Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops

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Beugung an Spalt und Gitter,
Auflösungsvermögen des Mikroskops
1 Einleitung
Das Mikroskop ist in Medizin, Technik und Naturwissenschaft ein wichtiges Werkzeug um Informationen
über Objekte auf Mikrometerskala zu erhalten. Das Auflösungsvermögen des Mikroskops ist jedoch
nicht über die Wellenlänge des verwendeten Lichts hinaus steigerbar.
Der Praktikumsversuch soll dieses Phänomens verständlich machen und zeigen, wie die Auflösungsgrenze
des Mikroskops mit der Wellennatur des Lichts zusammenhängt.
2 Versuchsvorbereitung
Abbildung mit einer Sammellinse, Abbildungsgleichung und Vergrößerung, Bildweite, Gegenstandsweite, numerische
Apertur, Wellenlänge, Farbe, Kohärenzlänge, Interferenz, Huygen’sches Prinzip, Beugung am Einzelspalt,
Doppelspalt und Gitter
• Strahlenoptik: Konstruieren Sie das Bild an einer Sammellinse, skizzieren Sie den Strahlengang im
Mikroskop, Beantworten Sie die Frage zu Abb. 2.
• Wellenoptik: Skizzieren Sie die Beugung am Doppelspalt, wie hängt die Richtung zum ersten Beugungsmaximum
vom Abstand der Spalte und von der Wellenlänge des Lichts ab. Deuten Sie letzteres
für blaues und rotes Licht in ihrer Zeichnung an. Was ändert sich bei der Beugung am Einzelspalt?
Zeichnen Sie den Strahlengang vor dem Mikroskopobjektiv aus Abb. 6 und zeigen Sie, wie
man auf Gln. 2 kommt.
2.1 Geometrische Optik
Im Rahmen der geometrischen Optik wird die Ausbreitung von Licht durch Strahlen beschrieben, die
sich im Vakuum oder in Luft geradlinig ausbreiten. Trifft der Strahl auf ein Hindernis, kann er gebrochen,
reflektiert oder absorbiert werden. Die Brechung an einer sphärischen (Bi)konvexlinse führt dazu, dass
parallele Lichtstrahlen in einem Brennpunkt gebündelt werden wie in Abbildung 1 gezeigt. Der Abstand
dieses Brennpunktes von der Linse wird als Brennweite f bezeichnet.
Aus dieser Eigenschaft lässt sich, wie in Abbildung 2 gezeigt, die Abbildung eines Gegenstandes an einer
Linse konstruieren: Der obere der beiden eingezeichneten Strahlen verläuft parallel zur optischen Achse,
schneidet diese also im Brennpunkt. Der Mittelstrahl wird nicht abgelenkt. Um ein vergrößertes Bild zu
erreichen, muss der Gegenstand also zwischen ein und zwei Brennweiten von der Linse entfernt stehen.
Im Prinzip lässt sich mit einer einzelnen Linse eine beliebig hohe Vergrößerung erreichen. Allerdings
werden die Abmessungen eines solchen Aufbaus beliebig groß und das Bild lichtschwach, da sich das
vom Gegenstand ausgehende Licht auf ein großes Bild verteilt. Diese Probleme können durch die Kombinationen
von Linsen in Mikroskop oder Teleskop weitgehend vermieden werden. Allerdings ist die
Auflösung dieser Instrumente grundsätzlich durch die Welleneigenschaften des verwendeten Lichts begrenzt,
wie im folgenden Abschnitt dargestellt wird.
a) b)
f
optische
Achse
f
Abbildung 1: a) Brechung paralleler Lichstrahlen an einer Linse. b) Umkehrbarkeit des Strahlengangs in der
Optik.

2 Versuchsvorbereitung
a) -f f b) -f f
c) -2f -f f
d) -2f -f f
Gegenstand
Bild
Abbildung 2: Abbildung durch eine Linse: Entsteht bei a) ein Bild? Welche optische Instrumente verwenden
(Objektiv-)Linsen in der Anordnung a), c) bzw. d)?
