4. Übungsblatt (kond. Materie)

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Aufgabenblatt 4 (FKP) - Physik V - WS 2012/2013
Abgabetermin: 12.11.2012
Aufgabe 4.1 Allotropie von Eisen (20 Punkte)
Viele Materialien (z. B. SiO 2 , Schwefel, Zinn, Eisen) existieren in verschiedenen Kristallstrukturen. Dies
nennt man Polymorphie oder Allotropie. Allotrope Phasenumwandlungen können durch Druck- und/oder
Temperaturänderung erzwungen werden.
(a) Berechnen Sie die relative Änderung des Volumens einer Eisenprobe, die eine Umwandlung von einer
bcc-Struktur (α-Eisen) zu einer fcc-Struktur (γ-Eisen) erfährt. Nehmen Sie hierfür an, dass der Abstand
zwischen den nächsten Nachbarn unverändert bleibt. (Tatsächlich beobachtet man beim Phasenübergang
eine Volumenänderung von 1.1%.)
(b) Wie ändert sich die Zahl der nächsten Nachbarn und der übernächsten Nachbarn am Phasenübergang
von der bcc-Struktur hin zur fcc-Struktur?
Aufgabe 4.2 Reziproker Raum (20 Punkte)
Primitive Translationsvektoren eines bcc-Gitters sind ⃗a 1 = a 2 (−1, 1, 1), ⃗a 2 = a 2 (1, −1, 1) und ⃗a 3 =
a
2
(1, 1, −1). a ist hier die kubische Gitterkonstante des bcc-Gitters.
(a) Skizzieren Sie einen geeigneten Ausschnitt aus dem bcc-Gitter und zeichnen Sie obige primitive Translationsvektoren
mit ein.
(b) Berechnen Sie die primitiven Translationsvektoren des zugehörigen reziproken Gitters. Fertigen Sie
auch hier eine Skizze an.
(c) Nennen Sie eine experimentelle Methode, bei der das Konzept des reziproken Raums fundamental
zum Tragen kommt.
Aufgabe 4.3 Brillouinzone (20 Punkte)
Durch folgende primitive Translationsvektoren wird ein zweidimensionales Punktgitter definiert:
⃗a 1 = a ( )
2
und ⃗a
2 0
2 = a ( )
√3
1
.
2
Skizzieren Sie einen Ausschnitt aus diesem Gitter. Dieser Ausschnitt sollte etwa fünf Gitterpunkte in jede
Raumrichtung umfassen.
(a) Welche Symmetrien weist dieses Gitter auf?
(b) Zeichnen Sie eine Wigner-Seitz-Zelle in das Gitter ein.
(c) Berechnen Sie die primitiven Translationen des reziproken Gitters und skizzieren Sie einen Ausschnitt
des reziproken Gitters. Auch hier ist es zeichnerisch praktisch, fünf Gitterpunkte des reziproken Gitters
in jede Raumrichtung zu zeichnen.
(d) Konstruieren Sie die erste Brillouinzone!

Aufgabe 4.4 Röntgenbeugung (25 Punkte)
(a) Kristallines Kupfer hat ein fcc-Gitter. Jemand behauptet, er habe bei Röntgenstrukturuntersuchungen
den Reflex der (211)-Ebenen beobachtet. Die Indizes beziehen sich auf die kubische Elementarzelle.
Was halten Sie davon? Begründen Sie Ihre Antwort! Benutzen Sie für Ihre Rechnung eine kubische Elementarzelle
(Gitterkonstante a) mit vieratomiger Basis.
(b) Unter welchem Beugungswinkel beobachtet man den Reflex der (111)-Ebenen? Die Wellenlänge λ der
Strahlung sei 0,1 nm.
Aufgabe 4.5 Ewald-Konstruktion im Zweidimensionalen (15 Punkte)
In nachfolgender Abbildung sehen Sie einen Ausschnitt aus einem zweidimensionalen reziproken Gitter.
Ein einfallender Röntgenstrahl mit Wellenvektor ⃗ k 0 trifft auf den ebenfalls zweidimensionalen Kristall
im Realraum. Im reziproken Raum sieht dann die Situation beispielsweise 1 aus wie in der Abbildung
dargestellt. Führen Sie die Ewald-Konstruktion durch. Welcher Reflex ist möglich? Benennen Sie diesen
bezüglich der beiden angegebenen Translationsvektoren ⃗ b 1 und ⃗ b 2 !
Quickies (zur freien Diskussion in der Übungsgruppe)
• Welche Informationen erhält man aus der Elektronenbeugung an Einkristallen?
• Wie hängen das reale und das zugehörige reziproke Gitter zusammen?
• Welche Bedeutung haben die Brillouinzonengrenzen?
• Welche Bedeutung hat der Strukturfaktor?
• Wie untersucht man am besten die Kristallstruktur von Li 2 CuO 2 ?
1 Der reziproke Gitterpunkt, an dem die Pfeilspitze des einlaufenden Röntgenstrahls endet, ist willkürlich gewählt. Auf
die Streuung und deren mathematische Beschreibung hat das keinen Einfluss.