0 ω(2π) e µ(k)e ik·r â 3 µ (k)+h.c. (1.139)
übergeht und die Vertauschungsregel für die â µ (k) undâ † µ (k)
[
]
â µ (k), â † µ
(k ′ ) = δ ′ µ,µ
′ δ(k−k ′ ) (1.140)
lautet, d.h., an die Stelle des Kronecker-Symbols tritt die δ-Funktion.
Im Falle eines Modenkontinuums kann sich der Photonenbegriff sinnvollerweise
nur auf Intervalle des die Moden charakterisierenden kontinuierlichen
Parameterraums beziehen. Im vorliegenden Fall stellt
d 3 ˆN =ˆnµ (k)d 3 k =â † µ (k)â µ(k)d 3 k (1.141)
den Anzahloperator für Photonen im differentiellen Wellenzahlintervall
dar, wobei ˆn µ (k) dieBedeutungdesAnzahldichteoperatorszukommt.
Integration über ein endliches Intervall im k-Raum liefert dann den
Photonenanzahloperator für dieses Intervall.
Nichtmonochromatische Moden
Die bisher und üblicherweise betrachteten Moden als Lösungen der
Helmholtz-Gleichung entsprechen harmonischen Oszillatoren und beschreiben
die möglichen monochromatischen elektromagnetischen Feldanregungen.
Nun hat man es i. allg. und insbesondere bei der Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen im freien Raum mit Wellenpaketen zu
tun, d.h. mit Überlagerungen von monochromatischen Moden, so daß
es wünschenswert ist, das für monochromatische Moden eingeführte
Photonenkonzept in gewisser Weise auch auf impulsförmige elektromagnetische
Strahlung anzuwenden. Zu diesem Zweck führen wir in der

32 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
monochromatischen Modenentwicklung des Vektorpotentials,
 k (r) = ∑ λ
A λk (r)â λ +h.c., (1.142)
eine unitäre Transformation â λ ↦→ â ′ ν durch,
â λ = ∑ ν
U λν â ′ ν , (1.143)
(U −1 ) νλ = U ∗ λν , (1.144)
so daß
â ′ ν = ∑ λ
(U −1 ) νλ â λ = ∑ λ
U ∗ λνâλ (1.145)
und â ′†
ν wieder bosonische Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren
darstellen:
[â′
ν , â ′ ν ′†] = ∑ ]
Uλν ∗ U λ ′ ν
[â ′ λ , â † λ ′
λ,λ ′
= ∑ λ,λ ′ U ∗ λνU λ′ ν ′δ λλ ′ = ∑ λ
U ∗ λνU λν
′ = δ νν ′. (1.146)
Wir setzen (1.143) in (1.142) ein und erhalten die Modenentwicklung
 k (r) = ∑ ν
A ′ νk (r)â′ ν +h.c. (1.147)
mit den nichtmonochromatischen Modenfunktionen:
A ′ νk (r) =∑ λ
U λν A λk (r) (1.148)

1.2. DAS FREIE ELEKTROMAGNETISCHE FELD 33
Die A ′ νk (r) sindnichtorthogonal,
∫
d 3 rA ′ νk ∗ (r)A ′ ν k(r) ′
= ∑ λ,λ ′ U ∗ λν U λ ′ ν ′ ∫
d 3 rA ∗ λk (r)A λ ′ k(r)
= ∑ λ,λ ′ U ∗ λνU λ′ ν ′
2ε 0 ω λ
δ λλ
′
= ∑
2ε 0
λ
ω −1
λ U ∗ λνU λν ′, (1.149)
und der Hamilton-Operator (1.122) lautet in den gestrichenen Variablen
Ĥ = ∑ ν,ν ′ ∑ λ
ω λ Uλν ∗ U λν ′ â′ ν † â ′ ν ′. (1.150)
Untersuchen wir die Situation im Heisenberg-Bild etwas genauer.
Machen wir in (1.142) die Ersetzung
â λ ↦→ â λ (t) =â λ e −iω λt , (1.151)
so liefert die unitäre Transformation (1.142) (auf die zeitunabhängigen
â λ angewendet) das zeitabhängige Vektorpotential
 k (r,t)= ∑ ν
A ′ νk(r,t)â ′ ν +h.c. (1.152)
mit
A ′ νk(r,t)= ∑ λ
U λν A λk (r)e −iω λt
(1.153)
anstelle von (1.147) mit (1.148). Das Vektorpotential ist hier nach
Lösungen A ′ νk (r,t)dervollenWellengleichungentwickelt,sodaßdie
A ′ νk (r,t)mehroderwenigerkomplizierte,inRaumundZeitpropagierende
Wellenpakete 3 darstellen können. Da jedem dieser Wellenpakete
3 Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Raum-Zeit-Moden (spatio-temporal modes).

34 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
ein bosonischer Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsoperator zugeordnet
ist, kann jedem dieser Wellenpakete ein Hilbert-Raum zugewiesen
werden, der von den Eigenvektoren des jeweiligen Teilchenzahloperators
– also ˆn ′ ν =â′† ν â′ ν
für das ν-te Wellenpaket – aufgespannt wird.
Da diese Zustände keine Energieeigenzustände sind [siehe (1.150)], besitzen
die ihnen entsprechenden photonischen Teilchen keine definierte
Energie – im Gegensatz zur üblichen Vorstellung von Photonen.
Lassen sich die (relevanten) Wellenpakete A ′ νk (r,t)durcheineMittenfrequenz
ω ν und eine (im Vergleich dazu) langsam veränderliche
Einhüllende Ãνk(r,t)charakterisieren,
 k (r,t)= ∑ ν
à νk (r,t)â ′ ν e−iω νt +h.c., (1.154)
à νk (r,t)=A ′ νk(r,t)e iω νt = ∑ λ
U λν A λk (r)e −i(ω λ−ω ν )t , (1.155)
dann können die den Wellenpaketen zugeordneten Operatoren â ′ ν und
â ′ ν † als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren von Photonen angesehen
werden, die näherungsweise die Energie ω ν besitzen.
Nehmen wir an, der von einer Quelle emittierten Strahlung kann
ein Wellenpaket
A k (r,t)= ∑ λ
zugeordnet werden. Setzen wir
α λ A λk (r)e −iω λt ,
∑
|α λ | 2 =1, (1.156)
λ
U λ1 = α λ , (1.157)
so können wir A k (r,t)mitA ′ 1k (r,t)in(1.152)bzw.mitÃ1k(r,t)in
(1.154) identifizieren. Ausgehend von (dem Spaltenvektor) U λ1 können
dann weitere zu U λ1 und untereinander orthogonale (Spaltenvektoren)
U λν konstruiert werden. Die auf diese Weise resultierende unitäre Transformation
liefert dann einen Satz von Wellenpaketen, von denen nur ein
Wellenpaket, nämlich das erste, in einen angeregten Zustand präpariert
ist, während sich alle anderen im Vakuumzustand befinden und somit
für praktische Untersuchungen keine Rolle spielen.

1.3. LINEARE HINTERGRUNDMEDIEN 35
1.3 Lineare Hintergrundmedien
Optische Untersuchungen zu speziellen Licht-Materie-Wechselwirkungsprozessen
setzen immer die Anwesenheit bestimmter (passiver)
Bauelemente voraus, wie beispielsweise Blenden, Linsen, Strahlteiler,
Spiegel, Resonatoranordnungen. Die Anwesenheit solcher in der Regel
dielektrischen makroskopischen Körper und ihre Wirkung auf die
Felder muß natürlich in einer quantentheoretischen Beschreibung voll
enthalten sein. Letztlich hat man es also nie mit dem freien elektromagnetischen
Feld zu tun, d.h. mit dem elektromagnetischen Feld vor
dem Vakuumhintergrund, sondern immer mit Feldern mit inhomogenen
materiellen Hintergrundmedien. In diesem Zusammenhang ist zu
betonen, daß die Charakterisierung einer Resonatoranordnung durch
Randbedingungen der Form (1.108) und (1.109) wie überhaupt das Modenkonzept
für das elektromagnetische Feld bei Anwesenheit makroskopischer
Körper nur unter sehr einschränkenden Bedingungen möglich
und sinnvoll ist.
Im Prinzip ist natürlich immer eine mikroskopische Behandlung
der Hintergrundmedien möglich, indem die entsprechenden (mikroskopischen)
Ladungen und Ströme in den Maxwell-Gleichungen explizit
berücksichtigt werden (siehe Abschnitt 1.4) – ein Verfahren, das in der
Praxis nicht durchstehbar ist. Bekanntlich verwendet man bereits in
der klassischen Elektrodynamik anstelle der mikroskopischen Maxwell-
Gleichungen phänomenologische makroskopische Gleichungen, in denen
der Einfluß von Hintergrundmedien durch Polarisations- und Magnetisierungsfelder
und entsprechende Materialgleichungen erfaßt wird.
Für das elektromagnetische Feld auf einem allgemeinen (für die Optik
typischerweise) dielektrischen Hintergrund 4 ohne zusätzliche Ladungen
und Ströme werden in den Lehrbüchern zur Elektrodynamik die
phänomenologischen Maxwell-Gleichungen gemeinhin in der Form
∇ · B =0, ∇ × E = −Ḃ, (1.158)
(
∇ · E + 1 )
P =0, ∇ × B = 1 (
Ė + 1 )
Ṗ (1.159)
ε 0 c 2 ε 0
4 Die folgenden Überlegungen können sinngemäß auch auf Magnetodielektrika verallgemeinert
werden [D.T. Ho, S.Y. Buhmann, L. Knöll, D.-G. Welsch, S. Scheel, J. Kästel, Phys. Rev. A 68
043816 (2003)].

36 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
angegeben, wobei für lineare, isotrope Medien ohne räumliche Dispersion
ein lokaler und kausaler Zusammenhang zwischen elektrischem
Feld und Polarisationsfeld angenommen wird:
∫ ∞
P(r,t)=ε 0 dτ χ(r, τ)E(r,t− τ) (1.160)
0
Die Ortsabhängigkeit der Suszeptibilität χ(r, τ) widerspiegeltdieInhomogenität
des Mediums, d.h. die räumliche Anordnung der im konkreten
Fall zu betrachtenden dielektrischen Körper. Wir gehen (bzgl.
der Zeit) in den Fourier-Raum über,
E(r,t)=
B(r,t)=
∫ ∞
0
∫ ∞
und erhalten aus (1.158) – (1.160)
wobei
0
dω E(r, ω)e −iωt +c.c., (1.161)
dω B(r, ω)e −iωt +c.c., (1.162)
∇ · B(r, ω) =0, (1.163)
∇ × E(r, ω) =iωB(r, ω), (1.164)
∇ · ε(r, ω)E(r, ω) =0, (1.165)
∇ × B(r, ω) =−i ω ε(r, ω)E(r, ω), (1.166)
c2 ε(r, ω) =1+
∫ ∞
0
dτ e iωτ χ(r, τ) (1.167)
die relative Dielektrizitätsfunktion ist. Dabei ist ε(r, ω) für jedes r eine
komplexwertige Funktion von ω, die den Kramers-Kronig-Beziehungen
genügen muß:
Re ε(r, ω) − 1= P π
∫ ∞
−∞
dω ′ Im ε(r, ω′ )
ω ′ − ω
(1.168)

1.3. LINEARE HINTERGRUNDMEDIEN 37
Im ε(r, ω) =− P π
∫ ∞
−∞
dω ′ Re ε(r, ω′ ) − 1
ω ′ − ω
(1.169)
Bekanntlich beschreibt der Realteil von ε(r, ω) denEffekt der Dispersion
und der Imaginärteil den Effekt der Absorption.
Dispersions- und absorptionsfreie Medien
Für hinreichend schmalbandige Anteile des elektromagnetischen Feldes
fern von Medienresonanzen kann die Dielektrizitätsfunktion näherungsweise
als reell (Vernachlässigung von Absorption) und frequenzunabhängig
(Vernachlässigung von Dispersion) angesehen werden, d.h.
ε(r, ω) ≈ ε(r) =ε ∗ (r). (1.170)
Für solche Schmalbandfelder kann dann die Quantisierung in ähnlicher
Weise wie für (das komplette) Feld im freien Raum erfolgen. So ist aus
(1.164) und (1.166) ersichtlich, daß E(r, ω)einerhomogenenWellengleichung
mit (im Gegensatz zur üblichen Helmholtz-Gleichung) räumlich
veränderlicher Phasengeschwindigkeit genügt,
∇ × ∇ × E(r, ω) − ω2
ε(r)E(r, ω) =0, (1.171)
c2 deren Lösungen der verallgemeinerten Transversalitätsbedingung
∇ · ε(r)E(r, ω) =0 (1.172)
genügen müssen. In Analogie zu (1.63) können elektrisches und magnetisches
Feld wieder aus einem Vektorpotential hergleitet werden,
B(r, ω) =∇ × A(r, ω), E(r, ω) =iωA(r, ω), (1.173)
wobei an die Stelle der Coulomb-Eichung die verallgemeinerte Eichbedingung
∇ · ε(r)A(r, ω) =0 (1.174)
tritt. Offensichtlich genügt A(r, ω)ebenfallsderhomogenenWellengleichung
(1.171). Das durch diese Gleichung (zusammen mit der Eichbedingung)
definierte Eigenwertproblem führt auf ein verallgemeinertes

38 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
System orthogonaler Moden, nach denen die Felder entwickelt werden
können und denen dann wieder bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
zugeordnet werden können.
Dispersive und absorptive Medien 5
Das oben skizzierte Verfahren versagt völlig, wenn – wie es in der
Realität der Fall ist – Dispersion und Absorption berücksichtigt werden
müssen. Verführe man wie oben, wäre das reelle ε(r) in(1.171)
durch ein komplexwertiges, frequenzabhängiges ε(r, ω) zuersetzen.Die
Lösungen von (1.171) wären gedämpfte Wellen derart, daß beim Übergang
zur Quantentheorie die Feldoperatoren auf Grund von Absorption
weggedämpft würden. Mehr noch, bereits die klassische Gleichung
(1.171) ist für absorptive Medien i. allg. falsch, da die zugrunde liegende
Materialgleichung (1.160) i. allg. falsch ist. 6 Eine solche Gleichung
kann in der Regel nur zwischen den Mittelwerten von Polarisation
und elektrischer Feldstärke gelten, nicht jedoch zwischen den Größen
selbst. Die rechte Seite von (1.160) muß – in Übereinstimmung mit dem
Dissipations-Fluktuations-Theorem – durch einen Rauschterm ergänzt
werden:
∫ ∞
P(r,t)=ε 0 dτ χ(r, τ)E(r,t− τ)+P N (r,t) (1.175)
0
Die homogenen Maxwell-Gleichungen (1.165) und (1.166) sind folglich
durch inhomogene zu ersetzen, so daß an die Stelle der Gleichungen
(1.163) – (1.166) die Gleichungen
∇ · B(r, ω) =0, (1.176)
∇ × E(r, ω) =iωB(r, ω), (1.177)
∇ · ε(r, ω)E(r, ω) = 1 ε 0
ρ N
(r, ω), (1.178)
5 T. Gruner, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 53, 1818(1996);S.Scheel,L.Knöll, D.-G. Welsch,
Phys. Rev. A 58, 700(1998).
6 Wenn in (1.160) E und P die nackten“ Felder wären, gäbe es beispielsweise keine thermische
”
Strahlung. Die Gleichung (1.160) kann – wenn überhaupt – nur für Mittelwerte gelten.

1.3. LINEARE HINTERGRUNDMEDIEN 39
∇ × B(r, ω) =µ 0 j N
(r, ω) − i ω ε(r, ω)E(r, ω) (1.179)
c2 treten, wobei die Rauschladungsdichte ρ N und die Rauschstromdichte
j N mit der Rauschpolarisation P N gemäß
und
ρ N
(r, ω) =−∇ · P N (r, ω) (1.180)
j N
(r, ω) =−iωP N (r, ω) (1.181)
zusammenhängen und die Kontinuitätsgleichung
∇ · j N
(r, ω) =iωρ N
(r, ω) (1.182)
gilt. Die Maxwell-Gleichungen (1.177) und (1.179) liefern [anstelle der
homogenen Wellengleichung (1.171)] nunmehr die inhomogene Wellengleichung
∇ × ∇ × E(r, ω) − ω2
c 2 ε(r, ω)E(r, ω) =iωµ 0j N
(r, ω), (1.183)
die wegen (1.182) mit der verbliebenen Maxwell-Gleichung (1.178) verträglich
ist. Die Lösung des Problems kann mittels der (tensoriellen)
Green-Funktion quellenmäßig dargestellt werden,
∫
E k (r, ω) =iµ 0 ω d 3 r ′ G kk ′(r, r ′ , ω) j N k ′(r ′ , ω), (1.184)
wobei die Green-Funktion die Lösung der inhomogenen Wellengleichung
(1.183) mit δ-förmiger Quelle ist,
)]
[∂ k ∂ l −δ kl
(△+ ω2
c ε(r, ω) G 2 lm (r, r ′ , ω) =δ km δ(r − r ′ ), (1.185)
die der Randbedingung im Unendlichen genügt. Folgende nützliche Relationen
gelten:
G ∗ (r, r ′ , ω) =G(r, r ′ , −ω ∗ ), (1.186)
∫
G(r, r ′ , ω) =G T (r ′ , r, ω), (1.187)
d 3 s ω2
c 2 Im ε(s, ω) G(r, s, ω) · G∗ (s, r ′ , ω) =ImG(r, r ′ , ω). (1.188)

40 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Man überzeugt sich unschwer davon, daß das elektrische Feld (1.184)
neben der inhomogenen Wellengleichung (1.183) auch die verbliebene
Maxwell-Gleichung (1.178) erfüllt. Die quellenmäßige Darstellung des
magnetischen Feldes folgt unmittelbar aus (1.177) und (1.184).
Es kann nun gezeigt werden, daß die Feldgleichungen (1.176) –
(1.183) sowie die daraus resultierende quellenmäßige Darstellung
(1.184) des elektrischen Feldes und die entsprechende für das magnetische
Feld unmittelbar in die Quantentheorie als operatorwertige Gleichungen
übernommen werden können, wenn der Rauschstrom wie folgt
festgelegt wird:
ĵ N
(r, ω) =ω
√
ε0
π Im ε(r, ω) ˆf(r, ω) (1.189)
[
ˆfk (r, ω), ˆf † k
(r ′ , ω )]
′ = δ ′ kk ′δ(r − r ′ )δ(ω − ω ′ ) (1.190)
[
ˆfk (r, ω), ˆf k ′(r ′ , ω )]
′ =0=
[
ˆf
†
k (r, ω), ˆf
]
†
k
(r ′ , ω ′ )
′
(1.191)
Das Kontinuum von bosonischen Feldern ˆf(r, ω) beschreibt gewissermaßen
die elementaren Anregungen des betrachteten Gesamtsystems
(elektromagnetisches Feld, Polarisationsfeld, dissipatives System).
Sämtliche elektromagnetischen Felder sind durch die fundamentalen
Felder ˆf(r, ω) undˆf † (r, ω) ausdrückbar, die als die (kanonisch
konjugierten) Grundvariablen der Theorie aufgefaßt werden können.
Gemäß (1.161), (1.162), (1.177), (1.184) und (1.189) lauten die Operatoren
des elektrischen Feldes und des Induktionsfeldes
ˆB(r) =
∫ ∞
0
Ê(r) =
∫ ∞
0
dω Ê(r, ω)+h.c., (1.192)
dω ˆB(r, ω)+h.c., ˆB(r, ω) =(iω) −1 ∇ × Ê(r, ω), (1.193)

1.3. LINEARE HINTERGRUNDMEDIEN 41
wobei
Ê(r, ω) =iµ 0
√
ε0
π ω2 ∫
d 3 r ′ √ Im ε(r ′ , ω) G(r, r ′ , ω) · ˆf(r ′ , ω)
(1.194)
gilt. Die Gleichung (1.192) zusammen mit (1.194) stellt die direkte
Verallgemeinerung der Gleichung (1.129) dar; das (klassische) Problem
der Bestimmung der Modenstruktur des elektromagnetischen Feldes ist
durch das der Bestimmung des Green-Tensors als Lösung der Gleichung
(1.185) ersetzt. 7 Speziell für ein homogenes und isotropes Dielektrikum
lautet die die Randbedingung im Unendlichen befriedigende Lösung
von (1.185)
mit
und
G lm (r, r ′ , ω) = [ ∂ l ∂ m + q 2 δ lm
]
q −2 (ω)g(|r−r ′ |, ω) (1.195)
g(|r−r ′ |, ω) = eiq(ω)|r−r′ |
4π|r−r ′ |
(1.196)
q 2 (ω) = ω2
ε(ω) . (1.197)
c2 Zum Beweis des Quantisierungsverfahrens bemerken wir, daß die fundamentalen
gleichzeitigen Vertauschungsregeln für das elektromagnetische
Feld, wie sie in (1.89) – (1.91) gegeben sind, erfüllt sein müssen.
Daß dies der Fall ist, kann durch direktes Ausrechnen überprüft werden,
wobei hinsichtlich des Mediums nur sehr allgemeine, aus Kausalitätsgründen
resultierende mathematische Eigenschaften von ε(r, ω)
vorausgesetzt werden müssen, ohne die konkrete Gestalt im Einzelfall
zu kennen.
Offensichtlich ist die zeitliche Entwicklung der Felder ˆf(r, ω) (im
Heisenberg-Bild) harmonisch,
ˆf(r, ω,t)=ˆf(r, ω)e −iωt . (1.198)
7 Das Verfahren läßt sich auch auf Magnetodielektrika ausdehnen [D.T. Ho, S.Y. Buhmann, L.
Knöll, D.-G. Welsch, S. Scheel, J. Kästel, Phys. Rev. A 68 043816 (2003)].

42 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems kann somit (bis auf die hier
unwichtige Nullpunktsenergie) in der Form
∫
Ĥ =
d 3 r
∫ ∞
0
dω ω ˆf † (r, ω) · ˆf(r, ω) (1.199)
angegeben werden.
1.4 Wechselwirkung mit atomaren Systemen
Im Falle der Wechselwirkung des elektromagnetischen Feldes mit Ladungen
und Strömen lauten die Maxwell-Gleichungen
∇ · B =0, ∇ × E = −Ḃ, (1.200)
wobei für punktförmige Teilchen
∇ · E = 1 ρ, ∇ × B = µ 0 j + 1 Ė, (1.201)
ε 0 c2 ρ(r) = ∑ α
Q α δ(r − r α ) (1.202)
und
j(r) = ∑ α
Q α ṙ α δ(r − r α ) (1.203)
gilt. Mit den Potentialansätzen (1.51) und (1.52) kann wieder gesichert
werden, daß die Gleichungen (1.200) erfüllt sind.
Minimale Kopplung
Beschränken wir uns auf nichtrelativistische materielle Systeme wie
Atome und Moleküle unter üblichen Laborbedingungen, dann können
wir als Bewegungsgleichungen für die Punktladungen die Newtonschen

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 43
Bewegungsgleichungen zugrunde legen. Diese sowie die aus (1.201) resultierenden
Gleichungen für die Potentiale lassen sich aus folgender
Lagrange-Funktion herleiten:
∫
L = 1 2
d 3 r
[ε 0 (Ȧ + ∇ϕ)2 − 1 ]
(∇ × A) 2
µ 0
∑
∫
m α ṙ 2 α + d 3 r (j · A − ρϕ). (1.204)
+ 1 2
Verwenden wir wieder die Coulomb-Eichung,
α
∇ · A =0, (1.205)
so genügt das skalare Potential der Poisson-Gleichung
∆ϕ = − 1 ε 0
ρ, (1.206)
d.h., ϕ ist ein Funktional von ρ und repräsentiert keinen zusätzlichen
Freiheitsgrad des Systems. Die Lagrange-Funktion (1.204) kann dann
wie folgt aufgeschrieben werden:
∫
L = 1 d 3 r
[ε
2
0 Ȧ 2 − 1 ]
(∇ × A) 2
µ 0
∑
∫
m α ṙ 2 α − W Coul + d 3 r j · A
+ 1 2
α
(1.207)
wobei
W Coul = 1 2
∫
d 3 r ρϕ (1.208)
die Coulomb-Energie bedeutet.
Aus (1.207) kann dann auf dem üblichen Weg die Hamilton-
Funktion konstruiert werden,
∫
H p α · ṙ α + d 3 r Π · Ȧ − L
= ∑ α
∑
∫
= 1 2
m α ṙ 2 α + W Coul + 1 2
α
d 3 r
[ε 0 Ȧ 2 + 1 µ 0
(∇ × A) 2 ]
,
(1.209)

44 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
in der ṙ α und Ȧ zugunsten der kanonisch konjugierten Variablen zu
eliminieren sind. Es ist leicht zu sehen, daß das zu A kanonisch konjugierte
Feld Π wie im wechselwirkungsfreien Fall
Π = δL
δȦ = ε 0 Ȧ (1.210)
lautet, während die zu den Teilchenkoordinaten r α kanonisch konjugierten
Impulse p α auf Grund des Stromterms
p α = ∂L
∂ṙ α
= m α ṙ α + Q α A(r α ) (1.211)
lauten. Wir verwenden (1.210) und (1.211) und können die Hamilton-
Funktion (1.209) in der Form
H = 1 2
∑
α
1 [
pα − Q α A(r α ) ] ∫
2
+ WCoul + 1
m
2
α
aufschreiben und wie folgt zerlegen:
[ 1
d 3 r Π 2 + 1 ]
(∇ × A) 2
ε 0 µ 0
(1.212)
H = H P + H F + H PF , (1.213)
H P – übliche Hamilton-Funktion geladener Teilchen mit Coulomb-
Wechselwirkung:
H P = ∑ α
p 2 α
2m α
+ W Coul (1.214)
H F –Hamilton-FunktiondesfreienStrahlungsfeldes:
H F = 1 2
∫
[ 1
d 3 r Π 2 + 1 ]
(∇ × A) 2
ε 0 µ 0
(1.215)

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 45
H PF –Wechselwirkungsterm:
H PF = H (1)
PF + H(2) PF
(1.216)
H (1)
PF = − ∑ α
Q α
m α
p α · A(r α ) (1.217)
H (2)
PF = ∑ α
Q 2 α
2m α
A 2 (r α ) (1.218)
Der obige kanonische Formalismus kann sofort in die Quantentheorie
übersetzt werden, indem die kanonisch konjugierten Variablen als
Operatoren angesehen werden,
r α , p α , A, Π ↦→ ˆr α , ˆp α , Â, ˆΠ, (1.219)
die den bekannten (gleichzeitigen) Vertauschungsregeln für kanonisch
konjugierte Variablen genügen. Aus der Hamilton-Funktion H wird der
Hamilton-Operator Ĥ, dersichaus(1.212)–(1.216)einfachdurchdie
Ersetzungen (1.219) ergibt. 8
Betrachten wir den Fall der Wechselwirkung des elektromagnetischen
Feldes mit einem Atom, und konzentrieren wir uns zunächst auf
den im Vektorpotential linearen Term (1.217) in (1.216),
Ĥ (1)
PF
↦→ Ĥ(1)
AF = − ∑ α
Q α
m α
ˆp α · Â(ˆr α). (1.220)
Die α-Summe läuft hier über die Elektronen und den Kern des betrachteten
Atoms. Wir führen Massenmittelpunkts- und Relativkoordinaten
ein, 9 ˆr α = ˆr A + ˆr ′ α, (1.221)
8 Die Einbeziehung von (dispersiven und absorptiven) linearen Medien erfordert die Ersetzung des
Hamilton-Operators des freien Strahlungsfeldes durch (1.199) und die Hinzunahme der Coulomb-
Wechselwirkung der geladenen Teilchen mit dem Medium;sieheKapitel8,Gleichungen(8.1)–
(8.5).
9 Man beachte, daß im Falle von N Teilchen wegen ∑ α m αˆr ′ α =0 nur N − 1 (vektorielle) Relativkoordinaten
ˆr ′ α (und Relativimpulse ˆp ′ α)unabhängige Variablen darstellen.

46 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
ˆp α = m α
m ˆp A + ˆp ′ α , (1.222)
so daß (1.220) in der Form
Ĥ (1)
AF = − ∑ α
geschrieben werden kann.
Elektrische Dipolnäherung
Q
(
α mα
)
m α m ˆp A + ˆp ′ α · Â(ˆr A+ˆr ′ α) (1.223)
 k (ˆr + ˆr ′ α) =
∑ l,m,n
1
l!m!n!
∂ l+m+n  k (ˆr)
∂ˆx l 1 ∂ˆxm 2 ∂ˆxn 3
(ˆx ′ α1) l (ˆx ′ α2) m (ˆx ′ α3) n
= Âk(ˆr)+Âk,j(ˆr)ˆx ′ αj
+ ··· , (1.224)
d.h.
 k (ˆr + ˆr ′ α ) ≈ Âk(ˆr), (1.225)
vorausgesetzt daß die Auslenkungen der Elektronen durch das Strahlungsfeld
klein sind im Vergleich zur charakteristischen Wellenlänge des
Feldes – eine Bedingung, die für optische Felder in der Regel sehr gut
erfüllt ist. In Dipolnäherung nimmt also (1.223) die Gestalt
Ĥ (1)
AF = − ∑ α
an, woraus für neutrale Atome
Q
(
α mα
)
m α m ˆp A + ˆp ′ α · Â(ˆr A) (1.226)
Ĥ (1)
AF = − ∑ α
Q α
m α
ˆp ′ α · Â(ˆr A) (1.227)
folgt, bzw. mit der Modenentwicklung (1.127)
Ĥ (1)
AF = − ∑ λ
∑
α
Q α
m α
A λ (ˆr A ) · ˆp ′ α âλ +h.c.. (1.228)
Kann die Massenmittelpunktsbewegung unberücksichtigt bleiben, ist
ˆr A einfach durch die feste c-Zahl-Position des Atoms zu ersetzen

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 47
(ˆr A ↦→ r A ), so daß die Modenfunktionen in (1.228) nicht mehr von
den dynamischen Variablen abhängen, sondern nur noch als die Kopplungsstärken
bestimmende Parameter in den Wechselwirkungsoperator
eingehen:
Ĥ (1)
AF = − ∑ ∑ Q α
A λ (r A ) · ˆp ′ α
m âλ +h.c.. (1.229)
λ α α
Mit Hilfe der Relation
[ˆr
′
α , ĤA]
= i
∂ĤA
∂ ˆp ′ α
= i
m α
ˆp ′ α (1.230)
(ĤP ↦→ ĤA –Hamilton-OperatordesAtoms),kann(1.229)indieForm
Ĥ (1)
AF = i
∑
A λ (r A ) · [ˆd, Ĥ A
]âλ +h.c. (1.231)
λ
gebracht werden, wobei
ˆd = ∑ α
Q αˆr ′ α (1.232)
der atomare Dipoloperator ist. Wir führen die atomaren Flip-
Operatoren Ânm ein,
 nm = |n〉〈m|, Ĥ A |n〉 = ω n |n〉, (1.233)
und können den Wechselwirkungsoperator (1.231) wie folgt darstellen:
Ĥ (1)
AF = −i ∑ n,m
∑
ω nm d nm·A λ (r A ) Ânmâ λ +h.c.
λ
= −i ∑ n,m
ω nm d nm·Â(+) (r A )Ânm +h.c. (1.234)
(d nm = 〈n|ˆd|m〉, ω nm = ω n − ω m ). Speziell für Resonanzübergänge
(ω nm ≈ ω λ )findenwir
Ĥ (1)
AF = − ∑ n,m
d nm·Ê(+) (r A )Ânm +h.c.. (1.235)

48 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
Eine solche Resonanznäherung wird auch als Rotating Wave Approximation
bezeichnet.
Wenn nur die inneratomare Dynamik von Interesse ist und man
es mit resonanter Wechselwirkung gebundener atomarer Zustände mit
optischen Feldern zu tun hat, deren elektrische Feldstärke kleiner als
die sogenannte inneratomare Feldstärke (∼ 10 10 Vm −1 )ist,reichtesin
vielen Fällen aus, nur den im Vektorpotential linearen Term (1.217) in
(1.216) zu berücksichtigen und näherungsweise
zu setzen.
Multipolkopplung
Ĥ AF = Ĥ(1) AF
(1.236)
Für die Behandlung der Wechselwirkung atomarer Systeme mit dem
elektromagnetischen Feld haben sich die Begriffe PolarisationundMagnetisierung
als äußerst nützlich erwiesen. Wir betrachten ein neutrales
atomares System am (festen) Ort r A und definieren die Polarisation als
P(r) = ∑ α
∫ 1
0
dλ Q α r α δ(r − r A − λr α ) (1.237)
(r α − r A ↦→ r α ). Die Rechnung zeigt, daß
−∇ · P = ρ (1.238)
mit ρ gemäß (1.202) gilt. Mittels (1.238) eliminieren wir in der Maxwell-
Gleichung
ε 0 ∇ · E = ρ (1.239)
die (mikroskopische) Ladungsdichte ρ(r) underhalten
∇ · D(r) =0, (1.240)
wobei
D = ε 0 E + P (1.241)

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 49
das Verschiebungsfeld bedeutet, das im Falle eines neutralen Atoms
natürlich quellenfrei und somit rein transversal ist, 10
und (1.241) folglich
D ‖ =0, D = D ⊥ , (1.242)
ε 0 E ‖ = −P ‖ (1.243)
impliziert. Zeitliche Differentiation von (1.238) liefert
so daß wegen der Kontinuitätsgleichung
die Relation
˙ρ + ∇ · Ṗ =0, (1.244)
˙ρ + ∇ · j =0 (1.245)
∇ · (j − Ṗ) =0 (1.246)
gilt, d.h., j − Ṗ muß sich als Rotation eines Vektorfeldes darstellen
lassen,
j − Ṗ = ∇ × M. (1.247)
Die Rechnung zeigt, daß dies mit
M(r) = ∑ α
∫ 1
0
dλ Q α λr α × ṙ α δ(r − r A − λr α ) (1.248)
der Fall ist.
Bekanntlich kann zu der Lagrange-Funktion eines Systems die totale
zeitliche Ableitung einer beliebigen Koordinatenfunktion addiert
werden, ohne die Bewegungsgleichungen zu ändern. Wir legen die
Coulomb-Eichung zugrunde und addieren zu der Lagrange-Funktion
(1.207),
L = L 0 + L int , (1.249)
10 Beachte, daß es sich hier um das mikroskopische Verschiebungsfeld und nicht das (räumlich
gemittelte) Verschiebungsfeld in den üblichen makroskopischen Maxwell-Gleichungen handelt.

50 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
∫
L 0 = 1 2
d 3 r
[ε 0 Ȧ 2 − 1 ]
(∇ × A) 2
µ 0
∫
∫
L int = d 3 r j · A =
+ 1 2
∑
m α ṙ 2 α − W Coul , (1.250)
α
d 3 r j ⊥ · A, (1.251)
die totale zeitliche Ableitung der Funktion
∫
∫
F = − d 3 r P · A = −
d 3 r P ⊥ · A (1.252)
und erhalten für die neue Lagrange-Funktion
L ′ = L + dF
dt = L 0 + L ′ int, (1.253)
L ′ int = L int + dF ∫
∫
dt = d 3 r j · A − d 3 r (Ṗ · A + P · Ȧ). (1.254)
Wir berücksichtigen (1.247) und schreiben (1.254) in der Form
∫
∫
L ′ int = d 3 r (∇ × M) · A − d 3 r P · Ȧ (1.255)
bzw.:
∫
L ′ int =
∫
d 3 r M · (∇ × A) −
d 3 r P · Ȧ (1.256)
Wir ersetzen in (1.256) die Potentialausdrücke durch die Felder,
∇ × A = B, −Ȧ = E⊥ , (1.257)
und sehen, daß der Wechselwirkungsterm bei multipolarer Kopplung
physikalisch
∫
L ′ int =
∫
d 3 r M · B +
d 3 r P · E ⊥ (1.258)

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 51
bedeutet. Machen wir noch Gebrauch von (1.237) und (1.248), so ergibt
sich
L ′ int = ∑ α
∫ 1
0
+ ∑ α
dλλQ α ṙ α · [B(r A +λr α ) × r α ]
∫ 1
0
dλ Q α r α · E ⊥ (r A +λr α ). (1.259)
Die Lagrange-Funktion L ′ führt auf die kanonisch konjugierten Impulse
∫ 1
p ′ α = ∂L′ = m α ṙ α + dλλQ α B(r A +λr α ) × r α , (1.260)
∂ṙ α 0
Π ′ = δ− L ′
δ−
Ȧ = ε 0Ȧ − P⊥ = −ε 0 E ⊥ − P ⊥ = −D ⊥ . (1.261)
Speziell für neutrale Systeme gilt wegen (1.242)
Π ′ = −D. (1.262)
Wir konstruieren die Hamilton-Funktion
H ′ = ∑ ∫
p ′ α · ṙ α + d 3 r Π ′ · Ȧ − L′ . (1.263)
α
Ohne die Rechnung im einzelnen auszuführen, ist klar, daß
∑
∫
H ′ = H = 1 2
m α ṙ 2 α + W Coul + 1 2
d 3 r
[ε 0 Ȧ 2 + 1 ]
(∇ × A) 2
µ 0
α
(1.264)
gilt und sich gemäß (1.260) und (1.261) nur die kanonischen Impulse
ändern, d.h.,
H = 1 2
∑
α
[ ∫
1
1
p ′ α
m − α
+ 1 2
0
∫
dλλQ α B(r A +λr α ) × r α
] 2
+ W Coul
d 3 r
[ 1
ε 0
(Π ′ + P ⊥ ) 2 + 1 µ 0
(∇ × A) 2 ]
(1.265)

52 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
und folglich:
∑
{ ∫
H = 1 1
1
2
p ′ α
m − [
dλλQ α ∇ × A(rA +λr α ) ] } 2
× r α
α α 0
+ 1 ∫
∫ [ 1
d 3 r P 2 + 1
2ε
2
d 3 r Π ′2 + 1 ]
(∇ × A) 2
0 ε 0 µ 0
+ 1 ε 0
∑
α
∫ 1
0
dλ Q α r α · Π ′ (r A +λr α )
Hier wurde berücksichtigt, daß
W Coul = ε ∫
0
dr 3 E ‖2 = 1 ∫
2
2ε 0
(1.266)
dr 3 P ‖2 (1.267)
sowie P ‖2 + P ⊥2 = P 2 gilt.
Der Übergang zur Quantentheorie kann nun wieder wie üblich geschehen,
indem die kanonisch konjugierten Variablen durch Operatoren
mit den bekannten Vertauschungsregeln ersetzt werden,
r α , p ′ α , A, Π′ ↦→ ˆr α , ˆp ′ α , Â, ˆΠ ′ , (1.268)
und obige Hamilton-Funktion H in den Hamilton-Operator Ĥ übergeht.
Im Gegensatz zur minimalen Kopplung tritt in (1.266) das Vektorpotential
als solches nicht mehr auf, sondern nur noch in Form der
in den Maxwell-Gleichungen auftretenden Felder.
Der Übergang von den alten zu den neuen Variablen ist eine kanonische
Transformation und entspricht in der Quantentheorie einer
unitären Transformation, der Power-Zienau-Transformation,
ˆr ′ α = Ûˆr αÛ † = ˆr α , ˆp ′ α = Û ˆp αÛ † , (1.269)
[ ∫ i
Û =exp
 ′ = ÛÂÛ † = Â, ˆΠ′ = Û ˆΠÛ † , (1.270)
] [
d 3 r ˆP · Â i ∑
∫ ]
1
=exp dλ Q α ˆr α ·
Â(r A+λˆr α ) .
α 0
(1.271)

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 53
Elektrische Dipolnäherung
Der Hamilton-Operator gemäß (1.266) zeichnet sich nicht nur dadurch
aus, daß er effektiv nur die in den Maxwell-Gleichungen auftretenden
Felder enthält, sondern eine systematische Multipolentwicklung der
Wechselwirkung atomarer Systeme mit dem Strahlungsfeld gestattet.
Zu diesem Zweck sind das Induktionsfeld ˆB(r A +λˆr α )unddasVerschiebungsfeld
ˆD ⊥ (r A + λˆr α )durchihreTaylor-Entwicklungenzuersetzen.
Beschränken wir uns auf die elektrische Dipolnäherung, so geht der
Hamilton-Operator (1.266) in
Ĥ = ∑ ˆp ′ α 2
+ 1 ∫
dr 3 ˆP2
2m
α α 2ε 0
∫ [ 1
d 3 r
ε ˆΠ′2 + 1 ]
(∇ ×
0 µ Â)2 + 1 ˆd ·
0 ε ˆΠ′ (r A ) (1.272)
0
+ 1 2
über, wobei ˆd der atomare Dipoloperator gemäß (1.232) ist. In (elektrischer)
Dipolnäherung lautet der Wechselwirkungsoperator somit
Ĥ int = 1 ε 0
ˆd · ˆΠ′ (r A )=− 1 ε 0
ˆd · ˆD⊥ (r A ). (1.273)
Die Verallgemeinerung für den Fall mehrerer wohl unterscheidbarer atomarer
Systeme ist unschwer zu vollziehen,
Ĥ = ∑ A
Ĥ A + ∑ A,A ′
A≠A ′ Ĥ AA
′ , (1.274)
wobei Ĥ A gemäß (1.272) definiert ist und
Ĥ AA
′ = 1 ∫
d 3 r
2ε ˆP A · ˆP A
′ (1.275)
0
gilt.
Anmerkungen
• Um den ”
richtigen“ Wechselwirkungsterm in Dipolnäherung gibt
es bis heute Diskussionen. Aus den obigen Darlegungen ist ersichtlich,
daß die Hamilton-Operatoren für minimale Kopplung

54 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG
und Multipolkopplung physikalisch die gleichen sind und sich nur
insoweit unterscheiden, daß unterschiedliche kanonische Variablen,
die über eine kanonische (sprich unitäre) Transformation
miteinander in Beziehung stehen, verwendet werden. In (elektrischer)
Dipolnäherung koppelt dann das Dipolmoment an den
transversalen Anteil des Verschiebungsfeldes an und nicht – wie
man immer wieder findet – an das transversale elektrische Feld.
Im Gegensatz dazu kann die Power-Zienau-Transformation auf
den Hamilton-Operator Ĥ in minimaler Kopplung angewendet
werden,
Ĥ ′ †
= Û ĤÛ, (1.276)
und ein neuer Hamilton-Operator Ĥ′ erzeugt werden. Schreibt
man diesen in den kanonischen Variablen der minimalen Kopplung
auf, so stellt man fest, daß nunmehr in (elektrischer) Dipolnäherung
das Dipolmoment an das transversale elektrische
Feld koppelt, d.h., der Wechselwirkungsterm ist formal −ˆd ·
Ê ⊥ (r A ). Für Erwartungswerte muß bekanntlich
mit
〈Ψ|Ô(t)|Ψ〉 = 〈Ψ′ | Ô′ (t)|Ψ ′ 〉 (1.277)
|Ψ ′ 〉 = Û † |Ψ〉, Ô ′ (t) =e i Ĥ′ t Ô ′ e − i Ĥ′t , Ô ′ = Û † ÔÛ (1.278)
gelten. Damit sich die Erwartungswerte nicht ändern, müssen also
sowohl die Operatoren als auch die Zustände unitär transformiert
werden. In Dipolnäherung gilt insbesondere
ˆD ′⊥ (r A )=Û † ˆD⊥ (r A )Û = ɛ 0Ê⊥ (r A ) (1.279)
Da die Heisenberg-Bewegungsgleichungen forminvariant unter
der unitären Transformation bleiben, genügt folglich der Operator
der elektrischen Feldstärke einer Bewegungsgleichung vom
Typ der Gleichung für das Verschiebungsfeld. Wird der Hamilton-
Operator der minimalen Kopplung unitär transformiert und der
resultierende Hamilton-Operator (der Multipolkopplung) in Verbindung
mit den untransformierten Feldern und Zuständen verwendet,
liefern minimale Kopplung und Multipolkopplung unterschiedliche
Ergebnisse, wenn die unterschiedliche physikalische
Bedeutung der kanonischen Feldimpulse nicht beachtet wird.

1.4. WECHSELWIRKUNG MIT ATOMAREN SYSTEMEN 55
• Das Gegenüberstellen der Begriffe minimale Kopplung und Multipolkopplung
ist etwas irreführend, da beide sich nur in der Wahl
der kanonisch konjugierten Impulse unterscheiden. Während sich
bei der minimalen Kopplung allein die kinetischen und kanonischen
Impulse der Teilchen unterscheiden, unterscheiden sich bei
der Multipolkopplung auch der ”
kinetische“ Feldimpuls ˆΠ = ε 0
˙Â
vom kanonischen Feldimpuls ˆΠ ′ .Insbesonderesindinder(elektrischen)
Dipolnäherung die kinetischen Teilchenimpulse identisch
mit den kanonischen Teilchenimpulsen, und die Änderung betrifft
ausschließlich das Feld.

56 KAPITEL 1. FELDQUANTISIERUNG

Kapitel 2
Quantenzustände des
Strahlungsfeldes
2.1 Fock-Zustände
Wir gehen von einer geeigneten Modenentwicklung des Strahlungsfeldes
aus und greifen eine Mode heraus (die Verallgemeinung auf Mehrmodenfelder
kann dann durch entsprechende Produktzustände geschehen).
Der Einfachheit halber lassen wir den Modenindex weg. Fock-Zustände
sind als Eigenzustände des Anzahloperators
definiert:
ˆn =â † â (2.1)
ˆn |n〉 = n |n〉 (2.2)
Wir untersuchen zunächst die Wirkung von â l auf |n〉:
folglich ist
ˆnâ l |n〉 = ([ˆn, â l] +â lˆn ) |n〉, (2.3)
[ˆn, ] â
l
= [ â † â, â l] = [ â † , â l] â +â [ † â, â l]
} {{ } } {{ }
−lâ l−1 0
= −lâ l , (2.4)
ˆnâ l |n〉 =(n − l)â l |n〉, (2.5)
57

58 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
d.h.
bzw.
Völlig analog kann man zeigen, daß
gilt. Mit (2.7) folgt dann
〈n−l−1|n−l−1〉 = ∣ (−) c
} {{ }
≥ 0
â l |n〉 ∼|n − l〉 (2.6)
c (−)
l,n âl |n〉 = |n − l〉. (2.7)
c (+)
l,n â†l |n〉 = |n + l〉 (2.8)
1,n−l
∣ 2 〈n−l|â † â|n−l〉 = ∣ (−)
c ∣ 2 (n−l), (2.9)
woraus (wegen der positiven Norm von Hilbert-Raum-Vektoren) ersichtlich
ist, daß
(n − l) ≥ 0 (2.10)
1,n−l
gelten muß, d.h., n muß eine nichtnegative ganze Zahl sein,
n =0, 1, 2,... (2.11)
Die Zustände |n〉 als Eigenzustände des Anzahloperators ˆn heißen Anzahlzustände
oder Fock-Zustände, in Verbindung mit dem Strahlungsfeld
auch Photonenanzahlzustände (photon number states). Die Tatsache,
daß die Zahl der Photonen in einer Mode beliebig sein kann, widerspiegelt
den bosonischen Charakter vonPhotonen.ImFallemonochromatischer
Moden sind die Fock-Zustände gleichzeitig Eigenzustände
des Hamilton-Operators
Ĥ = ω (ˆn + 1 2)
. (2.12)
Die Quanten ω (im betrachteten Quantisierungsvolumen) repräsentieren
dann Photonen scharfer Energie.
Gemäß (2.8) kann ein Fock-Zustand |n〉 aus dem Vakuumzustand
|0〉 durch n-maliges Anwenden des Erzeugungsoperators â † erhalten
werden,
|n〉 = c (+)
n,0 â†n |0〉, (2.13)

2.1. FOCK-ZUSTÄNDE 59
wobei wegen 〈n|n〉 =1
1= ∣ ∣c (+)
∣ 2 〈0|â n â †n |0〉 (2.14)
gelten muß. Wir berechnen den Normierungsfaktor:
n,0
〈0|â n â †n |0〉 = 〈0|â n−1 ââ †n |0〉
= 〈0|â [ n−1 â, â †n] |0〉 + 〈0|â n−1 â †n â|0〉 = n〈0|â
}{{}
n−1 â †n−1 |0〉,
0
(2.15)
woraus (durch wiederholtes Anwenden)
〈0|â n â †n |0〉 = n! (2.16)
folgt. Damit wird mit (2.14)
∣ (+)
c ∣ 2 = 1 n! , (2.17)
und (2.13) lautet:
n,0
|n〉 = 1 √
n!
â †n |0〉 (2.18)
Wir wenden â † auf |n〉 aus (2.18) an,
d.h.:
â † |n〉 = 1 √
n!
â †n+1 |0〉 = √ n +1
Analog liefert die Anwendung von â auf |n〉:
1
√ â †n+1 |0〉 , (2.19)
(n +1)!
} {{ }
|n +1〉
â † |n〉 = √ n +1|n +1〉 (2.20)
â|n〉 = √ n |n − 1〉 (2.21)

60 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Anwendung von â † auf |n〉 entspricht also der Erzeugung eines Photons,
und Anwendung von â auf |n〉 entspricht der Vernichtung eines
Photons.
Die Fock-Zustände bilden ein vollständiges Orthonormalsystem und
können als Basis des Hilbert-Raumes verwendet werden,
〈n|m〉 = δ nm
(2.22)
∑
|n〉〈n| = Î (2.23)
n
so daß sich jeder Zustand |Ψ〉 einer Strahlungsfeldmode nach Fock-
Zuständen entwickeln läßt, 1
|Ψ〉 = ∑ n
|n〉〈n|Ψ〉. (2.24)
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Photonenanzahlmessung genau n
Photonen zu registrieren, ist dann durch
prob n = |〈n|Ψ〉| 2 (2.25)
gegeben.
Photonenanzahl- und Feldstärkestatistik
Für den Mittelwert und die Varianz einer Größe
Ô gilt bekanntlich
〈Ô〉 = 〈Ψ|Ô|Ψ〉 (2.26)
und 〈
(∆ Ô) 2〉 = 〈( Ô −〈Ô〉) 2〉
=
〈Ô2 〉 − 〈 Ô 〉 2
. (2.27)
Wenn sich die betrachtete Strahlungsfeldmode in einem Fock-Zustand
befindet, |Ψ〉 = |n〉, unterliegtdiePhotonenanzahloffensichtlich keiner
Schwankung,
〈ˆn〉 = n, 〈(∆ˆn) 2 〉 =0. (2.28)
1 Entsprechend gilt für gemischte Zustände ˆϱ = ∑ n,m
|n〉〈m| 〈n|ˆϱ|m〉.

2.1. FOCK-ZUSTÄNDE 61
Fock-Zustände repräsentieren den Extremfall der sub-Poisson-Photonenstatistik
nichtklassischer Strahlung, d.h. Strahlung, deren Statistik
prinzipiell nicht durch klassisch-statistische Modelle beschreibbar ist.
Dazu sehen wir uns ganz allgemein die normalgeordnete Varianz 2
〈:(∆ˆn) 2 :〉 = 〈â † â † ââ〉−〈ˆn〉 2
= 〈â †( [â † , â] +ââ
} {{ }
†) â〉−〈ˆn〉 2 = 〈(∆ˆn) 2 〉−〈ˆn〉 ≥−〈ˆn〉 (2.29)
−1
an (: : – Normalordnungssymbol). Im Falle einer sub-Poisson-Statistik,
muß also
〈(∆ˆn) 2 〉 < 〈ˆn〉, (2.30)
〈:(∆ˆn) 2 :〉 < 0 (2.31)
gelten, d.h., die normalgeordnete Varianz muß negativ sein – ein Ergebnis,
das im Rahmen klassisch-statistischer Modelle nicht beschreibbar
ist. Das klassische Analogon zu (der meßbaren Größe) 〈: (∆ˆn) 2 :〉 ist
offensichtlich 3 (∆|α| 2 ) 2 =
∫
( ) 2.
d 2 α P cl (α) |α| 2 − |α| 2 (2.32)
Es ist klar, daß für jede klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung
P cl (α) ≥ 0istundsomit
(∆|α| 2 ) 2 ≥ 0 (2.33)
gelten muß. Speziell im Falle von Fock-Zuständen nimmt die normalgeordnete
Varianz 〈:(∆ˆn) 2 :〉 wegen 〈(∆ˆn) 2 〉 =0 den minimalen Wert
an,
〈:(∆ˆn) 2 :〉 = −〈ˆn〉. (2.34)
Betrachten wir Feldstärken der Art
ˆF = Câ + C ∗ â † , C = |C|e −iϕ . (2.35)
2 Normalgeordnete Größen sind mit üblichen Photodetektoren direkt meßbar (Kapitel 4).
3 Man ersetze â durch die c-Zahl α und entsprechend â † durch α ∗ und mittele mit einer klassischen
Wahrscheinlichkeitsverteilung.

62 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Ihr Mittelwert
〈 ˆF 〉 = C〈â〉 + C ∗ 〈â † 〉 (2.36)
verschwindet offensichtlich im Falle von Fock-Zuständen (|Ψ〉 = |n〉),
Für die Varianz
〈 ˆF 〉 =0. (2.37)
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = C 2 〈â 2 〉 + C ∗2 〈â †2 〉 + |C| 2 〈(ââ † +â † â)〉−〈ˆF 〉 2 (2.38)
ergibt sich für Fock-Zustände
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |C| 2 〈(ââ † +â † â)〉 = |C| 2 (2〈ˆn〉 +1). (2.39)
Wir sehen, daß mit wachsender Photonenanzahl die Feldstärkeschwankung
zunimmt und asymptotisch proportional zu dieser wird. Speziell
für das Vakuumrauschen der Feldstärke gilt (|Ψ〉 = |0〉)
Mehrmodenfelder
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |C| 2 . (2.40)
Im Falle eines in mehreren Moden angeregten Strahlungsfeldes erhält
man die entsprechenden Fock-Zustände als direkte Produkte
der 1-Moden-Fock-Zustände mit
|n 1 ,n 2 ,...〉 = |n 1 〉⊗|n 2 〉⊗··· (2.41)
ˆn λ |n λ 〉 = n λ |n λ 〉. (2.42)
Die Zustände (2.41) sind offensichtlich Eigenzustände des Operators
der Gesamtanzahl von Photonen,
ˆN = ∑ λ
ˆn λ , (2.43)
ˆN|n 1 ,n 2 ,...〉 = N|n 1 ,n 2 ,...〉, (2.44)
N = ∑ λ
n λ . (2.45)

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 63
Im Falle von monochromatischen Moden sind diese Zustände auch
Energieeigenzustände mit Energien 4
E = ∑ λ
ω λ n λ . (2.46)
2.2 Glauber-Zustände
Betrachten wir zunächst wieder den Fall eines 1-Moden-Feldes. Unterwerfen
wir â und |n〉 einer unitären Transformation,
so gilt offensichtlich
â ′ = ÛâÛ † , (2.47)
|n〉 ′ = Û|n〉, (2.48)
ˆn ′ |n〉 ′ = n|n〉 ′ , (2.49)
â ′† |n〉 ′ = √ n +1|n +1〉 ′ , (2.50)
â ′ |n〉 ′ = √ n |n − 1〉 ′ . (2.51)
Die transformierten Operatoren â ′ und â ′† sind wieder bosonische
Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren, so daß ˆn ′ =â ′† â ′ wieder ein
Anzahloperator ist, dessen Eigenzustände gerade die transformierten
Zustände |n〉 ′ sind. Es ist klar, daß sich die physikalischen Eigenschaften
der Zustände |n〉 ′ wesentlich von denen der Zustände |n〉 unterscheiden
können, und zwar in Abhängigkeit von der jeweils gewählten
unitären Transformation Û.
Wir wählen als unitäre Transformation die kohärente Verschiebung:
Û ≡ ˆD(α) =e α↠−α ∗ â (2.52)
Der Operator ˆD(α) heißtauchkohärenter Verschiebungsoperator; α ist
eine beliebige komplexe Zahl. Stellt der Kommutator zweier Operatoren
 und ˆB eine c-Zahl dar,
4 Vom Vakuumniveau aus gezählt.
[Â, ˆB] =c-Zahl, (2.53)

64 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
so gilt bekanntlich
eÂ+ ˆB = e − 1 2 [Â, ˆB] eÂe ˆB. (2.54)
Mit Hilfe dieser Relation ist leicht zu sehen, daß der kohärente Verschiebungsoperator
in Normal- und Antinormalordnung wie folgt lautet:
Normalordnung: ˆD(α) =e
− 1 2 |α|2 e α↠e −α∗â, (2.55)
Antinormalordnung: ˆD(α) =e
1
2 |α|2 e −α∗âe α↠. (2.56)
Wir berechnen â ′ und finden zunächst
Nun gilt
d.h.
woraus
â ′ = ˆD(α)â ˆD † (α) =e α↠e
−α∗ââe α∗âe−αâ†
= e α↠âe −α↠≡ â(α). (2.57)
dâ(α)
dα
= eα↠⠆ âe −α↠− e α↠ââ † e −αâ†
= e [↠α↠, â ]
e −α↠, (2.58)
} {{ }
−1
dâ(α)
dα
folgt. Mit der ”
Anfangsbedingung“
finden wir also:
= −1, (2.59)
â(α) =−α + ˆb (2.60)
â(0) = â ❀ ˆb =â (2.61)
â ′ =â(α) = ˆD(α)â ˆD † (α) =â − α (2.62)
Die unitäre Transformation bewirkt also eine Verschiebung von â um
die komplexe Zahl −α.

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 65
Die Zustände
|n〉 ′ = |n, α〉 = ˆD(α)|n〉 (2.63)
heißen kohärent verschobene Fock-Zustände bzw. kohärent verschobene
Anzahlzustände. Sie sind Eigenzustände des kohärent verschobenen
Anzahloperators,
ˆn ′ =ˆn(α) =â † (α)â(α) = ( â † − α ∗) (â − α) , (2.64)
ˆn(α)|n, α〉 = n|n, α〉. (2.65)
Speziell für α =0, erhalten wir die gewöhnlichen Fock-Zustände,
|n, α =0〉 = |n〉.
Die Zustände, die sich ergeben, wenn umgekehrt n =0 gesetzt und
α als Variable betrachtet wird, heißen Glauber-Zustände oder auch
kohärente Zustände:
|α〉 = |0, α〉 = ˆD(α)|0〉 (2.66)
Wegen
[siehe (2.51) mit n =0] wird mit (2.62)
â(α)|0, α〉 =0 (2.67)
(â − α)|0, α〉 =0 ❀ â|0, α〉 = α|0, α〉, (2.68)
d.h., die Glauber-Zustände sind rechtsseitige Eigenzustände des Vernichtungsoperators,
â|α〉 = α|α〉 (2.69)
Wie aus (2.66) leicht zu sehen ist, sind sie auf 1 normiert,
〈α|α〉 =1. (2.70)

66 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Wir wollen die Frage nach der Wirkung von â † auf |α〉 beantworten:
d.h.:
â † |α〉 =â † ˆD(α)|0〉
=â † e − 1 2 |α|2 e α↠e −α∗â|0〉
=â † e (− 1 2 α∗ +â †)α e −α∗â|0〉
( ) ∂
=
∂α + α∗
e (− 1 2 α∗ +â †)α e −α∗â|0〉 , (2.71)
2 } {{ }
|α〉
â † |α〉 =
( ) ∂
∂α + α∗
|α〉 (2.72)
2
Entsprechend gilt:
( ∂
〈α|â = 〈α|
∂α ∗
←−
+ α 2
)
(2.73)
Glauber-Zustände können wie alle anderen Zustände nach Fock-
Zuständen entwickelt werden:
|α〉 = ∑ n
|n〉〈n|α〉, (2.74)
〈n|α〉 = 〈n| ˆD(α)|0〉
= e − 1 2 |α|2 〈n|e α↠e −α∗â|0〉
= e − 1 2 |α|2 〈n|e α↠|0〉
= e − 1 αn
2
|α|2
n! 〈n|â†n |0〉
= e − 1 αn 1
2
|α|2
√ 〈n| √ â †n |0〉 , (2.75)
n!
} n!
{{ }
|n〉

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 67
d.h.:
〈n|α〉 = αn
√
n!
e − 1 2 |α|2 (2.76)
Das Ergebnis läßt sich unschwer auf kohärent verschobene Fock-Zustände
verallgemeinern:
〈n|m, α〉 = 〈n| ˆD(α)|m〉 = e − 1 2 |α|2 √
n!m!
min(n,m)
∑
×
l=0
(−1) m−l α ∗(m−l) α (n−l)
l!(n − l)!(m − l)!
. (2.77)
Die Tatsache, daß die Glauber-Zustände (rechtsseitige) Eigenvektoren
eines nicht hermiteschen Operators sind, hat einige ungewöhnliche
Eigenschaften zur Folge. So sind sie nicht nur nicht orthogonal, sondern
sie sind auch übervollständig. Wie wollen zunächst das Skalarprodukt
〈α|β〉 berechnen. Aus
( ∂
〈α|â|β〉 = β〈α|β〉 =
∂α + α )
〈α|β〉 (2.78)
∗ 2
[vgl. (2.73)] finden wir für 〈α|β〉 die Differentialgleichung
deren Lösung offensichtlich
lautet. Mit der ”
Anfangsbedingung“
erhalten wir also
∂
∂α ∗〈α|β〉 = ( β − 1 2 α) 〈α|β〉, (2.79)
〈α|β〉 = A exp [( β − 1 2 α) α ∗] (2.80)
1=〈β|β〉 = Ae 1 2 |β|2 ❀ A = e − 1 2 |β|2 (2.81)
〈α|β〉 =exp [ − 1 2
(
|α| 2 + |β| 2) + α ∗ β ] (2.82)

68 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
bzw.
woraus insbesondere
〈α|β〉 =exp [ − 1 2 |α − β|2 + 1 2 (α∗ β − αβ ∗ ) ] , (2.83)
|〈α|β〉| 2 = e −|α−β|2 (2.84)
folgt. Wir sehen, daß die Zustände |α〉 und |β〉, α ≠ β, nichtorthogonal
sind. Sie können näherungsweise als orthogonal angesehen werden,
falls der Abstand der Punkte α und β in der komplexen Ebene – dem
Phasenraum – hinreichend groß ist,
〈α|β〉 ≈0 für |α − β| ≫ 1. (2.85)
Jeder Zustand |Ψ〉kann nach Glauber-Zuständen entwickelt werden.
Um dies zu zeigen, berechnen wir
∫
d 2 α |α〉〈α| = ∑ ∫
d 2 α |n〉〈n|α〉〈α|m〉〈m|. (2.86)
n,m
Wir erhalten unter Verwendung von (2.76)
∫
d 2 α |α〉〈α| = ∑ ∫
|n〉〈m|
√ d 2 αα n α ∗m e −|α|2 = π ∑
n,m n!m! } {{ } n
πn!δ nm
|n〉〈n| (2.87)
bzw. wegen der Vollständigkeit der Fock-Zustände [siehe (2.23)]:
∫
1
π
d 2 α |α〉〈α| = Î (2.88)
Da der Einheitsoperator durch die Glauber-Zustände aufgelöst wird,
kann also ein beliebiger Zustand |Ψ〉 nach Glauber-Zuständen entwickelt
werden,
|Ψ〉 = 1 ∫
d 2 α |α〉〈α|Ψ〉. (2.89)
π
Wenden wir (2.89) auf einen beliebigen Glauber-Zustand an (d.h.
|Ψ〉 = |β〉), so sehen wir, daß jeder dieser Zustände (in nichttrivialer

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 69
Weise) wieder nach Glauber-Zuständen entwickelt werden kann,
|β〉 = 1 π
∫
d 2 α |α〉〈α|β〉, (2.90)
d.h., die Glauber-Zustände sind nicht linear unabhängig voneinander.
Um explizit zu demonstrieren, daß die Glauber-Zustände übervollständig
sind, entwickeln wir einen Fock-Zustand nach Glauber-
Zuständen. Gemäß (2.89) gilt
|n〉 = 1 π
∫
d 2 α |α〉〈α|n〉. (2.91)
Wegen der Übervollständigkeit der Glauber-Zustände ist es nicht notwendig,
über den gesamten Phasenraum zu integrieren, sondern es
reicht beispielsweise – wie wir sehen werden – die Integration längs
eines Kreises aus, d.h.
|n〉 = C n(|α|)
2π
∫ +π
−π
dϕ α e −inϕ α
|α〉 (2.92)
(α = |α|e iϕ α
). Um uns von der Richtigkeit dieser Gleichung zu überzeugen,
entwickeln wir die Glauber-Zustände |α〉 nach Fock-Zuständen
|n〉. Mit(2.74)und(2.76)erhaltenwir
woraus
|n〉 = C n (|α|)e − 1 2 |α|2 ∑ m
∫ +π
|α| m 1
√ dϕ α e i(m−n)ϕ α
m! 2π −π
} {{ }
δ mn
|m〉
= C n (|α|)e − 1 |α|n
2
|α|2
√ |n〉, (2.93)
n!
C n (|α|) =e 1 2 |α|2 √
n!
|α| n (2.94)
folgt. Damit ist auch klar, daß sich ein beliebiger Zustand |Ψ〉 nach
Glauber-Zuständen auf einem Kreis entwickeln läßt.

70 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Es läßt sich zeigen, daß die Relation (2.88) auch für kohärent verschobene
Fock-Zustände |n, α〉 mit beliebigem n gültig ist:
∫
1
π
d 2 α |n, α〉〈n, α| = 1 π
∫
d 2 α ˆD(α)|n〉〈n| ˆD † (α) =Î (2.95)
Anmerkungen
• Aus (2.82) folgt, daß
e −α∗β 〈α|β〉 =exp [ − 1 2
(
|α| 2 + |β| 2)] = 〈α|0〉〈0|β〉 (2.96)
gilt. Da ferner die linke Seite dieser Gleichung als
e −α∗β 〈α|β〉 = 〈α| : e −â†â : |β〉 (2.97)
geschrieben werden kann, finden wir für alle |α〉 und |β〉
woraus die nützliche Relation
〈α| : e −â†â : |β〉 = 〈α|0〉〈0|β〉, (2.98)
für den Vakuumprojektor |0〉〈0| folgt.
|0〉〈0| =:e −â†â :=:e −ˆn : (2.99)
• Man kann sich leicht überlegen [indem man von 〈n|α〉 gemäß
(2.76) ausgeht], daß die Verallgemeinerung auf beliebige Fock-
Zustands-Projektoren
|n〉〈n| =: (↠â) n
n!
−â†â
e :=:ˆnn
e−ˆn : (2.100)
n!
lautet.

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 71
• Ferner kann man sich ebenfalls leicht überlegen [indem man 〈α|β〉
gemäß (2.83) zugrunde legt bzw. (2.99) von links mit ˆD(α) und
von rechts mit ˆD † (α) multipliziertsowie(2.55)verwendet],daß
die (nicht orthogonalen) Glauber-Zustands-Projektoren in der
Form
[
|α〉〈α| =:e −ˆn(α) :=:exp − ˆD(α)ˆn ˆD
]
† (α) : (2.101)
geschrieben werden können. Wie erwartet, gehen (2.100) für n =
0und(2.101)für α =0 in (2.99) über.
• Schließlich lassen sich (2.100) und (2.101) noch weiter zu
|n, α〉〈n, α| =:ˆnn (α)
e −ˆn(α) : (2.102)
n!
verallgemeinern.
Phasenraum-POMs
Für jedes (fest) vorgegebene n und variables α definieren die hermiteschen
Operatoren
ˆΠ n (α) =π −1 |n, α〉〈n, α| = π −1 ˆD(α)|n〉〈n| ˆD† (α) (2.103)
ein Probability Operator Measure (POM) 5
P n (α) =〈ˆΠ n (α)〉, (2.104)
∫
P n (α) ≥ 0, (2.105)
d 2 α P n (α) =1 (2.106)
5 Auch als POVM – Positive Operator Valued Measure –bezeichnet.

