Laborversuche zur Physik 1 I - Didaktik der Physik

FB Physik
Laborversuche zur Physik 1 I - 2
Reversionspendel
Reyher
Reversionspendel zur Messung der Erdbeschleunigung
Ziele
Kennenlernen des Reversionspendels, geduldiges und genaues Messen
Präzisionsmessung der Erdbeschleunigung
Erkennen der Bedeutung einer soliden Fehlerbetrachtung
1 Grundlagen
Als physikalisches Pendel bezeichnet man einen ausgedehnten Körper, der sich unter dem Einfluss
der Schwerkraft um eine horizontale Achse pendelt. Wenn Sie zum Beispiel eine Stricknadel quer
durch eine Salatgurke stechen und die Stricknadel horizontal lagern, so haben Sie ein physikalisches
Pendel gebaut. Es ist klar, dass dieses Pendel nur dann pendelt, wenn der Schwerpunkt unterhalb
der Drehachse liegt. Abb. (1) zeigt ein „Gurkenpendel“ und ein Fadenpendel zum Vergleich.
Da ein Fadenpendel wesentlich bekannter ist als
ein physikalisches Pendel und da bezüglich der
Unterschiede häufig Verwirrung besteht, sollen
hier in Kürze beide Pendel in Zusammenhang
gebracht werden.
Im Prinzip stellt auch ein Fadenpendel ein
physikalisches Pendel dar. Normalerweise vernachlässigt
man aber dort die Fadenmasse und
die Ausdehnung der Kugel. Das (fiktive) Gebilde
aus masselosem Faden und Massenpunkt
wird mathematisches Pendel genannt.
Bei diesem Pendel wird die Bewegungsgleichung
üblicherweise als dynamisches
Kräftegleichgewicht (D'Alembert) zwischen
Abbildung 1: Physikalisches Pendel und Fadenpendel.
Rückstellkraft beim Fadenpendel als Projektion der
Schwerkraft auf die Kreisbahn. Die krummlinige
Koordinate x ist über die Pendellänge l mit dem Winkel Φ
verknüpft. Man kann die gleiche Rückstellkraft für den
Schwerpunkt des physikalischen Pendels verwenden.
Rückstellkraft, tangential zur Kreisbahn, und entgegengesetzter Trägheitskraft angesetzt. Abb. (1)
I-2 Reversionspendel 28.09.2012 1

zeigt auch die bekannte Konstruktion zur Ermittlung der Rückstellkraft. Man arbeitet also wie im
linearen Fall (jedoch mit der krummlinigen Koordinate x), statt mit Drehmoment und Drehimpuls,
wie es bei einer Drehbewegung ansonsten üblich ist.
Man könnte nun versucht sein, das physikalische Pendel in einzelne Masseelemente dm i zu
zerlegen und für jedes dm i ein D'Alembertsches dynamisches Kräftegleichgewicht wie beim
Fadenpendel aufzustellen. Ein solcher Versuch führt jedoch nicht zum richtigen Ergebnis, da die
Massenelemente nicht unabhängig voneinander schwingen, sondern starr miteinander verbunden
sind. Dies führt zu weiteren Bedingungen, so genannten Zwangsbedingungen, für die Kräfte auf die
dm i , die aus der bloßen Forderung nach Kräftegleichgewicht nicht bestimmt werden können.
Derartige Probleme vermeidet man, wenn man mit den bei Drehbewegungen üblichen Größen
Trägheitsmoment, Drehmoment und Drehimpuls arbeitet.
Die schon in der Schule gängige, einfache Behandlung des Fadenpendels mit der Koordinate x
kann als „irreführend“ angesehen werden, weil dadurch das physikalische Pendel als (komplizierter)
Spezialfall erscheinen kann. Man sollte sich aber bewusst machen, dass man eher das Fadenpendel
als Spezialfall ansehen sollte, der angenehm einfach ist, da „komplizierte“ Größen wie das
Trägheitsmoment vermieden werden.
Man etabliert die Bewegungsgleichung eines physikalischen Pendels also in sinnvoller Weise durch
das „dynamische Drehmomentgleichgewicht“, rückstellendes Drehmoment M r entgegengesetzt
gleich Trägheitsdrehmoment M t ,
M r
=− M t
=− d dt L . (1)
Die letzte Gleichheit entspricht dem Drehimpulssatz. Alle Vektoren liegen parallel zur Drehachse,
sind also eindimensional, weshalb wir die Vektorpfeile weglassen können und nur die
Komponenten betrachten dürfen.
Man setzt nun links in Gl. (1) als rückstellendes Drehmoment M r
=M g sin (Φ) r S ein, mit M als
Gesamtmasse und r S als Abstand Drehachse-Schwerpunkt, und rechts L=I ˙Φ , mit I als
Trägheitsmoment bezüglich der vorgegebenen Achse. Damit ergibt sich mit der üblichen
Kleinwinkelnäherung sin (Φ )≈Φ die bekannte Bewegungsgleichung
M g r S
Φ=−I ¨Φ . (2)
Diese Gleichung hat die ebenso bekannte harmonische Lösung mit der Schwingungsperiode
I-2 Reversionspendel 2

