Versuchsanleitung
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W9<br />
Physikalisches Grundpraktikum<br />
Abteilung Wärmelehre<br />
C p<br />
C V<br />
von Luft, Kohlendioxid undArgon<br />
Vorbereitung<br />
1. Zustandsgleichung idealer Gase<br />
2. Erster Hauptsatz der Wärmelehre<br />
3. Definition der spezifischen Wärmekapazitäten C p und C V<br />
4. Gaskinetische Deutung der molaren Wärmekapazitäten, siehe W+<br />
5. Adiabate Zustandsänderungen, Poisson-Gleichung (Adiabatengleichung)<br />
6. Erzwungene Schwingung 1 : Resonanzkurve, Amplitude, Phase<br />
C.D.Bredl<br />
Literatur:<br />
Demtröder I; Gerthsen; Dransfeld/Kienle I; Hering/Martin/Stohrer; Hahn; Kuypers<br />
W+ Hintergrundinfos (ab Version H); Tipler/Mosca §18.8 (zum Gleichverteilungsprinzip)<br />
Mitzubringen:<br />
Diagrammpapier DIN A4 für Aufg. 7 (siehe dort), also mind. 1 Blatt Millimeterpapier; (Tesafilm, Schere)<br />
Grundlagen<br />
w9<br />
Spezifische Wärmekapazitäten C p und C V ,<br />
Gleichverteilungsprinzip, Freiheitsgrade<br />
In der kinetischen Gastheorie erhält man die innere<br />
Energie U<br />
U= n·<br />
2· f R· T , (1)<br />
mit n=Molzahl, f= Anzahl thermodynamischer<br />
Freiheitsgrade, R= allg. Gaskonstante,<br />
T= abs. Temperatur.<br />
Daraus lässt sich die molare Wärmekapazität C V<br />
ableiten:<br />
C V = f 2· R (2)<br />
DerHarmonische Oszillator:<br />
Bei Vernachlässigung der Dämpfung ergibt sich<br />
die Bewegungsgleichung<br />
mẍ=−Dx (4)<br />
, wobei − Dx=F (5)<br />
die rückstellende Kraft ist und m=Masse, D= Federkonstante,<br />
x= Auslenkung aus der Ruhelage<br />
bedeuten. F und x sind Koordinaten von Vektoren<br />
(gemeinsame Basis im Eindimensionalen).<br />
Daraus ergibt sich die Periodendauer<br />
<br />
Für ideale Gase erhält man den Zusammenhang<br />
m<br />
C p = C V + R= f+ 2<br />
T= 2π<br />
D<br />
· R (3)<br />
2<br />
1<br />
siehe z.B. Halliday et al. Physik (2003/2005) Kapitel 16-9 (und 16-8); Gerthsen 24. Aufl., Seiten 158 ff.;<br />
und/oder den thematisch passenden Grundpraktikumsversuch der Abteilung Mechanik<br />
(6)<br />
W9|Seite1von6|2013-10-22 1
C.D.Bredl<br />
w9<br />
Herleitung derFederkonstanten D<br />
einerGas-Säule:<br />
Ein Gas befinde sich im unteren Volumen V 0 , das<br />
„oben“ von einem beweglichen Kolben verschlossen<br />
ist. Es steht unter dem Druck p 0 (infolge des<br />
äußeren Luftdruckes). Der Kolben übernimmt die<br />
Rolle der „schwingenden Masse“ m, die durch ihn<br />
abgesperrte Gasmenge die der „Feder“. In der Versuchsanordnung<br />
soll die x-Achse von der Ruhelage<br />
des Kolben aus nach oben zeigen, damit eine<br />
positiv gezählte Auslenkung x das Volumen auf<br />
V 0 +∆V vergrößert. Auf die untere Kolbenfläche<br />
A übt das Gas die Kraft p 0·A aus – sie und der Flächenvektor⃗A<br />
weisen in das Kolbeninnere (nach<br />
oben), haben positive Koordinaten.<br />
Die Federkonstante bestimmt man durch Umformulieren<br />
des Hooke’schen Gesetzes für die rückstellende<br />
Kraft F=−Dx auf diese Volumenänderung∆V<br />
:<br />
F=− Dx=− D ∆V<br />
A<br />
D=− F A<br />
∆V<br />
(7)<br />
(8)<br />
Die rückstellende Kraft wird durch Druckänderung∆p<br />
verursacht:<br />
F= A·∆p (9)<br />
, wobei die Druckänderung adiabatisch erfolgt<br />
