Der eindim. harmonische Oszillator - Institut für Physik - Martin ...

Man beachte, dass man – obwohl kaum praktiziert – die Anfangswerte auch in die komplexe
Lösung (2) einsetzen kann. Die komplexen Konstanten A und B sind dann
A = 1 2 (x o + i v o
ω o
) ,
Wegen A + A ⋆ = x o und A − A ⋆ = i vo
ω o
(5).
B = A ⋆ = 1 2 (x o − i v o
ω o
) .
ergibt sich nach kurzer Rechnung wieder die Lösung
Wir ergänzen noch, dass eine dritte Löungsdarstellung existiert, wobei Amplitude a und
Phasenverschiebung φ o die 2 unabhängigen Konstanten sind.
Für die allgemeine Lösung der Dgl. (1) gibt es also 3 Darstellungen:
x(t) = Ae iωot + Be −iωot , B = A ⋆ komplex (6)
= c 1 cos (ω o t) + c 2 sin (ω o t) (7)
= a cos (ω o t − φ o ) . (8)
Die letzte Darstellung erhält man mit Hilfe des Additionstheorems:
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β ,
wobei offenbar gilt:
c 1 = a cos φ o , c 2 = a sin φ o . (9)
Man beachte, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist, denn es gilt: cos (−α) = cos α .
Wir geben noch ein Beipiel an und besprechen dabei auch den Energiesatz:
Gegeben sei eine harmonische Schwingung
x(t) = 4 cos (ω o t) + 3 sin (ω o t) .
Aufgabe: Berechnen Sie Amplitude und Phase dieser Schwingung und berechnen Sie die
mechanische Gesamtenergie !
Lösung: Wir verwenden (9) und finden
c 1 = a cos φ o = 4 , c 2 = a sin φ o = 3 .
Quadrieren bzw. Dividieren liefert a = 5 , tan φ o = 3/4.
Die Überlagerung einer Kosinus- und einer Sinus-Schwingung liefert also wieder eine harmonische
Schwingung, hier ein Kosinus mit der Amplitude a = 5 und einer Phasenverschiebung
φ o = 36, 9 Grad.
Die potentielle Energie des harmonischen Oszillators ist U(x) = k 2 x2 , wobei F (x) = −dU/dx
gelten muss. Die kinetische Energie des Oszillators ist T = m 2 ẋ2 . Der Energiesatz bilanziert
die Summe von potentieller und kinetischer Energie
m
2 ẋ2 + m 2 ω2 ox 2 = T + U = E . (10)
Da keine Reibungskräfte gegeben sind, ist die mechanische Energie eine Erhaltungsgrösse:
kinetische und potentielle Energie hängen von der Position x und der dortigen Geschwindigkeit
ẋ ab, die Summe beider ändert sich aber im Zuge der Bewegung nicht. Dies kann man