72 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
für die komplexe Amplitude α, derselbstkeinhermitescherOperator
entspricht. Die Operatoren ˆΠ n (α) können (für festes n) alsnichtorthogonale
Projektoren aufgefaßt werden, deren Erwartungswerte eine
Verteilungsfunktion P n (α) für die komplexe Amplitude α im Sinne
einer Wahrscheinlichkeitsdichte definieren, die jedoch im Gegensatz
zu Größen mit orthogonalen Projektoren nicht beliebig scharf werden
kann. In der klassischen Optik ist der Zustand vollständig bestimmt,
wenn die Verteilungsfunktion für die komplexe Amplitude α bekannt
ist. Offensichtlich gibt es in der quantentheoretischen Beschreibung beliebig
viele solcher Verteilungsfunktionen. Wir werden im Kapitel 3
sehen, daß jede dieser Funktionen den Quantenzustand eindeutig bestimmt.
Mehr noch, diese Funktionen müssen nicht – im Gegensatz zu
den Funktionen P n (α) –denCharaktervonWahrscheinlichkeitsdichten
besitzen.
Umgekehrt, für (fest) vorgegebenes α und variables n stellen die
Operatoren π ˆΠ n (α) gewöhnliche orthogonale Projektoren dar,
und ihre Erwartungswerte
π ˆΠ n (α) π ˆΠ m (α) =δ nm π ˆΠ n (α), (2.107)
˜P n (α) =〈π ˆΠ n (α)〉 = πP n (α) (2.108)
sind (für festes α) herkömmliche quantenmechanische Wahrscheinlichkeiten,
˜P n (α) ≥ 0, (2.109)
∑
˜P n (α) =1. (2.110)
n
In unserem Fall ist also ˜P n (α) die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer
Messung des kohärent verschobenen (hermiteschen) Anzahloperators
ˆn(α) denWertn zu registrieren.
Photonenanzahl- und Feldstärkestatistik
Vergleichen wir die Photonenanzahlstatistik der Glauber-Zustände mit
ihrer Feldstärkestatistik. Gemäß (2.76) ist die Photonenanzahlstatistik

2.2. GLAUBER-ZUSTÄNDE 73
eines Glauber-Zustands |α〉 durch die Poisson-Verteilung
P n = |〈n|α〉| 2 = |α|2n
n!
e −|α|2 (2.111)
gegeben, die als Grenze zwischen klassischer und nichtklassischer Strahlung
angesehen werden kann.
Mittlere Anzahl von Photonen:
Varianz der Photonenanzahl:
〈ˆn〉 = 〈α|ˆn|α〉 = |α| 2 . (2.112)
〈(∆ˆn) 2 〉 = 〈α|ˆn 2 |α〉−〈α|ˆn|α〉 2 = |α| 2 = 〈ˆn〉. (2.113)
Relative Schwankung der Photonenanzahl:
√
〈(∆ˆn)2 〉
= √ 1 = 1 → 0 für |α| →∞. (2.114)
〈ˆn〉 〈ˆn〉 |α|
Wir vergleichen wieder mit der als Feldstärkestatistik bezeichneten
Statistik von ˆF = Câ + C ∗ â † .
Mittlere Feldstärke:
〈 ˆF 〉 = 〈α| ˆF |α〉 = Cα + C ∗ α ∗ =2|C||α| cos(ϕ − ϕ α ). (2.115)
Feldstärkevarianz:
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = 〈α| ˆF 2 |α〉−〈α| ˆF |α〉 2 = |C| 2
Relative Feldstärkeschwankung:
√
〈(∆ ˆF ) 2 〉 1
〈 ˆF
=
〉 2|α| cos(ϕ α − ϕ)
= 〈(∆ ˆF ) 2 〉 vac . (2.116)
→ 0 für |α| →∞ (2.117)
[cos(ϕ α − ϕ) ≠0]. Das Rauschen der Feldstärke einer Mode ist also unabhängig
von der Größe der kohärenten Amplitude α und einzig durch

74 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
das Quantenrauschen des Vakuums bestimmt. Die Glauber-Zustände
können deshalb als diejenigen Quantenzustände angesehen werden, die
am nächsten schwankungsfreien kohärenten Moden (Wellen) der klassischen
Elektrodynamik kommen.
Mehrmodenfelder
Im Falle eines in mehreren Moden angeregten Strahlungsfeldes erhält
man die entsprechenden Glauber-Zustände als direkte Produkte
der 1-Moden-Glauber-Zustände mit
|α 1 , α 2 ,...〉 = |α 1 〉⊗|α 2 〉⊗··· (2.118)
â λ |α λ 〉 = α λ |α λ 〉. (2.119)
Die Zustände (2.118) sind offensichtlich Eigenzustände der positiven
Frequenzanteile von Feldstärkeoperatoren,
ˆF (+) = ∑ λ
C λ â λ , (2.120)
ˆF (+) |α 1 , α 2 ,...〉 = F (+) |α 1 , α 2 ,...〉, (2.121)
F (+) = ∑ λ
C λ α λ . (2.122)
2.3 Gequetschte Zustände
Wir wollen einen Glauber-Zustand |β〉 durch das POM ˆΠ(α) =
π −1 |α〉〈α| veranschaulichen, d.h. durch die Verteilungsfunktion 6
Q(α) =〈β|ˆΠ(α)|β〉 = π −1 |〈α|β〉| 2 (2.123)
im Phasenraum. Gemäß (2.84) ist Q(α) eineGauß-Verteilung,
Q(α) =π −1 e −|α−β|2 . (2.124)
Der Kreis in der Abbildung mit einem Radius von der Größenordnung
6 Die Verteilungsfunktion heißt auch Q-Funktion, Abschnitt 3.

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 75
Im α
β
Re α
1charakterisiertdasGebiet,indemQ(α) imwesentlichenvonnull
verschieden ist. Speziell für den Radius 1/ √ 2 charakterisiert der Kreis
größenordnungsmäßig den Bereich der Vakuumfluktuationen der speziellen
Feldstärke
ˆF = 1 √
2
(â
+â
† ) ≡ ˆx, (2.125)
für die
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = 1 2
(2.126)
gilt [siehe (2.116) mit |C| =1/ √ 2]. Läßt sich der Kreis beispielsweise
zu einer Ellipse deformieren (quetschen), bedeutet dies offensichtlich
(im Vergleich zum Vakuum) vergrößertes Rauschen entlang der großen
Hauptachse und (im Vergleich zum Vakuum) verringertes Rauschen
entlang der kleinen Halbachse. Zustände mit derartigen Eigenschaften
Im α
Re α
werden gequetschte Zustände (Squeezed States)genannt,wobeidieDeformation
des charakteristischen Rauschgebiets des Ausgangszustandes

76 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
natürlich auf vielfältige Weise geschehen kann. Oft werden im engeren
Sinn unter gequetschten Zuständen gequetschte kohärente Zustände
verstanden, die aus Glauber-Zuständen entstehen, wenn deren Vakuumrauschen
elliptisch deformiert wird. 7
Gemäß (2.47), (2.48) betrachten wir wieder eine unitäre Transformation
â ′ = ÛâÛ † , (2.127)
und wählen
|n〉 ′ = Û|n〉 (2.128)
Û ≡ Ŝ(ξ) =exp[ − 1 2
(
ξâ †2 − ξ ∗ â 2)] (2.129)
(ξ = |ξ|e iϕ ξ
– beliebige komplexe Zahl). Der Operator
Quetschoperator (Squeeze Operator). Definieren wir
Ŝ(ξ) heißtauch
â(λ) =Ŝ(λξ)âŜ† (λξ), (2.130)
so gilt offensichtlich
â ′ =â(λ)| λ=1
, â =â(λ)| λ=0
, (2.131)
und für â(λ)kanneineeinfacheDifferentialgleichung aufgestellt werden:
so daß mit
dâ(λ)
dλ
= dŜ(λξ)
dλ
dŜ(λξ)
dλ
âŜ† (λξ)+Ŝ(λξ)â dŜ† (λξ)
dλ
= Ŝ(λξ) [ − 1 2
, (2.132)
(
ξâ †2 − ξ ∗ â 2)] (2.133)
dâ(λ)
dλ = Ŝ(λξ) [ (
â, 1 2 ξâ †2 − ξ ∗ â 2)] Ŝ † (λξ)
= [ (
â(λ), 1 2 ξâ †2 (λ) − ξ ∗ â 2 (λ) )]
= 1 2 ξ [ â(λ), â †2 (λ) ] = ξâ † (λ) (2.134)
7 Diese Zustände bilden die Klasse der Gaußschen Zustände.

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 77
folgt. Analog finden wir
dâ † (λ)
dλ
Die Gleichungen (2.134) und (2.135) sind zu
= ξ ∗ â(λ). (2.135)
äquivalent, deren Lösung
d 2 â(λ)
dλ 2 = |ξ| 2 â(λ) (2.136)
mit den ”
Anfangsbedingungen“
â(λ) =ĉ 1 e |ξ|λ +ĉ 2 e −|ξ|λ (2.137)
â(λ)| λ=0
=ĉ 1 +ĉ 2 =â, (2.138)
dâ(λ)
dλ ∣ = |ξ| (ĉ 1 − ĉ 2 )=ξâ †
λ=0
(2.139)
ist. Die beiden algebraischen Gleichungen (2.138) und (2.139) liefern
(â
ĉ 1 = 1 2 + e
iϕξâ †) , (2.140)
(â
ĉ 2 = 1 2 − e
iϕξâ †) . (2.141)
Wir setzen (2.140) und (2.141) in (2.137) ein und erhalten
woraus für λ =1
â(λ) =â cosh(|ξ|λ)+â † e iϕ ξ
sinh(|ξ|λ), (2.142)
â ′ =â cosh |ξ| +â † e iϕ ξ
sinh |ξ| (2.143)
und entsprechend
folgt.
(â ′ ) † =(â † ) ′ =â † cosh |ξ| +âe −iϕ ξ
sinh |ξ| (2.144)

78 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Eine alternative Darstellung der Transformation, die auch für konkrete
Rechnungen oftmals sehr zweckmäßig sein kann, ist
â ′ = µâ + νâ † , (2.145)
â ′† = ν ∗ â + µ ∗ â † , (2.146)
|µ| 2 − |ν| 2 =1. (2.147)
Man überzeugt sich leicht, daß die Relation (2.147) einfach Ausdruck
der Tatsache ist, daß (wegen der Unitarität der Transformation) die
Vertauschungsregeln erhalten bleiben. Der Zusammenhang zwischen
den Parametern µ und ν und dem Parameter ξ ergibt sich aus einem
Vergleich von (2.143) mit (2.145),
µ =cosh|ξ|, (2.148)
ν = |ν|e iϕ ν
= e iϕ ξ
sinh |ξ|. (2.149)
Entsprechend (2.148) ist µ reell. In der Literatur findet man auch µ
komplex. Letzteres bedeutet einen (irrelevanten) zusätzlichen Phasenfaktor
derart, daß in (2.145)
â ′ ↦→ e −iϕµâ ′ , ϕ ν ↦→ ϕ ν + ϕ µ (2.150)
zu substituieren ist.
Anwenden des Quetschoperators auf Fock-Zustände liefert sogenannte
gequetschte Fock-Zustände:
|n〉 ′ = Ŝ(ξ)|n〉 (2.151)
Entsprechend werden die Zustände
ˆD ′ (β)|n〉 ′ = ˆD ′ (β)Ŝ(ξ)|n〉 = Ŝ(ξ) ˆD(β)|n〉 (2.152)
auch als kohärent verschobene gequetschte (bzw. gequetschte kohärent
verschobene) Fock-Zustände bezeichnet. Offensichtlich gilt
ˆD ′ (β) =Ŝ(ξ) ˆD(β)Ŝ† (ξ) =exp ( βâ ′† − β ∗ â ′) . (2.153)

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 79
Wie bereits erwähnt, werden unter gequetschten Zuständen im engeren
Sinne oftmals die Zustände verstanden, die sich für n =0 ergeben:
|β〉 s = ˆD ′ (β)|0〉 ′ = ˆD ′ (β)Ŝ(ξ)|0〉 = Ŝ(ξ) ˆD(β)|0〉 (2.154)
Für β ≠0 werden die Zustände |β〉 s auch gequetschte kohärente
Zustände genannt, und für β =0 wird vom gequetschten Vakuum gesprochen.
Die Definition (2.154) impliziert die folgenden Möglichkeiten
gequetschte kohärente Zustände zu erzeugen:
(a) Anwenden des Verschiebungsoperators auf das Vakuum liefert
einen kohärenten Zustand, auf den der Quetschoperator angewendet
wird:
|β〉 s = Ŝ(ξ) ˆD(β)|0〉 =
Ŝ(ξ)|β〉. (2.155)
(b) Anwenden des Quetschoperators auf das Vakuum liefert ein gequetschtes
Vakuum, das dann kohärent verschoben wird:
|β〉 s = ˆD ′ (β)Ŝ(ξ)|0〉 = ˆD ′ (β)|0〉 s . (2.156)
Wir ersetzen in (2.153) die Operatoren â ′ und â ′† gemäß (2.145)
und (2.146) und finden
ˆD ′ (β) ≡ ˆD(α) =exp ( αâ † − α ∗ â ) (2.157)
mit
bzw.
α = µ ∗ β − νβ ∗ (2.158)
β = µα + να ∗ . (2.159)
Aus der Definition (2.154) ist ersichtlich, daß – analog zu den normalen
kohärenten Zuständen (d.h. den Glauber-Zuständen) – die Zustände
|β〉 s (rechtsseitige) Eigenzustände von â ′ sind,
â ′ |β〉 s =â ′ ˆD′ (β)|0〉 ′ = ˆD ′ (β) ˆD ′† (β)â ′ ˆD′ (β)|0〉 ′
= ˆD ′ (β)(â ′ + β)|0〉 ′ = β|β〉 s . (2.160)

80 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Die gequetschten kohärenten Zustände können also als diejenigen
Zustände definiert werden, die das [im Vergleich zu (2.69) verallgemeinerte]
Eigenwertproblem
â ′ |β〉 s = ( µâ + νâ †) |β〉 s = β|β〉 s
(2.161)
lösen (|µ| 2 − |ν| 2 =1).
In völliger Analogie zu (2.95) gilt
∫
1
d 2 β
π
ˆD ′ (β)|n〉 ′ 〈n| ′ ˆD′† (β)
= 1 ∫
d 2 β
π
ˆD ′ (β)Ŝ(ξ)|n〉〈n|Ŝ† (ξ) ˆD ′† (β) =Î (2.162)
und insbesondere für n =0
∫
1
π
d 2 β |β〉 ss 〈β| = Î, (2.163)
d.h., jeder Zustand kann nach gequetschten kohärenten Zuständen entwickelt
werden,
|Ψ〉 = 1 ∫
π
d 2 β |β〉 ss 〈β|Ψ〉. (2.164)
Mit der Variablensubstitution gemäß (2.157) und (2.158) wird aus
(2.162) ∫
1
π
d 2 α ˆD(α)Ŝ(ξ)|n〉〈n|Ŝ† (ξ) ˆD † (α) =Î, (2.165)
d.h.
ˆΠ n (α, ξ) =π −1 ˆD(α) Ŝ(ξ)|n〉〈n|Ŝ† (ξ) ˆD † (α) (2.166)
stellt (für jedes n und ξ) einPOMfür die komplexe Amplitude α dar
[vgl. (2.103)].
Man kann zeigen, daß der Quetschoperator Ŝ(ξ) [Gleichung(2.129)]
in der Form
(
Ŝ(ξ) =exp − ν )( 1 )ˆn+ ( )
1
2 ν
∗
2µ â†2 exp
µ 2µ â2 (2.167)

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 81
[mit µ und ν aus (2.148) und (2.149)] faktorisiert werden kann. Das gequetschte
Vakuum |0〉 s kann also aus dem gewöhnlichen Vakuum durch
die nichtunitäre Transformation
|0〉 s = 1 √ µ
exp
(
− ν
2µ â†2 )
|0〉 (2.168)
erzeugt werden. Kohärentes Verschieben liefert dann die gequetschten
kohärenten Zustände:
|β〉 s = 1 √ µ
ˆD(α)exp
(
− ν
2µ â†2 )
|0〉
= √ 1 [
exp − ν
µ 2µ
= e− 1 2 |α|2
√ µ
[
exp
(↠− α ∗) ]
2
ˆD(α)|0〉
αâ † − ν
2µ
(↠− α ∗) ]
2
|0〉 (2.169)
[α gemäß (2.158), µ reell]. Ausmultiplizieren undZusammenfassenergibt
schließlich
|β〉 s = √ 1
) (
exp
(− 1
µ
2 |β|2 + ν∗ β
2µ β2 exp
µ ↠− ν )
2µ â†2 |0〉
(2.170)
Oftmals kann es zweckmäßig sein, die Zustände |β〉 s nach anderen
Zuständen zu entwickeln, wie beispielsweise nach Fock- Zuständen,
|β〉 s = ∑ n
|n〉〈n|β〉 s , (2.171)
oder auch Glauber-Zuständen,
|β〉 s = 1 ∫
π
d 2 α |α〉〈α|β〉 s , (2.172)
wobei die Entwicklungskoeffizienten 〈α|β〉 s und 〈n|β〉 s in einfacher Wei-

82 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Im α
Re α
Große Phasen- und kleine Amplitudenfluktuationen (Amplitude Squeezing).
se aus (2.170) hergeleitet werden können. So finden wir zunächst
〈α|β〉 s = √ 1 exp
(− 1
µ
2 |β|2 + ν∗
2µ β2 )
exp
( β
µ α∗ − ν
2µ α∗2 )
〈α|0〉
= √ 1 exp
(− 1
µ
2 |α|2 − 1 2 |β|2 + ν∗
2µ β2 − ν
2µ α∗2 + 1 )
µ βα∗ . (2.173)
Verwenden wir ferner die Identität
∞∑
n=0
1
n! H n(x)t n =exp ( −t 2 +2tx ) , (2.174)
so können wir (2.170) in der Form
|β〉 s = √ 1
) ∑
exp
(− 1
µ
2 |β|2 + ν∗
2µ β2 n
( ) n ( )
1 ν
2 β
√ Hn √ |n〉
n! 2µ 2µν
(2.175)
(H n – Hermitesche Polynome) schreiben, woraus sofort 〈n|β〉 s abgelesen
werden kann. Aus (2.173) ist zu ersehen, daß die Funktion
Q(α)=π −1 |〈α|β〉 s | 2 eine Gauß-Verteilung im Phasenraum darstellt.
Man überzeugt sich, daß die im Falle von Glauber-Zuständen (ν =0)
kreisförmigen Höhenlinien für ν ≠0 zu Ellipsen deformiert werden.

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 83
Im α
Re α
Große Amplituden- und kleine Phasenfluktuationen (Phase Squeezing).
Mittlere Amplitude:
〈â〉 = 〈0|Ŝ† (ξ) ˆD † (α)â ˆD(α)Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|Ŝ† (ξ)(â + α)Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|(µâ − νâ † + α)|0〉
= α = βµ − β ∗ ν (2.176)
[beachte ˆD † (α)= ˆD(−α), Ŝ† (ξ)=Ŝ(−ξ), µ(−ξ)=µ(ξ), ν(−ξ)=−ν(ξ),
µ rell].
Mittlere Photonenanzahl:
〈ˆn〉 = 〈0|Ŝ† (ξ) ˆD † (α)ˆn ˆD(α)Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|Ŝ† (ξ)(â † + α ∗ )(â + α)Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|(µâ † − ν ∗ â + α ∗ )(µâ − νâ † + α)|0〉
= |α| 2 + |ν| 2 , (2.177)
d.h.
〈ˆn〉 = n coh + n svac , (2.178)
n coh = | s 〈β|â|β〉 s | 2 = |〈α|â|α〉| 2 = |α| 2 , (2.179)
n svac = s 〈0|ˆn|0〉 s = |ν| 2 . (2.180)

84 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Mittlere Feldstärke:
〈 ˆF 〉 = Cα + C ∗ α ∗ . (2.181)
Um die Feldstärkevarianz zu berechnen, benötigen wir noch den Mittelwert
von â 2 :
〈â 2 〉 = 〈0|Ŝ† (ξ) ˆD † (α)â 2 ˆD(α) Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|Ŝ† (ξ)(â + α) 2 Ŝ(ξ)|0〉
= 〈0|(µâ − νâ † + α) 2 |0〉
= α 2 − µν. (2.182)
Mit (2.176), (2.177) und (2.182) finden wir unschwer
〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |Cµ − C ∗ ν ∗ | 2
{
√
]}
= |C| 2 1+2|ν|
[1−
2 1+ 1
|ν| cos(2ϕ−ϕ ν) . (2.183)
2
In Abhängigkeit vom gewählten Phasenparameter können die Feldstärkefluktuationen
kleiner oder größer als die Vakuumfluktationen sein:
√
1+ 1
|ν| 2 cos(2ϕ−ϕ ν) > 1 ❀ 〈(∆ ˆF ) 2 〉 < |C| 2 , (2.184)
√
1+ 1
|ν| 2 cos(2ϕ−ϕ ν) < 1 ❀ 〈(∆ ˆF ) 2 〉 > |C| 2 (2.185)
[zur Erinnerung: 〈(∆ ˆF ) 2 〉 vac = |C| 2 ].
Minimale Varianz:
2ϕ−ϕ ν =2nπ ❀ min〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |C| 2 e −2|ξ| . (2.186)
Maximale Varianz:
2ϕ−ϕ ν =(2n+1)π ❀ max〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |C| 2 e 2|ξ| . (2.187)
Folglich gilt
min〈(∆ ˆF ) 2 〉 max〈(∆ ˆF ) 2 〉 = |C| 4 , (2.188)

2.3. GEQUETSCHTE ZUSTÄNDE 85
d.h., das Unschärfeprodukt aus minimaler und maximaler Schwankung
ist gleich dem Quadrat der im Vakuumzustand beobachteten Schwankung.
Offensichtlich unterscheiden sich die Feldstärken mit minimalem
und maximalem Rauschen um π/2 imPhasenparameter.Manüberzeugt
sich leicht, daß
[ ˆF (ϕ), ˆF(ϕ+π/2)] = 2i|C| 2 (2.189)
gilt und somit ganz allgemein (d.h. für beliebige Zustände) die Heisenbergsche
Unschärferelation
〈[∆ ˆF (ϕ)] 2 〉〈[∆ ˆF (ϕ+π/2)] 2 〉≥|C| 4 (2.190)
folgt. Speziell für gequetschte kohärente Zustände ergibt sich mit
(2.183) das Unschärfeprodukt zu
〈[∆ ˆF (ϕ)] 2 〉〈[∆ ˆF (ϕ+π/2)] 2 〉 = |C| 4 [ 1+4µ 2 |ν| 2 sin 2 (2ϕ−ϕ ν ) ] , (2.191)
woraus zu ersehen ist, daß für 2ϕ − ϕ ν = nπ in Übereinstimmung mit
(2.188) das Gleichheitszeichen realisiert wird,
〈[∆ ˆF (ϕ)] 2 〉〈[∆ ˆF (ϕ+π/2)] 2 〉 = |C| 4 (2ϕ−ϕ ν = nπ). (2.192)
Man nennt Zustände, die das Gleichheitszeichen in einer Unschärferelation
realisieren, auch Zustände minimaler Unschärfe (Minimum-Uncertainty
States).
Ganz allgemein spricht man von Quetschung (Squeezing) als einem
nichtklassischen (phasenabhängigen) Effekt, wenn (für bestimmte
Phasenparameter ϕ) dasFeldstärkerauschen die Vakuumgrenze unterschreitet,
〈(∆ ˆF ) 2 〉 < |C| 2 . (2.193)
Die Ungleichung (2.193) wird oft in der Form
〈:(∆ ˆF ) 2 :〉 < 0 (2.194)
angegeben, woraus der nichtklassische Charakter des Squeezing-Effekts
(analog der Argumentation zum nichtklassischen Effekt der sub-
Poisson-Statistik) sofort deutlich wird. Wie bereits betont, stellen die

86 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
(a)
F
2|C|
2
1
−2
2
4
6
8
ϕ
−1
(b)
−2
2
1
−2
2
4
6
8
−1
−2
(c)
2
1
−2
2
4
6
8
−1
−2
√
Mittlere Feldstärke 〈 ˆF 〉 und die Feldstärkeschwankung 〈 ˆF 〉 ± 1 〈[∆ ˆF ]
2
2 〉 gequetschter
kohärenter Zustände als Funktion des Phasenparameters ϕ für
α =1 [(a) ν =0 (Glauber-Zustand), (b) ν =1 (Amplitudenquetschung, vgl.
die Abbildung auf Seite 82), (c) ν = e iπ (Phasenquetschung, vgl. die Abbildung
auf Seite 83)].

2.4. FELDSTÄRKEZUSTÄNDE 87
gequetschten kohärenten Zustände |β〉 s nur eine Möglichkeit zur Realisierung
der Ungleichung (2.194) dar.
Eine Verallgemeinerung auf Mehrmodenfelder kann analog zu den
Glauber-Zuständen erfolgen. In Praxis hat man es jedoch oft mit Mehrmodenquetschung
im Sinne eines Mehrmodenquetschoperators von der
Art
Ŝ =exp
⎡
⎣− 1 2
∑ (
ξ λλ ′â † λ↠λ
− ξ ′ λλ ∗ ′â λâ λ ′) ⎤ ⎦ (2.195)
λ,λ ′
(ξ λλ
′ = ξ λ′ λ o.B.d.A.) zu tun. Speziell für den 2-Moden-Fall haben wir
)
Ŝ = exp
(−ξ 12 â † 1↠2 + ξ∗ 12â1â 2 , (2.196)
und man kann zeigen, daß Ŝ wie folgt faktorisiert werden kann:
( )ˆn1 +ˆn
Ŝ = e −q 12â † 1
2 +1
1↠2
e q∗ 12â1â 2
, (2.197)
cosh |ξ 12 |
q 12 = e iϕ ξ 12 tanh |ξ12 |. (2.198)
Anwenden von Ŝ auf das Vakuum liefert das sogenannte gequetschte
2-Moden-Vakuum:
1 ∑
Ŝ|0, 0〉 =
(−q 12 ) n |n, n〉. (2.199)
cosh |ξ 12 |
Während der Quetschungsoperator (2.129) für eine Mode dem
Zeitentwicklungsoperator (im Wechselwirkungsbild) für einen entarteten
parametrischen Oszillator entspricht, entspricht der 2-Moden-
Quetschungsoperator (2.196) dem Zeitentwicklungsoperator für einen
nichtentarteten parametrischen Oszillator. Parametrische Verstärkung
ist die bisher wohl wirkungsvollste Methode zur Erzeugung von gequetschtem
Licht.
2.4 Feldstärkezustände
Wir beginnen wieder mit einem 1-Moden-Feld und wollen die Eigenzustände
des Feldstärkeoperators
n
ˆF = ˆF (ϕ) =Câ + C ∗ â † = |C| ( âe −iϕ +â † e iϕ) (2.200)

88 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
bestimmen,
ˆF (ϕ)|F, ϕ〉 = F |F, ϕ〉. (2.201)
Dazu bemerken wir zunächst, daß für jedes ϕ die hermiteschen Operatoren
ˆF (ϕ) und ˆF (ϕ+π/2) die gleiche Rolle wie Ort und Impuls in der
Quantenmechanik spielen. Ein Vergleich von
( =1) mit (2.189) liefert
[ˆx, ˆp] =i (2.202)
ˆx ̂= 1 √
2|C|
ˆF (ϕ), (2.203)
ˆp ̂= 1 √
2|C|
ˆF (ϕ+π/2). (2.204)
Die Wirkung von ˆp in der Ortsdarstellung ist bekanntlich gemäß
〈x|ˆp|Ψ〉 = −i ∂ 〈x|Ψ〉 (2.205)
∂x
gegeben. Folglich gilt für die Wirkung von ˆF (ϕ+π/2) in der durch ˆF (ϕ)
definierten Feldstärkedarstellung
〈F, ϕ| ˆF (ϕ+π/2)|Ψ〉 = −2i|C| 2 ∂
∂F
〈F, ϕ|Ψ〉. (2.206)
Wir stellen die Eigenzustände von ˆF (ϕ) inderFock-Basisdar,
|F, ϕ〉 = ∑ n
|n〉〈n|F, ϕ〉, (2.207)
und berechnen die Entwicklungskoeffizienten 〈n|F, ϕ〉 = 〈F, ϕ|n〉 ∗ .Aus
ˆn|n〉 =â † â|n〉 = n|n〉 (2.208)
erhalten wir zunächst
〈F, ϕ|â † â|n〉 = n〈F, ϕ|n〉. (2.209)

2.4. FELDSTÄRKEZUSTÄNDE 89
Berücksichtigen wir, daß gemäß (2.200)
gilt, so wird aus (2.209)
â † e iϕ = 1 [ ]
ˆF (ϕ) − i ˆF (ϕ+π/2) , (2.210)
2|C|
âe −iϕ = 1 [ ]
ˆF (ϕ)+i ˆF (ϕ+π/2)
2|C|
n〈F, ϕ|n〉 = 1
4|C| 2〈F, ϕ| [
ˆF (ϕ)−i ˆF(ϕ+π/2)
]
(2.211)
[ ]
× ˆF (ϕ)+i ˆF(ϕ+π/2) |n〉, (2.212)
woraus wegen (2.201) und (2.206)
n〈F, ϕ|n〉 = 1 [
F −2|C| 2 ∂ ][
F +2|C| 2 ∂ ]
〈F, ϕ|n〉 (2.213)
4|C| 2 ∂F
∂F
und nach Ausmultiplizieren
[
∂ 2 ( ) 2 F
∂F − + n + ]
1
2
〈F, ϕ|n〉 =0 (2.214)
2 2|C| 2 |C| 2
folgt, wobei 〈F, ϕ|n〉 der Normierungsbedingung
∫
dF |〈F, ϕ|n〉| 2 =1 (2.215)
genügen muß. Erwartungsgemäß entspricht die Gleichung (2.214) der
Energieeigenwertgleichung eines harmonischen Oszillators in der Ortsdarstellung,
so daß für ϕ =0 die Lösung in der bekannten Form
( )
1 1 F
〈F, 0|n〉 =
√
(2|C| 2 π) H 1/4 n √ exp
(− F 2 )
n!2
n 2|C| 4|C| 2
angegeben werden kann.
(2.216)

90 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Der Übergang von ˆF (0) zu ˆF (ϕ) kanndurcheineunitäre Transformation
vollzogen werden,
ˆF (ϕ) =Û(ϕ) ˆF (0)Û † (ϕ), (2.217)
Û(ϕ) =e iˆnϕ . (2.218)
Unter Berücksichtigung von
ˆF (0)|F, 0〉 = F |F, 0〉 (2.219)
können wir also
Û(ϕ) ˆF (0)Û † (ϕ)
} {{ }
ˆF (ϕ)
Û(ϕ)|F, 0〉 = F
Û(ϕ)|F, 0〉 (2.220)
schreiben, d.h.
|F, ϕ〉 = Û(ϕ)|F, 0〉 (2.221)
bzw.
|F, ϕ〉 ∑ n
|n〉〈n|F, ϕ〉, (2.222)
woraus wir mit (2.218)
〈n|F, ϕ〉 = 〈n|Û(ϕ)|F, 0〉 = einϕ 〈n|F, 0〉 (2.223)
ablesen. Unter Verwendung von (2.216) können wir somit die Feldstärkeeigenvektoren
für beliebige Werte des Phasenparameters ϕ wie folgt
darstellen:
|F, ϕ〉 =
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2 ) ∑ 1/4 4|C| 2 n
e inϕ ( ) F
√ H n √ |n〉
n!2
n 2|C|
(2.224)

2.4. FELDSTÄRKEZUSTÄNDE 91
Wir verwenden die Identität (2.174) und erhalten aus (2.224)
|F, ϕ〉 =
d.h.:
=
=
|F, ϕ〉 =
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2 ) ∑ 1/4 4|C| 2 n
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2 ) ∑ 1/4 4|C| 2 n
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2 )
exp
1/4 4|C| 2
e inϕ ( ) F 1
√ H n √ √ (â † ) n |0〉
n!2
n 2|C| n!
( ) n ( )
1 1
F
√2 e iϕ â † H n √ |0〉
n!
2|C|
[
− 1 (↠2
e iϕ) ]
2 F +
|C| ↠e iϕ |0〉,
(2.225)
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2 ) [
exp − 1 ( ) ]
2 |C|
1/4 4|C| 2 2 C ↠+ F C ↠|0〉
(2.226)
Die Gleichung (2.226) definiert den (nicht unitären) Operator ˆT (F, ϕ),
der das Photonenvakuum in einen Feldstärkezustand überführt,
|F, ϕ〉 = ˆT (F, ϕ) |0〉. (2.227)
Aus einem kohärenten Zustand |α〉 wird |F, ϕ〉 gemäß
|F, ϕ〉 = ˆT (F, ϕ) ˆD † (α) |α〉 (2.228)
erzeugt. Vergleichen wir (2.226) mit (2.170), so finden wir, daß für
2ϕ − ϕ ν =2nπ und β/µ = F/C der gequetschte kohärente Zustand im
Grenzprozeß |ν| →∞ gegen einen Feldstärkezustand tendiert. Das Ergebnis
ist natürlich nicht überraschend, da für unendlich großes Quetschen
die Feldstärkeschwankung für den entsprechenden Phasenparameter
gegen Null geht und somit ein Feldstärkeeigenzustand realisiert
werden muß.
Die Feldstärkezustände |F, ϕ〉 können natürlich auch nach anderen
Zuständen, die vollständige (bzw. übervollständige) Sätze bilden,

92 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
entwickelt werden. Betrachten wir beispielsweise die Entwicklung nach
kohärenten Zuständen über dem gesamten Phasenraum,
|F, ϕ〉 = 1 ∫
d 2 α |α〉〈α|F, ϕ〉. (2.229)
π
Wir verwenden (2.226) und finden für die Entwicklungskoeffizienten
〈α|F, ϕ〉 = 〈α| ˆT (F, ϕ)|0〉
(
1
=
(2|C| 2 π) exp − F 2 ) [
exp − 1 ( ) ]
2 |C|
1/4 4|C| 2 2 C α∗ + F C α∗ 〈α|0〉
=
(
1
(2|C| 2 π) exp − F 2
1/4 4|C| − 1 ) [
2 2 |α|2 exp − 1 ( ) ]
2 |C|
2 C α∗ + F C α∗ .
(2.230)
Für jeden Phasenparameter ϕ bilden die Zustände |F, ϕ〉 ein
vollständiges Orthonormalsystem (von Dirac-Zuständen),
〈F, ϕ|F ′ , ϕ〉 = δ(F −F ′ ), (2.231)
∫
dF |F, ϕ〉〈F, ϕ| = Î, (2.232)
so daß sich jeder Zustand des Strahlungsfeldes nach Feldstärkezuständen
entwickeln läßt,
∫
|Ψ〉 = dF |F, ϕ〉〈F, ϕ|Ψ〉. (2.233)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, den Wert F der Feldstärke ˆF (ϕ) zufinden,
ist durch
p(F, ϕ) =|〈F, ϕ|Ψ〉| 2 (2.234)
gegeben. Es ist unschwer zu sehen, daß die Beziehung
gilt.
p(−F, ϕ) =p(F, ϕ + π) (2.235)

2.4. FELDSTÄRKEZUSTÄNDE 93
Betrachten wir als einfaches Beispiel die Feldstärkeverteilung eines
Glauber-Zustands. Mit (2.230) finden wir unschwer
{
}
p(F, ϕ) =|〈F, ϕ|α〉| 2 1
= √ exp − [F −〈ˆF (ϕ)〉] 2
, (2.236)
2πσ
2 2σ 2
wobei die Beziehungen
und
〈 ˆF (ϕ)〉 = 〈α| ˆF (ϕ)|α〉 =2|C||α| cos(ϕ − ϕ α ) (2.237)
σ 2 ≡〈[∆ ˆF (ϕ)] 2 〉 = 〈α|[∆ ˆF (ϕ)] 2 |α〉 = |C| 2 (2.238)
verwendet wurden [vgl. (2.115) und (2.116)]. Für einen Glauber-
Zustand sind die Feldstärken also Gauß-verteilt, und zwar für alle Phasenparameter
in der gleichen Weise. Die Gleichung (2.236) läßt sich
unschwer auf gequetschte kohärente Zustände verallgemeinern, wenn
die (für ν =0 gültige) Gleichung (2.238) durch die (für beliebiges ν
gültige) Gleichung (2.183) ersetzt wird.
Oftmals ist es zweckmäßig, anstelle einer Feldstärkeverteilung
p(F, ϕ) ihrecharakteristischeFunktionΨ(y, ϕ) zubetrachten,
p(F, ϕ) = 1 ∫
dye −iyF Ψ(y, ϕ), (2.239)
2π
∫
Ψ(y, ϕ) = dF e iyF p(F, ϕ). (2.240)
Bekanntlich ist p(F, ϕ) derErwartungswertdesFeldstärkeprojektors
|F, ϕ〉〈F, ϕ|, dergemäß
|F, ϕ〉〈F, ϕ| = ˆδ [ F − ˆF (ϕ) ] = 1 ∫
dye −iyF e iy ˆF (ϕ)
2π
= 1 ∫
dye −iyF exp ( iyCâ + iyC ∗ â †) (2.241)
2π
als Fourier-Integral dargestellt werden kann, d.h., es gilt
|F, ϕ〉〈F, ϕ| = 1 ∫
dye −iyF ˆD(iyC ∗ ) (2.242)
2π

94 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
mit ˆD(iyC ∗ )alsdemVerschiebungsoperator.WirgehenvonderOperatorgleichung
(2.242) zu der entsprechenden Gleichung für die Erwartungswerte
über, vergleichen mit (2.239) und erhalten:
Ψ(y, ϕ) =Tr [ˆϱ ˆD(iyC ∗ ) ] (2.243)
Die charakteristische Funktion Ψ(y, ϕ)derFeldstärkeverteilung p(F, ϕ)
ist also der Erwartungswert eines speziellen Verschiebungsoperators.
Anmerkung
In der Literatur wird ˆF (ϕ)auchals(Rotated) Quadrature-Component-
Operator bezeichnet – insbesondere auch im Hinblick auf materielle
Systeme – und es wird in diesem Zusammenhang häufig |C| =1/ √ 2
gewählt,
ˆF (ϕ) = √ 2|C| ˆx(ϕ), (2.244)
ˆx(ϕ) =2 −1/2 ( âe −iϕ +â † e iϕ) =ˆq cos ϕ +ˆp sin ϕ, (2.245)
ˆq =2 −1/2 (â +â † ), (2.246)
ˆp = −i2 −1/2 (â − â † ). (2.247)
Entsprechend wird von Quadrature-Component-Verteilungen anstelle
von Feldstärkeverteilungen gesprochen,
p(x, ϕ) =|〈x, ϕ|Ψ〉| 2 . (2.248)
2.5 Phasenzustände
In der klassischen Optik kann die komplexe Amplitude α einer Strahlungsfeldmode
immer in Betrag (Amplitude im üblichen Sinne) und
Phase zerlegt werden,
α = |α|e iφ , α ∗ = |α|e −iφ , (2.249)
|α| = √ α ∗ α . (2.250)

2.5. PHASENZUSTÄNDE 95
In der Quantentheorie ist eine solche Zerlegung mit einem hermiteschen
Phasenoperator nicht möglich:
â = ˆV √ˆn, â † = √ˆn ˆV † , ˆV † ≠ ˆV −1 (2.251)
Stellt man ˆV in der Form
ˆV = e i ˆφ
(2.252)
dar, so kann ˆφ offensichtlich kein hermitescher Operator sein, ˆφ ≠ ˆφ † .
Man kann sich von dem genannten Sachverhalt etwa wie folgt überzeugen.
Wegen
â|n〉 = ˆV √ˆn|n〉 = ˆV √ n|n〉 = √ n|n − 1〉 (2.253)
gilt für n>0
ˆV |n〉 = |n − 1〉, (2.254)
und ˆV |0〉 muß sich in der Form
ˆV |0〉 = ∑ n
d n |n〉 (2.255)
darstellen lassen, da die Fock-Zustände eine vollständige Basis repräsentieren.
Damit finden wir
ˆV † |n〉 = ∑ m
|m〉〈m| ˆV † |n〉
= ∑ m>0
|m〉〈m| ˆV † |n〉 + |0〉〈0| ˆV † |n〉
= ∑ m>0
|m〉〈m − 1|n〉 + ∑ m
d ∗ m |0〉〈m|n〉
und folglich gilt (n>0)
= |n +1〉 + d ∗ n|0〉, (2.256)
ˆV † ˆV |n〉 = ˆV † |n − 1〉 = |n〉 + d ∗ n−1|0〉. (2.257)

96 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Nehmen wir an, daß ˆV unitär ist, d.h. ˆV
† ˆV = Î.Dannmußoffenbar
d n =0 für alle n sein, und es muß speziell
ˆV |0〉 =0 (2.258)
gelten [wegen Gleichung (2.255)]. Somit finden wir das widersprüchliche
Ergebnis, daß sowohl
〈0| ˆV † ˆV |0〉 = 〈0|0〉 =1 alsauch 〈0| ˆV
† ˆV |0〉 =0 (2.259)
gelten muß, d.h., ˆV kann nicht unitär sein.
Wir wollen ˆV und ˆV † in der Fock-Basis darstellen. Es gilt
∑ √ √ˆn = n |n〉〈n| (2.260)
n
sowie
â = ∑ n
â|n〉〈n| = ∑ n
√ ∑ √
n |n − 1〉〈n| = n +1|n〉〈n +1|. (2.261)
n
Die Gleichung (2.261) läßt sich nun wie folgt umschreiben:
d.h.:
â = ∑ n,m
√
n +1|n〉〈n +1|m〉〈m|
=
( ) ( )
∑ ∑ √
|n〉〈n +1| m |m〉〈m| , (2.262)
n
m
} {{ } } {{ }
ˆV
√ˆn
ˆV = ∑ n
|n〉〈n +1| (2.263)
Wir multiplizieren ˆV aus (2.263) mit √ˆn und erhalten
ˆV √ˆn = ∑ n
|n〉〈n +1| √ˆn = ∑ n
√ˆn +1|n〉〈n +1| (2.264)

2.5. PHASENZUSTÄNDE 97
bzw.
ˆV √ˆn = √ˆn +1ˆV. (2.265)
Wie man sich unschwer überzeugen kann, impliziert die Darstellung
von ˆV in der Form (2.263) folgende Relationen:
ˆV |n〉 = |n − 1〉, (2.266)
ˆV |0〉 =0, (2.267)
ˆV ˆV † = Î, (2.268)
ˆV † ˆV = Î − |0〉〈0|, (2.269)
[ ˆV,ˆV † ]=|0〉〈0|. (2.270)
Insbesondere zeigen die Gleichungen (2.268) – (2.270), daß ˆV nur einseitig
unitär ist, was offensichtlich dann von Bedeutung ist, wenn der Zustand
der Strahlungsfeldmode mit dem Vakuum überlappt, d.h. einen
Vakuumanteil besitzt,
〈Ψ|[ ˆV,ˆV † ]|Ψ〉 = |〈0|Ψ〉| 2 . (2.271)
Anders ausgedrückt, bei einer Anwendung auf Zustände |Ψ〉, für die
〈0|Ψ〉 =0 gilt, verhält sich ˆV wie ein unitärer Operator und folglich ˆφ
wie ein hermitescher Operator.
Die (rechtsseitigen) Eigenzustände von ˆV mit
ˆV |φ〉 = e iφ |φ〉 (2.272)
heißen Phasenzustände (man spricht in diesem Zusammenhang auch
von der kanonischen Phase bzw. der London-Phase). Um diese Zustände
zu bestimmen, gehen wir in die Fock-Basis,
|φ〉 = ∑ n
b n |n〉, (2.273)
und finden
∑
b n+1 |n〉 = e ∑ iφ
n
n
b n |n〉, (2.274)

98 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
d.h.
woraus
folgt, so daß
b n+1 = e iφ b n , (2.275)
b n = e inφ b 0 (2.276)
∑
|φ〉 = b 0 e inφ |n〉 (2.277)
gilt. Die Phasenzustände erfüllen die Periodizitätsbedingung
und genügen der Phasenverschiebungsrelation
Ferner lösen sie die Identität auf:
∣ √ ∣ ∫ ∣∣
−2 φ 0 +2π
∣b 0 2π dφ |φ〉〈φ|
n
|φ +2π〉 = |φ〉 (2.278)
e −iαˆn |φ〉 = |φ − α〉. (2.279)
φ 0
= ∑ n,m
|n〉〈m|
∫ φ0 +2π
1
dφ e i(n−m)φ
2π φ
} 0
{{ }
δ nm
= ∑ n
|n〉〈n| = Î. (2.280)
Üblicherweise wird b 0 =1/ √ 2π gesetzt, so daß die Phasenzustände die
folgende Form annehmen:
|φ〉 = √ 1 ∑
e inφ |n〉 (2.281)
2π
n
Es ist klar, daß |φ〉 kein Eigenzustand von ˆV † ist. Aus (2.263) und
(2.281) ist unschwer zu sehen, daß die Anwendung von ˆV † auf |φ〉 das
Ergebnis
(
ˆV † |φ〉 = e −iφ |φ〉−√ 1 )
|0〉
(2.282)
2π

2.5. PHASENZUSTÄNDE 99
liefert.
Die Phasenzustände sind nicht orthogonal und lassen sich nicht normieren.
Man kann zeigen, daß
〈φ|φ ′ 〉 = 1
2π
∑
n
e −in(φ−φ′ )
= 1
4π + 1 2 δ(φ − φ′ ) − i
4π cot[ 1
2 (φ − φ′ ) ] (2.283)
gilt. Natürlich kann wegen der Vollständigkeitsrelation (2.280) jeder
Zustand nach Phasenzuständen entwickelt werden (φ 0 =0),
|Ψ〉 =
∫ 2π
0
dφ |φ〉〈φ|Ψ〉, (2.284)
wobei
ˆΠ(φ) =|φ〉〈φ| (2.285)
ein POM für die kanonische Phase darstellt:
P (φ) =〈ˆΠ(φ)〉, (2.286)
∫ 2π
0
P (φ) ≥ 0, (2.287)
dφ P (φ) =1. (2.288)
Mit anderen Worten, die Verteilungsfunktion P (φ) für die Quantenphase
kann nicht beliebig scharf werden – ein Ausdruck der Tatsache,
daß der Phase kein hermitescher Operator entspricht.
Kosinus- und Sinuszustände
Die Operatoren ˆV und ˆV † können verwendet werden, um hermitesche
Operatoren Ĉ und Ŝ zu definieren, die dem Kosinus und Sinus der
Phase entsprechen:
Ĉ = 1 2 ( ˆV + ˆV † ) (2.289)

100 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Ŝ = 1 2i ( ˆV − ˆV † ) (2.290)
Man überzeugt sich leicht, daß die Relationen
[Ĉ, ˆn] =iŜ, (2.291)
[Ŝ, ˆn] =−iĈ, (2.292)
[Ĉ,Ŝ] = i
2
|0〉〈0| (2.293)
gelten, so daß insbesondere die Unschärferelation
〈(∆Ĉ)2 〉〈(∆Ŝ)2 〉≥ 1 16 〈|0〉〈0|〉2 (2.294)
folgt. Das heißt, Kosinus und Sinus können i. allg. nicht gleichzeitig
definierte Werte annehmen. Dies ist nur für solche Zustände möglich,
die nicht mit dem Vakuum überlappen.
Wir wollen das Eigenwertproblem von Ĉ lösen,
Dazu gehen wir wieder in die Fock-Basis,
Ĉ| cos φ〉 = C| cos φ〉. (2.295)
| cos φ〉 = ∑ n
c n |n〉, (2.296)
und erhalten mit den Definitionen (2.289) und (2.263) für die Koeffizienten
c n das Gleichungssystem
2Cc 0 = c 1 , 2Cc n+1 = c n + c n+2 , (2.297)
dessen Lösung
lautet. Somit gilt:
C =cosφ, (2.298)
c n =˜c 0 sin[(n +1)φ] (2.299)
Ĉ| cos φ〉 =cosφ| cos φ〉 (2.300)

2.5. PHASENZUSTÄNDE 101
∑
| cos φ〉 =˜c 0 sin[(n +1)φ]|n〉 (2.301)
n
Alle unabhängigen Lösungen sind offensichtlich im Intervall 0 ≤ φ < π
enthalten. Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem,
〈cos φ| cos φ ′ 〉 = δ(φ − φ ′ ), (2.302)
∫ π
0
dφ | cos φ〉〈cos φ| = Î, (2.303)
wobei ˜c 0 = √ 2/π gesetzt wurde.
Wenden wir uns dem etwas allgemeineren Kosinus-Eigenwertproblem
mit verschobenem Argument zu und betrachten dazu den Operator
Ĉ(α) =e −iαˆn Ĉe iαˆn = 1 2
(
ˆVe iα + ˆV † e −iα) (2.304)
Mit (2.300) und (2.301) folgt unschwer:
Ĉ(α)|ψ, α〉 =cosψ|ψ, α〉 (2.305)
|ψ, α〉 = e −iαˆn | cos ψ〉 =
√
2
π
∑
e −inα sin[(n +1)ψ]|n〉
n
Offensichtlich gilt
(2.306)
Ĉ = Ĉ(α)| α=0, Ŝ = Ĉ(α)| α=− π 2 . (2.307)
Damit erhalten wir also für das Sinus-Eigenwertproblem
Ŝ|ψ, α = − 1 2 π〉 =cosψ |ψ, α = −1 2π〉, (2.308)

102 KAPITEL 2. QUANTENZUSTÄNDE
Üblicherweise wird
gesetzt, so daß
√
2
|ψ, α = − 1 2 π〉 = ∑
i n sin[(n +1)ψ]|n〉. (2.309)
π
n
ψ = 1 2 π − φ (2.310)
cos ψ =sinφ, (2.311)
(−π/2 < φ ≤ π/2) ist, und es wird die Bezeichnung
| sin φ〉 ≡|ψ = 1 2 π − φ, α = −1 π〉 (2.312)
2
verwendet. Dann kann (2.308) in der üblichen Form
Ŝ| sin φ〉 =sinφ| sin φ〉 (2.313)
geschrieben werden. Es ist klar, daß wegen (2.302) und (2.303) die
Relationen
〈sin φ| sin φ ′ 〉 = δ(φ − φ ′ ), (2.314)
∫ π/2
−π/2
dφ | sin φ〉〈sin φ| = Î (2.315)
gelten.
Kosinus und Sinus können verwendet werden, um zwei hermitesche
Phasenoperatoren ˆφ C = ˆφ † C und ˆφ S = ˆφ † S über das jeweilige Argument
zu definieren,
ˆφ C =cos −1 Ĉ, (2.316)
ˆφ S =sin −1 Ŝ, (2.317)
die natürlich nicht miteinander vertauschen,
[ ˆφC , ˆφ S
]
≠0. (2.318)
Damit können zwei unitäre Exponentialoperatoren definiert werden,
und es gilt
ˆV = 1 2
ˆV C = e i ˆφ C
, ˆV
†
C
ˆV S = e i ˆφ S
, ˆV
†
S
= ˆV
−1
C , (2.319)
= ˆV
−1
S , (2.320)
(e i ˆφ C
+ e i ˆφ S
+ e −i ˆφ C
− e −i ˆφ S
)
. (2.321)

Kapitel 3
Phasenraumfunktionen
Wie jedes quantenmechanische System wird sich das Strahlungsfeld i.
allg. nicht in einem reinen Zustand |Ψ〉, sondernineinemstatistischen
Gemisch
ˆϱ = ∑ p Ψ |Ψ〉〈Ψ| (3.1)
Ψ
befinden, wobei p Ψ die klassische Wahrscheinlichkeit dafür ist, das System
in dem (reinen) Zustand |Ψ〉 anzutreffen,
p Ψ ≥ 0, (3.2)
∑
p Ψ =1. (3.3)
Ψ
Der Erwartungswert einer physikalischen Größe
Ô ergibt sich dann als
〈Ô〉 =Tr(ˆϱ Ô) =∑
Ψ
p Ψ
〈Ψ|Ô|Ψ〉. (3.4)
Das heißt, die Mittelungsprozedur ist eine zweifache. Es sind zunächst
die quantenmechanischen Mittelwerte 〈Ψ|Ô|Ψ〉 von Ô in den Zuständen
|Ψ〉 zu bilden, und diese sind dann mit den klassischen Wahrscheinlichkeiten
p Ψ zu mitteln. Speziell für Ô = Î gilt
1=Trˆϱ = ∑ Ψ
p Ψ , (3.5)
103

104 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
und für
Ô =ˆϱ finden wir
〈ˆϱ〉 =Trˆϱ 2 = ∑ Ψ
∑
Ψ ′ p Ψ p Ψ
′
∣ 〈Ψ ′ |Ψ〉 ∣ ∣ 2 ≤ 1. (3.6)
Offensichtlich gilt das Gleichheitszeichen im Falle eines reinen Zustandes
ˆϱ = |Ψ 0 〉〈Ψ 0 |,
{
1für Ψ = Ψ0 ,
p Ψ =
(3.7)
0sonst.
Wir wollen wieder ein 1-Moden-Strahlungsfeld betrachten und annehmen,
daß der Zustand des Feldes durch den Dichteoperator ˆϱ beschrieben
wird. Ferner sei Ô = Ô(â, ↠)irgendeineGröße des Feldes,
deren Mittelwert
〈Ô〉 =Tr[ˆϱ Ô(â, ↠)] (3.8)
es zu bestimmen gilt. Dies kann z.B. in der orthogonalen Fock-Basis
geschehen,
ˆϱ = ∑ ϱ mn |m〉〈n| (3.9)
m,n
(ϱ mn = 〈m|ˆϱ|n〉). Man kann natürlich auch die nicht orthogonalen
kohärenten Zustände verwenden,
ˆϱ = 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 βϱ(α, β)|α〉〈β| (3.10)
π 2
[ϱ(α, β)= 〈α|ˆϱ|β〉], so daß
〈Ô〉 = 1 ∫ ∫
d 2 α
π 2
d 2 βϱ(α, β)〈β|Ô(â, ↠)|α〉 (3.11)
gilt. Wir vergleichen mit der klassischen Beschreibung:
â, â † ↦→ α, α ∗ , Ô(â, â † ) ↦→ O(α, α ∗ ) ≡ O(α), (3.12)
〈Ô〉 ↦→ O =
∫
d 2 α P cl (α)O(α), (3.13)
wobei P cl (α) alsdieklassischeWahrscheinlichkeitsdichtefür die komplexe
Amplitude α der betrachteten Strahlungsfeldmode alle Information
über ihren (klassischen) Zustand enthält.

3.1. P -, W -UNDQ-FUNKTION 105
3.1 P -, W -undQ-Funktion
Es stellt sich die Frage, ob es ein quantenmechanisches Analogon zu
der Gleichung (3.13) gibt. Um sie zu beantworten, nehmen wir an, daß
mit Hilfe der Vertauschungsregeln für â und â † diese Operatoren in der
Operatorfunktion Ô(â, ↠)z.B.soumsortiertwordensind,daßsiein
Normalordnung angeordnet sind,
Ô(â, â † )=Ô(n) (â, â † )=:Ô(n) (â, â † ):. (3.14)
Als nächstes definieren wir die dem Operator Ô in Normalordnung
zugeordnete c-Zahlfunktion dadurch, daß wir in Ô(n) (â, â † )â durch α
und â † durch α ∗ ersetzen:
Ô (n) (â, â † ) ↦→ O (n) (α, α ∗ ) ≡ O (n) (α). (3.15)
Wir betrachten die Selbstdarstellung
∫
O (n) (γ) = d 2 α O (n) (α)δ(α−γ), (3.16)
wobei δ(α) die2-dimensionaleδ-Funktion
∫ ∫ dx dy α x+Im α y)
δ(α) =
e−i(Re
2π 2π
= 1 ∫
d 2 β e αβ∗ −α ∗ β
π 2
(3.17)
bedeutet. Mit (3.17) lautet (3.16)
O (n) (γ) = 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 β O (n) (α)e −(α∗ −γ ∗ )β e (α−γ)β∗ . (3.18)
π 2
Ersetzen wir auf der rechten Seite dieser Gleichung γ durch â und γ ∗
durch â † ,soerhaltenwiroffensichtlich eine Darstellung des (normalgeordneten)
Operators Ô, nämlich
Ô = 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 β O (n) (α)e −(α∗ −â †)β e (α−â)β∗
π 2
= 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 β O (n) (α)e αβ∗ −α ∗β e β↠e −β∗ â
(3.19)
π 2

106 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
bzw. [unter Berücksichtigung von (2.52)]
Ô = 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 β O (n) (α)e αβ∗ −α ∗β :
π ˆD(β) :. (3.20)
2
Ist O (n) (α) Fourier-transformierbar,
O (n) (α) = 1 π 2 ∫
d 2 β O (n) (β)e αβ∗ −α ∗β , (3.21)
so ist die Fourier-Transformierte O (n) (β) durch
∫
O (n) (β) = d 2 α O (n) (α)e βα∗ −β ∗ α
(3.22)
gegeben und folglich gilt
Ô = 1 ∫
π 2
d 2 β O (n) (−β) :ˆD(β) :. (3.23)
Definieren wir die operatorwertige δ-Funktion als
ˆδ(α−â) = 1 π 2 ∫
d 2 β ˆD(β)e αβ∗ −α ∗β , (3.24)
dann kann
Ô offensichtlich auch in der Form
∫
Ô =
d 2 α O (n) (α) :ˆδ(α−â): (3.25)
dargestellt werden. Wir bilden den Erwartungswert 〈Ô〉 und sehen, daß
dieser das Phasenraumintegral von O (n) (α) gewichtetmitdemErwartungswert
〈: ˆδ(α−â):〉 ist: 1
〈Ô〉 = ∫
d 2 α P (n) (α)O (n) (α) (3.26)
1 Das setzt voraus, daß die Reihenfolge von Phasenraumintegration und quantenmechanischer
Mittelung vertauschbar ist.

3.1. P -, W -UNDQ-FUNKTION 107
P (n) (α) =〈: ˆδ(α−â):〉 (3.27)
Die Gleichung (3.26) hat (formal) große Ähnlichkeit mit der klassischen
Gleichung (3.13). Die dem Operator Ô zugeordnete c-Zahlfunktion
O (n) (α) wirdmitder Verteilungsfunktion“ P (n) (α) über dem
”
Raum der komplexen Amplitude α (dem Phasenraum) gemittelt“, wobei
∫
”
d 2 α P (n) (α) =1 (3.28)
gilt. Im Unterschied zur Wahrscheinlichkeitsdichte P cl (α) der klassischen
Statistik besitzt die Phasenraumfunktion P (n) (α) i.allg.jedoch
nicht die Attribute einer Wahrscheinlichkeitsdichte (man spricht deshalb
auch von einer Quasiwahrscheinlichkeitsdichte). So ist P (n) (α)
nicht notwendigerweise positiv und kann darüberhinaus hochgradig singulär
werden. Die Funktion
P (α) ≡ P (n) (α) (3.29)
heißt üblicherweise P -Funktion. Wir berücksichtigen, daß
O (n) (α)
=〈α|Ô|α〉 =Tr(|α〉〈α|Ô) (3.30)
gilt, und können demnach (3.26) in der Form
[∫
]
〈Ô〉 =Tr d 2 α P (α)|α〉〈α| Ô
(3.31)
schreiben. Der Vergleich mit (3.4) liefert dann:
∫
ˆϱ =
d 2 α P (α)|α〉〈α| (3.32)
Die Darstellung (3.32) des Dichteoperators wird auch Glauber-Sudarshan-Darstellung
genannt. Da mit der P -Funktion die komplette Quantenstatistik
der betrachteten Strahlungsfeldmode bekannt ist, wird der

108 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
Quantenzustand des Systems durch die P -Funktion vollständig festgelegt.
Das geschilderte Vorgehen ist natürlich nicht auf Normalordnung
beschränkt. Insbesondere können alle Schritte für symmetrische Ordnung
(s) und Antinormalordnung (a) durchgeführt werden. Es sei
O (s) (α)diedemsymmetrischgeordnetenOperatorÔ(â, ↠)= Ô(s) (â, â † )
zugeordnete c-Zahl Funktion. Dann gilt offensichtlich:
〈Ô〉 =
∫
d 2 α P (s) (α)O (s) (α) (3.33)
W (α) ≡ P (s) (α) =〈ˆδ(α−â)〉 (3.34)
Die Funktion W (α) heißtWigner-Funktion.Analoggiltfür die Berechnung
der Erwartungswerte von antinormalgeordneten Größen:
〈Ô〉 =
∫
d 2 α P (a) (α)O (a) (α) (3.35)
Q(α) ≡ P (a) (α) =〈‡ˆδ(α−â)‡〉 (3.36)
(‡‡ –Antinormalordungssymbol).Q(α) istdiealsPOMbereitseingeführte
Q-Funktion (auch Husimi-Funktion genannt),
Q(α) =π −1 〈α|ˆϱ|α〉, (3.37)

3.2. S-PARAMETRISIERTE PHASENRAUMFUNKTIONEN 109
denn es gilt
∫
‡ˆδ(α−â)‡ = π −2 ∫
= π −3 ∫
= π −3 ∫
= π −1
d 2 β e αβ∗ −α ∗β e
−β∗âeβâ†
∫
d 2 β
∫
d 2 β
d 2 γ e αβ∗ −α ∗β e
−β∗â|γ〉〈γ|e βâ†
d 2 γ e (α−γ)β∗ −(α ∗ −γ ∗ )β |γ〉〈γ|
d 2 γδ(α − γ)|γ〉〈γ|
= π −1 |α〉〈α|. (3.38)
Im Gegensatz zur P -Funktion existiert die Q-Funktion also immer und
besitzt, wie bereits gesagt, alle Attribute einer Wahrscheinlichkeitsdichte
im Phasenraum – allerdings nicht im Sinne einer Wahrscheinlichkeitsdichte
für die (bekanntlich nicht gleichzeitig scharf meßbaren)
Größen (â +â † )/2 und(â − â † )/(2i).
3.2 s-parametrisierte Phasenraumfunktionen
Die drei bisher betrachteten Phasenraumfunktionen beziehen sich auf
Spezialfälle der sogenannten s-Ordnung, die durch den kontinuierlichen
Parameter s charakterisiert werden kann. Dazu definieren wir zunächst
den kohärenten Verschiebungsoperator in s-Ordnung als
Offensichtlich gilt [vergleiche (2.52) – (2.54)]
ˆD(α; s) =e 1 2 s|α|2 ˆD(α). (3.39)
ˆD(α;0)= ˆD(α) (symmetrischeOrdnung), (3.40)
ˆD(α;1)=e α↠e −α∗â (Normalordnung), (3.41)
ˆD(α; −1) = e −α∗âe α↠(Antinormalordnung). (3.42)

110 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
ˆD(α; s) und ˆD(α; s ′ )lassensichineinfacherWeiseineinanderumrechnen,
ˆD(α; s) =e 1 2 (s−s′ )|α| 2 ˆD(α; s ′ ), (3.43)
speziell
ˆD(α; s) =e 1 2 (s−1)|α|2 ˆD(α;1). (3.44)
Damit können beispielsweise die für s =1 gültigen Gleichungen (3.20)
und (3.25) gemäß
Ô = 1 ∫ ∫
d 2 α d 2 β O(α; s)e αβ∗ −α ∗ β ˆD(β; s) (3.45)
π 2
und
∫
Ô =
d 2 α O(α; s)ˆδ(α−â; s) (3.46)
für beliebiges s verallgemeinert werden, wobei in Verallgemeinerung
von (3.24)
ˆδ(α−â; s) = 1 ∫
d 2 β
π ˆD(β; s)e αβ∗ −α ∗ β
(3.47)
2
definiert wurde. Aus (3.46) folgt dann für den Mittelwert 〈Ô〉
〈Ô〉 =
∫
d 2 α P (α; s)O(α; s) (3.48)
mit
P (α; s) =〈ˆδ(α−â; s)〉 (3.49)
als der s-parametrisierten Phasenraumfunktion. 2 Insbesondere gilt
P (α;1)=P (α) (P -Funktion), P (α;0)=W (α) (Wigner-Funktion)und
P (α; −1) = Q(α) (Q-Funktion).
2 Die Gültigkeit der Gleichungen (3.48) und (3.49) setzt wieder voraus, daß die Reihenfolge von
Phasenraumintegration und quantenmechanischer Mittelung vertauschbar ist.

