Inhalt der 1. Vorlesung

Simulation von elektromechanischen Systemen 

und 

Objektorientierte Modellierung mechatronischer Systeme 

Prof. Dr.-Ing. Martin Otter (DLR) 

1. Vorlesung 

Veranstaltet vom Lehrstuhl für Elektr. Antriebssysteme und Leistungselektronik (Prof. Kennel), TU München 

Dozent: Prof. M. Otter: Tel. 08153/28-2473, Martin.Otter@dlr.de, 

www.robotic.dlr.de/Martin.Otter/vorlesung.html 

M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 1. Vorlesung 1 

1. Vorlesungsübersicht 

2. Übersicht “objektorientierte Modellierung” 

3. Objektdiagramme 

Inhalt der 1. Vorlesung 

4. Modelica Bibliotheken 

Rechnerübung 

M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 1. Vorlesung 2

zwischen Gilching und Weßling 

Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) 

Institut für Robotik und Mechatronik 

www.robotic.dlr.de 


1. Vorlesungsübersicht 

Multidisziplinäre Modellierung und Simulation 

großer Systeme mit mechanischen, elektrischen, 

thermischen, strömungsmechanischen und 

regelungstechnischen Komponenten im Hinblick 

auf Hardware-in-the-Loop Simulation und 

„embedded control“. 

DLR Weltraumroboter 

(ROKVISS auf ISS) 

KUKA Industrieroboter 

Justin (mobile Plattform mit zwei DLR Leichtbaurobotern) 

KUKA/DLR Bewegungssimulator 

Fahrzeuggesamtmodell 

Echtzeitmodell flexibles Flugzeug 


Energy landscape (ABB/DLR): power plant + wind turbines + hydropower + 

distribution of electric power + consumers 


Beispiel: detailliertes Fahrzeugmodell (1) 

• Fahrzeugdynamik (3-dim. Mechanik) 

• Antriebsstrang (1-dim. Mechanik) 

• Hydraulik 

• Verbrennung 

• Klimaanlage 

(Thermofluid Systeme) 

• Elektrische/elektronische Systeme 

• Hierarchische Zustandsmaschinen 

• Regler (Ein/Ausgangsblöcke, ...) 

• ... 


Beispiel: detailliertes Fahrzeugmodell (2) 

courtesy DLR/Vires 

Modelica Gesamtfahrzeugmodell 

Verbrennungsmotor 

Automatik Getriebe 


kontinuierliche Systeme Theorie unstetige/strukturvariable Systeme 

Objektdiagramm 

Differential-algebraische Gleichungen (DAE) 

DAE und Zustandsform 

Konsistente Anfangswerte einer DAE 

Index einer DAE, singuläre DAEs 

Integrationsverfahren 

Vorlesungsübersicht 

Anwendungen 

Zeit- und Zustandsereignisse 

Synchronisierung von Ereignissen 

hierarchische Zustandsmaschinen 

viele ideale Schaltelemente 

Reel/Bool'sche Gleichungssysteme 

Modelica (Sprache) und Dymola (Programm) 

elektrische Systeme/Motoren, Antriebsstränge, 

3-dim. Mechanik, Wärmeleitung. 

Ein/Ausgangsblöcke 

Inverse Modelle für die Regelung 

Schaltende Elemente (Diode, Thyristor, Reibung, Kupplung, ...) 

Echtzeit-Anwendungen 


In der Vorlesung + Übung: 

Dymola (da modernstes multi-disziplinäres Simulationsprogramm). 

Oft: Modellierung komplexer Teile in Dymola -> Import in Simulink 

(Simulink ist weit verbreitet, sehr gut für regelungstechnische Aufgaben) 

Betreute Rechnerübungen mit Dymola finden im Raum 1903 statt. 

Hier gibt es 20 PCs an denen jeweils 2 Studenten arbeiten können. 

Übung nach der Vorlesung, betreut von mir. 

Studenten der Vorlesung erhalten die neueste Version Dymola 7.4 um die 

Rechnerübungen auch daheim bearbeiten zu können. Dies ist eine eingeschränkte 

Studentenversion (Dymola Student-Learn License). 

Diese wird aus Mitteln der Studienbeiträge bezahlt. 

Details werden in der ersten Vorlesungsstunde mitgeteilt. 

Voraussetzungen: 

Windows XP, Vista, 7 (kein Linux) 

Die Lizenz ist für ein Jahr gültig (nicht übertragbar, nur für Ausbildungszwecke). 


Vorlesungsunterlagen 

Werden als pdf-Files auf meiner DLR Web-Seite zur Verfügung gestellt 

(http://www.robotic.dlr.de/Martin.Otter/vorlesung.html) 

• Kopien der Vortragsfolien 

• Vorlesungsskript (pdf-File; weitere Version: Anfang Jan.) 

• Musterlösungen der Übungen + typische Prüfungsaufgaben (im Dez.) 

Bücher zur Vorlesung: 

• D. Schröder: Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. 

3. Auflage, Kapitel 21 von M. Otter, 

"Objektorientierte Modellierung von Antriebssystemen” S. 1049 - 1165, 

Springer Verlag 2009 (http://www.springer.de/, 140 €) 

• M. Tiller: Introduction to Physical Modeling with Modelica. 

Kluwer Academic Publisher, 2001, ca. 150 € 

(http://www.Dynasim.se/Tiller/BookInfoPage/) 

• P. Fritzson: Principles of Object Oriented Modeling and Simulation with 

Modelica. 940 Seiten, Wiley-IEEE press, Jan. 2005. 

ISBN 0-471-47163-1, ca. 55 € 

• F. Cellier, E. Kofman: Continuous System Simulation. 

Springer Verlag, Dez. 2005 (53,45 €). 


2. Übersicht “objektorientierte Modellierung” 

Warum Simulation in der Industrie? 

Qualität eines Produkts verbessern 

(schneller, sicherer, vibrationsärmer, ...). 

Herstellungskosten senken 

(mehr „Elektronik“, weniger „Mechanik“). 

Entwicklungs-Zeit und -Kosten verringern. 

(weniger reale Versuche, „first shot“ approach). 


Wie? 

Schnelles Ausprobieren verschiedener Varianten 

(z.B. bessere Reglerstruktur, Reglereinstellung). 

Test-Automatisierung 

(z.B. um neue Version eines Steuergeräts zu überprüfen) 

Entwurfsoptimierung 

(basierend auf Simulationen ermittelt ein Optimierer verbesserte 

Parameter). 

Fehler-Situationen überprüfen, die in realen Versuchen schwierig oder 

gefährlich sind. 

Ursachen von Fehlern im Produkt lokalisieren 

(z.B. warum vibriert das Teil zu stark?) 


Erstellung eines Gesamtmodells von einem Produkt inklusive 

Ermittlung der Modell-Parameter ist zeitaufwendig und teuer 

wird selten gemacht 

Oft besser: Hardware-in-the-Loop Simulation 

Meßgröße 

Hardware 

Simulation (Umgebung) 

Umgebung muß in „Echtzeit“ simuliert werden 

Stellgröße 


Beispiel: Antriebsstrang mit Automatikgetriebe 

(Simulation) 

Steuergerät 

(Hardware) 

Courtesy ZF Friedrichshafen 

Solldruck der Kupplungen 

+ Motor + Kupplung + 

KFZ-Längsmodell 


Vorteile der Hardware-in-the-Loop Simulation: 

Kein Modell der „Hardware“ notwendig bzw. 

„echte“ Hardware ist „bestes“ Modell. 

Verbesserung der Inbetriebnahme: 

Automatisierte Funktions- und Fehlertests der Hardware 

Schnelle Simulationen, d.h., es können viele Varianten durchprobiert 

werden (Online Tuning von Parametern, Online-Optimierung) 

aber: 

Schwierig Umgebung in „Echtzeit“zusimulieren. 

Beispiele: 


Umgebung (in Echtzeit zu simulieren) Echtzeit 

Elektrisches Leitungsnetz und Generatoren 

für Regeleinrichtung + Überwachung 

10 �s 

Bremse + KFZ-Mechanik für ABS-Regler 1 ms 

Automatikgetriebe für Ansteuerelektronik 5 ms 

Satellit für Lageregelungssystem 100 ms 

Verfahrenstechnische Prozesse 1 s - 1 h 

Durchdringung zweier Galaxien 10 6 Jahre 


Eingesetzte Hardware für die Echtzeit-Simulation. Zum Beispiel: 

dSPACE (http://www.dspace.de/) 

z.B. PowerPC, 1 GHz ("Overrun" möglich, viele Interfaces) 

MathWorks (http://www.mathworks.com/products/xpctarget) 

Echtzeit-Kernel auf zweitem PC (beliebiger PentiumPC) 

z.B. Intel 3 GHz 

SYSCON (http://www.syscongroup.de/) 

Real-time Linux auf zweitem PC (beliebiger Pentium PC) 

z.B. Intel 3 GHz (kostengünstig) 

CARTS Realtime Solutions GmbH (http://www.carts.de) 

VME-Bus Rechnerverbund + Ansteuerung über Windows PC 

(insbesondere geeignet für viele parallele Rechner; 

z.B. bei VW: 15 Rechner für Echtzeitmodell von Gesamtfahrzeug) 

Opal-RT (http://www.opal-rt.com/) 

Echtzeit-Kernel auf zweitem PC (Parallelrechner werden unterstützt) 

Man beachte, das Windows-Betriebssystem ist für Echtzeitanwendungen nicht geeignet! 


Model/Software-in-the-Loop Simulation 

Trend: 

Weg von Hardware-in-the-Loop Simulation, hin zu 

• Software-in-the-Loop 

Die Original C-Code Steuergeräte Software wird direkt im 

Simulationsmodell verwendet. 

• Model-in-the-Loop 

Die Steuergeräte-Software liegt als Simulationsmodell vor 

(z.B. Simulink Regler/Zustandsmaschine) und kann 

– direkt im Simulationsmodell verwendet werden 

– direkt zur C-Code Erzeugung der Steuergeräte-Software 

benutzt werden. 

Vorteile: • Viel früher im Entwicklungsprozess einsetzbar 

(z.B. Steuergeräte Hardware muss noch nicht verfügbar sein) 

• Kostengünstiger 


Modellierung mechatronischer Systeme erfordert: 

Mechanik (Antriebsstränge, 3D-Mechanik) 

Elektrotechnik (Motoren, Leistungselektronik, ...) 

Hydraulik (Pumpen, Zylinder, ...) 

Thermodynamik (Wärmeübertragung, ...) 

Strömungsmechanik (Kühlsysteme, Klimaanlage, ...) 

Regelungstechnik (Blockschaltbilder) 

Steuerungstechnik (hierarchische Zustandsmaschinen) 

... 

Objektorientierte Modellierung 

Alles in einer Umgebung mit einer Sprache 

keine Spezialsoftware für ein Fachgebiet 


Objektorientierte Modellierung 

(im Sinne von Komponenten/Geräte-orientierte Modellierung) 

Neu Technik zur multidisziplinären Modellierung komplexer Systeme. 

1978 von Hilding Elmqvist am Lund Institute of Technology, 

Department of Automatic Control, Lund Schweden, entwickelt. 

Seit 1992 eigene Firma (Dynasim) zur Weiterentwicklung von Dymola. 

Weitere Entwicklungen seit 1990 von Forschungsgruppen 

(Lund Institute of Technology, Royal Institute of Technology Stockholm, 

Gaz de France Paris, Imperial College London, GMD Berlin, DLR, ...) 

• Transformations-Algorithmen 

• Modellierungssprachen 

• Modell-Bibliotheken 

• Anwendungen 

Modelica Initiative 1996: 

Verbesserung und Standardisierung der objekt-orientierten 

Modellierungssprachen und Bibliotheken 


Ziel von Modelica: 

Verhaltensmodellierung technischer Systeme 

die aus mechanischen, elektrischen, thermischen, 

hydraulischen, pneumatischen, regelungstechnischen 

und anderen Komponenten bestehen. 

Modelle werden durch 

Differentialgleichungen, 

algebraische, und diskrete Gleichungen 

beschrieben. 

Keine (direkte) Beschreibung von partiellen Differentialgleichungen, d.h., 

kein FEM (finite element method) und 

kein CFD (computational fluid dynamics). 

Ergebnisse von z.B. FEM können aber genutzt werden. 

Einfach diskretisierbare partielle Differentialgleichungen können in 

Modelica beschrieben werden (z.B. 1-dim. finite Volumen-Methode) 


Modelica und die Modelica Association 

http://www.Modelica.org 

• Modelica ist eine freie Modellierungssprache und wird von der (non-profit) 

Modelica Association seit 1996 entwickelt 

2000: Erste Anwendungen 

2005: Modelica 2.2 



2010: Modelica 3.2 (aktuell) 

50. Design Meeting in Wien, Sept. 2006 

• Modelica Modelle werden mathematisch durch Differentialgleichungen, 

algebraische und diskrete Gleichungen beschrieben. 

• Die Modelica Association entwickelt auch die größte freie Bibliothek für 

multi-disziplinäre Modelle (Modelica Standard Library) 

• Alle Infos unter www.Modelica.org 

(Sprach-Spezifikation, Simulationsumgebungen, freie Bibliotheken, Papers, ...) 

• Weit verbreitet z.B. in Fahrzeugindustrie (BMW, Daimler, Toyota, Ford, ...) 


Modelica-Sprache und Modelica Simulations-Umgebungen 

Graphischer Editor 

für Modelica Modelle 

Textuelle Beschreibung 

auf File (Gleichungen, 

"schematic", Animation) 

Übersetzung von Modelica 

Modellen in C-Code, 

Simulation, und 

interaktives Scripting 

(plot, freq. resp., ...) 

Modelica Simulations- 

Umgebung (z.B. Dymola) 

Freie Modelica-Sprache 

Modelica Simulations- 

Umgebung (z.B. Dymola) 


Modelica Simulations-Umgebungen 

Kommerzielle Modelica Umgebungen 

CATIA Systems von Dassault Systèmes (Dymola mit PLM Integration) 

Dymola von Dynasim, Schweden (2006 von Dassault Systèmes aufgekauft). 

SimulationX von ITI GmbH, Dresden, BRD 

MapleSim von Maplesoft, Waterloo, Kanada 

MathModelica von MathCore AB, Schweden. 

AMESim von Imagine, Frankreich (in Entwicklung). 

AMESim wurde 2007 von LMS International aufgekauft. 

Freie Modelica Umgebungen 

OpenModelica von Linköping Universität, Schweden 

(in Entwicklung, Untermenge von Modelica verfügbar) 

SCICOS von INRIA, Frankreich 

(in Entwicklung, Untermenge von Modelica verfügbar). 


Verbindung 

Schnittstelle 

3. Objektdiagramme 

Komponente 

• Jedes Icon repräsentiert eine physikalische Komponente. 

z.B. elektrischer Widerstand, mechanisches Getriebe, Pumpe 

• Die Verbindungslinien repräsentieren die aktuelle 

physikalische Verbindung. Z.B. elektrisches Kabel, 

starre mechanische Verbindung, Wärmefluß. 

• Eine Komponente besteht aus verbundenen Sub-Komponenten 

(= hierarchische Struktur) und/oder wird durch Gleichungen beschrieben. 

• Mit symbolischen Algorithmen, wird die "high level" Modelica Beschreibung 

in die Zustandsform transformiert (dx/dt = f(x, t)) 

Graphics editing tools 

Package browser 

Component browser 


Drag & drop Modellierung mit Dymola 

Drag and drop 

Diagram layer 


Übersetzung (Modelica → C → Object-code) + Simulation + Plots 

Plot selection 

Change initial 

condition 

Change parameter 

Export nach Simulink 


Modelica-Modelle, die Ein- und Ausgangssignale besitzen, können mit Dymola 

in Simulink in Form eines S-Function C-Mex Files einfach eingebunden 

werden (Simulink Export-Lizenz): 

in Dymola 

in SIMULINK 


model Resistor 

extends OnePort; 

parameter Real R; 

equation 

v = R*i; 

end Resistor; 

Beispiel: Industrie-Roboter (DLR, Dynasim, KUKA) 

(von Modelica.Mechanics.MultiBody.Examples.Systems.RobotR3.fullRobot) 

1000 nichttriviale algebraische Gleichungen, 80 Zustände. 

mit “Mixed-Mode Integration”: 

schneller als Echtzeit auf 650 Mhz PC. 


