Wahrscheinlichkeit II

Wahrscheinlichkeitstheorie II
S.Tomczyk@gmx.net

Ablauf
1. Kombinatorik
2. Verteilungsfunktionen
3. Standardfehler

Kombinatorik und WS
→ eigentlich nur in dem Maße relevant, in
dem es auf dem Formelblatt auftaucht!
(Bernoulli, Laplace, Binomialverteilung,
Theorem von Bayes(Bedingte WS))
ABER: Grundlegendes Verständnis hilft bei
weiterführenden Aufgaben!

A priori- oder Laplace-
Wahrscheinlichkeit(WS)
Wenn vor Durchführung eines Zufallsexperiments:
-
Alle möglichen Ereignisse bekannt sind
-
und jedes Ereignis mit der gleichen WS auftritt
dann kann die WS für das Auftreten eines Ereignisses
(A) im Vorhinein („a priori“) mittels der Formel von
Laplace geschätzt werden.
p ( A)
=
Relativer Anteil
der „günstigen Fälle“ an allen
möglichen Ereignissen.
N
n
A
gesamt

A posteriori oder Bernoulli-WS
In er psychologischen Forschungspraxis ist a priori
zumeist weder die Anzahl der möglichen Fälle bekannt, noch hat
jeder Fall die gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit (→ viele
psychologisch relevante Variablen sind normalverteilt).
Daher schätzt man die Häufigkeit des Auftretens von
Elementarereignis A im Nachhinein („a posteriori)“ nach sehr
vielen Durchgängen eines Zufallsexperiments mittels der Formel
von Bernoulli.
Grenzwert der relativen
Häufigkeit des Eintretens der
„günstigen Fälle“ bei sehr
häufigem Durchführen eines
Zufallsexperimentes.
π
(
A)
=
lim
N →
∞
n
A
N

Kombinatorik I

Kombinatorik II
Mit Reihenfolge(R), ohne Reihenfolge(oR), mit
Zurücklegen(Z), ohne Zurücklegen(oZ)

Kombinatorik kompakt
1. Variationsregel: R, Z, identische Teilräume(=
Auftretenswahrscheinlichkeit)
→ Würfelwurf (6^1 = 6 Möglichkeiten)
2. Variationsregel: R, Z, verschiedene Teilräume
→ Würfel + Münze; AB IV - Menüerstellung!
Permutationsregel: R, oZ, vollständige Ziehung
→ „Reise nach Jerusalem“
Bsp. 5! = 5*4*3*2*1 = 120
,

Kombinatorik kompakt
1.Kombinationsregel: R, oZ, teilweise Ziehung
→ 3 aus 12 Kugeln (12*11*10) [12! / 9!]
2.Kombinationsregel: oR, oZ, Binomialkoeffizient
= → Lotto: 6 aus 49
3.Kombinationsregel: oR, oZ, verschieden große
Teilgruppen
→

Verteilungsfunktionen

Was sind Verteilungsfunktionen?
Eine Verteilungsfunktion beschreibt die
Ereignisse eines Zufallsexperiments, bei dem
unendlich viele Elementarereignisse realisiert
werden können.
→ Die Skala einer
kontinuierlichen Variable
kann als Ereignisraum
mit unendlich vielen
möglichen
Elementarereignissen
verstanden werden.

Histogramm mit Verteilungsfunktion
Dies Kurve gibt an, wie die
Messwerte aussehen müssten,
damit das erhobene Merkmal in
der Stichprobe normalverteilt ist.

Nutzen von Verteilungsfunktionen
Verteilungsfunktionen erlauben:
...für beliebige Intervalle die Anzahl der im Bereich von x
liegenden Probanden zu bestimmen.
...Sie ermöglichen auch, die WS dafür zu berechnen, dass ein
einzelner Proband einen Messwert im Intervall x aufweist.
...Mathematisch benötige ich hierfür die Funktion der
Verteilungskurve der Messwerte meiner Stichprobe.
...Die Bestimmung der Anzahl meiner Probanden im
Messbereich x erfolgt mittels Integralrechnung.
In der Praxis brauchen wir keine Integrale, sondern lesen
unserer Ergebnisse aus Verteilungstabellen ab!