(warum?). Deswegen gilt die Poisson-Gleichung:<br />
pV κ = p 0 V κ<br />
0<br />
bzw. p= p Vκ 0<br />
0·<br />
V κ (10)<br />
mit κ= C p<br />
C V<br />
Näherungsweise gilt:<br />
(Adiabatenexponent)<br />
∆p= dp<br />
dV<br />
(11)<br />
V0·∆V<br />
(warum näherungsweise – wann verschlechtert<br />
sich die Näherung?)<br />
dp<br />
dV =−κ· p V κ<br />
0<br />
0·<br />
V κ+1 (12)<br />
an der Stelle V 0 :<br />
dp<br />
V κ<br />
0<br />
dV =−κ· p 0· =−κ· p0<br />
V0<br />
V κ+1 V<br />
0<br />
0<br />
. (13)<br />
Eingesetzt in (11) ergibt sich die Druckänderung<br />
aufgrund einer Volumenänderung<br />
∆p=−κ· p0<br />
V 0·∆V ; (14)<br />
dieses eingesetzt in (9) ergibt die rückstellende<br />
Kraft aufgrund einer Volumenänderung<br />
F=−A·κ· p0<br />
V 0·∆V . (15)<br />
Hiermit liefert (8) die Federkonstante für ein einseitig<br />
geschlossenes Rohr:<br />
D= A2·κ· p 0<br />
V 0<br />
(16)<br />
Bild der Apparatur<br />
(beide Öffnungen verschlossen)<br />
W9|Seite2von6|2013-10-22 2
Bestimmung desAdiabatenexponentenκ:<br />
Gemäß Beziehung (6) folgt für ein einseitig geschlossenes<br />
Rohr<br />
T= 2π A<br />
<br />
m·V0<br />
κ· p 0<br />
κ=ν 2 0·4π2· m· V 0<br />
A 2·p 0<br />
(17)<br />
Hierbei istν 0 = 1/T die Schwingungsfrequenz.<br />
Messverfahren<br />
Bisher dargelegt wurde der Zusammenhang zwischen dem Adiabatenexponentenκund der Schwingungsfrequenzν<br />
0 , d.h. der Eigenfrequenz für eine ungedämpfte freie Schwingung. Problem ist nun,<br />
diese Eigenfrequenz experimentell zu ermitteln. Stößt man den Kolben an, so beendet er aufgrund der<br />
Dämpfung den freien Schwingungsvorgang nach so kurzer Zeit, dass keine Messung mit vertretbarem<br />
Aufwand möglich ist. Man regt daher den Kolben zu erzwungenen Schwingungen an und sucht die Resonanzfrequenzν<br />
R der stationären Schwingung. Um die Resonanzstelle maximaler Amplitude zu finden,<br />
muss man die Frequenz am RC-Oszillator verändern (durchstimmen).<br />
Die erzwungene Schwingung wird angeregt durch das Magnetfeld einer Spule, die vom sinusförmigen<br />
Strom durchflossen wird. Die Spule ist so anzuordnen, dass ihre Oberkante sich auf der Höhe der<br />
Unterkante des Kolbens befindet. Ein Dauermagnet im Kolben erfährt dann eine oszillierende Kraft.<br />
Grundsätzlich ist zu bedenken, dass mit wachsender Dämpfung folgende (Kreis-)Frequenzen immer weniger<br />
übereinstimmen: Eigenfrequenzω 0 der freien ungedämpften Schwingung, Eigenfrequenzω δ der<br />
freien gedämpften Schwingung, Resonanzfrequenzω R der erzwungenen Schwingung (siehe Aufg. 5).<br />
C.D.Bredl<br />
w9<br />
Vorgehensweise<br />
Durch von unten zugeführtes Gas wird der Kolben nahe ans obere Ende des vertikal stehenden Rohres<br />
gebracht, dann der untere Glashahn geschlossen. Mehrere, zu unterschiedlichen Volumina gehörige<br />
Resonanzfrequenzen werden nun in einem Durchlauf bestimmt:<br />
Während der Kolben langsam absinkt, führt man mit einer Hand die Spulenoberkante entsprechend<br />
nach. Man sucht laufend Resonanzstellen auf und notiert deren Frequenzenν R zusammen mit den dann<br />
gültigen Volumina V 0 .<br />
Wichtige Fehlerquelle hierbei: Die Resonanzamplitude stellt sich erst nach Abklingen von Einschwingvorgängen<br />
