vmp о о ⋠= F о - Physik

Vergleich Translations- vs. Rotationsbewegung:
Translation: Masse m Impuls Energie
r r
Kraft F r p = m ⋅ v
1 2
E
kin
= mv
2
Kreisbewegung: Masse m Drehimpuls r
Energie
r r
(Massenpunkt)
L =
× p
1
r
E =
2
L = r ⋅ mv
tan
= m ⋅ r ω 2
r r
Tangentialkraft Ftan = m ⋅a tan
r r r
Drehmoment M =
× Ftan
r r
= m ⋅
× a
tan
2
kin
mv tan
Rotationsbewegung: Masse m Drehimpuls Energie
(ausgedehnter Körper)
r r r
L =
× p ??
r r r
Drehmoment M =
× F
Trägheitsmoment J
besser:
r r
L = J ⋅ω
E
Rot
1 2
= J ⋅ ω
2

Äquivalente physikalische Größen bei Translations- und Rotationsbewegungen:
Masse m ↔ Trägheitsmoment J
Ortskoordinate r
↔ Winkel ϕ r
r
r
r dr
r dϕ
Geschwindigkeit v = ↔ Winkelgeschwindigkeit ω =
dt
dt
2
d
Beschleunigung a
r r
2r
r d ϕ
= ↔ Winkelbeschleunigung α =
2
dt
dt
2
r r
r r r r
Impuls p = m ⋅ v ↔ Drehimpuls L =
× p = J ⋅ω
r r
r r r r
Kraft F = m ⋅a
↔ Drehmoment M =
× p = J ⋅ α
r
r
r
dp
r
F =
dL
M =
dt
dt
m 2
kinetische Energie Ekin
= ⋅ v ↔ Rotationsenergie
2
E
Rot
=
J
2
⋅ω
2

5.3 Trägheitsmoment
Definition des Trägheitsmoments J:
Für eine Masse ∆m im Abstand r
von der Drehachse:
J
= r
2
∆ m
r
L
= ∆mr
2
r
⋅ ω =
r
J ⋅ ω
Für n Massenelemente ∆m i
im Abstand r i
von der gemeinsamen Drehachse:
J
=
n
∑
i=
1
J
i
=
n
∑
i=
1
r
2
i
∆m
i
Für eine kontinuierliche Massenverteilung:
J
=
m ges
∫
0
r 2 dm
oder mit dm = ρ 0
dV und ρ 0
= konstante Dichte
V ges
∫
2
J = ρ0 r dV
0
Beachte:
Das Trägheitsmoment J ist immer bzgl. einer Drehachse definiert;
wird die Drehachse verändert, so ändert sich auch J.
Falls nicht anders angegeben, verlaufen die Drehachsen immer durch den Schwerpunkt.

Trägheitsmomente einiger spezieller Körper:
Kugel (massiv)
Hohlzylinder
Quader (massiv)
Vollzylinder

Hintergrundinformation:
Herleitung des Trägkeitsmoments am Beispiel eines massiven Zylinders:
Verfahren:
Zylindersegment der Höhe h und der Dicke dr wird über r integriert.
m
ges
2
3
J = ∫ r dm → J = 2πρ0h∫
r dr mit dm = ρ0
0
πρ h 4 R πρ0h
4
J =
0 r | R
0
=
2 2
R
0
⋅ 2π r ⋅ h ⋅dr
Geometrie:
Scheibe mit Radius R
und konstanter Dichte ρ 0
mit Zylindervolumen V
= R 2 π ⋅ h
m
und ρ 0
= folgt (m = Masse der Kugel)
V
m πh
J =
=
R πh
2
1
2
4
2
R mR
2
J =
1 2
m R
2
Trägheitsmoment eines massiven Zylinders

Hintergrundinformation:
Herleitung eines Trägkeitsmoments am Beispiel der massiven Kugel:
Verfahren:
Integration eines Zylindersegments der Länge 2l
und der Dicke dr wird über r integriert.
Geometrie:
J
mges
R
=
2
∫ r dm → J = 2πρ ∫
0
0
2lr
3
dr
mit
dm = ρ ⋅2π
r ⋅ 2l⋅dr
und
l =
R
2
− r
2
Kugel mit Radius R.
J = 4πρ
R
∫
0
R
2
− r
2
3
⋅ r dr
Aus Formelsammlung:
R
∫
0
2 2 5/ 2
2
2 2 3 (R − r ) 2 (R − r
R − r ⋅ r dr =
− R
5
3
)
2 3/ 2
⎡
2
(R − r )
J = 4πρ⎢
⎣ 5
2 5/ 2
− R
2
2
2 3/ 2
(R − r )
3
⎤
⎥
⎦
r=
R
⎡
2
(R − r )
− 4πρ⎢
⎣ 5
2 5/ 2
− R
2
2
2 3/ 2
(R − r )
3
⎤
⎥
⎦
r=
0
5
2R
J = 4πρ
15
4π 3
m
mit Kugelvolumen V = R und ρ = folgt (m = Masse der Kugel)
3
V
J =
2 2
m R
5
Trägheitsmoment einer massiven Kugel

Anmerkungen zum Trägheitsmoment
• Zusammengesetzte Körper auf gleicher Drehachse:
Das Trägheitsmoment zusammengesetzter Körper ist gleich der
Summe der Trägheitsmomente seiner Teile bezüglich der gleichen Drehachse.
Beispiel: Hantel, bestehend aus zwei Massen m am Ende der Stange (Länge r): J = 2mr 2
• Parallele Verlagerung einer Drehachse:
Jede parallele Verlagerung einer Schwerpunktsdrehachse führt
zu einer Erhöhung des Trägheitsmoments.
J S
: Drehachse geht durch Schwerpunkt S
J A
: Drehachse geht durch A (um a aus Schwerpunkt verschoben)
Es gilt der Satz von Steiner:
J A
= J S
+ m⋅a 2
(für Körper der Masse m)
• Freie Achsen:
Bei einer freien Rotation im Raum (keine Lagerung d. h. Zwangsführung einer Drehachse)
erfolgt die Rotation immer um den Schwerpunkt. Die Rotation erfolgt dabei um eine der drei
Hauptträgheitsachsen, bevorzugt um diejenige mit dem größten Trägheitsmoment.

Definition des Schwerpunkts r s
:
r
s
=
N
∑
k=
1
m
m
k
ges
r
k
und bei kontinuierlicher Massenverteilung (bei konstanter Dichte) in differentieller Form:
r
r s
1 r
1 r
= ∫∫∫ ρ⋅ r(x, y,z)dx dy dz =
ρ
∫∫∫ r(x, y,z)dx dydz
V
V
Gleichgewichtslage eines Körpers:
Abhängig vom Verhalten seines Schwerpunktes bei einer Bewegung
Gleichgewicht
der Schwerpunkt