Entkopplung nach Falb-Wolowich

PRIVATE ARBEIT, NICHT FÜR DAS DLR 1
Entkopplung nach Falb-Wolowich
Johannes Köppern
Deutsches Zenztum für Luft- und Raumfahrt e.V.
13. Juli 2008
Zusammenfassung—Dieser Artikel erklärt die Entkopplung
von Mehrgrößen(MIMO)-Systemen nach Falb-Wolowich. Änderung
der Führungsgröße eines Ausgangs wirkt nicht auf die
restlichen Ausgänge während der Transition des betreffenden
Ausgangs. Das Vorgehen der Argumentation entspricht der Vorlesung
Lohmann B., Moderne Methoden in der Ragelungstechnik 1
und ist in [1] ebenso vollzogen.
Index Terms—Entkopplung, Falb-Wolowich, Differenzordnung.
I. EINLEITUNG
BETRACHTET wird das lineare Mehrgrößensystem
ẋ = Ax + Bu,
y = Cx.
ohne Durchgriff und mit gleicher Zahl von Ein- und
Ausgängen, B ∈ R n×m , C ∈ R m×n . Ziel ist es, y einer
Führungsgröße w folgen zu lassen und dabei zu erreichen,
dass eine Änderung der i-ten Führungsgröße w i während der
Transition nur am i-ten Ausgang y i beobachtbar ist.
Die hier beschriebene Vorgehensweise ist auf lineare zeitvariante
und nicht-lineare Systeme erweiterbar.
Der Begriff der Differenzordnung wird benörigt und wird
dazu im nächsten Abschnitt eingeführt. Abschnitt III erklährt
die Vorgehensweise der Synthese eines entkoppelnden Reglers.
Die hergeleitete Vorgehensweise ist in Abschnitt IV zusammengefasst.
II. DIFFERENZORDNUNG
Jeder Ausgang y i besitzt eine Differenzordnung δ i . Die
einzelnen Differenzordnungen ergeben kumuliert die Gesamtdifferenzordnung
δ:
δ = ∑ δ i .
i
Die Differenzordnung δ i ist die erste Ableitung des Ausgangs
y i nach der Zeit, die eine Funktion im Eingang u ist 1 , δ i sei
größer 1:
y˙
i = c T i ẋ = cT i Ax + ⎫
cT i B u,
}{{}
=0
⎪⎬
(1)
.
(δ i−1)
⎪⎭
y i = c T i A(δi−1) x,
(δ i)
y i
= c T i A δi
x + c T i A (δi−1) B
} {{ } } {{ }
=:(c ∗ i )T
=:(d ∗ i )T u.
1 Die erste Ableitung nach der Zeit, auf die der Eingang u direkt wirkt.
III. REGLERENTWURF
Es wird der neue Ausgang y ∗ als Vektor der bis zur
Differenzordnung differenzierten Ausgänge definiert:
[ ] T
y ∗ (δ1)
:= y 1 , . . . , (δm)
y m .
Damit lassen sich die Gleichungen dieses neuen Systems als
mit
C ∗ =
⎡
⎢
⎣
ẋ = Ax + Bu, (2)
y = C ∗ x + D ∗ u (3)
⎤
(c ∗ 1) T
.
(c ∗ m) T
⎥
⎦ , D ∗ =
⎡
⎢
⎣
(d ∗ ⎤
1) T
⎥
. ⎦
(d ∗ m) T
schreiben. Besitzt die Matrix D ∗ vollen Rang, so können die
m Ausgänge gesteuert werden. Es kann jeder Ausgangsvektor
y ∈ R m in endlicher Zeit erreicht werden. Weiter kann das
Übertragungsverhalten u → y i als Differentialgleichung δ i -ter
Ordnung beschrieben werden. Die Argumentation hierzu ist
ähnlicher der des Stuer- und Beobachtbarkeitskriteriums nach
Kalman, s. u. a. [1].
Ziel der Reglersynthese ist es, einen Vorfilter F und eine
Matrix der Zustandsrückführung R zu finden, sodass jede
Regelgröße y i nur von der Führungsgröße w i beeinflusst wird.
Damit ergibt sich als Regelgesetz
u = −Rx + Fw.
Dieses Regelgesetz eingesetzt in die Ausgangsgleichung (3)
ergibt für den Ausgangsvektor y ∗ :
y ∗ = (C ∗ − D ∗ R) x + D ∗ Fw. (4)
Nun ist auch der Zustandsvektor x nach Gl. (2) ebenfalls eine
Funktion in u und damit durch das Regelgesetz in w. Es
wird in zwei Schritten erreicht, dass beide Summanden der
Gleichung (4) die Ausgänge entkoppeln.
Im neuen Ausgangsvektor y ∗ sind jeweils die δ i -ten Ableitungen
der jeweiligen Ausgänge zusammengefasst. Für jeden
Ausgang wird ein Übertragungsverhalten gefordert:
(δ i)
y i
δ∑
i−1
(j)
= − ν i,j y i + k i w i .
j=0
Somit ergibt sich für jeden Ausgang eine Übertragungsfunktion
G i (s):
y i =
k i
s δi + . . . + ν i,1 s + ν i,0
w i (5)

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a) Auslegung von F: Der i-te Ausgang soll keine Funktion
jeder, sondern nur der i-ten Führungsgröße sein. Dies
entspricht der Forderung an den zweiten Summanden der
Gleichung (4), aus der F bestimmt wird:
D ∗ Fw = diag {k i } w.