2.2 Wellenoptik
Licht ist eine elektromagnetische Welle, seine Frequenz f bestimmt u. a. den Farbeindruck, den wir von
Gegenständen haben. Die Wellenlänge λ ergibt sich aus der Beziehung c = λ f (Welcher Wellenlängenbereich
ist für Menschen sichtbar? Woran erkennt man, dass die Frequenz und nicht die Wellenlänge für
den Farbeindruck enscheidend ist?) Um Intensitätsverteilungen auf sub-Mikrometerskala zu beschreiben,
müssen Welleneigenschaften berücksichtigt werden. Betrachten wir zwei Objekte im Abstand g,
z. B. die beiden Spalte in Abbildung 3, die von einem Mikroskop getrennt aufgelöst werden sollen: Wenn
die Ausdehnung der Objekten von der Größenordnung der Wellenlänge ist, wird ihre Struktur nicht aufgelöst
und sie streuen Licht annähernd isotrop in alle Richtungen. Hinter den beiden Objekten bildet sich
das dargestellte Wellenmuster aus.
Hinter den beiden Spalten ergeben sich Beugunsmaxima und -minima. Diese sind die Folge der Überlagerung
der Wellen, die von den beiden Spalten ausgehen. Je nach Gangunterschied ∆x können sich
diese gegenseitig verstärken (konstruktive Interferenz) oder abschwächen (destruktive Interferenz), wie
in Abbildung 4 gezeigt. Im Falle konstruktiver Interferenz treten Intensitätsmaxima auf, also dann, wenn
ein Maximum eines Wellenzuges auf ein Maximum des anderen Wellenzuges trifft.
Der Gangunterschied, der zwischen den Wellen aus dem Doppelspalt auftritt, ist in Abbildung 5 dargestellt.
Aus Vergleich zwischen Abbildung 4 und Abbildung 5 lässt sich die Bedingung für das Auftreten eines
Intensitätsmaximums hinter dem Doppelspalt bzw. Gitter ablesen:
tan θ ≈ sin θ = m·λ
g
(1)
Dabei sind θ der Beugungswinkel, m die Beugungsordnung, λ die Wellenlänge und g die Gitterkonstante.
2.
1.
0. Beugungsordnung
Lampe Linse Doppelspalt bzw. Gitter
Abbildung 3: Beugung an Doppelspalt bzw. Gitter im Huygensschen Modell

3
a)
b)
x = n·
x = (n+ )·
1
2
Abbildung 4: a) konstruktive und b) destruktive Interferenz zweier Wellenzüge
G
g
θ
x
x = g· sin( θ)
θ
Schirm
Abbildung 5: Gangunterschied ∆x zwischen den Wellenfronten aus den beiden Öffnungen eines Doppelspaltes
bzw. zwischen benachbarten Spalten eines Gitters
2.3 Auflösungsvermögen des Mikroskops
Nach Abbé stimmen Bild und Objekt nur dann genau überein, wenn alle Beugungsordnungen in das
Mikroskop gelangen, d.h. von der Obejektivlinse erfaßt werden. Ein Spalt zwischen Gitter und der
Objektivlinse gestattet im Experiment, Beugungsordnungen auszublenden. Normalerweise ist dieser
„Spalt“ durch die Fassung der Linse gegeben.
Je enger das Gitter wird, desto weiter liegen die Beugungsmaxima auseinander. Es gibt einen kleinsten
Abstand g der Gitterstriche, bei dem gerade noch zwei Beugungsbilder ins Mikroskop, d.h. den Bereich
der Linse L2, der von der Blende nicht abgedeckt wird, gelangen. Die Gitterstruktur ist dann gerade
Beugungsmaxima
in Linsenebene
Lampe und
Linse zur
Ausleuchtung
α
θ
m= 3
m= 2
m= 1
m=-1
m=-2
m=-3
Objektivlinse
m. Blende (Spalt)
Bild des
Gitters
(Zwischenbild
im
Mikroskop)
Abbildung 6: Strahlengang zur Beobachtung des Gitters mit einem Mikroskop und Erklärung der Abbé’schen
Theorie

4 Versuchsdurchführung
noch erkennbar. Damit ist die Auflösungsgrenze des Mikroskops erreicht. Im Nimmt man an, dass keine
Lochblende sondern eine Spaltblende an der Linsenfassung vorliegt, dann gilt für g:
g = λ
n sin α
(2)
g = kleinster Abstand zweier Objektpunkte P und Q, deren
Bilder P’ und Q’ noch getrennt erscheinen (hier
Gitterkonstante)
λ = Wellenlänge des zur Abbildung benutzten Lichtes im
Vakuum
λ/n = Wellenlänge des Lichtes im benutzten Medium (z.B.