Beispiel: Hardware-in-the-Loop Simulation von Automatikgetrieben 

(verschiedene KFZ Hersteller) 

Steuergerät 

(Hardware) 

(Simulation) 

gewünschter Druck 

Courtesy ZF Friedrichshafen 

+ Fahrer + Motor + Wandler + 

1D Fahrzeugdynamik 


3D-Mechanik 

(60 Gelenke, 70 Körper) 

Motor (Verbrennung) 

Beispiel: Grosses, detailliertes Fahrzeugmodell 

(Ford, Dynasim, DLR; SAE paper 2001-01-0334) 

Antriebsstrang 

(Automatik-Getriebe) 

• 25000 nichttriviale algebraische 

Gleichungen 

• 320 Zustände 

Hydraulik 


Beispiel: Autopilot zum automatischen Landen 

(EU-Projekt REAL: Airbus, Delft University, DLR, NLR, ONERA) 

• Entwicklung einer Technologie um 

Autopiloten schneller zu entwerfen 

• Regler enthält im Kern ein 

nichtlineares Flugzeug-Dynamik 

Modell als inverses Modell. 

Eingänge sind 

gegeben 

Modell 

Flugzeugmodell 

Flugzeugmodell 

Eingänge 

werden berechnet 

Inverses Modell 

Ausgänge werden 

berechnet 

Ausgänge sind 

gegeben 

Dymola Modell ist Teil des Reglers 

6 Flugtests mit ATTAS 

(Forschungsflugzeug von DLR) 


Benutzung von "inversen" nichtlinearen Modellen 

Details siehe (wird auch in der Vorlesung besprochen): 

www.modelica.org/events/Conference2005/online_proceedings/Session3/Session3c3.pdf 

y c,d(t) 

reference 

model 

controller 

(p) 

y cr,d,y cr,d..,y cr,d 

inverse 

plant model 

y m,d 

yc,d controller 

feedback inverse u 

controller plant model 

Controller 

- 


e 

feedback 

controller 

u c 

u d 

u 

plant 

Example:inverse model in feedforward path 

plant 

y m 

Example: inverse model in feedback path 

Beispiel: Fahrzeug Klimaanlage 

(Modelon; Einsatz u.a. bei allen deutschen KFZ Firmen) 

Accumulator 

Expansion 

valve 

Evaporator 

Condenser 

Sensor 

Compressor 

Pipe 

courtesy Modelon AB 


y c 

y m

4. Verfügbare Modelica Bibliotheken 

aktuellste Versionen unter www.Modelica.org/libraries 

Library „Modelica“istdie 

Modelica Standard Library 

die von der Modelica Association entwickelt wird. 

Sie ist frei im Quelltext verfügbar und kann modifiziert und 

in kommerziellen Programmen eingesetzt werden. 

Alle 6 .. 12 Monate gibt es eine verbesserte Version. 

In Dymola 7.4: Version 3.1 von Aug. 2009: 

920 models and blocks 

620 functions 

1450 packages (vor allem Media Definitionen) 

Neue Version Ende Oktober 2010 (benötigt Dymola 7.5) 

mit 1280 models and blocks + 910 functions; 

enthält u.a. neue Subbibliothek “Spice3”. 


Library Modelica: Elektrische und magnetische Unterbibliotheken 

Analoge elektrische und elektronische Komponenten, wie 

resistor, capacitor, transformers, diodes, transistors, transmission 

lines, switches, sources, sensors. 

Digitale elektrische Komponenten basierend auf VHDL 

Standard, wie basic logic blocks with 9-value logic, delays, 

gates, sources, converters between 2-, 3-, 4-, and 9-valued logic. 

Elektrische Maschinen 

(asynchronous-, synchronous-, DC-motors and generators) 

Elektro-magnetische Komponenten 

"lumped" magnetische Netzwerke, mag. Quellen, 

Sensoren, Wandler, magnetische Materialen. 


Library Modelica: Fluid und Media-Unterbibliotheken 

Dichte als Funktion von Druck und Enthalpy (für Wasser) 

Große Media Bibliothek mit 

- 1240 Gasen und Gasgemischen. 

- Tabellen-basierte Media (h = h(T), etc.) 

- sehr detailliertes Wassermodell (IF97) 

- feuchte Luft. 

Allgemeine Bibliothek für Rohrströmungen für alle 

Medien von Modelica.Media 

• ein und mehrere Substanzen 

• ein und mehrere (homogene) Phasen 

• inkompressibel und kompressibel 

Einfache thermo-fluid Rohrströmungen, insbesondere um 

Kühlsysteme für Maschinen (Wasser/Luft) zu modellieren 

(pipes, pumps, valves, ambient, sensors, sources) und 

Wärmeleitung mit heat capacitors, thermal conductors, 

convection, body radiation, sources and sensors. 


Library Modelica: Mechanische Unterbibliotheken 

3-dim. mechanische Systeme bestehend aus 

joints, bodies, force and sensor elements. 

Gelenke können mit Antriebsstränge der 1-dim. 

mechanischen System-Bibliothek angetrieben 

werden. 

1-dim. rot. mechanische Systeme, z.B., 

Antriebsstränge, Planetengetriebe 

einfache Definition Momenten/Geschw.abhängiger 

Reibung (clutches, brakes, ..) 

1-dim. trans, mechanische Systeme, z.B., 

Masse, Masse mit Anschlag, Kraftelemente, 

Reibung, Bremse, Getriebe, ... 


Library Modelica: Regelung und Script Unterbibliotheken 

A = [1,2,3; 

3,4,5; 

2,1,4]; 

b = {10,22,12}; 

x = Matrices.solve(A,b); 

Matrices.eigenValues(A); 

Kontinuierliche und diskrete input/output 

Blöcke (Modelica_LinearSystems2). Einfach 

umschaltbar zwischen kontinuierlicher und 

diskreter Block-Beschreibung, d.h. zwischen 

"schnellen" und "detaillierten" Modellen. 

Hierarchische Zustandsmaschinen mit ähnlicher 

Mächtigkeit wie Statecharts. Modelica wird als 

synchrone "action language" benutzt, so dass 

deterministisches Verhalten garantiert ist (in der 

Regel bei Statecharts nicht der Fall) 

Logische Blöcke wie "and, or, edge, timer, ", ... 

Funktionen auf Matrizen, z.B., zum Lösen von 

linearen Systemen, Berechnung von 

Eigenwerten, singulären Werten etc. 

und Funkionen die auf strings, streams, files, 

operieren, z.B. File kopieren oder löschen. 


Überblick über 30 Bibliotheken: www.modelica.org/ModelicaLibrariesOverview 


Details (mit Download) unter www.Modelica.org/libraries 


Kommerzielle Bibliotheken (Auswahl) 

HyLib (hydraulische Systeme) 

PneuLib (pneumatische Systeme) 

AirConditioning (Klimaanlagen) 

PowerTrain 

VehicleDynamics 

SmartElectricDrives 

FlexibleBodies 

Import/Export 

Simulink → Modelica (Simelica) 

Modelica → Simulink (Dymola option) 



und 



2. Vorlesung 




M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 2. Vorlesung 

Inhalt der 2. Vorlesung 

1. Gleichungsorientierte Modellierung 

2. Grundlagen der objekt-orientierten Modellierung 

am Beispiel eines elektrischen Schaltkreises 


am Beispiel eines mechanischen Systems (Übung) 

Rechnerübung 


1 

2

1. Gleichungsorientierte Modellierung 

Objektorientierte Modellierungssprachen basieren auf Gleichungen, 

im Gegensatz zu Blockdiagrammen, die auf Zuweisungen basieren. 

z.B. 

Gleichungsorientierte Modellierungssprachen: 

i 2 

i 1 

• Modelica (www.Modelica.org) 

Wird in der Vorlesung benutzt. Einsatz vor allem in der Mechatronik. 

• VHDL-AMS (www.eda.org/twiki/bin/view.cgi/P10761/WebHome) 

Abkürzung steht für “Very high speed integrated circuits Hardware 

Description Language - Analog and Mixed Signals”. 

IEEE-Standard. Einsatz vor allem in der Elektronik. 

• gPROMS (www.psenterprise.com/gproms) 

Einsatz in der Prozess-Simulation (Verfahrenstechnik) 

i 3 

i 4 

Ohm’sches Gesetz: 

i 


Allgemeine Form (bei Modelica, VHDL-AMS, gPROMS, ...): 

expression = expression 

Summe der einfließenden Ströme = Summe der ausfließenden Ströme 

R 

i � i � i � i 


1 

2 

lokal ist nicht bekannt, nach welcher Variable die 

Gleichung aufgelöst werden sollte 

i 

u � R �i 

R �i 

� u 

i � u / R 

u 0 � u � R �i 

3 

4 

gleichwertige Formulierungen. 

Welche ist die “Beste”? 

3 

4

Ziel: Modell automatisiert in Zustandsform transformieren, da hierfür 

sehr gute numerische Lösungsverfahren zur Verfügung stehen 

Beispiel 1: 

u R 

� R �i 

u u 

0 

C 

Beispiel 2: 

( ), ), ( ( ) ( x x x f x � � 

� t t t t t � 

du 

C � 

dt 


u R 

� R �i 

u0 L u 

u 

u 

u 

R 

C 

0 ) 

Ausgangsgleichungen 

� u 

R � C 0 

� R �i 

� i 

Zustandsform (x=u C): 


R � L 0 

Zustandsform (x=i): 


u 

u 

u 

R 

� u 

� R �i 

di 

L � � u 

dt 

L 

0 

dt 

Auswertungs- 

Reihenfolge 

uR 

: � u0 

� u 

i : � u / R 

du 

dt 

C 

R 

: � i / C 

duC C � 0 

: 

u � u 

R �C 

5 

di u � R �i 

� 

dt L 

0 : 

6 

C 

Auswertungs- 

Reihenfolge 

u 

u 

R 

L 

: � R �i 

: � u 

di 

: � u 

dt 

0 

L 

� u 

/ L 

R

Beispiel 3: 

u0 

i1 

u1 

u2 

i2 

i3 

Erfordert Lösung eines 

algebraischen Gleichungssystems 

y � u , u , u , i , i , i ] 

[ 1 2 3 1 2 3 

T 

u3 

Gleichungen können nicht auf eine rekursive 

Berechnungsvorschrift zur Berechnung der 

Unbekannten überführt werden. 



u 

0 � f ( y, 

t) 


1 

� u 

u 

u 

u 

i 

u 

2 

2 

1 

1 

2 

3 

� u 

� u 

� i 

2 

0 

3 

1 

� R 

2 

� R 

� i 

3 

1 

�i 

�i 

3 

� R �i 

2 

3 

0 � u 

0 � i 

1 

1 

0 � u 

0 � u 

2 

1 

0 � u 

0 � u 

� i 

2 

3 

� u 

2 

2 

� u 

3 

1 

� R 

� R 

� i 

2 

3 

� u 

3 

� R �i 

Zusammenfassung: 

An Hand von Beispielen wurde gezeigt, dass die Gleichungen einer 

physikalischen Komponente je nach Einsatzart nach unterschiedlichen 

Variablen aufgelöst werden muss. 

Implementierung in einer 

Komponente: Widerstand Programmiersprache: 

u : � R �i 

i :� u / 

R 

0 � u � R �i 

u = f 1(R,i) 

i = f 2(R,u) 

1 

�i 

�i 

2 

3 

7 

Residuum = f 3(R,i,u) 

8 

0

Wenn die Gleichungen einer physikalischen Komponente mit einer 

Programmiersprache implementiert werden (FORTRAN, C, C++, C#, Java, ...), 

müssen unterschiedliche Unterprogramme für die benötigten aufgelösten 

Gleichungen zur Verfügung gestellt werden. 

Z.B. sind bei der Komponente "elektrischer Widerstand" 

3 Funktionen erforderlich (oder 3 Blöcke eines Blockschaltbilds) 

Aus diesem Grund: 

Bei gleichungsorientierten Sprachen werden nur die mathematischen 

Gleichungen von Komponenten angegeben, d.h. die Gleichungen werden 

in einer Form definiert. 

Das Simulationsprogramm formt diese Gleichungen so um, 

wie es die aktuelle Verschaltungsstruktur erfordert! 

Blockschaltbild: 

elektrisch 


v 1 

i 1 

v 

v 

i 

1 

v 3 

1 

1 

Verschaltung von Komponenten 

� v 

� v 

� i 

2 

2 

3 

� i 

3 

i 3 

v 2 

i 2 

� 0 

y 1 


u 2 

1D-mechanisch 

s 2 

s 1 

s � 

s 

s 

1 

1 

� s 

s 3 

2 

3 

1 

u 2 = y 1 

9 

Verbindungsgleichung: 

f 1 

0 � f � f � f 

2 

3 

f 3 

f 2 

10

Gleichungsorientierte Modellierung: Drei Arten von Schnittstellen Variablen 

Potential-Variable Verbundene Variable sind identisch 

(potential, across, effort variable) 

Fluß-Variable Verbundene Variable erfüllen die 

Null-Summen-Gleichung 

(flow, through variable) 

Stream-Variable Komplexere Gleichung für bi-direktionale 

Fluid-Strömung (nur Modelica) 

In einer Komponenten-Schnittstelle muss definiert werden, welchen Typ 

jede Variable der Schnittstelle besitzt. 

Das Modellierungssystem kann dann jede Verbindung automatisch in 

eine Menge von Gleichungen umwandeln. 



am Beispiel eines elektrischen Schaltkreises 

Aufbau einer Bibliothek von elektrischen Basiselementen: 

(elektr. Strom) 

(elektr. Potential) 

v 1 

Schnittstellen-Variablen: 

i 1 i2 

u 

v 2 


0 = i 1 + i 2 

u = v 1 -v 2 

Potential-Variable v1 ,v2 Verbundene Variable sind identisch 

Fluss-Variable i1, i2 Verbundene Variable erfüllen die 


Wichtig: 

Einheitliche Definition der positiven Flußrichtung in allen Elementen. 

In der Regel: Positiver Fluß = Fluß in das Element gerichtet 

11 

12

Wie viele Gleichungen in einer Komponente? 

Bei einem Ein/Ausgangsblock (z.B. PT1 Block) ist es klar, wie viele 

Gleichungen benötigt werden: Alle Parameter und Eingangsgrößen sind 

bekannt. Für N weitere Variable werden N Gleichungen benötigt. 

Beispiel: Widerstand 

u 

Zur Beschreibung des Widerstands werden 5 Variablen verwendet 

(i1, i2, v1, v2, u). Wie viele Gleichungen werden benötigt? 


i 1 

v 1 

Grundregel in Modelica ("balanced model"): 

Potential- und Flussvariable müssen immer paarweise auftreten, d.h. 

Zahl der Potential Variablen = Zahl der Flussvariablen. 

Entweder Potential oder Flussvariable, sowie Eingangrößen werden durch die 

Verbindung von außen festgelegt. Deswegen: 

Zahl der Gleichungen = Unbekannte – Flussvariable 

Beim Widerstand: 5 Unbekannte – 2 Flussvariable = 3 Gleichungen 

Widerstand 

Kapazität 

Induktivität 

Spannungsquelle 

Erdung 

i 1 

i 1 

i 1 

i 1 

v 1 

v 1 

v 1 

v 1 

i 1 


L 

C 

R 

u 

u 

u 

u 

v 1 

R 

i 2 

v 2 

i 2 

v 2 

i 2 

v 2 

i 2 

v 2 

i 2 

v 2 

0 = i 1 + i 2 

u = v 1 -v 2 

u = R i 1 

0 = i 1 + i 2 

u = v 1 -v 2 

i 1 = C du/dt 

0 = i 1 + i 2 

u = v 1 -v 2 

u = L di 1 /dt 

0 = i 1 + i 2 

u = v 1 -v 2 

u = A sin(wt) 

v 1 = 0 

13 

14

0 = R1.i 1 + R1.i 2 

R1.u = R1.v 1 - R1.v 2 

R1.u = R1.R*R1.i 1 

0 = C.i 1 + C.i 2 

C.u = C.v 1 -C.v 2 

C.i 1 = C.C*dC.u/dt 

0 = S.i 1 + S.i 2 

S.u = S.v 1 - S.v 2 

S.u = S.A sin(S.wt) 

R1 

S.v1 = R1.v1 1 

S.v1 = R2.v1 0 = S.i1 + R1.i1 + R1.i2 g.v1 = C.v2 2 

g.v1 = L.v2 g.v1 = S.v2 0 = g.i1 + C.i1 + L.i1 + S.i1 0 = R2.i 1 + R2.i 2 

R2.u = R2.v 1 - R2.v 2 

R2.u = R2.R*R2.i 1 

C 0 = L.i1 + L.i2 L 

L.u = L.v1 -L.v2 L.u = L.L dL.i1 /dt 

S g 

g.v1 = 0 

3 

R1.v2 = C.v1 0 = R1.i2 + C.i1 R2.v 2 = L.v 1 

0 = R2.i 2 + L.i 1 

R2 



4 

27 Gleichungen 

Unbekannte??? 