Den Ausdruck
T =2 π
√
I
. (3)
M g r S
I
=L
M r red. nennt man reduzierte Pendellänge, da ein mathematisches Pendel
S
dieser Länge die gleiche Schwingungsdauer hat, nämlich T =2 π
√ L red.
g .
Zur Übung sollten Sie Gleichung (3) für ein Fadenpendel mit punktförmiger Masse anwenden. Sie
werden das bekannte einfache Ergebnis erhalten.
1.1 Reversionspendel
Ein Reversionspendel ist nichts anderes als ein physikalisches Pendel mit 2 Aufhängungsmöglichkeiten,
also 2 parallelen Drehachsen A und B , wobei der Schwerpunkt dazwischen liegt
(Abb. 2).
Abbildung 2: Reversionspendel = Physikalisches Pendel mit 2
Aufhängepunkten A und B, dessen Massenverteilung so verändert
werden kann (nicht gezeigt), dass T A =T B gilt. S ist der
dazwischen liegende Schwerpunkt. Die im Versuch verwendete
Bauform wird weiter unten dargestellt.
Reversion heißt so viel wie „Umkehr“, meist eines
Vorgangs oder eines Trends. Hier ist die physische
Umkehr des Pendels von Aufhängung A nach B
gemeint. Man kann durch Veränderung der
Massenverteilung auf dem Pendel bei festem Abstand
der Achsen A und B erreichen, dass die Perioden für
Aufhängung in A und B gleich sind. Aus dieser Periode
T =T A
=T B kann dann die Erdbeschleunigung g sehr
genau ermittelt werden.
In der angelsächsischen Literatur wird dieses Pendel „Kater's Pendulum“ genannt, manche meinen
aber, es sei von dem Tübinger Professor von Bohnenberger um 1800 erfunden worden. Mit dem
Reversionspendel wurde im 19. Jahrhundert g in vielen Erdteilen sehr genau gemessen. Im Internet
finden Sie sicher interessante Geschichten dazu
Wenn T =T A
=T B durch Massenverschiebung erreicht ist, so sind auch die dazugehörigen
reduzierten Pendellängen gleich, also
I-2 Reversionspendel 3

I A
A
M r A
= L red.
= L B red.
= I B
(4)
M r B
Man bemüht nun für beide Trägheitsmomente I A und I B den Steiner'schen Satz,
2
I A,B
=M r A,B
I S . (5)
Dabei ist I S das Trägheitsmoment bezüglich einer zu den Achsen A und B parallelen Achse durch
den Schwerpunkt (s. Lehrbuch). Dabei ist zu bedenken, dass I S sich bei Änderung der
Massenverteilung ebenfalls ändert. Aus den Gln. (4,5) folgt
und schließlich
I S
M r A2 r B
= I S
M r B2 r A
r B
−r A I S
−M r B
r A =0.
Eine Lösung dieser Gleichung, r A
=r B
= L 2
, kann man sofort deuten: Der Schwerpunkt liegt dann
in der Mitte zwischen den Achsen, weshalb die Trägheitsmomente I A und I B gleich sind (folgt
aus Gl. 5). Folglich liegt gleiche Schwingungsdauer vor, also eine triviale Lösung, mit der man aber
ohne detaillierte Kenntnis des Pendelaufbaus ( I S !) nichts anfangen kann. Bei dem verfügbaren
Pendel kann ohnehin der Schwerpunkt nicht in die Mitte geschoben werden.
Die zweite, interessantere Lösung entspricht der Bedingung I S
=M r B
r A oder
r B
=
I S
M r A
, oder auch r A
= I S
M r B
. (6)
Um diese Bedingung zu deuten, muss man ein wenig argumentieren: Laut Abb. (2) gilt für den
Abstand der Achsen L=r A
r B . Setzt man hier Gl. (6) ein, so erhält man
L= I M r 2
S A
, oder auch L= I M r 2
S B
.
M r A
M r B
Der Abstand L entspricht folglich für den Fall T A
=T B
=T genau der reduzierten Pendellänge.
Hat man T A
=T B
=T gefunden, so kann g berechnet werden gemäß
g=4 π 2 L
T 2 . (7)
Es existieren andere Argumentationen, von denen die in Bergmann-Schaefer, Bd. 1, vielleicht
eleganter als die hier präsentierte erscheinen mag.
I-2 Reversionspendel 4

