Versuch Erzwungene Schwingung

Versuch Erzwungene Schwingung
erneuert aus Studiengebühren
Vorbereitung: Drehschwingung, Gedämpfte Schwingung, Erzwungene Schwingung,
Phasenraumdiagramme, Wirbelstrombremse
Literatur:
• Standard-Lehrbücher der Experimentalphysik, z.B. Gerthsen, Vogel:
Physik, Springer-Verlag
1 Vorbereitung
In diesem Versuch werden gedämpfte Schwingung, erzwungene Schwingungen
und Resonanzphänomene anhand von Drehschwingungen untersucht:
Beim Drehpendel (Kupferrad mit Trägheitsmoment J) wirken als Drehmomente
das rückstellende Drehmoment (erzeugt duch eine Schneckenfeder
mit Winkelrichtgröße D ∗ ) M r = −D ∗ ϕ (mit ϕ: Winkelauslenkung),
die Dämpfung M d = −k ˙ϕ und – im Fall der erzwungenen Schwingung –
ein äußeres periodisches Drehmoment M ext = M 0 cos ωt. Das resultierende
Drehmoment M res = M r + M d + M ext verursacht eine zeitliche Drehimpulsänderung
J ¨ϕ. Als resultierende Differentialgleichung für das Drehpendel
ergibt sich:
J ¨ϕ + k ˙ϕ + D ∗ ϕ = M 0 cos ωt
bzw.
¨ϕ + 2δ ˙ϕ + ω 2 0ϕ = A 0 cos ωt (1)
mit ω 0 = √ D ∗ /J Eigenfrequenz des ungedämpften Systems,
δ = k/(2J) Abklingkonstante,
A 0 = M 0 /J.
Freie gedämpfte Schwingung
Bearbeiten Sie folgende Aufgaben schriftlich in der Vorbereitung:
1. Lösen Sie Gleichung (1) für den Fall, dass kein äußeres Drehmoment
vorliegt (homogene Differentialgleichung) und diskutieren Sie die verschiedenen
auftretenden Fälle (Schwingfall, aperiodischer Grenzfall,
Kriechfall).
2. Zeigen Sie, dass für die Schwingungsdauer T folgender Zusammenhang
gilt:
T = √
1 −
T 0
(
T0 δ
2π
) 2
(2)
Dabei ist T 0 die Schwingungsdauer des ungedämpften Systems.
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Erzwungene Schwingung
Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1) nützt man die Tatsache,
dass ein schwingungsfähiges System nach einer gewissen Einschwingzeit
mit der Erregerfrequenz ω schwingt (nicht mit seiner Eigenfrequenz ω 0 ).
Man verwendet daher den Ansatz
ϕ(t) = ϕ a cos(ωt − β).
β ist dabei die Phasenverschiebung zwischen der Schwingung des Systems
und der äußeren Erregung, ϕ a ist die Amplitude der resultierenden Schwingung,
die von der Erregerfrequenz ω abhängt. Einsetzen in Gleichung (1)
liefert:
[(
ω0 2 − ω 2) ]
sinβ − 2δω cos β tan ωt = A (
0
− ω0 2 − ω 2) cos β−2δω sinβ (3)
ϕ a
Die linke Seite von Gleichung (3) ist zeitabhängig, während die rechte Seite
zeitunabhängig ist. Gleichung (3) kann also für beliebige Zeiten nur erfüllt
sein, wenn die Zeitabhängigkeit auf der linken Seite verschwindet, d.h. der
Inhalt der eckigen Klammer Null ist; damit muss auch die rechte Seite von
Gleichung (3) Null sein. Dies führt zu
tanβ =
2δω
ω 2 0 − ω2 (4)
sowie
ϕ a =
A 0
( ω
2
0 − ω 2) cos β + 2δω sinβ
1
Unter Verwendung von Gleichung (4), des Zusammenhangs
cos β = √ 1 + tan 2 β
sowie der Abkürzung ϕ 0 = ϕ a (ω = 0) = A 0
ergibt sich:
ω0
2
ϕ a =
ϕ 0
√ [ ( ) ] (5)
2 2 ( ) 2
1 − ω
ω 0
+ 2δ ω ω0
2
3. Leiten Sie die Gleichungen (3) und (5) schriftlich in der Vorbereitung
her.