Immersionsöl)
n = Brechzahl im Raum zwischen Objekt und Objektiv
2α = Winkel, unter dem ein Gitterpunkt die Objektivfassung
sieht (α = Öffnungswinkel)
n·sin α = numerische Apertur des Objektivs
3 Versuchsdurchführung
Versuchsmaterialien
Optikbank, Optikreiter, Schirm, Farbfilter
FL: Fadenlampe mit Irisblende inkl. Netzteil (Betriebsspannung: 12 V)
Hg: Quecksilberdampflampe inkl. Netzteil
S: Spalt (Durchmesser und Orientierung verstellbar)
L: Linse (Brennweite 50mm)
MO: Mikroskopobjektiv mit Millimeterskala
G: Gitter (engmaschig)
G’: Gitter (weitmaschig)
3.1 Beugung am Spalt
Achtung: Verwenden Sie für diesen Versuchsteil aussschließlich die Fadenlampe! Die Hg-Lampe emittiert
intensive, für das Auge schädliche UV-Strahlung. Schauen Sie niemals direkt in die Hg-Lampe!
Betrachten Sie die Lampe durch den Spalt S. Verringern Sie die Spaltbreite so weit, bis Sie ein Beugungsbild
beobachten können. Welche Bedingung muss die Spaltbreite hierfür erfüllen? Erscheint langwelliges
Licht (rot) oder kurzwelliges Licht (blau) unter einem größeren Beugungswinkel? Wird der Beugungswinkel
größer oder kleiner, wenn Sie die Spaltbreite geringfügig verringern? Notieren Sie die Beobachtungen
und Antworten im Protokollheft!
3.2 Bestimmung der Gitterkonstanten der Beugungsgitter
Bilden Sie den Glühfaden der Fadenlampe mit Hilfe der Linse stark vergrößert auf den Schirm ab. Wie
verläuft der Strahlengang, insbesondere zwischen Linse und Schirm?
Bringen Sie zuerst das weitmaschige Gitter G’ direkt nach der Linse in den Strahlengang. Bringen Sie
nach dem Gitter das Mikroskopobjektiv in den Strahlengang. Bilden Sie durch Variation der Position des
Schirms und des Mikroskopobjektivs das Gitter auf den Schirm ab. Bestimmen Sie mithilfe der Skala
des Mikroskopobjektivs Gitterkonstante und Linienzahl des Gitters G’ sowie im Anschluss die des feinmaschigen
Gitters G. Geben Sie die Gitterkonstante in µm an. Eine Einheit auf der Skala des Objektivs
FL
S
Abbildung 7: Aufbau zur Beobachtung des Beugungsmusters eines Einfachspalts

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FL L G (G‘) MO
Schirm
Abbildung 8: Aufbau zur Bestimmung der Gitterkonstanten von G und G’
entspricht einem Millimeter. Notieren Sie die Abstände zwischen Mikroskopobjektiv und Gitter bzw.
Schirm. Sollten Sie bei der Bestimmung der Gitterkonstante des feinmaschigen Gitters Probleme haben,
wechseln Sie die Lampe gegen die Hg-Lampe aus, setzen sie gleich den Spalt mit ein, den sie für den
nächsten Versuch benötigen und bilden sie den Spalt scharf auf den Schirm ab. Dazu vorübergehend
Gitter und Mikroskop aus dem Strahlengang entfernen.)