.30
.20
.10
d
Eine Verteilungsfunktionen
Beispiel: Wenn für eine Funktion f gilt:
25
∫ − ∞
dann ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert
von x ≤ 25 zu erzielen p = .20.
f
( x)
dx
=
0.2
Man kann die Wahrscheinlichkeit
für beliebige Wertebereiche
angeben, z.B.:
z.B. p(25 ≤ x ≤ 75) = 0.71
.00
x=25
x

Wir erinnern uns…
Rechtssteile Verteilung
Linkssteile Verteilung
AM Median
Modus
Modus Median AM
= Normalverteilung

Die Standardnormalverteilung
Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer
Streuung von 1 heißt Standardnormalverteilung.
Jede normalverteilte Variable kann einfach in eine Standardnormalverteilung
transformiert werden. Dafür muss für jeden
Wert einer Stichprobe folgende Formel angewandt werden:
x
neu
xalt
−
= zx
=
σ
Diese Transformation nennt man auch Standardisierung.
Die Standardisierung erlaubt uns auch, Untersuchungen des
gleichen Merkmals, die jedoch mit verschieden skalierten
Messinstrumenten durchgeführt wurden, zu vergleichen.
µ

Schätzung von Prozenträngen
Ein Prozentrang gibt an, wie viel Prozent der
Population Werte kleiner oder gleich einem
kritischen Wert haben.
Wenn man Mittelwert und Standardabweichung
eines Merkmals kennt, und dieses normalverteilt
ist, kann man den Prozentrang aus der z-
Verteilungstabelle ablesen.
Der z-Wert entspricht der Abweichung vom
Mittelwert in „Standardabweichungs-Einheiten“
(z.B. bei 1,5 Std.-Abweichungen über dem
Mittelwert z = 1.50).

Die Standardnormalverteilung
z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche
-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93
-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95
-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96
-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96
-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97
-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98
-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98
-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99
-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99
-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99
-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99
-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00
-1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 1.00
-1.70 0.04 -0.20 0.42 1.30 0.90 2.80 1.00
-1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 1.00

Die Standardnormalverteilung
Interpretation von z-Werten:
f(z)
2% 14% 68% 14% 2%
-2
-1
0 1 2
z

Beispiel
o Ein junger Japaner kommt neu in eine finnische
Schulklasse. Der Mathelehrer weiß, dass laut
PISA und Co. die japanischen und finnischen
Schüler fast identische mathematische
Fähigkeiten aufweisen. Der Lehrer möchte nun
ganz genau Wissen, wo der Schüler von seiner
Leistung her einzuordnen ist, Leider haben die
Japaner aber ein ganz anders Notensystem.
o Wie kann sich der Lehrer helfen, welche
Informationen muss er gegebenenfalls einholen
und welche Voraussetzungen sind zu beachten?

Ergebnis
Der Lehrer benötigt den Mittelwert, die
Standardabweichung aus Japan und die
individuelle Note des japanischen Schülers.
Damit kann er durch z-Transformation den
Prozentrang und somit die (zu erwartende)
Leistung des Japaners in seiner Klasse exakt
bestimmen.
Wenn die Schulleistung der Japaner nicht mit
der finnischen vergleichbar ist können wir das
Problem nur lösen wenn wir die
Leistungsunterschiede in z-Einheiten kennen;
etwa: Ein japanischer Schüler ist einem
gleichaltrigen finnischen Schüler im Mittel um
eine halbe SD überlegen.

z-Testlogik grafisch

Weitere Verteilungsformen
Diskrete vs. stetige Verteilungsfunktionen
Diskret: p für Siedler von Catan
Stetig: p für „Gauß“