ein – Geduld und etwas „Training“ sind essenziell.<br />
Es sind so viele Durchläufe ( = Messreihen) über den in der Aufgabe genannten Volumenbereich auszuführen,<br />
bis für jedes Gas etwa 20 – 30 Wertepaare vorliegen.<br />
Technische Daten der Apparatur: 2<br />
• Präzisions-Glasrohr: Innendurchmesser(14.00 +0.01<br />
−0.00 ) mm<br />
• Kolben (Aluminium): Durchmesser(13.97 +0.00 ) mm, Länge 20 mm, Masse(8.86±0.06) g.<br />
−0.01<br />
(Bitte nicht nachwiegen: Das Risiko mechanischer Schädigung ist zu hoch.<br />
Weiterhin erhöhen Staub, Fett und Schweiß die Reibung sehr effizient. . . )<br />
• Spule: 500 Windungen, ca. 4.2Ω, max. zulässiger Strom 1 A<br />
• RC-Oszillator: Verwenden Sie den Frequenzbereich 10 Hz≤ν≤ 100 Hz und den Sinus-Leistungsausgang (4 Watt<br />
an 4Ω).<br />
• Druckbestimmung: Es gibt ein Quecksilber-Barometer an der Wand eines Raumes des Wärmelehre-Praktikums<br />
(Versuch W3);<br />
1 mm Quecksilbersäule= 1.3332 hPa .<br />
2<br />
Der Anbieter Leybold Didactic nennt diese Apparatur „Gasfeder-Resonanzgerät“ – primär für Resonanzversuche in der<br />
Mechanik konzipiert – mit variabler (positionsabhängiger) Federkonstante.<br />
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Aufgabenzur Vorbereitungdaheim<br />
1. Vorbereitung: Leitfaden zum Versuchsziel, orientieren Sie sich an W+<br />
Erläutern Sie, welche und wieviele Freiheitsgrade theoretisch für jedes der drei Gase erwartet werden.<br />
Kombinieren Sie Fließtext in sinnvoller Weise mit Skizzen und tabellarischen Übersichten.<br />
a) Aufstellung der aus rein klassischer Sicht möglichen Fundamentalbewegungen anhand der Anordnung<br />
der als Punktmassen gedachten Atom(kern)e im Molekül – und wie sich daraus<br />
( 3 / 7 / 13 ) thermodynamische Freiheitsgrade für ( Argon / Luft / CO 2 ) ergeben.<br />
b) Für jede Fundamentalbewegung ist anhand ihres Charakters zu klären, ob sie bei Raumtemperatur<br />
„aktiv sein“ kann/könnte.<br />
c) Die Zahl der bei Raumtemperatur aktiven Freiheitsgrade soll f theo heißen (Werte !).<br />
d) Die zugehörigen Adiabatenkoeffizienten (Werte !) sollenκ theo heißen.<br />
2. Vorbereitung: Die Apparatur wurde an der hiesigen Physik um Gasmanipulationshilfen ergänzt und<br />
thematisch in die Thermodynamik platziert: Ein (spezialisiertes) Kalorimeter, mit einem Fluid zu<br />
füllen – nicht mit Wasser wie bei den Versuchen W5, W8, W10, sondern mit einem Gas. Machen Sie<br />
sich anhand von W+ vertraut mit der Kalorimeterkonstanten ˜K und den damit zusammenhängenden<br />
Pseudo-Freiheitsgraden ˜f , d.h. mit den Grundlagen der Aufgabe 10.<br />
3. Vorbereitung: Herleitung der Poisson-Gleichung (10), der Grundlage des Messverfahrens.<br />
4. Vorbereitung: Betrachten Sie die wie folgt umgeschriebene Variante von Glchg (17):<br />
C.D.Bredl<br />
κ<br />
ν 2 0· V 0<br />
= G ; G def<br />
= 4π2· m<br />
A 2·p 0<br />
(18)<br />
Die Größe G aus (18) ist zentraler Bestandteil der Versuchsauswertung:<br />
• Entscheiden Sie anhand der nachκaufgelösten Glchg (18), aus welcher der in Aufgabe 7 vorgeschlagenen<br />
Auftragungen Sieκ„unmittelbarer“ ersehen können.<br />
• Berechnen Sie G (exemplarisch mit p 0 = 1 000 hPa) und die für Luft bei V 0 = 50 cm 3 zu erwartende<br />
Eigenfrequenzν 0 .<br />
