vmp о о ⋠= F о - Physik

Hintergrundinformation:
Herleitung eines Trägkeitsmoments am Beispiel der massiven Kugel:
Verfahren:
Integration eines Zylindersegments der Länge 2l
und der Dicke dr wird über r integriert.
Geometrie:
J
mges
R
=
2
∫ r dm → J = 2πρ ∫
0
0
2lr
3
dr
mit
dm = ρ ⋅2π
r ⋅ 2l⋅dr
und
l =
R
2
− r
2
Kugel mit Radius R.
J = 4πρ
R
∫
0
R
2
− r
2
3
⋅ r dr
Aus Formelsammlung:
R
∫
0
2 2 5/ 2
2
2 2 3 (R − r ) 2 (R − r
R − r ⋅ r dr =
− R
5
3
)
2 3/ 2
⎡
2
(R − r )
J = 4πρ⎢
⎣ 5
2 5/ 2
− R
2
2
2 3/ 2
(R − r )
3
⎤
⎥
⎦
r=
R
⎡
2
(R − r )
− 4πρ⎢
⎣ 5
2 5/ 2
− R
2
2
2 3/ 2
(R − r )
3
⎤
⎥
⎦
r=
0
5
2R
J = 4πρ
15
4π 3
m
mit Kugelvolumen V = R und ρ = folgt (m = Masse der Kugel)
3
V
J =
2 2
m R
5
Trägheitsmoment einer massiven Kugel