5 Aufgaben zum Satz von Pythagoras

Mathematik * Jahrgangsstufe 9 * Aufgaben zum Satz des Pythagoras
1. Bestimme den Abstand der beiden Punkte A(-2/3) und B(4/-1).
2. Das gleichschenklige Dreieck ABC
hat die Seiten a = b = 8 und c = 4.
a) Berechne die Höhe h c und den
Flächeninhalt des Dreiecks.
b) Berechne die Höhen h a und h b .
b
h c
C
a
A
c
h a
B
3. In der Raute ABCD mit Seitenlänge a = 6
ist die Diagonale [AC] doppelt so lang wie
die Diagonale [BD].
a) Berechne die Länge der beiden Diagonalen.
b) Berechne den Flächeninhalt der Raute.
c) Welchen Abstand d haben die beiden
Seiten [AB] und [CD] voneinander?
A
a
D
B
d
C
4. Von einem Holzwürfel mit der
Kantenlänge 10, 0 cm wird ein Stück
abgesägt (vgl. Abbildung).
Berechne den Flächeninhalt der
(schraffierten) Schnittfläche!
x
5. In einem Quadrat der Seitenlänge a sollen vier
gleichschenklige Dreiecke so abgeschnitten
werden, dass ein reguläres Achteck entsteht.
Berechne die Seitenlänge x des Achtecks als
Bruchteil der Länge a.
Wie viel Prozent der Quadratfläche macht die
Fläche des Achtecks aus?
a
x
x
x
a

Mathematik * Klasse 9 * Aufgaben zum Satz des Pythagoras * Lösungen
1.
2 2
AB = ( −2 − 4) + (3 − ( − 1)) = 36 + 16 = 52 = 2⋅
13
2. a)
2
2 c
2 2 2 2 2
c c c c
a = + h ⇔ h = 8 − 2 ⇔ h = 60 ⇔ h = 2⋅
15
1 1
AABC
= ⋅c⋅ hc
= ⋅4⋅ 2 15 = 4 15
2 2
1
2⋅
4 15
4 15 = A = ⋅a ⋅h ⇔ h = = 15 und h = h = 15
2 8
b)
ABC a a b a
¢ £ ¤¥ 2¡
3. a) Mit BD = x und AC = 2x gilt:
¢ £ ¢ £ ¡ ¡
2 2 2 2
2 2 2 2
¥ ¤ ¥ ¤
x 2x x 5x 144
a = + ⇔ 6 = + x ⇔ 36 = ⇔ x = ⇔
2 2 4 4 5
12 12 5
BD = x = = = 2, 4 5 und AC = 2⋅ BD = 4,8 5
5 5
1 1
A = ⋅AC⋅ BD = ⋅2, 4⋅ 5 ⋅ 4,8⋅ 5 = 5,76⋅ 5 = 28,8
2 2
28,8
28,8 = A = AB⋅ d = 6⋅ d d = 4,8
6
¦
b)
ABCD
c)
ABCD
=
4. AG = GB = EB = AB ⋅ 2 = 10cm ⋅ 2 Das Dreieck EBG ist also gleichseitig.
Die Höhe h in diesem gleichseitigen Dreieck hat die Länge
3 3
h = ⋅ EB = ⋅10cm ⋅ 2 = 5⋅
6 cm
2 2
Für den Flächeninhalt des Dreiecks EBG gilt also:
1 1
AEBG
= ⋅ EB⋅ h = ⋅10cm ⋅ 2 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ cm = 50 3 cm ≈ 86,6cm
2 2
5. Es gilt a = y + x + y und x = y⋅
2
also a = 2y + y ⋅ 2 = (2 + 2 ) ⋅ y und damit
a
a ⋅ 2
y = sowie x = 2 ⋅ y =
2 + 2 2 + 2
also
( − )
2 2 ⋅ 2 2
x = ⋅ a = ⋅a
2 + 2 4 − 2
a
2 2
¡
¢ £ ¤ ¥
2 2 − 2
x = ⋅ a = ( 2 − 1) ⋅ a und
2
a
y =
x ( 2 − 1) ⋅a 2
= = 1− ⋅a
; es folgt AAchteck
= a
2 2 2
− 2⋅ y = a − 2⋅ 1− ⋅a
1
A a 2 (1 2 ) a ( 2 2 2)a
2
2
A
Achteck
( 2 2 − 2)a
= = 2 2 − 2 ≈ 0,828 = 82,8% .
2
A
a
2 2 2
Achteck
= − ⋅ − + ⋅ = − und damit gilt
Quadrat
y
x
x
2
2 2 2 2 2
¢ £ ¤ ¥ 2¡
y
x
x