5. Vorbereitung: Die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung<br />
ẍ+ 2δ· ẋ+ω 2 0· x=(F 0/m)·e iωt (19)<br />
stellt die auf komplexe Zahlen verallgemeinerte Form 3 der Bewegungsgleichung für erzwungene<br />
Schwingungen des gedämpften harmonischen Oszillators dar. In Abhängigkeit von der (Kreis-) Frequenzωder<br />
anregenden Kraft F(t)= F 0 cos(ωt)=RF 0 e iωt ergibt sich die Amplitude stationärer<br />
Schwingungen<br />
w9<br />
F 0 /m<br />
A(ω)= (20)<br />
(ω<br />
2<br />
0 −ω2 ) 2 +(2δ·ω) 2<br />
• Berechnen Sie daraus die Resonanzfrequenzω R der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit<br />
vom Abklingkoeffizientenδ und von der Eigenfrequenzω 0 der ungedämpften freien Schwingung.<br />
• Wie klingt die Amplitude der freien Schwingung ab (benötigen Sie für Aufgabe (9c)) ?<br />
Welche Eigenfrequenzω δ hat diese freie Schwingung des gedämpften harmonischen Oszillators ?<br />
3<br />
der Realteil ihrer (komplexen) Lösung ist zugleich die (reelle) Lösung des Realteils der DGL<br />
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Aufgabenzur Durchführung vorOrt<br />
C.D.Bredl<br />
w9<br />
6. Präparieren Sie das „oben offene Rohr“ – der obere Gummistopfen soll ca. 1 cm Distanz von der<br />
Rohröffnung entfernt befestigt werden.<br />
• Bestimmen Sie Resonanzfrequenzν R und zugehöriges Gasvolumen V 0 mit eingesperrter Luft.<br />
Sammeln Sie 20 bis 30 Wertetripel(V 0 ,ν R , 1/ν 2 R ). Volumina V 0 sollen den Bereich von ungefähr<br />
65 cm 3 bis herab zu 15 cm 3 umfassen.<br />
• Bestimmen Sie in gleicher Art Resonanzfrequenzen und Volumina für Kohlendioxid und Argon<br />
als eingeschlossene Gase. Ihr Betreuer weist Sie in die Spülvorgänge beim Gaswechsel ein.<br />
• Protokollieren Sie den aktuell herrschenden Luftdruck sowie die Masse „Ihres“ Kolbens.<br />
Aufräumen: spülen Sie die Apparatur wieder mit Luft und verschließen sie (oberer Gummistopfen !).<br />
7. Auftragungen für jedes Gas auf eigenem Blatt:<br />
• Tragen Sie 1/ν 2 über das Volumen V 0 auf (oder V 0 gegenν −2 , falls Ihnen das besser gefällt).<br />
• Grenzen Sie ein (möglichst schmales) Gebiet ein, welches bei normalverteilten Messpunkten<br />
einem beidseitigenσ-Intervall für den Adiabatenkoeffizientκentspricht. Welche Gestalt hat<br />
dieses Gebiet bzw. wozu benötigen Sie den Koordinatenursprung ?<br />
Es ist zweckmäßig, diese Auftragungen auf transparenten Blättern mit deckungsgleichen Skalenteilungen<br />
zu erstellen: Jedes Gas wird unabhängig von den anderen „graphisch ausgewertet“. In<br />
Aufgabe 11 erfolgt der Vergleich durch Aufeinanderlegen. . .<br />
Verwendbar (aber heutzutage schwer erhältlich) ist transparentes Millimeterpapier. Alternativ tun’s<br />
zwei Blatt neutrales Transparentpapier 4 gemeinsam mit einem Blatt gewöhnlichem Millimeterpapier<br />
als Referenz (Achsen durchpausen!).<br />
8. Auswertung:<br />
• Passen Sie G an die aktuellen Gegebenheiten an: Der mittlere Druck p 0 des eingeschlossenen<br />
Gases ergibt sich aus dem äußeren Luftdruck und einem Beitrag des Kolbens.<br />
• Für jedes Gas berechnen Sie die Intervallgrenzenκ−σ bzw.κ+σ anhand der Gebiete aus<br />
Aufg. 7. Bestimmen Sie darausκundσ.<br />
• Erstellen Sie eine Tabelle mit Plätzen für die Zahlenwerte vonκ ,σ ,κ theo , f theo , f min , f max und<br />