Phasenraumkurven (nur für Physiker)
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen können nur in einer geringen Anzahl
von Ausnahmefällen analytisch gelöst werden. Es ist daher wichtig effiziente
Verfahren zu kennen, die eine qualitative Charakterisierung von Bewegungstypen
auch bei Abwesenheit geschlossener Lösungen erlauben. Qualitative
Untersuchungen mechanischer Bewegungen führt man zweckmäßigerweise
im sogenannten Phasenraum durch. Dabei wird der Impuls/Drehimpuls
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(oder Geschwindigkeit/Winkelgeschwindigkeit) über Ortskoordinate/Winkel
aufgetragen, und nicht über die Zeit wie in der üblichen Darstellung. Um
eine Bewegung analysieren und ein Phasenraumportrait erstellen zu können,
ist es nötig das zugrundeliegende Kraftgesetz bzw. die daraus resultierende
potentielle Energie abhängig von Ortskoordinate oder Winkel zu kennen.
Abbildung 1 gibt für ein vorgebenes Potential V(x) und verschiedene Energien
W i , die das System besitzt, die entsprechenden Phasenraumkurven.
In der Nähe des Minimums x 0 hat das Potential parabolischen Verlauf (es
Abbildung 1: a) Potential V(x); b) resultierendes Phasenraumportrait
liegt dann eine harmonische Schwingung vor), und die entsprechende Phasenraumkurve
ist eine Ellipse (Kurve zu W 1 ). Für höhere Energien (W 2 )
werden Abweichungen vom parabolischen Verlauf bemerkbar, die Phasenraumkurve
ist eine verzerrte Ellipse. Ist die Energie größer als V 1 (z.B. im
Fall W 4 ), ist die Bewegung nicht mehr gebunden und geht bis x → +∞.
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2 Versuchsbeschreibung
Das schwingende System ist ein leichtgelagertes Rad aus Kupfer, an dessen
Achse eine Schneckenfeder befestigt ist, welche das rücktreibende Drehmoment
liefert. Als Erreger der erzwungenen Schwingung dient ein kleiner
Gleichstromgetriebemotor, der ber einen Exzenter und einen Hebel die
Schneckenfeder in periodischer Folge zusammendrückt und auseinanderzieht.
Der Motor kann mit einer Gleichspannung bis max. 24V betrieben werden.
Die Stromaufnahme beträgt 0.5 A. Die Spannung wird dem Motor über ein
regelbares Netzgerät (Konstanter) zugeführt. Will man die Amplitude des
Erregers verstellen, so braucht man nur die Verschraubung der Schubstange
mit dem an der Feder befestigten Hebel zu lösen und die Schubstange in der
Führung des Hebels zu verschieben. Verschieben nach oben ergibt größere,
Verschieben nach unten kleinere Amplituden des Erregers. Die eigentliche
Dämpfung des schwingenden Systems wird durch einen Elektromagneten
bewirkt, zwischen dessen Polen das schwingende Rad läuft (Wirbelstrombremse).
Die Spulen des Magneten sind mit 1000 mA belastbar. Die dazu
nötige Gleichspannung wird aus einem Netzgerät geliefert. Die Bewegungen
des schwingenden Rades werden von einem Bewegungsmesswandler in
elektrische Impulse ungewandelt und am Rechner dargestellt.