3.2. S-PARAMETRISIERTE PHASENRAUMFUNKTIONEN 111
Mit (3.43) sowie der Umkehrtransformation von (3.47) kann
ˆδ(α − â; s) durchˆδ(α − â; s ′ )ausgedrückt werden:
ˆδ(α−â; s) = 1 ∫
d 2 β e 1
π 2 2 (s−s′ )|β| 2 e αβ∗ −α ∗ β ˆD(β; s ′ )
= 1 ∫
∫
d 2 β e 1
π 2 2 (s−s′ )|β| 2 e αβ∗ −α ∗ β
d 2 γ e βγ∗ −β ∗ γˆδ(γ−â; s ′ ). (3.50)
Für s

112 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
folgt. Speziell für s =0 lautet (3.56)
ˆδ(α−â; s=0) = ˆδ(α−â) = 2 π ˆD(α)(−1)ˆn ˆD† (α) = 2 π (−1)ˆn(α) , (3.57)
d.h., die Wigner-Funktion ist proportional dem Erwartungswert des
kohärent verschobenen Paritätsoperators.
Die dem Operator Ô zugeordnete c-Zahlfunktion O(α; s) kannberechnet
werden, indem von einer bekannten Funktion O(α; s ′ )ausgegangen
wird. Gemäß (3.45) gilt
Ô = 1 ∫
d 2 β O(−β; s)
π ˆD(β; s), (3.58)
2
wobei O(β; s) dieFourier-TransformiertevonO(α; s) ist.Wirverwenden
(3.43) und erhalten
Ô = 1 π 2 ∫
d 2 β O(−β; s)e 1 2 (s−s′ )|β| 2 ˆD(β; s ′ ), (3.59)
d.h.
und folglich haben wir
O(α; s ′ )= 1 π 2 ∫
O(β; s ′ )=O(β; s)e 1 2 (s−s′ )|β| 2 , (3.60)
d 2 β e αβ∗ −α ∗β O(β; s)e 1 2 (s−s′ )|β| 2 . (3.61)
Wir wollen die Funktion O(α; s) ineineretwasdirekterenWeiseberechnen,
die gleichzeitig die Struktur des Formalismus deutlicher macht.
Wie wir gleich zeigen werden, gilt
Tr [ ˆD(α; s) ˆD(β; −s)
]
= πδ(α+β), (3.62)
woraus unter Berücksichtigung von (3.47)
Tr [ˆδ(α−â; s)ˆδ(β−â; −s)
]
= π −1 δ(α−β) (3.63)
folgt. Speziell für β =0, d.h. ˆD(0; −s)= Î,liefert(3.62)
Tr [ ˆD(α; s)
]
= πδ(α) (3.64)

3.2. S-PARAMETRISIERTE PHASENRAUMFUNKTIONEN 113
und damit auch
Tr[δ(α−â; s)] = π −1 . (3.65)
Der Beweis von (3.62) kann etwa wie folgt geführt werden:
Tr [ ˆD(α; s) ˆD(β; −s)
]
=exp [ 1
2 s(|α|2 −|β| 2 ) ] Tr [ ˆD(α) ˆD(β)
]
=exp [ 1
2 (s+1)(|α|2 −|β| 2 ) ] Tr [ e −α∗âe (α+β)↠e −β∗ â ]
=exp [ 1
2 (s+1)(|α|2 −|β| 2 ) ] Tr [ e (α+β)↠e ]
−(α∗ +β ∗ )â
=exp [ 1
2 (s+1)(|α|2 −|β| 2 ) ] ∫
1
d 2 γ 〈γ|e (α+β)↠e −(α∗ +β ∗ )â |γ〉
π
=exp [ 1
2 (s+1)(|α|2 −|β| 2 ) ] ∫
1
d 2 γ e (α+β)γ∗ e −(α∗ +β ∗ )γ
π
= πδ(α+β). (3.66)
Um die Funktion O(α; s) inderEntwicklung(3.46)vonÔ nach s-
parametrisierten ˆδ-Operatoren ˆδ(α−â; s) zu bestimmen, multiplizieren
wir (3.46) mit ˆδ(β−â; −s) undbildendieSpur,
Tr [ Ôˆδ(β−â; −s) ]
∫
= d 2 α O(α; s)Tr [ˆδ(α−â; ]
s)ˆδ(β−â; −s) , (3.67)
} {{ }
π −1 δ(α − β)
woraus mit (3.63)
O(α; s) =πTr [ Ôˆδ(α−â; −s) ] (3.68)
folgt. Die Gleichungen (3.46) und (3.68) gelten natürlich auch für den
statistischen Operator:
∫
ˆϱ = d 2 αϱ(α; s)ˆδ(α−â; s), (3.69)

114 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
ϱ(α; s) =πTr [ˆϱˆδ(α−â; −s) ] . (3.70)
Wegen Tr ˆϱ =1 sowie der Relation (3.65) genügt die zugeordnete c-
Zahlfunktion ϱ(α; s) offensichtlich der Bedingung
1= 1 ∫
d 2 αϱ(α; s). (3.71)
π
Wir vergleichen (3.70) mit (3.49) und finden
P (α; s) =Tr [ˆϱˆδ(α−â; s) ] = π −1 ϱ(α; −s), (3.72)
d.h., die Phasenraumfunktion, die gemäß (3.48) benötigt wird zur Berechnung
des Mittelwertes einer gegebenen Größe Ô unter Verwendung
der zugeordneten c-Zahlfunktion für den Ordnungsparameter s,
ist durch die dem statistischen Operator zugeordnete c-Zahlfunktion
für den Ordnungsparameter −s gegeben. Mit anderen Worten, wird Ô
s-geordnet, muß ˆϱ −s-geordnet werden,
∫
〈Ô〉 = π−1 d 2 αϱ(α; −s)O(α; s). (3.73)
Die Gleichungen (3.71) und (3.72) zeigen insbesondere, daß P (α; s) für
jedes s auf eins normiert ist,
∫
d 2 α P (α; s) =1. (3.74)
Wie bereits ausgeführt, existiert P (α; −1) = Q(α) immeralsWahrscheinlichkeitsverteilung
im Sinne eines POM, wobei offensichtlich
0 ≤ P (α; −1) ≤ π −1 (3.75)
gilt – die Verteilungsfunktion kann nicht beliebig schmal werden. Man
kann zeigen, daß P (α; s) für s ≤−1immerimSinneeinesPOMexistiert.
Für −1

3.2. S-PARAMETRISIERTE PHASENRAUMFUNKTIONEN 115
wie mit (3.57) unschwer zu erkennen ist. Negative Werte von P (α; s)
sind ein Zeichen nichtklassischen Verhaltens. Schließlich muß P (α; s)
für s>0nichteinmalimSinneeinerüblichen Funktion existieren.
Insbesondere ist klar, daß negative Werte von normalgeordneten Varianzen
notwendigerweise verlangen, daß P (α;1)≡ P (α) nichtüberall
nichtnegativ sein kann.
Öfters werden Phasenraumfunktionen etwas anders normiert, oder
es werden auch etwas andere Argumente verwendet. So wird beispielsweise
in Anlehnung an Ort und Impuls
α = 1 √
2
(q + ip) (3.77)
geschrieben, und es werden Re α und Im α gemäß
Re α = √ q , Im α = √ p (3.78)
2 2
durch q und p ersetzt, so daß
P (α; s) =P (Re α + iIm α; s) =P (q/ √ 2+ip/ √ 2; s) (3.79)
gilt. Die auf eins normierte Phasenraumfunktion P (q, p; s) bezüglich
des von q und p aufgespannten Phasenraums ist dann gemäß
gegeben,
∫
1
2P (α; s) ↦→ P (q, p; s) (3.80)
∫
dq
dpP(q, p; s) =1. (3.81)
In manchen Fällen kann es nützlich sein, anstelle einer Phasenraumfunktion
P (α; s) ihreFourier-Transformierte(charakteristischeFunktion)
Φ(α; s) zuverwenden,
P (α; s) = 1 π 2 ∫
d 2 β e αβ∗ −α ∗β Φ(β; s), (3.82)
∫
Φ(α; s) =
∫
=
d 2 β e αβ∗ −α ∗β P (β; s)
d 2 β e αβ∗ −α ∗β 〈ˆδ(β−â; s)〉 = 〈 ˆD(α; s)〉, (3.83)

116 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
wobei wegen (3.43) die Beziehung
und speziell
Φ(α; s) =e 1 2 (s−s′ )|α| 2 Φ(α; s ′ ) (3.84)
Φ(α; s) =e 1 2 s|α|2 Φ(α;0)=e 1 2 s|α|2 Tr [ˆϱ ˆD(α) ] (3.85)
gilt. Aus Φ(α; s)können insbesondere die s-geordneten Momente durch
Differentiation in einfacher Weise gewonnen werden:
〈â†mâ n〉 s
∣
∂m ∂ n
=(−1)n
∂α m ∂α Φ(α; s) ∣∣∣α=α∗
. (3.86)
∗n
=0
Der Zusammenhang zwischen Φ(α; s) undΦ(α; s ′ )kannbenutzt
werden, um einen Zusammenhang zwischen P (α; s) undP (α; s ′ )herzustellen.
Man überzeugt sich leicht [siehe (3.51)], daß sich speziell für
s

3.3. BEISPIELE 117
und folglich gilt
Ô = 1 π
∫
d 2 α Tr
{Ô ˆD(−α; −s)
}
ˆD(α; s), (3.90)
speziell
ˆϱ = 1 π
∫
{
d 2 α Tr ˆϱ ˆD(−α; −s)}
ˆD(α; s), (3.91)
d.h. [siehe (3.83)]
ˆϱ = 1 π
∫
d 2 α Φ(−α; −s)
} {{ }
Φ ∗ (α; −s)
ˆD(α; s). (3.92)
3.3 Beispiele
Kohärenter Zustand
ˆϱ = |β〉〈β|. (3.93)
Aus (3.32) ist sofort zu sehen, daß die P -Funktion
P (α) =δ(α−β) (3.94)
lautet. Man beachte, daß in der klassischen Optik eine Phasenraumverteilung
dieser Art eine schwankungsfreie Strahlungsfeldmode charakterisiert.
Dies ist in der Quantenoptik nicht der Fall, da ein kohärenter
Zustand noch die Vakuumfluktuationen enthält. Anwendung von (3.87)
liefert die Wigner-Funktion
W (α) = 2 (3.95)
π e−2|α−β|2
und die Q-Funktion
Q(α) = 1 (3.96)
π e−|α−β|2
in Form von Gauß-Funktionen.

118 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
Gequetschtes Vakuum
W (α)
0.6
0.4
0.2
0
-
2
-
1
0
Re (α)
1
2
0
-1
-2
1
2
Im (α)
Wigner-Funktion des gequetschten Vakuums (ξ =0.54).
Fock-Zustand
ˆϱ = |n〉〈n|. (3.97)
Für einen Fock-Zustand als extrem nichtklassischen Strahlungsfeldzustand
wird die P -Funktion hochgradig singulär und existiert nicht als
gewöhnliche Funktion. Wir berechnen
P (α) =〈ˆδ(α − â;1)〉
= 1 π 2 ∫
d 2 β e αβ∗ −α ∗β 〈n|e β↠e −β∗â|n〉, (3.98)
〈n|e β↠e −β∗â|n〉 =
=
n∑
k=0
n∑
k=0
(−1) k |β|2k
(k!) 2
〈n|â †k â k |n〉
} {{ }
n(n − 1) ···[n − (k − 1)]
)
1 n
(−1)
k!( k |β| 2k , (3.99)
k
∫
1
π 2
d 2 β |β| 2k e αβ∗ −α ∗β
= (−1) k ∂k ∂ k
δ(α) (3.100)
∂α k ∂α∗k

3.3. BEISPIELE 119
Q(α)
0.06
0.04
0.02
0
-
2
0
Re (α)
2
-2
0
2
Im (α)
Q-Funktion des Fock-Zustands |n=4〉.
W (α)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
0
Re (α)
2
-2
0
2
Im (α)
Wigner-Funktion des Fock-Zustands |n=4〉.
und erhalten die P -Funktion als
P (α) =
n∑
k=0
)
1 n ∂
k
∂
k!( k
δ(α). (3.101)
k ∂α k ∂α∗k

120 KAPITEL 3. PHASENRAUMFUNKTIONEN
Im Gegensatz dazu stellt die Q-Funktion
Q(α) = 1 π |〈α|n〉|2 = 1 |α| 2n
e −|α|2 (3.102)
π n!
eine Funktion mit allen Attributen einer Wahrscheinlichkeitsdichte dar.

Kapitel 4
Photoelektrischer
Nachweis von Licht
4.1 Modell
Im Sinne eines einfachen Modells für einen Photodetektor betrachten
wir ein Ensemble von (atomaren) Absorptionszentren, das bei Bestrahlung
mit Licht Photonen absorbiert und dabei Elektronen freisetzt
(Photoeffekt). Wir wollen annehmen, daß die Anzahl N der Detektoratome
hinreichend groß ist (N →∞), so daß jedes Atom im Beobachtungszeitraum
höchstens ein Elektron zur Anzahl der emittierten
Elektronen beiträgt. Wir ordnen jedem Atom im gegebenen Meßzeitintervall
t, t + ∆t eine Zufallsvariable zu, die die Anzahl der emittierten
Elektronen beschreibt und nach Voraussetzung also nur die Werte 0 und
1annehmensoll.Imweiterenwollenwirmiti =1, 2,...,N die Atome
durchnumerieren und mit ñ i die Zufallsvariable des i-ten Atoms
bezeichnen (Realisierungen 0, 1). Die Zufallsvariable ñ der insgesamt
im betrachteten Zeitintervall von allen Atomen emittierten Anzahl von
Elektronen ist
N∑
ñ = ñ i , (4.1)
i=1
121

122 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
und für den Mittelwert einer beliebigen Funktion f(ñ 1 ,...ñ N )gilt
f(ñ 1 ,...,ñ N ) =
1∑ 1∑
··· p k1 ,...,k N
f(k 1 ,...,k N ). (4.2)
k 1 =0 k N =0
Die Koeffizienten p k1 ,...,k N
sind die elementaren Wahrscheinlichkeiten
dafür, daß im Beobachtungszeitraum das erste Atom k 1 Elektronen
emittiert, das zweite Atom k 2 Elektronen emittiert usw. (i =1,...,N,
k i =0, 1).
Es sei p m (t, ∆t) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß im Zeitintervall
t, t + ∆t genau m Photoelektronen freigesetzt werden. Wir definieren
die charakteristische Funktion
y(x, t, ∆t) =(1 + x)ñ =
N∑
p m (t, ∆t)(1 + x) m , (4.3)
m=0
aus der die Wahrscheinlichkeitsverteilung p m (t, ∆t) wiefolgtabgeleitet
werden kann:
p m (t, ∆t) = 1 m!
∂ m
∂x m y(x, t, ∆t) ∣
∣∣∣x=−1
. (4.4)
Stellen wir y(x, t, ∆t) inderForm
y(x, t, ∆t) =
N∏
∏ N
(1 + = [(1 + x)ñ x)ñi i +(1− ñ i )] (4.5)
i=1
i=1
dar, so führt die Entwicklung nach Potenzen von (1 + x) undderVergleich
mit (4.3) unmittelbar auf
p m (t, ∆t) = ∑ K m N
ñ i1 ...ñ im (1 − ñ im+1 ) ···(1 − ñ iN ) , (4.6)
wobei die Summe alle Kombinationen KN
m erfaßt, d.h. alle Möglichkeiten,
aus den Zahlen 1,...,N genau m Zahlen auszuwählen. Damit
wird unter Berücksichtigung von (4.2) die Bedeutung von p m (t, ∆t)
unmittelbar ersichtlich. Der Summand ñ i1 ...ñ im (1−ñ im+1 ) ···(1−ñ iN )

4.1. MODELL 123
gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß m herausgegriffene Detektoratome
i 1 ,...,i m im betrachteten Zeitintervall jeweils ein Photoelektron liefern,
während die restlichen N − m Atome kein Photoelektron liefern.
Um die charakteristische Funktion zu bestimmen, entwickeln wir sie
in eine Taylor-Reihe (N →∞),
Mit (4.3) finden wir
y(x, t, ∆t) = ∑ m
1
m! F m(t, ∆t)x m , (4.7)
F m (t, ∆t) = ∂m
∂x m y(x, t, ∆t) ∣
∣∣∣x=0
. (4.8)
∂ m
∂x m y(x, t, ∆t) ∣
∣∣∣x=0
(4.9)
= ∑ k
p k (t, ∆t) k(k−1) ···[k−(m−1)] (1+x) k−m∣ ∣
x=0
,
d.h., die F m sind durch die faktoriellen Momente von ñ gegeben,
F m (t, ∆t) =
m∏
[ñ − (j − 1)]. (4.10)
j=1
Stellen wir y(x, t, ∆t)wiederinderForm(4.5)darundentwickelnnach
Potenzen von x, soliefertderVergleichmit(4.7)
F m (t, ∆t) =m! ∑ ñ i1 ...ñ im = ∑ ′
ñ i1 ...ñ im . (4.11)
KN
m
i 1 ,i 2 ,...,i m
Die erste Summation hat die gleiche Bedeutung wie in (4.6), während in
den zweiten Summen der Strich Terme mit gleichen Indizes ausschließt.
Offensichtlich ist
p i1 ,i 2 ,...,i m
= ñ i1 ...ñ im (4.12)
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß m herausgegriffene Detektoratome
i 1 ,...,i m im betrachteten Zeitintervall jeweils ein Photoelektron liefern,
während über die restlichen N − m Atome keine Aussage gemacht
wird. Diese Wahrscheinlichkeiten berechnen wir quantentheoretisch in
niedrigster Ordnung der Diracschen Störungstheorie.

124 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
4.2 Quantenmechanische Übergangswahrscheinlichkeiten
Gegeben sei ein Hamilton-Operator
Ĥ = Ĥ0 + Ĥint , (4.13)
Ĥ int =
N∑
i=1
Ĥ (i)
int
(4.14)
[Ĥ0 -Hamilton-OperatordesausStrahlung,QuelleundDetektorbestehenden
Systems ohne die Wechselwirkung zwischen Strahlung und
Detektor, Ĥint -(1-Photon-)WechselwirkungstermStrahlung-Detektor].
Die Zeitentwicklung im Dirac-Bild lautet
wobei
i d dτ ˆϱ(τ) =[ Ĥ int (τ), ˆϱ(τ) ] , (4.15)
Ĥ int (τ) =exp [ iĤ0(τ −t)/ ] Ĥ int (t)exp [ −iĤ0(τ −t)/ ] (4.16)
gilt. Die (formale) Lösung von (4.15) kann als
ˆϱ(τ) =Û(τ,t)ˆϱ(t)Û † (τ,t) (4.17)
geschrieben werden, wobei der Zeitentwicklungsoperator
Gleichung
mit
genügt, woraus
[
Û(t+∆t, t) =T + exp − i
folgt (T + -positiveZeitordnung).
Û(τ,t) der
i d Û(τ,t)=Ĥint(τ)Û(τ,t) (4.18)
dτ
Û(t, t) =Î (4.19)
∫ t+∆t
t
]
dτ Ĥint(τ)
(4.20)

4.2. ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN 125
|f〉
ω
Wir wollen annehmen, daß sich der Photodetektoranfangs(d.h.
zur Zeit t) imGrundzustand|G〉 befindet, und ˆϱ rs der (Anfangs-)Dichteoperator
von Strahlung und Strahlungsquelle ist, so daß ˆϱ(t) gemäß
|g〉
ˆϱ(t) =|G〉ˆϱ rs 〈G| (4.21)
angesetzt werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Detektor im
Zeitintervall t, t + ∆t einen Übergang
|G〉 →{|F 〉} (4.22)
macht, ist
p {F } (t, ∆t) = ∑ F
Tr[ ˆϱ(t+∆t)|F 〉〈F |] , (4.23)
wobei wir ein (Quasi-)Kontinuum {|F 〉} von Endzuständen annehmen
wollen. Mit (4.17) können wir dann
p {F } (t, ∆t) = ∑ ]
Tr
[ˆϱ rs 〈G|Û † (t+∆t, t)|F 〉〈F |Û(t+∆t, t)|G〉 (4.24)
F
schreiben. Wir spezifizieren |G〉 and |F 〉:
m∏
|G〉 = |g il 〉, |F 〉 =
l=1
m∏
|f il 〉. (4.25)
l=1

126 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
Da jedes Atom mit höchstens einem Photoelektron zur Lichtabsorption
beitragen soll, können wir in niedrigster Ordnung der Störungstheorie
[
Û(t+∆t, t) = 1 m! T +
− i
∫ t+∆t
t
dτ
m∑
l=1
Ĥ (i l)
int (τ) ] m
(4.26)
schreiben, so daß (4.24) die folgende Form annimmt [p {F } (t, ∆t) ↦→
p i1 ,i 2 ,...,i m
(t, ∆t)]:
p i1 ,i 2 ,...,i m
(t, ∆t)
= ∑
f i1 ,f i2 ,...f im
Tr
×
[
T +
m
∏
l=1
{ˆϱ rs
[
T −
m
∏
l=1
∫ ]
i t+∆t
dτ l 〈g il
|Ĥ(i l)
int (τ l)|f il 〉
t
(
− i ) ∫ ]}
t+∆t
dτ l ′ 〈f il
|Ĥ(i l)
int (τ l ′ )|g il 〉
t
(4.27)
(T − -negativeZeitordnung).
Wir wollen annehmen, daß die Wechselwirkung der Strahlung mit
den Detektoratomen in Dipol- und Resonanznäherung beschrieben werden
kann. Dann gilt für jedes Atom
〈f i |Ĥ(i) int (τ ′ )|g i 〉≈−iω fi g i
(d fi g i
) k e iω f i g i
(τ ′ −t) Â (+)
k
(r i , τ ′ )
und somit haben wir
1 ∑
2
f i
〈g i |Ĥ(i)
≈−(d fi g i
) k e iω f i g i
(τ ′ −t) Ê (+)
k
(r i , τ ′ ), (4.28)
int (τ)|f i〉〈f i |Ĥ(i) int (τ ′ )|g i 〉
= S (i)
kk
(τ −τ ′ ′ )Ê(−) k
(r i , τ)Ê(+) k
(r ′ i , τ ′ ), (4.29)
wobei die konkrete Struktur von
S (i)
kk ′ (τ −τ ′ )= 1 2 ∑
f i
(d gi f i
) k (d fi g i
) k
′ e −iω f i g i
(τ−τ ′ )
(4.30)

4.3. PHOTOELEKTRONENVERTEILUNG 127
natürlich aus dem verwendeten Modell resultiert. In der Regel kann
S (i)
kk ′ (τ −τ ′ ) ∼ δ kk ′δ(τ −τ ′ ) (4.31)
angenommen werden, d.h. also insbesondere Gedächtnislosigkeit des
Detektors im Sinne eines Markow-Prozesses. Damit nimmt (4.27) die
Gestalt
〈
〉
p i1 ,i 2 ,...,i m
(t, ∆t) ∼
◦
m∏
l=1
∫ t+∆t
t
dτ l Ê (−) (r il , τ l ) · Ê(+) (r il , τ l ) ◦ ◦
an [ ◦ ◦ ◦ ◦ -Normal-undZeitordnung,〈···〉 =Tr(ˆϱ rs ···)].
(4.32)
4.3 Photoelektronenverteilung
Gemäß (4.12) sind die in der Gleichung (4.32) berechneten Wahrscheinlichkeiten
gerade die gesuchten Wahrscheinlichkeiten für die faktoriellen
Momente F m (t, ∆t) inderGleichung(4.11).Wirsetzensieeinund
verfahren dann wie folgt:
(a) Wir gehen von der Summation über alle Atome zur Integration
über, d.h., wir nehmen eine kontinuierliche Verteilung der Absorptionszentren
an.
(b) Wir setzen voraus, daß die relevanten Detektorabmessungen klein
im Vergleich zur langsam veränderlichen Amplitude des zu untersuchenden
Strahlungsfeldes sind.
Das Ergebnis ist
〈
F m (t, ∆t) =
◦
[ξÎ(t, ∆t) ] m ◦◦
〉
(4.33)
mit
Î(t, ∆t) =
∫ t+∆t
t
dτ Î(τ), (4.34)

128 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
Î(τ) =Ê(−) (r, τ) · Ê(+) (r, τ) (4.35)
(ξ -NachweisempfindlichkeitdesPhotodetektors).
Wir setzen (4.33) in die Gleichung (4.7) für die charakteristische
Funktion y(x, t, ∆t) einunderhalten
woraus
y(x, t, ∆t) =
〈
◦
〈
y(x, t, ∆t) =
∑
m
〉
1
[ ] m
m!
ξÎ(t, ∆t)x ◦◦
[ξÎ(t,
]
◦ exp ∆t)x
〉
◦
, (4.36)
(4.37)
folgt. Gemäß (4.4) folgt dann aus (4.37) für die Photoelektronenverteilung:
〈
p m (t, ∆t) =
◦
1
[ ] 〉
m
m!
ξÎ(t, ∆t) e −ξÎ(t,∆t) ◦ (4.38)
In der klassischen Optik spielen Zeit- und Normalordnung keine Rolle
und 〈···〉 bedeutet einfach klassisch-stochastische Mittelung. Kann
speziell das klassische Feld als rauschfrei angenommen werden, stellt
p m (t, ∆t) einePoisson-Verteilungdar.Für ein hinreichend kurzes Meßintervall
nimmt (4.34) die Gestalt
Î(t, ∆t) ≈ ∆tÎ(t) (4.39)
an. Die Messung der Photoelektronenstatistik liefert also (zumindest im
Prinzip) alle normal- und zeitgeordneten Intensitätskorrelationsfunktionen
des Strahlungsfeldes (amOrtdesDetektors).
Wir haben bis jetzt den Fall betrachtet, daß an einem bestimmten
Raumpunkt r eine Messung in einem bestimmten Zeitintervall t, t+∆t
vorgenommen wird. Die Betrachtung kann auf mehrere Detektoren an
verschiedenen Raumpunkten, die in unterschiedlichen Zeitintervallen
messen, ausgedehnt werden. In diesem Fall ist die Verbundwahrscheinlichkeit
zu berechnen, daß der 1. Detektor (am Ort r 1 ) m 1 Photoelektronen
im Zeitintervall t 1 ,t 1 + ∆t 1 registriert, der 2. Detektor (am Ort

4.3. PHOTOELEKTRONENVERTEILUNG 129
r 2 ) m 2 Photoelektronen im Zeitintervall t 2 ,t 2 +∆t 2 registriert usw. Das
Ergebnis (für M Detektoren) lautet
p m1 ,m 2 ,...,m M
(t 1 , ∆t 1 ,t 2 , ∆t 2 ,...,t M , ∆t M )
〈
M∏
=
◦
l=1
〉
1
[ ] ml
ξ l Î l (t l , ∆t l ) e
−ξ l Î l (t l ,∆t l ) ◦ . (4.40)
m l !
Die Gleichung (4.40) kann auch auf die Messung von Verbundwahrscheinlichkeiten
mittels eines Detektors (am gleichen Ort) angewendet
werden, wenn die einzelnen Zeitintervalle voneinander getrennt sind.
Beispiel: Mittlere Anzahl von Photoelektronen
Aus
n = ∑ mp m (t, ∆t) (4.41)
m
zusammen mit (4.38) folgt sofort
n =
= ξ
ξ〈Î(t, ∆t)〉
∫ t+∆t
woraus sich für Kurzzeitmessungen
〈Ê(−) 〉
n = ξ∆t (t) · Ê(+) (t)
t
dτ
〈Ê(−) (τ) · Ê(+) (τ)〉
, (4.42)
(4.43)
ergibt. Erwartungsgemäß ist die mittlere Anzahl der freigesetzten Photoelektronen
proportional zur Intensität des eingestrahlten Lichtes.
Beispiel: Zweierkorrelation
Die Anzahlkorrelation der von einem Detektor in zwei nicht überlappenden
Zeitintervallen registrierten Photoelektronen ist gemäß (4.40)
wie folgt bestimmt:
n(t, ∆t)n(t+τ, ∆t) =
∑ m 1 ,m 2
m 1 m 2 p m1 ,m 2
(t, ∆t, t+τ, ∆t)
= ξ 2 〈
〉
◦ Î(t, ∆t)Î(t+τ, ∆t) ◦ (4.44)

130 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
(τ > ∆t). Insbesondere für Kurzzeitmessungen erhalten wir
n(t, ∆t)n(t+τ, ∆t)=ξ 2 (∆t) 2 G (2,2) (t, t+τ), (4.45)
wobei
〈
〉
G (2,2) (t, t+τ) = ◦ Î(t)Î(t+τ) ◦ =
〈Ê(−) i
(t)Ê(−) j
〉
(t+τ)Ê(+) (t+τ)Ê(+) (t)
j
i
(4.46)
die zeit- und normalgeordnete Intensitätskorrelationsfunktion (niedrigster
Ordnung) des zu untersuchenden Strahlungsfeldes(amjeweiligen
Beobachtungsort) ist. Im stationären Fall hängt sie nur von der Zeitdifferenz
τ ab,
G (2) (τ) = limG (2,2) (t, t+τ). (4.47)
t→∞
Für klassische Strahlung gilt
G (2,2) (t, t+τ) =
∫ ∞
0
dI
∫ ∞
0
dI ′ II ′ p cl (I,t,I ′ ,t+τ) (4.48)
[p cl (I,t,I ′ ,t+τ) -klassischeVerbundwahrscheinlichkeitsverteilungfür
die Intensitäten zur Zeit t und zur Zeit t+τ]. Anwendung der Schwarzschen
Ungleichung liefert
∫ ∞
0
dI
∫ ∞
0
[∫ ∞
≤
0
dI ′ II ′ p cl (I,t,I ′ ,t+τ)
] 1 [∫
dII 2 2 ∞
] 1
p cl (I,t) dII 2 2
p cl (I,t+τ) . (4.49)
0
Wir wollen stationäre Verhältnisse annehmen,
p cl (I) = lim
t→∞
p cl (I,t)= lim
t→∞
p cl (I,t+τ). (4.50)
In diesem Fall besagt die Ungleichung (4.49) offensichtlich, daß
G (2) (τ) ≤ G (2) (0) (4.51)

4.3. PHOTOELEKTRONENVERTEILUNG 131
G (2) (τ)
klassisch
nichtklassisch
gelten muß. Das heißt, die stationäre Intensitätskorrelationsfunktion
klassischer Strahlung hat einen nichtpositiven Anfangsanstieg. Mit anderen
Worten ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeit, Koinzidenzen zu
gleichen Zeiten zu beobachten, ist größer als die (oder mindestens gleich
der) Wahrscheinlichkeit, zeitlich getrennte Koinzidenzen zu registrieren.
Noch anders ausgedrückt, wenn für ein Strahlungsfeld die Ungleichung
(4.51) nicht gilt, widerspricht dies dem klassischen Wahrscheinlichkeitskonzept.
Für
τ
G (2) (τ) >G (2) (0) (4.52)
verhält sich also das Strahlungsfeld nichtklassisch, d.h., es besitzt kein
klassisches Analogon. Für nichtklassische Strahlung werden also gleichzeitige
Koinzidenzen seltener beobachtet als ungleichzeitige. Der Effekt
heißt Photon Antibunching [im Gegensatz zu Photon Bunching im
Falle der Ungleichung (4.51)]. Das Gleichheitszeichen in (4.51) wird
offensichtlich dann realisiert, wenn sich das Strahlungsfeld in einem
kohärenten Zustand befindet.
Da jede physikalische Korrelation nach hinreichend langer Zeit
zerfällt, gilt
lim
τ→∞ G(2) (τ) =〈Î〉2 , (4.53)

132 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
so daß für τ →∞ die Bedingung (4.52) für nichtklassisches Verhalten
〈Î〉2 > 〈:Î2 :〉 (4.54)
bzw.
〈:(∆Î)2 :〉 < 0 (4.55)
lautet.
Beispiel: Varianz
Um die Varianz (∆n) 2 zu bestimmen, haben wir zunächst
n 2 = ∑ m
m 2 p m (t, ∆t) (4.56)
zu bestimmen. Anwendung von (4.38) liefert
n 2 = ξ 〈 Î(t, ∆t) 〉 + ξ 2〈 ◦ ◦ Î 2 (t, ∆t) ◦ ◦
〉
, (4.57)
so daß mit (4.42)
(∆n) 2 = n + ξ 2〈 ◦ ◦
[
∆ Î(t, ∆t) ] 2 ◦◦
〉
(4.58)
folgt. Für klassische Strahlung spielt die Ordnung keine Rolle,
〈 ◦◦
[
∆ Î(t, ∆t) ] 2 ◦◦
〉 〈[ ] 2 〉
↦→ ∆I(t, ∆t) ≥ 0, (4.59)
und folglich gibt klassische Strahlung immer Anlaß zu einer super-
Poisson-Statistik der registrierten Photoelektronen,
(∆n) 2 ≥ n. (4.60)
Das Gleichheitszeichen wird für ein schwankungsfreies klassisches Feld
bzw. ein in einem kohärenten Zustand angeregtes quantisiertes Feld
realisiert, das auch hier wieder die Grenze zwischen klassischer und
nichtklassischer Strahlung markiert. Nichtklassisches Verhalten liegt im
Falle einer sub-Poisson-Statistik vor,
cl
(∆n) 2 < n (4.61)

4.3. PHOTOELEKTRONENVERTEILUNG 133
d.h.
〈 ◦◦
[
∆ Î(t, ∆t) ] 2 ◦◦
〉
< 0 (4.62)
Im Kurzzeitregime,
lautet (4.58)
Î(t, ∆t) =∆t Î(t), (4.63)
(∆n) 2 = n + ξ 2 (∆t) 2〈 : [ ∆Î(t)] 2
:
〉
, (4.64)
und als Bedingung für sub-Poisson-Statistik erhalten wir
〈
:
[
∆ Î(t) ] 2
:
〉
< 0. (4.65)
Für stationäre Felder wird diese Bedingung identisch mit der Antibunching-Bedingung
(4.55).
Anmerkungen
• Analog zu (4.45) und (4.46) lassen sich im Kurzzeitregime
(im Prinzip) Intensitätskorrelationsfunktionen beliebiger Ordnung
bestimmen, d.h. Funktionen
〈
〉
G (n,n) (t 1 ,...,t n )=
=
〈Ê(−) k 1
◦
n∏
Î(t i ) ◦ i=1
(t 1 ) ···Ê(−) k n
(t n )Ê(+)
k n
〉
(t n ) ···Ê(+) k 1
(t 1 )
(4.66)
(t n >t n−1 > ··· >t 1 ). Nicht meßbar sind auf diese Weise Feldkorrelationsfunktionen
vom Typ
〈
〉
n∏
n+m
∏
G (n,m)
k 1 ,...,k n+m
(t 1 ,...,t n+m )= ◦
(t i )Ê(+) (t j ) ◦ i=1 j=n+1
Ê (−)
k i
(4.67)
mit n ≠ m. Für ihre Messung werden Interferenzexperimente
benötigt, in denen das zu untersuchende Feld (auch Signalfeld genannt)
mit einem bekanntem Vergleichsfeld (in der Regel ein in einem
kohärenten Zustand angeregtes Feld) überlagert wird. Dann
k j

134 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
liefern Intensitätskorrelationsfunktionen des Überlagerungsfeldes
auch Aussagen über phasenabhängige Feldkorrelationsfunktionen
vom Typ (4.67) für das Signalfeld. So kann beispielsweise nur auf
diese Weise der Squeezing-Effekt nachgewiesen werden.
• Zur Rolle von Normal- und Zeitordnung
Vom formal-mathematischen Standpunkt sichern die Ordnungsprozeduren,
daß die (reelle) Photoelektronenverteilung der Erwartungswert
eines hermiteschen Operators ist. Physikalisch
bringt die Normalordnungsvorschrift zum Ausdruck, daß die
(üblichen) Photodetektoren auf der Grundlage von Absorption
von Strahlung arbeiten, während die Zeitordnungsvorschrift sogenannte
zeitverzögerte Beiträge unterdrückt. Wenn Felder von realen
Quellen herrühren und somit keine freien Felder sind, können
sich die nichtgleichzeitigen Vertauschungsregeln von denen freier
Felder in solchen Beiträgen unterscheiden, so daß beispielsweise
[Ê(±) i (r 1 ,t 1 ), Ê(±) j (r 2 ,t 2 )
]
≠0 (4.68)
gelten kann. Die genannten Beiträge können auftreten, wenn sich
Strahlung zwischen den Punkten P 1 (Ort r 1 )undP 2 (Ort r 2 )
nicht nur direkt, sondern auch über den Umweg über die Quellen
ausbreiten kann. Dieser Fall ist in der Regel in experimentellen
Meßanordnungen (außerhalb von Resonatoren) ausgeschlossen.
Dann muß nur das aus der Richtung der Quellen einfallende
Feld berücksichtigt werden, und die Zeitordnung kann wegge-
Strahlungsquelle
P 1
P 2

4.4. PHOTOELEKTRONEN- UND PHOTONENSTATISTIK 135
Detektor
Strahlungsquelle
Ê in
lassen werden. Sie ist jedoch unverzichtbar im Falle einer quellenmäßigen
Darstellung des Feldes.
• Quellenmäßige Darstellung
Ist
Ê(t) =Ês(t)+Êfree(t) (4.69)
die quellenmäßige Darstellung, dann kann gezeigt werden, daß
sich Korrelationsfunktionen vom Typ (4.67) in der Form
G (n,m)
k 1 ,...,k n+m
(t 1 ,...,t n+m )=
〈
•
n∏
n+m
∏
i=1 j=n+1
Ê (−)
k i
(t i )Ê(+)
k j
(t j ) • •
(4.70)
• •
darstellen lassen, wobei folgende Regeln impliziert. 1. Normalordnung,
2. Zerlegung gemäß (4.69), 3. Anordnung der Operatoren
Ê(+) k s
und Ê(+) k free
daß die Operatoren Ê(+) k free
Operatoren Ê(+)
k s
(bzw. Ê(−)
k s
〉
und Ê(−) k free )inProduktenso,
k free )rechts(links)vonden
(bzw. Ê(−)
(bzw. Ê (−)
k s )stehen.4.Zeitordnungbezüglich
der Quellterme in den Quellfeldintegralen.
4.4 Photoelektronen- und Photonenstatistik
Wir zerlegen das im Beobachtungszeitraum t, t+∆t einfallende Feld Êin
in geeignete (nicht notwendigerweise monochromatische) orthogonale

136 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
Moden, so daß
gilt, wobei
ξÎ(t, ∆t) ↦→ ηˆn (4.71)
ˆn = ∑ λ
ˆn λ = ∑ λ
â † λâλ (4.72)
der Anzahloperator der im betrachteten Zeitintervallinsgesamteinfallenden
Photonen bedeutet und η die darauf bezogene Nachweisempfindlichkeit
ist,
0 ≤ η ≤ 1. (4.73)
So weit nichts anderes vereinbart wird, beziehen sich hier und im weiteren
alle Formeln auf das gewählte Zeitintervall t, t + ∆t, sodaßwir
auf seine explizite Angabe verzichten können. Mit der Ersetzung (4.72)
geht (4.38) in
P m =
〈
: 1 〉
m! (ηˆn)m e −ηˆn :
(4.74)
über (Mandel-Formel). Das Ergebnis läßt sich unschwer auf den Fall
von Verbundmessungen an M Detektoren verallgemeinern. Analog zu
(4.40) erhalten wir
〈
〉
M∏ 1
P m1 ,m 2 ,...,m M
= :
m l ! (η lˆn l ) m l
e −η lˆn l
: . (4.75)
l=1
Es ist anzumerken, daß die Gleichung (4.74) [wie auch die Gleichung
(4.38)] i. allg. ein POM repräsentiert,
wobei ˆΠ m der (verallgemeinerte) Projektor
P m =Tr (ˆϱˆΠ m
)
, (4.76)
ˆΠ m =: 1 m! (ηˆn)m e −ηˆn : (4.77)
ist,
ˆΠ † m = ˆΠ m , (4.78)

4.4. PHOTOELEKTRONEN- UND PHOTONENSTATISTIK 137
∑
m
ˆΠ m = Î, (4.79)
Tr (ˆϱˆΠ m
)
≥ 0. (4.80)
Wir fassen P m als Funktion der Nachweisempfindlichkeit η auf,
ˆΠ m = ˆΠ m (η), P m = P m (η), und schreiben
d.h.
P m (η) =
=
= ∑ k
=
〈
: 1 〉
m! (ηˆn)m e −ηˆn :
〈
: 1 〉
m! ηmˆn m e (1−η)ˆn e −ˆn :
∞∑
n=m
(m+k)!
m!k!
〉
η m (1 − η)
〈:
k 1
(m+k)!ˆnm+k e −ˆn :
} {{ }
P m+k (1)
n!
(n−m)!m! ηm (1 − η) n−m P n (1), (4.81)
P m (η) = ∑ n
P m|n (η) P n (1) (4.82)
⎧
⎨
P m|n (η) =
⎩
( n
m)
η m (1 − η) n−m
für n ≥ m
0 für n

138 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
zu klären (siehe auch Abschnitt 2.2), betrachten wir die dem Operator
ˆΠ m (1) = : 1 m! ˆnm e −ˆn : (4.85)
zugeordnete c-Zahl-Funktion in Normalordnung,
( ) m (
Π (n)
m (1) = 1 ∑
|α λ | 2 exp − ∑ m!
λ
λ
|α λ | 2 )
. (4.86)
Anwenden des polynomischen Satzes liefert
Π (n)
m (1) =
woraus mit (2.111)
folgt, d.h.
Π (n)
m (1) =
ˆΠ m (1) =
∑
m 1 +m 2 +···=m
∑
∏
λ
m 1 +m 2 +···=m
∑
m 1 +m 2 +···=m
1 (
|αλ | 2) m λ
e −|α λ| 2 , (4.87)
m λ !
∏
|〈α λ |m λ 〉| 2 (4.88)
λ
∏
|m λ 〉〈m λ |. (4.89)
Damit erhalten wir für P m (1) [in Verallgemeinerung von (2.100)]
∑
〉
P m (1) = 〈ˆΠ m (1)〉 =
|m λ 〉〈m λ | , (4.90)
λ
〈 ∏
m 1 +m 2 +···=m λ
} {{ }
p m1 ,m 2 ,...
P m (1) =
∑
m 1 +m 2 +···=m
p m1 ,m 2 ,... (4.91)
Hier ist p m1 ,m 2 ,... die Verbundwahrscheinlichkeit dafür, daß m 1 Photonen
in der Mode 1, m 2 Photonen in der Mode 2 usw. des (im betrachteten
Zeitintervall) einfallenden Strahlungsfeldes sind, und folglich ist P m (1)
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß insgesamt m Photonen einfallen.

4.4. PHOTOELEKTRONEN- UND PHOTONENSTATISTIK 139
Damit kann die Gleichung (4.82) folgendermaßen interpretiert werden.
Die Wahrscheinlichkeit, daß n Photonen im einfallenden Feld sind,
ist P n (1). Die Wahrscheinlichkeit, daß unter der Bedingung, daß n Photonen
einfallen, bei gegebener Nachweisempfindlichkeit (Quantenausbeute)
η genau m Photoelektronen (und damit m Photonen) registriert
werden, ist dann P m|n (η). Summation über alle n liefert schließlich die
Wahrscheinlichkeit, daß insgesamt m Photoelektronen (und damit insgesamt
m Photonen) registriert werden. Im Grenzfall η→1sprichtman
auch von einer perfekten Messung,
P m|n (η) → δ mn ❀ P m (η) → P m (1). (4.92)
In diesem Fall repräsentiert die Anzahlverteilung der Photoelektronen
gerade die Gesamtanzahlverteilung der Photonen im einfallenden Feld.
Da i. allg. η < 1ist,isti.allg.auchP m|n (η) < 1(n ≥ m).
Die Gleichung (4.82) [zusammen mit (4.83)] bringt zum Ausdruck,
daß die gemessene Verteilung P m (η) sichmittelseinerBernoulli-
Transformation aus der wahren Verteilung P m (1) ergibt. In der Praxis
steht damit das Problem, die wahre Verteilung P m (1) aus der gemessenen
Verteilung P m (η) zu bestimmen. Das kann mittels der inversen
Bernoulli-Transformation geschehen:
P m (1) =
〈
: 1 〉 〈
m! ˆnm e −ˆn : = : 1 〉
m! ˆnm e −ηˆn e (η−1)ˆn :
= ∑ k
=
∞∑
n=m
(m+k)!
η −(m+k) (η − 1) k
m!k!
〈
〉
1
× :
(m+k)! (ηˆn)m+k e −ηˆn :
} {{ }
P m+k (η)
n!
(n−m)!m!
( 1
η) m (
1 − 1 η) n−m
P n (η). (4.93)

140 KAPITEL 4. PHOTODETEKTION
Damit erhalten wir
P m (1) = ∑ n
P m|n
(
η
−1 ) P n (η) (4.94)
mit P m|n (η −1 ) gemäß (4.83). Die inverse Bernoulli-Transformation
(4.93) unterscheidet sich also von der Bernoulli-Transformation (4.82)
dadurch, daß η durch η −1 in P m|n ersetzt wird. Aus (4.83) ist zu sehen,
daß für
η < 1 2
(4.95)
die Entwicklungskoeffizienten P m|n (η −1 )inderReihe(4.93)mitwachsendem
n unbeschränkt wachsen. Da die gemessenen Werte von P n (η)
immer mit Fehlern behaftet sind, kann die praktische Anwendung der
inversen Bernoulli-Transformation kritisch werden, wenn die Quantenausbeute
unter 50% sinkt.
Anmerkung
• Gegenwärtig ist es mit den herkömmlichen Photodetektoren i.
allg. noch nicht möglich, die Photonenstatistik hinreichend genau
zu messen. Entweder ist die Nachweisempfindlichkeit zu gering,
oder es ist nicht möglich, zwischen m und m +1 Photonen zu
unterscheiden.
• Selbst wenn es möglich wäre, die Photonenstatistik exakt zu
messen, wäre dies keine vollständige Messsung der Quantenstatistik
des jeweiligen Signalfeldes, da die Nichtdiagonalelemente der
Dichtematrix bei der Messsung ausgespart blieben.

Kapitel 5
Optische
4-Kanal-Systeme
5.1 Klassische Grundgleichungen
Wie wir im Kapitel 4 gesehen haben, sprechen Photodetektoren auf die
Intensitäten von Strahlungsfeldern an. Betrachten wir beispielsweise ein
klassisches 1-Modenfeld der komplexen Amplitude α = |α|e iϕ α ,sokann
auf diese Weise |α| bestimmt werden, nicht aber ϕ α .UmInformationen
über die Phase zu erhalten, bedarf es interferometrischer Verfahren. So
kann die zu untersuchende Mode mit einer bekannten Vergleichsmode
überlagert und die Intensität des Interferenzfeldes gemessen werden,
die bekanntlich von der Phasendifferenz der beiden Moden abhängt.
Das Standardbauelement, mit dessen Hilfe zwei Felder zur Interferenz
gebracht werden könnnen, ist der Strahlteiler – ein Bauelement,
das aus optischen Experimenten nicht wegzudenken ist. Der Strahlteiler
ist das einfachste Beispiel für ein sogenanntes 4-Kanal-System mit
zwei Eingängen und zwei Ausgängen. So werden an einem Strahlteiler
zwei einlaufende in zwei auslaufende Felder gemischt. Ein Strahlteiler
kann durch ein (lineares) dielektrisches Vielschichtsystem realisiert
werden. Das Verhalten elektromagnetischer Strahlung an einem solchen
System wird durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben. Analog
der Herleitung der Fresnelschen Beziehungen für Reflexion und Brechung
ebener, monochromatischer Wellen an einer ebenen Grenzfläche
zweier Medien mit unterschiedlicher BrechzahllassensichBeziehungen
141

142 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
α ′ 2
Strahlteiler
r, t
α 1
′
α 1
r ′ ,t ′
α 2
für Reflexion und Transmission ebener, monochromatischer Wellen an
(Mehrschicht-)Platten herleiten. Es seien α 1 und α 2 die komplexen Amplituden
der beiden einlaufenden Moden und α 1 ′ und α′ 2 die komplexen
Amplituden der beiden auslaufenden Moden. Es ergibt sich
α 1 ′ = tα 1 + r ′ α 2 , (5.1)
α 2 ′ = rα 1 + t ′ α 2 , (5.2)
wobei t, t ′ und r, r ′ die komplexen Transmissions- und Reflexionskoeffizienten
sind. Diese Koeffizienten können aus den Parametern (Brechungsindizes
und Schichtdicken) des Strahlteilers ermittelt werden.
Im Falle eines idealen Strahlteilers, wenn sämtliche Verluste vernachlässigt
werden können, bilden die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten
eine U(2)-Matrix, 1 d.h. die unitäre Matrix
U =
( )
U11 U 12
≡
U 21 U 22
(
t r
′
r t ′ )
. (5.3)
Die Gleichungen (5.1) und (5.2) sind dann Ausdruck einer unitären
1 Die Menge aller unitären N × N-Matrizen bilden eine Lie-Gruppe der Dimension N 2 ,dieals
U(N)-Gruppe bezeichnet wird. Eine Matrix der Gruppe besitzt N 2 komplexe Matrixelemente und ist
daher durch 2N 2 reelle Zahlen charakterisiert. Berücksichtigt man weiter, daß die Unitaritätsbeziehung
als Matrixgleichung N 2 Bedingungen liefert, so bleiben 2N 2 −N 2 =N 2 unabhängige Parameter
übrig, d.h., die U(N)-Gruppe besitzt die Dimension N 2 .Diezusätzliche Bedingung det U =1 führt
auf die SU(N)-Gruppe der Dimension N 2 − 1.

5.2. QUANTENMECHANISCHE GRUNDGLEICHUNGEN 143
Transformation,
α ′ i = ∑ j
U ij α j , (U −1 ) ij = U ∗ ji (5.4)
(i, j =1, 2), die einer kanonischen Transformation entspricht und folglich
Poisson-Klammern invariant läßt. Transformationen dieses Typs
werden generell durch verlustlose 4-Kanal-Systeme realisiert und werden
i. allg. zunächst für eine Frequenzkomponente formuliert, d.h.
α i → α i (ω), U ij → U ij (ω), (5.5)
so daß das Transformationsgesetz (5.4) genaugenommen
α ′ i (ω) =∑ j
U ij (ω) α j (ω),
[
U −1 (ω) ] ij = U ji ∗ (ω) (5.6)
lautet.
5.2 Quantenmechanische Grundgleichungen
Beschränken wir uns zunächst auf den Idealfall verlustfreier Bauelemente,
der für Strahlungsfelder in einem hinreichend engen Frequenzintervall
(fern von Absorptionslinien des Materials) näherungsweise realisiert
werden kann. Die für klassische elektromagnetische Felder gültige
Transformation (5.6) läßt sich unschwer auf Quantenfelder übertragen.
Bekanntlich sind die komplexen Amplituden α i und α i ′ der einlaufenden
und auslaufenden Moden durch Photonenvernichtungsoperatoren
â i und â ′ i zu ersetzen (und entsprechend α∗ i und α′ i ∗ durch Photonenerzeugungsoperatoren
â † i und â′ i † ), und (5.6) geht in
â ′ i(ω) = ∑ j
U ij (ω)â j (ω),
[
U −1 (ω) ] ij = U ∗ ji(ω) (5.7)

144 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
über. Die unitäre Transformation sichert, daß, wenn die Operatoren
der einlaufenden Felder den bosonischen Vertauschungsrelationen
[âi (ω), â † j (ω′ ) ] = δ ij δ(ω − ω ′ ), (5.8)
[âi (ω), â j (ω ′ ) ] =0= [ â † i (ω), ↠j (ω′ ) ] (5.9)
genügen, dies auch für die Operatoren der auslaufenden Felder gilt,
[â′
i (ω), â ′ j † (ω ′ ) ] = ∑ U ik (ω)Ujl ∗ (ω′ ) [ â k (ω), â † l (ω′ ) ]
kl
= ∑ k
U ik (ω)U ∗ jk(ω)δ(ω − ω ′ )=δ ij δ(ω − ω ′ ), (5.10)
[â′
i (ω), â ′ j (ω′ ) ] =0= [ â ′ i † (ω), â ′ j † (ω ′ ) ] . (5.11)
Die Unitarität der Transformation hat ferner die Beziehung
â ′ 1 † (ω)â ′ 1(ω)+â ′ 2 † (ω)â ′ 2(ω) =â † 1 (ω)â 1(ω)+â † 2 (ω)â 2(ω) (5.12)
zur Folge, wie unschwer zu verifizieren ist. Sie besagt, daß die Anzahl
der Photonen in den einlaufenden Moden gleich der Anzahl der Photonen
in den auslaufenden Moden ist. Wie erwartet, bleibt die Photonenzahl
im Falle eines verlustlosen Strahlteilers erhalten.
Da eine N × N-Matrix der U(N)-Gruppe durch N 2 reelle Prameter
charakterisiert werden kann, haben wir es im Falle der U(2)-Gruppe mit
vier reellen Parametern zu tun. Üblicherweise wird eine Darstellung der
Form
(
)
U(ω) =e iφ(ω) T (ω) R(ω)
−R ∗ (ω) T ∗ (5.13)
(ω)
mit
T (ω) =cosθ(ω)e iφ T (ω)
R(ω) =sinθ(ω)e iφ R(ω)
(5.14)
(5.15)
verwendet (0 ≤ θ(ω) ≤ π/2). Es ist nicht schwierig, sich davon zu überzeugen,
daß U(ω) wiefolgtfaktorisiertwerdenkann:
U(ω) =e iφ(ω) U (φ +)
z (ω) U (2θ)
y (ω) U (φ −)
z (ω), (5.16)

5.2. QUANTENMECHANISCHE GRUNDGLEICHUNGEN 145
U (φ ±)
z (ω) =
U (2θ)
y (ω) =
( )
e
iφ ± (ω)/2
0
, (5.17)
0 e −iφ ±(ω)/2
( )
cos θ(ω) sinθ(ω)
(5.18)
− sin θ(ω) cosθ(ω)
[φ ± (ω)=φ T (ω) ± φ R (ω)]. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann
der Phasenparameter φ(ω) Null gesetzt werden (er ist dann gewissermaßen
in der Definition der Photonenoperatoren inbegriffen). In diesem
Fall geht (für jede Frequenzkomponente) die U(2)-Matrix in eine SU(2)-
Matrix über, d.h. eine unitäre Matrix mit der Determinante Eins. Die
Größen T (ω) undR(ω) werdeninderRegelauchTransmissions-und
Reflexionskoeffizient genannt, und es gilt
|T (ω)| 2 + |R(ω)| 2 =1. (5.19)
Durch die Gleichungen (5.7) werden die auslaufenden Felder in Relation
zu den einlaufenden Feldern gesetzt. Gleichungen dieser Art
werden auch als Input-Output-Beziehungen bezeichnet. Es ist oft
zweckmäßig, sie in der kompakten Form
â ′ (ω) =U(ω)â(ω) (5.20)
mit
U(ω)U + (ω) =U + (ω)U(ω) =I (5.21)
darzustellen, wobei hier â(ω) [bzw.â ′ (ω)] den Spaltenvektor“ mit den
”
” Komponenten“ â 1(ω) undâ 2 (ω) [bzw.â ′ 1 (ω) undâ′ 2 (ω)] bedeutet. Im
Ergebnis der gemäß (5.20) erfolgten Mischung der Felder werden sich
i. allg. auch deren quantenstatistische Eigenschaften ändern, d.h., die
auslaufenden Felder werden in anderen Zuständen präpariert sein als
die einlaufenden. Bei gegebenem Quantenzustand der einlaufenden Felder
können unter Verwendung der Input-Output-Beziehungen (5.20)
sämtliche quantenstatistischen Eigenschaften der auslaufenden Felder
bestimmt werden. Wird zusätzlich an einem der auslaufenden Felder eine
Messung durchgeführt, so wird damit nach den Gesetzen der Quantentheorie
auch der Quantenzustand des anderen auslaufenden Felds

146 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
verändert. Jedes Vierkanalsystem (und somit jeder Strahlteiler) kann
somit auch als ein Gerät zur Erzeugung von Strahlungsfeldern mit definierten
quantenstatistischen Eigenschaften angesehen werden.
Der Dichteoperator ˆϱ der einlaufenden Felder kann als Funktional
der â(ω) undâ † (ω) aufgefaßtwerden, 2
und es sei
ˆϱ =ˆϱ [ â(ω), â † (ω) ] , (5.22)
 = Â[ â(ω), â † (ω) ] (5.23)
irgendeine Größe zur Charakterisierung dieser Felder. Der Erwartungswert
der Größe lautet dann
{
〈Â〉 =Tr(ˆϱÂ) =Tr ˆϱ [ â(ω), â † (ω) ] Â [ â(ω), â † (ω) ]} . (5.24)
Die Spurbildung wird im Hilbert-Raum der Modenoperatoren â(ω)
vollzogen. Bezüglich der auslaufenden Felder wird die betrachtete
Größe durch den Operator
 ′ = Â[ â ′ (ω), â ′† (ω) ] (5.25)
beschrieben, und der Erwartungswert lautet
〈Â′ 〉 =Tr (ˆϱÂ′) {
=Tr ˆϱ [ â(ω), â † (ω) ] Â [ â ′ (ω), â ′† (ω) ]} , (5.26)
wobei â ′ (ω) [undâ ′† (ω)] in Â[â′ (ω), â ′† (ω)] gemäß (5.20) durch â(ω)
[und â † (ω)] auszudrücken ist. Die Spurbildung kann wiederum im
Hilbert-Raum der Modenoperatoren â(ω) ausgeführt werden.
5.3 Operator- und Zustandstransformation
Die Transformation der Modenoperatoren gemäß (5.20) kann in der
Form
â ′ (ω) =Û † â(ω)Û (5.27)
2 Im Falle diskreter Moden ist ˆϱ eine gewöhnliche Funktion der entsprechenden Operatoren.

5.3. OPERATOR- UND ZUSTANDSTRANSFORMATION 147
(Û −1 =Û † )geschriebenwerden,wobeiderunitäre Operator Û ein Funktional
der Modenoperatoren ist,
Û = Û[ â(ω)â † (ω) ] , (5.28)
und es läßt sich zeigen, daß
Û in der Form
{ ∫ ∞
Û =exp − i dω [ â † (ω) ] }
T
Φ(ω) â(ω)
0
(5.29)
(T -transponieren)darstellbarist,wobeidiehermitescheMatrixΦ
hängt mit der unitären Matrix U über die Beziehung
exp[−iΦ(ω)] = U(ω) (5.30)
zusammen hängt.
Mit (5.27) kann (5.25) als
 ′ = Â[ â ′ (ω), â ′† (ω) ] = Â[ Û † â(ω)Û,Û † â † (ω)Û]
= Û † Â [ â(ω), â † (ω) ] Û (5.31)
geschrieben werden, d.h., Anwenden von Û † auf  liefert Â′ ,
 ′ †
= Û ÂÛ. (5.32)
Damit kann die Gleichung (5.26) zur BerechnungdesErwartungswerts
von Â′ in die Form
〈Â′ 〉 =Tr (ˆϱÂ′) =Tr (ˆϱÛ † ÂÛ) =Tr ( Û ˆϱÛ † Â ) (5.33)
gebracht werden, wobei berücksichtigt wurde, daß innerhalb der Spur
zyklisch vertauscht werden darf. Anstatt den Operator  zu transformieren
und den Erwartungswert mit dem Dichteoperator ˆϱ zu berechnen,
wie dies in (5.26) geschieht, ergibt sich das gleiche Ergebnis, wenn
der Operator  ungeändert bleibt und der Dichteoperator ˆϱ gemäß
ˆϱ ′ = Û ˆϱÛ † =ˆϱ [ Ûâ(ω)Û † , Û↠(ω)Û †] (5.34)

148 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
transformiert wird:
〈Â′ 〉 =Tr (ˆϱ ′ Â ) . (5.35)
Wir können also die Erwartungswerte von Größen der einlaufenden
Felder gemäß Gleichung (5.24) und die Erwartungswerte der entsprechenden
Größen der auslaufenden Felder gemäß Gleichung (5.35) berechnen,
wobei in beiden Fällen der gleiche Operator  zuständig ist,
jedoch die Mittelungsprozeduren mit unterschiedliche Dichteoperatoren
durchzuführen sind. Im ersten Fall haben wir den Dichteoperator
ˆϱ in ≡ ˆϱ der einlaufenden Felder zu verwenden und im zweiten Fall den
Dichteoperator ˆϱ out ≡ ˆϱ ′ der auslaufenden Felder. Sind die einlaufenden
Felder speziell in einem reinen Zustand präpariert,
ˆϱ = |Ψ〉〈Ψ|, (5.36)
liegen die auslaufenden Felder ebenfalls in einem reinen Zustand vor,
d.h.
ˆϱ ′ = |Ψ ′ 〉〈Ψ ′ | (5.37)
mit
|Ψ ′ 〉 = Û|Ψ〉. (5.38)
Wir wollen noch eine Formel für die Zustandstransformation angeben,
die direkt von der U(2)-Matrix Gebrauch macht. Gemäß (5.20) und
(5.27) gilt
Ûâ(ω)Û † =(Û −1 ) † â(ω)Û −1 = U −1 (ω)â(ω) =U + (ω)â(ω) (5.39)
Wir setzen (5.39) in (5.34) ein und erhalten den Dichteoperator der
auslaufenden Felder in der Form:
ˆϱ ′ =ˆϱ [ U + (ω)â(ω), U T (ω)â † (ω) ] (5.40)
Die beiden Varianten zur Berechnung von quantenmechanischen
Erwartungswerten von Größen der auslaufenden Felder sind völlig
gleichberechtigt und liefern identische Ergebnisse. Welche Variante
bei praktischen Rechnungen effektiver zum Ziel führt, ist vom speziellen
Problem abhängig. Die Situation ist ähnlich derjenigen der

5.3. OPERATOR- UND ZUSTANDSTRANSFORMATION 149
Zeitabhängigkeit von Operatoren und Zuständen im Heisenberg-Bild
und im Schrödinger-Bild. Während im Heisenberg-Bild die Operatoren
einer (unitären) Zeitentwicklung unterliegen und der Dichteoperator
sich zeitlich nicht ändert, liegt im Schrödinger-Bild gerade der umgekehrte
Fall vor.
Für praktische Zwecke wird in der Regel eine diskrete Beschreibungsweise
der ein- und auslaufenden Felder bevorzugt. Zu diesem
Zweck kann beispielsweise die Frequenzachse in hinreichend kleine Intervalle
der Mittenfrequenzen ω m und Breiten ∆ω m unterteilt werden,
und es können dementsprechend diskrete Modenoperatoren
â m = √ ∆ω m â(ω m ) (5.41)
für die einlaufenden Felder und diskrete Modenoperatoren â ′ m für die
auslaufenden Felder definiert werden. Jedes Paar der Operatoren â m
and â ′ m ist dann gemäß (5.20) durch die Input-Output-Beziehung
â ′ m = U mâ m (5.42)
miteinander verknüpft. Entsprechend (5.29) und (5.30) kann der
unitäre Operator Û dann in der Form
Û = ∏ m
Û m (5.43)
geschrieben werden, wobei
[ ]
Û m =exp − i(â † m )T Φ m â m
(5.44)
mit Φ m = Φ(ω m )gilt.Esistklar,daßdasKonzeptdiskreterModen
auch im Falle nichtmonochromatischer Moden anwendbar ist, falls sie
sich über (nunmehr endliche) Frequenzintervalle erstrecken, in denen
die Transmissions- und Reflektionskoeffizienten als (näherungsweise)
konstant angesehen werden dürfen.
Jede Matrix U m kann gemäß (5.16) – (5.18) zerlegt werden. Entsprechend
kann der unitären Operator Ûm zerlegt werden. Im einfachsten
Fall von 1-Moden-Feldern in den beiden Eingängen (m =1) kann
er in der Form
(
Û = exp iφ ˆN
)
)
exp
(iφ + ˆLz
exp
(2iθ ˆL
)
y
)
exp
(iφ − ˆLz , (5.45)

150 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
faktorisiert werden, wobei ˆN =ˆn1 +ˆn 2 und 3
ˆL y = 2i(â†
1 1â2 − â † 2â1)
, (5.46)
ˆL z = 1 2(â†
1â1 − â † )
2â2
(5.47)
gilt. Die Zerlegung (5.45) läßt sich natürlich noch weiter faktorisieren.
So kann man zeigen, daß folgende, für praktische Rechnungen nützliche
Beziehung gilt:
Û = ( e iφ T )ˆn 1
exp ( − e iφ R ∗ â † 2â1)
exp
(
e −iφ Râ † 1â2)
(e −iφ T ) −ˆn 2
. (5.48)
5.4 Phasenraumfunktionen
Die Transformationsformel (5.40) ist besonders nützlich, wenn
der Quantenzustand im Phasenraum dargestellt wird. Es seien
P [α(ω), α ∗ (ω); s] und P ′ [α(ω), α ∗ (ω); s] die s-parametrisierte Phasenraumfunktionen
(genauer Phasenraumfunktionale) der einlaufenden
und auslaufenden Felder (Abschnitt 3.2), 4 und gesucht ist der Zusammenhang
zwischen beiden. Wir wollen annehmen, daß der Dichteoperator
der einlaufenden Felder, der zunächst in irgendeiner Form als Funktional
der Operatoren â(ω) undâ † (ω) gegebenist,ineines-geordnete
Form gebracht worden ist, was wir durch die Schreibweise
ˆϱ =ˆϱ [ â(ω), â † (ω) ]∣ ∣
s
(5.49)
andeuten wollen. Das heißt, die rechte Seite dieser Gleichung ist als
Funktional der Operatoren â(ω) undâ † (ω) soaufgeschrieben,daßdiese
s-geordnet sind. Ersetzen wir nun die Operatoren â(ω) undâ † (ω)
durch c-Zahlen α(ω) undα ∗ (ω), erhalten wir das dem Dichteoperator
der einlaufenden Felder zugeordnete c-Zahlfunktional ϱ[α(ω), α ∗ (ω); s]
in s-Ordnung. Den s-geordneten Dichteoperator der auslaufenden Felder
finden wir dann sehr einfach, da auf der rechten Seite der Gleichung
3 Beachte, daß ˆL y , ˆL z und ˆL x =(â † 1â2 +â † 2â1)/2 dieErzeugendenderSU(2)-Gruppesindund
den Vertauschungsregeln für Drehimpulsoperatoren genügen ( =1). Der Operator ˆL 0 = ˆN/2vervollständigt
sie zu den Erzeugenden der U(2)-Gruppe.
4 Um die Transformationsvorschrift zu verdeutlichen, geben wir hier im Gegensatz zum Abschnitt
3.2 auch α ∗ als Argument an.

5.5. SPEZIELLE ZUSTÄNDE 151
(5.40) die Operatoren â(ω)undâ † (ω)gemäß der Vorschrift (5.40) transformiert
werde können, ohne die s-Ordnung zu verletzen,
ˆϱ ′ =ˆϱ [ U + (ω)â(ω), U T (ω)â † (ω) ]∣ ∣
s
. (5.50)
Ersetzen wir hier die Operatoren â(ω) undâ † (ω) wiederdurchc-Zahlen
α(ω)undα ∗ (ω), erhalten wir das dem Dichteoperator der auslaufenden
Felder zugeordnete c-Zahlfunktional ϱ ′ [α(ω), α ∗ (ω); s]ins-Ordnung, so
daß
ϱ ′[ α(ω), α ∗ (ω); s ] = ϱ [ U + (ω)α(ω), U T (ω)α ∗ (ω); s ] (5.51)
gilt. Damit gelangen wir wegen (3.72) zu dem Transformationsgesetz:
P ′[ α(ω), α ∗ (ω); s ] = P [ U + (ω)α(ω), U T (ω)α ∗ (ω); s ] (5.52)
5.5 Spezielle Zustände
Wir wollen einige einfache Anwendungen diskutieren und für speziell
präparierte 1-Moden-Felder in den Eingangskanälen die Quantenstatistik
der auslaufenden Felder untersuchen.
1. Der einfachste Fall ist der, daß die einlaufenden Felder in Glauber-
Zuständen präpariert sind, so daß gemäß (2.66)
[ 2∑
|Ψ〉 = |α 1 , α 2 〉 =exp (α i â † i − α∗ i âi)
i=1
]
|0, 0〉 (5.53)
gilt. Der Zustand |Ψ ′ 〉 der auslaufenden Felder ist wieder ein
Glauber-Zustand, wie die folgende Rechnung zeigt. Wir berücksichtigen,
daß Û|0, 0〉=|0, 0〉 ist und finden unter Anwendung der

152 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
Transformationsvorschrift (5.39)
|Ψ ′ 〉 = Û|α 1, α 2 〉 = Û exp [ ∑
i
(
α i â † i − α∗ i âi) ] Û † Û|0, 0〉
[ ∑
=exp
i
=exp
[ ∑
i
[ ∑
=exp
j
(
α i Ûâ † iÛ† − α ∗ i Ûâ iÛ † ) ] |0, 0〉
∑ (α i j U jiâ † j − ∑
α∗ i j jiâj) ]
U ∗ |0, 0〉
(
α ′ j↠j − α′ j ∗ â j
) ] |0, 0〉, (5.54)
d.h.
|Ψ ′ 〉 = |α 1 ′ , α′ 2 〉, (5.55)
wobei die komplexen Amplituden α j
′ des Glauberzustands der
auslaufenden Felder durch
α ′ j = ∑ i
U ji α i (5.56)
gegeben sind. Glauber-Zustände werden also in Glauberzustände
transformiert, wobei die komplexen Amplituden nach exakt der
gleichen Vorschrift transformiert werden wie die komplexen Amplituden
klassischer Felder [vgl. (5.56) mit (5.4)]. Im Falle von
Glauberzuständen entspricht also die Wirkung eines Strahlteilers
genau den Vorstellungen von der Wellennatur elektromagnetischer
Strahlung.
2. Wir wollen als nächstes annehmen, daß die einlaufende Mode im
Kanal 1 in einem Fock-Zustand mit n Photonen präpariert ist
und der zweite Eingangskanal ungenutzt ist (Vakuumzustand).
Der Quantenzustand der einlaufenden Felder lautet somit
und der Zustand der auslaufenden Felder ist
|Ψ〉 = |n, 0〉, (5.57)
|Ψ ′ 〉 = Û|n, 0〉. (5.58)

5.5. SPEZIELLE ZUSTÄNDE 153
Mit
Û aus (5.48) (φ =0) folgt zunächst
|Ψ ′ 〉 = T ˆn 1
e −R∗ â † 2â1
|n, 0〉 (5.59)
und nach Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion [und
Anwendung der Relationen (2.20) und (2.21)]
n∑
( ) 1/2 n
|Ψ ′ 〉 =
(−R ∗ ) k T n−k |n − k, k〉. (5.60)
k
k=0
Der Zustand |Ψ ′ 〉 enthält erwartungsgemäß (keine Verluste!) nur
solche Fock-Zustände, für die die Gesamtzahl der Photonen in
den beiden Ausgangskanälen erhalten bleibt und gleich der Anzahl
n der einlaufenden Photonen ist. Aus der Gleichung (5.60)
ist zu ersehen, daß sich für die Wahrscheinlichkeit, k reflektierte
Photonen und entsprechend n − k transmittierte Photonen zu
beobachten eine Binomialverteilung ergibt,
( n
p n−k,k = |R|
k)
2k |T | 2(n−k) . (5.61)
Dieses Ergebnis kann unter Zugrundelegung des Teilchenbilds rein
klassisch derart interpretiert werden, 5 daß n Photonen auf den
Strahlteiler treffen und jedes mit der Wahrscheinlichkeit |R| 2 reflektiert
und mit der Wahrscheinlichkeit |T | 2 =1− |R| 2 transmittiert
wird und sich somit die Wahrscheinlichkeit für die Reflexion
bzw. Transmission von m ≤ n Photonen nach dem Bernoulli-
Schema als Binomialverteilung ergibt. 6
3. Betrachten wir nunmehr den Fall, daß die zwei einlaufenden Moden
in den speziellen Fock-Zuständen mit jeweils einem Photon
angeregt sind,
|Ψ〉 = |1, 1〉. (5.62)
5 Ungeachtet einer solchen Interpretation ist der Zustand (5.60) als verschränkter Zustand extrem
nichtklassisch (siehe Kapitel 7).
6 Ein gewisser Versuch werde n mal wiederholt. Dabei mögen die Einzelversuche der Serie voneinander
unabhängig sein. In jedem Einzelversuch möge ein gewisses Ereignis A eintreten können oder
nicht, und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A im Einzelversuch sei unabhängig von der
Nummer des Versuchs gleich p. DieWahrscheinkichkeit,daßdasEreignisk mal eintritt (k ≤ n), ist
p (n)
k
= ( n
k)
p k (1 − p) n−k .