Gleichung (7) ist wirklich prima, denn kein schreckliches Trägheitsmoment geht mehr ein. Sie
bildet die Basis der g-Messung mit dem Reversionspendel. Es muss „nur“ die Schwingungsdauer
ermittelt werden, die herrscht, wenn das Pendel um A und um B mit der gleichen Frequenz
schwingt. Dies kann mit hoher Genauigkeit erfolgen. Außerdem braucht man „nur“ noch den
Abstand der Achsen A und B zu bestimmen, was ebenfalls sehr präzise geschehen kann. Dabei sei
nochmals betont, dass dieser Abstand baulich eine fixe Größe ist. Die Gleichheit T A
=T B wird
durch Veränderung der Massenverteilung erreicht. Dies sehen wir am tatsächlichen Aufbau, der im
folgenden Abschnitt dargestellt wird.
2 Aufgaben und Hinweise
2.1 Beschreibung des Reversionspendels der Fa. Leybold
Abbildung 3: Skizze des im Versuch benutzten Reversionspendels. Die
Masse m Z ist im Versuch ortsfest, m L wird verschoben. Sie werden
also im Versuch die Koordinate x variieren, und damit auch r A . m L
ist kleiner als m Z .
Das Drehpendel besteht aus einer rechteckigen Stahlstange
(Querschnittsmaße a=0.6 cm ,b=1.6 cm ) der Länge
c=167 cm ), in die zwei Schneiden im Abstand L=99.39 cm
eingelassen sind. Zwischen den Schneiden, welche die Achsen A
und B bilden, befindet sich eine verschiebbare Masse m L , die
das sogenannte „Laufgewicht“ darstellt. Außerhalb der
Schneiden ist auf einer Seite eine Zusatzmasse m Z
m L in einem
festen, aber einstellbaren Abstand y zur Achse A angebracht
(Abb. 3).
Die Massen und Geometrien sind so gewählt, dass für beliebige
Positionen der Massen immer r A
L/2 gilt. Es kann gezeigt
werden, dass bei diesem Pendel die Bedingung nach Gl. (6) für
zwei Werte von x erfüllt werden kann 1 . Für die entsprechenden Positionen gilt x 1
≫ x 2 . Bei x 2
liegen beide Massen relativ dicht beisammen, weshalb ein kleineres Gesamtträgheitsmoment I s
vorliegt als bei x 1 . Daher schwingt das Pendel bei x 1 stabiler und wir messen nur bei dieser
Position, die zwischen dem aufgeklebten Maßband und der Schneide B liegt.
1 Dies folgt im Prinzip aus Gl. (6), ist aber recht mühsam zu zeigen, da I S über einige unbekannte, aufbaubedingte
Parameter mit x und daher mit r A zusammenhängt.
I-2 Reversionspendel 5

