Der eindim. harmonische Oszillator - Institut für Physik - Martin ...

Dr. W. Seifert, Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Der eindimensionale harmonische Oszillator
Das lineare Kraftgesetz F (x) = −kx mit der Federkonstanten k liefert die Dgl. für den
harmonischen Oszillator
mẍ = −kx =⇒ ẍ + ωo 2 x = 0 mit ω o = √ k/m . (1)
Wird die Kreisfrequenz ω o als konstant angenommen, handelt es sich bei (1) um eine lineare
und homogene Dgl. mit konstanten Koeffizienten, die mit dem Exponentialansatz gelöst
werden kann. Der Ansatz x(t) = Ae λt liefert die charakteristische Gleichung
λ 2 + ωo 2 = 0
mit den imaginären Wurzeln
λ 1 = iω o , λ 2 = −iω o .
Damit ergibt sich als allgemeine Lösung der Dgl. (1)
x(t) = Ae iωot + Be −iωot . (2)
Man beachte, dass diese komplexe Darstellung der reellen Lösung x(t) nur gültig ist, wenn die
rechte Seite eine Summe von komplexer und konjugiert komplexer Funktion ist; dann erhält
man den doppelten Realteil dieser Funktion. Da die komplexen Exponetialfunktionen bereits
zueinander konjugiert komplex sind, fordern wir noch B = A ⋆ , verwenden im Folgenden die
Eulersche Formel
und erhalten mit ϕ = ω o t
e ±iϕ = cos ϕ ± i sin ϕ
x(t) = (A + A ⋆ ) cos (ω o t) + (A − A ⋆ ) i sin (ω o t) . (3)
Mit den komplexen Konstanten A = A r + iA i sowie B = A ⋆ = A r − iA i , die nur 2 reelle
Konstanten enthalten, ergibt sich schliesslich die reelle Darstellung der Lösung in der Form
x(t) = 2A r cos (ω o t) − 2A i sin (ω o t) =: c 1 cos (ω o t) + c 2 sin (ω o t) . (4)
Man beachte, dass die 2 freien Konstanten beliebig gewählt werden können; die letzte Variante
in Gl. (4) ist die gebräuchlichere.
Aus physikalischer Sicht ist weiterhin die Lösung des Anfangswertproblems (AWP) von Interesse.
Für Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0
x(0) = x o , ẋ(0) = v o .
erhält man die Konstanten c 1 = x o sowie c 2 = v o /ω o und damit die Lösung des AWP in der
bekannten Form
x(t) = x o cos (ω o t) + v o
ω o
sin (ω o t) . (5)