154 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
Wir verwenden wieder Û aus (5.48) (φ =0) und finden (mittels
Potenzreihenentwicklung der Exponentialoperatoren) nach einer
kurzen Rechnung für den Zustand der auslaufenden Felder
|Ψ ′ 〉 =(1− 2|R| 2 )|1, 1〉 + √ 2RT |2, 0〉− √ 2R ∗ T ∗ |0, 2〉, (5.63)
woraus die Wahrscheinlichkeiten
p 1,1 = ( 1 − 2|R| 2) 2
(5.64)
und
p 0,2 = p 2,0 =2|T | 2 |R| 2 = 1 2 (1 − p 1,1) (5.65)
folgen. Erwartungsgemäß gilt wieder Photonenzahlerhaltung.
Überraschend ist allerdings, daß sich im Fall eines 50%:50%-
Strahlteilers (d.h. |R| 2 = |T | 2 =1/2) für die Wahrscheinlichkeit
p 1,1 unabhängig von den Phasen von R und T der Wert Null
ergibt. Beide Photonen können also nur den gleichen Ausgang
benutzen – ein Ergebnis, das im Rahmen eines klassischen Teilchenbilds
schwer verständlich ist. Es läßt sich unschwer für den
Fall verallgemeinern, daß die einlaufenden Moden in einem Fock-
Zustand
|Ψ〉 = |n, n〉 (5.66)
mit beliebigem n präpariert sind. Die Rechnung zeigt, daß im
Falle eines 50%:50%-Strahlteilers jede der auslaufenden Moden
nur eine gerade Anzahl von Photonen enthalten kann,
|Ψ ′ 〉 =
n∑
c k |2k, 2n − 2k〉. (5.67)
k=0
Mit anderen Worten, die Photonen können nur paarweise die
Ausgänge des Strahlteilers passieren.
4. Ein anderes interessantes Beispiel ist der Durchgang einer
Schrödinger-Katze durch einen Strahlteiler. Dazu nehmen wir an,
daß eine der einfallenden Moden in einem Zustand
|α + 〉 = N −1/2 (|α〉 + |−α〉) (5.68)

5.5. SPEZIELLE ZUSTÄNDE 155
mit
(
N =2 1+e −2|α|2) (5.69)
präpariert ist und der zweite Eingangskanal ungenutzt bleibt. Der
betrachtete Zustand der einlaufenden Felder lautet somit
|Ψ〉 = |α + , 0〉. (5.70)
Das Bemerkenswerte an dem Zustand |α + 〉 ist, daß es sich bei der
kohärenten Überlagerung zweier Glauber-Zustände |α〉 und |−α〉
um einen Zustand handelt, in dem mit wachsendem |α| die beiden
Zustände makroskopisch unterscheidbar werden. Mit anderen
Worten, für hinreichend großes |α| liegt also eine kohärente Überlagerung
makroskopisch unterscheidbarer Zustände vor. Obwohl
dies nach den Regeln der Quantemechanik möglich ist, kann man
erwarten, daß solche Zustände sehr empfindlich auf Umgebungseinflüsse
reagieren, die Quantenkohärenzen nach extrem kurzen
Zeiten zerfallen (Dekohärenz) und inkohärente Mischungen übrigbleiben.
Dieser Effekt kann mit dem Strahlteiler sehr anschaulich
modelliert werden, wobei die Kopplung an den ungenutzten Kanal
gewissermaßen die Rolle der erwähnten Umgebungskopplung
spielt.
Wir wenden die Transformationsvorschrift (5.55) [zusammen mit
(5.56)] auf die Glauber-Zustände des Überlagerungszustands |Ψ〉
in (5.70) an und erhalten für den Zustand der auslaufenden Moden
7
|Ψ ′ 〉 = Û|α +, 0〉 = N −1/2 (|T α, −R ∗ α〉 + |−T α,R ∗ α〉) . (5.71)
Wir interessieren uns speziell für den Zustand der transmittierten
Mode, der durch den Dichteoperator
ˆϱ T =Tr 2 (|Ψ ′ 〉〈Ψ ′ |) (5.72)
bestimmt wird (Spurbildung bezüglich der Mode im zweiten Ausgangskanal).
Wir setzen |Ψ ′ 〉 aus (5.71) in (5.72) ein und erhalten
7 Man beachte, daß der Vakuumzustand als Glauber-Zustand mit der Amplitude Null angesehen
werden kann.

156 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
zunächst
und mit (2.82)
ˆϱ T = N −1 (|T α〉〈T α| + | − T α〉〈−T α|
+ |T α〉〈−T α|〈R ∗ α| − R ∗ α〉
+ | − T α〉〈T α|〈−R ∗ α|R ∗ α〉) (5.73)
ˆϱ T = N −1[ |T α〉〈T α| + |−T α〉〈−T α|
]
+ e −2|Rα|2 (|T α〉〈−T α| + |−T α〉〈T α|) . (5.74)
Im Grenzfall |T |→1 (|R|→0) geht ˆϱ T in (5.74) erwartungsgemäß
in den Zustand |α + 〉 in (5.68) über, d.h, unsere Schrödinger Katze
kann ungehindert passieren. Der in der runden Klammer in (5.74)
stehende Interferenzterm (der geradeAusdruckeinerkohärenten
Überlagerung ist) bleibt voll erhalten. Dies kann sich bereits dramatisch
ändern, wenn |T | etwas kleiner als Eins ist und Reflexionsverluste
∼ e −2|Rα|2 berücksichtigt werden müssen. Mit wachsendem
|α| geht dieser Exponentialfaktor für jedes noch so kleine
(von Null verschiedene) |R| gegen Null, so daß im Falle makroskopischer
|α|-Werte der Interferenzterm schnell bedeutungslos
werden kann und nur die inkohärente Mischung
übrigbleibt.
ˆϱ T = N −1 (|T α〉〈T α| + | − T α〉〈−T α|) (5.75)
5. Wir wollen annehmen, daß eine der Eingangsmoden (Signalmode)
in einem nicht näher spezifizierten Zustand ˆϱ 1 präpariert ist
und die zweite Eingangsmode (Referenzmode) in einem Glauberzustand
|α 2 〉 vorliegt, so daß der Zustand der einlaufenden Felder
insgesamt
ˆϱ =ˆϱ 1 |α 2 〉〈α 2 | (5.76)
lautet. Ferner nehmen wir an, daß in den beiden Ausgängen
des Systems Photonenzahlmessungen durchgeführt werden (Kapitel
4). Die mittleren Anzahlen von Photonen in den beiden Ausgangskanälen
sind unschwer zu berechnen. Mit (5.7) und (5.13)

5.6. VERLUSTBEHAFTETE SYSTEME 157
(φ =0) erhalten wir
〈â ′ 1 † â ′ 1 〉 = |T |2 〈â † 1â1〉+|R| 2 〈â † 2â2〉+T ∗ R〈â † 1â2〉+TR ∗ 〈â † 2â1〉, (5.77)
〈â ′ 2 † â ′ 2〉 = |R| 2 〈â † 1â1〉+|T | 2 〈â † 2â2〉−T ∗ R〈â † 1â2〉−TR ∗ 〈â † 2â1〉, (5.78)
woraus für die Differenz der mittleren Photonenzahlen
∆n ′ 12 = 〈â ′ 1 † â ′ 1〉−〈â ′ 2 † â ′ 2〉
= ( |T | 2 − |R| 2)( 〈â † 1â1〉−〈â † 2â2〉 )
+2|T ||R| ( e −i(φ R−φ T ) 〈â † 2â1〉 + e i(φ R−φ T ) 〈â † 1â2〉 ) (5.79)
folgt, d.h. speziell im Falle des Zustands (5.76)
wobei
∆n ′ 12 = ( |T | 2 −|R| 2)( 〈â † 1â1〉−|α 2 | 2 )
+2|T ||R||α 2 | ( e −iϕ 〈â 1 〉 + e iϕ 〈â † 1 〉) , (5.80)
ϕ = φ R − φ T + ϕ α2 (5.81)
ist. Wird speziell ein halbdurchlässiger Strahlteiler verwendet,
(|T | 2 = |R| 2 =1/2), verschwindet der erste Term in (5.80), und
der gemessene Mittelwert der Photonenzahldifferenz geht in
∆n ′ 12 = |α 2 | 〈 e −iϕ â 1 + e iϕ â † 〉
1
(5.82)
über, d.h., er liefert den Mittelwert einer Feldstärke der Signalmode:
ˆF 1 = C 1 â 1 + C ∗ 1â † 1 (5.83)
[C 1 = |α 2 |e −iϕ ;siehe(2.35)].DieMeßanordnunggestattetalsodie
direkte Messung von Feldstärkemittelwerten einer Mode. Wie wir
noch sehen werden (Abschnitt 6.1.2) gestattet die Meßanordnung
(für |α 2 | →∞)dieMessungderkomplettenFeldstärkestatistik.
5.6 Verlustbehaftete Systeme
Wie bereits betont, setzt die U(2)- bzw. SU(2)-Transformation voraus,
daß von Verlusten abgesehen werden kann. Nur in diesem Fall sind

158 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
die Input-Output-Beziehungen (5.20) gültig. Da für verlustbehaftete
Systeme |T (ω)| 2 +|R(ω)| 2

5.6. VERLUSTBEHAFTETE SYSTEME 159
Weise ausgedrückt werden, wobei für verschwindenden Imaginärteil
von ε(r, ω)diecharakteristischeAbsorptionsmatrixA(ω) ebenfallsverschwindet
[und somit (5.84) in (5.20) übergeht],
Im ε(r, ω) → 0 ❀ A(ω) → 0. (5.86)
Die Input-Output-Beziehungen (5.84) können verwendet werden,
um Momente und Korrelationen der auslaufenden Felder aus den entsprechenden
Größen der einlaufenden Felder einschließlich der des
Geräts zu berechnen und somit die Statistik der auslaufenden Felder
aus der (Verbund-)Statistik der einlaufenden Felder und der Gerätegrößen
zu bestimmen. Wir wollen auch hier wieder nach der Zustandstransformation
fragen, die der Operatortransformation (5.84) entspricht.
Es ist klar, daß es nicht möglich ist, einen unitären Transformationsoperator
im Hilbert-Raum der Felder zu finden, sondern
wir müssen den Hilbert-Raum um die Gerätefreiheitsgrade erweitern.
Wir definieren zunächst den Vierervektor“ ˆb mit den Komponenten“
” ” ˆb1 =â 1 , ˆb 2 =â 2 , ˆb 3 =ĝ 1 , ˆb 4 =ĝ 2 ,ergänzen â ′ zu ˆb ′ mit ˆb ′ 1 =â′ 1 , ˆb ′ 2 =â′ 2 ,
ˆb′ 3 =ĝ 1, ′ ˆb ′ 4 =ĝ 2 ′ und ergänzen dementsprechend die Gleichungen (5.84)
zu
ˆb ′ (ω) =U(ω) ˆb(ω) (5.87)
wobei U(ω) nunmehr eine unitäre 4×4-Matrix ist, d.h.
U(ω)U + (ω)=I. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann
die Matrix U(ω) (für jedes ω) alseinElementderSU(4)-Gruppeaufgefaßt
und durch die Matrizen T (ω) und A(ω) wiefolgtausgedrückt
werden: 8
(
)
T (ω)
A(ω)
U(ω) =
−S(ω)C −1 (ω)T (ω) C(ω)S −1 (ω)A(ω)
(5.88)
8 L. Knöll, S. Scheel, E. Schmidt, D.-G. Welsch, A.V. Chizhov, Phys. Rev. A 59, 4716(1999).
Der Übergang von der U(4)-Transformation zur SU(4)-Transformation entspricht wieder einer Umdefinition
(bezüglich der Phasen) der Operatoren â und ĝ.

160 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME
C(ω) =
√
T (ω)T + (ω) (5.89)
S(ω) =
√
A(ω)A + (ω) (5.90)
Es ist klar, daß die Gleichungen (5.87) [zusammen mit (5.88)] die Input-
Output-Beziehungen (5.84) enthalten, und es ist nicht schwierig sich
davon zu überzeugen, daß U(ω) eineunitäre Matrix ist.
Die Transformation (5.87) kann wieder als unitäre Operatortransformation
ˆb ′ = Û † ˆb Û (5.91)
geschrieben werden, wobei sich der unitäre Operator Û völlig analog
zu (5.28) – (5.30) darstellen läßt [â(ω) → ˆb(ω), Φ(ω) → 4 × 4-Matrix,
U(ω)gemäß (5.88)]. Auch hier ist es natürlich wieder möglich zu diskretisieren,
und zwar völliger Analogie zu dem im Abschnitt 5.3 Gesagten.
Zustandstransformation
Um sofort den Quantenzustand der auslaufenden Felder zu erhalten, ist
es wieder zweckmäßig, die Operatoren ungeändert zu lassen und den
Zustand zu transformieren. Dies kann in völliger Analogie zu (5.34) geschehen.
Um den Zustand der Felder zu erhalten, muß dann natürlich
[im Gegensatz zu (5.34)] noch über das Gerät abgespurt werden (Symbol
Tr D ):
ˆϱ ′ =ˆϱ ′[ˆb(ω), ˆb† (ω) ] =ˆϱ [ U + (ω)ˆb(ω), U T (ω)ˆb † (ω) ] , (5.92)
Phasenraumfunktionen
{
ˆϱ ′ F =Tr D ˆϱ [ U + (ω)ˆb(ω), U T (ω)ˆb † (ω) ]} . (5.93)
Dementsprechend ergibt sich für den Zusammenhang der s-parametrisierten
Phasenraumfunktionale der auslaufenden Felder und der ein-

5.6. VERLUSTBEHAFTETE SYSTEME 161
laufenden Felder
P F[ ′ α(ω), α ∗ (ω); s ] ∫
= Dγ P ′[ β(ω), β ∗ (ω); s ]
∫
= Dγ P [ U + (ω)β(ω), U T (ω)β ∗ (ω); s ] (5.94)
(β 1 = α 1 , β 2 = α 2 , β 3 = γ 1 , β 4 = γ 2 ;dieγ i sind die Phasenraumvariablen
des Geräts). Integration des [analog zu (5.52) konstruierten] Phasenraumfunktionals
des Gesamtsystems über das Gerät liefert also das
Phasenraumfunktional der auslaufenden Felder.
Beispiel: Glauber-Zustände
Zwei einlaufende Wellen mögen in Glauber-Zuständen präpariert sein,
und wir wollen annehmen, daß die Geräteanregungen ebenfalls in
Glauber-Zuständen präpariert sind. Der Eingangszustand des Gesamtsystems
lautet somit
Der Ausgangszustand
|Ψ〉 = |β〉 ≡|α 1 , α 2 , γ 1 , γ 2 〉. (5.95)
|Ψ ′ 〉 = Û|β〉 (5.96)
ist dann offensichtlich wieder ein kohärenter Zustand,
|Ψ ′ 〉 = |β ′ 〉, β ′ = Uβ, (5.97)
und die beiden auslaufenden Felder sind ebenfalls in Glauberzuständen
präpariert:
ˆϱ ′ F = |α′ 〉〈α ′ |, α ′ = T α + Aγ. (5.98)
Die kohärenten Amplituden α i ′ der auslaufenden Felder sind also nicht
nur durch die charakteristiische Transformationsmatrix bestimmt, sondern
auch durch die charakteristische Absorptionsmatrix.

162 KAPITEL 5. OPTISCHE 4-KANAL-SYSTEME

Kapitel 6
Quantenzustandsmessung
Reine Zustände eines Quantenobjekts werden üblicherweise durch auf
Eins normierte Vektoren |Ψ〉 in dem dem Quantenobjekt entsprechenden
Hilbert-Raum beschrieben. Im allgemeineren Falle eines statistischen
Gemisches von (reinen) Zuständen |Ψ〉 mit Wahrscheinlichkeiten
p Ψ tritt anstelle des Zustandsvektors bekanntlich der statistische Operator
ˆϱ = ∑ p Ψ |Ψ〉〈Ψ|. (6.1)
Ψ
Der Hilbert-Raum des Objekts wird üblicherweise durch einen Satz
orthonormierter Basisvektoren |A〉 aufgespannt, die die Eigenvektoren
(Eigenzustände) von hermiteschen Operatoren  darstellen, wobei diese
einen vollständigen Satz veträglicher (d.h. gleichzeitig scharf meßbarer)
physikalischer Größen (Observablen) des Objekts repräsentieren. 1
Die Eigenwerte A der Operatoren  stellen dabei die möglichen Meßwerte
dar. 2
In diesem Zusammenhang muß sorgfältig zwischen einer Einzelmessung
und einer Ensemblemessung (d.h.einerhinreichendgroßenAnzahl
von Einzelmessungen an identisch präparierten Objekten) unterschieden
werden. Wird eine Einzelmessung an dem (in einem unbekannten
Quantenzustand vorliegenden) Objekt vorgenommen, geht der Zustand
des Objekts (entsprechend dem von-Neumannschen Projektionspostu-
1 Wir schreiben der Einfachheit  und A, ohne den vollständigen Satz von Größen näher zu
spezifizieren.
2 Hierbei wird angenommen, daß die Messung fehlerfrei ist, was bei praktischen Messungen
natürlich immer nur näherungsweise der Fall ist.
163

164 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
lat) in einen Zustand |A〉 über und der entsprechende Eigenwert A
wird als Meßwert registriert, wobei das Ergebnis der Messung völlig
unvorhersagbar ist. Wenn nach dieser Messung nochmals am gleichen
Objekt gemessen wird, ist das Ergebnis nunmehr exakt voraussagbar –
der gleiche Meßwert wie in der ersten Messung wird registriert.
Wird die Messung hinreichend oft an jeweils identisch präparierten
Objekten durchgeführt, so strebt mit wachsender Anzahl der Messsungen
die relative Häufigkeit, mit der ein bestimmter Meßwert A registriert
wird, gegen 〈A|ˆϱ|A〉, dementsprechendenDiagonalmatrixelement
des Dichteoperators. Wird 〈A|ˆϱ|A〉 für alle Werte von A gemessen,
ist die Statistik der den vollständigen Satz bildenden physikalischen
Größen bekannt.
Um den Quantenzustand vollständig zu kennen, bedarf es natürlich
der Bestimmung aller Dichtematrixelemente 〈A|ˆϱ|A ′ 〉.Sosindinsbesondere
die Nichtdiagonalelemente ganz wesentlich für die Bestimmung der
Statistik von solchen Sätzen von Observablen ˆB, dienichtmit verträglich
sind ([Â, ˆB] ≠0). Natürlich kann die Statistik von ˆB – ähnlich
wie die Statistik von  –auchdirektdurchMessungderDiagonalelemente
〈B|ˆϱ|B〉 bestimmt werden. Neben  und ˆB können nun weitere
Sätze von Observablen betrachtet werden, die mit den vorherigen nicht
verträglich sind, und Messungen der entsprechenden Diagonalelemente
des Dichteoperators durchgeführt werden. 3 Es stellt sich die bereits
1933 von Pauli aufgeworfene Frage, 4 welche und wie viele nichtverträgliche
Observablen gemessen werden müssen, um aus den erhaltenen
Verteilungen auf den vollständigen Quantenzustand (alsobeispielsweise
Diagonal- und Nichtdiagalonalelemente des Dichteoperators in einer
gegebenen orthogonalen Basis) schließen zu können.
Im wesentlichen kann zwischen zwei Strategien zur Bestimmung
des Quantenzustands aus experimentellen Daten unterschieden werden.
Zum einen kann wie oben angedeutet verfahren werden. In einer
Serie von Ensemblemessungen werden der Reihe nach die Verteilungen
von miteiander nicht verträglichen vollständigen Sätzen von jeweils
verträglichen Observablen des Objekts vermessen, die in ihrer Gesamt-
3 Es ist i. allg. nicht trivial, für einen gegebenen Satz von verträglichen Observablen eine realisierbare
Meßanordnung zu finden.
4 W. Pauli, in: Handbuch der Physik, Band 24, Teil 1, Herausgeber H. Geiger und K. Scheel
(Springer-Verlag, Berlin, 1933).

165
heit die vollständige Information über den Quantenzustand des Objekts
enthalten. 5 Ein typisches Beispiel sind die Feldstärkeverteilungen einer
Strahlungsfeldmode p(F, ϕ) = 〈F, ϕ|ˆϱ|F, ϕ〉 für alle Phasenparameter
ϕ in einem π-Interval. Wie wir sehen werden (Abschnitt 6.2.2), ist ihre
Kenntnis völlig äquivalent der Kenntnis des Quantenzustands der
Mode.
Zum anderen kann versucht werden, das Objekt an ein zweites
System mit bekanntem Quantenzustand derart zu koppeln, daß die
Messsung von Observablen des Gesamtsystems der ”
gleichzeitigen“
Messung nichtverträglicher Observablen des Objekts entspricht. In diesem
Fall kann die Anzahl der Observablen (des Gesamtsystems), die in
einer Folge von Ensemblemessungen gemessen werden müssen, unter
Umständen drastisch reduziert werden, jedoch zu Lasten der Schärfe
der Objektobservablen. Im Ergebnis der Kopplung des Objekts an das
zweite System verrauschen gewissermaßen die zunächst nicht verträglichen
Objektobservablen derart, daß sie nunmehr zwar gleichzeitig meßbar
sind, das Objekt jedoch nicht mehr ”
scharf“ abbilden. Ein typisches
Beispiel ist die Q-Funktion einer Strahlungsfeldmode Q(α) =
π −1 〈α|ˆϱ|α〉, diealsPhasenraumfunktioneinRepräsentant des Quantenzustands
ist (Kapitel 3) und als Verbundwahrscheinlichkeit für verrauschtes
(â+â † )/2(Ort)undverrauschtes(â−â † )/(2i)(Impuls)angesehen
werden kann. Wie wir sehen werden (Abschnitt 6.1.3), erfordert
ihre Bestimmung nur eine Ensemblemessung.
Wir werden uns im folgenden im wesentlichen auf Quantenzustände
von optischen Einmodenfeldern beschränken und in diesem Zusammenhang
laufende Wellen vor Augen haben. Die grundlegenden theoretischen
Konzepte sind sinngemäß natürlich auch auf Resonatorfelder und
materielle Systeme anwendbar (wir werden gegebenenfalls darauf hinweisen).
Wie im Kapitel 4 dargelegt wurde, reagieren Photodetektoren auf
Strahlungsfeldintensitäten und liefern daher keine Phaseninformationen.
Ideale Verhältnisse vorausgesetzt, kann also ein Photodetektor bei
einer direkten Messung an einer zu untersuchenden Mode nur die Photonenanzahlstatistik
p n = 〈n|ˆϱ|n〉 der Mode liefern. Klassisch entspricht
dies offensichtlich der Verteilung des Betrags der komplexen Amplitu-
5 Solch eine Gesamtheit nichtverträglicher Observablen wird auch als Quorum bezeichnet.

166 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
de α. Esisklar,daßbereitsklassischderZustanderstdannfestgelegt
ist, wenn die Verteilung der komplexen Amplitude bezüglich Betrag
und Phase gegeben ist. Dies erfordert offensichtlich phasenempfindliche
Messungen. Dies gilt natürlich auch für die Quantenoptik.
6.1 Phasenempfindliche Messungen
Phaseninformationen werden in der Optik üblicherweise über Interferenzexperimente
gewonnen. Im einfachsten Fall wird die zu untersuchende
Mode (Signalmode) mit einer zweiten Mode (Referenzmode)
an einem Strahlteiler gemischt, und es wird dann die Photonenstatistik
in den Ausgängen gemessen. Sind die (Mitten-)Frequenzen der
beiden Moden gleich, spricht man von (4-Kanal-)Homodyne-Messung,
andernfalls von (4-Kanal-)Heterodyne-Messung. Im weiteren wollen wir
uns mit dem Homodyne-Schema etwas eingehender befassen.
Photodetektor
â ′ 2
Strahlteiler
â 1
â 2
â ′ 1
6.1.1 Statistik verschobener Fock-Zustände
Betrachten wir ein Vier-Kanal-Sysytem, wie es oben skizziert ist, und
nehmen wir an, in einem der beiden Ausgangskanäle (dem k-ten) werde

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 167
[gemäß (4.74)] die Photonenanzahlstatistik gemäß
P m =
〈: 1 〉
m! (η Dˆn ′ k )m e −η Dˆn ′ k :
(6.2)
gemessen, wobei
ˆn ′ k =â′ k † â ′ k (6.3)
der Photonenanzahloperator der Mode im gewählten Ausgangskanal
ist und η D die Nachweisempfindlichkeit (Quantenausbeute) des Detektors
bedeutet. Wir wollen den Strahlteiler als verlustlos ansehen, so
daß die Operatoren der auslaufenden Moden mit den Operatoren der
einlaufenden Moden gemäß (5.42) über eine U(2)-Transformation [bzw.
SU(2)-Transformation] miteinander verknüpft sind,
â ′ k = U k1 â 1 + U k2 â 2 . (6.4)
Ferner wollen wir annehmen, daß die erste Mode als Signalmode fungiert
(â 1 → â)unddiealsReferenzmodefungierendezweiteMode(auch
lokaler Oszillator genannt) in einem Glauber-Zustand |α L 〉 präpariert
ist. In diesem Fall können dann in (6.2) wegen der Normalordnung die
transformierten Operatoren (6.4) gemäß
â ′ k ↦→ U k1 â + U k2 α L (6.5)
bzw. [unter Verwendung des Verschiebungsoperators ˆD(α)]
â ′ k ↦→ U k1(â − α) =U k1 ˆD(α)â ˆD† (α) (6.6)
mit
α = − U k2
α L (6.7)
U k1
ersetzt werden [siehe (2.57) und (2.62)]. Dies bedeutet für den Photonenanzahloperator
ˆn ′ k in (6.2) die Ersetzung
und (6.2) lautet wie folgt:
ˆn ′ k ↦→ |U k1| 2ˆn(α) =|U k1 | 2 ˆD(α)ˆn ˆD† (α), (6.8)
P m =
〈
: 1 〉
m! [ηˆn(α)]m e −ηˆn(α) :
(6.9)

168 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Wir sehen, daß die im gewählten Ausgangskanal mit der Quantenausbeute
η D gemessene Verteilung von Fock-Zuständen nichts anderes als
die mit der Quantenausbeute
η = |U k1 | 2 η D (6.10)
gemessene Verteilung der um α verschobenen Fock-Zustände der Signalmode
darstellt.
Wenn speziell die Signalmode mit einem starken Lokaloszillator
(|α L | →∞) an einem Strahlteiler hinreichend hoher Durchlässigkeit
(|U 11 | = |U 22 | → 1) und geringer Reflektivität (|U 21 | = |U 12 | → 0) derart
überlagert wird, daß |U 12 ||α L | endlich bleibt, dann wird für hohe Nachweisempfindlichkeit
des Detektors (η D → 1) die (nahezu) exakte Verteilung
der verschobenen Fock-Zustände |m, α〉 = ˆD(α)|m〉 der Signalmode
realisiert,
P m → p m (α) =〈m, α|ˆϱ|m, α〉
=Tr(ˆϱ|m, α〉〈m, α|) =Tr[ˆϱ ˆD(α)|m〉〈m| ˆD † (α)]. (6.11)
Wird also in einer Serie von (Ensemble-)Messungen α variiert, kann auf
diese Weise p m (α)punktweiseüber den Phasenraum vermessen werden.
Für jedes (fest) vorgegebene m und variables α definiert
ˆΠ m (α) =π −1 |m, α〉〈m, α| (6.12)
bekanntlich ein POM für die komplexe Amplitude α:
P m (α) =〈ˆΠ m (α)〉 = π −1 p m (α) (6.13)
(siehe auch Abschnitt 2.2). Mit anderen Worten, für jedes m legt p m (α)
als Phasenraumfunktion den Quantenzustand der Mode bereits fest.
Andererseits stellt p m (α) für festes α eine gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsverteilung
bezüglich der Photonenanzahl m dar. Es ist deshalb zu
erwarten, daß es ausreicht, diese nur für einen eingeschränkten Wertebereich
von α zu messen, um den Quantenzustand zu bestimmen.
Das Meßverfahren erfordert i. allg. Photodetektoren hoher Nachweisempfindlichkeit,
die zwischen m und m +1 Photonen unterscheiden
können – Forderungen, die gegenwärtig mit herkömmlicher Technik

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 169
schwerlich zu erfüllen sind. 6 Anders liegt der Fall, wenn die Notwendigkeit
der Diskrimination entfällt und ein (effektiv) kontinuierliches Signal
anliegt, das mit hoher Nachweisempfindlichkeit registriert werden
kann. Dies läßt sich mittels balancierter Homodyne-Technik realisieren.
6.1.2 Feldstärkestatistik
Wir legen wieder das in der Abbildung auf Seite 166 skizzierte Schema
zugrunde, wobei im Gegensatz zu Abschnitt 6.1.1 nunmehr das
Differenzsignal der Photodetektoren in den beiden Ausgangskanälen
gemessen werden soll. Entsprechend (4.75) lautet die Verbundwahrscheinlichkeit
P m1 ,m 2
dafür, daß der erste Detektor m 1 Photonen und
der zweite Detektor m 2 Photonen registriert,
wobei die gestrichenen Größen in dem POM
P m1 ,m 2
= 〈ˆΠm1 ,m 2
〉
, (6.14)
ˆΠ m1 ,m 2
=:
2∏
l=1
1
m l ! (η lˆn ′ l )m l
e −η lˆn ′ l
: (6.15)
mit den ungestrichenen gemäß (5.42) zusammenhängen:
ˆn ′ 1 =â ′ 1 † â ′ 1 = ( U ∗ 11â † 1 + U ∗ 12â † 2)(
U11 â 1 + U 12 â 2
)
, (6.16)
ˆn ′ 2 =â′ 2 † â ′ 2 = ( U ∗ 21↠1 + U ∗ 22↠2)(
U21 â 1 + U 22 â 2
)
. (6.17)
Die Gleichungen (6.16) und (6.17) entsprechen genau den Gleichungen
(5.77) und (5.78), wenn die Matrix U gemäß (5.13) (mit φ =0)
gewählt wird. Wie wir bereits wissen [Gleichungen (5.82) und (5.83)],
entspricht der Mittelwert der Differenz 〈ˆn ′ 1 〉−〈ˆn′ 2 〉 dem Mittelwert einer
Signalfeldstärke, falls ein 50%50%-Strahlteiler verwendet wird und
die Referenzmode in einem Glauber-Zustand angeregt ist. Wir wollen
nunmehr die Frage beantworten, inwieweit die insgesamt meßbare Differenzstatistik
einer Feldstärkestatistik der Signalmode entspricht.
6 Kohärent verschobene Fock-Zustände haben insbesondere bei der Rekonstruktion von Quantenzuständen
von Resonatorfeldern und der Massenmittelpunktsbewegung von Ionen und Atomen in
Fallen an Bedeutung gewonnen. In beiden Fällen können Größen gemessen werden, aus denen die
Statistik verschobener Fock-Zustände ableitbar ist.

170 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Die Wahrscheinlichkeit für die Differenzereignisse
∆m = m 1 − m 2 (6.18)
folgt aus (6.14) als
mit
P ∆m = 〈ˆΠ∆m 〉
(6.19)
ˆΠ ∆m = ∑ m 2
ˆΠ∆m+m2 ,m 2
. (6.20)
Die weitere Auswertung der Gleichung (6.19) wird zweckmäßigerweise
im Phasenraum durchgeführt. Es seien Π m1 ,m 2
(α 1 , α 2 ;1) und
Π ∆m (α 1 , α 2 ;1) die den Operatoren ˆΠ m1 ,m 2
und ˆΠ ∆m zugeordneten c-
Zahlfunktionen in Normalordnung,
Π m1 ,m 2
(α 1 , α 2 ;1)=
2∏
l=1
1 (
ηl |α ′
m l !
l| 2) m l
e
−η l |α ′ l |2 , (6.21)
Π ∆m (α 1 , α 2 ;1)= ∑ m 2
Π ∆m+m2 ,m 2
(α 1 , α 2 ;1), (6.22)
wobei
|α ′ 1 |2 = ∣ ∣U 11 α 1 + U 12 α 2
∣ ∣
2
, (6.23)
|α ′ 2| 2 = ∣ ∣ U21 α 1 + U 22 α 2
∣ ∣
2
, (6.24)
gilt. Wir setzen (6.21) in (6.22) ein, führen die Summation aus und
erhalten
(
η1 |α ′
Π ∆m (α 1 , α 2 ;1)=
1| 2 ) ∆m/2
η 2 |α 2 ′ |2 )
× I ∆m
(2
√η 1 |α 1 ′ |2 η 2 |α 2 ′ |2 e −η 1|α ′ 1 |2 e −η 2|α ′ 2 |2 (6.25)
[I n (z)-modifizierteBessel-Funktion,I −n (z)=I n (z)]. Wir wollen gleiche
Quantenausbeuten annehmen,
η 1 = η 2 ≡ η, (6.26)

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 171
und einen 50%:50%-Strahlteiler betrachten (balanciertes Schema!),
√
1
|U 11 | = |U 22 | = |U 12 | = |U 21 | =
2 . (6.27)
Mit (6.27) lauten die Gleichungen (6.23) und (6.24)
∣
|α 1 ′ |2 = 1 ∣
2 α1 + e iψ α 2 2
, (6.28)
∣
|α 2 ′ |2 = 1 ∣ α1 − e iψ α
2
2 2
, (6.29)
wobei der Phasenfaktor durch
e iψ = U 12
U 11
(6.30)
gegeben ist. Schließlich nehmen wir wieder an, daß die Referenzmode
in einem Glauber-Zustand |α L 〉 angeregt ist. In diesem Fall können wir
in Π ∆m (α 1 , α 2 ;1) die Ersetzung α 2 = α L vornehmen, so daß wir es nur
noch mit einer Funktion von α 1 zu tun haben,
Π ∆m (α 1 , α 2 ;1)→ Π ∆m (α 1 , α L ;1)≡ Π ∆m (α 1 ;1). (6.31)
Betrachten wir speziell den Grenzfall eineshinreichendstarkenLokaloszillators,
d.h. |α L | →∞ bei endlichem |∆m/α L |.DieRechnung
liefert (α ≡ α 1 ) 7
[ (
1
∆m − ηα
∗
Π ∆m (α;1)= √
{−
2πη|αL | exp L e −iψ α +c.c. )] }
2
. (6.32)
2 2η|α L | 2
Wir führen die Signalfeldstärke
ein und schreiben (6.32) als
ˆF = |C| ( âe −iϕ +â † e iϕ) , ϕ = ϕ αL + ψ (6.33)
Π ∆m (α;1)= |C| 1
√
|α L | 2πη|C|
2
{ [
∆m|C|/(η|αL |) −〈α|
× exp −η
ˆF (ϕ)|α〉 ] }
2
. (6.34)
2|C| 2
7 I n (z) ≈ (2πz) −1/2 exp[z − n 2 /(2z)]; |z| →∞, |n| →∞, |n 2 /z| endlich.

172 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Aus einem Vergleich mit (2.236) ist sofort ersichtlich, daß für η =1
(perfekte Detektion) Π ∆m (α;1) bis auf den Faktor |C|/|α L | die dem
Feldstärkeprojektor |F, ϕ〉〈F, ϕ| zugeordnete c-Zahlfunktion in Normalordnung
ist, d.h. 8
mit
ˆΠ∆m = |C| |F, ϕ〉〈F, ϕ| (6.35)
|α L |
F = |C| ∆m. (6.36)
|α L |
Die gemessene Differenzereignisverteilung ist also eine Feldstärkeverteilung
p(F, ϕ) =〈F, ϕ|ˆϱ|F, ϕ〉 (6.37)
des Signalfeldes:
P ∆m = |C| (
|α L | p F = |C|
)
|α L | ∆m, ϕ=ϕ α L
+ ψ
(6.38)
Wird in einer Serie von Ensemblemessungen die Phase des Lokaloszillators
variiert, können somit alle Feldstärkeverteilungen in einem π-
Intervall ermittelt werden. 9
Ist die Quantenausbeute kleiner als Eins (η

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 173
wobei die Gewichtsfunktion die Gauß-Funktion
(
1
p(F ; s) = √ exp − F 2 )
2πs|C|
2 2s|C| 2
(6.41)
ist. Dementsprechend sind die gemessenen Verteilungen Faltungen von
Feldstärkeverteilungen der Signalmode mit Gauß-Funktionen,
P ∆m =
|C| (
η|α L | p F =
|C|
)
η|α L | ∆m, ϕ = ϕ α L
+ ψ;(1− η)/η , (6.42)
∫
p(F, ϕ; s) =
dF ′ p(F −F ′ ; s) p(F ′ , ϕ). (6.43)
Speziell für η =0.5 (s=1) stellt p(F ; s) dieVakuumfeldstärkeverteilung
Wahrscheinlichkeit P ∆m für den Fall einer in einem Fock-Zustand mit einem
Photon angeregte Signalfeldmode bei einer angenommenen Quantenausbeute
η =1 (a) – (c) und η =0.75 (d) sowie |α L | 2 =0 (a), 0.5 (b),5(c),5(d).
Die durchgezogenen Kurven stellen die [im Fall (d) verrauschten] Feldstärkeverteilungen
p[F, ϕ;(1−η)/η] mitexaktkontinuierlichemArgumentdar.
dar, wie aus einem Vergleich von (6.41) mit (2.236) sofort zu ersehen
ist. 10 Mit anderen Worten, wird nur jedes zweite Photon detektiert,
10 Zur Bedeutung der Funktion p(F ; s) sieheauch(6.83).

174 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
wird das Signal mit dem Vakuumrauschen verfälscht. In der Abbildung
sind Beispiele für den Fall einer in einem Fock-Zustand mit einem Photon
angeregte Signalfeldmode gezeigt. 11
6.1.3 Phasenraumfunktionen
Im Abschnitt 6.1.1 haben wir bereits gesehen, daß die mittels
kohärent verschobener Fock-Zustände definierbaren Phasenraumfunktionen
punktweise vermessen werden können, d.h., der Funktionswert
für jeden Wert der komplexen Amplitude wird durch eine wohldefinierte
Ensemblemessung geliefert. Es erhebt sich die Frage, ob es möglich
ist, in nur einer Ensemblemessung die Funktionswerte über dem gesamten
Phasenraum zu erhalten, was gleichbedeutend mit der Frage ist, ob
es möglich ist, den kompletten Quantenzustand aus einer einzigen Ensemblemessung
zu bestimmen. Wie wir sehen werden, ist dies in der
Tat möglich.
Wir wollen uns dies am Beispiel der Q-Funktion klar machen. Bekanntlich
verschwindet im klassischen Grenzfall der Unterschied zwischen
Wigner- und Q-Funktion. In diesem Fall kann also die Q-
Funktion als Verbundwahrscheinlichkeitsdichte für kanonisch konjugierte
Größen vom Typ Ort und Impuls angesehen werden. In der
Quantentheorie ist dies natürlich nicht möglich, da diese Größen nicht
gleichzeitig definierte Werte annehmen können. Es liegt deshalb nahe,
anstelle der exakten (nicht gleichzeitig meßbaren) Größen etwas verrauschte
(aber dann gleichzeitig meßbare) Größen zu betrachten. Dies
kann beispielsweise so geschehen, daß die Signalfeldmode durch einen
Strahlteiler geschickt und dabei mit einer in einem definierten Quantenzustand
präparierten Referenzmode überlagert wird und die beiden
Ausgangsmoden als neue Signalmoden angesehenwerden,andenendie
Messungen auszuführen sind. Im einfachsten Fall kann der Eingangskanal
für die Referenzmode ungenutzt bleiben, so daß dort Vakuum
anliegt.
Es seien
ˆF ′ 1 (ϕ) =Câ′ 1 + C∗ â ′ 1 † , (6.44)
ˆF ′ 2 (ϕ) =Câ′ 2 + C∗ â ′ 2 † (6.45)
11 W. Vogel, J. Grabow, Phys. Rev. A 47, 4227(1993).

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 175
Feldstärken der beiden auslaufenden Moden zum jeweils gleichen Phasenparameter
ϕ. Die charakteristische Funktion Ψ(y 1 ′ ,y′ 2 , ϕ, ϕ) der
Verbundfeldstärkeverteilung p(F 1 ′,F′ 2 , ϕ, ϕ) dieserModenkanngemäß
(2.243) berechnet werden, 12
Ψ(y ′ 1 ,y′ 2 , ϕ, ϕ) =〈 ˆD′ (iC ∗ y ′ 1 ,iC∗ y ′ 2 )〉
= 〈 exp [ iC ∗ (y ′ 1â ′ 1 † + y ′ 2â ′ 2 † ) − h.c ]〉 . (6.46)
Wir wollen wieder einen 50%:50%-Strahlteiler zugrunde legen und
den Fall betrachten, daß eine π/2-Phasenverschiebung realisiert wird.
Gemäß (5.20) haben wir dann
Damit kann (6.46) als
â ′ 1 = U 11 â 1 + U 12 â 2 =2 −1/2 (â 1 − iâ 2 ), (6.47)
â ′ 2 = U 21â 1 + U 22 â 2 =2 −1/2 (−iâ 1 +â 2 ). (6.48)
Ψ(y ′ 1,y ′ 2, ϕ, ϕ) = 〈 exp [ iC ∗ 2 −1/2 (y ′ 1 + iy ′ 2)â † 1
+ iC ∗ 2 −1/2 (iy ′ 1 + y′ 2 )↠2 − h.c]〉 (6.49)
geschrieben werden. Die Situation wird besonders einfach, wenn der
Eingangskanal für die Referenzmode (Index 2) ungenutztist,dieReferenzmode
sich folglich im Vakuumzustand befindet. Der entsprechende
Erwartungswert in (6.49) kann sofort ausgeführt werden. Wir erhalten
bzw.
mit
Ψ(y ′ 1 ,y′ 2 , ϕ, ϕ) =exp[ − 1 2 |iC∗ 2 −1/2 (iy ′ 1 + y′ 2 )|2]
× 〈 exp [ iC ∗ 2 −1/2 (y ′ 1 + iy′ 2 )↠1 − h.c]〉 (6.50)
Ψ(y ′ 1,y ′ 2, ϕ, ϕ) =e − 1 2 |β 1| 2 〈 ˆD(β 1 )〉 = Φ(β 1 ; −1) (6.51)
β 1 = iC ∗ 2 −1/2 (y ′ 1 + iy ′ 2) (6.52)
[siehe (3.85)]. Die charakteristische Funktion der Verbundfeldstärkeverteilung
der beiden auslaufenden Moden entspricht also der charakteristischen
Funktion der Q-Funktion der einlaufenden Signalmode. Wir
12 ˆD(α1 , α 2 )=exp(α 1 â † 1 + α 2â † 2 − H.c.).

176 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
gehen von der charakteristischen Funktion der Feldstärkeverteilung zur
Feldstärkeverteilung über. Mit der Variablensubstitution (6.52) und der
abkürzenden Bezeichnung
finden wir
d.h.:
∫
p(F 1 ′ 1
,F′ 2 , ϕ, ϕ)=
(2π) 2 ∫
1
=
2|C| 2 π 2
α = 1
2 1/2 C (F 1 ′ + iF 2 ′ ), (6.53)
dy ′ 1
∫
dy ′ 2 Ψ(y′ 1 ,y′ 2 , ϕ, ϕ) e−iy′ 1F ′ 1−iy ′ 2F ′ 2
d 2 β 1 Φ(β 1 ; −1) e αβ∗ 1−α ∗ β 1
, (6.54)
[
p(F 1 ′ 1
,F′ 2 , ϕ, ϕ) =
2|C| Q α = 1
]
2 2 1/2 C (F 1 ′ +iF 2 ′ )
(6.55)
Die Verbundfeldstärkeverteilung ist also nichts anderes als die (skalierte)
Q-Funktion der Signalfeldmode. Die Messung der Verbundfeldstärkeverteilung
entspricht also einer Messung der Q-Funktion und
liefert somit den Quantenzustand der Signalmode.
Um das Ergebnis physikalisch zu interpretieren, schreiben wir die
(gleichzeitig gemessenen) Observablen ˆF ′ 1(ϕ) und ˆF ′ 2(ϕ) in(6.44)und
(6.45) mittels (6.47) und (6.48) etwas um,
wobei die
ˆF ′ 1(ϕ) = ˆF 1 (ϕ)+ ˆF 2 (ϕ + π/2), (6.56)
ˆF ′ 2(ϕ) = ˆF 1 (ϕ + π/2) + ˆF 2 (ϕ), (6.57)
ˆF k (ϕ) =2 −1/2 |C|e −iϕ â k +h.c. (6.58)
(k =1, 2) Feldstärken der einlaufenden Moden darstellen. Die gemessenen
Observablen können also als zwei um π/2 phasenverschobene
und wegen der Vakuumbeimischung der Referenzmode verrauschte
Feldstärken der Signalmode angesehen werden. Während die beiden
”
reinen“ Feldstärken (die ja Größen vom Typ Ort und Impuls

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 177
darstellen) nicht vertauschen und folglich nicht gleichzeitig definierte
Werte annehmen können, sichert die Beimischung der Referenzmode
die Vertauschbarkeit und die gleichzeitige Meßbarkeit. Der Preis,
den man dafür zu zahlen hat, ist offensichtlich die durch das zusätzliche
Vakuumrauschen resultierende ”
Verschmierung“ der Verteilung.
Die obigen Überlegungen können natürlich auch für allgemeinere Fälle
durchgeführt werden, in denen nicht unbedingt um π/2 verschoben
wird und die Referenzmode auch nicht im Vakuumzustand vorliegt, so
daß die resultierende Phasenraumfunktion nicht notwendigerweise die
Q-Funktion ist.
Meßschema
Bleiben wir bei der Q-Funktion. Entsprechend den obigen Ausführungen
kann sie wie folgt gemessen werden. Die Signalmode wird zunächst
durch einen 50%:50%-Strahlteiler, der eine π/2-Phasenverschiebung
realisiert, geschickt. Die beiden auslaufenden Moden werden dann als
einlaufende Moden in zwei (balancierten) 4-Kanal-Homodyne-Detektoren
(Abschnitt 6.3) verwendet, deren Koinzidenzstatistik aufgezeichnet
wird. Das Meßschema stellt eine (balancierte) 8-Kanal-Homodyne-Anordnung
dar, bei der ein Eingang mit der Signalmode belegt ist,
zwei Eingänge mit Lokaloszillatoren belegt sind und ein Kanal ungenutzt
bleibt (Vakuum).
Alternativ kann, wie in der Abbildung gezeigt, mit einem Lokaloszillator
und zwei freien Eingängen gearbeitet werden. 13 Die Strahlteiler
sind (beliebige) verlustlose 50%:50%-Strahlteiler; die notwendige Phasenverschiebung
wird durch ein zusätzliches λ/4-Plättchen realisiert.
Alle Rechnungen können völlig analog zu den entsprechenden Rechnungen
im Abschnitt 6.1.2 durchgeführt werden. So ist die Verbundwahrscheinlichkeit
dafür, daß der erste Detektor m 1 Photonen, der zweite
Detektor m 2 Photonen, der dritte Detektor m 3 Photonen und der vierte
13 Um die Q-Funktion in einer balancierten Homodyne-Anordnung zu zu messen, werden minimal
drei Eingänge und drei Ausgänge benötigt, so daß also bereits eine 6-Kanalanordnung ausreichend ist
[A. Zucchetti, W. Vogel, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 54, 856(1996)].ZweiderdreiEingänge werden
mit der Signalmode und der Lokaloszillatormode belegt, während der dritte Eingang frei bleibt,
und es werden die Differenzsignale in zwei Ausgangskanälen bezüglich des dritten Ausgangskanals
gemessen.

178 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Lokaloszillator
â ′ 2
â 3
â 4
â ′ 3
λ/4
â ′ 1
â 1
Signal
â ′ 4
â 2
Detektor m 4 Photonen registriert,
P m1 ,m 2 ,m 3 ,m 4
= 〈ˆΠm1 ,m 2 ,m 3 ,m 4
〉
, (6.59)
ˆΠ m1 ,m 2 ,m 3 ,m 4
=:
4∏
l=1
1
m l ! (η lˆn ′ l )m l
e −η lˆn ′ l
: , (6.60)
wobei die Transformation zwischen ungestrichenen und gestrichenen
Modenoperatoren (unter Berücksichtigung der zusätzlichen π/2-
Phasenverschiebung) wieder gemäß (5.42) geschieht. Die Wahrscheinlichkeit
für die Differenzereignisse
ergibt sich dann als
∆m 1 = m 1 − m 4 , ∆m 2 = m 3 − m 2 (6.61)
P ∆m1 ,∆m 2
= 〈ˆΠ∆m1 ,∆m 2
〉
, (6.62)
ˆΠ ∆m1 ,∆m 2
= ∑ m 2 ,m 4
ˆΠ∆m1 +m 4 ,m 2 ,∆m 2 +m 2 ,m 4
. (6.63)
Die weiteren Rechnungen werden zweckmäßigerweise wieder im Phasenraum
ausgeführt. Unter den gleichen Bedingungen eines starken Lokaloszillators
wie im Abschnitt 6.1.2 führt die Rechnung zu folgendem

6.1. PHASENEMPFINDLICHE MESSUNGEN 179
Ergebnis (α ≡ α 1 ):
P ∆m1 ,∆m 2
= 1 (
|α L | Q α = −∆m )
1 + i∆m 2
2 αL
∗
(6.64)
Wie die Gleichung (6.38) gilt die Gleichung (6.64) für pefekte Detektion,
d.h. η =1. Ist die Quantenausbeute kleiner als Eins (η < 1), wird
anstelle der Q-Funktion offensichtlich eine Faltung der Q-Funktion mit
einer Gauß-Funktion gemessen. Dies entspricht aber genau der Messung
einer s-parametrisierten Phasenraumfunktion mit s

180 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
6.2 Quantenzustandsrekonstruktion
Jeder Satz von (meßbaren) Größen, der alle Information über den
Quantenzustand eines Systems enthält (aus dem sich also beispielsweise
die Dichtematrix in einer gewünschten Basis rekonstruieren läßt), kann
natürlich selbst als Repräsentant des Quantenzustands des Systems angesehen
werden. Quantenzustandsrekonstruktion bedeutet dann, aus
den gemessenen Größen den Quantenzustand in einer speziellen Darstellung,
die möglicherweise einer direkten Messung nicht zugänglich
ist, zu rekonstruieren. Das gleiche trifft auchfür eine Reihe von Größen
zu, die einer direkten Messung nicht so ohne weiteres zugänglich sind.
6.2.1 Punktweise Rekonstruktion im Phasenraum
Die Kenntnis der Verteilung der kohärent verschobenen Fock-Zustände
für gegebenes α gestattet in einfacher Weise die Bestimmung von s-
parametrisierten Phasenraumfunktionen im Punkt α.Gemäß (3.56) gilt
für die Operator-δ-Funktion
ˆδ(α−â; s) =
2
π(1 − s) ˆD(α)
( )ˆn s +1 ˆD† (α). (6.66)
s − 1
Bilden wir den Erwartungswert, so erhalten wir bekanntlich [siehe
(3.49)] die Phasenraumfunktion
und zwar ausgedrückt durch die Verteilung
[vgl. (6.11)]:
P (α; s) =Tr [ˆϱˆδ(α − â; s) ] , (6.67)
p n (α) =〈n, α|ˆϱ|n, α〉 = 〈n| ˆD † (α)ˆϱ ˆD(α)|n〉 (6.68)
P (α; s) =
2
π(1 − s)
∑
n
( ) n s +1
p n (α) (6.69)
s − 1

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 181
Wird also in einer Serie von Ensemblemessungen α variiert und somit
p m (α) punktweise über den Phasenraum vermessen, dann kann P (α; s)
ebenfalls punktweise über den Phasenraum bestimmt werden. Speziell
für s = −1 geht(6.69)indenbekanntenAusdruckfür die Q-Funktion
über,
Q(α) =π −1 p 0 (α) =π −1 〈0, α|ˆϱ|0, α〉 = π −1 〈α|ˆϱ|α〉. (6.70)
Die Gleichung (6.69) kann unschwer auf den Fall ausgedehnt werden,
daß p m (α) nichtperfektgemessenwird(η < 1). Führen wir die
Rechnungen (3.55) mit exp[−ηˆn(α)] anstelle von exp[−ˆn(α)] durch, so
erhalten wir unschwer
ˆδ(α−â; s) =
woraus mit (6.9)
2
π(1 − s)
P (α; s) =
∑
[ ] n η(s − 1) + 2
: [ηˆn(α)]n e −ηˆn(α) : , (6.71)
η(s − 1) n!
n
2
π(1 − s)
∑
[ ] n η(s − 1) + 2
P n (α) (6.72)
η(s − 1)
n
folgt. Speziell die Messung von P 0 (α) liefert nunmehr die Phasenraumfunktion
für
s =1− 2η −1 . (6.73)
Experimentell wurde die Methode erstmals für die Rekonstruktion
der Wigner-Funktionen des Quantenzustands der Schwerpunktsbewegung
eines Fallenions demonstriert. 15 Die obige Abbildung zeigt die rekonstruierte
Wigner-Funktion eines mit einem Quant angeregten Fock-
Zustands. Später wurde die Methode auch für optische Felder demonstriert,
wie die Rekonstruktion der Wigner-Funktion eines (mit etwa
einem Photon) schwach angeregten Glauber-Zustands in der folgenden
Abbildung zeigt. 16
15 D. Leibfried, D.M. Meekhof, B.E. King, C. Monroe, W.M. Itano, D.J. Wineland, Phys. Rev.
Lett. 77, 4281(1996).
16 K. Banaszek, C. Radzewicz, K. Wódkiewicz, J.S. Krasiński, Phys. Rev. A 60, 674(1999).

182 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
W (α)
W (α)
0.6
0.4
0.2
0
2
-
2
Re α
0
2
-
2
0
Im α
6.2.2 Tomographische Rekonstruktion der Wigner-Funktion
Bei dem als Optical Homodyne Tomography bekannten Verfahren wird
aus den gemessenen Feldstärkeverteilungen einer Mode 17 die Wigner-
Funktion konstruiert. Dieses und alle anderen Verfahren, bei denen
die gemessenen Verteilungen Feldstärkeverteilungen sind, basieren auf
der Tatsache, daß die Kenntnis der Feldstärkeverteilungen in einem π-
17 Wie bereits erwähnt, spricht man (insbesondere bei materiellen Systemen) auch von Quadrature-
Component-Verteilungen.

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 183
Intervall äquivalent der Kenntnis des Quantenzustands ist. 18 Dies läßt
sich etwa wie folgt zeigen. Wir setzen die charakteristische Funktion
Ψ(y, ϕ) einerFeldstärkeverteilung p(F, ϕ),
Ψ(y, ϕ) =Tr [ˆϱ ˆD(iyC ∗ ) ] (6.74)
[siehe (2.243)], in Relation zu der charakteristischen Funktion einer s-
parametrisierten Phasenraumfunktion Φ(α; s),
Φ(α; s) =e 1 2 s|α|2 Tr [ˆϱ ˆD(α) ] (6.75)
[siehe (3.85)]. Da Φ(α; s) einRepräsentant des Quantenzustands ist,
kann natürlich Ψ(y, ϕ) ausΦ(α; s) bestimmtwerden,indem
gewählt wird:
α = iyC ∗ (6.76)
Ψ(y, ϕ) =e − 1 2 s|α|2 Φ(iyC ∗ ; s) (6.77)
Umgekehrt besagt die Beziehung (6.76), daß für gewähltes ϕ die Funktion
Ψ(y, ϕ) dieFunktionΦ(α) längs einer (durch den Koordinatenursprung
gehenden) um den Winkel π/2+ϕ gedrehten Geraden im Phasenraum
festlegt (n =0, −1),
Somit gilt:
y = |α|
|C| einπ , ϕ α − ϕ = 1 2
(2n +1)π. (6.78)
[ ]
|α|
Φ(α; s) =e 1 2 s|α|2 Ψ
|C| einπ , ϕ = ϕ α − 1 2 (2n+1)π
(6.79)
Ist also Ψ(y, ϕ) für alle Werte von ϕ in einem π-Intervall bekannt,
dann ist Φ(α) indergesamtenkomplexenPhasenraumebenebekannt.
18 K. Vogel, H. Risken, Phys. Rev. A 40, 2847(1989).

184 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Im α
y
ϕ
Re α
Was für die charakteristischen Funktionen gilt, gilt natürlich auch für
die Verteilungen selbst. Die Gesamtheit der Feldstärkeverteilungen in
einem π-Intervall bestimmt eindeutig den Quantenzustand und kann
somit selbst als Repräsentant des Quantenzustands angesehen werden.
Insbesondere können aus den Feldstärkeverteilungen in mehr oder weniger
komplizierter Weise die üblichen Quantenzustandsdarstellungen
gefunden werden.
Wir beginnen mit den s-parametrisierten Phasenraumfunktionen.
Entsprechend (2.239), (6.77) und (3.83) gilt
p(F, ϕ) = 1
2π
∫
dye −iyF e − 1 2 sy2 |C| 2 Φ(iyC ∗ ; s), (6.80)
d.h.
p(F, ϕ) = 1 ∫
∫
dye −iyF e − 1 2 sy2 |C| 2 d 2 α exp [ iy〈α|
2π
ˆF (ϕ)|α〉 ] P (α; s),
(6.81)
〈α| ˆF (ϕ)|α〉 = Cα + C ∗ α ∗ =2|C||α| cos(ϕ α − ϕ) (6.82)
[vgl. (3.83)]. Falls s ≥ 0ist,kanndiey-Integration unmittelbar ausgeführt
werden. Das Ergebnis ist
∫
p(F, ϕ) = d 2 α p [ F −〈α| ˆF (ϕ)|α〉; s ] P (α; s) (6.83)
mit p(F ; s) aus(6.41).Offensichtlich ist p [ F −〈α| ˆF (ϕ)|α〉; s ] als Funktion
von α die dem Feldstärkeprojektor |F, ϕ〉〈F, ϕ| zugeordnete c-Zahl-

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 185
Funktion in s-Ordnung. 19 Speziell für s=1 (Normalordnung) ist sie die
Feldstärkeverteilung eines Glauber-Zustands |α〉.
Im Grenzfall s → 0führt p(F ; s) aufeineδ-Funktion,
lim p(F ; s) =δ(F ), (6.84)
s→0
und aus (6.83) folgt (nach einer Variablentransformation):
p(F, ϕ) = 1 ∫
2|C|
[ ( )]
F
F
dyW
2|C| cos ϕ − y sin ϕ + i 2|C| sin ϕ + y cos ϕ
Wie bereits erwähnt, wird gemäß (3.77) – (3.80) öfters
(6.85)
gesetzt und |C| =1/ √ 2gewählt, d.h.
1
2W (α) → W (q, p) (6.86)
ˆF (ϕ) → ˆx(ϕ) (6.87)
[siehe (2.244) – (2.248)]. Die Gleichung (6.85) nimmt dann die folgende
Form an:
p(x, ϕ) =
∫
dyW(x cos ϕ − y sin ϕ,xsin ϕ + y cos ϕ) (6.88)
Integration der Wigner-Funktion W (q, p) längs aller um den Winkel ϕ
gegenüber der p-Achse des Phasenraums gedrehten Geraden liefert also
die Quadrature-Component-Verteilung p(x, ϕ) für den Phasenparameter
ϕ, diesomitalsMarginalverteilungderWigner-Funktionaufgefaßt
werden kann.
Die Gleichung (6.85) [bzw. die Gleichung (6.88)] stellt eine Radon-
Transformation dar. Ihre Umkehrung (inverse Radon-Transformation)
liefert die Wigner-Funktion W (q, p) aus den Feldstärkeverteilungen
19 Für s

186 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
y
p
x
ϕ
q
p(F, ϕ)] [bzw. Qudrature-Component-Verteilungen p(x, ϕ)] mit ϕ ∈ π-
Intervall. Wir verwenden den Zusammenhang zwischen den charakteristischen
Funktionen [siehe die Gleichungen (6.76) – (6.79)], gehen zu
den entsprechenden Verteilungsfunktionen über und erhalten nach einer
kurzen Rechnung für den Fall s =0 das folgende Ergebnis:
W (q, p) = 1 ∫ π ∫
dϕ
(2π) 2
0
∫
dz
[ (
dF |z| exp iz q cos ϕ+p sin ϕ −
F
|C| √ 2
)]
p(F, ϕ)
(6.89)
Da separates Ausführen der z-Integration auf eine singuläre Funktion
führt, kann das Dreifachintegral nicht so ohne weiteres in ein Zweifachintegral,
d.h. in ein Integral über ϕ und F als den Variablen der
gemessenen Verteilungen überführt werden. Dies kann näherungsweise
geschehen, indem nur Spektralkomponenten der Verteilungen p(F, ϕ)
bis zu einer hinreichend hohen Abschneidefrequenz z c berücksichtigt
werden. Das heißt, die Verteilungen werden etwas ”
ausgeschmiert“, 20
und (6.89) geht in
W (q, p) ≃ W c (q, p)
= 1 ∫ π ∫ (
dϕ dF K
2π 2 c q cos ϕ + p sin ϕ −
F )
|C| √ 2
0
p(F, ϕ) (6.90)
20 Dies entspricht effektiv einer Reduktion der Quantenausbeute η.

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 187
mit
K c (y) = 1 2
∫ +zc
−z c
dz |z|e iyz (6.91)
(z c > 0) über.
Das tomographische Verfahren, die Wigner-Funktionausihrenunter
allen möglichen Winkeln gemessenen Marginalverteilungen zu rekonstruieren,
wurde erstmals auf optische Felder in Verbindung mit
dem (balancierten) 4-Kanal-Homodyne-Verfahren angewandt und wird
in diesem Zusammenhang auch als Optische Homodyne-Tomographie
(Optical Homodyne Tomography)bezeichnet.DieAbbildungenaufden
Seiten 188 und 189 zeigen entsprechende Ergebnisse. 21 Die im unteren
Teil der Abbildung auf Seite 188 angegebenen Varianzen zeigen
noch einmal deutlich deutlich, daß für bestimmte Phasenparamneter
das Feldstärkerauschen eines gequetschten Vakuums unterhalb des Vakuumrauschens
liegt.
Wie bereits im Abschnitt 6.1.2 ausgeführt wurde, werden i. allg. anstelle
von p(F, ϕ) verrauschteVerteilungen,d.h.Faltungenvonp(F, ϕ)
mit Gauß-Funktionen, gemessen. Wird in diesem Fall die inverse
Radon-Transformation (6.89) [bzw. (6.90)] mit den gemessenen Verteilungen
durchgeführt, so ist das Ergebnis die entsprechend verrauschte
Wigner-Funktion des Signalzustands. Der Sachverhalt kann auch so
interpretiert werden, daß für η < 1nichtdieWigner-FunktiondesSignalzustands,
sondern eine s-parametrisierte Phasenraumfunktion mit
s< 0rekonstruiertwird,undzwarmit
wie man sich überlegen kann.
s =1− η −1 , (6.92)
6.2.3 Dichtematrix in einer Feldstärkebasis
Wir wollen die Dichtematrix in einer Feldstärkedarstellung (d.h. die
Matrixelemente 〈F, ϕ|ˆϱ|F ′ , ϕ〉) ausdenFeldstärkeverteilungen (in einem
π-Intervall) rekonstruieren. Dazu beginnen wir mit der Gleichung
21 D.T. Smithey, M. Beck, M.G. Raymer, A. Faridani, Phys. Rev. Lett. 70, 1244(1993).

188 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
(a) Homodyne gemessene Verteilungen p(x, ϕ) einesgequetschtenVakuums
[P ϕ (x ϕ )inderAbbildungentsprichtp(x, ϕ) imText];(b)VarianzenderVerteilungen
des gequetschten Vakuums (Kreise) und Varianzen der Verteilungen
des Vakuums (Dreiecke). In dem Experiment wurden 4000 wiederholte
Messungen für 27 Phasenparamter durchgeführt.
(2.206), die wir in der Form
∂
∂F
|F, ϕ〉 =
1
2i|C| 2 ˆF (ϕ+π/2)|F, ϕ〉 (6.93)
schreiben, woraus ersichtlich ist, daß |F ′ , ϕ〉 und |F, ϕ〉 über die unitäre
Transformation
[
|F ′ , ϕ〉 =exp −i F ′ ]
−F
ˆF (ϕ+π/2) |F, ϕ〉 (6.94)
2|C| 2
miteinander zusammenhängen. Ferner erinnern wir uns daran, daß für
den Feldstärkeprojektor |F, ϕ〉〈F, ϕ|
|F, ϕ〉〈F, ϕ| = 1 ∫
dye −iyF ˆD(iyC ∗ ) (6.95)
2π

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 189
Tomographisch rekontruierte Wigner-Funktionen eines gequetschten Vakuums
(a) und des gewöhnlichen Vakuums (c) [W (X, P) inderAbbildung
entspricht W (q, p) imText].ZurIllustrationderUnterschiedesinddarunter
[(b) und (d)] einige Höhenlinien angegeben.
gilt [Gleichung (2.242)]. Damit können die gesuchten Dichtematrixelemente
wie folgt dargestellt werden:
[
〈F, ϕ|ˆϱ|F ′ , ϕ〉 = 〈F, ϕ|ˆϱ exp −i F ′ −F
∫
=
]
ˆF (ϕ+π/2) |F, ϕ〉
2|C| 2
{ [
dye −iyF Tr ˆϱ exp −i F ′ ]
−F
ˆF (ϕ+π/2) e iy ˆF (ϕ)
2|C| 2
}
. (6.96)

190 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Mit
[
exp −i F ′ ]
−F
[
ˆF (ϕ+π/2) exp iy
2|C| ˆF
]
(ϕ)
2
[
= e − i 2 (F ′ −F )y exp −i F ′ ]
−F
ˆF (ϕ+π/2) + iy ˆF (ϕ)
2|C| 2
[(
= e − i 2 (F ′ −F )y exp − F ′ ) ]
−F
2|C| C + iyC â − h.c.
2
(
= e − i 2 (F ′ −F )y F
ˆD
′ )
−F
2|C| 2 C∗ + iyC ∗
(6.97)
geht (6.96) in
bzw.
mit
〈F, ϕ|ˆϱ|F ′ , ϕ〉 = 1
2π
〈F −F ′ , ϕ|ˆϱ|F +F ′ , ϕ〉 = 1 ∫
2π
∫
[ (
dye − i 2 (F ′ +F )y Tr ˆϱ ˆD F ′ )]
−F
2|C| 2 C∗ + iyC ∗
(6.98)
dye −iF y Ψ(y, F ′ , ϕ) (6.99)
[ ( )]
Ψ(y, F ′ , ϕ) =Tr ˆϱ ˆD F
′
|C| 2 C∗ + iyC ∗
(6.100)
über. Wir vergleichen (6.100) mit (2.243) und sehen, daß die charakteristische
Funktion Ψ(y, F ′ , ϕ) in (6.99) die charakteristische Funktion
Ψ(ỹ, ˜ϕ) einerFeldstärkeverteilung ist,
Ψ(y, F ′ , ϕ) =Tr [ˆϱ ˆD ( iỹ|C|e i ˜ϕ)] = Ψ(ỹ, ˜ϕ), (6.101)
√
ỹ = y 2 + F ′2
|C| 4, (6.102)
˜ϕ = ϕ +arg
(y − i F ′ )
. (6.103)
|C| 2
Mit anderen Worten, die Dichtematrixelemente in einer Feldstärke-

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 191
(a)
(b)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -2 0
x
x
2
4
4
2
0
x x’ ′
-2
-4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -2 0
x
x
2
4
4
2
0
x x’ ′
-2
-4
Rekonstruierte (reelle) Dichtematrizen 〈x, ϕ|ˆϱ|x ′ , ϕ〉 eines gequetschten (Vakuum-)Zustands
in den Qudrature-Component-Basen mit (a) ϕ =0( ”
Orts“-
Darstellung) und (b) ϕ = π/2 ( ”
Impuls“-Darstellung) aus gemessenen Verteilungen.
22
darstellung (Phasenwinkel ϕ) können aus den Feldstärkeverteilungen
in einem π-Intervall mittels einer zweifachen Fourier-Transformation
rekonstruiert werden: 23
〈F −F ′ , ϕ|ˆϱ|F +F ′ , ϕ〉 = 1 ∫
2π
dye −iF y ∫
d ˜F e i ˜F ỹ p( ˜F, ˜ϕ)
Die Abbildung auf Seite 191 zeigt zwei Beispiele.
Anmerkungen
(6.104)
• Unter Berücksichtigung von (3.85) kann die Gleichung (6.99) [zusammen
mit (6.100)] verwendet werden, um die Dichtematrixelemente
〈F −F ′ , ϕ|ˆϱ|F +F ′ , ϕ〉 durch die Wigner-Funktion auszu-
22 D.-G. Welsch, W. Vogel, T. Opatrný, Progr. in Optics XXXIX,63(1999).
23 Für 2|C| 2 =1 in (6.102) and (6.103) stellt (6.104) den Zusammenhang zwischen den Quadrature-
Component-Verteilungen p(˜x, ˜ϕ) unddenDichtematrixelementen〈x−x ′ , ϕ|ˆϱ|x+x ′ , ϕ〉 in der durch
den Phasenwinkel ϕ festgelegten Quadrature-Component-Darstellung dar.