Verwechseln Sie nicht die beiden Aufhängungen. Wir wollen diejenige Position mit A bezeichnen,
bei der m z oben ist. Erfahrungsgemäß werden T A und T B ab und zu vertauscht notiert. Auch
deshalb sollen Sie während der Messung die Messpunkte grafisch darstellen, siehe unten.
2.2 Messung der Schwingungsdauer
Die Schwingungsdauer wird mit einer Lichtschranke gemessen, die an einem Datenerfassungsgerät
angeschlossen ist (Xplorer GLX der Firma Pasco, USA). Bei der Frage des Gerätes nach
angeschlossenem Sensor ist „Lichtschranke und Pendel“ („Photogate and Pendulum“) zu wählen.
Die Lichtschranke soll senkrecht zur Schwingungsebene justiert werden, sodass die kleinen
Holzstäbchen am Ende der Pendelstange dicht vor dem Empfänger des Lichts (kleine Bohrung)
vorbeischwingen.
Es empfiehlt sich, die Periode T als Funktion der Zeit als Grafik aufzuzeichnen. Sie können auf
diese Weise erkennen, dass sich T nach einigen 10 Sekunden häufig vom Anfangswert entfernt hat,
insbesondere wenn die Schwingung nicht gut angeworfen wurde oder bei zu großer Amplitude
(mehr als 1cm am Ende der Stange).
Kontrollieren Sie für eine gewisse Zeit (60, besser 90 Sekunden), ob die Periode stabil ist.
Anderenfalls müssen Sie erneut anwerfen. Bei stabilen T-Werten können Sie die Mittelungsfunktion
des Xplorer zur Feststellung des Endwertes verwenden.
2.3 Grobe Messung von T A und T B als Funktion von x.
Sicherheitshinweis: Beim Hantieren mit dem Pendel auf die scharfen Schneiden achten. Achten
Sie ebenso beim Drehen des Pendels auf Ihren Nachbarn, die Massen sind nicht unerheblich.
Geräteschonung: Die Qualität der Scheiden ist entscheidend für die Güte der Messung. Setzen Sie
das Pendel daher VORSICHTIG in das Schneidenlager ein. Durch Fallenlassen werden die
Schneiden beschädigt, obgleich sie aus gehärtetem Stahl sind.
Die runde Stange, die das Lager für die Schneiden des Pendels trägt, soll zunächst so gut es geht an
beiden Enden an der Wand fixiert sein. Prüfen Sie und ziehen Sie gegebenenfalls die Halterungen
fest an (Inbusschlüssel).
Überprüfen Sie nun den Abstand y des äußeren Gewichtes (Abb. 3), der etwa bei 10 cm liegen soll
(zulässige Grenzen 7< y< 15 cm ). Sie protokollieren natürlich auch y und halten es im weiteren
Versuchsverlauf fest!
I-2 Reversionspendel 6

Um die Positionen x 1 des Laufgewichts m L zu finden, bei der T A
=T B gilt, variiert man zunächst
x in groben Schritten von 2 cm und bestimmt T mit der Lichtschranke für möglichst kleine
Anfangsamplituden (weniger als 1 cm). Bei dieser Messung kann T A
x durchgemessen werden
und erst danach T B
x (statt bei jedem x-Wert das Pendel zu drehen und beide Zeiten abwechselnd
zu messen).
Verwenden Sie zum Einstellen der Anfangsamplituden und zum Loslassen einen Anschlag
(Plexiglaswinkel) und finden Sie heraus, wie klein die Amplitude sein darf, damit die Lichtschranke
noch richtig arbeitet. Die Messung von x geschieht mit dem auf der Stange aufgeklebten Maßband
und einem Lineal. Sie sollten sich dabei überlegen, in wie weit (a) der Absolutwert und (b) die
Genauigkeit der Einstellung von x von Bedeutung ist. Bitte teilen Sie diese Überlegung im
Protokoll mit.
Tragen Sie während der Messung (PFLICHT!) T A
x und T B
x in ein und dasselbe Diagramm
ein. Wenn Sie keinen PC benutzen, so müssen Sie als erstes die Extremwerte von beiden
Schwingungsdauern im angestrebten x-Bereich von 20-30cm ermitteln, damit Sie eine vernünftige
Skala verwenden können. (Wenn Sie mit PC arbeiten, so können Sie Ihr Diagramm im
Betreuerzimmer ausdrucken lassen.)
Sie sollten sowohl für T A
( x ) als auch für T B
( x ) einen leicht gekrümmten Kurvenverlauf finden.
Zeichnen Sie die Ausgleichskurven freihändig ein. Der Schnittpunkt liefert ungefähr die gesuchte
Zeit T =T A
=T B und damit auch die ungefähre Position x 1 .
Im folgenden Abschnitt wird es das Ziel sein, diesen Schnittpunkt möglichst genau zu ermitteln.
2.4 Präzisionsbestimmung von g
Variieren Sie im Bereich des Schnittpunkts die Position x von m L und messen Sie die
Schwingungsdauern. Dabei müssen Sie bei jedem eingestelltem x-Wert unbedingt beide Perioden T
nacheinander ermitteln, d. h., Sie müssen bei jedem x-Wert das Pendel einmal umdrehen. Dies
ergibt genauere Messungen als das bequemere Verfahren, zunächst T A
x für alle x und dann
T B
x zu ermitteln, erneut für alle x.
Es empfiehlt sich, zuerst bei einem Wert x links und bei einem zweiten rechts vom zuvor grob
ermittelten Schnittpunkt x 1 zu messen. Sodann führen Sie eine Intervallschachtelung durch. Dies
ist immer besser, als bei einem Wert zu starten und dann bei Mini-Schritten zum Ende der
Versuchszeit den Schnittpunkt immer noch nicht erreicht zu haben.
I-2 Reversionspendel 7