Ziel: Transformation in Zustandsform (Anfangswertproblem) 

( ), ), ( ( ) ( x x x f x � � 

� t t t t t � 

da diese mit Standardmethoden numerisch gelöst werden kann. 

x0 

Modell: 

Integrator 

ti, x ( ti 

) x� ( ti 

) 

x� � 

f ( x, 

t) 

x(t) 

0 ) 

0 

15 

D.h. bei gegebenem Zustand x muß 

die Ableitung des Zustands dx/dt im 

Modell berechnet werden. 

16

Formalere Sicht: 

Das Ausgangsgleichungssystem, d.h. alle Komponentengleichungen + alle 

Verbindungsgleichungen, ist ein differential-algebraisches Gleichungssystem 

(DAE: Differential-Algebraic Equation system): 

wobei: 

p 

Parameter (Konstante) 

u(t) Eingangsgrößen 

y(t) algebraische Variablen 

( t 

) 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

u, 

p, 

t) 

x(t) Zustandsgrößen Zustandsgrößen x sind 

x� Ableitung der Zustandsgrößen 


0 � f ( x� 

, x, 

y, 

u, 

p, 

t) 


alle Variablen, deren 

Ableitung dx/dt im 

Modell auftritt. 

x� 

� f ( x, 

u, 

p, 

t) 

1 

y � f 

Transformation in Zustandsform 

2 

( x, 

u, 

p, 

t) 

Die Transformation in Zustandsform bedeutet damit, dass ein nichtlineares 

algebraisches Gleichungssystem 0 � 

f ( x� 

, y) 

nach den beiden unbekannten 

Vektoren aufgelöst werden muss. 

17 

18

Was ist der Zustandsvektor x bei dem Beispiel? 

Einfache Regel: 

Alle Variablen die abgeleitet auftreten, sind Zustände. 

Alle anderen Variablen sind (rein algebraische) Hilfsgrößen y 

Bestimmung von: 

gegeben: 

gesucht: 

x� 

� f ( x, 

u, 

p, 

t) 

1 

y � f 

x, 

u, 

p, 

t 

x, � y 

für die 27 Unbekannten 

R1.i1 R2.i1 2 

( x, 

u, 

p, 

t) 


Beispiel: 

, R1.i2, R1.v1, R1.v2 , R1.u, 

, R2.i2, R2.v1, R2.v2, R2.u, 

C.i1 , C.i2 , C.v1 , C.v2 , dC.u/dt, 

dL.i1/dt, L.i2 , L.v1 , L.v2 , L.u, 

S.i1 , S.i2 , S.v1 , S.v2 , S.u, 

g.i1 , g.v1 gegeben: C.u, L.i 1, t + Konstanten (R1.R, ...) 

gesucht : dC.u /dt, dL.i 1 /dt 

Dies sind 27 Gleichungen 


19 

20

Symbolische Sortierung, Umformung, Elimination von Hilfsgrößen, 

Reduktion von algebraischen Gleichungssystemen mit speziellen Algorithmen 

führt auf rekursive Auswertungsvorschrift: 

R2.u := R2.R*L.i1 R1.v1 := S.A*sin(S.w*t) 

L.u := R1.v1 -R2.u 

R1.u := R1.v1 -C.u 

C.i1 := R1.u / R1.R 

dL.i1 /dt := L.u / L.L 

dC.u /dt := C.i1 / C.C 

Algorithmen sind für große Systeme geeignet 

(z.B. Dymola: > 100 000 Gleichungen) 


Zusammenfassung des prinzipiellen Vorgehens: 

Gesamt-Gleichungssystem = 

Lokale Gleichungen aller Komponenten (Objekte). 

+ Gleichungen auf Grund von Verbindungen. 

Gesamtgleichungssystem vereinfachen und auf Zustandsform 

transformieren. 

(Soweit zur Theorie. In der Praxis ist es nicht ganz so einfach, 

da der Teufel im Detail steckt, wie wir noch sehen werden). 


21 

22

Fazit 

• Vorgehen ist sehr systematisch (Gesamtsystem = 

Komponenten-Gleichungen + Verbindungs-Gleichungen) 

• Manuelles Auflösen der Gleichungen ist auch schon bei kleinen Systemen 

aufwendig. Aber: kann vollkommen automatisiert werden. 

• Verständnis wird erleichtert: 

Nur lokale Gleichungen für die Komponenten müssen verstanden werden. 

Komplexität ergibt sich durch Zusammenschalten 

(wird von Programm durchgeführt) 

• Keine globalen Prinzipien notwendig, wie 2. Kirchhoffsches Gesetz 

(Summe der Spannungen ist Null), Prinzip der virtuellen Arbeit, 

Lagrange'sche Gleichungen 2. Art, Hamilton Prinzip, etc. 



am Beispiel eines mechanischen Systems (Übung) 

Aufbau einer Bibliothek von mechanischen Basiselementen: 

y 

x 

� 1 

� 1 

Potential-Variable 

Fluß-Variable 


� 2 

� 2 

23 

��: Drehwinkel 

��: Schnittmoment 

24

Drehträgheit 

Elastizität 

externes Moment 

� 1 

� 1 

� 2 

� 1 � 2 

Hinweis: Drallsatz: �� i 

W 1 

F 

1 

� 1 

u 

� 2 

� 2 


c 

J 

� 2 

� 2 

J � 


Gleichungen 

3 4 

u 

ext W1 W2 1 2 F 3 4 

W1 .J F.c 

W2 .J 

ext 

2 

25 

W 2 

26

Für die Transformation in die Zustandsform 

gegeben (x): ________________________ 

gesucht (x� ) : ________________________________________ 

Das vorstehende Gleichungssystem sind 

___ Gleichungen für die ___ Unbekannten: 


x� � 

f ( x, 

t) 

Symbolische Sortierung, Umformung, Elimination von 

Hilfsgrößen, führt auf die rekursive Auswertungsvorschrift: 


27 

28


und 







M. Otter, Simulation von elektromechanischen Systemen, 3. Vorlesung 


1. Struktur eines einfachen Modelica Modells 

2. Hierarchische Modelica Modelle, Teil 1 

3. Entwurf von Komponenten-Schnittstellen 

Rechnerübung 


1 

2

1. Struktur eines einfachen Modelica-Modells 

Ziele der Modelica Sprache (www.Modelica.org): 

Wiederverwendbarkeit von physikalischen Modellen 

Komponenten aus unterschiedlichen Fachrichtungen 

(elektrisch, mechanisch, thermisch, hydraulisch, ...). 

Beschreibung durch Differentialgleichungen, 

algebraischen und diskreten Gleichungen. 

Vereinheitlichung und Verbesserung bestehender 

objekt-orientierter Modellierungssprachen, wie 

Dymola-Sprache, gPROMS, NMF, ObjectMath, Omola, Smile, U.L.M., ... 

Deklarativ (= mathematische Gleichungen) statt 

prozedural (= Zuweisungen einer Progammiersprache). 

Sicherstellen, daß effizient simuliert werden kann. 


Prinzipielle Struktur um Modelica-Modell in Dymola 

zu simulieren: 

Graphischer Editor 

Modelica Modell (Textfile: test1.mo) 

model test1 

Modelica.Mechanics.Rotational.Inertia J1(J=0.002) 

... 

C-Funktion 

(dsmodel.c) 

übersetzen + laden 

(dymosim.exe) 

void dsblock(double *x, 

... 

Simulator 


File: ..\Modelica\Mechanics\Rotational.mo 

Komponenten- 

Bibliothek 

3 

4

Version 1: 

grafische Informationen 

Konstante (Wert kann vor Simulationsbeginn 

interaktiv geändert werden) 

Einfaches Modelica-Modell 

s 

m = 2 kg 

f = 6 N 

neues Modell 

Gleitpunktzahl 

Name + Default-Wert 

model MovingMass1 "Mit konstanter Kraft gezogene Masse"; 

parameter Real m=2 "Masse des Blocks"; 

parameter Real f=6 "Zugkraft"; 

Real s "Position des Blocks"; 

Real v "Geschwindigkeit des Blocks"; 

annotation(Diagram(Rectangle(extent=))); 

equation 

v = der(s); 

m*der(v) = f; 

end MovingMass1; 

Differentation nach der Zeit 

mathematische Gleichung, keine Zuweisung! 


m ��s � � 

vordefinierte Basis-Datentypen in Modelica 


f 

Beschreibungstext 

(wird in Menues angezeigt) 

Real Gleitpunktvariable, z.B. 1.0, -2.3e-5 

Integer Ganzzahlige Variable, z.B. 1, 4, -333 

Boolean Bool’sche Variable, z.B. false, true 

String Zeichenkette, z.B. "Von File:" 

5 

6

diagram layer 

(hier: Prinzipskizze) 


text layer 

Grafische Elemente werden 

im Text-Layer ausgeblendet 

Mit rechter Maustaste in Window klicken und dann 

"Expand / Show entire text" selektieren 

-> Kompletter Modelica-Code wird angezeigt 


7 

8

Absturzursache des Mars Climate Orbiter am 23. Sept. 1999 

(Mars-Wettersatellit) 

Mars Climate Orbiter Failure Board Release Report, Nov. 10, 1999: 

... "The 'root cause' of the loss of the spacecraft was the failed 

translation of English units into metric units in a segment of groundbased, 

navigation-related mission software, as NASA has previously 

announced," said Arthur Stephenson, chairman of the Mars Climate 

Orbiter Mission Failure Investigation Board. 

Version 2: 


s 

m = 2 kg 

f = 6 N 

model MovingMass2 

parameter Real m(min=0,unit="kg") = 2; 

parameter Real f(unit="N") = 6; 

Real s; 

Real v; 

equation 





Picture from NASA/JPL/Caltech. 

m ��s � � 

f 

Attribute eines Real Typs 

Einheit, in der die Gleichungen angegeben sind 

9 

10

Jede Einheit kann in ein Produkt der 7 SI-Basiseinheiten zerlegt werden: 

kg, m, s, A, K, mol, cd 

Frage: 

Sind zwei physikalische Größen äquivalent, wenn die Einheiten bezüglich 

der 7 SI-Basiseinheiten identisch sind? 

Beispiel: 

Art Einheit in SI-Basiseinheiten 

Moment Nm kgm 2 /s 2 

Energie J kgm 2 /s 2 


Behandlung von Einheiten in Modelica 

durch Attribute von Real Variablen: 

Beispiele: 

quantity Art der physikalischen Größe 

unit Einheit, in der die Gleichungen angeschrieben sind 

displayUnit Einheit, die bei der Ein- und Ausgabe als Voreinstellung 

zur Anzeige benutzt wird 

Art quantity = unit = displayUnit = 

Moment "Torque" "N.m" 

Energie "Energy" "J" 

Winkel "Angle" "rad" "deg" 

Syntax für Einheiten nach ISO, Beispiele (wird von Dymola auch so gefordert): 

kg.m2/s2, kg.m.m/(s.s), rad/s, 1/s, s-1 


11 

12

weitere Attribute von Real Variablen: 

min Minimaler Wert der Größe 

max Maximaler Wert der Größe 

start Anfangswert von Zuständen. Zum Beispiel: 

, ( 0) 3 � � � t v f v m � 

Beispiel: 

fixed = true : Wert von „start“ ist fester Anfangswert 

= false: Wert von „start“ ist Schätzwert (z.B. zum 

Iterationsstart einer nichtlinearen Gleichung) 

nominal Nominalwert zur Skalierung der numerischen Routinen 

stateSelect = StateSelect.never/avoid/default/prefer/always 

Beeinflussung der Wahl der Zustandsvariablen 

parameter Real m(min=0, quantity="mass", unit="kg") = 2; 

Real v(quantity="velocity", unit="m/s", start=3); 

Aber: 

Zu aufwendig, wenn bei jeder Deklaration die Attribute einer Variablen 

angegeben werden müssen. 

Beispiele für Typ-Klassen: 


type Angle = Real(quantity = "Angle", unit = "rad", 

displayUnit = "deg"); 

type Torque = Real(quantity = "Torque" , unit="N.m"); 

type Mass = Real(quantity = "Mass" , unit="kg", min=0); 

type Velocity = Real(quantity = "Velocity", unit="m/s"); 

Verwendung von Typ-Klassen: 

parameter Mass m = 2; 

Velocity v(start=3); 

Typ-Klassen 


13 

14

In der Modelica Bibliothek Modelica.SIunits stehen alle 

ca. 450 ISO-Standardeinheiten in Form von type-Klassen zur Verfügung! 

Variante 1 (voller Name): 


Benutzung der Modelica.SIunits Bibliothek 

parameter Modelica.SIunits.Mass m = 2; 

Modelica.SIunits.Velocity v(start=3); 

Variante 2 (abgekürzter Name): 

import Modelica.SIunits; 

parameter SIunits.Mass m = 2; 

SIunits.Velocity v(start=3); 

Variante 3 (stark abgekürzter Name): 

import SI = Modelica.SIunits; 

parameter SI.Mass m = 2; 

SI.Velocity v(start=3); 

Letzter Namensteil der “import” Anweisung 


rechte 

Maustaste 

15 

16

„drag“ von Typ-Name mit der Maus in das Textfeld 

drag 

oder: 

(1) Unit (z.B. "Angle") mit der Maus selektieren 

(2) " C" um Definition in Clipboard zu kopieren 

(3) " V" um Clipboard in Text zu kopieren 

Version 3: 


s 

m = 2 kg 

f = 6 N 


m ��s � � 

model MovingMass3 


parameter SI.Mass m = 2 "mass of block"; 

parameter SI.Force f = 6 "force to pull block"; 

SI.Position s "position of block"; 

SI.Velocity v "velocity of block"; 

equation 




Auf diese Weise sollte in Modelica modelliert werden! 

f 

17 

18

Unterstützung von Einheiten in Dymola 7 

• Für Parameterwindow und Plotten wird "displayUnit" als Default benutzt. 

Kann leicht auf andere Einheiten geändert werden: 

displayUnits 

• Einheiten werden syntaktisch überprüft. 

• Beim Verschalten, müssen "unit" Einheiten übereinstimmen (sonst Fehler) 

• Einheiten werden "propagiert". Z.B. "c = a [m/s] + b[]" → c,b in [m/s] 

• Einheiten werden in den Gleichungen überprüft. Z.B.: 

m*a = f; 

Fehler z.B. wenn "m" in [kg], "a" in [m/s2], "f" in [N.m] 


Die in den Menüs angebotenen Einheiten Alternativen, 

können mit den folgenden Kommandos definiert werden: 

defineUnitConversion("rad/s", "r/min", 

30/Modelica.Constants.pi); 

Beziehung zwischen Einheit "rad/s" und "r/min" 

defineDefaultDisplayUnit("rad/s", "r/min"); 

Ein Signal mit der Einheit "rad/s" wird standardmäßig mit 

"r/min" für Ein- und Ausgabe benutzt. 

Wenn Dymola gestartet wird, werden eine Reihe von Einheiten über das Script- 

File "displayunit.mos" im Directory "..Dymola\insert" schon definiert. Am 

einfachsten, dort die gewünschten Änderungen vornehmen, damit diese 

global immer wirksam sind. 


19 

20

Beispiel: Modell eines einfacher Antriebsstrangs 

diagram layer 

text layer 

2. Hierarchische Modelica Modelle, Teil 1 

elektrische Klemme 



Gleichstrommotor 

Flansch 

Motor-Trägheit + ideales Getriebe + Last-Trägheit 

rechte Maustaste 

21 

22

Elemente des Antriebsstrang-Modells 

(ohne Grafik-Information) 

Neue Modell-Klasse 

Connection 

model SimpleDrive 

Modelica.Mechanics.Rotational.Inertia Inertia1(J=0.002); 

Modelica.Mechanics.Rotational.IdealGear IdealGear1(ratio=100) 

... 