3.3 Bestimmung der charakteristischen Linien der Hg-Lampe
Bringen Sie den Spalt direkt vor der Hg-Lampe in den Strahlengang. Bilden Sie nun den Spalt mit Hilfe
der Linse stark vergrößert auf den Schirm ab. Achten Sie unbedingt darauf, dass der Spalt nicht „verbogen“
abgebildet wird! (Spalt, Lampe gerade stellen, Höhe der Linse über dem Tisch justieren!) Wie
verläuft der Strahlengang zwischen Linse und Schirm?
Bringen Sie nun das Gitter G direkt nach der Linse in den Strahlengang ein. Variieren Sie die Spaltbreite
bis das Beugungsbild des Gitters erkennbar ist. Skizzieren Sie Strahlengang und Beugungsbild! Wie
ändert sich das Beugungsbild, wenn Sie das Gitter entlang der optischen Achse verschieben?
Bestimmen Sie aus der gemessenen Gitterkonstante und dem Beugungswinkel, unter dem die jeweilige
Linie beobachtet wird, die Wellenlänge der gelben, grünen und blauen Spektrallinie von Quecksilber:
tan θ ≈ sin θ = m·λ
g
Dabei sind θ der Beugungswinkel, m die Beugungsordnung, λ die Wellenlänge und g die Gitterkonstante.
Messen Sie dazu die Abstände der jeweiligen Linie im m = ±1 und m = ±2 Beugungsmaximum von
der Position der nullten Beugungsordnung zu beiden Seiten. Bestimmen Sie aus den Messungen zum
ersten Maximum einen mittleren Abstand und daraus die Wellenlänge, danach aus den Messungen des
zweiten Maximums. Überlegen Sie sich, wie genau Sie die Position der Linien und den Abstand zwischen
Gitter und Schirm bestimmen konnten und schätzen Sie so den jeweiligen Fehler in der Wellenlänge ab.
Vergleichen Sie ihre Messwerte mit den Messwerten der anderen Gruppen und den tatsächlichen Werten
(Betreuer(in)) und notieren Sie, ob die Fehlerabschätzung die tatsächliche Abweichung der einzelnen
Messwerte erklärt.
3.4 Auflösungsvermögen des Mikroskops
Bringen Sie nun direkt hinter dem Gitter G einen weiteren Spalt in den Strahlengang ein. Achten Sie
darauf, dass dieser zum ersten Spalt parallel steht. Justieren Sie den 2. Spalt so, dass Sie auf seiner geschlossenen
Fläche die Beugungsmaxima sehen können und sicher sind dass beim Öffnen des Spaltes
als erstes das nullte Maximum durch den Spalt geht. Fügen Sie nun nach dem vollständig geöffneten 2.
Spalt das Mikroskopobjektiv in den Strahlengang ein und bilden Sie das Gitter - analog zu Abschnitt 3.2
(3)
Hg
S
L
G
θ
Schirm
Abbildung 9: Aufbau zur Vermessung der Spektrallinien von Quecksilber (Hg)

6 Versuchsdurchführung
Hg
S
L
G
S
MO
Schirm
Abbildung 10: Aufbau zur Bestimmung des Auflösungsvermögens
- auf den Schirm ab. Für die Justage können Sie sich an den in Abschnitt 3.2 bestimmten Abständen orientieren
und ggf. das weitmaschige Gitter G’ (anstelle von G) verwenden, für die weitere Durchführung
des Versuchs benötigen Sie aber das engmaschige Gitter G.
Verringern Sie nun die Breite des neu eingebrachten Spaltes und beobachten Sie, wie sich die Abbildung
der Gitterlinien verhält. Versichern Sie sich, dass das Gitter nur dann abgebildet wird, wenn mindestens
zwei Beugungsordnungen den Spalt passieren.
Notieren Sie in Ihrem Versuchsheft die Antworten auf die folgenden Fragen:
• Was muss ein Mikroskopobjektiv leisten, um eine möglichst hohe Auflösung zu ermöglichen?
• Welche Kenngröße des Objektivs beschreibt, wie viele Beugungsordnungen abgebildet werden können?
Wie eng muss dass Gitter sein, damit es - unabhängig von der verwendeten Linse - mit sichtbarem
Licht nicht mehr abgebildet werden kann?