Überlegen Sie dabei, ob Sie die Zahl der Schwingungen erhöhen sollten, um eine bessere
Genauigkeit zu erhalten. Die Angaben des Xplorer bei der Mittelung sind dabei hilfreich.
Wenn Sie den Bereich um x 1 ausreichend eng gewählt haben, besteht das aus dieser Messung
resultierende Diagramm T A
( x ) und T B
x näherungsweise aus zwei Geraden, also
T A
( x )=S A
x+ B A und T B
( x)=S B
x+ B B . Auch hier ist während der Messung ein Diagramm
anzufertigen, das als Messprotokoll später abzugeben ist. Schreiben Sie Messwerte aber zusätzlich
in eine Tabelle.
Für T =T A
=T B erhält man in dieser linearen Näherung T = S A B B −S B B A
S A
−S B
. Durch lineare
Regression können also sowohl T als auch ΔT ermittelt werden, da die Regression ja auch ΔS und
ΔΒ liefert.
Berechnen Sie schließlich aus dem Schnittpunkt die Erdbeschleunigung g und geben Sie die
Fehlerschranke Δg an. Die Unsicherheit bei der Bestimmung von L schließen Sie bitte aus der
Genauigkeit, mit welcher der Wert für L oben angegeben worden ist.
Diskutieren Sie die Abweichung vom Literaturwert, der für das Laborgebäude bei 9.8127 m/s 2 liegt.
2.5 Näherung nach Bessel
Der gute Herr Bessel (bekannt von der Besselfunktion) hat sich ebenfalls mit dem Reversionspendel
auseinandergesetzt 2 und unter anderem eine Interpolationsformel für T angegeben, welche die
zeitraubende Ermittlung des Schnittpunktes überflüssig macht. Danach reicht es aus, T A und T B
für ein x in der Nähe des Schnittpunktes zu messen und zusätzlich den Abstand r A des
Schwerpunktes zur Schneide A zu ermitteln. Der Wert für T ergibt sich dann aus
T 2 = T 2 2
A+ T B
2
+ T 2 2
A−T B
L
2 ( 2r A −L) . (8)
Da g sich lokal relativ wenig ändert kann man folglich ein Reversionspendel mit festen Gewichten
bauen, für das im Labor, also für ein gewisses g, die Gleichheit T A
=T B
=T gilt. Außerdem kann
man im Labor r A mit großer Sorgfalt bestimmen. Will man g an einem anderen Ort messen, so
genügt dort eine möglichst genaue Messung von T A und T B . Entsprechende Pendel wurden früher
in der Geodäsie (Gravimetrie) verwendet, wobei Genauigkeiten von 10 −6 g bis 2⋅10 −4 g
interessant sind.
2 F. W. Bessel, „Untersuchungen über die Länge des einfachen Secundenpendels“, Abhandlungen der Königlichen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1826), zitiert und zusammengefasst von D. Candela, K. M. Martini, R. V.
Krotkov, K. H. Langley, American Journal of Physics 69 (2001) 714.
I-2 Reversionspendel 8

Aufgabe: Stellen Sie ein x in der Nähe des Schnittpunktes ein (siehe Ihre Grafik), bestimmen Sie
T A und T B sowie r A und benutzen Sie Gl. (8) um g erneut zu ermitteln. Genauigkeitsangabe und
Vergleich mit dem zuvor bestimmten Wert dürfen nicht fehlen.
r A kann durch Balancieren auf einer Schneide (ein senkrecht eingespanntes Blech) gemessen
werden. Die Fehleranalyse zeigt, dass Δr A nicht allzu kritisch ist.
2.6 Bestimmung von g bei weniger gut befestigtem Pendellager
Entfernen Sie die obere Wandbefestigung der runden Trägerstange und wiederholen Sie die letzte
Messung. Vergleichen Sie die Ergebnisse. Können Sie Abweichungen feststellen? Worauf könnten
diese ggf. zurückzuführen sein? Was lehrt das Ergebnis hinsichtlich der Messgenauigkeit eines
Experimentes?
I-2 Reversionspendel 9