Da dies für jedes w gelten soll, genügt es,
D ∗ F = diag {k i } .
zu fordern. Damit ist die Vorfiltermatix mit
F = (D ∗ ) −1 diag {k i }
und die daraus resultierende Entkoppelbarkeitsbedingung
det D ∗ ≠ 0
gefunden. Da jede Übertragungsfunktion G i (s) die stationäre
Verstärkung 1 besitzen soll, muss
k i = ν i,0
gelten. Sind die Koeffizienten ν i,j mit dem nächsten Schritt
bestimmt, ist damit auch F vollends bekannt.
b) Synthese von R: Die Gesamtheit der durch (5) geforderten
Ausgangsdynamik kann kann in dem Vektor y ∗ soll
zusammengefasst werden und dieser mit dem in Gl. (4)
bestimmten Verhalten des vektorwertigen Ausgang gleichgesetzt
werden. Unter Verwendung des vorhergehenden Schritts
(D ∗ Fw = diag {k i } w) ergibt sich:
⎡
− ∑ ⎤
δ i−1
j=0 ν (j)
1,jy 1
⎢
⎣ . ⎥
− ∑ ⎦ = (C∗ − D ∗ R)x.
δ i−1 (j)
j=0 ν m,jy m
Die Ableitungen der Ausgänge sind nach Gleichung (1) als
Funktionen in x bekannt. Diese eingesetzt ergibt:
⎡
− ∑ δ i−1
j=0 ν ⎤
1,jc T 1 A j
⎢
⎥
⎣ .
− ∑ ⎦ x = (C∗ − D ∗ R)x.
δ i−1
j=0 ν m,jc T mA j
Diese Gleichung muss für alle x erfüllt sein und wird damit
zu ⎡
− ∑ δ i−1
j=0 ν ⎤
1,jc T 1 A j
⎢
⎥
⎣ .
− ∑ ⎦ = C∗ − D ∗ R.
δ i−1
j=0 ν m,jc T mA j
Somit ist ist die Matrix der Zustandsrückführung R, wieder
entkoppelbarkeit vorausgesetzt, durch
⎛ ⎡ ∑ δi−1
j=0 ν ⎞
1,jc T 1 A j
R = (D ∗ ) −1 ⎜
⎝ C∗ + ⎢
⎥⎟
⎣ . ⎦⎠
∑ δi−1
j=0 ν m,jc T mA j ⎤
bekannt.
Die Koeffizienten ν i,j plazieren die Pole der Übertragungsfunktionen
G i , also die Pole des geschlossenen und entkoppelten
Kreises. Es können insgesamt δ Koeffizienten ν i,j
gewählt werden, durch die jeweils ein Pol der geschlossenen
Strecke festgelegt wird. Damit können nur für Strecken voller
Differenzordnung δ = n alle Pole frei vorgegeben werden.
Durch die Koeffizienten ν i,j ist die gesamte am Ausgang
y beobachtbare Dynamik des Systems festgelegt. Weitere,
nicht beobachtbare Dynamik des Systems kann durch die
Entwurfsparameter ν i,j nicht beeinflusst werden. Unbeobachtbare
Eigenwerte werden von Nullstellen kompensiert. Die
Lage der nichtbeobachtbaren Eigenwerte kommen also auf den
Nullstellen der offenen Strecke zum liegen. Da die Strecken
G i : w → y keine Nullstellen besitzen, müssen alle Nullstellen
der offenen Strecke kompensiert worden sein. Der geschlossene
Kreis ist also dann intern stabil, wenn der offene Kreis
keine Nullstellen in der rechten komplexen Halbebene besitzt.
IV. ZUSAMMENFASUNG
Um eine Strecke nach Falb-Wolowich zu entkoppeln, wird
zunächst die Entkoppelbarkeitsbedingung
det D ∗ ≠ 0
überprüft. Ist das System entkoppelbar, gilt es F und R zu
bestimmen. Zunächst wird jeder Ausgang differenziert, bis
seine zeitliche Ableitung das erste Mal direkt eine Funktion
in u ist. Damit sind die Differenzordnung δ i , i = 1...m und
die Gesamtdifferenzordnung δ = ∑ δ i bekannt.
i
Nun kann für jeden Ausgang y i eine gewünschte Dynamik
durch eine Übertragungsfunktion
ν i,0
y i =
w i
s δi + . . . + ν i,1 s + ν i,0
vorgegeben werden. Damit sind die Koeffizienten ν i,j gewählt.
Aus ihnen und der Systemgleichung kann die Matrix der
Zustandsrückführung und der Vorfilter synthetisiert werden:
⎛ ⎡ ∑ δi−1
j=0 ν ⎞
1,jc T 1 A j
R = (D ∗ ) −1 ⎜
⎝ C∗ + ⎢
⎥⎟
⎣ . ⎦⎠ ,
Ich danke Franz und Clarissa.
∑ δi−1
j=0 ν m,jc T mA j ⎤
F = (D ∗ ) −1 diag {ν i,0 } .
V. DANK
LITERATUR
[1] Föllinger O., Regelungstechnik, 8., überarbeitete Auflage, Hüthig, 1994.