192 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
drücken. In Verallgemeinerung von (6.85) erhalten wir
〈F −F ′ , ϕ|ˆϱ|F +F ′ , ϕ〉 = 1 ∫ {
dy exp
(−2i F ′ )
2|C|
|C| y [ ( )]}
F
F
× W
2|C| cos ϕ−y sin ϕ+i 2|C| sin ϕ+y cos ϕ .(6.105)
Bei Kenntnis der Wigner-Funktion kann also jedes Dichtematrixelement
mittels einer einfachen Fourier-Transformation aus dieser
rekonstruiert werden. Andererseits erfordert die Rekonstruktion
der Wigner-Funktion aus den gemessenen Verteilungen p(F, ϕ)eine
dreifache Fourier-Integration (inverse Radon-Transformation),
so daß sich insgesamt ein Vierfachintegral ergibt. Es liegt deshalb
auf der Hand, daß es effektiver ist, die Dichtematrixelemente direkt
aus den gemessenen Verteilungen zu rekonstruieren.
• Die zur Rekonstruktion der Wigner-Funktion notwendige Dreifachintegration
bringt die Tatsache zum Ausdruck, daß kein
nichtsingulärer Integralkern existiert, dessen mit p(F, ϕ) gewichtetes
Integral über F und ϕ gerade die Wigner-Funktion ergibt.
Obwohl zur Rekonstruktion der Dichtematrixelemente in
jeder beliebigen Feldstärkedarstellung nur eine Zweifachintegration
notwendig ist, läßt sich diese nicht als Integral über F und
ϕ mit nichtsingulärem Integralkern darstellen.
• Es sei  eine Größe, für deren Erwartungswert 〈Â〉 ein nichtsingulärer
Integralkern definiert werden kann, dessen mit p(F, ϕ)
gewichtetes Integral über F und ϕ gerade 〈Â〉 liefert:
〈Â〉 =
∫ π
0
∫
dϕ
dF p(F, ϕ) K(A, F, ϕ) (6.106)
In diesem Fall wird die experimentelle Rekonstruktion des Erwartungswerts
〈Â〉 denkbar einfach, da er aus den experimentellen
Daten mittels Samplingtechnik direktrekonstruiertwerden

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 193
kann. 24 Entsprechend (3.91) gilt
ˆϱ = 1 ∫ {
d 2 α Tr ˆϱ
π
ˆD(−α)
} ∫
1 ˆD(α) = d 2 α Φ(−α;0)ˆD(α).
π
(6.107)
Wir verwenden den Zusammenhang zwischen den charakteristischen
Funktionen Φ(α; s) undΨ(y, ϕ) vons-parametrisierter
Phasenraumfunktionen und Feldstärkeverteilungen [siehe die
Gleichungen (6.76) – (6.79)] und erhalten nach einer kurzen Rechnung
∫ π ∫
ˆϱ = |C|2 dϕ dy |y|Ψ(−y, ϕ)
π
ˆD(iyC ∗ ) (6.108)
bzw.
mit
0
ˆϱ =
ˆK(F, ϕ) = |C|2
π
∫ π
0
∫
∫
dϕ
dF p(F, ϕ) ˆK(F, ϕ) (6.109)
{
dy|y| exp iy[ ˆF
}
(ϕ) − F ] . (6.110)
Somit läßt sich der Erwartungswert einer Größe  formal immer
in der Gestalt (6.106) aufschreiben, wobei der Integralkern
K(A, F, ϕ)=Tr [ ˆK(F, ϕ) Â ] (6.111)
auch singulär werden kann, wie die Beispiele der Wigner-Funktion
[Â=ˆδ(α−â)] und der Dichtematrix in einer Feldstärkedarstellung
(Â = |F, ϕ〉〈F ′ , ϕ|) zeigen.
6.2.4 Dichtematrix in der Fock-Basis
Die Dichtematrixelemente in der Fock-Darstellung, 〈n|ˆϱ|m〉, können
mittels Samplingtechnik aus den gemessenen Verteilungen p(F, ϕ) re-
24 Samplingmethoden sind natürlich nicht nur bezüglich p(F, ϕ), sondern anderer meßbarer Verteilungen
anwendbar.

194 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
konstruiert werden:
〈m|ˆϱ|n〉 =
∫ π
0
∫
dϕ
dF p(F, ϕ) K mn (F, ϕ) (6.112)
Das heißt, im Falle  = |n〉〈m| liefert (6.111) für alle Werte von n und
m gutartige“ Integralkerne (Samplingfunktionen) 25
”
K mn (F, ϕ) =〈m| ˆK(F, ϕ)|n〉 = |C|2
π
Unter Berücksichtigung der Beziehung
∫
{
dy|y|〈m| exp iy[ ˆF
}
(ϕ) − F ] |n〉.
(6.113)
ˆF (ϕ) =e iˆnϕ ˆF (0)e
−iˆnϕ
(6.114)
[siehe (2.217) und (2.218)] folgt aus (6.113), daß
( ) F
K mn (F, ϕ) =e i(m−n)ϕ f mn √
2|C|
(6.115)
gilt, wobei die Funktionen f mn (x) offensichtlich in der Form
f mn (x) = 1 ∫
dy|y|〈m| exp{iy[ˆx − x]}|n〉 (6.116)
2π
[ˆx ≡ ˆx(0) = (â +â † )/ √ 2] geschrieben werden können. Aus (6.110) ist
leicht ersichtlich, daß ˆK(F, ϕ + π) = ˆK(−F, ϕ) giltunddemzufolge
auch K mn (F, ϕ + π)=K mn (−F, ϕ). Folglich muß f mn (x) derSymmetriebedingung
f mn (−x) =(−1) m−n f mn (x) (6.117)
genügen.
25 Beachte, daß die Integralkerne i. allg. nicht eindeutig bestimmt sind.

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 195
Wir wollen die Gleichung (6.116) hier nicht weiter auswerten, sondern
die Funktionen f mn (x)e i(m−n)ϕ auf einem etwas anderem Wege bestimmen.
Dazu erinnern wir daran, daß sie die Integralkerne darstellen,
um gemäß (6.112) die Umkehrtransformation von
p(x, ϕ) =〈x, ϕ|ˆϱ|x, ϕ〉 = ∑ m,n〈x, ϕ|m〉〈x, ϕ|n〉 ∗ 〈m|ˆϱ|n〉 (6.118)
zu realisieren und damit die Dichtematrixelemente ϱ mn = 〈m|ˆϱ|n〉 aus
p(x, ϕ) zubestimmen.Mit
[siehe (2.223)] lautet (6.118)
〈x, ϕ|m〉 = e −imϕ 〈x|m〉 (6.119)
p(x, ϕ) = ∑ m,n
g mn (x)e −i(m−n)ϕ ϱ mn , (6.120)
g mn (x) =ψ m (x)ψ n (x), (6.121)
wobei die Funktionen ψ m (x) =〈x|m〉 als Energieeigenfunktionen des
harmonischen Oszillators (in skalierter Ortsdarstellung) die regulären
(d.h. normierbaren) Lösungen der Differentialgleichung
[
1
2
d 2
dx 2 + ( m + 1 2 − 1 2 x2)] φ m (x) =0 (6.122)
sind [siehe die Gleichungen (2.214) und (2.216)]. Neben den regulären
Lösungen φ m (x)=ψ m (x)besitztdieGleichung(6.122)bekanntlichnoch
irreguläre Lösungen φ m (x)=ϕ m (x), die als nicht normierbare Lösungen
bei der Behandlung des Energieeigenwertproblems des harmonischen
Oszillators ausgeschlossen werden müssen. Es kann nun gezeigt
werden, daß sich die gesuchten Funktionen f mn (x) aufdieregulären
und irregulären Lösungen ψ m (x) undϕ n (x) derDifferentialgleichung
(6.122) zurückführen lassen: 26
f mn (x) = d
dx [ψ m(x)ϕ n (x)] (6.123)
26 Th. Richter, Phys. Lett. A 211, 327(1996).

196 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Die irregulären Wellenfunktionen ϕ k (x) sinddabeisozuwählen, daß
W k (x) =ψ k (x)ϕ ′ k(x) − ψ k(x)ϕ ′ k (x) =2/π (6.124)
gilt (Strich bedeutet Ableitung nach x). 27
0.6
(4,4)
0.75
(1,4)
0.4
0.5
0.2
0.25
0
0
-0.2
-0.25
-0.4
-0.5
-0.6
-4 -2 0 2 4
q
-0.75
-4 -2 0 2 4
Zwei typische Beispiele für f mn (x) (durchgezogeneLinien)undg mn (x) (unterbrochene
Linien). 28 (q in der Abbildung entspricht x im Text).
q
Zum Beweis der Gleichung (6.123) [zusammen mit (6.124)] bemerken
wir zunächst, daß Multiplikation der Gleichung (6.120) mit
f kl (x)e i(k−l)ϕ und Integration über ϕ und x [unter Beachtung der Symmetriebeziehung
(6.117)]
∫ π
0
mit
∫
dϕ
dxp(x, ϕ)f kl (x)e i(k−l)ϕ = ∑ m,n
[ ∫
π
]
dx ψ m (x)ψ n (x)f kl (x) ϱ mn
(6.125)
m − n = k − l (6.126)
liefert. Damit die rechte Seite von (6.125) ϱ kl ergibt, muß also
∫
π dx ψ m (x)ψ n (x)f kl (x) =δ mk δ nl (6.127)
27 Mit Hilfe der zeitfreien Schrödinger-Gleichung (6.122) ist unschwer zu sehen, daß die Ableitung
der Wronski-Determinante zweier Lösungen ψ k (x) undϕ k (x) dieserGleichungverschwindet,
W ′ k (x)=0, woraus W k(x)=const. folgt. Ist die Konstante ungleich Null, müssen ψ k (x) undϕ k (x)
linear unabhängige Lösungen sein. Das heißt, wenn ψ k (x) dienormierbareLösung ist, muß ϕ k (x)
eine nichtnormierbare Lösung sein.
28 U. Leonhardt, M. Munroe, T. Kiss, Th. Richter, M.G. Raymer, Opt. Commun. 127, 144(1996).

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 197
gelten. Diese Orthogonalitätsrelation kann in ähnlicher Weise bewiesen
werden wie die Orthogonalität der Eigenfunktionen hermitescher Operatoren.
Wir verzichten an dieser Stelle auf den allgemeinen Beweis und
betrachten nur den Diagonal“-Fall
”
∫
∫
G mn = π dx ψ m (x)ψ n (x)f mn (x) =π dx ψ m (x)ψ n (x)[ψ m (x)ϕ n (x)] ′ .
Wir finden
∫
G mn = π
∫
= π
d.h.
= −π
dx ψ m (x)ψ n (x)[ψ ′ m(x)ϕ n (x)+ψ m (x)ϕ ′ n(x)]
{
dx ψ m (x)ϕ n (x)[ψ m (x)ψ n (x)] ′
(6.128)
}
+ ψm(x)[ψ 2 n (x)ϕ ′ n(x) − ψ n(x)ϕ ′ n (x)]
} {{ }
W n
∫
dx ψ m (x)ψ n (x)[ψ m (x)ϕ n (x)] ′ + πW n , (6.129)
2G mn = πW n , (6.130)
woraus G mn =1 für W n =2/π folgt.
Die folgende Abbildung 29 zeigt die mittels Samplingtechnik rekonstruierte
Photonenzahlverteilung eines gequetschten Vakuums. Das Experiment
stellt die erste experimentelle Aufzeichnung der Photonenverteilung
eines gequetschten Vakuums dar.
Die Dichtematrix in der Fock-Darstellung kann natürlich auch aus
den Verteilungen p n (α) kohärent verschobener Fock-Zustände rekonstruiert
werden. Wie bereits mehrfach betont, legt p n (α) alsFunktion
von α für jedes n den Quantenzustand bereits fest. Um aus einer solchen
Phasenraumfunktion die Dichtematrix in der Fock-Darstellung zu erhalten,
muß diese (mehrfach) differenziert werden – ein Verfahren, das
für meßtechnische Zwecke wegen der zu großen Ungenauigkeiten als
wenig geeignet erscheint. Betrachten wir beispielsweise die Q-Funktion
29 S. Schiller, G. Breitenbach, S.F. Pereira, T. Müller, J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. 77, 2933(1996).

198 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Mittels Samplingtechnik aus den Feldstärkeverteilungen rekonstruierte Photonenzahlverteilung
eines gequetschten Vakuums und zum Vergleich in der
Einfügung die des des Vakuums (die experimentellen Werte sind die Punkte).
π −1 p 0 (α), für die unter Berücksichtigung von (2.76)
Q(α) = π −1 〈α|ˆϱ|α〉
〈α|m〉〈n|α〉ϱ mn
= π −1 ∑ mn
= e −|α|2 ∑ mn
α ∗m α n
√
m!n!
ϱ mn (6.131)
geschrieben werden kann. Aus (6.131) ist sofort ersichtlich, daß bei
bekanntem Q(α) diegesuchtenDichtematrixelementeϱ mn wie folgt ermittelt
werden können:
ϱ mn =
π √
m!n!
∂ m+n
Q(α)
∂α ∗m ∂α n e|α|2 ∣ (6.132)
α=0

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 199
Werden die Funktionen p n (α) für alle n gemessen, kann die Dichtemetrix
mittels Samplingtechnik unmittelbar bestimmt werden. Zu
diesem Zweck erinnern wir an die Gleichung
∫
ˆϱ = π d 2 α P (α; s)ˆδ(α−â; −s) (6.133)
[siehe (3.69) und (3.72)], woraus
∫
ϱ mn = π d 2 α P (α; s)〈m|ˆδ(α−â; −s)|n〉 (6.134)
folgt. Wir setzen hier P (α; s) aus(6.69)einunderhalten
ϱ mn = ∑ k
∫
d 2 α K k mn(α) p k (α) (6.135)
mit
K k mn (α) = 2
1 − s
( ) k s +1
〈m|ˆδ(α−â; −s)|n〉. (6.136)
s − 1
Man kann zeigen, 30 daß für −1

200 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
(α = |α|e iϕ ). Für festes |α| fassen wir p n (α)=p n (|α|e iϕ )alsFunktion
von ϕ auf und bilden die Fourierkomponenten
p k n(|α|) = 1 ∫
dϕ p n (α)e ikϕ (6.139)
2π
[k =0, 1, 2,..., p −k
n (|α|)=p k n ∗ (|α|)]. Damit folgt aus (6.137):
2π
p k n (|α|) =∑ m
G m+km
n (|α|)ϱ m+km (6.140)
Die Fourier-Komponenten p k n(|α|) sindalsodurchdieDichtematrixelemente
bestimmt, deren Zeilen- und Spaltenindizes sich jeweils gerade
um k unterscheiden. Damit reduziert sich das Problem der Bestimmung
der Dichtematrixelemente aus den gemessenen Verteilungen auf
die Lösung des Gleichungssystems (6.140), d.h., die Bestimmung der
Dichtematrixelemente ϱ m+km aus den Fourier-Komponenten p k n (|α|)für
festes k (und variables m und n).
0.4
|ϱ| !!""""
0.3
0.2
0.1
0
0
1
n
2
3
0
1
m
2
3
Eine analytische Lösung des Gleichungssystems (6.140) ist nicht
bekannt. Die in der Literatur verwendeten Lösungen (6.140) sind ausschließlich
auf numerischem Wege gefunden worden. Für jeden physikalischen
Quantenzustand müssen die Dichtematrixelemente ϱ lm für

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 201
hinreichend großes l und/oder m verschwindend klein werden. Mit anderen
Worten, für jede geforderte Genauigkeit kann ein n max gefunden
werden, so daß ϱ lm =0 gesetzt werden kann, wenn l und/oder m größer
als n max ist. Das heißt, im Rahmen der geforderten Genauigkeit kann
die Summe in (6.140) auf die Glieder mit m≤n max −k beschränkt werden,
und das Gleichungssystem kann (unter Berücksichtigung endlich
vieler Meßwerte) numerisch ausgewertet werden. Die Abbildung 31 zeigt
als Beispiel die auf diese Weise (für |α|=0.79) rekonstruierte Dichtematrix
des Zustands |Ψ〉 =1/ √ 2(|0〉−i|2〉) (derSchwerpunktsbewegung
eines Fallenions).
6.2.5 Quantenphase
Während Photonenzahlen prinzipiell mitPhotodetektorendirektgemessen
werden können (und nur die technische ”
Unvollkommenheit“
der verfügbaren Detektoren für die unter Umständen hohe Meßungenauigkeit
verantwortlich ist), ist bis heute kein direktes Phasenmeßverfahren
bekannt (zur Definition von Phasenzuständen siehe Abschnitt
2.5). Ist aus experimentellenDatenderQuantenzustandineiner
bestimmten Darstellung bekannt, kann natürlich die Phasenstatistik
durch Berechnen bestimmt werden – ein in der Regel sehr indirektes
und umständliches Verfahren. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist,
aus den gemessenen Daten mittels Samplingtechnik die Phasenstatistik
möglichst direkt zu bestimmen. Die Antwort, die bisher gegeben wurde,
ist, daß sich die exponentiellen Phasenmomente im Rahmen von balancierten
Homodyne-Messungen auf der Grundlage der Samplingformel
(6.106) direkt ermitteln lassen. 32
Wir beginnen mit dem Grenzfall der klassischen Optik. Es
sei W (q, p) dieklassischeWahrscheinlichkeitsdichteimPhasenraum.
Führen wir ebene Polarkoordinaten ein,
q = r cos φ, (6.141)
p = r sin φ, (6.142)
31 D. Leibfried, D.M. Meekhof, B.E. King, C. Monroe, W.M. Itano, D.J. Wineland, Phys. Rev.
Lett. 77, 4281(1996).
32 M. Dakna, T. Opatrný, D.-G. Welsch, Opt. Commun. 148, 355(1998).

202 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
so können wir
W (q, p)dqdp = P (r, φ)drdφ (6.143)
schreiben, wobei für die Wahrscheinlichkeitsdichte P (r, φ)
P (r, φ) =rW(r cos φ,rsin φ) (6.144)
gilt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Phase φ kann dann als Marginalverteilung
von P (r, φ) angesehenwerden,
P (φ) =
∫ ∞
Gemäß (2.245) sowie (6.141) und (6.142) gilt
0
drP(r, φ) (6.145)
x(ϕ) =q cos ϕ + p sin ϕ = r cos(φ − ϕ), (6.146)
so daß die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x, ϕ) inderForm
∫ ∫ ∞
p(x, ϕ) = dφ drP(r, φ) δ[x−r cos(φ−ϕ)] (6.147)
2π
0
geschrieben werden kann. Wie man sich leicht überzeugen kann, stellt
die Gleichung (6.147) nichts anderes als die Radon-Transformation in
(6.88) dar. 33 Wie im Abschnitt 6.2.2 ausgeführt wurde, kann die Gleichung
(6.147) nicht in der Form (6.106) mit regulärem Integralkern
invertiert werden, und damit kann natürlich auch die Phasenverteilung
P (φ) alsMarginalverteilungvonP (r, φ) nichtunmittelbarausdengemessenen
Homodyne-Daten ermittelt werden.
Betrachten wir die exponentiellen Phasenmomente
∫
Ψ k = dφ e ikφ P (φ), (6.148)
2π
d.h. der Fourier-Komponenten von P (φ). Mit (6.145) lautet (6.148)
∫ ∫ ∞
Ψ k = dφ dre ikφ P (r, φ) (6.149)
2π
0
33 Die Phasenraumfunktion W (q, p)inderklassischenTheorieentsprichtoffensichtlich der Wigner-
Funktion in der Quantentheorie.

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 203
(k ≥ 0, Ψ −k = Ψ ∗ k ). Wir wollen annehmen, daß Ψ k (für k>0) gemäß
(6.106) aus p(x, ϕ) bestimmtwerdenkann: 34
∫
Ψ k =
2π
∫
dϕ
K k (x, ϕ) =
dxK k (x, ϕ)p(x, ϕ), (6.150)
∞∑
l=−∞
e ilϕ K kl (x). (6.151)
Wir setzen in (6.150) für p(x, ϕ) denAusdruckaus(6.147)einund
erhalten
∫ ∫ ∫ ∫ ∞
Ψ k = dϕ dx dφ drK k (x, ϕ)δ[x−r cos(φ−ϕ)] P (r, φ).
2π
2π 0
(6.152)
Wenn φ in P (r, φ)durchφ+φ 0 ersetzt wird, P (r, φ)→P (r, φ+φ 0 ), geht
gemäß (6.149) Ψ k in e −ikΦ 0
Ψ k über. Im Hinblick auf (6.152) bedeutet
dies K kl (x)=δ kl K k (x), d.h.
K k (x, ϕ) =e ikϕ K k (x). (6.153)
Wir vergleichen (6.152) [zusammen mit (6.153)] mit (6.149) und sehen,
daß die Funktionen K k (x) dieIntegralgleichung
∫
2π
dφ e ikφ K k (r cos φ) =1 (6.154)
für beliebiges r lösen.
Durch Einsetzen kann man sich unschwer davon überzeugen, daß
für k =1, 3, 5,...und
K k (x) = 1 k−1
(−1) 2
4 k sign x (6.155)
K k (x) =(2π) −1 (−1) k+2
2 k ln |x| (6.156)
34 Beachte, daß es bereits ausreicht, die ϕ-Integration über ein π-Intervall zu erstrecken.

204 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
für k =2, 4, 6,... Lösung der Integralgleichung (6.154) ist. 35 Während
die Integralkerne für ungerades k immer existieren, divergieren sie (logarithmisch)
für ungerades k an der Stelle x =0. Die Divergenz ist
unerheblich, wenn die Mode im Sinne der klassischen Optik hinreichend
stark angeregt ist, so daß p(x, ϕ) für x → 0hinreichendschnell
verschwindet und folglich p(x) ≈ 0inderUmgebungvonx =0 gesetzt
werden darf. Dies ist in der Quantenoptik i. allg. nicht der Fall. Die geraden
Fourier-Komponenten der radial integrierten Wigner-Funktion
(6.145) lassen sich also (ebenso wie die Wigner-Funktion selbst) nicht
in der Form (6.106) mit regulären Integralkernen darstellen.
Bekanntlich kann die Wigner-Funktion in der Quantenoptik i. allg.
nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte und insbesondere die radial integrierte
Wigner-Funktion nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte für die
(kanonische) Phase angesehen werden. Die Integralkerne (6.155) und
(6.156) stellen also nur asymptotisch für großes |x| die Integralkerne
für die exponentiellen Phasenmomente dar. Quantemechanisch ist die
(kanonische) Phasenverteilung P (φ) als
definiert, wobei die Phasenzustände
P (φ) =〈φ|ˆϱ|φ〉 (6.157)
|φ〉 =(2π) −1/2 ∑ n
e inφ |n〉 (6.158)
[siehe (2.281)] der Eigenwertgleichung
ˆV |φ〉 = e iφ |φ〉 (6.159)
[siehe (2.272)] mit
|n〉〈n +1| (6.160)
ˆV = ∑ n
[siehe (2.263)] gilt. Mit (6.157) – (6.160) nimmt (6.148) die Gestalt
Ψ k =Tr (ˆϱ ˆV k) = ∑ n
ϱ n+kn (6.161)
35 Da die Integralkerne in einer Gleichung vom Typ (6.106) nicht eindeutig definiert sind, gibt
es neben (6.155) und (6.156) noch weitere Lösungen der Integralgleichung (6.154). Die Lösungen
(6.155) und (6.156) stellen die einfachsten und für praktische Messungen optimalsten Lösungen dar.

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 205
an. Wir wollen wieder annehmen, daß sich die Ψ k in der Form (6.150)
[zusammen mit (6.151)] darstellen lassen. Ersetzen wir p(x, ϕ) in
(6.150) gemäß (6.120) und (6.121) durch
p(x, ϕ) = ∑ m,n
ψ m (x)ψ n (x)e −i(m−n)ϕ ϱ mn , (6.162)
so liefert der Vergleich mit (6.161)
∫
2π
dxK k (x)ψ n+k (x)ψ n (x) =1 (6.163)
(n =0, 1, 2,...). Die Funktionen K k (x) müssen also für beliebiges n die
Integralgleichung (6.163) erfüllen, die im quantenmechanischen Fall an
die Stelle der Integralgleichung (6.154) der klassischen Theorie tritt.
Die Funktionen K k (x) können auf unterschiedlichem Wege konstruiert
und numerisch berechnet werden. Aus den in der Abbildung gezeigten
K (x)
k
K (x)
k
x
x
Beispielen ist ersichtlich, daß sie nur in unmittelbarer Umgebung des
Vakuums (d.h. x =0) von den Resultaten (6.155) und (6.156) für den
klassischen Grenzfall abweichen. Dieses Ergebnis ist in voller Übereinstimmung
mit der Tatsache, daß das klassische Phasenkonzept versagt,
wenn das Vakuum zum Zustand substantiell beiträgt.
Bemerkenswert ist, daß die Berücksichtigung des Vakuums die Divergenz
bei x =0in(6.156)aufhebt.MitanderenWorten,dieexponentiellen
Phasenmomente lassen sich in der Form (6.150) mit regulären

206 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG
Integralkernen darstellen und können somit mittels Samplingtechnik
aus den gemessenen Homodyne-Daten direkt ermittelt werden. Hervorzuheben
ist, daß das Verfahren vom klassischen Grenzfall bis hin
zum nichtklassischen Quantenfall in einheitlicher Weise anwendbar ist,
d.h. nicht zwischen klassischer Theorie und Quantentheorie unterschieden
werden muß. Die folgende Abbildung 36 zeigt die mittels Samplingtechnik
aus den Feldstärkeverteilungen rekonstruierten exponentiellen
Phasenmomente eines phasengequetschten Zustands [(a) Realteile, (b)
Imaginärteile]. Sind die exponentiellen Phasenmomente bekannt, kann
in einfacher Weise die Phasenverteilung rekonstruiert werden:
P (φ) =(2π) −1
∞
∑
k=−∞
e −ikφ Ψ k . (6.164)
Die letzte Abbildung 37 zeigt die aus 20 exponentiellen Phasenmomenten
(der vorherherigen Abbildung) rekonstruierte Phasenverteilung eines
phasengequetschten Zustands (ϕ in der Abbildung entspricht φ im
Text.)
36 M. Dakna, G. Breitenbach, J. Mlynek, T. Opatrný, S. Schiller, D.-G. Welsch, Opt. Commun.
152, 289(1998).
37 M. Dakna, G. Breitenbach, J. Mlynek, T. Opatrný, S. Schiller, D.-G. Welsch, Opt. Commun.
152, 289(1998).

6.2. QUANTENZUSTANDSREKONSTRUKTION 207

208 KAPITEL 6. QUANTENZUSTANDSMESSUNG

Kapitel 7
Quantenkohärenz
Hat die Schrödinger-Gleichung mehrere Lösungen – etwa |Ψ 1 〉 und |Ψ 2 〉,
so stellt die Linearkombination (kohärente Überlagerung)
|Ψ〉 = c 1 |Ψ 1 〉 + c 2 |Ψ 2 〉 (7.1)
offensichtlich auch einen möglichen Zustand dar. Diese als Superpositionsprinzip
bekannte Tatsache folgt aus der Linearität der Schrödinger-Gleichung.
Das Superpositionsprinzip ist eines der grundlegenden
Prinzipien der Quantenmechanik und wird in der Regel ohne große
Diskussion akzeptiert. Bei genauerem Hinsehen sind damit eine ganze
Reihe von Effekten verbunden, die höchst seltsam anmuten.
Beschreiben |Ψ 1 〉 und |Ψ 2 〉 etwa Zustände, bei denen sich ein Teilchen
an zwei verschiedenen Orten aufhält, so entspricht eine Linearkombination
von |Ψ 1 〉 und |Ψ 2 〉 einem Zustand, bei dem sich das Teilchen an
beiden Orten gewissermaßen gleichzeitig aufhalten kann. Analog kann
man einen Zustand konstruieren, bei dem ein radioaktives Atom zur
gleichen Zeit existiert und bereits zerfallen ist. Der Effekt mutet noch
seltsamer an, wenn makroskopische Objekte betrachtet werden. Das bekannteste
Beispiel stammt von Schrödinger selbst: Wird das quantenmechanische
Einteilchensystem mit einem Mechanismus identifiziert,
der eine Katze tötet, so ist die Katze gleichzeitig lebendig und tot.
209

210 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
7.1 Verschränkte Zustände
Zu verschränkten Zuständen (Entangled States)gelangenwir,wennwir
das Superpositionsprinzip auf ein System anwenden, das im einfachsten
Fall aus zwei wohl unterscheidbaren Teilsystemen besteht. Der Zustand
|Ψ 12 〉 des Gesamtsystems ist unverschränkt, wenn er sich als Produktzustand
gemäß
|Ψ 12 〉 = |Ψ 1 〉⊗|Φ 2 〉 (7.2)
darstellen läßt, wobei |Ψ 1 〉 den Zustand des Systems 1 und |Φ 2 〉 den
Zustand des Systems 2 angibt. Die Zustände |Ψ 1 〉 und |Φ 2 〉 können
beliebige Linearkombinationen von möglichen Zuständen |ψ i 1 〉 und |ϕj 2 〉
des jeweiligen Systems sein,
|Ψ 1 〉 = ∑ i
a i |ψ1 i 〉, (7.3)
|Φ 2 〉 = ∑ j
b j |ϕ j 2 〉, (7.4)
so daß für den Zustand |Ψ 12 〉 in (7.2)
|Ψ 12 〉 = ∑ i,j
a i b j |ψ i 1 〉⊗|ϕj 2 〉 (7.5)
folgt. Der Zustand des Gesamtsystems heißt verschränkt, wenn er sich
nicht als Produktzustand (7.2) darstellen läßt,
so daß an die Stelle von (7.5)
|Ψ 12 〉 ≠ |Ψ 1 〉⊗|Φ 2 〉, (7.6)
|Ψ 12 〉 = ∑ i,j
c ij |ψ i 1 〉⊗|ϕj 2 〉 (7.7)
mit
c ij ≠ a i b j (7.8)
tritt. Auf beliebige (gemischte) Zustände ˆϱ 12 des Gesamtsystems
verallgemeinert, lautet die Definition derquantenmechanischenVerschränkung
wie folgt. Ein Zustand ˆϱ 12 ist verschränkt, wenn er sich

7.1. VERSCHRÄNKTE ZUSTÄNDE 211
nicht in der Form
ˆϱ 12 = ∑ i,j
p ij ˆϱ i 1 ⊗ ˆϱj 2 (7.9)
mit
∑
p ij =1, p ij ≥ 0 (7.10)
i,j
darstellen läßt, wobei ˆϱ i 1 und ˆϱ j 2 Zustände der beiden Teilsysteme sind.
Zustände der Gestalt (7.9) werden auch als separabel bezeichnet. Die
Summe in der Gleichung (7.9) bringt bekanntlich zum Ausdruck, daß
nur mit einer gewissen (klassischen) Wahrscheinlichkeit p ij gesagt werden
kann, daß das System 1 im Zustand ˆϱ i 1 und das System 2 im Zustand
ˆϱ j 2 vorliegt.
Die Zustände ˆϱ i 1 und ˆϱ j 2 in der Gleichung (7.9) können o.B.d.A. als
reine Zustände angesehen werden, d.h. (ˆϱ i 1) 2 =ˆϱ i 1 und (ˆϱ j 2 )2 =ˆϱ j 2 ,daˆϱi 1
und ˆϱ j 2 nach ihren Eigenzuständen entwickelt werden können. Beispiele
für verschränkte Zustände sind uns bereits im Abschnitt 5.5 begegnet.
Werden zwei in einem reinen (nicht notwendigerweise verschränkten)
Zustand präparierte Moden an einem Strahlteiler gemischt, so wird i.
allg. ein verschränkter Zustand erzeugt. Eine Ausnahme bilden offensichtlich
Glauber-Zustände, die wieder in Glauber-Zustände übergehen
(erstes Beispiel im Abschnitt 5.5).
Wie kann nun der Grad der quantenmechanischen Verschränkung
eines gegebenen Zustands ˆϱ 12 quantifiziert werden? Die quantenmechanische
Verschränkung eines Zustands kann als Ausdruck dessen angesehen
werden, daß die beiden Teilsysteme nichtklassisch korreliert sind,
d.h. ihre Korrelation klassisch-stochastisch nicht modellierbar ist. Ein
globales Maß für die Korrelation zweier Systeme stellt die gegenseitige
(von-Neumann-)Entropie
dar, wobei
S C = S 1 + S 2 − S 12 (7.11)
S 12 = −Tr ( ˆϱ 12 log ˆϱ 12 ) (7.12)
die Entropie des Gesamtsystems (d.h. die in diesem System insgesamt
enthaltene Information 1 )undS 1 und S 2 die Entropien der beiden Teil-
1 In der Informationstheorie wird üblicherweise der Logarithmus zur Basis 2 betrachtet.

212 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
systeme sind (d.h. die im jeweils betrachteten Teilsystem enthaltene
Information). Der jeweilige Dichteoperator folgt aus ˆϱ 12 durch Spurbildung
bezüglich des jeweils anderen Systems. So lautet beispielsweise
S 1
S 1 = −Tr ( ˆϱ 1 log ˆϱ 1 ), ˆϱ 1 =Tr 2 ˆϱ 12 (7.13)
(die Spurbildung bezüglich des zweiten Systems ist durch die Schreibweise
Tr 2 angezeigt). Die Entropien S 1 , S 2 und S 12 genügen den Araki-
Lieb-Ungleichungen 2 |S 1 − S 2 | ≤ S 12 ≤ S 1 + S 2 . (7.14)
Sind die beiden Systeme unkorreliert, ist S C =0, da in diesem Fall
offensichtlich S 12 = S 1 + S 2 gilt. Maximale Korrelation S C = S 1 + S 2
liegt für S 12 =0 vor, d.h. für verschwindenden Informationsinhalt des
Gesamtsystems. Jedoch ist aus S C i. allg. nicht zu entnehmen, ob und
inwieweit die beiden Systeme nichtklassisch korreliert sind.
Wir wollen zunächst annehmen, daß es sich bei den beiden Systemen
um klassisch-stochastische Systeme mit den als diskret angenommenen
Variablen α 1 und α 2 handelt und p α1 α 2
die Verbundwahrscheinlichkeit
für das Gesamtsystem ist. 3 Der Informationsgehalt beispielsweise des
ersten Teilsystems ist dann 4
S 1 = − ∑ α 1
p α1 log p α1 , (7.15)
wobei
p α1 = ∑ α 2
p α1 ,α 2
(7.16)
gilt. Damit wird aus (7.15)
S 1 = − ∑ α 1
∑
p α1 ,α ′ 2
)
. (7.17)
α 2
p α1 ,α 2
log( ∑
α ′ 2
2 H. Araki, E. Lieb, Commun. Math. Phys. 18, 160(1970).
3 Mit α ist ein i. allg. mehrdimensionaler Variablenraum gemeint. Im Falle von Strahlungsfeldmoden
ist α mit Zellen im Phasenraum der komplexen Amplituden zu identifizieren.
4 Quantenmechanisch entspricht die Größe in (7.15) der Wehrl-Entropie, wenn (im kontinuierlichen
Grenzfall) p mit der Q-Funktion identifiziert wird.

7.1. VERSCHRÄNKTE ZUSTÄNDE 213
Offensichtlich gilt
log
p α1 ,α ′ 2
)
≥ log p α1 ,β 2
(7.18)
( ∑
α ′ 2
für beliebiges β 2 . Speziell für β 2 =α 2 läßt sich somit S 1 in (7.17) gemäß
S 1 ≤− ∑ ∑
p α1 ,α 2
log p α1 ,α 2
= S 12 (7.19)
α 1 α 2
abschätzen, so daß
S 12 − S 1 = S 2|1 ≥ 0 (7.20)
(und analog S 12 − S 2 = S 1|2 ≥ 0) gilt. Das heißt, für beliebige klassische
Systeme können die bedingten Entropien S 2|1 und S 1|2 nicht negativ
werden.
Benutzen wir S C in (7.11) als Korrelationsmaß, so bedeutet S C ≥ 0,
daß die Ungleichungen
S 2 ≥ S 12 − S 1 (7.21)
und
S 1 ≥ S 12 − S 2 (7.22)
simultan erfüllt sind. Das System ist also korreliert (S C > 0), und die
Korrelation besitzt ein klassisch-stochastisches Analogon, falls (7.21)
und (7.22) zu
S 2 >S 12 − S 1 ≥ 0 (7.23)
und
erweitert werden können. Wenn andererseits
S 1 >S 12 − S 2 ≥ 0 (7.24)
S 12 − min (S 1 ,S 2 ) < 0 (7.25)
gilt, ist eine klassisch-stochastische Modellierung der Korrelation nicht
möglich, d.h., die Korrelation ist in jedem Fall nichtklassisch dominiert.
5
5 Ein schwächeres Kriterium, das bereits auf nichtklassisches Korrelationsverhalten schließen läßt,
ist offensichtlich S 12 − max (S 1 ,S 2 ) < 0.

214 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Befindet sich das Gesamtsystem in einem reinen Zustand |Ψ 12 〉,so
gilt S 12 =0,und die ersteder Ungleichungen(7.14)liefertS 1 =S 2 ,d.h.,
die Entropien der beiden Teilsysteme sind gleich. Läßt sich ferner |Ψ 12 〉
nicht als direktes Produkt der Form (7.2) darstellen (S C > 0), so ist
offensichtlich S 1 = S 2 > 0, und die Ungleichung (7.25) ist immer erfüllt.
Im Falle eines reinen Zustand wird
E = S 1 = S 2
(7.26)
üblicherweise als Verschränkungsmaß angesehen. Es ist die Information,
die in einem Teilsystem enthalten ist und durch Messung an dem
anderen Teilsystem gewonnen werden kann. 6
Wenn kein reiner Zustand vorliegt und die Ungleichung (7.25) erfüllt
ist, kann i. allg. nur geschlossen werden, daß der Zustand mit Sicherheit
verschränkt ist, wobei die Frage nach dem tatsächlichen Anteil der
nichtklassischen Korrelation in diesem Zustand noch offen ist und nur
beantwortet werden kann, wenn das Verschränkungsmaß E = E(ˆϱ 12 )
tatsächlich sämtliche klassische Korrelation ausschließt. Dazu gibt es
eine Reihe von Vorschlägen, insbesondere auch die Bedingungen betreffend,
die jedes Verschränkungsmaß erfüllen sollte. Solche Bedingungen
sind: 7
(1) E(ˆϱ 12 )=0 für Zustände der Form (7.9) [zusammen mit (7.10)].
(2) E(ˆϱ 12 )istinvariantunterlokalenunitären Transformationen,
E(ˆϱ 12 )=E ( Û 1 ⊗ Û2ˆϱ 12 Û † 1 ⊗ Û † 2)
. (7.27)
6 Befinden sich die beiden Teilsysteme anfangs in einem reinen, verschränkten Zustand und wird
beispielsweise das erste Teilsystem durch einen verrauschten (d.h. verlustbehafteten) Quantenkanal
geschickt, so ist der Endzustand der beiden Teilsysteme i. allg. ein Gemisch mit von Null verschiedener
Entropie S 1′ 2 (woraus S 1 ′ als neue Entropie des ersten Teilsystems folgt). In diesem Zusammenhang
wird die Größe I E = S 1 ′ − S 1′ 2 auch als kohärente (Quanten-)Information bezeichnet
und als Maß für den Grad der am Ende des Übertragungskanals noch vorhandenen Verschränkung
angesehen [B. Schumacher, M.A. Nielson, Phys. Rev. A 54, 2629(1996)].
7 V. Vedral, M.B. Plenio, M.A. Rippin, P.L. Knight, Phys. Rev. Lett. 78, 2275(1997).

7.2. NO-CLONING-THEOREM 215
(3) Eine vollständig positive, spurerhaltende Abbildung
ˆϱ 12 → ∑ ˆσ i , ˆσ i = ˆV †
i ˆϱ 12 ˆV i , ˆVi = ˆV
∑
1i ˆV2i , ˆV †
i
ˆV i = Î,
i
i
(7.28)
kann die Verschränkung nicht erhöhen,
∑
Tr ˆσ i E(ˆσ i /Tr ˆσ i ) ≤ E(ˆϱ 12 ). (7.29)
i
Es sei D die Gesamtheit aller nichtverschränkten Zustände ˆσ 12 für das
betrachtete Gesamtsystem. Ein Maß für die Verschränkung eines gegebenen
Zustands ˆϱ 12 kann dann als
E(ˆϱ 12 )=minD(ˆϱ 12 ||ˆσ 12 )|ˆσ12 ∈D
(7.30)
definiert werden, wobei D ein Maß für den Abstand zwischen den
Zuständen ˆϱ 12 und ˆσ 12 ist, das den Bedingungen (1)–(3) genügt. Ein
solches Abstandsmaß ist beispielsweise die relative Entropie
D(ˆϱ 12 ||ˆσ 12 )=S(ˆϱ 12 ||ˆσ 12 )=Tr [ˆϱ 12 (log ˆϱ 12 − log ˆσ 12 ) ] . (7.31)
Im Falle eines reinen Zustands führt das auf der relativen Entropie
(7.31) basierende Verschränkungsmaß (7.30) gerade auf die Untersystementropie
gemäß (7.26). 8
7.2 No-Cloning-Theorem
Die Möglichkeit, quantenmechanische Zustände im Sinne der Gleichung
(7.1) kohärent zu überlagern, hat zur Folge, daß es unmöglich ist eine
Apparatur zu konstruieren, die einen beliebigen unbekannten Quantenzustand
kopiert. Dieser auch als No-Cloning-Theorem bezeichnete
Sachverhalt läßt sich wie folgt indirekt beweisen, indem wir zunächst
annehmen, daß es möglich ist, einen beliebigen unbekannten Quantenzustand
zu kopieren. Um eine Kopie von einem Quantenzustand |Ψ〉
zu erzeugen, muß das im Zustand |Ψ 1 〉 = |Ψ〉 präparierte erste System
8 V. Vedral, M.B. Plenio, Phys. Rev. A 57, 1619(1998).

216 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
zusammen mit einem zweiten in einem Zustand |Φ 2 〉 = |Φ〉 (etwa dem
Grundzustand) befindlichem System dazu gebracht werden, die (zeitliche)
Entwicklung
Û|Ψ〉⊗|Φ〉 = |Ψ〉⊗|Ψ〉 (7.32)
zu durchlaufen, wobei Û der entsprechende (universelle) unitäre Transformationsoperator
ist. Da die Gleichung (7.32) für jeden zu kopierenden
Zustand |Ψ〉 gelten muß, darf Û nicht von |Ψ〉 abhängen, d.h., für
zwei Zustände |Ψ (a) 〉 und |Ψ (b) 〉 muß gleichermaßen
und
Û|Ψ (a) 〉⊗|Φ〉 = |Ψ (a) 〉⊗|Ψ (a) 〉 (7.33)
Û|Ψ (b) 〉⊗|Φ〉 = |Ψ (b) 〉⊗|Ψ (b) 〉 (7.34)
gelten. Nunmehr betrachten wir einen Zustand
|Ψ (c) 〉 = C ( |Ψ (a) 〉 + |Ψ (b) 〉 ) . (7.35)
Anwenden der Kopiervorschrift liefert
)
Û|Ψ (c) 〉⊗|Φ〉 = C
(Û|Ψ (a) 〉⊗|Φ〉 + Û|Ψ(b) 〉⊗|Φ〉
(
)
= C |Ψ (a) 〉⊗|Ψ (a) 〉 + |Ψ (b) 〉⊗|Ψ (b) 〉
≠ |Ψ (c) 〉⊗|Ψ (c) 〉, (7.36)
d.h., die Annahme der Existenz einer zustandsunabhängigen Kopieroperation
muß offensichtlich falsch sein. Im übrigen müßten die
Zustände |Ψ (a) 〉 und |Ψ (b) 〉 orthogonal sein, da bei einer unitären Transformation
eines Zustandsvektors seine Norm erhalten bleiben muß.
Wichtig ist, daß sich das No-Cloning-Theorem auf einen unbekannten
Quantenzustand bezieht, der kopiert werden soll. Es ist natürlich
prinzipiell möglich, einen bekannten Quantenzustand zu kopieren.
Denkbar ist auch, ausgehend von einem unbekannten Zustand
|Ψ〉 = a|ϕ〉 + b|ψ〉 (7.37)
des ersten Systems, ein zweites System hinzuzunehmen und das Gesamtsystem
in dem verschränkten Zustand
|Ψ〉 = a|ϕ〉⊗|ϕ〉 + b|ψ〉⊗|ψ〉 (7.38)

7.3. EPR-PARADOXON 217
zu präparieren. Wenn die Zustände |ϕ〉 und |ψ〉 zu einer orthogonalen
Basis gehören, so verhalten sich beide Systeme bei einer Messung
bezüglich dieser Basis offensichtlich gleich, was natürlich für andere
Basen nicht der Fall ist.
7.3 EPR-Paradoxon
Der Zustand (7.38) als ein einfaches Beispiel für einen verschränkten
Zustand kann speziell durch ein Paar polarisierter Photonen realisiert
werden. Betrachten wir polarisierte Photonen definierter Ausbreitungsrichtung.
Um die zwei möglichen Polarisationsfreiheitsgrade zu erfassen,
bedarf es bekanntlich einer 2-Modenbeschreibung. Wir wollen uns
im weiteren auf lineare Polarisation beschränken. Die zwei senkrecht
zueinander stehenden Polarisationsrichtungen seien durch die x- und
die y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems festgelegt, dessen
z-Achse die Ausbreitungsrichtung definiert. Die den beiden Polarisationsrichtungen
zugeordneten Vernichtungsoperatoren seien â 1 und â 2
und die entsprechenden Fock-Zustände |n 1 ,n 2 〉 = |n 1 〉⊗|n 2 〉.DerPolarisationszustand
eines Photons kann dann durch Zustände |j〉,
|j〉 =
{ |1, 0〉 ≡|11 , 0 2 〉 für j =0,
|0, 1〉 ≡|0 1 , 1 2 〉 für j =1
(7.39)
festgelegt werden (|j =0〉: dasPhotonistparallelzurx-Achse polarisiert;
|j =1〉: dasPhotonistparallelzury-Achse polarisiert). Ein
möglicher verschränkter Zustand eines Photonenpaars ist
|Ψ〉 = 1 √
2
(
|0〉⊗|1〉 + |1〉⊗|0〉
)
, (7.40)
wobei der Zustand, bei dem Photon 1 parallel zur x-Achse und Photon
2parallelzury-Achse polarisiert ist, mit dem Zustand verschränkt ist,
bei dem nunmehr Photon 1 parallel zur y-Achse und Photon 2 parallel
zur x-Achse polarisiert ist. Die Polarisation eines einzelnen Photons
eines solchen Paars ist also völlig unbestimmt. Eine Messung des Polarisationszustands
beispielsweise des erstenPhotonskannsowohlPolarisation
parallel zur x-Achse als auch parallel zur y-Achse ergeben, das

218 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Ergebnis ist völlig unbestimmt und rein zufällig. Nichtsdestoweniger
weiß“ Photon 2, das sich beliebig weit entfernt von Photon 1 befinden
”
kann, ganz genau, welche Polarisationsrichtung es infolge einer Polarisationsmessung
am Photon 1 annehmen muß – als Konsequenz der
Orthogonalität der Zustände |0 1 〉⊗|1 2 〉 und |1 1 〉⊗|0 2 〉.
Dieses Problem – auch als EPR-Paradoxon bekannt geworden –
hat schon immer für philosophische Debatten gesorgt. Der Name EPR-
Paradoxon geht auf einen 1935 von Einstein, Podolsky und Rosen verfaßten
Artikel zurück. 9 Wir wollen die dort behandelte Problematik am
Beispiel der Polarisationszustände unseres Photonenpaars erläutern.
Wird an einem Photon nach Passieren eines entsprechend polarisierenden
Strahlteilers eine Polarisationsmessung in einem um den Winkel θ
(um die z-Achse) gedrehten Koordinatensystems durchgeführt,
x ′ = Tx+ Ry, (7.41)
y ′ = −Rx + Ty, (7.42)
T = cos θ, R =sinθ, (7.43)
so ergeben sich die Vernichtungsoperatoren â ′ 1 und â ′ 2,diedendurch
die x ′ -Achse und die y ′ -Achse definierten Polarisationsrichtungen eines
Photons zugeordnet sind, gemäß einer unitären Transformation (siehe
Abschnitt 5.3),
â ′ 1 = Û † â 1 Û = T â 1 + Râ 2 , (7.44)
â ′ 2 = Û † â 2 Û = −Râ 1 + T â 2 , (7.45)
Û = T ˆn 1
exp ( −Râ † ) (
exp Râ
†
2â1
1â2) T
−ˆn 2
. (7.46)
Der Operatortransformation in (7.44) und (7.45) entspricht die Zustandstransformation
(|Ψ ′ 〉≡|Ψ〉 θ )
|Ψ〉 θ = Û|Ψ〉. (7.47)
Wir wenden die Transformation (7.47) auf die Zustände
|1, 0〉 =â † 1 |0, 0〉, |0, 1〉 =↠2 |0, 0〉 (7.48)
9 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality
be Considered Complete, Phys.Rev.44, 777(1935).

7.3. EPR-PARADOXON 219
an und erhalten nach einer einfachen Rechnung
|1, 0〉 θ = T |1, 0〉−R|0, 1〉 =cosθ|1, 0〉−sin θ|0, 1〉, (7.49)
|0, 1〉 θ = R|1, 0〉 + T |0, 1〉 =sinθ|1, 0〉 +cosθ|0, 1〉. (7.50)
Als ein Maß für den Polarisationsgrad eines Photons im xy-
Basissystem kann die Größe (Inversion)
angesehen werden und analog
ˆP = |0, 1〉〈0, 1| − |1, 0〉〈1, 0| (7.51)
ˆP θ = Û † ˆP Û = Û † |0, 1〉〈0, 1|Û − Û † |1, 0〉〈1, 0|Û (7.52)
für den Polarisationsgrad in einem gedrehten Koordinatensystem. Wir
verwenden die Transformationsformeln (7.49) und (7.50) (θ →−θ) 10
und drücken ˆP θ in der Ausgangsbasis aus. Eine einfache Rechnung liefert
ˆP θ =(T 2 − R 2 ) ˆP +2RT (|0, 1〉〈1, 0| + |1, 0〉〈0, 1|)
=cos(2θ) ˆP +sin(2θ)(|0, 1〉〈1, 0| − |1, 0〉〈0, 1|). (7.53)
Es ist unschwer zu sehen, daß [für sin(2θ) ≠0]
[ ˆP, ˆPθ
]
=2sin(2θ)(|0, 1〉〈1, 0| − |1, 0〉〈0, 1|) ≠0 (7.54)
gilt. Mit anderen Worten, ˆP und ˆPθ besitzen [für sin(2θ) ≠0] kein gemeinsames
Eigenvektorsystem und repräsentieren folglich keine gleichzeitig
scharf meßbaren Größen.
Wir betrachten nunmehr Photonen in zwei Ausbreitungsrichtungen
und ordnen ihnen ein 4-Modensystem wie folgt zu. Die Moden
1und2(Vernichtungsoperatorenâ 1 und â 2 )sollendiesenkrechtzueinander
linear polarisierten Wellen darstellen,diewirdenPhotonen
in der einen Ausbreitungsrichtung zuordnen. Analog sollen die Moden
3und4(Vernichtungsoperatorenâ 3 und â 4 )diesenkrechtzueinander
linear polarisierten Wellen darstellen, die wir den Photonen in der
10 Beachte ˆP θ = Û † ˆP Û.

220 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
anderen Ausbreitungsrichtung zuordnen. In jeder der beiden Ausbreitungsrichtungen
wird die Strahlung durch einen polarisierenden Strahlteiler
geschickt. Die durch den polarisierenden Strahlteiler in der einen
Ausbreitungsrichtung definierte Basis sei um den Winkel θ 1 und die
durch den Strahlteiler in der anderen Ausbreitungsrichtungdefinierte
Basis um den Winkel θ 2 bezüglich des xy-Ausgangsbasissystems gedreht.
Verfolgen wir, was mit einem verschränkten Polarisationszustand
Polarisationsfilter 1 (Winkel θ 1 ) Polarisationsfilter 2 (Winkel θ 2 )
â 1
Photonenquelle
â 2
â 3
â 4
des Typs (7.40) geschieht, d.h. dem Zustand
|Ψ〉 = 1 √
2
(
|11 , 0 2 〉⊗|1 3 , 0 4 〉 + |0 1 , 1 2 〉 12 ⊗ |0 3 , 1 4 〉 34
)
(7.55)
eines Photonenpaars, wie es von einem Atom bei einem 2-Photonen-
Kaskadenübergang J =0→ J =1→ J =0 erzeugt werden kann. Anwenden
der Transformationsformeln (7.49) und (7.50) auf jeden der beiden
Zustände in (7.55) liefert den verschränkten Zustand, in dem sich die
beiden Photonen des Paars nach Passieren des jeweiligen polarisierenden
Strahlteilers befinden:
|Ψ〉 θ1 θ 2
= 1 √
2
(
|11 , 0 2 〉 θ1 ⊗ |1 3 , 0 4 〉 θ2 + |0 1 , 1 2 〉 θ1 ⊗ |0 3 , 1 4 〉 θ2
)
= 1 √
2
[(T 1 T 2 +R 1 R 2 ) |1 1 , 0 2 , 1 3 , 0 4 〉 +(R 1 T 2 −T 1 R 2 ) |1 1 , 0 2 , 0 3 , 1 4 〉
− (R 1 T 2 −T 1 R 2 ) |0 1 , 1 2 , 1 3 , 0 4 〉 +(T 1 T 2 +R 1 R 2 ) |0 1 , 1 2 , 0 3 , 1 4 〉]
= 1 √
2
[cos θ 21 |1 1 , 0 2 , 1 3 , 0 4 〉−sin θ 21 |1 1 , 0 2 , 0 3 , 1 4 〉
+sinθ 21 |0 1 , 1 2 , 1 3 , 0 4 〉 +cosθ 21 |0 1 , 1 2 , 0 3 , 1 4 〉] (7.56)

7.3. EPR-PARADOXON 221
(θ 21 = θ 2 − θ 1 ). Wir fassen etwas anders zusammen und schreiben
|Ψ〉 θ1 θ 2
= 1 √
2
|1 1 , 0 2 〉⊗(cos θ 21 |1 3 , 0 4 〉−sin θ 21 |0 3 , 1 4 〉)
+ 1 √
2
|0 1 , 1 2 〉⊗(sin θ 21 |1 3 , 0 4 〉 +cosθ 21 |0 3 , 1 4 〉)
= 1 √
2
(|1 1 , 0 2 〉⊗|1 3 , 0 4 〉 θ21 + |0 1 , 1 2 〉⊗|0 3 , 1 4 〉 θ21 ) . (7.57)
Wir wollen annehmen, daß der Polarisationszustand des ersten Photons
in dem um den Winkel θ 1 (bezüglich des Ausgangsbasissystems)
gedrehten Basissystem gemessen wird, d.h., ˆPθ1 ist bezüglich des (untransformierten)
Ausgangszustands (7.55) der der Meßgröße zugeordnete
Operator. 11 Die Gleichung (7.57) besagt dann, daß im Ergebnis
einer solchen Messung das Ergebnis einer Messung des Polarisationszustands
des (räumlich beliebig weit entfernten) zweiten Photons in einer
um den Winkel θ 21 gedrehten Basissystem mit Sicherheit vorhergesagt
werden kann, ohne in direkte Wechselwirkung mit diesem Photon zu
treten. Da (für gegebenen Winkel θ 2 ) der Winkel θ 1 für die Polarisationsmessung
am ersten Photon beliebig variierbar ist, kann der Polarisationszustand
des zweiten Photons für beliebige Winkel θ 21 eindeutig
festgelegt werden, ohne mit dem zweiten Photon in irgendeiner Weise
in Kontakt zu treten.
In dem eingangs erwähnten Artikel von Einstein, Podolsky und Rosen
wird dazu ausgeführt, daß dann, wenn der Ausgang einer Messung
einer Größe eines Systems mit Sicherheit vorhergesagt werden kann,
ohne das System in irgendeiner Weise zu stören (also ohne mit dem
System in direkten Kontakt zu treten), ... there exists an element of
physical reality corresponding to this physical quantity ... In unserem
Fall bedeutet die EPR-Argumentation, daß ˆP θ21 für zwei beliebige Winkel
θ 21 =θ 21 ′ und θ 21 ′′ und θ 21 =θ 21≠ ′ θ 21 ′′ gleichzeitig physikalische Realität
sein müssen – im Widerspruch zur Quantenmechanik, die das gerade
auschließt, da ˆP θ
′
21
und ˆP θ
′′ nicht vertauschen und folglich nicht gleichzeitig
definierte Werte annehmen
21
können.
11 Beachte, daß bezüglich des transformierten Zustandsvektors (7.57) der Meßgröße der untransformierte
Operator ˆP = |0 1 , 1 2 〉〈0 1 , 1 2 | − |1 1 , 0 2 〉〈1 1 , 0 2 | zugeordnet ist.

222 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
In dem Artikel wird versucht, den Widerspruch dahingehend zu
lösen, daß die Quantenmechanik als eine nicht vollständige physikalische
Theorie anzusehen ist. So heißt es in einer abschließenden Bemerkung:
While we have thus shown that the wave function does not
provide a complete description of the physical reality, we left open
the question of whether or not such a description exists. We believe,
however, that such a theory is possible. 12 Die Vorstellung dabei ist,
daß eine vollständige Zustandsbeschreibung die Berücksichtigung von
weiteren Größen erfordert, die, da sie nicht bekannt sind, auch oft verborgene
Variablen (oder verborgene Parameter) genannt werden. Unter
Einbeziehung zusätzlicher Größen könnte der Zufall aus der Quantentheorie
verbannt und insbesondere gesichert werden, daß eine Messung
an einem System keinen Einfluß auf die Messung an einem räumlich
(beliebig weit entfernten) zweiten System ausüben kann, da nunmehr
die Eigenschaften beider Systeme von vornherein eindeutig festgelegt
werden können. Beobachtete Korrelationen bei Messungen an räumlich
getrennten Systemen sind dann – analog zur statistischen Mechanik
–AusdruckunsererUnkenntnisdieserzusätzlichen Größen, da diese
durch die Messungen nicht eindeutig festgelegt werden.
Im Sinne der statistischen Interpretation der Quantenmechanik
ist die EPR-Argumentation natürlich unzulässig. Der Polarisationszustand
des zweiten Photons ist erst dann festgelegt, wenn am ersten
Photon eine Messung ausgeführt worden ist, wobei das Ergebnis der
Messung völlig zufällig ist, z.B. Polarisation parallel zur x ′ -Achse (des
um den Winkel θ 1 gedrehten Basissystems). Der Zustand des Photonenpaars
nach dieser (Einzel-)Messung,
|Ψ〉 θ1 θ 2
= |1 1 , 0 2 〉⊗|1 3 , 0 4 〉 θ21 , (7.58)
ist offensichtlich nicht mehr verschränkt. Das heißt, unabhängig von
weiteren Messungen am ersten Photon für veränderte Winkel θ 1 bleibt
12 Einstein hat diesen Gedanken wiederholt aufgegriffen. So äußerte er sich verschiedentlich wie
folgt: Assuming success of efforts to accomplish a complete physical description, the statistical quantum
theory would, within the framework of future physics, take an approximately analogous position
to the statistical mechanics within the framework of classical mechanics. I am firmly convinced that
the development of theoretical physics will be of this type, but the path will be lengthy and difficult.
An anderer Stelle äußerte er: Iam,infact,convincedthattheessentially statistical character of contemporary
quantum theory is solely to be ascribed to the fact that this operates with an incomplete
description of physical systems.

7.4. BELLSCHE UNGLEICHUNGEN 223
das zweite Photon in dem Zustand |1 3 , 0 4 〉 θ21 (mit festem θ 21 )präpariert.
Alle anderen Realitäten“ für dieses Photon bleiben somit fiktiv.
”
Die potentiellen Möglichkeiten vor der Messung werden gewissermaßen
durch die Messung aufgehoben. Natürlich wird auch keine Information
momentan zwischen voneinander entfernten Systemen übertragen,
wie im Zusammenhang mit dem EPR-Paradoxon auch zu hören ist.
Ein verschränkter Zustand enthält offensichtlich gegenseitige Information
über die beiden Systeme. Lernen wir etwas über das eine System,
gewinnen wir automatisch auch Information über das zweite System.
Diese gegenseitige Information bleibt erhalten, wenn sich die beiden
Systeme voneinander entfernen. Da die Systeme die Information gewissermaßen
mit auf die Reise nehmen, breitet diese sich im Raum nicht
anders aus als die Systeme.
7.4 Bellsche Ungleichungen
Bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts hat es Versuche gegeben,
die Quantentheorie durch ”
erweiterte“ Theorien zu ersetzen und
die verborgenen Variablen zu spezifizieren. Mit den sogenannten Bellschen
Ungleichungen 13 konnte gezeigt werden, daß die quantenmechanischen
Voraussagen für Korrelationsmessungen von Voraussagen, wie
sie von entsprechenden Theorien verborgener Variablen gemacht werden
können, qualitativ abweichen können. Wir wollen dies am Beispiel
des im Abschnitt 7.3 behandelten Systems demonstrieren.
Die Operatoren der an den beiden polarisierenden Strahlteilern einlaufenden
und auslaufenden Wellen sind gemäß (7.44) und (7.45) [zusammen
mit (7.43)] wie folgt miteinander verknüpft:
â ′ 1 =â 1 cos θ 1 +â 2 sin θ 1 , (7.59)
â ′ 2 = −â 1 sin θ 1 +â 2 cos θ 1 , (7.60)
â ′ 3 =â 3 cos θ 2 +â 4 sin θ 2 , (7.61)
â ′ 2 = −â 3 sin θ 2 +â 4 cos θ 2 . (7.62)
13 J.S. Bell, Physics 1, 105(1964);Rev.Mod.Phys.38, 447(1966).

224 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Wir wollen (bezüglich der beiden Ausbreitungsrichtungen) die normalgeordnete,
normierte Polarisationskorrelationsfunktion [I ′ ≡ I(θ 1 , θ 2 )]
I(θ 1 , θ 2 )=N −1〈( )〉
â ′ 1 † â ′ 1 − â ′ 2 † â ′ 2)(â′
3†â ′ 3 − â ′ 4 † â ′ 4 (7.63)
untersuchen, wobei der Normierungsfaktor
N = 〈( )〉
â ′ 1 † â ′ 1 +â′ 2 † â ′ 2)(â′ 3†â ′ 3 +â′ 4 † â ′ 4
(7.64)
nicht von den Winkeln θ 1 und θ 2 abhängt (verlustlose Polarisationsfilter!),
da aus (7.59) – (7.62), wie leicht zu sehen ist,
(k =1, 3) folgt, und somit gilt
â ′ k † â ′ k +â′ k+1 † â ′ k+1 =↠kâk +↠k+1âk+1 (7.65)
N = 〈( â † 1â1 +â † )(â†
2â2 3â3 +â † 4â4)〉
. (7.66)
Mit Hilfe der P -Funktion läßt sich die betrachtete Korrelationsfunktion
(7.63) in der Form
∫
I(θ 1 , θ 2 )=N −1 d 8 α P (α) ( |α 1| ′ 2 − |α 2| ′ 2)( |α 3| ′ 2 − |α 4| ′ 2)
∫
=
d 8 α ˜P (α)I(α 1 , α 2 , θ 1 )I(α 3 , α 4 , θ 2 ) (7.67)
aufschreiben [P (α) ≡ P (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 )], wobei
˜P (α) =N −1 P (α) ( |α 1 | 2 + |α 2 | 2)( |α 3 | 2 + |α 4 | 2) , (7.68)
∫
N =
d 8 α P (α) ( |α 1 | 2 + |α 2 | 2)( |α 3 | 2 + |α 4 | 2) , (7.69)
I(α 1 , α 2 , θ 1 )= |α′ 1| 2 − |α ′ 2| 2
|α 1 | 2 + |α 2 | 2 , I(α 3, α 4 , θ 2 )= |α′ 3| 2 − |α ′ 4| 2
|α 3 | 2 + |α 4 | 2 (7.70)
gilt. Es ist klar, daß der Zusammenhang zwischen den α ′ i und den α i
(i =1, 2, 3, 4) gemäß (7.59) – (7.62) gegeben ist. Die Gleichung (7.67)
gilt gleichermaßen in der Quantentheorie und in der klassischen Theorie.
Während in der Quantentheorie P (α) unddamitauch ˜P (α) i.allg.