Binomialverteilung
Aus Bernoulli-WS erzeugtes Ergebnis, das
komplementäre Ereignisse betrachtet:
Bsp. Kopf oder Zahl?
Klausurraten bei Multiple Choice

Binomialverteilung
[Sonderfall:Bernoulliverteilung(diskrete Zufallsverteilung
mit Ereignissen 0(q) und 1(1-q=p))]

Andere Verteilungen...
Poisson: Große Stichprobe(N), geringe WS(p)!
Hypergeometrisch: Begrenze Anzahl an Ereignissen, oZ
(Standard-)Normalverteilung: siehe oben

x² - Verteilung
→stat. bedeutsame
Häufigkeitsunterschiede!
Erwartungswert =
Freiheitsgrad

t- Verteilung
Mittelwertsunterschied
in zwei Gruppen/
Messzeitpunkten
df = N-1
df > 30 – eher z,
df = 120 - z-Verteilung

Verteilungsfunktion der t-
Verteilungen* (t-Tabelle).
t-Tabelle

Grafische Erläuterung I
Verteilungsfunktion der
Mittelwertsdifferenzen
Analog zu Stichprobenverteilungen und Verteilungen deskriptiver Kennwerte,
haben auch Mittelwertsdifferenzen eine Verteilung.
Als Normalverteilung ist diese definiert über einen Mittelwert (Mittelwert der
Mittelwertsdifferenz) und ein Abweichungsmaß (Standardfehler der
Mittelwertsdifferenz).
Damit können wir aus einer Normtabelle (t-Tabelle) für jeden Punkt der
Verteilung ablesen, welche Fläche unter der Kurve er repräsentiert.

Grafische Erläuterung II
Verteilungsfunktion der
Mittelwertsdifferenzen
Per Konvention ist für statistische Signifikanz die 95%-Grenze definiert.
Die Spalte p = 0.950 der t-Tabelle gibt euch also die kritischen Grenzen an, ab der
die Untersuchungseinheiten (Stichproben) mit 95% WS (→ Alphaniveau 5%) zu
verschiedenen Populationen gehören.
Diese Logik, haben wir schon bei der z-Transformation kennengelernt. Statt
Einzelwert und Stichprobe werden beim t-Test nun zwei Stichproben in Beziehung
gesetzt. Das Prinzip ist jedoch identisch.

t-Testlogik grafisch
x
Stichprobe 1 Stichprobe 2
x
Kritische Grenze der
Mittelwertsdifferenz

F-Verteilung
Kombination von
zwei x² - Funktionen
daher zwei df !
(Zähler/Nenner)
Varianzhomogenität
Varianzanalyse
zwei df (→ Tabelle)

F-Werte-Tabelle
Zwei df! → F(15, 6) = 3,94

Zusammenfassung

Stichprobenkennwerteverteilung
Der Standardfehler

Stichprobenkennwerteverteilungen
o Auch Stichprobenkennwerte wie der Mittelwert
haben eine Verteilung
o Diese ergibt sich, wenn man sehr oft (gegen
unendlich) aus einer Population Stichproben
zieht.
o Dies erzeugt wieder eine Normalverteilung: Viele
Stichproben nahe am wahren Wert, wenige viel
kleiner bzw. größer (zentraler Grenzwertsatz).
o Diese wird wie jede Normalverteilung durch
einen Mittelwert und ein Streuungsmaß
beschrieben.
o Für Stichprobenkennwerte bezeichnen wir diese
Maße als „Standardfehler“.

Standardfehler und ihre
Berechnung

Nutzen der Standardfehler
o Wir können Standardfehler direkt berechnen,
ohne dass wir mehrere Stichproben erheben
müssen.
o Der Standardfehler wiederum erlaubt uns eine
Schätzung darüber, mit welcher Sicherheit der
wahre Wert in einem Intervall um unseren
empirischen Wert liegt.
o Wir sprechen von einem Konfidenzintervall.
o Grundlage der Berechnung des
Konfidenzintervalls ist die Normalverteilung von
Stichprobenkennwerten.