Man beachte, dass man – obwohl kaum praktiziert – die Anfangswerte auch in die komplexe
Lösung (2) einsetzen kann. Die komplexen Konstanten A und B sind dann
A = 1 2 (x o + i v o
ω o
) ,
Wegen A + A ⋆ = x o und A − A ⋆ = i vo
ω o
(5).
B = A ⋆ = 1 2 (x o − i v o
ω o
) .
ergibt sich nach kurzer Rechnung wieder die Lösung
Wir ergänzen noch, dass eine dritte Löungsdarstellung existiert, wobei Amplitude a und
Phasenverschiebung φ o die 2 unabhängigen Konstanten sind.
Für die allgemeine Lösung der Dgl. (1) gibt es also 3 Darstellungen:
x(t) = Ae iωot + Be −iωot , B = A ⋆ komplex (6)
= c 1 cos (ω o t) + c 2 sin (ω o t) (7)
= a cos (ω o t − φ o ) . (8)
Die letzte Darstellung erhält man mit Hilfe des Additionstheorems:
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β ,
wobei offenbar gilt:
c 1 = a cos φ o , c 2 = a sin φ o . (9)
Man beachte, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist, denn es gilt: cos (−α) = cos α .
Wir geben noch ein Beipiel an und besprechen dabei auch den Energiesatz:
Gegeben sei eine harmonische Schwingung
x(t) = 4 cos (ω o t) + 3 sin (ω o t) .
Aufgabe: Berechnen Sie Amplitude und Phase dieser Schwingung und berechnen Sie die
mechanische Gesamtenergie !
Lösung: Wir verwenden (9) und finden
c 1 = a cos φ o = 4 , c 2 = a sin φ o = 3 .
Quadrieren bzw. Dividieren liefert a = 5 , tan φ o = 3/4.
Die Überlagerung einer Kosinus- und einer Sinus-Schwingung liefert also wieder eine harmonische
Schwingung, hier ein Kosinus mit der Amplitude a = 5 und einer Phasenverschiebung
φ o = 36, 9 Grad.
Die potentielle Energie des harmonischen Oszillators ist U(x) = k 2 x2 , wobei F (x) = −dU/dx
gelten muss. Die kinetische Energie des Oszillators ist T = m 2 ẋ2 . Der Energiesatz bilanziert
die Summe von potentieller und kinetischer Energie
m
2 ẋ2 + m 2 ω2 ox 2 = T + U = E . (10)
Da keine Reibungskräfte gegeben sind, ist die mechanische Energie eine Erhaltungsgrösse:
kinetische und potentielle Energie hängen von der Position x und der dortigen Geschwindigkeit
ẋ ab, die Summe beider ändert sich aber im Zuge der Bewegung nicht. Dies kann man

eweisen durch Multiplikation der Dgl. (1) mit ·
x und Integration bzgl. t bzw. umgekehrt
durch Differenzieren des Energiesatzes (10) nach der Zeit!
Setzt man die Lösung x(t) = 5 cos (ω o t − ϕ 0 ) und ihre Zeitableitung in den Energiesatz (10)
ein, erhält man für unser Beispiel die konstante mechanische Energie
E = 25 2 mω2 o = const.
Hinweis zum gedämpften harmonischen Oszillator
Die Reibungskraft wird beim harmonischen Oszillator üblicherweise geschwindigkeitsproportional
(mit dem Reibungskoeffizienten r) angesetzt. Damit erhält man die Dgl.
mẍ = −kx − rẋ =⇒ ẍ + γẋ + ωo 2 x = 0 . (11)
Dabei wird als Vereinfachung γ = r/m angesetzt; mitunter findet man in der Literatur auch
r/m = 2γ. Werden γ und ω o als konstant angenommen, kann wieder der Exponentialansatz
verwendet werden, wobei die charakteristische Gleichung
λ 2 + γλ + ωo 2 = 0
für den Fall ω o > γ/2 (schwache Dämpfung) die folgenden komplexen Wurzeln liefert:
λ 1 = −γ/2 + iω, λ 2 = −γ/2 − iω mit ω = √ ωo 2 − γ 2 /4 .
Die weitere Rechnung ist analog zur obigen und liefert die 3 Lösungsdarstellungen
x(t) = Ae (−γ/2+iω)t + Be (−γ/2−iω)t , B = A ⋆ (12)
= e − γ 2 t (c 1 cos (ωt) + c 2 sin (ωt)) (13)
= ae − γ 2 t cos (ωt − φ o ) . (14)
Man beachte, dass sich für γ → 0 die Darstellungen des ungedämpften Oszillators ergeben,
und dass nur eine schwache Dämpfung mit der o.a. Bedingung ω o > γ/2 diese Lösung liefert.
Wichtig ist, dass ein gedämpftes System wegen ω < ω o immer langsamer schwingt als ein
ungedämpftes System. Die mechanische Energie ist hier keine Erhaltungsgrösse!
Weitere relle Lösungen ergeben sich für den aperiodischen Grenzfall (ω o = γ/2) sowie für den
Kriechfall ( ω o > γ/2); dazu sei auf Lehrbücher zur Theoretischen Mechanik verwiesen.