3 Versuchsdurchführung
gedämpfte Schwingung
4. Nehmen Sie die Bewegung des frei schwingenden Rades auf (Programm
’erzschwingung’ im CASSYlab laden). Bestimmen Sie die Schwingungsdauer
T aus dem zeitlichen Abstand des n- und (n+10)-ten Maximums;
bestimmen Sie die Abklingkonstante δ durch Fit einer exponentiellen
Einhüllenden an den gemessenen Verlauf (rechte Maustaste: Anpassung
durchführen: Einhüllende e −x ). Schätzen Sie mit Hilfe von Gleichung
(2) ab, wie stark die gemessenen Schwingungsdauer T aufgrund
unvermeidbarer Reibung von der tatsächlichen freien Schwingungsdauer
T 0 abweicht.
5. Wiederholen Sie die Messung aus Aufgabe 4 (nur Bestimmung von δ)
für verschiedene Dämpfungen (I D = 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700
und 800 mA). Tragen Sie δ über den Dämpfungsstrom I D auf. Welchen
Verlauf erwarten Sie? Begründung!
erzwungene Schwingung
6. Bestimmen Sie für verschiedene Dämpfungen (I D = 200, 400 und 800
mA) die Amplitudenresonanzkurven: Verändern Sie dazu die Erreger-
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frequenz am Motor (mindestens 15 Messpunkte pro Kurve, im Bereich
der Resonanz in kleineren Schritten messen) und nehmen Sie
nach genügend langem Einschwingen jeweils die Schwingung mit dem
Rechner auf. Bestimmen Sie die Amplitude ϕ der Schwingung durch
Fit einer exponentiellen Einhüllenden wie oben; die Erregerfrequenz
ν wird aus der Schwingungsdauer T ermittelt (Bestimmung wie in
Aufgabe 4).
(a) Tragen Sie bei der Auswertung das Amplitudenverhältnis ϕ ϕ 0
über
ν
ν 0
auf, wobei ν 0 = 1 T 0
die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
ist. ϕ 0 muss als Grenzwert von ϕ für ν → 0 extrapoliert
werden.
(b) Zeichnen Sie die theoretisch erwarteten Amplitudenkurven (Gleichung
5) in die Diagramme mit Ihren Messwerten ein. Verwenden
Sie dazu die in Aufgabe 5 bestimmten Werte für δ, sowie das in
Aufgabe 4 bestimmte T 0 , um ω 0 zu berechnen.
(c) Skizzieren Sie qualitativ die Phasenverschiebung zwischen Erreger
und schwingendem System abhängig von der Erregerfrequenz
für zwei verschiedene Dämpfungen.
Phasenraumkurven (nur für Physiker)
7. Nehmen Sie für zwei verschieden gedämpfte Schwingungen (I D = 0
mA und I D = 400 mA) die Phasenraumkurven auf (Programm ’phasenkurve’
laden). Beschreiben Sie den Verlauf. Was erwarten Sie für
eine ungedämpfte harmonische Schwingung (Rechnung!)?
8. Nehmen Sie für eine erzwungene Schwingung (I D = 300 mA) in der
Nähe der Resonanz die Phasenraumkurven einmal nach dem Einschwingen
und einmal mit Einschwingvorgang auf. Beschreiben Sie
den Verlauf!
9. Bringen Sie am Rad des Drehpendels eine Zusatzmasse von 25 g an.
(a) Bestimmen Sie die neuen Gleichgewichtslagen. Wie wird die Eigenfrequenz
des Systems durch Anbringen des Gewichts verändert?
Skizzieren Sie die potentielle Energie des Systems abhängig von
der Auslenkung ϕ (qualitativ).
(b) Nehmen Sie mehrere Phasenraumkurven für erzwungene Schwingungen
(I D = 0 mA) in der Nähe der Resonanz (Spannung am Erregermotor
im Bereich 4.5 V - 5.5 V) und weit von der Resonanz
entfernt auf. Veranschaulichen Sie sich die beobachteten Fälle,
indem Sie für den Verlauf der potentiellen Energie in Teilaufgabe
a) ein Phasenraumportrait analog Abbildung 1 zeichnen.
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