Modelica.Electrical.Analog.Basic.Resistor Resistor1(R=0.2) 

... 

equation 

connect(Inertia1.flange_b, IdealGear1.flange_a); 

connect(Resistor1.n, Inductor1.p); 

... 

end SimpleDrive; 

Connector "n" (= Klemme) von Resistor1 


Zwei Arten von Connector-Variablen 

Modell-Klasse Modell-Instanz (Komponente) 

Connector "flange_a" von IdealGear1 

Potential-Variable Verbundene Variable sind identisch 

Fluß-Variable Verbundene Variable erfüllen die 


Connector-Klasse Name der neuen Connector-Klasse 

connector Pin 

import SI=Modelica.SIunits; 

SI.Voltage v; 

flow SI.Current i; 

end Pin; 

Fluss-variable 

Schnittstellen-Definition 

Verwendung: 


Modifier 

connector Flange 


SI.Angle phi; 

flow SI.Torque tau; 

end Flange; 

Pin p, n; 

equation 

connect(p, n) 

23 

24

connector Pin 

Voltage v; 

flow Current i; 

end Pin; 

elektrisch 

R1 

R1.p 

R1.p.i 

R3.p 

R3 

connect(R1.p, R2.p); 


Verwendung einer Schnittstelle 

R3.p.i 

R2.p 

R3.p.i 

R1.p.v = R2.p.v 


0 = R1.p.i + R2.p.i + R3.p.i 

R2 

1-dim. mechanisch 

m3.flange.s 

m2.flange.s 


connector Flange 

Position s; 

flow Force f; 

end Flange; 

m3.flange.f 

m3 

m1 m2 

m1.flange.s 

m1.flange.f 

m2.flange.f 

connect(m1.flange, m2.flange); 

connect(m1.flange, m3.flange); 

m1.flange.s = m2.flange.s 

m1.flange.s = m3.flange.s 

0 = m1.flange.f + m2.flange.f + m3.flange.f 

Um die Schnittstellen bei einem Element leicht unterscheiden zu können, 

wird meist eine unterschiedliche grafische Darstellung verwendet 

(die Modelica-Gleichungen sind jedoch identisch). 

PositivePin p NegativePin n 

Connector PositivePin = Pin + gefülltes Rechteck Icon 

Connector NegativePin = Pin + leeres Rechteck Icon 

Connector Flange_a = Flange + gefülltes Rechteck Icon 

Connector Flange_b = Flange + leeres Rechteck Icon 


25 

26

Konstante (Wert kann vor Simulationsbeginn 

interaktiv geändert werden) 

Differentation nach der Zeit 

Beispiel: Kapazität (Capacitor) 

p.i u 

n.i 

p n 

p.v n.v 

Datentyp (Gleitpunktzahl) 

model Capacitor 


parameter SI.Capacitance C; 

SI.Voltage u ”Spannungsabfall”; 

Pin p, n; 

equation 

0 = p.i + n.i; 

u = p.v - n.v; 

C*der(u) = p.i; 

end Capacitor; 


Beispiel: Rotationsträgheit (Inertia) 

flange_a flange_b 

flange_a.phi 

flange_a.tau 


Beschreibungstext 

(wird in Menues angezeigt) 

mathematische Gleichung, keine Zuweisung! 

model Inertia 


parameter SI.Inertia J; 

Flange flange_a, flange_b; 

SI.AngularVelocity w; 

equation 

flange_a.phi = flange_b.phi; 

w = der(flange_a.phi); 

J*der(w) = flange_a.tau + flange_b.tau; 

end Inertia; 

flange_b.phi 

flange_b.tau 

27 

28

Sonderregel bei Modelica: 

Wenn ein Connector nicht verschaltet ist, werden automatisch Gleichungen 

erzeugt, so dass die Fluss-Variablen verschwinden. 

Beispiel: 

Mit dieser Sonderregel ist das 

Schnittmoment hier Null 

(motorInertia.flange_b.tau = 0) 

Zusammenfassung 


import R = Modelica.Mechanics.Rotational; 

import E = Modelica.Electrical.Analog; 



parameter SI.Resistance R = 1; 

SI.Voltage v; 

E.Interfaces.PositivePin p; 

E.Interfaces.NegativePin n; 

equation 

0 = p.i + n.i; 

v = p.v - n.v; 

v = R*p.i; 

end Resistor; 


Ohne diese Sonderregel müsste ein explizites 

externes Null-Moment gesetzt werden. 

model SimpleDrive 

R.Inertia Inertia1 (J=0.002); 

R.IdealGear IdealGear1(ratio=100) 

E.Basic.Resistor Resistor1 (R=0.2) 

... 

equation 

connect(Inertia1.flange_b, IdealGear1.flange_a); 

connect(Resistor1.n, Inductor1.p); ... 

end SimpleDrive; 

type Voltage = 

Real(quantity="Voltage", 

unit ="V"); 

connector PositivePin 

SI.Voltage v; 


end PositivePin; 

29 

30

3. Entwurf von Komponenten-Schnittstellen 

??? 

Wahl der Variablen in den Verbindungen zur Umgebung? 

Entwurf von Schnittstellen ist ein zentraler Schritt bei der objektorientierten 

Modellierung, da 

• voneinander unabhängige Teile eines Modells festgelegt werden, 

• nach der Schnittstellen-Definition Komponenten unabhängig voneinander 

entwickelt und getestet werden können 

Bei Blockschaltbildern einfach: Schnittstelle = Ein/Ausgangsverhalten 

Physikalische Schnittstellen??? 

??? 


Beispiele: 

elektrische Klemme 

??? 

translatorischer mechanischer Flansch 

rotatorischer mechanischer Flansch 

hydraulischer Anschluss 

pneumatischer Anschluss 

Motorventil (thermo-fluid Strömung) 

Fenster (Wärmeleitung) 

Elektroden einer Batterie (chemische Umwandlung) 

Generelle Regel: 

Abstrahierte Schnittstelle einer Komponente 

sollte alle voneinander unabhängigen Variablen 

enthalten die notwendig sind, um die 

beabsichtigten Effekte in der realen 

Schnittstelle zu beschreiben. 


??? 

31 

32

Anforderungen zum Entwurf von Komponenten-Schnittstellen 

frei schneiden 


Verbindungspunkt 

(infinitesimal klein) 

1. Unabhänge Schnittstellen-Variablen: 

Die Variablen in einer Schnittstellen sollten unabhängig voneinander sein (und 

nicht algebraisch, durch Differentiation oder Integration voneinander 

berechenbar sein). Wird diese Regel nicht eingehalten, können Komponenten 

nicht beliebig verschaltet werden. 

2. Die Gleichungen der "connect(...)" Anweisung müssen auf die 

relevanten Randbedingungen an Verbindungspunkten führen. 

3. Die Gleichungen der "connect(...)" Anweisung müssen auf die 

relevanten Bilanzgleichungen (= Erhaltungsgleichungen) bei frei 

geschnittenen Verbindungspunkten führen, damit die Bilanzgleichungen 

sowohl in einer Komponente als auch bei der Verbindung erfüllt sind. 

Beispiele für Randbedingungen 

(an einem infinitesimal kleinen Verbindungspunkt): 

vi � vj 

(Elektrische Potentiale sind gleich) 

Vmag, i � Vmag, 

j 

mag 

si � sj 

(Positionen sind gleich) 

�i � �j 

(Winkel sind gleich) 

Ti � Tj 

p � p 

(Temperaturen sind gleich) 

i j 

(Magnet. Potentiale sind gleich; V ��ds; H mag. Erregung) 

H 

(Drücke sind gleich) 

Variablen v, V mag, s, φ, T, p, etc. als Potential- 

Variable in die Schnittstelle mit aufnehmen, da dann 

connect(..) auf die obigen Gleichungen führt: 


s 

33 

connector XXX 

Voltage v; 

Real V_mag; 

Position s; 

Angle phi; 

Temperature T; 

Pressure p; 

... 

end XXX; 

34

Beispiele für Bilanzgleichungen 

(an einem infinitesimal kleinen Verbindungspunkt, ohne Masse/Trägheit/Energiespeicher ....) 

0 � 

0 � � 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

i 

0 � m� �v 

i 

f 

� 

i 

i 

i 

i 

Q� 

i 

m� 

i i 

(Kirchhoffsche Stromregel: Summe der Ströme ist Null) 

(Summe der magnetischen Flüsse ist Null) 

(Kräftebilanz: Summe der Schnittkräfte ist Null) 

(Momentenbilanz: Summe der Schnittmomente ist Null) 

(Energiebilanz bei Wärmeleitung: Summe der Wärmeströme ist Null) 

(Massenbilanz eines Fluids: Summe der Massenströme ist Null) 

(Impulsbilanz eines Fluids: Summe der Impulse ist Null) 

�� 

� � 

Beispiel für Ableitung: m�s � fi �� 0 � f 

m�0 

i 

Bilanzgleichung idealisierte Bilanzgleichung 

(keine Speicherung von 

Erhaltungsgrössen) 


Variablen i, �, f, �, Q flow, m flow, G flow (= m flow*v), etc. als Fluss-Variable in die 

Schnittstelle mit aufnehmen, da dann connect(..) auf die Bilanzgleichungen führt: 

connector XXX 

flow Current i; 

flow MagneticFlux Phi; 

flow Force f; 

flow Torque tau; 

flow MassFlowRate m_flow; 

flow HeatFlowRate Q_flow; 

flow MomentumFlux G_flow; 

... 

end XXX; 


35 

z.B. elektrisch: 





0 = R1.p.i + R2.p.i + R3.p.i 

36

Energiesatz als fundamentale Bilanzgleichung 

Die Energiebilanz muss bei jeder Schnittstellen-Definition auch erfüllt sein 

(da dies die fundamentalste Bilanzgleichung ist). 

Diese Bilanzgleichung wird automatisch erfüllt, wenn der Energiestrom entweder 

schon als Flussvariable benutzt wird, oder wenn "korrespondierende" 

Potential-und Flussvariablen in der Schnittstelle verwendet werden. 

Beispiel: 1-dim. translatorisch bewegte Systeme 

connector Translational 

Position s; 

flow Force f; 

end Translational; 

s �s �s � s� �s� �s� 

dE 

P � 

dt 

�s� � f �s� � f �s� � f 

1 2 3 1 2 3 

1 1 2 2 3 3 

3 Komponenten verbunden: �s�1�� f1� f2 � f3� 

1 0 �s�� 0 


→ Energiesatz 

ist erfüllt 

Typ Potential-V. Fluss-Variable Connector-Name (Modelica library) Icon 

electrical 

electrical 

potential 

current Modelica.Electrical.Analog.Interfaces.PositivePin 

translational distance force (scalar) Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_a 

rotational angle torque (scalar) Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_a 

heat transfer temperature heat flow rate Modelica.Thermal.HeatTransfer.Interfaces.HeatPort_a 

mechanical 

signal 

position vector, 

transformation 

matrix 

Real, Boolean, 

Integer Vektor 

Einige vordefinierte, elementare Schnittstellen 

cut-force (vector) 

cut-torque (vector) Modelica.Mechanics.MultiBody.Interfaces.Frame_a 

Modelica.Blocks.Interfaces.RealInput /Output 

Modelica.Blocks.Interfaces.BooleanInput/Output 

Modelica.Blocks.Interfaces.IntegerInput /Output 

Schnittstellen für Fluidströmungen sind komplizierter. 

Werden später behandelt. 


37 

38


und 







M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 4. Vorlesung 1 

1. Schnittstellen für Antriebsstränge 

2. Schnittstellen für Wärmeleitung 

3. Signal-Schnittstellen 

4. Bus-Schnittstellen 

5. Hierarchische Schnittstellen 

6. Vererbung 


Rechnerübung 

M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 4. Vorlesung 2

1. Schnittstellen für Antriebsstränge 

(1-dimensionale, rotatorische, mechanische Systeme) 

Abstützmoment gegen Umgebung 

Wenn Abstützmoment nicht benötigt wird, kann es auch weggelassen werden 

(in Parameter-Menu "useSupport" abschalten) 

Modelica.Mechanics.Rotational 


Rotational.Sources: 

Umwandlung von Eingangssignalen in 

Vorgabe von "Flange" für Winkel, 

Drehzahl, Beschleunigung, Moment 

Rotational.Components: 

Rotations-Trägheit, -Feder, -Dämpfer, 

Lagerreibung, Kupplung, Bremse, 

ideals Getriebe, Getriebe, ... 

Rotational.Sensors 

Abfrage von "Flange" Grössen: 

(Absolute/Relativ-Winkel, -Drehzahl, 

-Beschleunigung, Moment) und 

Bereitstellung als Ausgangssignal 


1.1 Schnittstellen-Definition 

� 

� 

1.2 Vektorielle Größen 

connector Flange_b 


SI.Angle phi; 

flow SI.Torque tau; 

end Flange_b; 

In einer Komponente kann die Winkelgeschwindigkeit 

durch Differentiation erhalten werden: 

w = der(flange_b.phi) 


für jede Komponente lokales 

Koordinatensystem einführen; 

alle Vektoren + alle Gleichungen in 

diesem System ausdrücken: 

J 

xx 

� 

� � e 

� 

� � � � e 

� a �b 

x 

x 

� 

� � � � e 

� 

x 

� 

��a��b��ex ey � 


ex � 

Modelica 

phi = flange_a.phi 

phi = flange_b.phi 

w = der(phi) 

J*der(w) = flange_a.tau + flange_b.tau

Verschalten der Flansche von zwei Komponenten bedeutet, daß die 

entsprechenden Komponenten-Koordinatensysteme identisch sind, d.h., 

dass alle Vektoren im gleichen Koordinatensystem ausgedrückt werden. 

Beispiel: 

Deswegen sind die 3 folgenden Antriebsstränge identisch 


1.3 Winkel und nicht Drehzahl in der Schnittstelle 

Genauere Erläuterung, warum "Winkel" und nicht "Drehzahl" für 

1-dim. rotatorische Systeme verwendet werden sollten: 

Z.B. soll der Gelenkwinkel eines Roboters geregelt werden. 

Hierzu werde der Winkel über "angleSensor" abgefragt. 

model Inertia 

Flange flange_b 

... 

end Inertia 

model angleSensor 

Flange flange 

... 

end angleSensor 

connect(inertia.flange_b, angleSensor.flange) 


Variante 1: Winkel im Flange Connector 

model Inertia 



Flange flange_a; 

phi, w sind Zustände 

Flange flange_b; 

(wegen der(..) Operator) 

SI.Angle phi; 

Deswegen können Anfangsbedingungen 

SI.AngularVelocity w; gesetzt werden. 

equation 

phi = flange_a.phi; 

phi = flange_b.phi; 

w = der(phi); 


end Inertia 


Flange flange; 

RealOutput phi; 

equation 

phi = flange.phi; 

0 = flange.tau; 


durch “connect(..)” Anweisung: 

inertia.flange_b.phi = 

angleSensor.flange.phi 

-> unproblematisch 


Variante 2: Drehzahl im Flange Connector 

model Inertia 



Flange flange_a; 

phi, w sind Zustände 

Flange flange_b; 

(wegen der(..) Operator); 

SI.Angle phi; 


SI.AngularVelocity w; gesetzt werden. 

equation 

w = flange_a.w; 

w = flange_b.w; 

w = der(phi); 


end Inertia 


Flange flange; 

RealOutput phi; 

equation 

flange.w = der(phi); 

0 = flange.tau; 


y ist ein Zustand (wegen der(..) Operator); 


gesetzt werden. 


Connector-Gleichung: 

inertia.flange_b.w = angleSensor.flange.w 

D.h. die Drehzahlen von "inertia" und "angleSensor" sind identisch. 

Das heißt aber nicht, dass auch die Winkel identisch sind. 

Wenn z.B. für inertia.phi und für angleSensor.phi unterschiedliche 

Anfangswerte angegeben werden, dann sind die Winkel nicht identisch. 

Zusammenfassung der Nachteile von Variante 2: 

• Im "angleSensor" muss eine Anfangsbedingung für den 

Winkel phi angegeben werden, da phi über eine Differentialgleichung 

(Integrator) definiert ist. 

In Variante 1 muss keine Anfangsbedingung definiert werden. 

•Die beiden Anfangsbedingungen in "inertia" und "angleSensor" müssen 

übereinstimmen, sonst sind die Winkel unterschiedlich und 

"angleSensor" misst nicht den Winkel von "inertia". 

In Variante 1 sind die Winkel immer identisch. 

Verbindungsgleichungen: 


1.4 Verbindungsgleichungen (Übung) 

connect(I1.flange_b, I2.flange_a); 

connect(I1.flange_b, I3.flange_b); 


Verbindungsgleichungen: 

Drallsatz: 

Energiesatz: 

Erhaltungsgleichungen an einem Verbindungspunkt 

�3 

�1 

�1 

� 3 

�2 

� 2 

J = 0 (masselos) 

wird erfüllt (ja/nein) 

wird erfüllt (ja/nein) 


1.5 Elektrisch – Mechanische Energiewandlung 

hierfür gibt es verschiedene Modelle in der Modelica Standard-Bibliothek 

(1) stark idealisiert (Modelica.Electrical.Analog.Basic.Emf): 

u 

i 

Die “emf” Komponente wandelt elektrische Energie 

verlustlos in mechanische Energie um. 