(f theo + ˜f) . Werte für f min und f max bestimmen Sie ausκ±σ. Bestimmung von ˜f ist Thema der<br />
Aufgabe 10.<br />
• Ergänzen Sie die Graphen um Linien, welche den Erwartungenκ theo der Aufg. 1 entsprechen.<br />
• Versehen Sie jede Linie Ihrer Graphen mit der zugehörigen f -Angabe (pro Gas also drei Linien).<br />
9. Fehlerbetrachtung fürκ: Behandeln Sie folgende Fehler- und Störquellen getrennt voneinander:<br />
(a) Statistische Unsicherheiten sind abhängig von Experimentator und Tagesform. Als relative Fehler<br />
vonκanzugeben.<br />
(b) Systematische und bei allen Gasen gleichartig aufκwirkende (relative) Fehler anhand von Toleranzen<br />
in den Daten der Apparatur und ihres Umfeldes – einmalig zu quantifizieren.<br />
(c) Einfluss der Dämpfung – systematische Verschiebung vonκ(bei naiver Verwendung der Resonanzfrequenz),<br />
die bei Kenntnis vonδ vermeidbar wäre, siehe Hausaufgabe 5.<br />
• Wie wirkt sichδ auf das Verhältnisν 2 0 /ν2 R<br />
und damit aufκaus ?<br />
• Schätzen Sieδ ab: Nach Entfernen der Spule klingt die Amplitude der Schwingung in (grob)<br />
0.3 s auf den 1/e-fachen Ausgangswert ab. Im ungünstigsten Fall istν R ≈ 11 Hz.<br />
• Rückschau auf die Größe zuvor betrachteter Fehler. . .<br />
10. Fehlerbetrachtung und -Reparatur für Freiheitsgrade f mess :<br />
Der Einfluss der Behälterwandung (Kalorimeterkonstante ˜K) ist systematisch und reproduzierbar. An<br />
der Apparatur ist ˜K aber nicht angegeben. Sie sollen einen plausiblen Wert für ˜f (und damit auch für<br />
˜K) vorschlagen, übersichtlich tabellieren (vgl. Aufgabe 8) und visualisieren.<br />
4<br />
können Sie im Praktikum erwerben<br />
W9|Seite5von6|2013-10-22 5
• Geben Sie für jedes Gas ein „Toleranzintervall für Freiheitsgrade“ an. Die Intervallgrenzen f min<br />
und f max hatten Sie bereits in Aufgabe 8 berechnet.<br />
• Finden Sie nun heraus, ob sich die drei Freiheitsgrad-Erwartungen f theo mit einem vom Gas<br />
unabhängigen, weil Apparatur-verschuldeten Wert ˜f in Ihre experimentell begründeten Toleranzintervalle<br />
verschieben lassen. Es gibt eine Rangfolge für die Verlässlichkeit von f theo : Argon<br />
ist über alle Zweifel erhaben, Kohlendioxid steht besonders in Frage.<br />
• Erstellen Sie ein Balkendiagramm, das die f -Felder der Tabelle visualisiert – maßstabsgerecht auf<br />
dem Karopapier des Protokollheftes – mit horizontalen „Balken“, die vom linken Diagrammrand<br />
ausgehen: Pro Gas ein dünner Balken mit verdickter Kopfzone (von f min bis f max ). Ein weiterer<br />
dünner Balken soll insgesamt vier Markierungen tragen, nämlich für ˜f und ˜f+ ftheo (Gas) . 5<br />
11. Vergleichende Diskussion: Stellen Sie Ihre experimentellen Befunde für die drei Gasen den jeweiligen<br />
Erwartungen aus der Vorbereitung gegenüber. Diskutieren Sie abschließend hinsichtlich des<br />
in W+ dargelegten Szenarios: Eignet sich das Messverfahren (unbeschadet seiner offensichtlichen<br />
Fehlerquellen) dazu, im Rahmen des Grundstudiums den Übergang von klassischen zu quantenmechanischen<br />
Sichtweisen zu illustrieren?<br />
w9<br />
C.D.Bredl<br />
5<br />
Er repräsentiert also die um ˜f nach rechts verschobenen f theo -Werte.<br />
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