7.4. BELLSCHE UNGLEICHUNGEN 225
nur als Quasiverteilungsfunktionen angesehen werden können, handelt
es sich in der klassischen Theorie um echte Verteilungsfunktionen im
Sinne von Wahrscheinlichkeitsdichten.
Im Falle klassischer Wahrscheinlichkeitsdichten kann die Gleichung
(7.67) wie folgt interpretiert werden. Die unter dem Winkel θ 1 am ersten
System und unter dem Winkel θ 2 am zweiten System eines räumlich getrennten
2-Modensystems vorgenommenen Polarisationsmessungen liefern
für fest vorgegebene Werte der Modenamplituden α i die Meßwerte
I(α 1 , α 2 , θ 1 )undI(α 3 , α 4 , θ 2 ). Offensichtlich hängt das Meßergebnis 1,
d.h. I(α 1 , α 2 , θ 1 ), nicht vom Meßergebnis 2, d.h. I(α 3 , α 4 , θ 2 ), ab und
umgekehrt. Mit anderen Worten, die Wahl des Winkels θ 1 hat keinerlei
Einfluß auf das Meßergebnis 2, und entsprechend hat die Wahl des
Winkels θ 2 keinerlei Einfluß auf das Meßergebnis 1. Der Sachverhalt
wird auch als Lokalität (bzw. Lokalitätsprinzip) bezeichnet,wobeizu
betonen ist, daß die vier Modenamplituden als bekannt (d.h. als vorgegeben)
angesehen werden.
Die Situation kann sich grundsätzlich ändern, wenn die Modenamplituden
als variable Größen angesehen werden müssen. Wir wollen annehmen,
daß als Meßwerte tatsächlich nur die Werte von I(α 1 , α 2 , θ 1 )
und I(α 3 , α 4 , θ 2 )fungierenunddemzufolgeausdenexperimentellenDaten
keine Aussagen über die Werte der Modenamplituden α i (Betrag
und Phase!) gemacht werden können. Die Tatsache, daß die α i variabel
sind, macht sich dadurch bemerkbar, daß wiederholte Messungen bei
unveränderten Werten der Winkel θ 1 und θ 2 unterschiedliche Meßwerte
liefern, da nunmehr unterschiedliche Werte der Modenamplituden
vorliegen können. Im allgemeinen bleibt dann weiter nichts übrig, als
bestimmte statistische Annahmen über die Verteilung der Werte der
Modenamplituden zu treffen und über alle Ereignisse zu mitteln. Das
Ergebnis ist dann die Gleichung (7.67) mit
∫
˜P (α) ≥ 0, d 8 α ˜P (α) =1. (7.71)
Die Modenamplituden spielen in diesem Zusammenhang offensichtlich
die Rolle verborgener Variablen. 14 Es ist natürlich denkbar, daß neben
den bisher betrachteten komplexen Amplituden weitere Variablen
14 Werden bei einer wiederholten Messung einer Größe unterschiedliche Meßwerte registriert, so
bedeutet dies bei einer klassischen Beschreibungsweise, daß die Größe noch von Variablen abhängen

226 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
zu berücksichtigen sind, von deren Existenz wir möglicherweise noch
gar keine Kenntnis haben. An den obigen und den folgenden Gleichungen
ändert sich dann nur insoweit etwas, als daß diese Variablen noch
in α einzubeziehen sind. Unter Berücksichtigung verborgener Variablen
kann der Begriff der Lokalität verallgemeinert werden. Lokalität
bedeutet dann, daß sich die Korrelation von Größen zweier räumlich
getrennter Systeme in der Form einer Gleichung vom Typ (7.67) in
Verbindung mit den Beziehungen (7.71) darstellen läßt.
Wir bilden die Differenz
I(θ 1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ 2 ′
∫
)
= d 8 α ˜P (α)[I(α 1 , α 2 , θ 1 )I(α 3 , α 4 , θ 2 )−I(α 1 , α 2 , θ 1 )I(α 3 , α 4 , θ 2 ′ )]
∫
= d 8 α ˜P (α)I(α 1 , α 2 , θ 1 )I(α 3 , α 4 , θ 2 )[1±I(α 1 , α 2 , θ 1 ′ )I(α 3, α 4 , θ 2 ′ )]
∫
− d 8 α ˜P (α)I(α 1 , α 2 , θ 1 )I(α 3 , α 4 , θ 2)[1±I(α ′ 1 , α 2 , θ 1)I(α ′ 3 , α 4 , θ 2 )] .
Berücksichtigen wir, daß
(7.72)
|I(α 1 , α 2 , θ (′)
1 )| ≤ 1, |I(α 3, α 4 , θ (′)
2 )| ≤ 1 (7.73)
gilt, so können wir I(θ 1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ 2 ′ )betragsmäßig wie folgt abschätzen:
∣ I(θ1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ 2) ∣ ∫
′ ≤ d 8 α ∣ ∣ ˜P (α) [1 ± I(α1 , α 2 , θ 1)I(α ′ 3 , α 4 , θ 2)]
′
∫
+ d 8 α ∣ ∣ ˜P (α) [1 ± I(α1 , α 2 , θ 1 ′ )I(α 3, α 4 , θ 2 )] . (7.74)
Wir wollen annehmen, daß ˜P (α) denForderungen(7.71)nachkommt
und als klassische Verteilungsfunktion interpretiert werden kann. In
muß, die durch die betrachtete Messung nicht festgelegt werden, und demzufolge die einzelnen Messungen
für unterschiedliche Werte dieser Variablen durchgeführt werden. Der Einfluß solcher verborgener
Variablen kann immer durch Verteilungsfunktionen im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung
erfaßt werden.

7.4. BELLSCHE UNGLEICHUNGEN 227
diesem Fall nimmt die Ungleichung (7.74) die Gestalt
∣
∣I(θ 1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ ′ 2 )∣ ∣ ≤ 2 ± [ I(θ ′ 1 , θ′ 2 )+I(θ′ 1 , θ 2) ] (7.75)
an, woraus die (spezielle) Bellsche Ungleichung
∣ I(θ1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ ′ 2)+I(θ ′ 1, θ ′ 2)+I(θ ′ 1, θ 2 ) ∣ ∣ ≤ 2 (7.76)
folgt. Diese Ungleichung ist Folge der gemachten Lokalitätsannahme
für klassisch-stochastisch beschreibbare Systeme. Eine Verletzung der
Bellschen Ungleichung, d.h.
∣
∣I(θ 1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ ′ 2 )+I(θ′ 1 , θ′ 2 )+I(θ′ 1 , θ 2) ∣ ∣ > 2 (7.77)
ist also gleichbedeutend mit einer Verletzung des klassischen Lokalitätsprinzips
und zeigt an, daß eine klassisch-stochastische Modellierung
nicht möglich ist.
Genau dies kann aber in der Quantentheorie der Fall sein, wie am
Beispiel des verschränkten Polarisationszustands (7.55) zu ersehen ist. 15
Eine einfache Rechnung zeigt, daß die Gleichung (7.63) [zusammen mit
(7.64)] auf diesen Zustand angewendet
I(θ 1 , θ 2 )=cos(2θ 21 ) (7.78)
(θ 21 = θ 2 − θ 1 )liefert.Verfügen wir über die Winkel in (7.77) so, daß
gilt, erhalten wir
θ 2 − θ 1 = θ 2 − θ ′ 1 = θ′ 2 − θ′ 1 = 1 3 (θ′ 2 − θ 1) (7.79)
∆I = I(θ 1 , θ 2 ) − I(θ 1 , θ ′ 2 )+I(θ′ 1 , θ′ 2 )+I(θ′ 1 , θ 2)
=3cos(2θ 21 ) − cos(6θ 21 ). (7.80)
15 Wird die Bellsche Ungleichung verletzt, kann auf Verschränkung geschlossen werden. Der umgekehrte
Schluß ist nicht richtig: Verschränkung muß nicht notwendigerweise mit einer Verletzung
der Bellschen Ungleichung einhergehen, wenn der Zustand noch ”
genügend“ klassische Korrelation
enthält.

228 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Ist beispielsweise θ 21 = π/8 oderθ 21 =3π/8, dann ergibt sich |∆I| =
∆I =2 √ 2 > 2, d.h., die Bellsche Ungleichung (7.76) ist verletzt, und es
gilt die Ungleichung (7.77). Die Verletzung der Bellschen Ungleichung
wurde experimentell in quantitativer guter Übereinstimmung mit der
theoretischen Voraussage nachgewiesen, 16 womit auch der experimentelle
Beweis für die Verletzung des klassisch-stochastischen Lokalitätsprinzips
erbracht wurde.
Die Verletzung dieses Prinzips kann auch direkt an dem transformierten
Zustand (7.56) gesehen werden – dem Zustand des korrelierten
Photonenpaares nach Durchlaufen der beiden polarisierenden Strahlteiler.
Es sei µ der Polarisationsindex bezüglich der durch den jeweiligen
polarisierenden Strahlteiler definierten Basis (z.B. entspreche µ=0 der
Polarisation parallel zur jeweiligen x ′ -Achse und µ =1 der Polarisation
parallel zur jeweiligen y ′ -Achse). Ferner bezeichne P θ1 θ 2
(µ 1 ,µ 2 ) die
Wahrscheinlichkeit, bei einer Polarisationsmessung am Zustand |Ψ〉 θ1 θ 2
das erste Photon µ 1 -polarisiert und das zweite Photon µ 2 -polarisiert
vorzufinden. Aus (7.56) lesen wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten
ab:
P θ1 θ 2
(0, 0) = 1 2 cos2 θ 21 , P θ1 θ 2
(0, 1) = 1 2 sin2 θ 21 , (7.81)
P θ1 θ 2
(1, 0) = 1 2 sin2 θ 21 , P θ1 θ 2
(1, 1) = 1 2 cos2 θ 21 . (7.82)
Wir denken uns die Anordnung durch einen dritten polarisierenden
Strahlteiler (der eine um den Winkel θ 3 bezüglich der Ausgangsbasis
gedrehte Basis definiert) erweitert. Im Rahmen einer klassischstatistisch
begründeten Theorie kann dann eine Verbundwahrscheinlichkeit
P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , ν 3 )eingeführt werden, und es gilt
woraus
P θ1 θ 2
(ν 1 , ν 2 )=P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , 0) + P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , 1), (7.83)
folgt. Analog ergibt sich
P θ1 θ 2
(ν 1 , ν 2 ) ≥ P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , ν 3 ) (7.84)
P θ2 θ 3
(ν 2 , ν 3 ) ≥ P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , ν 3 ). (7.85)
16 A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804(1982).

7.5. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 229
Wir addieren die Ungleichungen (7.84) und (7.85) und erhalten
P θ1 θ 2
(ν 1 , ν 2 )+P θ2 θ 3
(ν ′ 2 , ν 3) ≥ P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν 2 , ν 3 )+P θ1 θ 2 θ 3
(ν 1 , ν ′ 2 , ν 3)
} {{ }
P θ1 θ 3
(ν 1 , ν 3 )
(7.86)
(ν 2 ≠ ν ′ 2), d.h. die folgende Bellsche Ungleichung:
P θ1 θ 2
(ν 1 , ν 2 )+P θ2 θ 3
(ν ′ 2, ν 3 ) − P θ1 θ 3
(ν 1 , ν 3 ) ≥ 0 (7.87)
Mit Blick auf die in den Gleichungen (7.81) und (7.82) angegebenen
Wahrscheinlichkeiten müßte also beispielsweise
∆P =sin 2 θ 21 +sin 2 θ 32 − sin 2 θ 31 ≥ 0 (7.88)
gelten. Wie aus der Abbildung zu ersehen ist (θ 3 =0), wird diese Ungleichung
für bestimmte Winkel verletzt.
∆P
0.4
0.2
0
−0.2
0
θ 2
θ 1
3
1 2
2 1
3 0
7.5 Quantenkryptographie 17
Wir wollen das Problem einer abhörsicheren Übermittlung von Information
zwischen zwei miteinander kommunizierenden (und räumlich
17 Streng genommen geht es um die quantenmechanische Übermittlung des Schlüssels.

230 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
hinreichend weit voneinander getrennten) Partnern betrachten. Traditionell
werden diese Alice und Bob genannt, und Eve fungiert als potentielle
Lauscherin. Damit Eve nicht mithören kann, wird der Klartext
verschlüsselt. Dies kann beispielsweise so geschehen, daß die zu übermittelnden
Symbole (Buchstaben oder Zahlen) nach einer bestimmten
geheimen Vorschrift (dem Schlüssel oder Kode) durch andere Symbole
ersetzt werden. Bleibt die Vorschrift über die gesamte zu übermittelnde
Nachricht unverändert, so hängt es von der mathematischen Komplexität
der Vorschrift ab, ob es einem Lauscher (innerhalb einer vernünftigen
Zeitspanne) gelingt, den Code zu knacken und damit die Nachricht
zu entschlüsseln.
Nachricht
E
Nachricht
Alice
chiffrierter Text
Bob
Schlüssel
Schlüssel
Die meisten in diesem Zusammenhang benutzten Verfahren basieren
auf dem sogenannten RSA-System. 18 Bob als derjenige, der geheime
Nachrichten zu empfangen wünscht, erzeugt ein spezielles Paar
von Schlüsseln, bestehend aus einem öffentlichen und einem privaten
Schlüssel. Bob publiziert den öffentlichen Schlüssel und behält den privaten
geheim. Wenn Alice Bob eine geheime Nachricht übermitteln will,
benutzt sie zur Verschlüsselung den jederman zugänglichen öffentlichen
Schlüssel. Bob benutzt dann seinen privaten Schlüssel, um die erhaltene
Nachricht im Klartext zu lesen. Damit ein solches duales System sicher
ist, muß es extrem schwierig sein, die Nachricht zu entschlüsseln, wenn
nur der öffentliche Schlüssel bekannt ist. Speziell das RSA-Verfahren
basiert auf der Schwierigkeit, große ganze Zahlen zu faktorisieren. Bob
18 R. Rivest, A. Shamir, L. Adelman, Commun. ACM 21, 120(1978).

7.5. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 231
wählt zwei große Primzahlen p und q aus und bildet das Produkt
n = pq. (7.89)
Als nächstes sucht er sich eine ganze Zahl d, sodaßd und (p − 1)(q − 1)
relative Primzahlen sind (d.h., außer der 1 besitzen sie keinen gemeinsamen
Teiler). Schließlich berechnet er eine ganze Zahl e nach der Vorschrift
ed=1mod[(p−1)(q−1)]. (7.90)
Das Zahlenpaar (e, n) bildetdieGrundlagedesöffentlichen Schlüssels,
und entsprechend dient das Zahlenpaar (d, n) alsprivaterSchlüssel.
Für alle diese Schritte existieren effektive Algorithmen, die eine sehr
schnelle Berechnung gestatten. Alice verschlüsselt die Bob zu sendende
Nachricht wie folgt. Zunächst stellt Alice den Klartext nach festen
(i. allg. bekannten) Regeln als Folge von ganzen Zahlen n i mit 1 ≤ n i ≤ n
dar. Dann ordnet sie den Zahlen n i neue Zahlen m i nach der Vorschrift
m i = n e i mod n (7.91)
zu und schickt diese Bob. Bob erzeugt dann die unverschlüsselte Folge
der Zahlen n i nach der Vorschrift
n i = m d i
mod n. (7.92)
Im Anschluß daran überführt er die Zahlen n i wieder in den Klartext.
Die Sicherheit des Systems besteht darin, daß es mit wachsendem n
immer schwieriger wird, p und q (und damit d) zu finden, da die Rechenzeit,
die die entsprechenden Algorithmen benötigen, jegliches vertretbare
Maß überschreiten können. Nichtsdestoweniger bleibt immer
noch ein gewisses Restrisiko, daß der Schlüssel geknackt wird (siehe
auch Abschnitt 7.7).
Ein (im Prinzip) absoluter Schutz vor Entschlüsselung kann dadurch
erreicht werden, daß von der festen Verschlüsselungsvorschrift
abgegangen wird und eine Folge von Zufallssymbolen von der Länge
des zu übermittelnden Textes als Schlüssel verwendet wird. Bei dem sogenannten
One-Time-Pad-Verfahren werden die Symbole der zu übermittelnden
Nachricht nach festen (und i. allg. bekannten) Regeln in
Zahlen übersetzt und zwar zweckmäßigerweise in binärer Darstellung.

232 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Alice
Nachricht 0 1 1 0 1 0 0 1
Schlüssel 1 0 0 1 1 0 1 0
Summe (mod 2) 1 1 1 1 0 0 1 1
=chiffrierter Text
Übertragung
Bob
chiffrierter Text 1 1 1 1 0 0 1 1
Schlüssel 1 0 0 1 1 0 1 0
Summe (mod 2) 0 1 1 0 1 0 0 1
=Nachricht
Danach werden zu diesen Zahlen die Zufallszahlen des Schlüssels mod 2
addiert (d.h. ohne Zweier-Übertrag). Die so chiffrierte Nachricht (das
sogenannte Kryptogramm) kann dann über einen öffentlichen Kanal
an den Empfänger verschickt werden. Die Dechiffrierung seitens
des Empfängers erfolgt dann durch abermalige Addition mod 2, und
Rückübersetzung der Zahlen in die Symbole liefert dann den Klartext.
Da die Folge der Zufallszahlen frei von jeglicher Systematik ist, ist
der Kode prinzipiell nicht zu knacken. Die Schwachstelle bildet der
Kode selbst, der geheimgehalten werden muß. Dies kann natürlich nie
garantiert werden. Wird der Kode beispielsweise irgendwo in einem Tresor
hinterlegt, so kann dieser illegal geöffnet und der Kode kopiert werden,
oder die Person, die ihn bei sich trägt, wird abgefangen. Wird der
Kode über einen Nachrichtenkanal übermittelt, kann er durch eine dritte
Person abgehört und ebenfalls kopiert werden. Das Problem, abhörsicher
einen Zufallsschlüssel zu übermitteln, kann prinzipiell gelöst werden,
wenn anstelle eines klassischen Schlüssels ein Quantenschlüssel
verwendet wird, d.h., die Zufallsfolge von Zahlen in Form von Quantenzuständen
übertragen wird. Die Abhörsicherheit resultiert aus dem
Umstand, daß es unmöglich ist, Kopien eines beliebigen, unbekannten
Quantenzustands herzustellen. Dieser als No-Cloning-Theorem bezeichnete
Sachverhalt (Abschnitt 7.2) macht es einer Lauscherin wie

7.5. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 233
Eve unmöglich, die von Alice gesendete Quanteninformation abzufangen,
zu kopieren und das (unverfälschte) Original an Bob weiterzuleiten.
Unverschränkte Qubits
Nach diesen etwas allgemeinen Erörterungen wollen wir uns dem konkreten
Fall zuwenden, daß polarisierte Photonen zur Realisierung eines
Quantenschlüssels verwendet werden. Im Hinblick auf die zwei Polarisationsrichtungen
kann ein mit einer transversalen elektromagnetischen
Welle verknüpftes Photon als Repräsentant eines Qubits 19 angesehen
werden. Wir wollen wieder linear polarisierte Photonen betrachten, die
sich in z-Richtung ausbreiten. Für die Festlegung der Polarisationsrichtung
(Messung) wollen wir in der zur z-Achse senkrechten Ebene
neben einem (willkürlich gewählten) xy-Koordinatensystem – Symbol
+ –einumdenWinkelθ = π/4 gedrehtesx ′ y ′ -Koordinatensystem –
Symbol × –betrachten.Fernerwollenwirverabreden,daßPhotonen
mit Polarisationsrichtungen x und x ′ den Binärwert 0 und Photonen
mit Polarisationsrichtungen y und y ′ den Binärwert 1 repräsentieren.
Es sei wieder |0〉≡|1 1 , 0 2 〉 der Zustand eines in x-Richtung polarisierten
Photons und |1〉≡|0 1 , 1 2 〉 der Zustand des Photons, wenn es in
y-Richtung polarisiert ist [siehe (7.39)]. Wir wenden die Transformationsformeln
(7.49) und (7.50) [zusammen mit (7.43)] auf die Zustände
|0〉 und |1〉 an und erhalten (θ = π/4) die transformierten Zustände
|0〉 ′ = 1 √
2
(|0〉−|1〉) , (7.93)
|1〉 ′ = 1 √
2
(|0〉 + |1〉) . (7.94)
Da gemäß (7.54) die Operatoren ˆP und ˆP ′ = ˆP θ=π/4 nicht vertauschen,
[ ˆP, ˆP
′ ] =2(|1〉〈0| − |0〉〈1|) ≠0, (7.95)
19 Eine klassische Variable, die zwei Werte annehmen kann, erlaubt die Speicherung von maximal
1 Bit Information. Analog wurde als elementare Einheit der Quanteninformation das Qubit
eingeführt, repräsentiert durch den Quantenzustand eines 2-Niveausystems. Dementsprechend entspricht
einem n-Qubit-System ein 2n-dimensionaler Hilbert-Raum. Im Zusammenhang mit verschränkten
Zuständen wird auch das Ebit verwendet, das zwei (maximal) verschränkten 2-Niveausystemen
entspricht. Zwei orthogonale Zustände eines Qubits werden gewöhnlich als |0〉 und |1〉 bezeichnet.
Neben polarisierten Photonen kommen alsphysikalischeRealisierungenSpin-1/2-Teilchen
und atomare 2-Niveausysteme in Betracht.

234 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
können die Polarisationsrichtungen in den beiden Basissystemen nicht
gleichzeitig festgelegt werden. Wird also an einem in x-Richtung polarisierten
Photon eine Polarisationsmessung im x ′ y ′ -System durchgeführt,
so beobachtet man in jeweils 50% der Fälle ein in x ′ -Richtung bzw.
y ′ -Richtung polarisiertes Photon, und eine sich anschließende Polarisationsmessung
im ursprünglichen xy-Koordinatensystem reproduziert
i. allg. den Ausgangszustand nicht.
Darauf basiert das sogenannte BB84-Protokoll. 20 Alice sendet Bob
einzelne Photonen, die in jeweils einem der vier betrachteten Polarisationszuständen
präpariert sind und notiert den gewählten Zustand
jedes Photons in einer Liste. Die Folge der gewählten Zustände sei
völlig zufällig. Bob hat nun die Möglichkeit, den Polarisationszustand
der eintreffenden Photonen in der xy-Basis und der x ′ y ′ -Basis zu messen.
Bob notiert die jeweils gewählte Basis und den darin registrierten
Polarisationszustand. Nach Übertragung einer hinreichend großen Anzahl
von Photonen nehmen Alice und Bob öffentlich miteinander Kontakt
auf und informieren sich über die Abfolge der jeweils verwendeten
Basis. In den Fällen mit gleicher Basis müssen dann beide identische
Basis von Alice × + × × × × × + × × + +
Bitfolge von Alice 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
Basis von Bob + + × + × × + × + × + +
Bitfolge von Bob 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
Schlüssel 1 1 1 0 1 0 0
Bit-Werte registriert haben, da die von Bob detektierten Photonen sich
exakt in den Zuständen befinden, in denen sie von Alice präpariert wurden.
Alle Ereignisse, bei denen die von Bob gewählte Basis nicht mit
der von Alice verwendeten übereinstimmt, werden im weiteren nicht
20 C.H. Bennett, G. Brassard, in Proceedings of IEEE International Conference on Computers,
Systems, and Signal Processing (Bangalore, 1984), S. 175.

7.5. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 235
berücksichtigt. Auf diese Weise gelingt es Alice und Bob, zufällige Zahlenketten
mit gleicher Abfolge von Nullen und Einsen aufzustellen, die
nur ihnen bekannt sind, da aus der öffentlichen Kommunikation keine
Information über den jeweiligen Polarisationszustand (senkrecht oder
horizontal polarisiert bzw. 45˚ oder 135˚ polarisiert) zu entnehmen ist.
Da einzelne Photonen bei der Übertragung verwendet werden, kann
Eve als potentielle Lauscherin ein von Alice ankommendes Photon passieren
lassen (wobei sie keinerlei Information über den Polarisationszustand
erhält), oder aber sie führt an dem Photon eine Polarisationsmessung
aus und schickt ein je nach Ausgang der Messung präpariertes
Ersatzphoton an Bob weiter. Bedingt durch die Verwendung nichtorthogonaler
Zustände ist es Eve jedoch nicht möglich, den Zustand jedes
Photons (mittels Einzelmessung) korrekt zu ermitteln. Wählt Eve wie
Bob ganz zufällig entweder die xy-Basis oder die x ′ y ′ -Basis für ihre
Messung aus, so wird sie bei der Hälfte der ankommenden Photonen in
der falschen Basis messen und ein zufälliges Ergebnis erhalten. Demnach
kommen in 50% der Fälle, in denen der Polarisationszustand des
Basis von Alice × + × × × × × + × × + +
Bitfolge von Alice 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
Basis von Eve + + × + × + + × × + + +
Bitfolge von Eve 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
Basis von Bob + + × + × × + × + × + +
Bitfolge von Bob 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0
Vergleich
√ √ √ f
√ √ √
von Alice gesendeten Photons der von Bob gewählten Basis entspricht,
Photonen mit verändertem Polarisationszustand an. Bei wiederum 50%
dieser Photonen erhält Bob ein Ergebnis, das dem ursprünglich von Ali-

236 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
ce gewählten Zustand widerspricht. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein von
Bob empfangenes Bit mit dem von Alice gesendeten übereinstimmt, beträgt
also p=1/4. Die Wahrscheinlichkeit, daß N getestete Bits übereinstimmen,
ist dann p N ,undsomitistdieWahrscheinlichkeit,beieinem
Test von N Bits die Lauscherin Eve zu entdecken,
( ) N 1
prob(Eve) = 1 − p N =1− . (7.96)
4
Bis jetzt wurde stillschweigend angenommen, daß der Übertragungskanal
verlustlos arbeitet und die Detektoren mit Quantenausbeute 1
arbeiten. Dies ist in der Praxis natürlich nicht der Fall. So wird es immer
wieder vorkommen, daß ein von Alice gesendetes Photon von Bob
nicht registriert wird. Diese Ereignisse werden bei der Festlegung des
Schlüssels nicht berücksichtigt.
prob(Eve)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
N
Verschränkte Qubits
Werden verschränkte Qubits zur Schlüsselübermittlung verwendet, so
stellt der Test der Bellschen Ungleichungen eine elegante Methode dar
einen Lauschangriff zu entdecken. Folgendes Schema kann zur Anwendung
gebracht werden. 21 Eine spezielle Quelle produziert Paare
verschränkter Photonen in Zuständen beispielsweise der Form |Ψ〉 =
2 −1/2 (|0〉⊗|1〉 + |1〉⊗|0〉) [Gleichung(7.40)],diedannvoneinandergetrennt
und zu Alice und Bob geschickt werden. Alice und Bob wählen
21 A.K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67, 667(1991).

7.5. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 237
vor jeder Messung zufällig eine von drei Stellungen ihrer polarisierenden
Strahlteiler. In dem in der Tabelle angegeben Beispiel wählt Alice
zwischen den Winkeln θ 1 =π/8, π/4, 3π/8 undBobzwischendenWinkeln
θ 2 =0, π/8, π/4 aus.AnalogdemProtokollmitunverschränkten
Photonen notieren Alice und Bob wieder Orientierung und Resultat je-
Basis von Alice (θ 1 ) 1 8 π 3 8 π 1 4 π 1 8 π 3 8 π 1 4 π 1 4 π 1 4 π 3 8 π 3 8 π 1 8 π 1 4 π
Bitfolge von Alice 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
Basis von Bob (θ 2 )
1
4 π 0 1 4 π 0 1 8 π 1 4 π 1 8 π 1 8 π 0 1 4 π 1 8 π 1 8 π
Bitfolge von Bob 1 0 1 1 0 1 1 - 1 1 0 0
Differenz |θ 21 |
1
8 π 3 8 π 0 1 8 π 1 4 π 0 1 8 π 1 8 π 3 8 π 1 8 π 0 1 8 π
Klasse B B C B - C B - B B C B
Schlüssel - - 0 - - 0 - - - - 1 -
der Messung. Sämtliche Messungen werden entsprechend der relativen
Orientierung der polarisierenden Strahlteiler in drei Klassen eingeteilt:
(1) Bei paralleler Orientierung ergeben sich korrelierte Ergebnisse,
die im weiteren als Schlüssel verwendet werden können (Klasse C
in der Tabelle).
(2) Messungen mit Winkeldifferenzen |θ 21 | = π/8 und|θ 21 | =3π/8
ermöglichen Tests der Bellschen Ungleichung (7.76) (Klasse B in
der Tabelle). Wird sie verletzt, folgt, daß die von Alice und Bob
registrierten Photonen quantenmechanisch verschränkt sind. Falls
Eve als dritte Person einen Lauschangriff startet, d.h. Photonen
abfängt, diese mißt und entsprechend dem Ergebnis der Messung

238 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
präparierte Ersatzphotonen weiterschickt, so zerstört sie notwendigerweise
die Verschränkung der beiden Photonen und die Bellsche
Ungleichung wird nicht mehr verletzt – Eve ist ertappt.
(3) Messungen mit Differenzen von 45 ◦ und solche, bei denen nur ein
oder kein Photon registriert wird, werden nicht weiter berücksichtigt
(Klasse ”
-“ in der Tabelle).
Die Quantenkryptographie ist die gegenwärtig am weitesten entwickelte
Anwendung auf dem Gebiet der Quantenkommunikation. Bereits
seit 1995 hat sie das Labor verlassen. Experimentell wurde sie
erstmals 1989 demonstriert 22 –dasJahr,dasdamitalsGeburtsstunde
der experimentellen Quantenkommunikation angesehen werden kann.
Das 1989-er Experiment basierte auf Polarisationskodierung mit einzelnen
Photonen und übertrug einen Schlüssel über 30 cm Laufweg.
Tatsächlich wurden in dem Experiment anstelle einzelner Photonen
hinreichend schwache Impulse in kohärenten Zuständen mit mittleren
Photonenzahlen sehr klein im Vergleich zur Eins verwendet. Seit
1995 sind Experimente unter realen Bedingungen, zumindest was Systeme
angeht, die auf Kodierung mit schwachen Impulsen beruhen,
schon fast eine Routineübung geworden, wobei gegenwärtig Entfernungen
von 20 ...30 km mit Übertragungsraten ∼ 10 2 Hz realisiert werden.
Um daraus eine echte Alternative zu klassischen Verfahren zu machen,
müssen insbesondere die Entfernung vergrößert und die Übertragungsrate
erhöht werden.
7.6 Quantenteleportation
Alice sei im Besitz eines Systems in einem bestimmten Zustand, beispielsweise
eines Apparats mit bestimmten Eigenschaften, und es besteht
die Aufgabe, Bob in die Lage zu versetzen, eine identische Kopie
dieses Apparats anzufertigen (ohne daß Alice den Apparat Bob
schickt). Dies kann so geschehen, daß Alice den Apparat (vollständig)
vermißt und die dokumentierten Unterlagen Bob schickt, auf deren
Grundlage Bob aus einem entsprechenden ”
Rohling“ eine Kopie des
22 C. Bennett, G. Brassard, SIGACT News 20, 78(1989).

7.6. QUANTENTELEPORTATION 239
Apparats anfertigt, d.h., alle Eigenschaften des in Alice’ Besitz befindlichen
Apparats auf entsprechende Rohmaterialien überträgt. Für
klassische Objekte ist dies natürlich prinzipiell möglich.
Für Quantenobjekte ändert sich die Situation grundsätzlich. Führt
Alice eine Messung an einem solchen Objekt aus, so wird sein Zustand
im allgemeinen zerstört. Alice benötigt also ein Ensemble identisch
präparierter Objekte (d.h., sie muß die Quelle kontrollieren), um alle
Messungen durchzuführen, die für eine vollständige Rekonstruktion
des Quantenzustands notwendig sind. Es zeigt sich nun, daß es gerade
die Quantenmechanik ist, die es prinzipiell ermöglicht, den Zustand, in
dem das bei Alice befindliche Objekt präpariert ist, auf ein analoges
Objekt bei Bob zu übertragen, ohne daß Alice den Zustand überhaupt
vollständig zu kennen braucht. Dieser überraschende Sachverhalt, der
den Effekt der quantenmechanischen Zustandsverschränkung ausnutzt,
wird als Quantenteleportation bezeichnet und besitzt offensichtlich kein
klassisches Analogon.
Wir wollen das Prinzip am einfachsten Beispiel erläutern, 23 der Teleportation
eines Qubits, und nehmen an, daß das entsprechende 2-Niveausystem
(im folgenden mit dem Index 1 versehen) Alice in einem
ihr unbekannten, allgemeinen Überlagerungszustand
|Ψ〉 T ≡ |Ψ 1 〉 = a|0 1 〉 + b|1 1 〉 (7.97)
angeregt ist. Die Aufgabe von Alice besteht nun darin, Bob in
die Lage zu versetzen, eine identische Kopie dieses ihr zunächst
völlig unbekannten Zustands (auf ein entsprechendes, Bob zugängliches
2-Niveausystem) zu übertragen. Es ist klar, daß dies nicht ohne
Zerstörung des Ausgangszustands möglich sein wird.
Um die Aufgabe zu lösen, benötigt Alice zwei weitere 2-Niveausysteme
(Indizes 2 und 3), die in einem verschränkten Zustand präpariert
sind, beispielsweise
|Φ + 23 〉 = 1 √
2
(|0 2 , 0 3 〉 + |1 2 , 1 3 〉) . (7.98)
23 Das Schema geht auf C. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres und W. Wootters
zurück [Phys. Rev. Lett. 70, 1895(1993)].Experimentellwurdees(sinngemäß) erstmals von D.
Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy und S. Popescu realisiert [Phys. Rev. Lett. 80, 1121
(1998)].

240 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Alice
Zustand der Systeme 1 und 2
nach der Messung
|Φ ± |〉, |Ψ ± 〉
Zustand des Systems 3 infolge der
Messung an den Systemen 1 und 2
|Ψ k 3
3
〉
Nachricht an Bob
Bob
1
2
verschränkter Zustand
der Systeme 1, 2 und 3
|Ψ〉 T = Û k |Ψ k 3 〉
1
2
|Ψ 123 〉
3
|Ψ〉 T |Φ +
1
23〉
2 3
zu übertragender Zustand
des Systems 1
verschränkter Zustand
der Systeme 2 und 3
Der Gesamtzustand der drei betrachteten Systeme lautet dann
|Ψ 123 〉 = |Ψ 1 〉⊗|Φ + 23 〉
= a √
2
(|0 1 〉⊗|0 2 , 0 3 〉 + |0 1 〉⊗|1 2 , 1 3 〉)
+ b √
2
(|1 1 〉⊗|0 2 , 0 3 〉 + |1 1 〉⊗|1 2 , 1 3 〉)
= a √
2
(|0 1 , 0 2 〉⊗|0 3 〉 + |0 1 , 1 2 〉⊗|1 3 〉)
+ b √
2
(|1 1 , 0 2 〉⊗|0 3 〉 + |1 1 , 1 2 〉⊗|1 3 〉) . (7.99)
Alice behält System 2 und Bob erhält System 3. Der nächste Schritt
wird sofort klar, wenn der Zustand (7.99) nicht in der Basis der Produktzustände
|k 1 ,l 2 〉 dargestellt wird, sondern in der Bell-Basis der
verschränkten Zustände
|Ψ ± 12 〉≡|Ψ± 〉 = 1 √
2
(|0 1 , 1 2 〉 ±|1 1 , 0 2 〉) , (7.100)
|Φ ± 12 〉≡|Φ± 〉 = 1 √
2
(|0 1 , 0 2 〉 ±|1 1 , 1 2 〉) . (7.101)

7.6. QUANTENTELEPORTATION 241
Mit
|0 1 , 1 2 〉 = 1 √
2
(
|Ψ + 〉 + |Ψ − 〉 ) , (7.102)
|1 1 , 0 2 〉 = 1 √
2
(
|Ψ + 〉−|Ψ − 〉 ) , (7.103)
|0 1 , 0 2 〉 = 1 √
2
(
|Φ + 〉 + |Φ − 〉 ) , (7.104)
|1 1 , 1 2 〉 = 1 √
2
(
|Φ + 〉−|Φ − 〉 ) (7.105)
läßt sich der Zustand (7.99) in der Form
|Ψ 123 〉 = 1 2
[
|Φ + 〉⊗(a|0 3 〉 + b|1 3 〉)+|Ψ + 〉⊗(b|0 3 〉 + a|1 3 〉)
+ |Ψ − 〉⊗(−b|0 3 〉 + a|1 3 〉)+|Φ − 〉⊗(a|0 3 〉−b|1 3 〉) ] (7.106)
aufschreiben.
Führt Alice an den Systemen 1 und 2 eine (Einzel-)Messung in der
Bell-Basis durch, so ist aus (7.106) zu erkennen, daß je nach Ausgang
der Messung das bei Bob befindliche System 3 in einem der folgenden
Zustände |Ψ k 3 〉, k =0, 1, 2, 3, präpariert wird:
Meßergebnis von Alice Zustand von Bobs System
|Φ + 〉 |Ψ 0 3 〉 = a|0 3〉 + b|1 3 〉
|Ψ + 〉 |Ψ 1 3〉 = b|0 3 〉 + a|1 3 〉
|Ψ − 〉 |Ψ 2 3〉 = −b|0 3 〉 + a|1 3 〉
|Φ − 〉 |Ψ 3 3〉 = a|0 3 〉−b|1 3 〉
Teilt Alice Bob das Ergebnis ihrer Messung über einem üblichen (d.h.
klassischen) Nachrichtenkanal mit, so weiß Bob mit Sicherheit, in welchem
der vier Überlagerungszustände |Ψ k 3 〉 sein System 3 präpariert
ist.
Ist das Ergebnis der Messung von Alice der Zustand |Φ + 〉,dannist
der Zustand, in dem sich das System 1 befand, bereits auf das System 3

242 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
übertragen (erste Zeile in der Tabelle), und Bob muß nichts mehr tun.
In den übrigen drei Fällen muß Bob den Zustand noch einer unitären
Transformation unterziehen, um den Ausgangszustand zu erhalten,
|Ψ 3 〉 = |Ψ〉 T = Û k |Ψ k 3 〉. (7.107)
Unitäre Transformationen von (und damit reversible Manipulationen
an) Qubits (oder auch höher dimensionalen Quantenzuständen)
werden (in der Sprache der Quanteninformationsverarbeitung) auch als
logische Quantengatter (Quantum Logical Gates)bezeichnet.Beispielsweise
stellt
ˆP (ϕ) =|0〉〈0| + e iϕ |1〉〈1|. (7.108)
eine Phasenverschiebung für ein einzelnes Qubit dar. Im Hinblick
auf das Zusammenwirkung verschiedener unitärer Transformationen
in komplizierten Netzwerkstrukturen hat es sich als nützlich erwiesen,
bestimmte elementare Quantengatter auch graphisch zu veranschaulichen.
Einfache Beispiele für Quantengatter für ein einzelnes Qubit
sind 24
Î = |0〉〈0| + |1〉〈1|
I
(Identität),
ˆX = |0〉〈1| + |1〉〈0|
X
(Negation, NOT-Gatter),
Ŷ = |0〉〈1| − |1〉〈0|
Ẑ = |0〉〈0| − |1〉〈1|
Y
Z
(7.109)
[Ẑ = ˆP (π)=− ˆXŶ = Ŷ ˆX]. Eine weitere wichtige Transformation ist die
Hadamard-Transformation
Ĥ = 1 √
2
[ (|0〉
+ |1〉)〈0| +
(
|0〉−|1〉)〈1|
]. (7.110)
Ferner seien ”
bedingte“ Transformationen – sogenannte kontrollierte
Quantengatter (Controlled Quantum Gates) –vomTyp
Ĉ VU = |0 1 〉〈0 1 | ⊗ ˆV 2 + |1 1 〉〈1 1 | ⊗ Û2 (7.111)
genannt, die auf ein Paar von Qubits wirken, wobei ˆV 2 und Û2 gewisse
logische Quantengatter für ein einzelnes Qubit darstellen. Der Grad der
24 Die Quantengatter Î, ˆX und Ŷ bilden eine Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfungsrelation.

7.6. QUANTENTELEPORTATION 243
Wirkung von ˆV 2 und Û2 auf das zweite Qubit hängt offensichtlich vom
Zustand des ersten Qubits ab. Mit ˆV 2 = Î2 und Û2 = ˆX 2 ergibt sich das
kontrollierte NOT-Gatter (CNOT),
Ĉ 12
NOT = |0 1 〉〈0 1 | ⊗ Î2 + |1 1 〉〈1 1 | ⊗ ˆX 2 (7.112)
(das Symbol • bezieht sich auf das erste und das Symbol ⊕ auf das
zweite Qubit).
Kehren wir zu unserem Ausgangsproblem zurück. Wie man sich
leicht überzeugt, lauten die in diesem Fall für k =1, 2, 3in(7.107)
benötigten unitären Transformationen Û k wie folgt:
Û 1 = ˆX, Û 2 = Ŷ, Û 3 = Ẑ. (7.113)
Wir wollen die einzelnen Schritte des Schemas im Hinblick auf die
benötigten logischen Quantengatter in einem entsprechenden Netzwerk
noch einmal zusammenfassen, und zwar unter Zugrundelegung einer festen
Basis |0〉, |1〉 für jedes System.
• Um den Zustand |Ψ〉 T [Gleichung (7.97)] eines Systems zu übertragen,
werden zunächst zwei weitere Systeme in einem verschränkten
Zustand präpariert. Befinden sich die beiden Systeme
anfangs im Zustand |0 2 〉⊗|0 3 〉,sokannspeziellderZustand|Φ + 23 〉
in (7.98) wie folgt erzeugt werden:
|Φ + 23 〉 = Ĉ23 NOT(Ĥ2 ⊗ Î3)(
|02 〉⊗|0 3 〉 ) . (7.114)
• Alice erhält (zusammen mit dem System 1) das System 2 und Bob
das System 3. Damit kann Alice die ersten beiden Bits und Bob
das letzte Bit des Gesamtzustands |Ψ 123 〉 in (7.99) kontrollieren.
Wendet Alice als nächstes auf |Ψ 123 〉 die unitären Transformationen
( Ĥ 1 ⊗Î2 ⊗Î3)(Ĉ12
⊗Î3)
NOT an, so ergibt sich, wie eine einfache
Rechnung zeigt,
(Ĥ1 ⊗ Î2 ⊗ Î3)(Ĉ12
NOT ⊗ Î3)
|Ψ123 〉
= 1 2(
|01 , 0 2 〉⊗|Ψ 0 3 〉 + |0 1, 1 2 〉⊗|Ψ 1 3 〉
+ |1 1 , 1 2 〉⊗|Ψ 2 3〉 + |1 1 , 0 2 〉⊗|Ψ 3 3〉 ) . (7.115)

244 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
• Nunmehr mißt Alice die ersten beiden Bits und erhält (mit jeweils
gleicher Wahrscheinlichkeit) eines der folgenden Ergebnisse:
|0 1 , 0 2 〉, |0 1 , 1 2 〉, |1 1 , 1 2 〉, |1 1 , 0 2 〉.Denmöglichen Meßergebnissen
von Alice entsprechen (in der angegebenen Reihenfolge) die folgenden
Zustände, auf die infolge der Messung der Zustand von
Bobs System projiziert wird: |Ψ 0 3〉, |Ψ 1 3〉, |Ψ 2 3〉, |Ψ 3 3〉. Über diesen
Quantenkanal wird Bobs System in einem Zustand präpariert,
der einen Teil der Information über den zu übertragenden Quantenzustand
enthält.
• Wenn Bob schließlich das Meßergebnis von Alice in Form zweier
klassischer Bits erfährt, weiß er, in welchem der Zustände |Ψ k 3 〉
sein System präpariert ist. Er braucht nur noch eine der Transformationen
Î, ˆX, Ŷ , Ẑ (in der angegebenen Reihenfolge) auf den
Zustand seines Systems anzuwenden, um ihn in Alice’ Ausgangszustand
zu überführen.
Es ist klar, daß sich das System 1 nach der von Alice durchgeführten
Messung nicht mehr im Zustand |Ψ〉 T befindet. Die Übertragung
des Zustands auf das bei Bob befindliche System ist also mit einer
Zerstörung des Zustands des bei Alice befindlichen Systems verbunden.
Im allgeimen müssen die drei Systeme nicht von der gleichen Art
sein, sondern es kommt nur darauf an, daß die Zustandsräume einander
entsprechen und die Zustände der Systeme (über geeignete Wechselwirkungen)
verschränkt werden können. Es ist unschwer zu sehen, daß sich
die Systeme 1 und 2 nicht unbedingt in dem (maximal) verschränkten
Zustand (7.98) befinden müssen. So kann insbesondere jeder (maximal
verschränkte) Zustand der Bell-Basis verwendet werden.
Die Informationsübermittlung bei Quantenteleportation geschieht
also in zweifacher Hinsicht, zum einen auf dem üblichen klassischen Weg
der Informationsübermittlung von Alice’ Meßwerten an Bob und zum
anderen mittels quantenmechanischer Zustandsverschränkung. Man
spricht in diesem Zusammenhang auch von klassischer Information und
Quanteninformation und entsprechend von einem klassischen Informationskanal
und einem Quanteninformationskanal (auch EPR-Kanal genannt).

7.6. QUANTENTELEPORTATION 245
Kontinuierliche Variablen
Wir wollen am Beispiel von Strahlungsfeldmoden kurz skizzieren, wie
sich das besprochene Scheme (zumindest in der Tendenz) auf Zustände
in unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen verallgemeinern läßt, wobei
wir die entsprechenden Zustände durch ihre Wigner-Funktionen
darstellen wollen. Es sei W in (γ) dieWigner-Funktiondeszuübertragenden
Zustands der Signalmode und W E out(α, β) dieWigner-Funktion
des verschränkten Zustands zweier Moden, von denen eine (Variable α)
Alice und die andere (Variable β)BobzurVerfügung steht. Die Wigner-
Funktion des Zustands des insgesamt betrachteten aus drei Moden bestehenden
Gesamtsystems lautet dann
W (γ, α, β) =W in (γ) W E (α, β). (7.116)
Mittels eines 50%:50%-Strahlteilers mischt Alice in einem ersten
Schritt die Signalmode mit der ihr zur Verfügung stehenden Mode des
verschränkten 2-Moden-Systems. Nehmen wir einen verlustlos arbeitenden
Strahlteiler an, und wenden wir das Transformationgesetz (5.52)
an, so geht die Wigner-Funktion (7.116) in
( ) ( )
µ − ν µ + ν
W (µ, ν, β) =W in √ W E √ , β (7.117)
2 2
über.
In einem zweiten Schritt führt Alice an ihren beiden Ausgangsmoden
(Variablen µ und ν) jeweilseine(einzelne)4-Kanal-Homodyne-
Messung durch, wobei ein gewisser Wert µ R des Realteils von µ und
ein gewisser Wert ν I des Imaginärteils von ν registriert wird. Für den
Zustand von Bob’s Mode bedeutet dies Reduktion auf einen Zustand,
dessen Wigner-Funktion
W (β|µ R , ν I )=
1
P (µ R , ν I )
∫
dν R
∫
dµ I W (µ, ν, β) (7.118)
lautet, wobei
P (µ R , ν I )=
∫
dν R
∫
dµ I
∫
d 2 β W (µ, ν, β) (7.119)

246 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, die Werte µ R und ν I zu messen (vgl.
Abschnitt 6.2.2). Mit (7.117) folgt aus (7.118)
W (β|µ R , ν I )=
∫
×
dν R
∫
Mit der Variablensubstitution
1
P (µ R , ν I )
( ) ( µ − ν µ + ν
dµ I W in √ W E √ , β
2 2
)
. (7.120)
γ =(µ − ν) / √ 2, γ ′ = √ 2(µ R − iν I ) (7.121)
wird daraus [P (µ R , ν I )/2 ↦→ P (γ ′ )]
W (β|γ ′ )= 1 ∫
d 2 γ W
P (γ ′ in (γ) W E (γ ′∗ −γ ∗ , β). (7.122)
)
In Abhängigkeit der von Alice registrierten und an Bob (über einen
klassischen Informationskanal) übermittelten Meßwerte führt Bob eine
kohärente Verschiebung des Quantenzustands seiner Mode durch,
in deren Ergebnis die Wigner-Funktion (7.122) in die Wigner-Funktion
W (β − ∆(γ ′ )|γ ′ ) übergeht. Wir wollen uns nicht für ein spezielles Meßergebnis
interessieren und mitteln deshalb über alle möglichen Meßergebnisse.
Die Wigner-Funktion des (gemittelten) teleportierten Quantezustands
lautet somit
∫
W out (β) = d 2 γ ′ P (γ ′ ) W (β − ∆(γ ′ )|γ ′ )
∫
∫
= d 2 γ W in (γ) d 2 γ ′ W E( γ ′∗ −γ ∗ , β−∆(γ ′ ) ) . (7.123)
Wir wollen als verschränkten 2-Moden-Zustand ein gequetschtes Vakuum
Ŝ|0, 0〉 [Gleichung (2.199), ξ 12 ↦→ ξ] annehmen,dessenWigner-
Funktion die Gestalt
W E (α, β) = 4 π 2 exp[ −2 ( |α| 2 + |β| 2) cosh |2ξ|
+2 ( e −iϕ ξ
αβ + e iϕ ξ
α ∗ β ∗) sinh |2ξ| ] (7.124)

7.6. QUANTENTELEPORTATION 247
besitzt (ξ = |ξ|e iϕ ξ
-Quetschungsparameter).Spezifizierenwirinder
Gleichung (7.123) die kohärente Verschiebung gemäß
∆(γ ′ )=e iϕ ξ
γ ′ , (7.125)
so erhalten wir unter Verwendung von (7.124) nach Ausführung der
γ ′ -Integration in genannter Gleichung das Ergebnis
W out (βe iϕ ξ
)= 1 ∫
2πσ
)
d 2 γ W in (γ)exp
(− |γ−β|2
2σ
(7.126)
mit
σ = 1 2 e−2|ξ| . (7.127)
Wir sehen, daß in der Grenze unendlich großer Verschränkung (hier
mit unendlich großer Quetschung identisch) der teleportierte Quantenzustand
in den Signalquantenzustand übergeht (ϕ ξ =0),
lim σ =0 ❀ lim W out(βe iϕ ξ
)=W in (β). (7.128)
|ξ|→∞ |ξ|→∞
Dense Coding
Kehren wir zu unseren Qubit-Systemen zurück. Um in dem auf Seite
240 skizzierten Teleportationsschema ein Qubit zu übertragen, wird
ein Ebit erzeugt, und es wird eine klassische 2-Bit-Nachricht übermittelt.
In abgewandelter Form gestattet das Schema, zwei klassische Bits
zu übermitteln, indem ein Ebit erzeugt wird und nur ein Qubit übermittelt
wird. 25 Nehmen wir wieder an, daß sich Alice und Bob einen
verschränkten Zustand von der Art des Zustandes (7.98) teilen,
|Ψ 12 〉 = |Φ + 12 〉≡|Φ+ 〉 = 1 √
2
(|0 1 , 0 2 〉 + |1 1 , 1 2 〉) . (7.129)
Wir wollen den vier möglichen Bitfolgen die Zahlen k =0, 1, 2, 3zuordnen.
Alice kann diese mit Hilfe ihres Qubits verschlüsseln, indem
sie es gemäß der Tabelle transformiert und einen neuen verschränkten
Zustand |Ψ k 12〉 der Systeme 1 und 2 erzeugt:
25 C. Bennett, S. Wiesner, Phys. Rev. Lett. 69, 2881(1992).

248 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Bitfolge Transformation Zustand |Ψ k 12 〉
00 Î 1 ⊗ Î2|Ψ 12 〉 |Ψ 0 12〉 =2 − 1 2 (|01 , 0 2 〉 + |1 1 , 1 2 〉)
01 ˆX1 ⊗ Î2|Ψ 12 〉 |Ψ 1 12〉 =2 − 1 2 (|11 , 0 2 〉 + |0 1 , 1 2 〉)
11 Ŷ 1 ⊗ Î2|Ψ 12 〉 |Ψ 2 12〉 =2 − 1 2 (|01 , 1 2 〉−|1 1 , 0 2 〉)
10 Ẑ 1 ⊗ Î2|Ψ 12 〉 |Ψ 3 12〉 =2 − 1 2 (|01 , 0 2 〉−|1 1 , 1 2 〉)
Im Anschluß schickt Alice ihr so präpariertes System Bob. Die Aufgabe
von Bob besteht nun darin, die in dem verschränkten Zustand |Ψ k 12〉,
in dem ihm die beiden Systeme vorliegen, enthaltene 2-Bit-Nachricht
von Alice zu entschlüsseln. Zu diesem Zweck wendet er zunächst ĈNOT
auf |Ψ k 12 〉 an, um die Verschränkung aufzuheben. Anschließend kann er
das zweite Qubit messen, ohne das erste zu stören (siehe die folgende
Tabelle).
Zustand CNOT Zweites Bit
|Ψ 0 12 〉 Ĉ NOT |Ψ 0 12 〉 =2− 1 2(|0 1 〉 + |1 1 〉) ⊗ |0 2 〉 0
|Ψ 1 12 〉 Ĉ NOT |Ψ 1 12 〉 =2− 1 2(|0 1 〉 + |1 1 〉) ⊗ |1 2 〉 1
|Ψ 2 12 〉 Ĉ NOT |Ψ 2 12 〉 =2− 1 2(|0 1 〉−|1 1 〉) ⊗ |1 2 〉 1
|Ψ 3 12 〉 Ĉ NOT |Ψ 2 12 〉 =2− 1 2 (|01 〉−|1 1 〉) ⊗ |0 2 〉 0
Im letzten Schritt unterwirft er das erste Qubit einer Hadamard-
Transformation und mißt es im Anschluß: Damit kann Bob auch das
erste Bit festlegen und somit ist Alice’ Nachricht entschlüsselt (siehe
die folgende Tabelle).
Verschränkungsreinigung
H-Transformation
Erstes Bit
2 − 1 2 Ĥ(|01 〉 + |1 1 〉)=|0 1 〉 0
2 − 1 2Ĥ(|0 1 〉 + |1 1 〉)=|0 1 〉 0
2 − 1 2Ĥ(|0 1 〉−|1 1 〉)=|1 1 〉 1
2 − 1 2Ĥ(|0 1 〉−|1 1 〉)=|1 1 〉 1
Ziel der Quantenkommunikation ist es, Quanteninformation möglichst
unverfälscht zu übertragen. Im allgemeinen findet die Quantenkommunikation
jedoch durch ein Medium statt, das mit den Informationsträgern
wechselwirkt. So kommt es beispielsweise beim Durchgang von

7.6. QUANTENTELEPORTATION 249
Photonen durch eine Glasfaser in der Praxis immer zu einer Reihe von
Störungen. Ein solches System läßt sich daher als verrauschter und
dissipativer Quantenkanal auffassen. Schickt Alice Bob Qubits durch
einen derartigen Kanal, so erhält Bob anstelle eines (reinen) Ausgangszustands
|Ψ〉 i. allg. einen durch einen Dichteoperator ˆϱ zu beschreibenden
gemischten Zustand, der mit dem ursprünglichen Zustand nicht
mehr genau übereinstimmt, ˆϱ≠ |Ψ〉〈Ψ|. DiequantenmechanischeÜberlappung
F = 〈Ψ|ˆϱ|Ψ〉 (7.130)
kann dabei als Maß für die Güte (Fidelity) derZustandsübertragung
angesehen werden. Offensichtlich bedeutet F ≃ 1nahezuperfekteZustandsübertragung.
Störungen erzeugen in der Regel aus reinen Zuständen Gemische
von Zuständen und reduzieren den Grad der Verschränkung. Dem kann
mit einer sogenannten Verschränkungsreinigung (Purification) begegnet
werden, bei der aus einem Ensemble vieler Zustandspaare ˆϱ 12 ein
hochverschränktes Paar destilliert wird (Distillation). 26 Die Methode
ist anwendbar, falls Ausgangspaare der Güte F>1/2 zurVerfügung
stehen (F =〈Ψ 12 |ˆϱ 12 |Ψ 12 〉). Nehmen wir also an, daß Alice und Bob ein
Ensemble von EPR-Paaren mit Güte F>1/2 besitzen.Eintypischer
Reinigungsschritt besteht darin, daß Alice und Bob an jeweils zwei Paaren
eine Folge von lokalen unitären Operationen (z.B. CNOT-Gatter)
durchführen und anschließend den Zustand der Teilchen eines Paares
messen. Am Ende vergleichen Alice und Bob ihre Meßergebnisse. Aus
der Übereinstimmung bzw. Nichtübereinstimmung der Meßergebnisse
kann auf die Güte des verbleibenden Paars geschlossen und gegebenenfalls
ein Paar höherer Güte selektiert werden. Die genaue Sequenz von
Operationen und Messungen wird durch das sogenannte Reinigungsprotokoll
festgelegt. Durch iterierte Anwendung des Protokolls kann so
aus einem anfänglichen Ensemble von EPR-Paaren niedriger Güte ein
Subensemble von Paaren hoher Güte destilliert werden. In der Literatur
sind eine Reihe von Reinigungsprotokollen bekannt, die sich vor
allem durch ihre Effizienz unterscheiden.
26 C.H. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 76, 722(1996).

250 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Quantenrepeater
Für das Beispiel der Übertragung von photonischen Qubits mittels
Glasfasern kann man auf Grund von Verlusten F ∼exp(−l/l 0 )erwarten
(l - Übertragungslänge, l 0 - Kohärenzlänge), wobei in typischen Experimenten
l 0 ∼ 10 − 20 km ist. 27 Damit bedeutet F ∼ exp(−l/l 0 ) > 1/2,
daß eine Verschränkungsreinigung nur anwendbar ist für Übertragungslängen
der Größenordnung l 0 .Quantenkommunikationüber große
Entfernungen l ≫ l 0 erfordert den Einsatz von Quantenrepeatern. Ein
naheliegender Ansatz für einen Quantenrepeater besteht darin, einen
Kanal der Länge l zunächst in N kürzere Segmente der Länge l s = l/N
zu unterteilen. Die Länge ist dabei so gewählt, daß es möglich wird,
über diese Segmente EPR-Paare der Güte F>1/2 zuerzeugen,die
anschließend auf einen hohen Wert F ∼ 1gereinigtwerden.Ineinem
zweiten Schritt werden die so erzeugten Paare mittels Teleportation
zu einem einzigen EPR-Paar über die Distanz l verbunden. Die Teleportation
bewirkt dabei einen Verschränkungstransfer (Entanglement
Swapping), bei dem die Verschränkung zwischen zwei Teilchen auf weiter
entfernte Teilchen übertragen wird. 28
Für perfekt gereinigte Paare und für eine ideale Implementierung
der Teleportation wäre damit das Problem gelöst. Für jedes reale System
ist dies aber nicht der Fall, denn ein perfektes EPR-Paar kann
durch Verschränkungsreinigung nicht erzeugt werden, da die Operationen,
aus denen das Reinigungsprotokoll besteht, selbst bis zu einem
gewissen Grad verrauscht sind. Für viele Anwendungen ist dies kein wesentliches
Hindernis, solange die maximal erreichbare Güte nahe bei 1
liegt. Beim Quantenrepeater führt dies jedoch dazu, daß mit jedem Verschränkungstransfer
die Güte der Verschränkung abnimmt. Die Güte
F N des am Ende erhaltenen Paars skaliert dadurch wieder exponentiell,
d.h. F N ∼ exp(−N). Man hat durch diese Methode also scheinbar
nichts gewonnen.
Die Lösung des Problems besteht nun darin, daß nach einer gewissen
Anzahl von Schritten die erhaltenen Paare wieder auf einen hohen Wert
27 In diesem Fall entspricht l 0 der üblichen (klassischen) Absorptionslänge. Handelt es sich um
Zustände in höherdimensionalen Hilbert-Räumen, verkürzt sich l 0 drastisch.
28 Durch die Teleportation des Zustands eines Systems, der bereits mit dem Zustand eines zweiten
Systems verschränkt ist, auf ein drittes Systems wird diese Verschränkung offensichtlich mit
übertragen.

7.6. QUANTENTELEPORTATION 251
der Güte nachgereinigt werden. Die Übertragung von Verschränkung
auf sehr weit entfernte Teilchen wird dann durch eine alternierende Sequenz
von Transfer- und Reinigungsschritten erreicht. Dabei werden
die Protokolle der Verschränkungsreinigung und des Verschränkungstransfers
zu einem Protokoll (Nested Entanglement Purification) synthetisiert.
Für einen aus vier Segmenten bestehenden Kanal sieht der
1
2
3
F 0 F 0 F 0 F 0
Reinigung
F 1 F 1 F 1 F 1
Verschränkungstransfer
F 0 F 0
Reinigung
F 1 F 1
Verschränkungstransfer
F 0
Reinigung
F 0
Prozeß beispielsweise wie in der Abbildung skizziert aus:
1. Über jedes der vier Segmente wird gleichzeitig ein Ensemble von
EPR-Paaren der Güte F 0 > 1/2 erzeugt.DurchVerschränkungsreinigung
wird aus jedem Ensemble ein Subensemble von Paaren
hoher Güte F 1 destilliert. Anschließend werden diese gereinigten
Paare mitttels Verschränkungstransfer paarweise verbunden. Am
Ende der Prozedur erhält man zwei Subensembles von Paaren der
Güte F 0 mit doppelter Länge.
2. Die Prozedur wird mit den längeren Paaren wiederholt, wodurch
man ein noch kleineres Subensemble von Paaren der Güte F 0 mit
der vierfachen ursprünglichen Länge erhält.

252 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
3. Aus den erhaltenen Paaren werden Paare der Güte F 1 destilliert.
Durch den beschriebenen Prozeß werden Quantenkorrelationen, die
über kurze Distanzen bestehen, sukzessive zu Quantenkorrelationen
verknüpft, die sich schließlich über den gesamten Kanal erstrecken.
7.7 Quantencomputer
Denkbar ist, das quantenmechanische Superpositionsprinzip auch in
der Rechentechnik einzusetzen und entsprechende Computer – auch
Quantencomputer genannt – zu bauen. Ihre Funktionsweise ist qualitativ
verschieden von der herkömmlicher Computer. Ein Quantencomputer
realisiert eine Menge von N Qubits mit folgenden Operationen: 29
• Jedes Qubit kann in einem wohldefinierten Zustand |0〉 präpariert
werden.
• Jedes Qubit kann in der Basis |0〉, |1〉 gemessen werden.
• Die (zeitliche) Entwicklung der Qubits ist unitär.
• In jeder Untermenge von Qubits können beliebige unitäre Transformationen
ausgeführt werden, d.h., es kann jeder Zustand in
jeden anderen Zustand überführt werden.
Dieses Computermodell entspricht einem Netzwerk, in welchem in einer
gewissen zeitlichen Abfolge Sätze von Qubits unitären Transformationen
unterzogen werden. Während in einem üblichen elektronischklassischen
Computer die logischen Schaltkreise über Leiterplatten
räumlich verteilt sind, stellen im obigen Modell eines Quantencomputers
die logischen Quantengatter typischerweise zeitlich kontrollierte
Wechselwirkungen von räumlich fixierten Qubits dar.
Die Forderung, alle möglichen unitären Transformationen von n
Qubits zu realisieren scheint auf den ersten Blick schwer erfüllbar zu
sein. Es kann jedoch gezeigt werden, daß(bisaufirrelevantePhasenfaktoren)
jede unitäre Transformation von n Qubits (N ≥ n ≥ 2) in
29 D. Deutsch, Proc. Roy. Soc. Lond. A 400, 97 (1985).

7.7. QUANTENCOMPUTER 253
2-Qubit-Transformationen vom Typ ĈNOT gemäß (7.112) und (verallgemeinerte)
1-Qubit-Drehungen
Û(θ, ϕ) =cosθ |0〉〈0| − e iϕ sin θ |0〉〈1| + e −iϕ sin θ |1〉〈0| +cosθ |1〉〈1|
(7.131)
zerlegt werden kann. Man bezeichnet dieses Paar von Transformationen
deshalb auch als universelles logisches Quantengatter. Mittelsseiner
wiederholten Anwendung auf verschiedene Kombinationen von Qubits
kann die Wirkung eines beliebigen Quantengatters erzeugt werden.
Betrachten wir 2n Qubits. Nach Obigem können ihnen 2 2n beliebige
Zahlen zugeordnet werden. Insbesondere können jeweils n Qubits
den 2 n Argumenten x (X-Register) und den 2 n Funktionswerten y (Y -
Register) einer beliebigen Funktion y = f(x) zugeordnetwerden. 30 Betrachten
wir beispielsweise das X-Register, das sich anfangs im Zustand
|0〉 ≡|0 1 〉⊗|0 2 〉⊗...⊗ |0 n 〉 = |0 1 , 0 2 ,...,0 n 〉 (7.132)
befinden möge. Anwenden der Hadamard-Transformation auf jedes
Qubit erzeugt einen Überlagerungszustand bestehend aus 2 n
Zuständen, die als Binärdarstellungen aller ganzen Zahlen von 0
bis 2 n − 1angesehenwerdenkönnen und die x-Werte repräsentieren
mögen,
Ĥ 1 |0 1 〉⊗Ĥ2|0 2 〉⊗...⊗ Ĥn|0 n 〉
= 1 √
2
n [(|0 1〉 + |1 1 〉) ⊗ (|0 2 〉 + |1 2 〉) ⊗ ...⊗ (|0 n 〉 + |1 n 〉)]
= √ 1 (
|01 , 0 2 ,...,0 n 〉 + |0 1 , 0 2 ,...,1 n 〉 + ···+ |1 1 , 1 2 ,...,1 n 〉 )
2
n
= √ 1
2∑
n −1
|x〉. (7.133)
2
n
x=0
Es sei Ûf die unitäre Transformation, die die Funktion f(x) erzeugt,
Û f (|x〉⊗|0〉) ≡ Ûf|x, 0〉 = |x, f(x)〉. (7.134)
Wird für jeden der Zustände |x〉 der n Qubits diese Operation ausgeführt,
können der Reihe nach alle Funktionswerte realisiert werden.
30 Unter einem Register (bzw. Registerzustand) wird das direkte Produkt von Qubits verstanden.

254 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Insgesamt muß die Transformation also 2 n mal angewendet werden.
Dies entspricht genau der Situation eines klassischen Computers. Wenn
sich die n Qubits allerdings in einem Superpositionszustand befinden,
dann bedeutet die Anwendung der Transformation auf diesen Zustand,
daß sie (wegen der Linearität) simultan auf alle in dem Überlagerungszustand
enthaltenen Zustände wirkt und gewissermaßen eine Überlagerung
der einzelnen Ergebnisse erzeugt wird. Enthält der Überlagerungszustand
alle x-Werte, liefert die einmalige Anwendung der Transformation
auf diesen den neuen Überlagerungszustand
(
1
Û f √
2
n
2∑
n −1
x=0
)
|x, 0〉 = √ 1
2∑
n −1
Û f |x, 0〉 = 1
2∑
n −1
√ |x, f(x)〉,
2
n
2
n
x=0
(7.135)
der simultan die Funktionswerte für alle 2 n Argumente enthält. Dieser
Effekt, der es gestattet, eine exponentielle Anzahl von Funktionsberechnungen
innerhalb einer Zeit durchzuführen, die klassisch für eine einzige
Funktionsberechnung erforderlich ist, wird auch Quantenparallelismus
(Quantum Parallelism) genannt.DasProblembestehtallerdingsdarin,
daß von allen diesen in einem Schritt berechneten Funktionswerten
nur einer wieder ausgelesen werden kann, da bei der entsprechendenden
Messung der Zustand zerstört wird und damit sämtliche Information
über die übrigen Funktionswerte verlorengeht. Im Ergebnis ist also im
Vergleich mit einem klassischen Computer nichts gewonnen, und es
liegt nahe zu fragen, ob es überhaupt sinnvolle Rechenprobleme gibt,
die ein Quantencomputer (zumindest im Prinzip) besser lösen kann
als ein klassischer Computer. Es gibt sie tatsächlich, wie das folgende
Beispiel zeigt; doch sind sie nicht leicht zu finden.
Der Algorithmus von Shor 31
Zu den Problemen, die einQuantencomputergrundsätzlich besser lösen
könnte als ein klassischer Computer zählt das Problem der Bestimmung
der Periode einer Funktion. Es sei f(x) eineperiodischeFunktionmit
der Periode r, d.h.,f(x + r)=f(x), Wenn angenommen werden kann,
daß die Funktion für 2 n Werte von x berechnet werden muß, um die Periode
zu bestimmen, wird zur Lösung des Problems ein Arbeitsspeicher
31 P. Shor, in Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Santa
Fe, 1994), S. 124.
x=0

7.7. QUANTENCOMPUTER 255
für 2n Qubits benötigt.
• Die 2n Qubits werden in zwei Register – das X- und das Y -
Register – zu je n Qubits aufgeteilt. Beide Registerbefindensich
anfangs im Zustand |0〉. NunmehrwirdĤ auf jedes Qubit des
X-Registers angewendet und damit gemäß Gleichung (7.133) der
(Gesamt-)Zustand
|Φ XY 〉 = √ 1
2∑
n −1
|x, 0〉 (7.136)
2
n
erzeugt, wobei wir wieder annehmen wollen, daß x alle ganzen
Zahlen im Intervall 0 ≤ x

256 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Auf Grund der Periodizität der Funktion f(x) stelltderZustand
des X-Register also eine kohärente Überlagerung von M ≃ 2 n /r
Zuständen dar.
• Um die Periodizität r zu bestimmen, kann eine (diskrete) Fourier-
Transformation auf den Zustand (7.138) des X-Registers angewendet
werden, und im Anschluß daran kann gemessen werden.
Auf einen Zustand |x〉 angewendet, liefert sie den Zustand 32
Û FT |x〉 = √ 1
2∑
n −1 (
exp i 2π )
2
n 2 xq |q〉. (7.140)
n
q=0
Bezüglich des Zustands (7.138) erhalten wir also [mit (7.139)]
Û FT |Ψ X 〉 =
√
M
2 n
2∑
n −1
q=0
(
exp i 2π 1
2 x n 0 q)
M
M−1
∑
j=0
(
exp i 2πqr )
2 j |q〉.
n
(7.141)
Wir wollen der Einfachheit halber hier annehmen, daß r ein Teiler
von 2 n ist, d.h. M =2 n /r.IndiesemFallgilt(m =0, 1, 2,...,r− 1)
1
M
M−1
∑
j=0
und aus (7.141) wird
(
exp i 2πqr )
2 j =
n
Û FT |Ψ X 〉 = 1 √ r
∑
q=m2 n /r
⎧
⎨
⎩
1 wenn qr
2 n = m,
0 sonst,
(7.142)
(
exp i 2π )
2 x n 0 q |q〉. (7.143)
Eine Messung des X-Registers liefert dann einen der Zustände
|q〉 – etwa den Zustand |q = k〉. Wirhabenalsok = m2 n /r (mit
unbekanntem m), woraus das Verhältnis
r
m = 2n
k
(7.144)
32 Der Zustand |x〉 kann ebenfalls als Ergebnis einer Fourier-Transformation aufgefaßt werden:
|x〉 = ÛFT|0〉.