�: 

Drehzahl 

� : Motormoment 

� � � � 

u �emf. pv . �emf. 

nv . 

k��u k�i �� 


(2) Maschinen-Modelle (in Modelica.Electrical.Machines.BasicMaschines): 

Gleichstrom-Maschinen: 

DC_PermanentMagnet 

(entspricht dem Modell von der ersten Übung): 

DC_ElectricalExcited 

DC_SeriesExcited 

+ Synchron und Asynchron Maschinen (nur ungeregelte Modelle) 


IdealGear ohne "support" Flansch 

1.6 Abstützmomente 

model IdealGearWithSupport // with support flange 


Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_a flange_a; 

Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_b flange_b; 

parameter Real ratio; 

equation 

// Getriebegleichungen 

flange_a.phi = ratio* flange_b.phi; 

0 = ratio*flange_a.tau + flange_b.tau; 

end IdealGearWithSupport; 

Zahl an Gleichungen = 4 (Zahl an Unbekannten) - 2 (Zahl an Flussvariablen) = 2 


IdealGear mit "support" Flansch 

model IdealGearWithSupport // with support flange 


Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_a flange_a; 

Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_b flange_b; 

Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_a support; 

parameter Real ratio; 

SI.Angle phi_a; 

SI.Angle phi_b; 

equation 

phi_a = flange_a.phi – support.phi; 

phi_b = flange_b.phi – support.phi; 

// Getriebegleichungen 

phi_a = ratio*phi_b; 

0 = ratio*flange_a.tau + flange_b.tau; 

// Momentenbilanz 

0 = flange_a.tau + flange_b.tau + support.tau; 

end IdealGearWithSupport; 

Zahl an Gleichungen = 8 (Zahl an Unbekannten) - 3 (Zahl an Flussvariablen) = 5 


Abstützmomente bei elektrischen Motoren 

Motor ist auf Boden montiert 

Motor kann auf bewegtem 

Körper, z.B. Roboter oder 

Fahrzeug, montiert werden. 

Die Abstützmomente werden 

dann korrekt berücksichtigt. 



2. Schnittstellen für Wärmeleitung 

Aus der Bibliothek Modelica.Thermal.HeatTransfer: 

connector HeatPort_a 

SI.Temperature T; 

flow SI.HeatFlowRate Q_flow; 

end HeatPort_a; 

Transportiert nur den Wärmestrom, aber speichert die Energie nicht 

für Stab: G = k*A/L 

A: Querschnitt 

L: Länge 

k: spez. Wärmeleitfähigkeit (z.B. Aluminium: 220 W/(m.K)) 

connector HeatPort_b 

SI.Temperature T; 

flow SI.HeatFlowRate Q_flow; 

end HeatPort_b; 

model ThermalConductor "only heat transfer" 

parameter SI.ThermalConductance G; 

HeatPort_a port_a; 

HeatPort_b port_b; 

equation 

0 = port_a.Q_flow + port_b.Q_flow; 

port_a.Q_flow = G*(port_a.T – port_b.T); 

end ThermalConductor; 


Speichert nur die Energie, transportiert aber keinen Wärmestrom 

model HeatCapacitance "only storage of heat" 

parameter SI.HeatCapacity C; 

HeatPort_a port; 

equation 

port.Q_flow = C*der(port.T); 

end HeatCapacitance; 

C = cp*m cp: spez. Wärmekapazität (z.B. Aluminum: 900 J/(kg.K)) 

m : Masse 

model Convection "only heat transfer" 

parameter SI.ThermalConductance G; 

input Modelica.Blocks.Interfaces.RealInput Gc; 

HeatPort_a solid; HeatPort_b fluid; 

equation 

0 = solid.Q_flow + fluid.Q_flow; 

solid.Q_flow = Gc*(solid.T – fluid.T); 

end Convection; 

model FixedTemperature "fixed temperature" 

import Cv=Modelica.SIunits.Conversions; 

import NonSI=Modelica.SIunits.Conversions.NonSIunits; 

parameter NonSI.Temperature_degC T; 

HeatPort_b port; 

equation 

port.T = Cv.from_degC(T); 

end FixedTemperature; 


Beispiel: Wärmestrom von elektrischem Motor an die Umgebung: 

Gleichstrom-Motor 

stark idealisiert: 

Wärmeenergie in den 

Ankerwicklungen wird in einem 

"HeatCapacitor" gespeichert, 

und über einen ThermalConductor 

und Konvektion an die Umgebung 

abgeführt. 

u � R( T) �i 

(Spannungsabfall) 

Q��u�i (Verlustleistung) 


Alle elektrischen Komponenten die Verlustleistung produzieren, haben einen 

optionalen "useHeatPort" Connector um diese über einen HeatPort abzuführen 

Andere Komponenten mit optionalem "useHeatPort" 

Variante 1: 

Variante 2: 


3. Signal-Schnittstellen 

connector RealInput 

Real signal; 

end RealInput; 

connector RealInput 

input Real signal; 

end RealInput; 

"input" bzw. "output" in einer Deklaration definiert, 

dass diese Größe nur so verschaltet werden darf, wie 

es in Blockschaltbildern üblich ist. 

Z.B. Nicht erlaubt, zwei Ausgänge zu verschalten 

(→ Fehlermeldung). 


Nachteil von Variante 2: 

Hierarchischer Zugriff auf Variable: 

model FirstOrder 

RealInput inPort; 

RealOutput outPort; 

... 

end FirstOrder 

Variante 3 (Kurzdefinition eines Connectors mit einer Variablen): 

connector RealInput = input Real; 

connector RealOutput = output Real; 

model FirstOrder 

RealInput u; 

RealOutput y; 

... 

end FirstOrder 

firstOrder.inPort.signal 

firstOrder.u 


k 

y � �u 

T � s �1 

T � y� 

� y � k �u 

= model, wobei alle Interface Variablen 

input, output, parameter oder constant sind. 

block FirstOrder 

import Modelica.Blocks.Interfaces; 

parameter Real k=1 "gain"; 

parameter Real T=0.01 "time constant"; 

Interfaces.RealInput u; 

Interfaces.RealOutput y; 

equation 

T*der(y) + y = k*u; 

end FirstOrder; 

Wenn Modell als "block" statt als "model" definiert wird, wird garantiert, 

dass dieser nur wie in einem Blockschaltbild benutzt werden kann 

(→ bessere Fehlermeldungen, wenn etwas falsch gemacht wird). 


4. Bus-Schnittstellen 

Signal-Schnittstellen werden sehr schnell unhandlich wenn viele Signale 

übertragen werden. Deswegen werden bei Fahrzeugen, Flugzeugen, 

Antriebssystemen etc. Bus-Systeme eingesetzt. 

Stark idealisiert ist das auch in Modelica möglich. 

Hier: Datenübertragung zwischen einzelnen Systemen im Fahrzeug. 


Definition von "Bus" in Modelica: 

expandable connector XX 

/* keine Signaldefinitionen notwendig 

*/ 

end XX; 

Ab Modelica 3.1 (Dymola 7.4): 

(1) Alle hier definierten, aber nicht 

benutzten, Signale werden ignoriert. 

(2) input/output Definition nicht notwendig. 

Wird aus Verschaltung abgeleitet. 

Icon für bus connector normalerweise von: 

Modelica.Icons.Signalbus 

Die Variablen im Connector werden automatisch durch 

Verbindungen zum "expandable connector" aufgebaut. 


Beispiel: 

1. Ein- oder Ausgangssignal mit Bus-Connector verbinden: 

2. Menu wird angezeigt, um Signal im Connector zu definieren 


3. Neues Signal definieren (hier: "speed") 

Hierdurch wird implizit neue 

Variable definiert: 

controlBus.speed 


Beispiel 

Unterbus 

(controlBus.transmissionControlBus) 

Busvariablen in 

Plot-Variablenliste 


5. Hierarchische Schnittstellen 

connector Pin 


SI.Voltage v 


end Pin; 

connector Plug 

Pin phase, ground; 

end Plug; 

C1=0.01 

L1=0.1 

ist äquivalent zu: 

connector PlugExpanded 


SI.Voltage phase.v 

SI.Voltage ground.v 

flow SI.Current phase.i; 

flow SI.Current ground.i; 

end PlugExpanded; 

C1=0.01 

L1=0.1 


Auf Verbindungslinie klicken 

plug und pin connector verbinden 


Komplexe Schnittstellen: Aus Elementarschnittstellen aufbauen 

Beispiel: Triebwerk 

• 3D-Mechanik Schnittstelle um Triebwerk an Flügel befestigen 

• Hydraulik Schnittstellen für Triebwerks-Hydraulik 

• Elektrische Schnittstellen für elektrische Versorgung 

• Signal Schnittstellen 

connector Engine 

import E = Modelica.Electrical.Analog; 

import B = Modelica.Blocks; 

MultiBody.Interfaces.Frame_a frame; 

HyLib.Interfaces.Port_A hydraulicPort_a; 

HyLib.Interfaces.Port_B hydraulicPort_b; 

E.Interfaces.Pin pin[3]; 

ControlBus bus; 

end Engine 


connector Pin 

SI.Voltage v; 


end Pin; 

partial model TwoPin 

Pin p,n; 

SI.Current i; 

SI.Voltage u; 

equation 

0 = p.i + n.i; 

u = p.v - n.v; 

i = p.i; 

end TwoPin; 

6. Vererbung 


extends TwoPin; 


equation 

C*der(u) = i; 


partial: Unvollständiges Modell. 

Kann nicht instanziiert, d.h. direkt 

benutzt, werden: 

TwoPin p; // Fehler, nicht erlaubt 

extends: 

Vererbung 


Vorstehendes Modell ist identisch zu: 

connector Pin 

SI.Voltage v; 


end Pin; 

partial model TwoPin 

Pin p,n; 

SI.Current i; 

SI.Voltage u; 

equation 

0 = p.i + n.i; 

u = p.v - n.v; 

i = p.i; 

end TwoPin; 




equation 



Vorteil von extends: 

Gemeinsame Eigenschaften 

nur einmal definieren! 


Pin p,n; 

SI.Current i; 

SI.Voltage u; 


equation 

0 = p.i + n.i; 

u = p.v - n.v; 

i = p.i; 




Damit lassen sich die elektrischen Grundelemente sehr kompakt definieren: 




equation 



model Inductor 


parameter SI.Inductance L; 

equation 

L*der(i) = u; 

end Inductor; 



parameter SI.Resistance R; 

equation 

u = R*i; 

end Resistor; 


Beispiel: Modelica.Electrical.Analog.Basic.Capacitor 



und 








1. Gleichungssortierung (BLT-Transformation) 

2. Variablensubstitution (Tearing) 

3. Beispiel 


Rechnerübung 


1. Gleichungssortierung (BLT-Transformation) 

Das Anfangswertproblem eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems 

(= Zustandsform) 

( ), ), ( ( ) ( x x x f x � � 

� t t t t t � 

kann mit Standardmethoden numerisch gelöst werden. 

x0 

Modell: 

Integrator 

ti, x ( ti 

) x� ( ti 

) 

x� � 

f ( x, 

t) 

x(t) 


Beispiel: Integrator = Explizites Euler-Verfahren 

0 ) 

0 

D.h. bei gegebenem Zustand x muß 

die Ableitung des Zustands dx/dt im 

Modell berechnet werden. 

Hier wird dx/dt zum Zeitpunkt t i durch eine Vorwärtsdifferenz approximiert: 

Einsetzen in 

x( 

ti 

� �t) 

� x( 

ti 

) 

x� ( ti 

) � 

�t 

dx 

x( 

ti 

� �t) 

� x( 

ti 

) 

( ti) � fx ( ( ti), ti) 

ergibt � f ( x( 

ti 

), ti 

) 

dt 

�t 

ausgeschrieben: 

x( ti � �t) 

� x( 

ti 

) � �t 

�f 

( x( 

ti 

), ti 

) 

x1 �x( t1 �t0 �1 ��t) �x0 ��t�f( x0, 

t0) 

x2 �x( t2 ... 

�t0 �2 ��t) �x1��t�f( x1, 

t1) 

x �x( t �t �n��t) �x ��t�f( x , t ) 

n n 0 n�1 n�1 n�1 



Aus Sicht des Integrators 

x(t 0) ist bekannt, 

x(t) und dx(t)/dt sind unbekannt und werden berechnet 

Aus Sicht des Modells: 

x(t i) ist bekannt, 

dx(t i)/dt ist unbekannt und wird berechnet 

Da wir im weiteren ausschließlich das Modell betrachten, 

wird der Zustand x immer als bekannt angesehen 


Aufstellen der Gleichungen eines Modelica Modells: 

Das Ausgangsgleichungssystem, d.h. alle Komponentengleichungen + alle 

Verbindungsgleichungen, ist ein differential-algebraisches Gleichungssystem 

(DAE: Differential-Algebraic Equation system): 

wobei: 

0�f( x�, x, y, 

t) 

y(t) algebraische Variablen 

x(t) Variablen die abgeleitet auftreten 

( t 

) 

x� Ableitungen von x 

Da es für Anfangswertprobleme von Differentialgleichungssystemen 

(= Zustandsform) sehr gute numerische Integratoren gibt, soll die obige 

DAE in die Zustandsform transformiert werden. 


0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

0 � f ( z, 

x, 

t) 


�x� 

� 

oder kompakter mit z � � � 

�y� 

x� 

� f ( x, 

t) 

( x, 

t) 


1 

y � f 

2 

z � g( 

x, 

t) 


algebraisches Gleichungssystem 0 = f(z) gelöst werden muss. 

Eine eindeutige Lösung existiert, wenn 

�f 

�z 

�f 

�z 

� 0 

regulär ist, d.h. (wird vorerst vorausgesetzt) 

Bei der objektorientierten Modellierung (mit Modelica, gPROMS, VHDL-AMS, 

etc.) ist die Zahl der Gleichungen in der Regel sehr gross, jedoch sind in jeder 

Gleichung nur wenige Variable enthalten. 

Beispiel von der 2. Vorlesung: 

27 Gleichungen für 

27 Unbekannte. 

Maximal 3 Unbekannte 

pro Gleichung. 

Solche Gleichungssysteme können nur dann effizient gelöst werden, wenn die 

“dünne Besetzung” der Gleichungen im Algorithmus berücksichtigt wird 

(“Sparse Matrix” Verfahren). 

Wichtiges Verfahren: Block Lower Triangular Transformation 


Beispiel: 

0 � f ( z , z ) 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

1 

2 

3 

4 

5 

3 

( z 

0 � f ( z , z , z ) 

2 

2 

) 

( z , z ) 

1 

( z , z , z ) 

1 

4 

3 

2 

3 

5 

5 

z 

1 

�0 

� 

� 

0 

�0 

� 

�1 

� 

�1 

z 

2 

0 

1 

1 

1 

0 

z 

1 

0 

1 

0 

1 

3 

z 

1 

0 

0 

0 

0 

4 

z 

5 

0� 

0 

� 

� 

1� 

� 

0� 

1� 

� 

Inzidenzmatrix S: 

Wenn S ij=1, enthält die 

i-te Gleichung die Variable j 

BLT-Transformation (= sortieren = ermittle kleinste algebraische Schleifen) 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

2 

4 

3 

5 

1 

( z 

) 

( z , z 

0 � f ( z , z , z ) 

1 

2 

) 

( z , z , z 

1 

3 

2 

2 

3 

3 

0 � f ( z , z ) 

4 

5 

5 

) 

z 

2 

�1 

� 

� 

1 

�1 

� 

�0 

� 

�0 

z 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

z 

0 

0 

1 

1 

1 

3 

z 

0 

0 

1 

1 

0 

5 

z 

4 

0� 

0 

� 

� 

0� 

� 

0� 

1� 

� 

Durch Permutation von 

Zeilen und Spalten wird die 

Inzidenzmatrix auf untere 

Block-Dreiecksform 

transformiert 


Aus der BLT-Form kann die Lösung direkt ermittelt werden. 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

2 

4 

3 

5 

1 

( z 

) 

( z , z 

0 � f ( z , z , z ) 

1 

2 

) 

( z , z , z 

1 

3 

2 

2 

3 

3 

0 � f ( z , z ) 

4 

5 

5 

) 

1. Löse f 2 nach z 2 

2. Löse f 4 nach z 1 

3. Löse f 3 und f 5 nach z 3 und z 5 

4. Löse f 1 nach z 4 

Wenn die unterstrichenen Variablen nur linear in der jeweiligen Gleichung 

auftreten, ist für 1., 2., und 4. eine analytische Lösung der Gleichung möglich. 

