Übungsblatt - II. Physikalisches Institut, Universität zu Köln

II. Physikalisches Institut
Universität zu Köln
J. Hemberger, M. Abd-Elmeguid
1. Übung zu Struktur der Materie
Internetseite:
Sommersemester 2008
http://www.ph2.uni-koeln.de/de/lehre/strukmat
Abgabe:
30.06.2008 vormittags - Briefkasten II. Phys. Inst.
1. Elementar- und Einheitszelle (4 Punkte)
Ein Kristall besitzt eine einatomige Basis. Die primitiven fundamentalen Translationen sind:
⃗a = s⃗e x , ⃗ b = s⃗ey , ⃗c = s 2 (⃗e x + ⃗e y + ⃗e z ).
⃗a x , ⃗ b y , ⃗c z sind die Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems, s ist eine Konstante.
a) Zu welchem Bravais-Gittertyp gehört der Kristall ? Skizzieren Sie die Einheitszelle !
b) Wie groß ist das Volumen der primitiven Elementarzelle und das der konventionellen Einheitszelle
?
2. Der Diamant (6 Punkte)
Das Punktgitter des Diamants ist kubisch flächenzentriert. Die Basis besteht aus zwei identischen
Atomen bei (0, 0, 0) und ( 1 4 , 1 4 , 1 4 , ).
a) Skizzieren Sie die Einheitszelle und geben Sie einen Satz primitiver Translationsvektoren an.
b) Wie viele Atome befinden sich in der gebräuchlichen kubischen Einheitszelle ?
c) Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen den Verbindungslinien eines Atoms mit seinen nächsten
Nachbarn jeweils 109 ◦ 28 ′ beträgt.
3. Raumfüllung Kubischer Bravais-Gitter (6 Punkte)
Berechnen Sie die maximale Raumerfüllung für die drei (mit sphärischen Ionen besetzten) kubischen
Bravaisgitter:
primitiv (sc), innenzentriert (bcc), und flächenzentriert kubisch (fcc).

4. Struktur von Kochsalz (7 Punkte)
NaCl kristallisiert in Form eines fcc-Gitters mit 2-atomiger Basis (also alle Ionen sind oktaedrisch
koordiniert). Die Dichte beträgt 2.165 g/cm 3 , die Mol-Massen von Na und Cl sind 22.99 g/mol
bzw. 35.45 g/mol. Wie groß ist der Abstand zwischen Na + und Cl − Plätzen. (Hinweis: Avogadro-
Zahl N A = 6.022 · 10 23 )
Warum kristallisiert NaCl nicht in einem Gitter mit tedraedrischer Koordination (Koordinationszahl
(KZ) = 4, d.h. 4 nächste Nachbarn) oder kubischer Koordination (KZ = 8), sondern
in einem Gitter mit ohktaedrischer Koordination (KZ = 6) ? Berechnen Sie hierzu das Radienverhältnis
r/R, für dass eine Kugel mit dem Radius r gerade noch in die jeweilige (tedraedrische,
oktaedrische oder kubische) Anordnung von Kugeln mit dem Radius R passt. Wie kristallisiert
CsCl ?
Ion r KZ=4 [Å] r KZ=6 [Å] r KZ=8 [Å]
Na + 0.99 1.02 1.16
Cs + 1.67 1.74
Cl − 1.81
5. Reziproke Gitter (6 Punkte)
Bestimmen Sie die reziproken Gitter zu folgenden Gittern:
a) Kubisch-raumzentriert (bcc).
b) Kubisch-flächenzentriert (fcc).
c) Hexagonal.
(Hinweis: Verwenden Sie bei c) die Vektoren ⃗a 1 = a⃗e 1 ,
√
⃗a 2 = − a 2 ⃗e 3
1 + a
4 ⃗e 2, ⃗a 3 = a⃗e 3 .)
6. Pulverdiffraktion (7 Punkte)
Sie sehen einen Ausschnitt aus dem Pulverdiffraktogramm (s. Debye-Scherrer) des orthorhombisch
verzerrten Perowskits GdMnO 3 :
1000 counts
10
5
GdMnO 3
(1 1 0)
(0 0 2)
(1 1 1)
T = 300 K
λ = 1.5406 Å
0
22 24 26 28 30 32 34
angle 2θ (°)
Berechnen Sie die Gitterparameter a, b und c und den Abstand benachbarter (112)-Ebenen.
Lesen Sie die dazu notwendigen Winkel 2θ für die entsprechenden hkl-Reflexe selbstständig aus
dem Diagramm ab.
(0 2 0)
(0 2 1)
(1 1 2)
(2 0 0)
2