7.7. QUANTENCOMPUTER 257
folgt. Falls m und r relative Primzahlen sind, so braucht der
Bruch 2 n /k nur als Bruch relativer Primzahlen geschrieben werden,
woraus dann sofort r (und auch m) abgelesenwerdenkann.
Sind m und r keine relativen Primzahlen, was mit wachsendem
r immer wahrscheinlicher wird, kann dieserSchlußnichtgezogen
werden und der Algorithmus muß einige Male wiederholt werden,
um ein sicheres Ergebnis zu erhalten.
Die Bedeutung des Shor-Algorithmus wird klar, wenn er im Zusammenhang
mit dem Problem der nichttrivialen Faktorisierung ganzer
Zahlen gesehen wird, ein Problem, das für hinreichend große Zahlen
mit einem klassischen Computers praktisch nicht lösbar ist und deshalb
auch die Grundlage der RSA-Kryptographie bildet (siehe Abschnitt
7.5). Inwieweit ein Problem lösbar ist, hängt von seiner Komplexität
ab. Es sei L=logN die Information, die der Computer benötigt, um das
Problem zu spezifizieren, d.h., die Anzahl der zu speichernden Bits. Die
rechentechnische Komplexität des Problems ist definiert als die Anzahl
K von Schritten, die der jeweilige Algorithmus erfordert, um das Problem
zu lösen. Wenn ein Algorithmus existiert, für den K ein Polynom
in L ist, dann wird das Problem i. allg. als praktisch lösbar angesehen.
Schwierig wird es, wenn K exponentiell mit L ansteigt und damit auch
die Rechenzeit exponentiell anwächst, so daß i. allg. das Problem als
praktisch nicht lösbar angesehen werden muß.
Ein typisches Beispiel für ein mit einem klassischen Computer praktisch
nicht lösbares Problem ist das der (nichttrivialen) Faktorisierung
ganzer Zahlen n, wenndiesehinreichendgroßsind.Istn gerade oder
ein Vielfaches einer kleinen Zahl, so ist relativ schnell ein Faktor gefunden.
Schwierig wird es, wenn die Faktoren p und q in n = pq große
Primzahlen sind. Der beste bisher bekannte Algorithmus erfordert K ∼
exp[2L 1/3 (log L) 3/2 ]mitL =logn. DanacherfordertdieFaktorisierung
einer aus 130 Dezimalstellen bestehendenZahl(d.h.L ≃ 300) K ∼ 10 18
Rechenschritte. Für 10 12 Operationen pro Sekunde bedeutet das eine
Rechenzeit von etwa 42 Tagen, was unter Umständen noch verkraftbar
wäre. Wird L verdoppelt (n → n 2 ), folgt K ∼ 10 25 ,wasbeiderangegebenen
Rechengeschwindigkeit eine Rechenzeit von einer Million Jahren
bedeutet und somit das Problem praktisch unlösbar macht.

258 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Das Problem der Faktorisierung von n kann auf das Problem der
Bestimmung der Periode einer Funktion zurückgeführt werden, d.h. ein
Problem, das, wie wir gesehen haben, mit einem Quantencomputer (im
Prinzip) lösbar ist. Die periodische Funktion ist
f(x) =a x mod n (a

7.7. QUANTENCOMPUTER 259
• Identifikation einzelner Qubits,
• Adressierbarkeit und Auslesen der Bits,
• Implementierung von Quantengattern,
• hinreichend schwache Dekohärenz,
• effiziente Fehlerkorrektur,
• Skalierbarkeit von wenigen auf viele Qubits.
In der Praxis gibt es bisher nur wenige Kandidaten, die die genannten
Voraussetzungen und Bedingungen ansatzweise erfüllen. Das große
Problem besteht insbesondere darin, Quantenkohärenzen zu speichern,
was einen Grad von Isolation der Quantensysteme verlangt, der auf
der Grundlage herkömmlicher Technologien (wie sie etwa in der Mikroelektronik
zur Anwendung kommen), wohl kaum erreichbar sein wird.
Die kohärenzzerstörenden Wechselwirkungen, denen Quantensysteme
durch Umgebungseinflüsse ausgesetzt sind, müßten um Größenordnungen
reduziert werden, damit dem Computer sein Wirkprinzip, das
quantenmechanische Superpositionsprinzip, nicht abhanden kommt.
Aus quantenoptischer Sicht kommen als Träger von Quanteninformation
einzelne Atome und Photonen in Frage. Mit Methoden
der Quantenoptik lassen sich beispielsweise einzelne Atome in Fallen
speichern und mit Laserkühlen im Grundzustand (der Massenmittelpunktsbewegung)
präparieren. Laserimpulse erlauben es dann, die
internen Zustände dieser kalten Atome gezielt zu manipulieren. Außerdem
können mit Methoden der Resonator-Quantenelektrodynamik
(Cavity QED) dieWechselwirkungeinzelnerPhotonenmiteinzelnen
Atomen kohärent gesteuert werden. Somit lassen sich 1-Bit-Gatter
durch Wechselwirkung von Laserlicht mit Atomen realisieren. 2-Bit-
Gatter lassen sich durch Ankopplung an Hilfsfreiheitsgrade wie zum
Beispiel kollektive Schwingungsmoden von gespeicherten Atomen oder
Ionen in einem Resonator realisieren.
Aus heutiger Sicht kann man bestenfalls davon ausgehen, daß in den
nächsten zehn Jahren Quantencomputer im Labor zur Verfügung stehen,
die Operationen mit vielleicht 10 ...40 Qubits realisieren können.

260 KAPITEL 7. QUANTENKOHÄRENZ
Damit werden mit Sicherheit eine Reihe von fundamentalen Experimenten
zur Verschränkung, Dekohärenz und zum Meßprozeß in der
Quantentheorie möglich werden. Für eine tatsächliche Anwendung als
praktische Rechner sind solche Systeme natürlich viel zu klein.

Kapitel 8
Fundamentale
Quanteneffekte in der
Licht-Materie-Wechselwirkung
Viele infolge der Wechselwirkung von atomaren Systemen mit elektromagnetischen
Feldern auftretende Effekte lassen sich im Rahmen einer
klassischen Beschreibung der Felder erklären. Ist in diesem Zusammenhang
eine quantenmechanische Beschreibung der atomaren Systeme
notwendig (beispielsweise wenn die diskreteEnergieniveaustruktur
der atomaren Systeme bei resonanter Anregung zu berücksichtigen ist),
spricht man von einer halbklassischen Beschreibungsweise. Klassische
Beschreibung des elektromagnetischen Feldes heißt dabei Beschreibung
der Felder als c-Zahlen und des Feldzustands mittels positiv semidefiniten
Verteilungsfunktionen (bzw. -funktionalen). In der halbklassischen
Theorie ist also insbesondere der Vakuumzustand des elektromagnetischen
Feldes als der Zustand anzusehen, in dem alle Korrelationsfunktionen
des Feldes identisch verschwinden, das elektromagnetische
Feld schlichtweg nicht existent ist.
Aus quantenmechanischer Sicht ist das photonische Vakuum ein
höchst lebhafter Zustand, der dadurch ausgezeichnet ist, daß alle normalgeordneten
Feldkorrelationsfunktionen verschwinden, was natürlich
nicht besagt, daß damit alle Feldkorrelationsfunktionen verschwinden.
261

262 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
So können Photonen aus dem Vakuum heraus erzeugt und wieder vernichtet
werden. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von virtuellen
Photonen. Bei Anwesenheit von angeregten Atomen können diese
Photonen ganz real werden, wie die spontane Emission zeigt, bei der
ein angeregter atomarer Zustand mit dem Vakuumfeld wechselwirkt.
Die spontane Emission stellt einen derfundamendalstenProzesseder
quantenhaften Licht-Materie-Wechselwirkung dar.
Bekanntlich können sich elektromagnetische Felder bei Anwesenheit
makroskopischer Körper 1 wesentlich von im (bis auf die Quelle) leeren
Raum ausbreitenden Feldern unterscheiden. Der Unterschied ist naturgemäß
in der Nähe der Körper besonders ausgeprägt. Als Folge kann
sich die Wechselwirkung eines Atoms mit elektromagnetischen Feldern
wesentlich ändern, wenn es in die Nähe eines makroskopischen Körpers
gebracht wird. Da dies auch die Wechselwirkung des Atoms mit dem
Photonenvakuum betrifft, wird beispielweise die spontane Emission positionsabhängig
und kann auf diese Weise kontrolliert werden. Ein anderes
Beispiel für die Wechselwirkung des Photonenvakuums mit atomaren
Systemen ist der resonante Energieaustausch zwischen Atomen
und Molekülen.
Der Einfluß makroskopischer Körper auf das photonische Vakuum
wird im weitesten Sinn des Wortes als Casimir-Effekt bezeichnet. Im
engeren Sinne wird der Begriff auf die Beeinflussung von Kräften vom
van der Waals-Typ durch makroskopische Körper angewandt. So verschieben
sich die Spektrallinien eines Atoms bei Annäherung an einem
makroskopischen Körper, so daß ein (neutrales) Atom im Grundzustand,
das sich in der Nähe eines makroskopischen Körpers befindet, i.
allg. einer anziehenden Kraft hin zum Körper unterliegt.
8.1 Hamilton-Operator
Bevor wir uns den einzelnen Effekten zuwenden, wollen wir uns
zunächst Klarheit über den Hamilton-Operator verschaffen, der zugrunde
zu legen ist, um den Einfluß makroskopischer Körper auf
die Wechselwirkung von Atomen mit elektromagnetischen Feldern zu
beschreiben. Für ein System nichtrelativisticher, geladener Teilchen,
1 Wir denken dabei an lineare Materialien undhierspeziellanDielektrika.

8.1. HAMILTON-OPERATOR 263
die im Sinne der minimalen Kopplung mit dem elektromagnetischen
Feld im ansonsten leeren Raum wechselwirkungen, ist der Hamilton-
Operator unter Zugrundelegung Coulomb-Eichung bekanntlich gemäß
(1.213) gegeben, wobei die kanonischen c-Zahl-Variablen durch Operatoren
zu ersetzen sind. Nehmen wir an, es handelt sich bei den makroskopischen
Körpern um (dispersive und absorptive) Dielektrika. Wie im
Abschnitt 1.3 ausgeführt, ist in diesem Fall der gemäß (1.216) definierte
Hamilton-Operator des freien Strahlungsfeldes durch den Hamilton-
Operator (1.200) zu ersetzen, wobei die dynamischen Grundvariablen
nunmehr nicht mehr Â(r) und ˆΠ(r), sondern ˆf(r, ω) undˆf † (r, ω) sind.
Da die (gleichzeitigen) Vertauschungsregeln für das elektromagnetische
Feld und die Teilchen weiterhin gelten, ändert sich an der Struktur
des Hamilton-Operators des freien Teilchensystems und des Wechselwirkungsterms
grundsätzlich nichts, und wir können den Hamilton-
Operator des wechselwirkenden GesamtsystemsinderForm
∫ ∫ ∞
Ĥ = d 3 r dω ω ˆf † (r, ω) · ˆf(r, ω)
0
+ ∑ 1
[
] 2
ˆp α − Q α Â(ˆr α )
2m
α α
∫
∫
d 3 rˆρ(r)ˆϕ(r)+ d 3 rˆρ(r) ˆφ(r)
+ 1 2
(8.1)
ansetzen, wobei sich nunmehr das skalare Potential aus dem skalaren
Potential ˆϕ(r), das von den betrachteten (das atomare System bildenden)
Teilchen herrührt, und dem skalaren Potential ˆφ(r), zu dem die
Mediumteilchen Anlaß geben, zusammensetzt. Um Â(ˆr)undˆφ(r)durch
die Variablen ˆf(r, ω) undˆf † (r, ω) auszudrücken, stellen wir sie in der
Form
Â(r) =
ˆφ(r) =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
dω Â(r, ω)+h.c., (8.2)
dω ˆφ(r, ω)+h.c. (8.3)

264 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
dar, wobei in der zugrunde gelegten Coulomb-Eichung
Â(r, ω) =(iω) −1 Ê ⊥ (r, ω) (8.4)
und
−∇ ˆφ(r, ω) =Ê‖ (r, ω) (8.5)
mit Ê(r, ω) aus(1.195)gilt.DerEinflußmakroskopischer(dielektrischer)
Körper auf die Wechselwirkung von Atomen mit dem elektromagnetischen
Feld kann auf diese Weise voll über den Green-Tensor
der (klassischen) Maxwell-Gleichungen [siehe (1.186)] erfaßt werden.
8.2 Spontane Emission
Wir betrachten ein Atom am (festen) Ort r A .DerHamilton-Operator
(8.1) kann dann gemäß
Ĥ = ĤA + ĤF + ĤAF (8.6)
zerlegt werden, wobei Ĥ A der Hamilton-Operator des freien Atoms ist,
Ĥ A = ∑ n
ω n  nn , (8.7)
Ĥ F der Feld-Hamilton-Operator (1.200) ist [d.h. der erste Term in (8.1)]
und der Wechselwirkungsterm
Ĥ AF = − ∑ Q α
ˆp α ·
m Â(ˆr α)+ ∑ Q 2 ∫
α
 2 (ˆr α )+ d 3 rˆρ(r)
α α 2m ˆφ(r) (8.8)
α α
lautet.
Unter Vernachlässigung des Â2 -Terms geht ĤAF in elektrischer Dipolnäherung
und Resonanznäherung in
Ĥ AF = − ∑ n,m
d nm· Ê(+) (r A ) Ânm +h.c. (8.9)

8.2. SPONTANE EMISSION 265
über [vgl. (1.236)], wobei
Ê (+) (r) =
∫ ∞
0
dω Ê(r, ω), Ê(−) (r) = [ Ê (+) (r) ] †
(8.10)
mit Ê(r, ω) aus(1.195)gilt.Für die spontane Emission eines Photons
aus dem (ersten) angeregten Atomzustand in den Grundzustand genügt
es, sich auf ein atomares 2-Niveau-System zu beschränken,
Ĥ A = ( ω 1 Â 11 + ω 2 Â 22
)
= ω1 + ω 21 Â 22 ↦→ ĤA = ω 21 Â 22 , (8.11)
so daß der Hamilton-Operator (8.6) zusammen mit (1.200), (8.11) und
(8.9) [zusammen mit (8.10)] die Gestalt
∫ ∫ ∞
Ĥ = d 3 r dω ω ˆf † (r, ω) · ˆf(r, ω)
0
+ ω 21 Â 22 − Â21d 21 · Ê(+) (r A ) − Ê(−) (r A ) · d 12 Â 12 (8.12)
annimmt.
In dieser Näherung kann der Zustandsvektor als
|ψ(t)〉 = C 2 (t)e −i˜ω 21t |{0}〉|2〉
∫ ∫ ∞
+ d 3 r dω e −iωt C 1 (r, ω,t)|1(r, ω)〉|1〉 (8.13)
0
angesetzt werden, wobei |{0}〉 den Vakuumzustand von Feld und Körpern
bedeutet,
f(r, ω)|{0}〉 =0, (8.14)
und |1(r, ω)〉 den Zustand, in dem ein Quant angeregt ist,
|1(r, ω)〉 = f † (r, ω)|{0}〉. (8.15)
Die Größen C 2 (t) andC 1 (t) repräsentieren zeitlich langsam veränderliche
Entwicklungskoeffizienten, wobei zugelassen ist, daß sich die ungestörte
atomare Übergangsfrequenz von der die Atom-Feld-Wechselwirkung
berücksichtigenden unterscheiden kann,
˜ω 21 = ω 21 − δω. (8.16)

266 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Wir setzen |ψ(t)〉 in die Schrödinger-Gleichung
i d|ψ(t)〉
dt
= Ĥ|ψ(t)〉 (8.17)
ein und erhalten unter Berücksichtigung von (1.195) sowie (8.14) und
(8.15) das gekoppelte, lineare Differentialgleichungssystem
Ċ 2 (t) =−iδωC 2 (t) − √ 1
πε0
∫
×
∫ ∞
0
dω ω2
c 2 e−i(ω−˜ω 21)t
d 3 r √ Im ε(r, ω) d 21 · G(r A , r, ω) · C 1 (r, ω,t), (8.18)
Ċ 1 (r, ω,t)
= 1 √ πε0
ω 2
c 2 √
Im ε(r, ω) e
i(ω−˜ω 21 )t d 12 · G ∗ (r A , r, ω) C 2 (t) (8.19)
für die Entwicklungskoeffizienten C 2 (t) und C 1 (t), das unter den Anfangsbedingungen
C 2 (t)| t=0 =1bzw.C 1 (r, ω,t)| t=0 =0zulösen ist. Formale
Integration der Differentialgleichung (8.19) und Einsetzen der
(formalen) Lösung in (8.19) liefert unter Berücksichtigung der Relation
(1.189) eine Integrodifferentialgleichung für C 2 (t):
Ċ 2 (t) =−iδωC 2 (t)+
∫ t
0
dt ′ K(t − t ′ )C 2 (t ′ ) (8.20)
K(t) =− 1 ∫ ∞
dωω 2 e −i(ω−˜ω 21)t d
πε 0 c 2 21 · Im G(r A , r A , ω) · d 12
0
(8.21)
Die Gleichung (8.20) zusammen mit dem Integralkern (8.21) ist noch
recht allgemein. 2 Analytisch läßt sie sich im wesentlichen in zwei
2 Solange der Green-Tensor nicht spezifiziert wird, geltendieseundalleweiterenGleichungenfür
beliebige lineare Medien.

8.2. SPONTANE EMISSION 267
Grenzfällen auswerten, nämlich den Grenzfällen der schwachen und
starken Kopplung. Die noch unbekannte verschobene atomare Übergangsfrequenz
˜ω 21 muß natürlich auch aus den Gleichungen (8.20) und
(8.21) bestimmt werden. Für eine numerische Lösung der Gleichung
(8.20) kann es vorteilhafter sein, von der unverschobenen (im freien
Raum beobachteten) Übergangsfrequenz ω 21 auszugehen. In diesem
Fall ist in der Integrodifferentialgleichung (8.20) [und in der Gleichung
(8.21) für den Integralkern] einfach δω =0 zu setzen. Die Integrodifferentialgleichung
kann dann (durch zeitliche Integration beider Seiten)
in die Integralgleichung
C 2 (t) =
∫ t
0
dt ′ K ′ (t − t ′ )C 2 (t ′ )+1 (8.22)
überführt werden, wobei der Integralkern
K ′ (t) = 1 ∫ ∞ [ ]
dωω 2 e −i(ω−ω21)t d21 · Im G(r A , r A , ω) · d 12
− 1
πε 0 c 2 0
i(ω − ω 21 )
(8.23)
lautet.
Die Intensität des elektromagnetischen Feldes, die von einem Punktdetektor
am Ort r zur Zeit t registriert wird, wird bekanntlich durch
I(r,t) ≡〈ψ(t)|Ê(−) (r) · Ê(+) (r)|ψ(t)〉 (8.24)
bestimmt. Mit |ψ(t)〉 aus (8.13) sowie unter Verwendung der Relation
(1.189) erhalten wir nach einer kurzen Rechnung
∫ I(r,t)=
i t
∣ dt ′[ C
πε 0 c 2 2 (t ′ )
×
∫ ∞
0
0
dωω 2 Im G(r, r A , ω) · d 12 e −i(ω−˜ω 21)(t−t ′ ) ]∣ ∣ ∣∣
2. (8.25)
8.2.1 Schwache Atom-Feld-Kopplung
Beginnen wir mit dem Grenzfall der schwachen Kopplung. Hier wird
angenommen, daß in dem Zeitintervall
0 ≤ t − t ′ ≤ τ c (8.26)

268 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
(τ c - Korrelationszeit), in dem der Integralkern K(t−t ′ )wesentlichvon
Null verschieden ist, die (zeitlich langsam veränderliche) Wahrscheinlichkeitsamplitude
C 2 (t ′ )alsnahezukonstantangesehenwerdenkann,
so daß in dem Zeitintegral in (8.20) C 2 (t ′ )anderoberenIntegrationsgrenze
(d.h. bei t ′ =t) vordasIntegralgezogenundindemverbliebenen
Integral die Zeit t ohne großen Fehler ins Unendliche geschoben werden
kann (t →∞),
∫ t
Ċ 2 (t) =−iδωC 2 (t)+C 2 (t) lim dτ K(τ). (8.27)
t→∞
0
In dieser auch als Markow-Näherung bezeichneten Näherung ist die
zeitliche Änderung von C 2 (t) zujedemZeitpunktt allein durch C 2 (t)
zu dem jeweiligen Zeitpunkt bestimmt. Wir machen von der Beziehung
∫ t
lim dτ e −i(ω−˜ω 21)τ = ζ(˜ω 21 − ω) =πδ(˜ω 21 − ω)+i
t→∞
0
Gebrauch und finden mit (8.21)
wobei
δω =
P ∫ ∞
πε 0 c 2
P
˜ω 21 − ω (8.28)
∫ t
lim
t→∞
0
dτ K(τ) =iδω − 1 2Γ, (8.29)
0
dωω 2 d 21 · Im G(r A , r A , ω) · d 12
ω − ˜ω 21
(8.30)
die gesuchte Frequenzverschiebung bedeutet und
Γ = 2˜ω2 21
ε 0 c 2 d 21 · Im G(r A , r A , ˜ω 21 ) · d 12 (8.31)
die Rate für den spontanen Zerfall des angeregten atomaren Zustands
ist. Offensichtlich gilt
C 2 (t) =e − 1 2 Γt ❀ |C 2 (t)| 2 = e −Γt . (8.32)

8.2. SPONTANE EMISSION 269
Die obigen Gleichungen gelten natürlich auch für ein (2-Niveau-)Atom
im ansonsten leeren Raum. In diesem Fall ist der Green-
Tensor einfach der Vakuum-Green-Tensor. Betrachten wir den allgemeinen
Fall eines Atoms, in dessen Umgebung sich irgendwelche makroskopische
(dielektrische) Körper befinden. Der Green-Tensor G(r, r ′ , ω)
als Lösung der partiellen Differentialgleichung (1.186) kann bekanntlich
aus einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
(1.186) und der allgemeinen Lösung der zugeordneten homogenen Differentialgleichung
aufgebaut werden. Letztere ist dann so zu spezifizieren,
daß die bekannten Übergangsbedingungen auf den Körperoberflächen
erfüllt sind.
r ′ = r A
G(r, r ′ , ω)
r
Wir wollen annehmen, daß der Raum zwischen dem Atom und
den makroskopischen Körpern leer ist. Liegen die durch die Ortsvektoren
r und r ′ = r A definierten Punkte in diesem Raumbereich und ist
G V (r, r ′ , ω) derVakuum-Green-Tensor,d.h.,dieLösung der Differentialgleichung
(1.186) für ε(r, ω) ≡ 1undderRandbedingungimUnendlichen,
so läßt sich in dem betrachteten Raumbereich der gesuchte
Green-Tensor G(r, r ′ , ω) inderForm
G(r, r ′ , ω) =G V (r, r ′ , ω)+G S (r, r ′ , ω) (8.33)
angeben, wobei G S (r, r ′ , ω) alsLösung der homogenen Differentialgleichung
den sogenannten Streuanteil repräsentiert. Berücksichtigen wir,
daß gemäß (1.196)
[
]
G V (r, r ′ , ω) =
c2
∇∇ + I ω2 e
iω|r−r ′ |/c
(8.34)
4πω 2 c 2 |r − r ′ |
und folglich
Im G V (r, r, ω) =
ω
6πc I (8.35)

270 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
gilt, so können wir mit der Zerlegung (8.33) die Zerfallsrate (8.31) in
der Form
Γ = Γ 0 + 2˜ω2 21
ε 0 c 2 d 21 · Im G S (r A , r A , ˜ω 21 ) · d 21 (8.36)
schreiben, wobei
Γ 0 = ˜ω3 21d 2 21
3πε 0 c 3 (8.37)
offensichtlich die positionsunabhängige Rate der spontanen Emission
des Atoms im freien Raum darstellt und der zweite, positionsabhängige
Term den Einfluß der makroskopischen Körper widerspiegelt.
Der durch Im G V (r A , r A , ˜ω 21 )bestimmteBeitragzurFrequenzverschiebung
δω in (8.30) ist divergent, wie unschwer zu sehen ist. Die
exakte Bestimmung der Linienverschiebung im freien Raum ist offensichtlich
im Rahmen der betrachteten Näherungen (wie etwa 2-Niveau-
System, elektrische Dipolnäherung) nicht möglich. Das Problem ist
ausgiebig in der Literatur behandelt. Wir wollen annehmen, daß die
” ungestörte“ Übergangsfrequenz ω 21 bereits die durch den Vakuumeffekt
im freien Raum korrigierte Übergangsfrequenz ist, so daß in (8.30)
Im G(r A , r A , ˜ω 21 ) durch Im G S (r A , r A , ˜ω 21 ) ersetzt werden kann. Die resultierente,
positionsabhängige Frequenzverschiebung
δω = µ 0
π P ∫ ∞
0
dωω 2 d 21 · Im G S (r A , r A , ω) · d 12
ω − ˜ω 21
(8.38)
beschreibt dann den Effekt, der durch die Anwesenheit der makroskopischen
Körper beobachtbar ist. Die weitere Auswertung des Frequenzintegrals
kann mit Hilfe des Cauchy-Theorems geschehen. Zu diesem
Zweck schreiben wir Im G S =(G S − G ∗ S )/(2i), verwenden die Relation
(1.187) und finden
δω = − µ 0
2πi
+ P
[ ∫ ∞
P dωω 2 d 21 · G S (r A , r A , ω) · d 12
0
˜ω 21 − ω
dωω 2 d ]
21 · G S (r A , r A , ω) · d 12
˜ω 21 + ω
∫ −∞
0
(8.39)

8.2. SPONTANE EMISSION 271
Betrachten wir zunächst das Hauptwertintegral entlang der positiven
Frequenzachse. Auf Grund der analytischen Eigenschaften des Green-
Tensors als Funktion der (komplexen) Frequenz verschwindet das Integral
längs des in der Abbildung gezeigten geschlossenen Weges, wobei
der Viertelkreis ins Unendliche geschoben werden kann und dann keinen
Beitrag liefert. Folglich ist das gesuchte Hauptwertintegral gleich dem
Im ω
∞
˜ω 21
Re ω
Integral längs der positiven imaginären Frequenzachse plus dem Integral
längs eines infinitesimal kleinen Halbkreises um den Punkt ω =˜ω 21
auf der reellen Achse. Völlig analog kann das Hauptwertintegral längs
der negativen Frequenzachse behandelt werden. Im Ergebnis erhalten
wir
δω = µ 0
˜ω2 21d 21 · Re G S (r A , r A , ˜ω 21 ) · d 12
+ µ 0
π
∫ ∞
0
duu 2˜ω 21
d 21 · G S (r A , r A ,iu) · d 12
˜ω 2 21 + u2 (8.40)
bzw. unter Vernachlässigung des nichtresonanten zweiten Terms: 3
δω = µ 0
˜ω2 21 d 21 · Re G S (r A , r A , ˜ω 21 ) · d 12 (8.41)
3 Dieser Term ist von der gleichen Größenordnung wie die (in der betrachteten Resonanznäherung
nicht enthaltene) Verschiebung der Grundzustandsenergie; siehe (8.235) zusammen mit (8.236) und
(8.240).

272 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Da die gesuchte Frequenzverschiebung δω auf der rechten Seite dieser
Gleichung ebenfalls auftritt, kann die Gleichung als selbstkonsistente
Bestimmungsgleichung für δω aufgefaßt werden. Setzt man auf der
rechten Seite ˜ω 21 = ω 21 ,erhält man δω in störungstheoretisch niedrigster
Ordnung. Die Abhängigkeit der Übergangsfrequenz ˜ω 21 =˜ω 21 (r A )
von der Atomposition r A (und damit vom Abstand des Atoms von
der Oberfläche eines benachbarten Körpers) läßt sich spektroskopisch
nachgewiesen. Der Effekt wird in der Nahfeldspektroskopie zur Oberflächendiagnostik
ausgenutzt.
Kehren wir zu der Ratenformel (8.36) zurück. Der dort auftretende
Imaginärteil des Streuanteils des Green-Tensors kann als Maß für
die durch die Anwesenheit makroskopischer Körper bedingte Änderung
der Modendichte des elektromagnetischen Feldes am Orte des Atoms
angesehen werden. Im Ergebnis kann die Zerfallsrate Γ sowohl größer
als auch kleiner als die im freien Raum beobachtete Zerfallsrate Γ 0 sein.
Während im ersten Fall der spontane Zerfall (im Vergleich zum freien
Raum) verstärkt wird, wird er im zweiten Fall reduziert, was bis zu
einem fast vollständigen Unterdrücken des spontanen Zerfalls führen
kann.
Befindet sich das Atom in hinreichend großer Entfernung von jeglichen
Körpern, ist die Modendichte im wesentlichen identisch mit der im
freien Raum und folglich gilt Γ ≃ Γ 0 .BefindetsichumgekehrtdasAtom
in extrem geringem Abstand von einem makroskopischen Körper, kann
dessen Nahfeld zusammen mit Absorption den Zerfall dominieren, der
in diesem Fall als strahlungslos angesehen werden kann. Betrachten wir
ein Atom, das sich im Abstand ∆r von der Oberfläche eines dielektrischen
Körpers befindet. Für die Zerfallsrate eines Atoms mit bezüglich
der Oberfläche normal orientiertem Übergangsdipolmoment gilt in der
Grenze ∆r → 0
Γ ⊥
Γ 0
= 3c3
4˜ω 3 21
Im ε(˜ω 21 ) 1
(8.42)
|ε(˜ω 21 )+1| 2 (∆r) 3
und für die Zerfallsrate Γ ‖ im Falle eines Atoms mit tangential orientiertem
Übergangsdipolmoment
Γ ‖ = 1 2 Γ⊥ . (8.43)
Die im Nahfeldbereich beobachtete Proportionalität der Zerfallsrate

8.2. SPONTANE EMISSION 273
zum Imaginärteil der Permittivität ist Ausdruck des effektiv strahlungslosen
Zerfalls in diesem Bereich.
Atom
ε(ω)
d
ε(ω)
Atom
R
R
Im allgemeinen kann sich eine recht komplizierte Abhängigkeit der
Zerfallsrate sowohl vom Abstand des Atoms von einem benachbarten
Körper als auch von der Übergangsfrequenz ergeben, wie die in den
folgenden drei Abbildungen illustrierten Beispiele eines von einer dielektrischen
Kugelschale umgebenden Atoms und eines sich in der Nähe
einer dielektrischen Kugel befindlichen Atoms zeigen. In der ersten Ab-
20
0.5
Γ/Γ 0
10
0
1.05 1.06
0
0.9 1 1.1
˜ω 21 /ω T
Spontane Emissionsrate als Funktion der Übergangsfrequenz für ein Atom
umgeben von einer dielektrischen Kugelschale mit innerem Radius R =30λ T
und Dicke d=λ T [ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −2 (durchgezogen), γ/ω T =2×10 −2
(gestrichelt), γ/ω T =5× 10 −2 (punktiert)].
bildung 4 ist das Atom von einer dielektrischen Kugelschale umgeben,
4 T.D. Ho, L. Knöll, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 62, 053804(2000).

274 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
während es sich in den anderen zwei Abbildungen 5 außerhalb einer
dielektrischen Kugel befindet. Den Rechnungen wurde eine auf dem
Drude-Lorentz-Modell basierende Permittivität mit einer (transversalen)
Resonanzfrequenz zugrunde gelegt,
ɛ(ω) =1+
ω 2 P
ω 2 T − ω2 − iωγ . (8.44)
Wir sehen, daß die Zerfallsrate als Funktion der Übergangsfrequenz in
100
Γ/Γ 0
100
50
0
0
0.9
0.9403 0.9405
1 1.1
˜ω 21 /ω T
Spontane Emissionsrate als Funktion der Übergangsfrequenz für ein
Atom mit einem radial orientiertes Übergangsdipolmoment im Abstand
∆r =0.02 λ T von der Oberfläche einer dielektrischen Mikrokugel vom Radius
R =2λ T [ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −4 (durchgezogen), γ/ω T =10 −5 (gestrichelt),
γ/ω T =10 −6 (punktiert)].
direkter Weise das durch die Anwesenheit der makroskopischen Körper
bestimmte Anregungsspektrum des elektromagnetischen Feldes widerspiegelt.
Betrachten wir den Fall eines Atoms nahe der Oberfläche einer
dielektrischen Kugel etwas genauer. Die in den Abbildungen zu
sehenden Maxima der Zerfallsrate im Frequenzbereich unterhalb ω T
korrespondieren zu den Whispering-Gallery-Moden innerhalb der Kugel,
während die Maxima oberhalb ω T in der Band-Gap-Zone Oberflächenwellen
entsprechen. Offensichtlich kann an diesen Resonanzfre-
5 T.D. Ho, L. Knöll, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 64, 013804(2001).

8.2. SPONTANE EMISSION 275
quenzen der spontane Zerfall (im Vergleich zum freien Raum) beträchtlich
verstärkt werden. Liegt dagegen die Übergangsfrequenz zwischen
zwei Feldresonanzen, kann der spontane Zerfall fast völlig untedrückt
werden.
Γ/Γ 0
100
2
1
50
0
0.9
1
1.1
0
0.9
1
˜ω 21 /ω T
Spontane Emissionsrate als Funktion der Übergangsfrequenz für ein Atom
mit einem radial orientiertes Übergangsdipolmoment im Abstand ∆r=0.1 λ T
von der Oberfläche einer dielektrischen Mikrokugel vom Radius R =2λ T
[ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −4 ].
Um den Effekt der Absorption zu demonstrieren, wollen wir die
insgesamt abgestrahlte Energie
∫ ∞ ∫ 2π ∫ π
W =2cɛ 0 lim dt dφ dθρ 2 sin θ I(r,t) (8.45)
ρ→∞
0 0 0
(ρ = |r − r A |)mitI(r,t)gemäß (8.25) berechnen. In Markow-Näherung
und bei Vernachlässigung von Laufzeiteffekten können wir in (8.25)
C 2 (t ′ )=C 2 (t) setzenunddasverbleibendeZeitintegralinsUnendliche
ausdehnen. Somit wird unter Berücksichtigung von (8.28) aus (8.25)
1.1
I(r,t)=|F(r, r A , ˜ω 21 )| 2 |C 2 (t)| 2 (8.46)
und wegen (8.32)
I(r,t)=|F(r, r A , ˜ω 21 )| 2 e −Γt (8.47)

276 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
mit
F(r, r A , ˜ω 21 )=
i ∫ ∞
πε 0 c 2
0
dωω 2 ζ(˜ω 21 − ω)Im G(r, r A , ω) · d 12 (8.48)
bzw. [nach Zerlegung der ζ-Funktion gemäß (8.28)]
[
F(r, r A , ˜ω 21 )=
i ˜ω 2
πε 0 c 2 21 πIm G(r, r A, ˜ω 21 ) · d 12
∫ ]
∞
− iP dωω 2 Im G(r, r A, ω) · d 12
. (8.49)
0
ω − ˜ω 21
Das Hauptwertintegral in dieser Gleichung ist (bis auf den Vorfaktor)
das gleiche wie in der Gleichung (8.30) für die Verschiebung der
Übergangsfrequenz, so daß wir es gemäß (8.40) auswerten können. Vernachlässigen
wir wieder den nichtresonanten Term und fassen den Imaginärteil
und den Realteil des Green-Tensors zusammen, erhalten wir
schließlich:
F(r, r A , ˜ω 21 )= ˜ω2 21
ε 0 c 2 G(r, r A, ˜ω 21 ) · d 12 (8.50)
Die folgenden zwei Abbildungen 6 zeigen die beim spontanen Zerfall
nahe einer dielektrischen Kugel von einem Atom insgesamt abgestrahlte
Energie (verglichen mit der im freien Raum abgestrahlten
Energie W 0 = ˜ω 21 . 7 Wir sehen zunächst, daß an den Whispering-
Gallery-Resonanzen mit den erhöhten Zerfallsraten die abgestrahlte
(mittlere) Energie typischerweise deutlich geringer als ˜ω 21 ist. Da in
diesem Fall ein emittiertes Photon im Mittel über einen Zeitraum ∼ γ −1
ν
innerhalb der Kugel verweilt, wobei γ ν ein Maß für die Breite der betrachteten
(ν-ten) Resonanzlinie ist, 8 besteht naturgemäß eine erhöhte
Wahrscheinlichkeit, daß es absorbiert wird. Für Übergangsfrequenzen
6 T.D. Ho, L. Knöll, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 64, 013804(2001).
7 Das Verhältnis W/W 0 kann auf der Zeitskala ∼ Γ −1 als Quantenausbeute angesehen werden.
8 Beachte, daß dieser Zeitraum immer noch kurz im Vergleich zu Γ −1 ist.

8.2. SPONTANE EMISSION 277
W/W 0
1
0.5
0
0.9 1
˜ω 21 /ω T
Spontan emittierte Strahlungsenergie als Funktion der Übergangsfrequenz
für ein Atom mit radial orientiertem Übergangsdipolmoment im Abstand
∆r =0.02 λ T von der Oberfläche einer dielektrischen Mikrokugel vom Radius
R =2λ T (ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −4 ).
1.1
W/W 0
1
0.5
0
0.9 1
˜ω 21 /ω T
Spontan emittierte Strahlungsenergie als Funktion der Übergangsfrequenz
für ein Atom mit radial orientiertem Übergangsdipolmoment im Abstand
∆r =0.1 λ T von der Oberfläche einer dielektrischen Mikrokugel vom Radius
R =2λ T (ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −4 ).
1.1
in der Band-Gap-Zone sind zwei Bereiche zu unterscheiden. Im niederfrequenten
Bereich wird ein emittiertes Photon mit hoher Wahrschein-

278 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
1
W/W 0
10 −10
10 −20 ˜ω 21 /ω T
0.9 1
1.1
Spontan emittierte Strahlungsenergie als Funktion der Übergangsfrequenz
für ein Atom umgeben von einer dielektrischen Kugelschale mit innerem
Radius R=30λ T und Dicke d=λ T [ω P /ω T =0.5, γ/ω T =10 −2 (durchgezogen),
γ/ω T =2× 10 −2 (gestrichelt), γ/ω T =5× 10 −2 (punktiert)].
lichkeit auch abgestrahlt. Insbesondere unterliegen die in diesem Bereich
anregbaren Oberflächenwellen wegen ihrer geringen Eindringtiefe
einer entsprechend geringen Absorption. In dem sich bis zur (longitudinalen)
Frequenz ω L = √ ωT 2 + ω2 P
anschließenden zweiten Bereich sind
zwei ausgeprägte Minima der angestrahlten Energie möglich. Während
das erste von den tiefer in die Kugel eindringenden (und sich überlappenden)
Oberflächenwellen höher Ordnung herrührt, ist das (bei hinreichend
kleinen Atom-Kugel-Abständen) an der Stelle ˜ω 21 = ω L auftretende
zweite Minimum mit einer durch die Nahfeldwechselwirkung
des Atoms mit dem Kugel bedingten Anregung des longitudinalen
Feldanteils verknüpft, die rein strahlungslos ist. Sowohl mit abnehmendem
Absorptionsparameter γ als auch mit zunehmendem Atom-Kugel-
Abstand ∆r verschwindet dieses Minimum, d.h., die Übergangsenergie
˜ω 21 wird abgestrahlt.
Eine merklich ander Situation liegt für das in der Abbildung 9 auf
Seite 273 betrachtete Beispiel eines Atoms, das von einer dielektrischen
Kugelschale umgeben ist, vor. Wie aus obiger Abbildung zu ersehen
ist, geben in diesem Fall die Feldresonanzen generell zu keinen Ab-
9 T.D. Ho, L. Knöll, D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 62, 053804(2000).

8.2. SPONTANE EMISSION 279
sorptionsspitzen Anlaß. Insbesondere unterliegen die auf das Innere des
(durch die Kugelschale begrenzten)Resonatorskonzentriertenresonanten
Feldanregungen, deren Frequenzen innerhalb der Band-Gap-Zone
liegen, keiner besonders ausgezeichneten Absorption. Das Ergebnis ist
ein recht glatter Kurvenverlauf mit maximaler Absorption nahe der
transversalen Resonanzfrequenz.
8.2.2 Starke Atom-Feld-Kopplung
Die Tatsache, daß die Zerfallsrate sehr große Werte annehmen kann,
wenn durch die Anwesenheit makroskopischer Körper (wie z.B. im Fall
der betrachteten dielektrischen Kugel) ausgeprägte Feldresonanzen –
auch als (effektive) Moden bezeichnet – auftreten und die atomare
Übergangsfrequenz mit einer solchen Resonanzfrequenz übereinstimmt,
bringt zum Ausdruck, daß die Atom-Feld-Wechselwirkung dort sehr
stark werden kann. Sie kann insbesondere so stark werden, daß die
auf einen exponentiellen Zerfall des angeregten Atomzustands führende
Markow-Näherung nicht länger anwendbar ist. Dies ist insbesondere
dann der Fall, wenn die Linienbreite der entsprechenden Feldresonanz
hinreichend klein ist, so daß ihre Lebensdauer vergleichbar mit oder
größer als die charakteristische Zeitdauer wird, in der sich der Atomzustand
ändert.
Es sei ω ν die Frequenz einer solchen Feldresonanz und γ ν ihre Linienbreite.
Wir wollen annehmen, daß ˜ω 21 ≈ ω ν mit |˜ω 21 − ω ν | ≪ ∆ω gilt,
wobei ∆ω ein Maß für den Abstand zu den benachbarten Feldresonanzen
ist. Wir zerlegen den Integralkern K(t)in(8.21)ineinenresonanten
und einen nichtresonanten Anteil gemäß
wobei
K(t) =K res (t)+K offres (t), (8.51)
K res (t) =− 1 ∫ ων +∆ω/2
dωω 2 e −i(ω−˜ω 21)t d
πε 0 c 2 21 · Im G(r A , r A , ω) · d 12
ω ν −∆ω/2
(8.52)
gilt und das verbleibende (die Resonanzlinie aussparende) Frequenzintegral
zu K offres (t) zusammengefaßtalsaufdie[gemäß (8.30) definierte]
Frequenzverschiebung δω führend angesehen werden kann. Um die

280 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Gleichung (8.52) weiter auszuwerten, wollen wir annehmen, daß die Linienform
der Feldresonanz durch eine Lorentz-Kurve beschreibbar ist,
so daß (näherungsweise)
ω 2 ν
K res (t) =−e −i(ω ν−˜ω 21 )t
πε 0 c d 2 21 · Im G(r A , r A , ω ν ) · d 12
× γ 2 ν
∫ ∞
= 1
2π Γ νγ 2 ν
−∞
∫ ∞
e −i(ω−ω ν)t
dω
(ω − ω ν ) 2 + γν
2
−∞
e −i(ω−ω ν)t
dω
(ω − ω ν ) 2 + γν
2
(8.53)
gesetzt werden kann, wobei Γ ν gemäß (8.31) (˜ω 21 ↦→ ω ν )definiertist:
Γ ν = 2ω2 ν
ε 0 c 2 d 21 · Im G(r A , r A , ω ν ) · d 12 . (8.54)
Das Frequenzintegral in (8.53) läßt sich nunmehr einfach berechnen;
wir erhalten:
K res (t) =− 1 2 Γ νγ ν e −i(ω ν−˜ω 21 )t e −γ ν|t| (8.55)
In der betrachteten Näherung nimmt die Integrodifferentialgleichung
(8.20) die Form
Ċ 2 (t) =
∫ t
0
dt ′ K res (t − t ′ )C 2 (t ′ )
∫ t
= − 1 2 Γ νγ ν dt ′ e −[i(ω ν−˜ω 21 )+γ ν ](t−t ′) C 2 (t ′ ) (8.56)
0
an. Wir differenzieren beide Seiten dieser Gleichung nach der Zeit und
finden
¨C 2 (t)+[i(ω ν − ˜ω 21 )+γ ν ] Ċ2(t)+(Ω ν /2) 2 C 2 (t) =0 (8.57)

8.2. SPONTANE EMISSION 281
wobei
Ω ν = √ 2Γ ν γ ν
(8.58)
die (der betrachteten Feldresonanz entsprechende) Vakuum-Rabi-
Frequenz bedeutet.
Gehen wir mit dem Lösungsansatz C 2 (t) ∼ e λt in die Differentialgleichung
(8.57) ein, so erhalten wir die Säkulargleichung
λ 2 − (iδ ν − γ ν )λ +(Ω ν /2) 2 =0 (8.59)
(δ ν =˜ω 21 −ω ν ). Wir wollen uns auf den Fall (nahezu) exakter Resonanz
konzentrieren,
|δ ν | ≪ Ω ν , (8.60)
und annehmen, daß die spektrale Breite der betrachteten Feldresonanz
klein im Vergleich zur Rabi-Frequenz ist,
γ ν ≪ Ω ν . (8.61)
Beschränken wir uns auf die Mitnahme der bis einschließlich in den
Kleinheitsparametern linearen Terme, so erhalten wir die beiden Lösungen
λ = 1 2 (±Ω ν + δ ν ) i − 1 2 γ ν, (8.62)
und für die zeitliche Entwicklung der Wahrscheilichkeitsamplitude des
angeregten Atomzustands folgt
d.h., die Besetzungswahrscheinlichkeit
C 2 (t) =e −(iδ ν+γ ν )t/2 cos(Ω ν t/2), (8.63)
|C 2 (t)| 2 = e −γ νt cos 2 (Ω ν t/2) (8.64)
zeigt für Zeiten t ≪ γ −1
ν
ein oszillierendes Verhalten:
|C 2 (t)| 2 =cos 2 (Ω ν t/2) ❀ |C 1 (t)| 2 =1− cos 2 (Ω ν t/2) = sin 2 (Ω ν t/2)
(8.65)
Das emittierte Photon kann also wieder reabsorbiert werden. Die
Anordnung wirkt als Resonator, dessen Güte hinreichend hoch ist, so

282 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
1
|C 2 (t)| 2 0
0.5
0
0.05
γ ν t
0.1
Besetzungswahrscheinlichkeit des oberen Atomzustands als Funktion der Zeit
für ein Atom umgeben von einer dielektrischen Kugelschale [ε(ω) gemäß
(8.44)] mit innerem Radius R =30λ T und Dicke d = λ T [ω P /ω T =0.5, ω ν =
ω 21 =1.046448 ω T , Γ 0 λ T /(2c)=10 −6 ; γ/ω T =10 −4 (durchgezogen), γ/ω T =
5 × 10 −4 (gestrichelt), γ/ω T =10 −3 (punktiert)]. Die strichpunktierte Kurve
zeigt das im freien Raum beobachtete exponentielle Zerfallsgestz.
daß das emittierte Photon im Resonator gefangen“ wird. und somit
”
Somit steht das emittierte Photon für die Wechselwirkung mit dem
Atom weiter zur Verfügung und kann das sich nunmehr im Grundzustand
befindlichen Atom wieder anregen. Der periodische (und somit
reversible Prozeß) des Austauschs der Anregungsenergie zwischen Atom
und Feld setzt sich natürlich nicht beliebig lange fort, da ein emittiertes
Photon den Resonator verlassen bzw. absorbiert werden kann. Die
charakteristische Zeit dafür ist offensichtlich durch γν
−1 bestimmt, d.h.
durch die Lebensdauer der betrachten (effektiven) Mode, was gleichbedeutend
mit der Verweildauer eines Photons im Resonator ist. In
der Praxis wird die Güte eines Resonators (bezüglich der betrachteten
Feldresonanz) gewöhnlich als das Verhältnis Q = ω ν /γ ν definiert.
Beispiele für die (exakte) zeitliche Entwicklung des oberen Atomzustands
sind in der Abbildung auf Seite 282 dargestellt. Die Abbildung
auf Seite 283 zeigt einen Vergleich zwischen der exakten Lösung [numerische
Lösung der Integralgleichung (8.22) zusammen mit dem Integralkern
(8.23)] und der auf der Differentialgleichung (8.57) basierenden
Näherungslösung für C 2 (t). Die Übereinstimmung ist hinreichend gut.

8.2. SPONTANE EMISSION 283
|C 2 (t)| 2
1
0.5
0
0
0.1
˜ω
0.2
21 /ω T
Besetzungswahrscheinlichkeit des oberen Atomzustands als Funktion der Zeit
für ein Atom umgeben von einer dielektrischen Kugelschale [ε(ω) gemäß
(8.44)] mit innerem Radius R =30λ T und Dicke d = λ T [ω P /ω T =3,ω ν
=ω 21 =0.9999 ω T , Γ 0 λ T /(2c)=10 −5 , γ/ω T =10 −4 ]. Die durchgezogene Kurve
zeigt die exakte Lösung der Integralgleichung (8.22), die punktierte Kurve die
exakte Lösung der Differentialgleichung (8.57), die strich-punktierte Kurve
die Näherungslösung dieser Differentialgleichung ohne Berücksichtigung der
Frequenzverschiebung δω = −2.4 × 10 −5 ω T und die lang-gestrichelte Kurve
die Näherungslösung (8.64). Die kurz-gestrichelte Kurve zeigt das im freien
Raum beobachtete exponentielle Zerfallsgesetz.
Je schärfer die Feldresonanz, desto geringer sind die Unterschiede.
Betrachten wir abschließend den Grenzfall einer extrem breiten
Feldresonanz, d.h.
γ ν ≫ Ω ν , |δ ν |. (8.66)
Beschränken wir und wieder auf die Mitnahme der bis einschließlich in
den Kleinheitsparametern linearen Terme, erhalten wir als Lösungen
der Säkulargleichung (8.59)
λ = − γ ( ) (
ν
2 ± γν
2 − Ω2 ν δν
+ i
4γ ν 2 ∓ δ )
ν
. (8.67)
2
Wir erinnern uns an die Definition (8.58) von Ω ν und sehen, daß
Ω 2 ν
= Γ ν
4γ ν 2
(8.68)

284 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
gilt. Da γ ν ≫ Γ ν ist, setzt sich C 2 (t) offenbar aus einer schnell und
einer langsam abklingenden Komponente zusammen, so daß für Zeiten
t ≫ γν
−1
|C 2 (t)| 2 = e −Γνt = e −Γt (8.69)
gesetzt werden kann. Erwartungsgemäß entspricht dies genau dem
in Markow-Näherung gefundenen Verhalten für schwache Atom-Feld-
Kopplung.
8.3 Das Jaynes-Cummings-Modell
Wie wir im Abschnitt 8.2.2 gesehen haben, führt die (quasi-)resonante
Wechselwirkung eines angeregten 2-Niveau-Atoms mit dem elektromagnetischen
Feld im Falle der starken Atom-Feld-Kopplung für Zeiten,
die klein sind im Vergleich zur Lebensdauer der jeweiligen (effektiven)
Mode zu einem periodischen Energieaustausch zwischen Atom
und Feld. Dieses Regime kann durch das Jaynes-Cummings-Modell
beschrieben werden, ein in der Quantenoptik vielfach angewendetes
Grundmodell. Formal entspricht es dem (in der Praxis natürlich nicht
realisierbaren) Grenzfall eines idealen Resonators, d.h. eines Resonators
unendlich hoher Güte.
In diesem Fall kann die (quasi-)resonante Wechselwirkung eines 2-
Niveau-Atoms mit einer quantisierten Strahlungsfeldmode auf der Basis
des Hamilton-Operators
beschrieben werden, wobei 10
Ĥ = Ĥ0 + Ĥint (8.70)
Ĥ 0 = ω 1 Â 11 + ω 2 Â 22 + ω â † â (8.71)
der Hamilton-Operator des aus ungestörtem Atom und ungestörter
10 Die Modenfrequenz ω entspricht der Frequenz ω ν im Abschnitt 8.2.2. Ferner wollen wir verabreden,
unter den atomaren Frequenzen immer die verschobenen Frequenzen zu verstehen, so daß
wir die Tilde zu ihrer Kennzeichnung ebenfalls weglassen können. Gäbe es im Sinne des Jaynes-
Cummings-Modells tatsächlich nur eine einzige Mode, mit derdasAtomwechselwirkt,wäre die
Frage der Verschiebung gegenstandslos.

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 285
Strahlungsfeldmode bestehenden Systems ist und
Ĥ int = −λ ( â † Â 12 + Â21 â ) (8.72)
den Wechselwirkungsoperator darstellt. Der Kopplungsparameter λ ist
durch das elektrische Übergangsdipolmoment und die Modenfunktion
des elektrischen Feldes im betrachteten (idealen) Resonator bestimmt.
11 Es sei
Ĥ 0 |i, n〉 = (ω i + nω) |i, n〉 (8.73)
die Energieeigenwertgleichung des ungestörten Systems, wobei i die
zwei atomaren Zustände durchnumeriert (i =1, 2) und n die Photonenanzahl
ist. Um das Energieeigenwertproblem des wechselwirkenden
Systems zu lösen, stellen wir die Eigenzustände von Ĥ als Überlagerungen
der (quasi-)entarteten Eigenzustände von Ĥ0 dar:
|n, ±〉 = c ±
(
|1,n+1〉 + α± |2,n〉 ) (8.74)
Setzen wir in die Eigenwertgleichung
Ĥ |n, ±〉 = E n,± |n, ±〉 ≡ω n,± |n, ±〉 (8.75)
den Hamilton-Operator Ĥ, wieerdurchdieGleichungen(8.70)–(8.72)
gegeben ist, ein, so erhalten wir ein aus zwei Gleichungen bestehendes
homogenes, lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von ω n,± und
α ± .DieKoefficienten c ± ergeben sich dann aus der Normierungsbedingung
〈n, ±|n, ±〉=1. Die Rechnung liefert
ω n,± = 1 2 [ω 2 + ω 1 +(2n+1)ω ± ∆ n ] (8.76)
α ± = − 1 Ω n
[ω 21 − ω ± ∆ n ] , (8.77)
11 Beachte, daß ohne Einschränkung der Allgemeinheit λ > 0angenommenwerdenkann.

286 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
wobei die Bezeichnungen
c ± =
1
√
1+α
2
±
, (8.78)
∆ n = √ δ 2 + Ω 2 n , (8.79)
Ω n =2λ √ n +1 (8.80)
δ = ω 21 − ω (8.81)
benutzt wurden. Setzen wir die Koeffizienten aus (8.77) und (8.78)
[zusammen mit (8.79) – (8.81)] in (8.74) ein, so können wir die Energieeigenzustände
|n, ±〉 in der Form
mit
|n, +〉 =cosΘ n |1,n+1〉−sin Θ n |2,n〉, (8.82)
|n, −〉 =sinΘ n |1,n+1〉 +cosΘ n |2,n〉 (8.83)
sin Θ n =
Ω
√ n
, (8.84)
(∆n − δ) 2 + Ω 2 n
cos Θ n =
∆ n − δ
√
(∆n − δ) 2 + Ω 2 n
(8.85)
darstellen. Da die Zustände |n, ±〉 offensichtlich nur die angeregten
Eigenzustände von Ĥ umfassen, müssen sie durch den Grundzustand
|1, 0〉, dersowohlEigenzustandvonĤ0 als auch von Ĥ ist,
Ĥ|1, 0〉 = Ĥ0|1, 0〉 = ω 1 |1, 0〉, (8.86)
ergänzt werden, so daß die Vollständigkeitsrelation
|1, 0〉〈1, 0| + ∑ σ=±
lautet.
∞∑
|n, σ〉〈n, σ| = Î (8.87)
n=0

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 287
Die Zustände |n, ±〉 werden üblicherweise als Dressed(-Atom) States
bezeichnet. Speziell im Fall exakter Resonanz (δ =0) nehmen sie die
einfache Form
|n, ±〉 = 1 √
2
(|1,n+1〉∓|2,n〉) (8.88)
an, und die dazugehörigen Eigenfrequenzen ω n,± lauten
ω n,± =(ω 2 + nω) ± 1 2 Ω n. (8.89)
Die durch die (quasi-)resonante Atom-Feld-Wechselwirkung bedingte
Effekt der Niveauaufspaltungen Ω n wird als dynamischer Stark-
Effekt bezeichnet; Ω n heißt n-Photonen-Rabi-Frequenz. 12
Der Zeitentwicklungsoperator Û(t) =exp(−iĤt/) inderĤ-Darstellung
ist diagonal,
Û(t) =e −iω1t |1, 0〉〈1, 0| + ∑ ∞∑
e −iωn,σt |n, σ〉〈n, σ|. (8.90)
σ=±
Gemäß (8.82) – (8.85) drücken wir hier die Zustände |n, ±〉 durch die
ungestörten Zustände |i, n〉 aus, und erhalten [unter Berücksichtigung
von (8.76)] nach einer kurzen Rechnung Û(t) inderĤ0-Darstellung,
∞∑
Û(t) =e −iω1t |1, 0〉〈1, 0| + exp { − 1 2 i[ω 1 + ω 2 + ω(2n +1)]t }
n=0
n=0
×
{ [
cos ( 1
2 ∆ nt ) + i δ ∆ n
sin ( 1
2 ∆ nt ) ] |1,n+1〉〈1,n+1|
+
[
cos ( 1
2 ∆ nt ) − i δ ∆ n
sin ( 1
2 ∆ nt ) ] |2,n〉〈2,n|
+ i Ω n
∆ n
sin ( 1
2 ∆ nt )( |1,n+1〉〈2,n| + |2,n〉〈1,n+1| )} , (8.91)
woraus die Matrixelemente
U in,jm (t) =〈i, n| Û(t) |j, m〉 (8.92)
12 Im Falle der Wechselwirkung eines angeregten AtomsmitdemPhotonenvakuumsprichtman
auch von der Vakuum-Rabi-Aufspaltung. Die Vakuum-Rabi-Frequenz Ω 0 entspricht der in (8.58)
definierten Rabi-Frequenz Ω.

288 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
(i, j =1, 2, n,m=0, 1, 2,...), unschwer abgelesen werden können. Sind
ˆϱ(t) undˆϱ(t ′ )dieDichteoperatorenzuzweiZeitenimSchrödinger-Bild,
ˆϱ(t) =Û(t − t′ )ˆϱ(t ′ ) Û † (t − t ′ ), (8.93)
so gilt für ihre Matrixelemente in der Ĥ0-Darstellung
ϱ in,jm (t) = ∑ ∑
U in,i′ n ′(t − t′ )[U jm,j′ m ′(t − t′ )] ∗ ϱ i′ n ′ ,j ′ m ′(t′ ). (8.94)
i ′ n ′ j ′ m ′
Das Jaynes-Cummings-Modell ist in unterschiedlicher Weise verallgemeinert
worden. Nehmen wir beispielsweise an, daß der betrachtete
atomare Übergang (quasi-)resonant mit einem beliebigen k-Photonen-
Übergang wechselwirkt (k =1, 2,...), so daß der Ĥint in (8.70) durch
Ĥ (k)
int = −λ(k) ( â †k  12 + Â21 â k) (8.95)
zu ersetzen ist. Die Berechnung der Eigenzustände des k-Photonen-
Jaynes-Cummings-Hamilton-Operators Ĥ0 + Ĥ(k) int und die Berechnung
der Matrixelemente des Zeitentwicklungsoperators können in völliger
Analogie zu Obigem geschehen. In Verallgemeinerung von (8.82) und
(8.83) lauten die Dressed States nunmehr
|n, +〉 (k) = cos Θ (k)
n
|n, −〉 (k) =sinΘ (k)
n
|1,n+k〉−sin Θ(k) n |2,n〉, (8.96)
|1,n+k〉 +cosΘ (k)
n |2,n〉, (8.97)
wobei sin Θ (k)
n und cos Θ (k)
n gemäß (8.84) and (8.85) [zusammen
mit(8.79)] berechnet werden können, wenn dort die 1-Photon-Größen
δ und Ω n durch die entsprechenden k-Photonen-Größen
δ (k) = ω 21 − kω, (8.98)
Ω (k)
n
=2λ (k) √
(n + k)!
n!
(8.99)
ersetzt werden (∆ n ↦→ ∆ (k)
n ). Die Verallgemeinerung der Gleichungen
(8.90), (8.91) und (8.94) liegt dann auf der Hand.

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 289
8.3.1 Collapse und Revival
Wenden wir uns zunächst der atomaren Dynamik zu und berechnen die
reduzierte Dichtematrix 13 σ ij (t) = ∑ ϱ in,jn (t). (8.100)
n
Wir identifizieren die Zeit t ′ in (8.94) mit dem Anfangszeitpunkt und
setzen den Anfangszustand in der Form
ϱ in,jm (t ′ )=ρ nm (t ′ )σ ij (t ′ ) (8.101)
an [ˆρ - (reduzierter) Dichteoperator der Strahlungsfeldmode]. Betrachten
wir als erstes die zeitliche Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeiten.
Anwenden der Gleichungen (8.91) – (8.94) sowie (8.100) und
(8.101) liefert (t ′ =0)
wobei
σ 22 (t) =σ inc
22 (t)+σ coh
22 (t), (8.102)
σ inc
22 (t) = ∑ n
{ 2δ 2 + Ω 2 n [1 + cos(∆ nt)]
σ 22 (0) ρ nn (0)
2∆ 2 n
+ Ω2 n
[1 − cos(∆
2∆ 2 n t)] σ 11 (0) ρ n+1 n+1 (0)
n
}
(8.103)
von den anfangs angeregten Diagonaldichtematrixelementen (inkohärente
Präparation) und
{ ∑
{
σ22 coh (t) =Re i Ω n
sin(∆ n t)
∆
n n
− δ Ω }
}
n
[1 − cos(∆
∆ 2 n t)] σ 12 (0) ρ n+1 n (0) (8.104)
n
13 Da σ 22 + σ 11 =1 und σ 21 = σ12 ∗ gilt, genügt es, die Rechnungen für zwei atomare Dichtematrixelemente
durchzuführen.

290 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
von den anfangs angeregten Nichtdiagonaldichtematrixelementen (kohärente
Präparation) herrührt. Im Falle exakter Resonanz (δ =0) vereinfachen
sich die Gleichungen (8.103) und (8.104) zu
σ inc
22 (t) =1 2
∑{ [1 + cos(Ωn t)] σ 22 (0) ρ nn (0)
n
+[1− cos(Ω n t)] σ 11 (0) ρ n+1 n+1 (0) } , (8.105)
[ ∑
]
σ22 coh i sin(Ω n t) σ 12 (0) ρ n+1 n (0) .
n
(8.106)
Nehmen wir an, das Atom befinde sich anfangs im angeregten Zustand
[σ ij (0) = δ ij δ i2 ]. In diesem Fall führen die Gleichungen (8.102),
(8.105) und (8.106) auf:
[
σ 22 (t) =σ22 inc (t) = 1 2
1+ ∑ n
]
ρ nn (0) cos(Ω n t)
(8.107)
Die zeitliche Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten
Atomzustands hängt ganz wesentlich von der anfangs vorliegenden
Photonenstatistik ab. Falls die Strahlungsfeldmode anfangs in
einem k-Photonen-Fock-Zustand angeregt ist [ρ nn (0) = δ nk ], oszilliert
die Besetzungswahrscheinlichkeit einfach mit der entsprechenden Rabi-
Frequenz,
σ 22 (t) = 1 2 [1 + cos(Ω kt)] = cos 2 (Ω k t/2). (8.108)
Liegt anfangs das Photonenvakuum vor, erfolgt – in Übereinstimmung
mit (8.65) – die Oszillation mit der Vakuum-Rabi-Frequenz. Ist die
Resonatormode anfangs in einem kohärenten Zustand |α〉 angeregt, so
stellt ρ nn (0) eine Poisson-Verteilung dar [siehe (2.76)] und aus (8.107)
folgt
σ 22 (t) = 1 2
[
1+ ∑ n
〈ˆn(0)〉 n
n!
]
e −〈ˆn(0)〉 cos(Ω n t)
(8.109)
[〈ˆn(0)〉 = |α| 2 ]. Die n-Abhängigkeit der Rabi-Frequenz macht es i. allg.
unmöglich, die Summe über n in geschlossener Form auszuführen.