Für 3. muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Ansonsten sind 

voneinander entkoppelte nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen. 

0 � f ( z , z ) sei linear in z 

Beispiel: 4 1 2 1 

� 0 �c ( z )* z � f ( z ) 

4a 2 1 4b 2 

� z : ��f 

( z )/ c 

1 4b 2 4a 


Übung zur BLT Transformation: 

u 0 

� 

x � � 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

� 

�� 

u 1 

u 3 

i 1 

i 2 

u 2 

u 4 

Gleichungen des Systems 

0 � u 

0 � u 

0 � u 


0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

f 

f 

f 

f 

f 

f 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

( u , i ) 

( 

( 

( 

( 

( 

1 

1 

(nur unbekannte Größen, 

d.h. dx/dt und y, aufführen; 

x wird als bekannt angesehen) 

) 

) 

) 

) 

) 

1 

2 

2 

1 

� R 

� u 

1 

� R 

4 

3 

2 

�i 

1 

�i 

2 

du3 

0 � C � � i1 

dt 

di2 

0 � L � � u4 

dt 

0 � u � u � u 

� u 

0 

2 

( � f 

� u 

4 

1 

( � f 

) 

2 

( � f 

( � f 

3 

4 

( � f 

) 

) 

5 

) 

) 

( � f 

gegeben: R R , C, 

L, 

u ( t) 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

0 � 

1, 

2 

0 

sortiert (BLT-Form) 


f 

f 

f 

f 

f 

f 

( 

( 

( 

( 

( 

( 

6 

) 

) 

) 

) 

) 

) 

)

Allgemeine Aufgabenstellung der BLT-Transformation: 

Transformiere die Inzidenzmatrix S mit den Permutationsmatrizen P und Q auf 

untere Dreiecksform mit den Diagonalblöcken B ij, so dass die B ij eine minimale 

Dimension besitzen (Permutationsmatrix = Einheitsmatrix, bei der Zeilen bzw. 

Spalten vertauscht sind) 

� B 

� 

� 

B 

P �S 

�Q 

� � B 

� 

� ... 

� 

�B 

m 

11 

21 

31 

1 

B 

B 

B 

0 

22 

32 

... 

m2 

Die BLT-Form ist (im wesentlichen) eindeutig. Z.B. können B 22 und B 11 auch 

vertauscht werden, wenn B 21=0. Diese BLT-Formen sind äquivalent. 

Um auf diese Form zu transformieren, sind höchstens O(n*m) Operationen nötig, 

wobei n die Zahl der Gleichungen und m die Zahl der “1” Elemente in der 

Inzidenzmatrix sind! In der Regel ist die Zahl der Operationen jedoch O(m). 

B 

0 

0 

... 


Literaturstellen für BLT-Transformation: 

I.S.Duff, A.M.Erismann, J.K.Reid: Direct Methods for Sparse Matrices. Oxford University Press. 1986. 

Kapitel 6: “Reduction to block triangular form”. Dort für lineare Systeme beschrieben, gilt auch 

für nichtlineare Systeme. Aber: Beschreibung nicht geeignet für Implementierung. 

Die BLT-Transformation setzt sich aus zwei Algorithmen zusammen: 

1. Zuordnungsproblem (output set assignment): 

Frage: Nach welcher Variablen wird eine Gleichung gelöst? 

Kompakter Algorithmus in Pseude-Code in: 

... 

Pantelides C.C: The consistent initialization of differential-algebraic systems. 

SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing, No. 9, S. 213-231, 1988. 

2. Schleifen (strong components) eines gerichteten Graphen: 

Kompakter Algorithmus in Pseude-Code in: 

Tarjan R.E.: Depth First Search and Linear Graph Algorithms. 

SIAM Journal of Comp., Vol. 1, S. 146-160, 1972. 

33 


0 

0 

0 

... 

... 

B 

0 

0 

0 

0 

mm 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�

Schritt 1: Lösung des Zuordnungsproblem 

Aufgabenstellung: 

Ermittle, nach welcher Variablen eine Gleichung aufgelöst werfen muss. 

Beispiel: 

0 � f ( z , z ) 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

3 

( z , z , z ) 

1 

( z , z ) 

1 

( z , z , z ) 

( z 

3 

2 

2 

) 

( z , z 

3 

4 

6 

0 � f ( z , z ) 

5 

2 

3 

7 

) 

7 

6 

0 � f1( 

z 3, 

z4 

) 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

( z , z , z ) 

1 

( z , z ) 

1 

( z , z , z ) 

( z 

3 

2 

2 

) 

( z , z 

3 

6 

0 � f ( z , z ) 

5 

2 

3 

7 

) 

7 

6 

0 � f ( z , z ) 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

( z , z , z ) 

( z , z 

( z , z , z ) 

( z , z ) 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

3 

3 

1 

( z 

1 

2 

2 

3 

) 

4 

6 

0 � f ( z , z ) 

Variable, nach denen eine Gleichung aufgelöst wird, werden entsprechend 

gekennzeichnet. Alle Möglichkeiten werden systematisch durchprobiert. 

0 � f ( z , z 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

3 

( z , z , z ) 

3 

( z , z 

1 

( z , z , z ) 

( z 

1 

2 

2 

) 

) 

) 

( z , z ) 

3 

4 

6 

0 � f ( z , z ) 

5 

2 

3 

7 

7 

6 

f 6 kann nicht nach z 2 aufgelöst 

werden, weil f 4 nach z 2 

aufgelöst wird. Deswegen: 

Zuordnung von z 2 ändern. 

0 � f ( z , z 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

3 

( z , z 

( z 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

) 

) 

) 

( z , z ) 

6 

4 

2 

( z , z , z ) 

1 

3 

( z , z , z ) 

2 

3 

4 

6 

0 � f ( z , z ) 

1 

2 

5 

2 

3 

7 

7 

6 

( z 

2 

) 

( z , z 

1 

) 

( z , z , z ) 

1 

2 

6 

7 

f 7 kann weder nach z 3 noch nach z 7 

aufgelöst werden. Deswegen: 

Zuordnung von z 3 ändern. 


5 

2 

3 

7 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

) 

7 

6 

0 � f ( z , z ) 

0 � f 

3 

( z , z 

( z 

( z 

) 

, z 

) 

) 

... 

Endergebnis 

( z , z , z ) 

1 

3 

( z , z , z ) 

2 

6 

0 � f ( z , z ) 

1 

2 

3 

4 

5 

2 

3 

7 

7 

6

Hinweis: 

Wenn es nicht möglich ist eine Zuordnung zu finden (d.h. jede Unbekannte 

wird eindeutig aus einer Gleichung berechnet), dann ist das Gleichungssystem 

strukturell singulär. D.h. es gibt keine eindeutige Lösung, gleichgültig wie 

die nichtlinearen Funktionen aufgebaut sind. 

Beispiel: 

0 � f1( 

z1, 

z3) 

0 � f2 

( z2 

) 

0 � f ( z ) 

3 

2 

• Wenn f 2(..) = f 3(..) gibt es unendlich viele Lösungen. 

• Wenn f 2 im Widerspruch zu f 3 steht, gibt es keine 

Lösung 


Zuordnungsalgorithmus kann kompakt als rekursive Funktion geschrieben werden 

(in Modelica ähnlicher Pseudocode Notation): 

Integer Assigned[n]; 

Boolean Visited [n]; 

Boolean Success; 

algorithm 

Assigned := zeros(n); 

for i in 1:n loop 

Visited := fill(false,n); 

Success := assign(i); 

if not Success then 

error(“singular”); 

end if; 

end for 

function assign 

input Integer i; 

output Boolean Success; 

algorithm 

if ’a variable j of equation i exists, 

such that Assigned[j] = 0’ then 

Success := true; 

Assigned[j] := i; 

else 

Success := false; 

for ’every variable j of equation i 

with Visited[j] = false’ 

Visited[j] := true; 

Success := assign(Assigned[j]); 

if Success then 

Assigned[j] = i; 

return; 

end if 

end for 

end if 

end assign; 

Globale Felder: 

i=Assigned[j]: Gleichung i wird nach Variable j aufgelöst. Wenn 

i=0, gibt es noch keine Zuordnung für Variable j. 

Visited[i] : =false/true: Variable not/visited 


Schritt 2: Schleifen eines gerichteten Graphen bestimmen 

(Algorithmus von Tarjan) 

Mit dem vom 

Zuordnungsalgorithmus 

ermittelten Ergebnis 

0 1 f 

0 � f ( z , z ) 

1 

2 

3 

0 � f ( z , z ) 

4 

3 

0 � f ( z , z , z ) 

1 

3 

6 

0 � f ( z , z ) 

kann ein gerichteter Graph erstellt werden: 

1 

4 

5 

2 

7 

0 � f ( z , z , z ) 

: z4 

� 2 7 : 0 z f � 6 2 : 0 z f � 7 3 : 0 z f � 

5 6 : 0 z f � 

3 5 : 0 z f � 4 1 : 0 z f � 

z 4 wird aus Gleichung f 1 berechnet 

Ergebnis: 

5 

6 

0 � f ( z , z ) 

7 


2 

0 � f ( z ) 

Die Schleifen im Graph entsprechen den 

algebraischen Schleifen minimaler Dimension 

� : z4 

6 2 : 0 z f � 

3 5 : 0 z f � 4 1 : 0 z f � 

0 � f2 

, f5 

, f7 

: z3, 

z6 

, z7 

0 f1 

algebraisches 

Gleichungssystem 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

0 � f 

6 

4 

2 

5 

7 

1 

3 

( z 

( z , z 

( z , z , z 

( z 

1 

( z 

2 

3 

2 

1 

3 

) 

, z 

, z 

( z , z 

3 

2 

6 

3 

4 

7 

5 

) 

, z 

) 

0 � f ( z , z ) 

) 

7 

6 

) 

) 


2 

3 

3 

7 

6 

start


• Es gibt einen effizienten graphentheoretischen Algorithmus um Gleichungen 

und Variablen so zu permutieren, daß die Unbekannten in einer Vorwärts- 

Rekursion berechnet werden können. 

• Der Algorithmus findet die algebraischen Schleifen minimaler Dimension 

(bezüglich Variablen/Gleichungs-Permutationen). 

• Diagonal-Blöcke mit Dimension > 1 entsprechen algebraischen Schleifen die 

simultan mit einem (linearen oder nicht-linearen) Gleichungslöser gelöst 

werden müssen. 

• Es zeigt sich, daß das Sortieren von 10000 Gleichungen auch auf einem PC 

innerhalb weniger Sekunden durchgeführt werden kann. 

Aber: Für viele (physikalische) Systeme sind die ermittelten 

Gleichungssysteme noch unnötig groß! 

Beispiel: 

Es gibt verschiedene Verfahren, um die algebraischen Schleifen effizient 

weiter zu bearbeiten (siehe: I.S.Duff, A.M.Erismann, J.K.Reid: Direct 

Methods for Sparse Matrices. Oxford University Press. 1986). 

z 

z 


3. Variablensubstitution (Tearing) 

z 

z 

z 

1 

2 

3 

4 

5 

� f ( z ) 

� 

� 

� 

f 

f 

f 

1 

2 

3 

4 

5 

5 

( z 

1 

1 

) 

� f ( z , z ) 

( z , z ) 

2 

( z , z ) 

4 

2 

3 

1 

die Dimension (= 5) dieser algebraischen 

Schleife kann durch BLT-Transformation 

(= Sortierung) nicht verkleinert werden. 

Numerische Lösung dieses nicht-linearen Gleichungssystems erfolgt 

dadurch, dass der Gleichungslöser so lange die Iterationsvariablen 

variiert, bis die Residuen "klein" genug sind: 

input : Iterationsvariablen z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 

output: Residuen r 1, r 2, r 3, r 4, r 5 

r1: � z1� f1( z5) 

r2 : � z2 � f2( z1) 

r3: � z3� f3( z1, z2) 

r4 : � z4 � f4( z2, z3) 

r : � z � f ( z , z ) 

5 5 5 4 1 


z 

z 

z 

z 

z 

1 

2 

3 

4 

5 

� f ( z ) 

� 

� 

� 

f 

f 

f 

1 

2 

3 

4 

5 

5 

( z 

1 

1 

) 

� f ( z , z ) 

( z , z ) 

2 

( z , z ) 

4 

2 

3 

1 

input : Iterationsvariable z 5 

output: Residuum r 5 

z1: � f1( z5) 

z2 : � f2( z1) 

z3: � f3( z1, z2) 

z4 : � f4( z2, z3) 

r : � z � f ( z , z ) 

5 5 5 4 1 

Mit Variablen-Substitution (“Tearing”) kann auf 

ein System der Dimension 1 reduziert werden: 

"Optimale" Wahl der Iterationsvariablen kann 

nur durch Ausprobieren aller Möglichkeiten 

ermittelt werden (zu uneffizient). Aber: 

Gutes heuristisches Verfahren verfügbar 

(wird in Dymola verwendet) 


Wenn alle unbekannten Variablen nur linear in das Gleichungssystem eingehen, 

kann explizit auf eine kleinere Dimension reduziert werden: 

Nach Ermittlung der Iterationsvariablen z 2 und entsprechender Umsortierung 

hat das lineare Gleichungssystem die folgende Struktur (L ist eine untere 

Dreiecksmatrix, wobei die Diagonal-Elemente garantiert nicht-Null sind): 

� L J � �z � �b � 

� � 

12 1 1 

� � � � � � 

�J21 J22 � �z2� �b2� Da L eine reguläre untere Dreiecksmatrix ist, kann die Matrix effizient 

invertiert werden. Dies führt auf eine BLT-Form mit üblicherweise stark 

verkleinertem (nicht-trivialen) Diagonalblock: 

�J �J �L �J 0� �z� �b �L �b 

� 

�1 �1 

� 

� 

22 21 

�J12 12 2 

�� 

L� �z1� � 

2 

b1 

1 

� 

� 

(kleines lin. Gleichungssystem) 

(untere Dreiecksform wegen L, 

kann also durch eine Vorwärtsrekursion 

gelöst werden) 


4. Beispiel 

Die vorstehend erläuterten Algorithmen werden auf ein größeres Modell 

angewandt. Das Ausgangsgleichungssystem besteht aus rund 

1200 Gleichungen mit 1200 Unbekannten z der Form: 0 = f(z) 

Im folgenden wird die Struktur der Jacobi-Matrix 

�f 

�z 

gezeigt. 

x-Achse ist die Nummer der Variable, 

y-Achse ist die Nummer der Gleichung 

Wenn eine Variable i in der Gleichung j auftritt, wird im Diagram ein 

“blauer Punkt” bei der Koordinate (i,j) angegeben 

Die folgenden Diagramme wurden mit Dymola erzeugt. 

Ausgangsgleichungssystem 

Zahl an Nicht-Null 

Elementen = 3995 

Gleichungen 


0 

200 

400 

600 

800 

1000 

Komponentengleichungen 

Verbindungsgleichungen 

1200 

0 200 400 600 800 1000 1200 

Variablen 


Einfache Manipulation 

der Gleichungen: 

• Elimination von “a=b” 

und “a=-b” Ausdrücken 

• Ausnutzung von 

“Null”- Elementen 

Zahl an Nicht-Null 

Elementen = 1017 

BLT – Form 

(Block Lower Triangular) 

0 

50 

100 

150 

200 

250 

300 

0 50 100 150 200 250 300 


0 

50 

100 

150 

200 

algebraische Schleifen 

250 

0 50 100 150 200 250 


Endstruktur nach 

Tearing 

Endstruktur nach 

Tearing (vergössert) 

0 

50 

100 

150 

200 

algebraische Schleifen 

250 

0 50 100 150 200 250 

nz = 916 


20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

nicht-lineares Gleichungssystem 

Iterationsvariablen 

Lineare Gleichungssysteme 

(Transformation mittels 

Iterationsvariablen, Folie 31) 

20 30 40 50 60 

nz = 916 

70 80 90 100 



und 









1. Matrizen und Felder in Modelica, Teil 1 

2. Schnittstellen für 3-dim. Mechanik 

3. Initialisierung von Modellen 

Rechnerübung 


1. Matrizen und Felder in Modelica, Teil 1 

Deklaration von Vektoren, Matrizen, mehrdimensionalen Feldern: 

Real v[3]; // Vektor mit 3 Elementen 

Real M[4,4]; // Matrix mit 4*4 Elementen 

Real F[2,6,3,9]; // 4-dimensionales Feld 

Real[2,3] D; // Matrix mit 2*3 Elementen 

Wenn die Dimensionen unbekannt sind, “:” verwenden: 

parameter Real Nenner[:]; // Dimensionen noch unbekannt 

parameter Real A[:,:]; 

Zugriff auf ein Feldelement mit [..]: 

equation 

v[1]*v[1] + v[2]*v[2] = M[1,3]*M[3,1] + F[1,3,4,5]; 

Das erste Element beginnt immer bei 1; d.h. 