Interpretation von z-Werten:
f(z)
2% 14% 68% 14% 2%
-2
-1
0 1 2
z

Wichtige Konfidenzintervalle

Beispiel 1
o Wie groß ist der Standardfehler des Mittelwerts
der Variable „alkohol“ (= Anzahl Gläser Alkohol
pro Woche) (M = 3.31;SD = 3.59, N = 58)?
o Wie groß ist das 95% Konfidenzintervall?

Beispiel 2
o Wie groß ist der Standardfehler des Medians der
Variable „alkohol“ (= Anzahl Gläser Alkohol pro
Woche) (Md = 2; SD = 3.59, N 58)?
o Wie groß ist das 95% Konfidenzintervall?

Beispiel 3
o Wie groß ist der Standardfehler der Standardabweichung
der Variable „alkohol“ (SD = 3.59, N
58)?
o Wie groß ist das 95% Konfidenzintervall?

Aufgabe 1
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts?
(a) Definieren sie den Begriff und
(b) geben Sie die entsprechende Formel an.
Der Standardfehler des Mittelwerts ist die
Standardabweichung der
Stichprobenkennwerteverteilung
des Mittelwerts.

Aufgabe 2
Was ist ein Konfidenzintervall?
(a) Definieren sie den Begriff und
(b) geben Sie die entsprechende Formel für
das 95%-Konfidenzintervall des Mittelwerts
an.
Das Konfidenzintervall(hier: Mutungsintervall)
gibt an, in welchem Bereich um den
Stichprobenkennwert sich der
Populationskennwert mit einer festgelegten
Wahrscheinlichkeit befindet.
Das 95%ige
Konfidenzintervall des
Mittelwerts ist:

Aufgabe 3
Berechnen Sie den
Standardfehler des Mittelwerts,
des Medians und der
Standardabweichung für die
in der Tabelle angegebene
Verteilung. Geben Sie für alle
Kennwerte auch das 95%-
Konfidenzintervall an.
Versuchspers
on
1 2
2 3
3 5
4 4
5 3
6 2
7 2
8 3
9 2
10 3
Wert

Aufgabe 4
Wert
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Häufigkeit
1
2
4
8
21
29
18
9
5
3
0
Berechnet für die
Zufriedenheit der
Freiburger Psychologie-
Bachelorstudenten den
Standardfehler des
Mittelwerts, des Medians
und der Standardabweichung.
Gebt für alle drei
Kennwerte das 99%-
Konfidenzintervall an.

Standardfehler für andere Kennwerte
Kennwert
Standardfehler
Geschätzter
Standardfehler
99% Konfidenzintervall: 2,57 Abweichungs-Einheiten Standardfehler für andere 1 25 ⋅σ
laut z-Tabelle. Kennwerte
x
1 25 ⋅σˆ
Median σ =
Md
Geschätzter σˆ =
Md
Kennwert
Standardfehler N
N
Standardfehler
2 2
Standardfehler Mittelwert: 0,172
1 25 σ ⋅σ σ
Geschätzter 1 25 σˆ
⋅σˆ σˆ
Arithmetisches Mittel x x
x
Kennwert
Standardfehler
x
Median σ σ = =
x x
x
σˆ σˆ = =
x
Mittelwert: 5,01
Md N Md
N N Standardfehler N N
Standardfehler Median: 0,215
1 25
σ
⋅σ
σˆ
2 x
2
x
1 25 ⋅σˆ x
Standardabweichung σσ
x
Median σ σ= = σ σˆσ
Md
σˆ σˆ = = σˆ
Arithmetisches Mittel x x
σ = = 2 Md
Median: 5
N
x x
σˆ = = 2 N
x
x
N N N N N
2 2
Standardabweichung (SD): 1,72
σ σ
x x
σˆ σˆ
x
σˆ
Arithmetisches Mittel σ = = x
Standardabweichung σσ = x
x
σˆ σˆσ = =
x
Standardfehler SD: 0,12
N 2 N N N 2 N N
σ
σˆ
x
x
Standardabweichung σσ = σˆσ =
99% Konfidenzintervall des Mittelwerts: 4,57 < µ < 5,452 N 2 N
99% Konfidenzintervall des Medians: 4,45 < MDpop < 5,55
99% Konfidenzintervall der SD: 1,41 < SDpop < 2,01
x