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 291
Zeitliche Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustands
eines 2-Niveau-Atoms, das sich zumAnfangszeitpunktindiesemZustand
befindet und resonant mit einer Resonatormode wechselwirkt, die zum
Anfangszeitpunkt in einem kohärenten Zustand |α〉 mit mittlerer Photonenanzahl
〈ˆn(0)〉 = |α| 2 =5 angeregt ist.
Die obige Abbildung zeigt ein typisches Beispiel für die zeitliche
Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Atomzustands
bei anfänglicher Präparation der Resonatormode in einem
kohärenten Zustand. Das Verhalten wird üblicherweise recht anschaulich
mit den Begriffen Collapse und Revival beschrieben Wie zu sehen
ist, ”
kollabiert“ der zunächst zu beobachtende Prozeß des oszillationsartigen
An- und Abregung des Atoms nach einer gewissen Zeit,
und es stellt sich eine Halbe-Halbe-Besetzungswahrscheinlichkeit zwischen
dem angeregte Zustand und dem Grundzustandein.DieserKollaps
ist offensichtlich ein Ergebnis destruktiver Interferenz der Rabi-
Oszillationen unterschiedlicher Frequenzen. So wie der oszillationsartige
Prozeß kollabiert, kann er zu einem späteren Zeitpunkt wiederbelebt
werden und das Ganze beginnt von neuem.
Für hinreichend große Werte der mittleren Photonenanzahl 〈ˆn(0)〉
und hinreichend schmale Photonenanzahlverteilung folgt aus (8.80)
durch Entwicklung von Ω n [an der Stelle 〈ˆn(0)〉]
Ω n ≈ 2λ √ [
〈ˆn(0)〉 1+ n −〈ˆn(0)〉 ]
. (8.110)
2〈ˆn(0)〉

292 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Unter den gemachten Annahmen wird also das Oszillationsverhalten
näherungsweise durch die effektive Rabi-Frequenz
Ω eff ≈ 2λ √ 〈ˆn(0)〉 (8.111)
bestimmt. Um das Auftreten der Revivals zu verstehen, betrachten wir
die Differenz zweier Rabi-Frequenzen (im relevanten n-Bereich). Aus
(8.110) folgt
λ
Ω n − Ω n−j ≈ j √ . (8.112)
〈ˆn(0)〉
Die relative Phase zweier benachbarter Rabi-Oszillationen zum Zeitpunkt
t + τ (k)
rev mit
τ rev (k) = 2πk √
〈ˆn(0)〉 (8.113)
λ
unterscheidet sich also gerade um 2πk von der relativen Phase zum
Zeitpunkt t, d.h.
und weiter
(Ω n − Ω n−1 ) τ (k)
rev ≈ 2πk (8.114)
(Ω n − Ω n−j ) τ (k)
rev ≈ 2πkj. (8.115)
Folglich kann davon ausgegangen werden, daß eine Überlagerung der
Rabi-Oszillationen im relevanten n-Bereich zum Zeitpunkt t + τ rev (k) ein
Interferenzbild liefert, das zumindest näherungsweise dem zum Zeitpunkt
t gleicht.
Die Revivals stellen einen reinen Quanteneffekt dar, der auftritt, solange
sich die Diskretheit der Fock-Zustände bemerkbar macht. Kann
für 〈ˆn(0)〉→∞ die Diskretheit unberücksichtigt bleiben, so daß der Abstand
zwischen benachbarten Rabi-Frequenzen effektiv verschwindet,
können gemäß (8.114) keine Revivals zu endlichen Zeiten auftreten. Um
dies explizit zu demonstrieren, ersetzen wir in (8.109) für 〈ˆn(0)〉≫1die

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 293
Poisson-Verteilung näherungsweise durch eine Gauß-Verteilung,
ρ nn (0) = 〈ˆn(0)〉n
n!
e −〈ˆn(0)〉 ≈
]
1
(n −〈ˆn(0)〉)2
√ exp
[− ,
2π〈ˆn(0)〉 2〈ˆn(0)〉
(8.116)
so daß mit der Näherung
[ √n √ ][ √n √ ]
n −〈ˆn(0)〉 = − 〈ˆn(0)〉 + 〈ˆn(0)〉
≈ 2 √ [ √n √ ]
〈ˆn(0)〉 − 〈ˆn(0)〉
sowie Ω n ≈ 2λ √ n
σ 22 (t) ≈ 1 2
{
1+
1
√
2π〈ˆn(0)〉
(8.117)
× ∑ n
[ ( √n− √ ) ] 2
exp −2 〈ˆn(0)〉 cos ( 2λ √ nt )}
≈ 1 2
{ √
〈ˆn(0)〉
1+
2π
× ∑ [
∆x exp −2〈ˆn(0)〉 ( √ x n −1) 2] (
cos 2λ √ ) }
x n 〈ˆn(0)〉 t
n
(8.118)
folgt, wobei die Bezeichnungen
x n =
n
〈ˆn(0)〉 , ∆x = x n+1 − x n = 1
〈ˆn(0)〉
(8.119)
eingeführt wurden. Gehen wir von der Summation zur Integration über
(x n → x, ∆x → dx), so erhalten wir (bei Ausdehnung des x-Integrals
nach −∞) dasasymptotischeVerhalten
σ 22 (t) ≈ 1 2
{
1+cos(Ω eff t)exp
[
−
( t
τ col
) 2
]}
(8.120)

294 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
mit der effektiven Rabi-Frequenz gemäß (8.111) und
τ col ≈
√
2
λ
(8.121)
als Kollapszeit. Wie vorausgesagt, treten keine Revivals auf.
Es sei hervorgehoben, daß sich die Quantenkorrelationen zwischen
Atom und Feld während eines Collapse-Revival-Zyklus wesentlich
ändern können. Wenn der Anfangszustand des Gesamtsystems ein reiner
Zustand |Ψ(0)〉 ist, dann bleibt das System in einem reinen Zustand
|Ψ(t)〉 = Û(t)|Ψ(0)〉. DieserkanninderForm
|Ψ(t)〉 = c (1) (t) |Ψ (1)
F (t)〉|Ψ(1) A (t)〉 + c(2) (t) |Ψ (2)
F (t)〉|Ψ(2) A
(t)〉 (8.122)
geschrieben werden, wobei die Indizierung A und F Atom- bzw. Feldzustand
bedeutet. Mittels der Darstellung (8.91) des Zeitentwicklungsoperators
können die Koeffizienten c (i) (t) (i =1, 2) unschwer berechnet
werden. Es zeigt sich, daß der Zustand |Ψ(t)〉 i. allg. nicht als (direktes)
Produkt aus einem Atomzustand und einem Feldzustand geschrieben
werden kann. Somit wird aus einem anfänglichen Produktzustand unter
dem Einfluß der Atom-Feld-Wechsewirkung ein verschränkter Zustand.
Nur wenn einer der Koeffizienten c (i) (t) verschwindet,sinddiebeiden
Untersysteme unkorreliert und jedes derbeidenUntersystemebefindet
sich in einem reinen Zustand. 14 Die Rechnungen zeigen, daß dies näherungsweise
zu den Zeiten t =(2k +1)τ rev /2(k =0, 1, 2,...)derFallist,
wobei mit wachsendem k die Näherung immer schlechter wird. Die Zeiten
entsprechen jeweils der Mitte zwischen zwei aufeinanderfolgender
Revivals, wennderZustandkollabiertist.
Um den Effekt einer kohärenten Anfangspräparation des 2-Niveau-
Atoms zu untersuchen, wollen wir annehmen, daß der Anfangszustand
14 Es sei daran erinnert, daß dies genau dann der Fall ist, wenn die Entropien der Untersysteme
verschwinden, S A = S F =0 (siehe Abschnitt 7.1).

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 295
des Atoms eine Überlagerung der beiden Zustände |1〉 und |2〉 ist, 15
σ 22 (0) = sin 2 χ, σ 11 (0) = cos 2 χ,
σ 12 (0) = 1 2 e−iϕ sin(2χ), σ 21 (0) = σ ∗ 12 (0). (8.123)
Ferner wollen wir wieder annehmen, daß sich das Feld anfangs in einem
kohärenten Zustand |α〉 befindet und folglich
√
ρ nm (0) = αn (α ∗ ) m 〈ˆn(0)〉
n+m
√ e −|α|2 = √ e i(n−m)ϕ α
e −〈ˆn(0)〉 (8.124)
n! m! n! m!
gilt (α = |α|e iϕ α ).
Am deutlichsten lassen sich die Kohärenzeffekte für χ = π/4 demonstrieren,
da in diesem Fall (bei Gleichbesetzung des Grundzustands
und des angeregten Zustands) |σ 12 (0)| maximal wird. Die Gleichungen
(8.102), (8.105) und (8.106) führen dann zusammen mit den Anfangsbedingen
(8.123) and (8.124) auf
σ 22 (t) =σ22 inc (t)+σcoh 22 (t), (8.125)
{
σ22 inc (t) =1 4
2−e −〈ˆn(0)〉 + ∑ 〈ˆn(0)〉 n }
[n+1−〈ˆn(0)〉]
e −〈ˆn(0)〉 cos(Ω n t) ,
(n +1)!
n
(8.126)
σ coh
22 (t) =1 2 sin (ϕ − ϕ α) ∑ n
〈ˆn(0)〉 n
n!
e −〈ˆn(0)〉 √
〈ˆn(0)〉
n +1 sin(Ω nt) . (8.127)
Die Gleichung (8.127) und insbesondere auch die folgende Abbildung
zeigen, daß der Beitrag von σ22 coh(t)
zuσ 22(t) empfindlichvonderPhasendifferenz
ϕ − ϕ α abhängt. Der Beitrag ist maximal für Phasenwinkel
ϕ − ϕ α =(k +1/2)π (k =0, 1, 2,...)underverschwindetfür Phasenwinkel
ϕ − ϕ α = kπ. Dasheißt,kohärent präparierte Atome unterscheiden“
empfindlich zwischen einem anfänglich (teilweise) kohärenten ”
Resonatorfeld [ρ nm (0)≠0 for n≠m] und einem anfänglich inkohärenten
Resonatorfeld [ρ nm (0) = 0 for n ≠ m], die die gleiche Photonenanzahlverteilung
ρ nn (0) besitzen.
15 Ein solcher Zustand kann durch Pumpen mit einem klassischen Feld angeregt werden. Der Parameter
χ kann dabei durch den Betrag der komplexen Feldamplitude und die Wechselwirkungszeit
kontrolliert werden und der Parameter ϕ durch die Phase der Feldamplitude.

296 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Zeitliche Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustands
eines 2-Niveau-Atoms, das sich zum Anfangszeitpunkt in einem Überlagerungszustand
aus Grundzustand und angeregtem Zustand befindet (χ =
π/4) und resonant mit einer Resonatormode wechselwirkt, die zum Anfangszeitpunkt
in einem kohärenten Zustand |α〉 mit mittlerer Photonenanzahl
〈ˆn(0)〉 = |α| 2 =5 angeregt ist.
8.3.2 Photonenstatistik
Wie die reduzierte Dichtematrix des Atomskannauchdiereduzierte
Dichtematrix der Resonatormode,
ρ nm (t) =
2∑
ϱ in,im (t), (8.128)
i=1
mit Hilfe der Formeln (8.91), (8.92) und (8.94) unschwer berechnet
werden. Wir geben sie hier für den Fall eines anfänglich angeregten
Atoms an [σ ij (0) = δ i2 δ j2 ]:
{[
ρ nm (t) =exp[−iω(n − m)t] cos ( 1
2 ∆ nt ) −i δ sin ( 1
∆
2 ∆ nt )]
n
×
[
cos ( 1
2 ∆ mt ) +i δ
∆ m
sin ( 1
2 ∆ mt )] ρ nm (0)
+ Ω n−1
∆ n−1
sin ( 1
2 ∆ n−1t ) Ω m−1
∆ m−1
sin ( 1
2 ∆ m−1t ) ρ n−1 m−1 (0)
}
. (8.129)

8.3. DAS JAYNES-CUMMINGS-MODELL 297
Zeitliche Entwicklung der Photonenanzahlverteilung während des (ersten)
Kollapses der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Atomzustands.
Das Atom ist anfangs im angeregten ZustandunddieResonatormodein
einem kohärenten Zustand |α〉 mit mittlerer Photonenanzahl 〈ˆn(0)〉 = |α| 2 =
5. Die Werte von 〈[∆ˆn(t)] 2 〉/〈ˆn(t)〉 sind 1 (λt =0), 0.717 (1), 0.887 (2) und
0.9715 (3).
Somit lautet die Photonenanzahlverteilung im Falle exakter Resonanz
(δ =0)
ρ nn (t) =cos 2( 1
2 Ω nt ) ρ nn (0) + sin 2( 1
2 Ω n−1t ) ρ n−1 n−1 (0). (8.130)
Die Beispiele in den Abbildungen auf den Seiten 297 und 298 illustrieren
diesen Fall. Wir sehen, daß mit Beginn des (ersten) Kollapses
die anfangs vorliegende Poisson-Verteilung der Photonenanzahl in eine
sub-Poisson-Verteilung übergeht. Mit wachsender Zeit und insbesondere
gegen Ende des Kollapses nimmt dieStrukturierungderVerteilung
zu, wobei der sub-Poisson-Effekt insgesamt jedoch geringer wird.
Obwohl nach dem Kollaps bis zurerstenWiederkehrσ 22 (t) nahezu
konstant 1 2
ist, kann sich ρ nn(t) während dieses Zeitraums beträchtlich
ändern. Dabei handelt es sich im wesentlichen um Umverteilun-

298 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Zeitliche Entwicklung der Photonenanzahlverteilung nach dem (ersten) Kollaps
und vor der ersten Wiederkehr der Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten
Atomzustands. Das Atom ist anfangs im angeregten Zustand und
die Resonatormode in einem kohärenten Zustand |α〉 mit mittlerer Photonenanzahl
〈ˆn(0)〉 = |α| 2 = 5. Die Werte von 〈[∆ˆn(t)] 2 〉/〈ˆn(t)〉 sind 0.959 (λt =4),
0.953 (5), 0.949 (6) und 0.975 (7).
gen, die nicht nur (wie zu erwarten) die mittlere Anzahl der Photonen
konstant lassen, sondern auch näherungsweise die Varianz. Der
sub-Poisson-Charakter der Verteilung bleibt erhalten, jedoch in abgeschwächter
Form.
8.4 Der Mikromaser
Das Jaynes-Cummings-Modell bildet die Grundlage für eine Vielzahl
von quantenoptischen Untersuchungen. Besonderer Bedeutung kommt
in diesem Zusammenhang dem Mikromaser 16 bzw. -laser zu. Bei dem
Mikromaser wird ein Strahl von Atomen in lang lebenden Rydberg-
16 D. Meschede, H. Walther, G. Müller, Phys. Rev. Lett. 54, 551(1985).

8.4. DER MIKROMASER 299
Zuständen durch einen Resonator geschickt, wo sie mit einer Resonatormode
extrem hoher Güte (quasi-)resonant wechselwirken. Dabei
müssen zwei wichtige Bedingungen erfüllt sein. Die Atomdichte in dem
Strahl muß so gering sein, daß praktisch immer nur ein Atom mit
der Resonatormode wechselwirkt, und der Resonator muß hinreichend
gekühlt sein, damit thermische Photonen praktisch keine Rolle spielen.
Bevor ein Atom in den Resonator gelangt, wird es in einen hochangeregten
Rydberg-Zustand gepumpt. Der Übergang in den darunter
liegenden Zustand erfolgt mit einer Frequenz, auf die der Resonator
abgestimmt ist. Da die Lebensdauer der Rydberg-Zustände lang ist im
Vergleich mit der Flugzeit des Atoms durch den Resonantor, hat man
es effektiv mit einem 2-Niveau-Atom im Sinne des Jaynes-Cummings-
Modells zu tun. Die Wechselwirkungszeit wird durch Geschwindigkeitsselektion
kontrolliert. Nach Verlassen des Resonators kann der Atomzustand
mittels Ionisation gemessen und es können Rückschlüsse auf
den Feldzustand gezogen werden.
Schema eines Mikromasers. 17
Bei der theoretischen Behandlung 18 ist zwischen drei Zeitbereichen
zu unterscheiden. Der erste ist durch die Wechselwirkungszeit τ int ,d.h.,
die Flugzeit des jeweils betrachteten Atoms durch den Resonator, bestimmt.
Sobald das Atom den Resonator verläßt bis zu dem Zeitpunkt
17 C. Wagner, R.J. Brecha, A. Schenzle, H. Walther, Phys. Rev. A 46, R5350(1992).
18 P. Filipowicz, J. Javanainnen, P. Meystre, Phys. Rev. A 34, 3077(1986).

300 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
wenn das nächste Atom in den Resonator eintritt, entwickelt sich das
Resonatorfeld frei (Zeitintervall τ free ). Damit (in der überwiegenden
Anzahl der Fälle) nur ein Atom mit dem Resonatorfeld wechselwirkt,
muß offensichtlich τ int ≪ τ free gelten. Der dritte Zeitbereich ist die Lebensdauer
τ cav der Resonatormode. Die Wechselwirkung eines Atoms
mit der (ungedämpften) Resonatormode setzt demnach auch τ int ≪τ cav
voraus. Damit mehrere Atome hintereinander in den Zyklus einbezogen
werden können, (d.h. der Feldzustand, den ein Atom hinterläß, für das
nachfolgende nutzbar ist) muß natürlich auch τ free hinreichend klein im
Vergleich zu τ cav sein.
Wir wollen annehmen, daß zum Zeitpunkt t k das k-te Atom im angeregten
Zustand [σ ij (t k )=δ ij δ i2 ]indenResonatoreintritt.Diezeitliche
Entwicklung der Dichtematrix ρ nm (t) derResonatormodewährend des
Zeitintervalls t k , t k + τ int ist gemäß Eq. (8.129) (δ =0) gegeben:
ρ nm (t k +τ int ) = exp[−iω(n − m)τ int ] [ cos ( 1
2 Ω nτ int
)
cos
( 1
2 Ω mτ int
)
ρnm (t k )
+sin ( 1
2 Ω n−1τ int
)
sin
( 1
2 Ω m−1τ int
)
ρn−1 m−1 (t k ) ] . (8.131)
Ist die photonische Dichtematrix zum Zeitpunkt t k diagonal, so ist zum
t k + τ int ebenfalls diagonal,
ρ nn (t k +τ int )=cos 2( 1
2 Ω nτ int
)
ρnn (t k )+sin 2( 1
2 Ω n−1τ int
)
ρn−1 n−1 (t k ).
(8.132)
Ist also die photonische Dichtematrix zum Anfangszeitpunkt t 1 diagonal,
ρ nm (t 1 )=ρ nn (t 1 ) δ nm , (8.133)
ist die Betrachtung der Diagonalelemente ausreichend. Dies ist aber gerade
der Fall, wenn das Feld anfangs im Vakuumzustand (bzw. thermischen
Zustand) vorliegt. Ist ferner τ free ≪τ cav ,dannkannρ nn (t)während
des Zeitintervalls t k +τ int , t k +τ int +τ free als konstant angesehen werden.
Das heißt, das (k+1)-te Atom findet beim Eintritt in den Resonator das
Feld in dem Zustand mit den Dichtematrixelementen ρ nn (t k+1 )=ρ nn (t k
+τ int )vor.IndiesemFallstelltdieGleichung(8.132)eineRekurrenzbeziehung
für die Bestimmung der Dichtematrixelemente in Abhängigkeit
der Anzahl der Atome dar, die den Resonator durchlaufen haben.
Nehmen wir an, daß für eine gegebene Photonenanzahl n = p die

8.4. DER MIKROMASER 301
Quantenzustand der Resonatormode eines idealen Mikromasers für
Ω 15 τ int =2π und unterschiedliche Anzahl von Atomen, die den Resonator
durchlaufen haben. Es ist angenommen,daßdieResonatormodeanfangsim
Vakuumzustand ist.
Wechselwirkungszeit der Bedingung
τ int = m 2π
Ω p
(8.134)
(m>0, ganz) genügt. Wenn das Resonatorfeld anfangs in einem thermischen
Zustand hinreichend niedriger Temperatur ist, so daß für n>p
ρ nn (t 1 ) ≈ 0gilt,sogiltdiesauchfür spätere Zeiten. Für n =p+1 liefert
nämlich (8.132)
ρ p+1 p+1 (t k + τ int )=cos 2( 1
2 Ω p+1τ int
)
ρp+1 p+1 (t k ), (8.135)
woraus unter der Anfangsbedingung ρ p+1 p+1 (t 1 )=0
ρ p+1 p+1 (t) =0 (8.136)
und somit gemäß (8.132) für n = p + l, l =1, 2, 3,...
ρ p+lp+l (t) =0 (8.137)

302 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
folgt. Für n = p lautet die Gleichung (8.132)
ρ pp (t k + τ int )=ρ pp (t k )+sin 2( 1
2 Ω p−1τ int
)
ρp−1 p−1 (t k ). (8.138)
Die Gleichung (8.138) sowie die Gleichung (8.132) für n

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 303
in diesem Fall auf
˙Â 22 = i Â21d 21 · Ê(+) (r A ) − i Ê(−) (r A ) · d 12 Â 12 , (8.140)
˙Â 11 = − ˙Â 22 , (8.141)
˙Â 21 = iω 21 Â 21 − i )
Ê(−) (r A ) · d 12
(Â11 − Â22 , (8.142)
˙Â 12 = ˙Â † 21 , (8.143)
wobei Ê(+) (r A )undÊ(−) (r A )=[Ê(+) (r A )] † wieder gemäß (8.10) zusammen
mit (1.195) definiert sind. Wir wollen im weiteren das gekoppelte
Gleichungssystem in Markow-Näherung auswerten. Dazu ist es
zweckmäßig, von der quellenmäßigen Darstellung von Ê(r A)auszugehen.
8.5.1 Quellenmäßige Darstellung von Ê(r)
Um die quellenmäßige Darstellung der elektrischen Feldstärke zu erhalten,
beginnen wir mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für
ˆf(r, ω). Der größeren Allgemeinheit wegen wollen wir die Wechselwirkung
eines atomaren Vielniveausystems mit dem elektromagnetischen
Feld (in elektrischer Dipolnäherung) betrachten und dementsprechend
nicht von dem sehr speziellen Hamilton-Operator (8.12) ausgehen, sondern
von dem bei multipolarer Kopplung (in elekrischer Dipolnäherung)
exakten Hamilton-Operator 19
∫
Ĥ =
d 3 r
∫ ∞
0
dω ω ˆf † (r, ω) · ˆf(r, ω)+ ∑ l
ω l  ll − ˆd · Ê(r A)(8.144)
mit
 lk d lk (8.145)
ˆd = ∑ lk
19 Beachte, daß hier Ê(r) (inderimAbschnitt1.4verwendetenSchreibweise)dastransformierte
Feld Ê′ (r) bedeutet,dasnichtnotwendigerweisedieBedeutungdeselektrischenFeldesbesitzenmuß
[siehe (1.262) und (1.263)].

304 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
als dem elektrischen Dipoloperator und Ê(r A)gemäß (1.193) zusammen
mit (1.195). Die Felder ˆf(r, ω) genügen der Bewegungsgleichung
˙ˆf(r, ω) = 1 [ˆf(r, ω), Ĥ ] = −iωˆf(r, ω)
i
+ µ 0
√
ε0
π ω2√ Im ε(r, ω) ˆd · G ∗ (r A , r, ω), (8.146)
deren formale Lösung in der folgenden Form angegeben werden kann:
ˆf(r, ω,t)=ˆffree (r, ω,t)+ˆf s (r, ω,t), (8.147)
ˆffree (r, ω,t)=e −iωtˆffree (r, ω), (8.148)
√
ε0
ˆfs (r, ω,t)=µ 0
π ω2√ Im ε(r, ω) dt ′ e
)ˆd(t −iω(t−t′ ′ ) · G ∗ (r A , r, ω).
0
(8.149)
Wir setzen (8.147) zusammen mit (8.148) und (8.149) in (1.195) ein
und schreiben
∫ t
Ê(r, ω,t)=Êfree(r, ω,t)+Ês(r, ω,t). (8.150)
Der Freifeldanteil Êfree(r, ω,t)istdabeieinfachdurch
mit
Ê free (r, ω,t)=Êfree(r, ω, 0)e −iωt (8.151)
√ ∫ ε0
Ê free (r, ω, 0) = iµ 0
π ω2 d 3 r √ ′ Im ε(r ′ , ω) G(r, r ′ , ω) · ˆf(r ′ , ω, 0)
(8.152)
gegeben. Integration über ω liefert dann den kompletten Freifeldanteil:
Ê (+)
free (r,t)= ∫ ∞
0
Ê free (r,t)=Ê(+) (r,t)+h.c., (8.153)
dω Êfree(r, ω,t)=
free
∫ ∞
0
dω e −iωt Ê free (r, ω, 0). (8.154)
Unter Verwendung der Relation (1.189) läßt sich der Quellfeldanteil
Ê s (r, ω,t)als
Ê s (r, ω,t)=
i ∫ t
πε 0 c 2 ω2 dt ′ e −iω(t−t′) Im G(r, r A , ω) · ˆd(t ′ ) (8.155)
0

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 305
schreiben, und somit lautet der komplette Quellfeldanteil
Ê s (r,t)=
∫ ∞
0
dω Ês(r, ω,t)+H.c.
= i ∫ ∞ ∫ t
dωω 2 dt ′ e −iω(t−t′) Im G(r, r
πε 0 c 2 A , ω) · ˆd(t ′ )+h.c.. (8.156)
0
Speziell für ein 2-Niveau-System,
und Resonanznäherung geht (8.156) in
mit
0
ˆd = Â21d 21 +h.c., (8.157)
Ê s (r,t)=Ê(+) s (r,t)+h.c. (8.158)
Ê (+)
s (r,t)= i ∫ ∞ ∫ t
dωω 2 dt ′ e −iω(t−t′) Im G(r, r
πε 0 c 2 A , ω)·d 12 Â 12 (t ′ )
0
0
(8.159)
über. Die gemäß (8.25) definierte Intensität der spontan emittierten
Strahlung eines 2-Niveau-Systems resultiert offensichtlich aus dem
Quellfeldanteil (8.159).
Lichtstreuung setzt üblicherweise schwache Atom-Feld-Kopplung
bezüglich des Streulichts voraus. In (8.159) können wir deshalb
 12 (t ′ )e i˜ω 21t ′ als langsam veränderliche Größe auffassen und sie im Sinne
der Markow-Näherung und bei Vernachlässigung von Laufzeiteffekten
an der Stelle t ′ =t vor das Zeitintegral ziehen. Dehnen wir dieses wieder
ins Unendliche aus, gelangen wir unter Berücksichtigung von (8.28) zu
∫ ∞
Ê (+)
s (r,t)= i
πε 0 c Â12(t) dωω 2 Im G(r, r 2
A , ω) · d 12 ζ(˜ω 21 − ω).
0
(8.160)
Analog zu dem Übergang von der Gleichung (8.48) zu der Gleichung
(8.50) erhalten wir schließlich:
Ê (+)
s (r,t)= ˜ω2 21
ε 0 c 2 G(r, r A, ˜ω 21 ) · d 12 Â 12 (t) (8.161)

306 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Es ist unschwer zu sehen, daß Einsetzen der Gleichung (8.150) zusammen
mit (8.154) und (8.161) in die Gleichung (8.24) für die Intensität
der spontan emittierten Strahlung erwartungsgemäß die Gleichung
(8.46) liefert. Das tatsächlich abgestrahlte Feld ist bekanntlich
das Fernfeld, so daß für seine Untersuchung nur der für r →∞wie r −1
verschwindende Anteil des Green-Tensor von Bedeutung ist.
Wie bereits gesagt, sind in (8.161) Laufzeiteffekte weggelassen. Ihre
Berücksichtigung erfordert die Kenntnis der explizten Form des jeweiligen
Green-Tensors. Speziell für den freien Raum führt die Auswertung
der Gleichung (8.159) zusammen mit dem Vakuum-Green-Tensor (8.34)
in Fernfeldnäherung auf das bekannte Ergebnis
[
Ê (+)
s (r,t)= ω4 21 d12
4πε 0 c |r−r A | − (r−r ] (
A)(r−r A ) · d 12
Â
|r−r A | 3 12 t − |r−r )
A|
.
c
(8.162)
8.5.2 Bloch-Gleichungen
Machen wir von der quellenmäßigen Darstellung des elektrischen Felds
Gebrauch, behandeln den Quellfeldanteil in Markov-Näherung und erinnern
uns an die Definitionen (8.31) und (8.16) zusammen mit (8.41),
so wird aus den Gleichungen (8.140) – (8.143)
˙Â 22 = −γ 1 Â 22 + i
Â21d 21·Ê(+)
free (r A,t) − i Ê(−) free (r A,t)·d 12 Â 12 , (8.163)
˙Â 11 = − ˙Â 22 , (8.164)
˙Â 21 =(i˜ω 21 − γ 2 )Â21 − i Ê(−) free (r A,t) · d 12
(Â11 − Â22)
, (8.165)
˙Â 12 = ˙Â † 21 , (8.166)
wobei die Bezeichungen
und
γ 1 =2Γ (8.167)
γ 2 = Γ (8.168)

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 307
verwendet wurden 20 und Γ gemäß (8.31) definiert ist.
Gehen wir in (8.163) – (8.166) zu den Erwartungswerten über, so
erhalten wir gemäß der Regel
〈Âmn(t)〉 = σ nm (t) (8.169)
die Bewegungsgleichungen (im Schrödinger-Bild) für die atomaren
Dichtematrixelemente, im vorliegendenFalleines2-Niveau-Atomsauch
als (optische) Bloch-Gleichungen bezeichnet. Wir betrachten den
Fall, daß das Atom mit einem (quasi-)monochromatischen Laser der
Frequenz ω L (ω L ≈ ω 21 )gepumptwird,wobeiwirannehmenwollen,
daß das Laserlicht klassisch beschrieben werden kann, so daß (in dieser
halbklassischen Beschreibungsweise) die Ersetzung
d 21 · Ê(+) free (r A,t) ↦→ |d 21·E L | e −i(ω Lt+ϕ L )
(8.170)
gemacht werden kann. Führen wir desweiteren die langsam veränderlichen
Nichtdiagonaldichtematrixelemente
˜σ 12 (t) =σ 12 (t)e −i(ω Lt+ϕ L )
(8.171)
ein, so lauten die Bloch-Gleichungen wie folgt:
˙σ 22 = −γ 1 σ 22 − 1 2 iΩ L ˜σ 21 + 1 2 iΩ L ˜σ 12
˙σ 11 = γ 1 σ 22 + 1 2 i Ω L ˜σ 21 − 1 2 iΩ L ˜σ 12
˙˜σ 21 =(−iδ − γ 2 )˜σ 21 + 1 2 iΩ L (σ 11 − σ 22 )
˙˜σ 12 =(iδ − γ 2 )˜σ 12 − 1 2 iΩ L (σ 11 − σ 22 )
(8.172)
(8.173)
(8.174)
(8.175)
Hier bedeuten Ω L und δ die Rabi-Frequenz und die Verstimmung,
Ω L =2 −1 |d 21·E L | , (8.176)
δ =˜ω 21 − ω L . (8.177)
20 γ 1 und γ 2 werden auch als transversale und longitudinale Zerfallsrate bezeichnet. Nur im Fall
der Strahlungsdämpfung gilt γ 1 =2γ 2 .

308 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
Die Bloch-Gleichungen in der Form von (8.172) – (8.175) können
auch verwendet werden, um Korrelationsfunktionen 〈Âmn(t)Âm ′ n ′(t′ )〉
zu berechnen. So genügen die 〈Âmn(t)Âm ′ n ′(t′ )〉 für t>t ′ den Bloch-
Gleichungen für die σ nm (t) mitdenAnfangsbedingungen
σ nm (t)| t=t
′ = δ nm ′σ n′ m(t ′ ), (8.178)
wobei die σ n′ m(t ′ ) wieder übliche Dichtematrixelemente sind, 21 nämlich
Lösungen der Bloch-Gleichungen mit den für eigentliche Dichtemtrixelemente
erlaubten (physikalischen) Anfangsbedingungen.Esistklar,
daß nur für die eigentlichen Dichtematrixelemente σ nm = σmn ∗ gilt und
nur für diese aus
d
dt (σ 11 + σ 22 )=0 (8.179)
auf σ 11 + σ 22 =1 geschlossen werden darf.
8.5.3 Intensität
Die mit einem (punktförmigen Breitband-)Photodetektor meßbare Intensität
der Streustrahlung in Raumbereichen außerhalb der Pumpstrahlung
kann bekanntlich gemäß
I(t) ≡ G (1,1)
kk
(r,t,r,t)=〈 Ê (−)
k
(r,t)Ê(+) k
(r,t) 〉 = 〈 Ê (−)
k s (r,t)Ê(+) k s (r,t)〉 .
(8.180)
berechnet werden, so daß (bei Vernachlässigung von Laufzeiteffekten)
mit Hilfe von (8.161) 22
I(t) =|F| 2〈 Â 22 (t) 〉 = |F| 2 σ 22 (t) (8.181)
mit F aus (8.50) folgt. Die Intensität der Streustrahlung ist also proportional
zur Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Atomzustands.
Wie wir bereits wissen, ist obige Gleichung auch auf die spontane Emission
(im Falle schwacher Atom-Feld-Kopplung) anwendbar, d.h., wenn
21 Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des Quantenregressionstheorems.
22 Unter Verwendung der quellenmäßigen Darstellung ist sofort zu sehen, daß der Freifeldanteil in
Bereichen außerhalb des Pumpfeldes keinen Beitrag liefert.

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 309
das Atom nicht gepumpt wird und somit nur mit dem Photonenvakuum
wechselwirkt. In diesem Fall beschreibt sie einfach die Intensität
der spontan emittierten Strahlung.
Die weitere Auswertung der Gleichung (8.181) erfordert (neben der
Berechnung der Green-Funktion) die Lösung der Bloch-Gleichungen
(8.172) – (8.175). Unter stationären Bedingungen [ ˙σ 22 =˙σ 11 = ˙˜σ 21 = ˙˜σ 12
=0] folgt aus (8.174) und (8.175) zunächst
˜σ 21 (∞) =
Ω L
2(δ − iγ 2 ) [σ 11(∞) − σ 22 (∞)] , (8.182)
˜σ 12 (∞)=˜σ 21 ∗ (∞). Einsetzen in (8.172) liefert dann
σ 22 (∞) = 1 Ω 2 L γ 2
2 Ω 2 L γ 2 + γ 1 (δ 2 + γ2 2) (8.183)
[σ 11 (∞)=1−σ 22 (∞)]. Die stationäre Besetzungswahrscheinlichkeit des
oberen Atomzustands und damit die stationäre Streuintensität hängen
also i. allg. in nichtlinearer Weise von der Intensität des Pumpfeldes
ab. Nur im Falle eines hinreichend schwachen Pumpfeldes ergibt sich
ein linearer Zusammenhang,
σ 22 (∞) = 1 Ω 2 L γ ( )
2
2 γ 1 (δ 2 + γ2 2) , Ω2 L ≪ γ 1 γ 2 1+ δ2
, (8.184)
während für hinreichend starkes Pumpen Sättigung eintritt,
( )
σ 22 (∞) = 1 2 , Ω2 L ≫ γ 1 γ 2 1+ δ2
γ2
2 . (8.185)
Mit σ 22 (∞) undσ 11 (∞) folgtdanngemäß (8.182)
˜σ 21 (∞) = 1 Ω L γ 1 (δ + iγ 2 )
2 Ω 2 L γ 2 + γ 1 (δ 2 + γ2 2) . (8.186)
Im Grenzfall schwachen Pumpens gilt unter Berücksichtigung von
(8.167) und (8.168) |˜σ 21 | 2 = σ 22 ,d.h.kohärente Streuung. Im Grenzfall
starken Pumpens verschwindet ˜σ 21 ,unddieStreuungistinkohärent.
Die zeitliche Entwicklung der σ nm kann über den Standardansatz
σ nn (t) ∼ e λt , ˜σ nm (t) ∼ e λt (8.187)
γ 2 2

310 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
(n ≠ m) gefundenwerden,deraufeinecharakteristischeGleichung4.
Grades zur Bestimmung von λ führt. Die Wurzeln λ i (i=1, 2, 3, 4) dieser
Gleichung implizieren die folgende Struktur der allgemeinen Lösung
σ nn (t) =
4∑
i=1
c (i)
nne λ it , ˜σ nm (t) =
4∑
i=1
c (i)
nme λ it
(8.188)
(n ≠ m). Wegen (8.179) ist klar, daß wir λ 4 =0 setzen können und sich
die charakteristische Gleichung somit auf eine kubische Gleichung reduziert.
Schließlich sind die Konstanten c nm (i) aus den Anfangsbedingungen
zu bestimmen.
σ 22
(3)
(2)
(1)
Γt
Zeitliche Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeit des oberen Zustands
eines (sich anfangs im unteren Zustand befindlichen) 2-Niveau-Atoms, das
mit einem (quasi-)monochromatischen Laser resonant gepumpt wird [(1)
Ω L /Γ =0.6, (2) Ω L /Γ =2, (3) Ω L /Γ=5 (Γ = γ 2 = γ 1 /2)].
Wir wollen der Einfachheit halber exakte Resonanz mit dem Pumpfeld
voraussetzen, d.h. δ =0, und annehmen, daß sich das Atom im
Grundzustand befindet, wenn die Wechselwirkung mit dem Pumpfeld
beginnt, d.h. σ nm (0) = δ n1 δ m1 .IndiesemFallführt die Rechnung auf
σ 22 (t) =
Ω 2 L
2(Ω 2 L + γ 1γ 2 )
(
1+ λ 2
λ 1 − λ 2
e λ 1t + λ 1
λ 2 − λ 1
e λ 2t
)
, (8.189)

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 311
wobei
λ 1,2 = − 1 2 (γ 1 + γ 2 ) ±
√
1
4 (γ 1 − γ 2 ) 2 − Ω 2 L
(8.190)
gilt. Typische Beispiele sind in obiger Abbildung darsgestellt. Während
im Grenzfall schwachen Pumpens,
λ 1,2 = −γ 2,1 , (8.191)
(
σ 22 (t) = Ω2 L
1 − γ 1
e −γ2t + γ )
2
e −γ 1t
, (8.192)
γ 1 γ 2 γ 1 − γ 2 γ 1 − γ 2
die Intensität der Streustrahlung monoton den stationären Wert erreicht
(Zeitskala Γ −1 ), treten im Grenzfall starken Pumpens,
λ 1,2 = − 1 2 (γ 1 + γ 2 ) ± iΩ L , (8.193)
σ 22 (t) = 1 2
{
1 − exp
[
−
1
2 (γ 1+γ 2 ) t ] cos(Ω L t) } , (8.194)
vor Erreichen des stationären Wertes Rabi-Oszillationen (Zeitskala
Ω −1
L )auf.
8.5.4 Intensitätskorrelation
Untersuchen wir als nächstes die normal- und zeitgeordnete Intensitätskorrelationsfunktion
G (2,2) (t+τ,t)= 〈 Ê (−)
k 1
(r,t)Ê(−)(r,t+τ)Ê(+)(r,t+τ)Ê(+)
k 1
(r,t) 〉 . (8.195)
k 2
Wir verwenden wieder die quellenmäßige Darstellung des elektrischen
Feldes, machen von den • • • • Ordnungsregeln (Seite 135) Gebrauch und
sehen, daß
k 2
G (2,2) (t + τ,t)=|F| 4 G (II)
22 (t + τ,t) (8.196)
gilt, wobei G (II)
lk
(t + τ,t) die atomare Korrelationsfunktion
G (II)
lk (t + τ,t)=〈 Â 21 (t)Âkl(t + τ)Â12(t) 〉 (8.197)

312 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
bedeutet. 23 Somit gilt insbesondere für gleiche Zeiten
G (2,2) (t, t) =|F| 4〈 Â 21 (t)Â22(t)Â12(t) 〉 =0, (8.198)
d.h. perfektes Photon Antibunching, denn
G (2) (τ) ≡ lim
t→∞
G (2,2) (t + τ,t) >G (2) (0) = 0 (8.199)
[siehe (4.52)].
Die Emission eines Photons ist mit einem Quantensprung des Atoms
aus dem oberen Zustand in den unteren Zustand verbunden. Da es sich
nunmehr im unteren Zustand befindet, kann es kein zweites Photon
emittieren. Ein zweites Photon kann es erst dann emittieren, wenn es
unter dem Einfluß des Pumplasers wieder einen induzierten Übergang
in den oberen Zustand vollzogen hat. Die Wahrscheinlichkeit, daß das
Atom zum Zeitpunkt t ein Photon emittiert, ist proportional zu σ 22 (t).
Hat das Atom zum Zeitpunkt t ein Photon emittiert, ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit, daß es zum Zeitpunkt t + τ ein zweites Photon
emittiert, proportional zu σ 22 (t + τ)| σnm (t)=δ n1 δ m1
.FolglichistdieVerbundwahrscheinlichkeit,
daß das Atom zum Zeitpunkt t und zum Zeitpunkt
t + τ ein Photon emittiert
G (II)
22 (t + τ,t)=σ 22(t) σ 22 (t + τ)| σlk (t)=δ l1 δ k1
. (8.200)
Somit muß G (II)
22 (t + τ,t) als Funktion von τ (τ ≥ 0+ ) den Bloch-
Gleichungen
d
dτ G(II)
d
dτ G(II)
d
dτ
d
dτ
22 = −γ 1G (II)
22 − 1 2 iΩ L
11 = γ 1G (II)
22 + 1 2 iΩ L
˜G
(II)
21 =(−iδω − γ 2)
˜G
(II)
12 =(iδω − γ 2)
˜G
(II)
21 + 1 2 iΩ L
˜G
(II)
21 − 1 2 iΩ L
˜G
(II)
21 + 1 2 iΩ L
˜G
(II)
12 , (8.201)
˜G
(II)
12 , (8.202)
(
(II) G
)
, (8.203)
11 − G(II) 22
(II) ˜G 21 − 1 2 iΩ (
(II)
L G 11 − )
G(II) 22
(8.204)
23 Die Gültigkeit der Gleichung (8.196) zusammen mit (8.197) setzt natürlich voraus, daß für das
Korrelationsverhalten Laufzeiteffekte (zumindest auf der betrachteten Zeitskala) keine Rolle spielen.

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 313
mit
˜G (II)
12 (t + τ,t)=G(II) 12 (t + τ,t)exp{−i [ω L(t + τ)+ϕ L ]} (8.205)
genügen, wobei die Anfangsbedingung
G (II)
nm(t + τ,t) ∣ ∣
τ=0
= 〈 Â 21 (t)Âmn(t)Â12(t) 〉 = δ n1 δ m1 σ 22 (t) (8.206)
lautet. Damit gilt aber auch ganz allgemein: 24
G (II)
nm (t + τ,t)=σ 22(t) σ nm (t + τ)| σn ′ m ′(t)=δ n ′ 1 δ m ′ 1
(8.207)
Machen wir von (8.181) und (8.200) Gebrauch, so sehen wir, daß
die Intensitätskorrelationsfunktion (8.196) wie folgt faktorisiert:
G (2,2) (t + τ,t)=I(t + τ)| σnm (t)=δ n1 δ m1
I(t) (8.208)
Hier ist I(t + τ)| σnm (t)=δ n1 δ m1
die am Ort r zum Zeitpunkt t + τ beobachtete
Intensität der Streustrahlung unter der Bedingung, daß zum
Zeitpunkt t das Atom im unteren Zustand war. Wenn das Atom zu Beginn
der Wechselwirkung mit dem Laserfeld im unteren Zustand war
(und sich die Rabi-Frequenz nicht ändert), dann lautet die Gleichung
(8.200) einfach
G (II)
22 (t + τ,t)=σ 22(τ) σ 22 (t) (8.209)
und entsprechend lautet die Gleichung (8.208)
G (2,2) (t + τ,t)=I(τ) I(t) =|F| 4 σ 22 (τ) σ 22 (t). (8.210)
Als normierte Intensitätskorrelationsfunktion wird das Verhältnis
γ (22) (t + τ,t)= G(2,2) (t + τ,t)
I(t + τ) I(t)
(8.211)
24 Die exakte Begründung kann mit Hilfe des Quantenregressionstheorems gegeben werden (siehe
die Anmerkung dazu auf Seite 308.

314 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
bezeichnet, das sich bei Gültigkeit von (8.210) auf
γ (22) (t + τ,t)=
I(τ)
I(t + τ)
(8.212)
reduziert. Speziell bei stationären Verhältnissen gilt
γ (22) (τ) = lim
t→∞
γ 22 (t + τ,t)= I(τ)
I(∞) = σ 22(τ)
σ 22 (∞) , (8.213)
woraus ersichtlich ist, daß wegen γ 22 (0) = 0 die Bedinging (4.65) für
sub-Poisson-Statistik erfüllt ist,
γ 22 (0) < 1. (8.214)
Bekanntlich wird für stationäre Felder die Bedingung für sub-Poisson-
Statistik identisch mit der Antibunching-Bedingung.
8.5.5 Squeezing
Neben Antibunchung und sub-Poisson-Statistik kann die Resonanzfluoreszenzstrahlung
auch Squeezing zeigen. Dazu betrachten wir die normalgeordnete
Feldstärkevarianz
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 =2 〈 Ê (−) (r,t) · Ê(+) (r,t) 〉
{ 〈[
+ Ê (+) (r,t)] 2〉 } { 〈Ê(+)
+c.c. − (r,t) 〉 } 2
+c.c.
=2G (1,1)
kk
[
+
G (0,2)
kk
(r,t,r,t,) ]
(r,t,r,t,)+c.c. −
[
G (0,1)
kk (r,t,r,t,)+c.c. ] 2.
(8.215)
Bekanntlich liegt Squeezing vor, wenn (für bestimmte Phasenlagen) die
Ungleichung
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 < 0 (8.216)
erfüllt ist [siehe (2.194)]. Unter Verwendung der quellenmäßigen Darstellung
des elektrischen Feldes sowie den • • • • Ordnungsregeln (Seite

8.5. RESONANZFLUORESZENZ 315
135) erhalten wir (wieder bei Vernachlässigung von Laufzeiteffekten)
für die normalgeordnete Varianz der Streustrahlung 25
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 =2|F| 2 σ 22 (t) − [F σ 21 (t)+c.c.] 2 . (8.217)
Mit (8.171) sowie
F ˜σ 21 (t) =|F||˜σ 21 (t)|e −i ˜ϕ 21(t)
(8.218)
und
wird daraus:
φ(t) = ˜ϕ 21 (t)+ϕ L (8.219)
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 |F| −2 =2σ 22 (t) − 4 |˜σ 21 (t)| 2 cos 2 [ω L t+φ(t)]
(8.220)
Stationäre Verhltnisse vorausgesetzt, geht (8.220) mit den stationären
Werten σ 22 (∞) und˜σ 21 (∞) aus(8.183) und(8.186)in
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 |F| −2 = −
γ 2 Ω 2 L
γ 1 [γ2 2+(δ2 +(γ 2 /γ 1 )Ω
{ 2 L ]2
[γ
2
× 2 +(δ 2] [ γ 1
cos[2ω L t+2φ(∞)]−1+ γ ]
1
− γ }
2
Ω 2 L
2γ 2 2γ 2 γ 1
(8.221)
über, woraus im Falle exakter Resonanz unter Berücksichtigung von
(8.167) und (8.168)
〈
:[∆ Ê(r,t)] 2 : 〉 |F| −2 = − 1 2 Ω2 L
Γ 2 cos[2ω L t +2φ(∞)] − 1 2 Ω2 L
(
Γ2 + 1 2 Ω2 L) 2
. (8.222)
wird. Aus dieser Gleichung zusammen mit der Ungleichung (8.216) ist
zu ersehen, daß die Streustrahlung (für bestimmte Phasenwerte) gequetscht
ist, falls die Bedingung
25 Beachte, daß 〈[Ê(+) (r,t)] 2 〉 = |F| 2 〈Â12(t)Â12(t)〉 =0 ist.
Ω L < √ 2 Γ (8.223)

316 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
〈: (∆E) 2 :〉
|F| 2 Ω L /Γ
(3)
(2)
(1)
Normalgeordnete Varianz 〈: (∆Ê)2 :〉 der stationären Resonanzfluoreszenzstrahlung
eines 2-Niveau-Atoms, das mit einem (quasi-)monochromatischen
Laser resonant gepumpt wird, für verschiedene Werte der Phase ω L t + φ(∞)
[(1) nπ, (2)(2n +1)π/4, (3) (2n +1)π/2; n =1, 2, 3,...].
erfüllt ist. Für gegebenes Verhältnis Ω L /Γ wird maximales Squeezing
(d.h. minimales Feldstärkerauschen) offensichtlich für die Phasenlagen
ω L t + φ(∞)=nπ (n =0, 1, 2,...)erreicht.WenndiePumpstrahlungzu
intensiv wird, so daß die kohärente Rayleigh-Komponente (∼ σ 21 )in
der Streustrahlung zu schwach wird, verschwindet der Squeezing-Effekt,
wie auch aus der Abbildung zu ersehen ist. 26 Für Ω L = √ 2/3Γ (δ =0)
ergibt sich maximales Squeezing: 〈:(∆Ê)2 :〉/|F| 2 = −1/8.
8.6 Casimir-Polder-Kräfte
Wie wir gesehen haben, gibt die Wechselwirkung eines angeregten
Atoms mit dem elektromagnetischen Vakuum (über die Vakuumfluktuationen)
zur spontanen Emission – einem reinen Quanteneffekt – Anlaß.
Während im freien Raum die spontane Emission (in sehr guter
Näherung) mit einem exponentiellen Zerfall des angeregten Atomzustands
verbunden ist, kann die Anwesenheit makroskopischer Körper
26 〈:[∆Ê(r,t)]2 :〉/|F| 2 → 1für Γ/Ω L → 0.

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 317
den Prozeß der spontanen Emission bekanntlich wesentlich beeinflussen,
da die Struktur des elektromagnetischen Feldes und damit auch
die Vakuumfluktuationen des Feldes durch die Körper geänder werden.
Diese Modifikation führt zu weiteren beobachtbaren Quanteneffekten.
Makroskopischer Körper
Atom im Grundzustand
F
Da elektromagnetische Felder auf geladene Teilchen Kräfte ausüben,
unterliegen auch (neutrale) Atome in elektromagnetischen Feldern
Kräften, wobei es im konkreten Fall meistens ausreichend ist, die Kraft
auf das durch das Feld induzierte elektrische Dipolmoment zu betrachten.
Der genannte Sachverhalt trifft natürlich auch auf das elektromagnetische
Vakuum zu, wobei jedoch aus Symmetriegründen (Homogenität
und Isotropie des leeren Raums) klar ist, daß auf ein Atom im
ansonsten leeren Raum keine Kraft wirkt. Ganz anders ist die Situation,
wenn sich das Atom in der Nähe eines (neutralen, unpolarisierten)
makroskopischen Körpers befindet und den Vakuumfluktuationen
des im Vergleich zum freien Raum ”
deformierten“ elektromagnetischen
Feldes unterliegt. In diesem Fall kann das elektromagnetische Vakuum
tatsächlich zu einer Kraft auf das Atom Anlaß geben, und zwar zu einer
zum Körper hin anziehenden Kraft, wenn es sich bei dem Körper um dielektrische
Materie (elektrische Leiter eingeschlossen) handelt und sich
das Atom im Grundzustand befindet. 27
Die Situation ändert sich grundsätzlich nicht, wenn das Atom durch
einen zweiten (neutralen, unpolarisierten) makroskopischen Körper ersetzt
wird. Das Ergebnis ist der im Abschnitt 1.2 bereits erwähnte
Casimir-Effekt. Die durch die beiden (dielektrischen) Körper (im Vergleich
zum freien Raum) modifizierten elektromagnetischenVakuum-
27 Die grundlegende theoretische Arbeit dazu ist die von H.B.G. Casimir und D. Polder, Phys.
Rev. 73, 360(1948).

318 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
fluktuationen bewirken eine anziehende Kraft zwischen den Körpern.
Makroskopischer Körper
F
Makroskopischer Körper
−F
8.6.1 Kraft auf ein Atom
Bevor wir die Kraft auf ein sich in der Nähe eines makroskopischen
Körpers befindliches Atom näher bestimmen, wollen wir zunächst die
Gleichungen (8.163) – (8.166) für den Fall eines atomaren Vielniveausystems,
das in elektrischer Dipolnäherung mit dem elektromagnetischen
Feld bei Anwesenheit makroskopischer Körper wechselwirkt, verallgemeinern.
Wir verwenden den Hamilton-Operator (8.144) [zusammen
mit (8.145) sowie Ê(r A)gemäß (1.193) mit (1.195)] und erhalten in
Verallgemeinerung von (8.140) – (8.143) die folgenden Heisenbergschen
Bewegungsgleichungen für die atomaren Operatoren Âmn:
˙Â mn = i [Ĥ, ]
 mn = −iωnm  mn
+ i ∑
[ ∫ (dnk ) ∞
 mk − d km  kn · dω
Ê(ˆr A, ω)
+
k
∫ ∞
0
0
dω ʆ (ˆr A , ω) · (d
nk  mk − d km  kn
) ] . (8.224)

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 319
Gemäß (8.156) gilt für die Quellfeldanteile in obiger Gleichung
∫ ∞
0
dω Ês(r, ω,t)
= i ∫ ∞ ∫ t
dωω 2 dt ′ e −iω(t−t′) Im G(r, r
πε 0 c 2 A , ω) · ˆd(t ′ ), (8.225)
0
wobei der Dipoloperator [im Gegensatz zu (8.157)]
0
ˆd A = ∑ lk
 lk d lk (8.226)
(l ≠ k) lautet.Wirwollenannehmen,daßdieMarkow-Näherung anwendbar
ist. In diesem Fall wird nach dem bekannten Schema 28 aus
(8.225) [zusammen mit (8.226)]
∫ ∞
0
dω Ês(r A , ω,t)= ∑ l,k
g lk (r A )Âlk(t) (8.227)
mit
g lk (r A )=
i ∫ ∞
dωω 2 Im G(r
πε 0 c 2 A , r A , ω) · d lk ζ(˜ω kl − ω). (8.228)
0
Aus (8.228) folgt insbesondere
wobei die δω lk und Γ lk durch
i
d lk · g kl (r A )=−iδω lk − 1 2 Γ lk , (8.229)
δω kl =
P ∫ ∞
πε 0 c 2
0
dωω 2 d kl · Im G(r A , r A , ω) · d lk
˜ω kl − ω
(8.230)
28 Einführen von langsam veränderlichen Operatoren ˆÃ lk (t) gemäß Âlk(t)= ˆÃ lk (t)e −˜ω klt ,Herausziehen
von ˆÃ lk (t ′ )anderoberenIntegrationsgrenzet aus dem t ′ -Integral in (8.225) und Ausdehnen
dieses Integrals nach Unendlich.

320 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
und
Γ lk = 2
ε 0 c 2 Θ(˜ω lk)˜ω 2 lkd lk · ImG (r A , r A , ˜ω lk ) · d kl (8.231)
definiert sind.
Wir setzen in (8.224) für Ê(r A, ω)[undʆ (r A , ω)] die quellenmäßige
Darstellung mit (8.228) ein und erhalten
[
˙Â mn = −iω nm + i ∑( ) ]
dnk · g kn − d km · gkm
∗ Â mn + B mn
mit
k
+ i ∑
[ ∫ (dnk ) ∞
 mk − d km  kn · dω
Êfree(r A , ω,t)
k
∫ ∞
+ dω ʆ free · (r A, ω,t) ( ) ]
d nk  mk − d km  kn (8.232)
0
ˆB mn = − i
+ i
∑( dkm · g nl − d nl · gmk
∗
k,l
∑
k,l≠n
d nk · g kl  ml − i
∑
k,l≠m
0
)Âkl
d km · g ∗ klÂln. (8.233)
Das Gleichungssystem (8.232) kann als Verallgemeinerung des für ein
2-Niveau-System und Resonanznäherung gültigen Gleichungssystems
(8.140) – (8.143) angesehen werden. Aus (8.232) zusammen mit (8.229)
ist zu ersehen, daß (für m ≠ n)
−iω nm + i
gilt, wobei die
∑( )
dnk · g kn − d km · gkm
∗ = −i˜ωnm − 1 2 (Γ m + Γ n ) , (8.234)
k
˜ω nm = ω nm + δω n − δω m
(8.235)

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 321
mit
δω n = ∑ k
δω nk (8.236)
und δω nk gemäß (8.230) die verschobenen Übergangsfrequenzen bedeuten.
Die Verbreiterungen sind durch 1 2 (Γ m + Γ n )gegeben,wobei
Γ n = ∑ k
Γ nk (8.237)
mit Γ nk gemäß (8.231) gilt. Wie aus der Gleichung für ˙Â nn ,
˙ nn = −Γ n  nn + ∑ k
Γ kn  kk + ..., (8.238)
zu ersehen ist, stellt Γ n die totale Zerfallsrate des Zustands |n〉 dar,
die sich summarisch aus den Zerfallsraten Γ nk für die (erlaubten)
Übergänge |n〉→|k〉 zusammensetzt.
Die Niveauverschiebungen und -verbreiterungen sind reine Quanteneffekte,
die durch die Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen
Feldes bedingt sind. Betrachten wir die verschobenen Energieniveaus
etwas näher, wobei wir annehmen wollen, daß die ungestörten“ atomaren
Energien E n die für den freien Raum typischen (durch G V be-
”
stimmten ortsunabhängigen) Verschiebungen bereits enthalten, so daß
die durch die Anwesenheit von makroskopischen Körpern verschobenen
Energien durch
Ẽ n (r A )=E n + δω n (r A )=E n + ∑ k
δω nk (r A ) (8.239)
mit
δω nk (r A )=
P ∫ ∞
πε 0 c 2
0
dωω 2 d nk · Im G S (r A , r A , ω) · d kn
˜ω nk (r A ) − ω
(8.240)

322 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
gegeben sind, wobei letztere Gleichung völlig analog zu in (8.40)
in einen resonanten und einen nichtresonanten Term zerlegt werden
kann. 29 Wie bereits erwähnt, läßt sich die Ortsabhängigkeit der atomaren
Übergangsfrequenzen spektroskopisch nachweisen und ausnutzen.
Die atomaren Anregungsenergien Ẽn(r A )selbstkönnen in gewissem
Sinne als Potentiale U n (r A ) der Kräfte F n (r A )angesehenwerden,die
auf ein Atom in den jeweiligen (quasi-)stationären Zuständen wirken.
Beschränken wir uns bei der Bestimmung der δω nk (r A )aus(8.240)
auf die störungstheoretisch niedrigste Ordnung, so erhalten wir für die
Potentiale
U n (r A )=U nr
n (r A )+U r n(r A ) (8.241)
wobei der nichtresonante Term durch das Integral
U nr
n (r A)=− 1
πε 0 c 2 ∑
k
∫ ∞
0
du ω nku 2
ω 2 nk + u2 d nk · G S (r A r A ,iu) · d kn
gegeben ist und der resonante Term
(8.242)
Un r (r A)=− 1 ∑
ε 0 c 2
k
Θ(ω nk )ω 2 nk d nk · Re G S (r A , r A , ω nk ) · d kn
(8.243)
lautet [vgl. (8.40)]. 30
Die Kräfte können dann gemäß
F n (r A )=−∇ A U n (r A ) (8.244)
29 Der Vergleich mit der gemäß (8.38) definierten Frequenzverschiebung δω liefert δω = − δω 21 .
Offenbar verlangt der Ansatz (8.13), daß die nichtresonante Verschiebung der Grundzustandsenergie
vernachlässigt wird. Konsequenterweise muß dann aber auch im Rahmen dieses Ansatzes der nichtresonante
Verschiebungsterm bezüglich des angeregten Zustands [d.h. der nichtresonante Beitrag zu
δω 21 ]vernachlässigt werden, so daß effektiv (8.16) zusammen mit (8.41) gilt.
30 Solange der Green-Tensor nicht spezifiziert wird, gelten diese Gleichungen für beliebige lineare
Medien.

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 323
berechnet werden.
Die Rechnungen sind unter Zugrundelegung der elektrischen Dipolnäherung
durchgeführt worden. Bekanntlich ist die Lorentz-Kraft
auf einen elektrischen Dipol durch
[
F(r A )= ∇ 〈ˆd · Ê(r) 〉 +
dt〈ˆd d 〉 ]
× ˆB(r) (8.245)
r=r A
gegeben, so daß insbesondere für einen (quasi)stationären Zustand
F(r A )=∇ 〈ˆd · Ê(r) 〉∣ ∣
∣r=rA (8.246)
gilt. Man kann zeigen, daß die Auswertung dieser Gleichung in niedrigster
störungstheoretischer Ordnung genau auf (8.244) [zusammen mit
(8.241) – (8.243)] führt.
Betrachten wir speziell die auf ein Atom im Grundzustand wirkende
Kraft, dessen Potential
U(r A )=U nr
1 (r A)= 1
πε 0 c 2 ∑
k
∫ ∞
0
du ω k1u 2
ω 2 k1 + u2 d 1k · G S (r A , r A ,iu) · d k1
lautet. Mit Hilfe der atomaren Polarisierbarkeit
α(ω) = 1 ∑
[
]
d 1k d k1
˜ω k1 − ω − iΓ k /2 + d k1 d 1k
˜ω k1 + ω + iΓ k /2
k
läßt sich die Gleichung (8.247) in der kompakteren Form
(8.247)
(8.248)
U(r A )=
∫ ∞
2πε 0 c 2
0
duu 2 Tr [ α (0) (iu) · G S (r A , r A ,iu) ] (8.249)
schreiben, wobei
α (0) 2 ∑ ω k1
(ω) =lim
ɛ→0 ω 2 k k1 − ω2 − iωɛ d 1kd k1 (8.250)

324 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
die atomare Polarisierbarkeit in störungstheoretisch niedrigster Ordnung
bedeutet. Man kann zeigen, daß α (0) (ω) in(8.249)durchdie
exakte Polarisierbarkeit α(ω) desbetrachtetenAtomimfreienRaum,
d.h. bei Abwesenheit irgendwelcher makroskopischer Körper, ersetzt
werden darf. Potentiale der Art (8.249) können als van der Waals
Potentiale auf makroskopischem Niveau angesehen werden.
Die konkrete Abhängigkeit der Kraft von der Atomposition hängt
über den Green-Tensor von der Geometrie der jeweiligen Anordnung
ab. Ist nur ein Körper vorhanden und befindet sich das Atom hinreichend
nahe seiner Oberfläche, so spielt mit abnehmenden Abstand z A
des Atoms von der (noch makroskopisch beschreibbaren) Oberfläche
die Form dieser offenbar eine immer geringere Rolle. Man kann zeigen,
daß sich für z A → 0dasPotentialasymptotischwie
verhält. 31
U(r A ) ∼ z −3
A (8.251)
8.6.2 Kraft auf einen makroskopischen Körper
Im Zusammenhang mit der Vakuumenergie des Strahlungsfeldes wurde
bereits im Abschnitt 1.2 kurz auf die Casimir-Kraft zwischen zwei
perfekt leitenden Platten eingegangen. Abgesehen davon, daß die dort
angesprochene Herleitung der Casimir-Kraft recht mühselig und wenig
elegant ist, ist sie für reale Körper i. allg. ungeeignet, da die zugrunde
liegende Modenentwicklung nicht uneingeschränkt sinnvoll ist. Wir
wollen deshalb hier einen systematischen Zugang zur Berechnung der
Casimir-Kraft auf beliebige Körper aufzeigen.
Betrachten wir zunächst das klassische Problem der Bestimmung
der auf einen Körper in einem elektromagnetischen Feld wirkenden
Kraft. Bekanntlich ist die auf eine Ladungsdichte ρ(r) undeineStromdichte
j(r) wirkendeKraftdichtedurchdieLorentz-Kraftdichte
⃗f(r) =ρ(r)E(r)+j(r) × B(r) (8.252)
31 Man beachte, daß die makroskopische Betrachtungsweise nicht mehr anwendbar ist, wenn z A
vergleichbar mit den Atomabständen im Körper wird.

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 325
gegeben, woraus die Gesamtkraft
∫
F =
V
d 3 r ⃗ f(r), (8.253)
die auf die im Volumen V eingeschlossenen Ladungen und Ströme
wirkt, folgt. Diese Gleichungen sind universell gültig in dem Sinne, daß
sie auf die konkrete Art der Ladungs- und Stromdichten keinen Bezug
nehmen. Im Falle eines dielektrischen Mediums sind die relevanten
Ladungs- und Stromdichten durch die Polarisation gemäß
ρ(r) =−∇ · P(r) (8.254)
j(r) = ∂P(r)
∂t
(8.255)
gegeben. Damit folgt unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen für
die Kraft, die auf das (Teil-)Medium vom Volumen V wirkt, 32
∫
∫
F = − d 3 r E(r)∇ · P(r)+ d 3 r ∂P(r) × B(r)
V
V ∂t
∫
∫
= d 3 r P(r) · ∇E(r)+ d 3 r ∂P(r) ∫
× B(r) − da · P(r)E(r)
V
V ∂t
(V )
∫
= d 3 r ∇P(r) · E ↓ (r)+ d ∫
∫
d 3 r P(r) × B(r) − da · P(r)E(r).
V
dt V
(V )
(8.256)
Verschwindet der Zeitableitungsterm, reduziert sich die Kraft auf
∫
∫
F = d 3 r ∇P(r) · E ↓ (r)+ da · P(r)E(r). (8.257)
V
Handelt es sich um einen Körper vom Volumen V ,dernichtinein
Medium eingebettet ist (also nicht Teilmedium ist), verschwindet auch
das Oberflächenintegral.
Andererseits erlauben es die Maxwell-Gleichungen ganz allgemein,
die Gleichung (8.253) [zusammen mit (8.252)] so umzuschreiben, daß
(V )
32 Der ↓ über E(r) weistdaraufhin,daß∇ nur auf E(r) wirkt.

326 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
die Ladungs- und Stromdichten nicht mehr explizit in Erscheinung treten,
nämlich
∫
∫
d
F = da · T (r) − ε 0 d 3 r E(r) × B(r) (8.258)
(V )
dt V
mit
T (r) =ε 0 E(r)E(r)+µ −1
0 B(r)B(r) − [ 1
2 ε0 E 2 (r)+µ −1
0 B2 (r) ] I (8.259)
als dem Maxwellschen Spannungstensor. Verschwindet der Zeitableitungsterm,
kann die Kraft über ein Oberflächenintegral allein durch
den Spannungstensor ausgedrückt werden,
∫
F = dF, (8.260)
(V )
dF =da · T (r). (8.261)
Speziell im Falle eines mit Medium gefüllten Bereichs vom Volumen
V kann dF als die Kraft auf das Oberflächenelement da des Bereichs
angesehen werden.
An den obigen Überlegungen ändert sich beim Übergang zur Quantentheorie
zunächst nichts. Befindet sich das System in einem stationären
Zustand, liefern die totalen Zeitableitungen keinen Beitrag zur
Kraft. Dies ist insbesondere für den Grundzustand der Fall. Gemäß
(8.260) und (8.261) können wir dann
∫
F =
(V )
da · T (r) (8.262)
setzen, wobei T (r) alsGrenzwert
T (r) =lim
r′ →r T (r, r′ ), (8.263)
〈Ê(r)
T (r, r ′ )=ε 0 Ê(r ′ ) 〉 〈
+ µ −1
0 ˆB(r) ˆB(r ′ ) 〉
[ 〈Ê(r)
ε0 · Ê(r ′ ) 〉 〈
+ µ −1
0 ˆB(r) · ˆB(r ′ ) 〉] I, (8.264)
− 1 2

8.6. CASIMIR-POLDER-KRÄFTE 327
so zu verstehen ist, daß divergente Terme, die für r = r ′ auftreten
können, jedoch nicht zur Kraft beitragen, wegzulassen sind. Um die
Korrelationsfunktionen in (8.264) zu berechnen, setzen wir die Feldoperatoren
Ê(r) und ˆB(r) inderForm(1.193)–(1.195)ein,berücksichtigen,
daß (im Grundzustand)
〈ˆf(r, ω)ˆf † (r ′ , ω ′ ) 〉 = δ(ω − ω ′ )δ(r − r ′ ), (8.265)
〈ˆf † (r, ω)ˆf(r ′ , ω ′ ) 〉 =0= 〈ˆf(r, ω)ˆf(r ′ , ω ′ ) 〉 (8.266)
gilt und machen von der Integralrelation (1.189) Gebrauch. Die Rechnung
liefert
T (r, r ′ )=θ(r, r ′ ) − 1 2 I Tr θ(r, r′ ) (8.267)
mit
θ(r, r ′ )= ∫ ∞
[ ]
ω
2
dω
π 0 c Im G(r, 2 r′ , ω) −∇×G(r, r ′ ′
, ω) ×∇ ←−
.
(8.268)
Gegeben seien zwei (oder auch mehrere) räumlich getrennte Körper
im ansonsten leeren Raum, so daß der Green-Tensor in der Zerlegung(8.33)
angegeben werden kann. Da ein Körper im leeren Raum
keine Kraft erfahren kann, kann in dieser Zerlegung der Vakuum-Green-
Tensor G V (r, r ′ , ω), der für r ′ → rsingulär wird, weggelassen werden, 33
so daß der Spannugstensor T (r) allein durch den Streuanteil G S (r, r, ω)
bestimmt wird, d.h. aus (8.263) zusammen mit (8.267) und (8.268) wird
T (r) =θ(r) − 1 2 I Tr θ(r) (8.269)
mit
θ(r) = π
∫ ∞
0
dω
[ ]
ω
2
c Im G S(r, r, ω) −∇×G 2 S (r, r ′ ′
, ω) ×∇ ←−
r ′ =r
(8.270)
33 Sind die Körper in einem homogenen Medium eingebettet, so stellt G V (r, r ′ , ω)denGreen-Tensor
dieses Mediums dar und kann weggelassen werden.

328 KAPITEL 8. FUNDAMENTALE QUANTENEFFEKTE
bzw.
θ(r) =− π
∫ ∞
0
du
[ ]
u
2
c G S(r, r,iu)+∇×G 2 S (r, r ′ ′
,iu) ×∇ ←−
r ′ =r
(8.271)
nach Verschieben der Integration längs der positiven imaginären Frequenzachse.
34 Die auf einen Körper vom Volumen V wirkende Casimir-
Kraft ist dann gemäß (8.262) bestimmt. Die Berechnung des Streuanteils
des Green-Tensors ist wieder ein rein klassisches Problem. Speziell
für zwei perfekt reflektierende Platten im Abstand d im ansonsten leeren
Raum ergibt sich für d →∞ asymptotisch die Kraftformel (1.135).
34 Solange der Green-Tensor nicht spezifiziert wird, gelten diese Gleichungen für beliebige lineare
Medien.