Real v[3]; definiert die 3 Elemente v[1], v[2], v[3] 

Feld-Konstruktor mit { ... } 

Matrix-Konstruktor mit [ ... ] 


Jedes Verwenden von {...} erzeugt eine neue Dimension. Damit 

können Felder beliebiger Dimensionen aufgebaut werden. Beispiele: 

parameter Real v[3] = {1, 2, 3}; 

parameter Real m[2,3] = {{11,12,13}, {21,22,23}}; 

parameter Real a[4,2,3] = {m, 2*m, 3*m, 4*m}; 

parameter Real m2[2,3] = [11, 12, 13; 21, 22, 23]; 

Mit [...] werden Matrizen aufgebaut (Matlab kompatibel). 

Generell erzeugt [...] eine Matrix. 

Zum Beispiel ist [v] eine 3 x 1 Matrix, wenn v ein 3-Vektor ist. 

Erlaubt einfaches Zusammensetzen von Vektoren und Matrizen: 

parameter Real m3[3,3] = [m; transpose([v])]; 

�11 

� 

�21 

�11 

� 

� 

21 

�� 

1 

�11 

� 

�21 


12 

22 

2 

12 

22 

12 

22 

13 � 

23 

� 

� 

13� 

23 

� 

� 

3 �� 

13 � 

23 

� 

�

Beispiel für Parameter Menu für Vektoren und Matrizen 

model TestMatrix 

parameter Real vector[:] "Vektor-Parameter"; 

parameter Real matrix[:,:] "Matrix-Parameter"; 

... 

end TestMatrix; 

Eingabe von Feld mit 

Feld-Konstruktor in Eingabefeld. 

oder 

Eingabe von Feld mit Feld-Editor: 

Auf "Tabellensymbol" klicken 


2. Schnittstellen für 3-dim. Mechanik 

Doppelpendel (2 Drehgelenke + 2 Körper). 

Modelica.Mechanics.MultiBody 

• Automatische Visualisierung 

von jedem Objekt. 

• Jedes Objekt kann beliebig 

verschaltet werden. 


Weltsystem 

(= Inertialsystem) 

Beispiele: 

Drehgelenk 

Beispiel: Doppelpendel 

1D rotatorischer Dämpfer 

1D rotatorischer Flansch um 

Drehgelenk anzutreiben 

Körper 



Schnittstellen-Definition 

a f 

a � 

cut plane 

frame a 

a 

0 r 0a 

R 0a 

0 

world frame 

connector Frame 


import Modelica.Mechanics.MultiBody.Frames; 

SI.Position r_0[3]"= 0 r 0a "; 

Frames.Orientation R "= R 0a "; 

flow SI.Force f[3] "= a f"; 

flow SI.Torque t[3] "= a �"; 

end Frame; 

Real r_0[3]: Ortsvektor vom Weltsystem zum "Frame" System (Koordinaten im Weltsystem) 

Real R[3,3]: Drehmatrix vom Weltsystem ins "Frame" System 

Real f[3] : Schnittkraft (Koordinaten im "Frame" System) 

Real t[3] : Schnittmoment (Koordinaten im "Frame" System) 

Ähnlich wie bei Antriebssträngen, können Geschwindigkeit v, Beschleunigung a, 

Winkelgeschwindigkeit w und Winkelbeschleunigung z 

durch Differentiation ermittelt werden: 

frame_b 

n 

v = der(frame.r_0); 

a = der(v); 

w = MultiBody.Frames.angularVelocity1(frame.R); 

z = der(w); 

n = {0,0,1} 


Jedes Modell muss auf oberster Ebene eine Instanz von 

MultiBody.World haben. Hier wird z.B. das Gravitationsfeld 

definiert, sowie Voreinstellungen für die Animation 

phi 

frame_a 

Drehgelenk wird im wesentlichen definiert durch Vektor n 

in Richtung der Drehachse. Die 3 Koordinaten von n werden im 

frame_a (linker Connector) angegeben. Der Ursprung von 

frame_a und frame_b (rechter Connector) stimmt überein und die 

beiden Frames werden entlang von n um den Winkel phi verdreht. 


Körper mit Masse und Trägheitstensor. Wird im wesentlichen 

definiert durch Vektor von frame_a zum Massenmittelpunkt (r_CM), 

sowie durch Masse und Trägheitstensor 


Weitere Bauteile (aus Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts): 

Fester Punkt (Frame) im Weltsystem 

Feste Translation von frame_b relativ zu frame_a 

(um z.B. Punkte auf einem Körper zu definieren) 

Körper mit zwei Frames (ansonsten wie "Body") 

Quader (spezieller Körper). Masse und Trägheitstensor wird 

über Abmessungen und Dichte berechnet 

Zylinder (spezieller Körper). Masse und Trägheitstensor wird 

über Abmessungen und Dichte berechnet 


Referenzkonfiguration: 

In der Regel sind die Koordinatensysteme aller Connectoren parallel 

zueinander, wenn die Gelenkkoordinaten (wie Drehwinkel eines Drehgelenks) 

Null sind. Diese Referenzkonfiguration erlaubt eine einfache Definition 

aller vektoriellen Größen, da alle lokalen Koordinatensysteme parallel zum 

Weltsystem sind. Beispiel: 

Beispiel: Gewählte Referenzkonfiguration vom "Doppelpendel" 

n = {0,0,1} 

r = {0.5,0,0} r = {0.5,0,0} 

n = {0,0,1} 


( ), ), ( ( ) ( x x x f x � � 

� t t t t t � 

kann mit Standardmethoden numerisch gelöst werden. 

Aber: Der benötigte Anfangszustand x 0 ist nicht immer bekannt. 

Stattdessen zum Beispiel: 

3. Initialisierung von Modellen 

Initialisierung von Systemen in Zustandsform: 

Anfangswerte so, dass System in einem stationären Zustand ist, d.h. 

x� ( t � t0) 

� x� 

0 � 0 

Daraus können die für den Integrator benötigten Anfangswerte berechnet werden: 

, ) x f 

Löse 0 � 

nach x0 ( 0 0 t 

(d.h. Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems) 


0 ) 

0

Initialisierung von regulären DAEs: 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

Auch hier genügt es die Anfangszeit t 0 und den Anfangszustand x 0 vorzugeben. 

Dann ist die DAE ein nichtlineares Gleichungssystem zur Bestimmung der 

anderen Variablen am Startzeitpunkt (= dasselbe Gleichungssystem, das auch 

während der Integration zu lösen ist, da in jedem Schritt vom Integrator auch der 

Zustand x(t) vorgegeben wird): 

0 � f x� 

, x , y , t ) mit x� � x� 

t ), x � x( 

t ), y � y( 

t ) 

gegeben: t0, x0 gesucht : 0 , y 0 x� 

( 0 0 0 0 

0 

( 0 0 0 0 0 


Allgemeinere Anfangsbedingungen: 

Die DAE muss am Anfangszeitpunkt t 0 erfüllt sein, d.h. 

0 � f x� 

, x , y , t ) mit x� � x� 

t ), x � x( 

t ), y � y( 

t ) 

( 0 0 0 0 

0 

( 0 0 0 0 0 

Statt x 0, werden alternativ dim(g) = dim(x) Bedingungen vorgegeben: 

0 � g( 

x� 

0, 

x0, 

y 0, 

t0) 

Dann liegt ein nichtlineares Gleichungssystem in 2*dim(x) + dim(y) 

Gleichungen in den 2*dim(x) + dim(y) Unbekannten x� 0 , x0, 

y0 

vor, 

das zum Anfangszeitpunkt t0 gelöst werden muss. 

0 � f ( x� 

, x , y , t ) 

0 

0 � g( 

x� 

, x , y , t ) 

0 

0 

0 

0 

0 


0 

0

Dymola generiert im Prinzip zwei unterschiedliche Codes: 

• einen zur Initialisierung 

(Gleichungen f(...) und g(...); alle Variaben sind unbekannt) 

• einen zur Simulation 

(Gleichungen f(...); Variablen x(t) sind bekannt, x� ( t), y( 

t) 

werden berechnet) 

Vorteil: 

Durch Dymolas symbolische Vorverarbeitung von beiden 

Gleichungssystemen, gibt es eine effiziente und robuste Lösung 

der Initialisierungsgleichungen mit guter Diagnostik in Problemfällen. 


Anfangswertgleichungen g(..) können in Modelica auf zwei unterschiedliche 

Weisen definiert werden. 

1. Durch zusätzliche Attribute von Variablen 

start Anfangswert der Variable bei t0 (Voreinstellung = 0) 

fixed = true : v(start=v0, fixed=true) ergibt die Gleichung 

"v = v0" bei der Initialisierung 

(Voreinstellung für Parameter) 

= false: "start" ist ein Schätzwert, der während der 

Initialisierung geändert werden darf. 

(Voreinstellung für alle anderen Variablen) 

2. Durch Gleichungen in der “initial equation” oder “initial algorithm” 

Sektion. Die Gleichungen/Zuweisungen in diesen Sektionen werden 

nur bei der Initialisierung benutzt. 


Beispiel: 

k 

y � �u 

T � s �1 

model FirstOrder // initialize state 


input Real u; 

Real y(start=1, fixed=true); 

equation 



Bei der Initialisierung gibt es 2 Gleichungen: 

mit der Lösung: 

y = 1; 

T*der(y) + y = k*u(t 0 ); 

y := 1; 

der(y) := (k*u(t 0 ) - y)/T; 

T � y� 

� y � k �u 


k 

y � �u 

T � s �1 

T � y� 

� y � k �u 

model FirstOrder // stationary initialization 


input Real u; 

Real y; 

equation 


initial equation 

der(y) = 0; 



der(y) = 0; 

T*der(y) + y = k*u(t 0 ); 

mit der Lösung: 

der(y) := 0; 

y := k*u(t0 ); 


Beispiel: 

Feder-Massesystem im 

Schwerefeld 

s 

Gleichungen: 

s� � v 

mv ��mg � �c� s�s Resultat: 

m � g 

s( 

t0 

) � s0 

� 

c 

v( 

t ) � 0 

0 

� � 

mit 

s : Abstand zum Nullpunkt 

v : Geschwindigkeit 

m: Masse 

g : Gravitationsbeschleunigung 

c : Federkonstante 

s0 : Länge der unausgelenkten Feder 

Stationäre Initialisierung: 

s� 

� 0 

v� 

� 0 

+ 

s� � v 

mv ��mg � �c� s�s M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 6. Vorlesung 21 

0 

� � 

Wenn zu viele Initialisierungsbedingungen vorgegeben werden 

(also > dim(x) Gleichungen), bricht Dymola mit einer Fehlermeldung ab: 

hier: 

es gibt 2 Anfangsbedingungen zu viel 

Wenn zu wenig Initialisierungsbedingungen vorgegeben werden 

(also < dim(x) Gleichungen), verwendet Dymola automatisch 

die "start" Werte von geeigneten Zustandsgrößen als Anfangsbedingungen. 

Wenn kein "start" Wert gesetzt wurde, wird hierzu der "default start" Wert 

von Null benutzt. 


0

Wenn zu wenig Initialisierungsbedingungen vorgegeben werden 

und im Eingabefenster des Simulations-Windows die Option 

Advanced.DefaultSteadyStateInitialization = true 

gesetzt wurde, verwendet Dymola automatisch die Anfangsbedingungen 

der(x) = 0 für geeignet gewählte Zustände x. D.h. wenn keinerlei 

Anfangsbedingungen gesetzt wurden, wird im Stationärzustand initialisiert. 

Beispiel: 

Real y1(start=1, fixed=true); 

Real y2; // obige Option wurde gesetzt 

equation 

T*der(y1) + y1 = k1*u; 

T*der(y2) + y2 = k2*y1; 


y1 = 1; 

der(y2) = 0; 

T*der(y1) + y1 = k1*u(t 0 ); 

T*der(y2) + y2 = k2*y1; 

Beispiel: MultiBody Bibliothek 

Starte von gegebenem Startwinkel 

phi_start = 0 und Startdrehzahl 

w_start = 0 

mit der Lösung 

y1 := 1; 

der(y1) := (k1*u(t 0 ) – y1)/T 

der(y2) := 0; 

y2 := k2*y1; 


Gelenke können 

über ein Menü 

initialisiert werden 


Stationäre Initialisierung 

w = 0, der(w) = 0, 

phi_start wird als Schätzwert benutzt (für nichtlineares Gleichungssystem) 


Damit können in Modelica sehr flexibel Anfangswertgleichungen definiert 

werden. Dies erlaubt insbesondere die Definition und Lösung schwieriger, nichtstandard 

Initialisierungsprobleme industrieller Anwendungen. Beispiele: 

• Stationäre Initialisierung um eine konstante Vorwärtsgeschwindigkeit eines 

Flugzeugs (d.h. nicht alle Zustandsableitungen verschwinden). 

• Stationäre Initialisierung um periodische Lösungen, 

wie sie in Systemen der Leistungselektronik oder bei Motormodellen 

auftreten. 

• Stationäre Initialisierung von kontinuierlichen Systemen, die über 

Abtastsysteme geregelt werden (die diskreten Zustände der 

Abtastregler werden so berechnet, dass sich das Gesamtsystem in einem 

stationären Zustand befindet). 

• Initialisierung von unstetigen und strukturvariablen Systemen, z.B., Systeme 

mit Reibung, Lose etc. (bei der Initialisierung wird eine glatte Approximation 

der Unstetigkeit verwendet). 

• Initialisierung von Parametern (z.B. Federkonstante). 



und 









1. Einführung in singuläre Systeme 

2. Allgemeine Behandlung singulärer Systeme 

3. Test zu “singuläre Systeme” 

Rechnerübung 


Ziel: 

1. Einführung in singuläre Systeme 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

0 � f ( z, 

x, 

t) 


�x� 

� 

oder kompakter mit z � � � 

�y� 

x� 

� f ( x, 

t) 

( x, 

t) 


1 

y � f 

2 

z � g( 

x, 

t) 


algebraisches Gleichungssystem 0 = f(z) gelöst werden muss. 

Eine eindeutige Lösung existiert, wenn 

�f 

�z 

regulär ist, d.h. 

� �f 

� 

det� � � 0 

� �z 

� 

Diese Voraussetzung wird jetzt fallengelassen, d.h. es werden Systeme 

betrachtet bei denen 

�f 

��f 

� 

�z 

� 

��x� 

�f 

� 

�y 

� 

� 

� �f 

� 

� � 

� �z 

� 

singulär ist, d.h. det � 0 

Diese werden im folgenden als “singuläre Systeme” bezeichnet. 

In der Literatur wird auch von “Systemen mit höherem Index” gesprochen. 

Der Zusammenhang mit “singulären Systemen” wird später aufgezeigt. 

Hinweis: Eine Matrix ist auf jeden Fall singulär, wenn eine Zeile oder Spalte 

der Matrix nur aus „Nullen“ besteht, zum Beispiel: 

�1 

� 

� 

0 

�� 

2 

0 

0 

3 

2� 

0 

� 

� 

0�� 


Beispiel: 

0 � � � �� 

0 � J 

1 

1 

2 

1 

1 

1 

2 

1 

0 � � � i �� 

0 � i �� 

�� 

� � � �� 

( t) 

�� 

2 

2 

0 

0 � � �2 

�� 

2 

0 � J � � � �� 

� 0( t) 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

2 

Inertia1 

1 

Inertia2 

IdealGear 

gegeben: τ 0(t), J 1, J 2, i 

Test 

0 � C 

0 � u 

0 � i 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

0 

1 

0 � u 

1 

0 � C 

0 

2 

�u� 

� i 

1 

1 

�u� 

2 

� u 

� i 

2 

� i 

� R �i 

1 

� i 

2 

0 

��1 

� 

� � 

� 

�1 

x � � 

�� 

� � � � 

2 1 � 

� � � 

�� 

� 

� 

2 � � 

�1 

� 

� � � � 2 

z � � � 

� 

� � �2 

� 

�� 

1 � � � 

y � �1 

� � 

�� 

� � 

2 � �� 

� 2 �� 

�� 

� 1 0 0 0 0 0 � 

� 

� 

0 J1 

0 0 1 0 

�f 

� 0 0 1 0 0 0 

� � 

�z 

� 0 0 0 J 2 0 �1 

� 0 0 0 0 0 0 

� 

�� 

0 0 0 0 i �1� 

nicht regulär 


2 

� u 

gegeben: u 0(t), C 1, C 2, R 

1 

� 

x � 

� 

� 

�� 

y � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

u 0 

i 0 

� 

� 

� 

� 

z � � 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

�f 

� 

� � 

�z 

� 

� 

� 

�� 

u 1 u2 


i 1 

regulär (ja/nein): 

i 2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

��

Singuläre Systeme können durch algebraische Transformationen nicht in 

Zustandsform überführt werden, da das zu lösende nicht-lineare 

algebraische Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt. 