Aufgabe 5
Die Schulleistung in der Oberstufe in Bayern ist insgesamt
normalverteilt. Eine Verordnung des Schulministeriums fordert
die Lehrer auf, ihre besten Schüler der Bayerischen
Landesbegabtenförderung zu melden. Im Kleingedruckten
heißt es, Schüler mit einem Prozentrang von 99% oder größer
in Bezug auf die Variable Schulleistung, also die besten 1%,
sollten vorgeschlagen werden. Der Mittelwert der Schulnoten
liegt bei 8.8, die Standardabweichung bei 2.6 (Notensystem
0-15). Welche Note muss ein Schüler mindestens erreichen,
damit er hier in Frage kommt?
xalt
− µ
xneu
= z
x
=
σ
Nur mit 15 Punkten erreicht man
xalt
− 8,8
2,2 =
nach der z-Transformation einen
2,6
PR von 99.
...
x
=
14,52

Aufgabe 6
Ein Lehrer aus einer kleinen und sehr alternativen
Privatschule möchte gerne einen seiner Schüler für die
Förderung vorschlagen. Der Notendurchschnitt in seiner
Klasse beträgt 14.3, die Standardabweichung liegt bei
0.5. Welches Problem taucht hier aus eurer Sicht auf?
Die Leistung in dieser Klasse ist nicht annähernd
normalverteilt und damit nicht mit der durchschnittlichen
Schulleistung vergleichbar. Würde man die hier z-
Transformieren, so könnte auch mit einer Leistung von
15 Punkten kein PR von 99 erreicht werden.

Vorgehen beim t-Test
o
Grundfrage: Welcher Test ist geeignet?*
Synonym:
t-Test für
unabhängige
Stichproben

Weiteres Vorgehen
o Formulierung der Hypothesen (gerichtet oder
ungerichtet).
o Berechnung der Mittelwertsdifferenz und des
zugehörigen Standardfehlers.
→ empirischer t-Wert
o Vergleich von empirischem mit dem von den
Freiheitsgraden und Art der Hypothese
abhängigen kritischen t-Wert aus der t-Tabelle.
→ Entscheidung für H0 bzw. H1.

Verteilungsfunktion der t-
Verteilungen (t-Tabelle).
t-Tabelle

Z-Werte - Aufgabe
Ein Persönlichkeitstest hat
einen Mittelwert von 50 und
eine Standardabweichung
von 10.
Tragen Sie jeweils den
zugehörigen z-Wert, die
Wahrscheinlichkeit einen
Wert kleiner oder gleich x
zu erreichen, sowie den
zugehörigen Prozentrang in
die Tabelle ein.

Die Standardnormalverteilung
z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche
-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93
-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95
-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96
-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96
-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97
-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98
-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98
-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99
-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99
-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99
-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99
-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00
-1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 1.00
-1.70 0.04 -0.20 0.42 1.30 0.90 2.80 1.00
-1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 1.00

x z p PR
25 -2.5 .01 1%
55 0.5 .69 69%
40 -1 .16 16%
60 1 .84 84%
50 0 .5 50%
70 2 .98 98%
82 3.2 1 100%
45 -0.5 0.31 31%
51 0.1 0.54 54%

Vielen Dank für eure
Aufmerksamkeit!