Generell gilt: 

�f 

Wenn singulär ist, liegt einer der folgenden beiden Fälle vor: 

�z 

• Es gibt keine eindeutige Lösung 

(das Modell ist "falsch" oder "zu stark idealisiert") 

• Es gibt Zwangsbedingungen zwischen potentiellen Zustandsgrößen, 

so daß das Gesamtsystem weniger Zustandgrößen hat, als die Summe der 

potentiellen Zustandsgrößen der Einzelkomponenten. 

D.h. die DAE kann eindeutig gelöst werden. Allerdings erfordert dies eine 

(nicht-triviale) Transformation in eine andere Zustandsform, mit weniger 

Zustandsgrößen! 

Singuläre Systeme treten in allen Gebieten der Physik auf! 

Hinweise: 


•Für spezielle singuläre Systeme (z.B. Mehrkörpersysteme) gibt es eine 

ganze Reihe unterschiedlicher Lösungsverfahren. 

• In der Vorlesung wird jedoch nur ein Verfahren besprochen 

(= Dummy Derivative Methode), welches für die objektorientierte 

Modellierung am besten geeignet ist, da damit eine sehr große Klasse 

von Systemen automatisch behandelt werden kann.Dieses Verfahren 

wird auch in objekt-orientierten Modellierungssystemen 

wie Dymola, Abacus, EquaPro, etc. eingesetzt. 

• Bei anderen Verfahren, wie der direkten numerischen Lösung der DAE, 

können nur sehr spezielle Klassen von singulären Systemen behandelt 

werden. 


Analyse eines singulären Systems: 

J 

J 

2 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

1 

� � � � 

1 

1 

2 

2 

1 

i �� 

�� 

1 

0 

� � � �� 

2 

2 

1 

� � � �� 

�� 

� � � � 

2 

� � i �� 

2 

1 

Trägheit 1 

Trägheit 2 

Getriebe 

� 0( t) 

Zustandsgrößen 

anschaulich ist klar, dass durch Vorgabe von � 1, � 1, auch die Zustandsgrößen 

� 2, � 2 von Trägheit 2 festliegen, da das Getriebe die Trägheiten starr koppelt. 

Damit können � 1, � 1 , � 2, � 2 nicht mehr unabhängig vorgegeben werden und 

zwei der Grössen können deswegen keine Zustandsgrößen sein! 

J 

J 

2 

1 

� � � � 

1 

1 

2 

� � � �� 

2 

1 

i �� 

�� 

1 

0 

2 

2 

1 

� � � �� 

�� 

� � � � 

2 

� � i �� 

2 

2 

0 

4 


2 

1 

��1 

� 

� � 

� 

�1 

x � � 

�� 

� 2 

� � 

�� 

2 � 

�� 

1 � 

y � � � 

�� 

2 � 

� � �1 

� 

� 

� 

� 

� 

�1 

� 

� � � � 2 

z � � � 

� � �2 

� 

�� 

� 

1 

� � 

�� 

� 2 �� 

6 Gleichungen zur Berechnung der 

6 Unbekannten z 

Ist aber eine Gleichung, in der 

keine der Unbekannten auftritt. 

Zustandsgrößen können an einem Anfangszeitpunkt beliebig vorgegeben 

werden. Auf Grund von “� 1=i � 2” gibt es aber eine algebraische Beziehung 

zwischen Zustandsgrößen, so daß dies hier nicht möglich ist. Hieraus folgt, daß 

eine der beiden Größen kein Zustand sein kann. 

Es werde angenommen, daß �1 kein Zustand ist. Solche Variablen werden in 

Zukunft als Dummy-Zustände bezeichnet. Damit wird eine neue Unbekannte 

eingeführt. Da es aber nur 6 Gleichungen für die jetzt 7 Unbekannten gibt, 

wird eine zusätzliche Gleichung benötigt. Diese ergibt sich durch 

Differentiation aus der Zwangsbedingung: 

� � i 

�� 

� � � i � � � 


1 

2 

1 

2

Hinweise: 

Die Zwangsgleichungen zwischen potentiellen Zuständen können mit der 

folgenden hinreichenden strukturellen Bedingung aus den Gleichungen 

einer DAE ermittelt werden: 

� � i �� 

1 Gleichung > 0 Unbekannte 

hier: 1 2 

Zahl der Gleichungen > Zahl der Unbekannten 

in einer möglichst kleinen Untermenge der DAE-Gleichungen 

Dummy-Zustände und Ihre Ableitungen, wie �1,�� 1, 

sind rein 

algebraische Variable. 

J 

J 

2 

1 

� � � � 

1 

1 

2 

� � � �� 

2 

1 

i �� 

�� 

1 

1 

1 

� � � �� 

�� 

0 

� � � � 

2 

2 

2 

� � i �� 

� � � i � � � 


2 

2 

1 

��1 

� 

x � 

� � 

� 

�2 

� 

�� 

� � 2 � 

�� 

1 � 

� � 

� 

� 2 

y � � 

�� 

� 1 

� � 

� � �1� 

� � �1 

� 

� 

� 

� 

� 

�2 

� 

� � � � 2 

� � 

z � �� 

1 � 

�� 

� 

2 

� � 

��1 

� 

� � 

� � �1 

� 


7 Unbekannten z 

3 Gleichungen für 2 Unbekannte ( �1 , � �2), 

da die Zustandsgrößen 

�1, �2 als bekannt angenommen werden. 

� 

Damit liegen wieder Zwangsgleichungen zwischen Zuständen vor, so 

dass einer der beiden kein Zustand sein kann. 

Einer der beiden Zustände muss so als Dummy-Zustand ausgewählt 

werden, dass mit diesen 3 Gleichungen die 3 Unbekannten der Gleichung 

berechnet werden können. 


Hier: � 1 ist Dummy-Zustand, d.h. eine neue Unbekannte 

Mit dieser Wahl sind die 3 Gleichungen regulär, da 

Differentiation der 3 Zwangsgleichungen gibt 3 neue 

Gleichungen und 2 neue Unbekannte ( � , �� 

) � � � 

J 

J 

2 

1 

� � � � 

1 

1 

2 

� � � �� 

2 

1 

i �� 

�� 

1 

1 

1 

2 

1 

1 

� � � �� 

�� 

0 

� � � � 

2 

2 

2 

� � i �� 

� � � i � � � 

� �� 

� � � 

1 

� �� 

� � � 

2 

2 

2 

� �� 

� i � � �� 

2 

1 

�� 

2 � 

x � � � 

�� 

2 � 

��1 

� 

� � 

� 

� 2 � 

�� 

� 1 

� � 

� � �1 

y � 

� 

� � �� 

� 

1 

� � 

��1 

� 

� 

� 

� 

� 

�1 

� 

�� 

� �� 

� 2 � 

� � �2 

� 

� 

� 

� 

� 

�2 

� 

�� 

� 1 

� � 

�� 

2 � 

�� 

� 

1 

z � � � 

� � �1 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

1 � 

�� 

� 1 

� � 

� � �1 

� 

� � 

� � �� 

2 � 

1 

2 

� � : � � 


2 

1 

� : � � � 

1 

2 

� � : � i � � � 


10 Unbekannten z. 

System ist jetzt regulär! 

Dymola erstellt dieses Gleichungssystem 

automatisch und formt es 

um in: 

� � : � � 

2 

2 

i �� 

0( 

t) 

� �2 

: � 

J � i �i 

� J 

+ Gleichungen für Hilfsgrössen 

2. Allgemeine Behandlung singulärer Systeme 

Vorgehensweise (Pantelides Algorithmus + Dummy Derivative Methode): 

(1) Möglichst kleine Teilmengen Ci von Zwangsgleichungen suchen, die 

keinen vollen Rang besitzen (mit Zuweisungsalgorithmus, siehe Vorlesung 6). 

Hinreichende Bedingung: Zahl der Gleichungen > Zahl der Unbekannten 

Unbekannte z sind die höchsten Ableitungen der auftretenden Variablen 

Zu Beginn von 0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

sind dies z � [ x� 

, y] 

Zur Erinnerung: 

Mit dem Zuordnungsalgorithmus der BLT Transformation wurde ermittelt, 

nach welcher Variablen eine Gleichung aufgelöst wird. Diejenigen 

Gleichungen, für die keine Zuordnung gefunden werden kann, sind 

strukturell singulär und sind die Zwangsgleichungen. 


2 

1 

2 

1

(2) Die Zwangsgleichungen C i differenzieren, und die differenzierten 

Gleichungen D i und durch das Differenzieren neu auftretende Unbekannte z neu 

zur DAE hinzunehmen. (Welche Gleichungen differenziert werden hängt nicht 

davon ab, welche Dummy-Zustände ausgewählt werden. Aus numerischen 

Gründen ist es besser, die Dummy-Zustände erst nach Vorliegen aller 

Zwangsgleichungen festzulegen). 

(3) Die Ausgangs-DAE ohne Zwangsgleichungen C i aber mit D i nach (1) und (2) 

bearbeiten (immer bezüglich der jeweils höchsten auftretenden Ableitungen). 

Abbruch, wenn es keine Zwangsgleichungen, d.h. singuläre Teilmengen- 

Gleichungen, mehr gibt. 

(4) Aus allen Zwangsgleichungen Ci so viele Zustände als Dummy-Zustände xd auswählen, bis diese Gleichungen vollen Rang besitzen 

(d.h. werden als unbekannte algebraische Größen angesehen; 

zuvor waren xd d d 

x und x� 

bekannte Größen). 

Literatur: 

Pantelides C.C: The consistent initialization of differential-algebraic systems. 

SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing, No. 9, S. 213-231, 1988. 

Mattsson S.E. und Soederlind G.: Index Reduction in Differential-Algebraic Equations Using 

Dummy Derivatives. SIAM Journal on Scientific Computing. Vol. 14, S. 677-692, Mai 1992 


Es gibt spezielle DAEs bei der die hinreichende Bedingung nicht hilft. Z.B.: 

0 � x� 

1 

0 � x 

1 

0 � 2x 

� x 

� 

1 

y 

� 

1 

1 

� 2y 

y 

� 

1 

y 

� 

2 

y 

1 

�1 

2 

� 3y 

2 

� x� 1 � 

z � 

� � 

� 

y1 

� 

�� 

y � 2 � 

1 2 3 

� �f 

� 

det� � � 0 1 1 � 0 

� �z 

� 

0 1 1 

3 Gleichungen für die 3 Unbekannten x� 1 , y1, 

y2 

Hier gibt die hinreichende Bedingung keine Aussage und es wird nicht erkannt, 

dass die DAE singulär ist. Auch diese DAE kann auf Zustandsform transformiert 

werden: x1 

�1, y1 

� �5, 

y2 

� 3 

Man beachte: wird einer der Vorfaktoren von y1 oder y2 in den letzten beiden 

Zeilen etwas geändert, z.B. von 1 in 0.9999999, so ist diese DAE regulär! 

Hinweis: 

Es ist schwierig ein System zu konstruieren bei dem die hinreichende 

Bedingung nicht zutrifft, wenn das System durch eine Zusammenschaltung von 

Einzelkomponenten entsteht, die jeweils einer physikalischen Komponente 

entsprechen. D.h. dieser Fall tritt in der Praxis sehr selten auf. 


Eine singuläre DAE kann nicht auf Zustandsform transformiert werden, 

wenn die DAE keine eindeutige Lösung besitzt. Beispiel: 

Differentiation der Zwangsgleichung 

beliebig oft differenzieren gibt niemals 

0 � f� 3( 

y1, 

y� 

1) 

eine neue Gleichung für x� oder y2. Anschaulich: 

0 � f ( x� 

, x, 

y 

0 � 

0 � 

f 

f 

1 

2 

3 

( y 

( y 

1 

1 

) 

) 

2 

) 

nach x� oder y2 auflösen 

nach y 1 auflösen 

Zwangsgleichung 

Wenn die letzten beiden Funktionen identisch sind, gibt es beliebig viele 

Lösungen, ansonsten gibt es keine Lösung, da ein Widerspruch vorliegt um 

y 1 zu bestimmen. 

Eine solche DAE wird als strukturell inkonsistent bezeichnet. 

(Diese Eigenschaft wird von Dymola beim Übersetzen erkannt). 

4.1 Dämpfer 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

J 

J 

2 

1 

�� 

�� 

�� 

� 

� 

1 

�� 

1 

2 

2 

1 

2 

� � 

� � 

� � 

� � 

0 

2 

�� 

� � 

1 

1 

� � 

2 

2 


3. Test zu “singulären Systemen” 

� � 

1 

� � 

� d �� 

Eingangsgröße 

inertia1 

inertia2 

1 

damper 

gegeben: τ 0(t), J 1, J 2, d 

�0 

( t) 

Variable vom Ausgangsgleichungssystem: 

� 

� 

� 

x � � 

� 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

z � 


� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

welche Gleichungen 

müssen differenziert 

werden?

1. Differenzierte Gleichung(en): 

2. Variablen vom 

End-Gleichungssystem 

� � 

� 

x � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

4.2 Parallele Kapazitäten 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

0 � C 

0 

1 

1 

0 � C 

0 � u 

0 � i 

0 � u 

0 

2 

�u� 

� i 

1 

1 

�u� 

2 

� u 

� i 

2 

� i 

� R �i 

gegeben: u 0(t), R, C 1, C 2 

1 

� i 

2 

0 

3. Gleichungen um die Ableitung des 

Zustandsvektors zu berechnen: 


2 

� u 

1 

u 0 

Variable vom Ausgangsgleichungssystem: 

� 

� 

� 

x � � 

� 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

i 0 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

z � 


� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

u 1 u2 

i 1 

i 2 



werden?




� � 

T 

q 

q 

q 

1 

1 

2 

2 

� 

x � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

� 

� 

� T0 

( t) 

� c �m1 

�T� 

1 

� c �m 

�T� 

2 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

4.3 Wärmeleitung 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

t) 

�A 

� �( 

T1 

�T 

L 




Eingangsgröße T 0(t) 

2 

) 

tempSource 

heatCapacitor1 

heatCapacitor2 

thermalConductor 

gegeben: T 0(t), c, m 1, m 2, λ, A, L 

Variablen vom Ausgangsgleichungssystem: 

� 

x � � 

� 

� 

y � � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

z � 


� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 



werden?




� � 

� 

x � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

y � � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 





und 









1. Test zu singulären Systemen 

2. Regler mit linearen, inversen Modellen 

3. Regler mit nicht-linearen, inversen Modellen 

Rechnerübung 


1. Test zu "singulären Systemen" 

Analysieren Sie die folgenden Systeme: 

• Schreiben Sie die Zahl der lokalen Zustände neben die Komponenten 

• Wie viele Zustände hat das jeweilige Gesamtsystem? 

Beispiel: 

lokale Zustände 

1 1 

u 1 u2 

Zwangsbedingungen: u 1 = u 2 

Zahl der Zustände vom 

Gesamtsystem: 1 


Zahl der Zustände 

vom Gesamtsystem: 


Differentialgetriebe 

1 

�0 

� � 

2 

� �� 

1 

2 

0 

�� 1 

0 �� 

�� 

�� 

1 

2 

2 







Standard-Regelkreis (Regler mit 1 strukturellen Freiheitsgrad) 

Sollgröße 

(wird vorgegeben) 

2. Regler mit linearen, inversen Modellen 

y d 

P � R 

Fw() s � 

1�P�R 

P � R 

Fz() s � 

1�P�R 

1 

Fd() s � 

1�P�R 

(= wichtige Anwendung von singulären DAEs) 

- 

d 

R(s) 

u 

P(s) y 

Regler Strecke 

y � F () s �y�F () s �z�F () s �d Übertragungsfunktion 

y d 

w d z d 

Führungsübertragungsfunktion 

(gewünscht: R so, dass F w ≈ 1) 

Messübertragungsfunktion 

(gewünscht: R so, dass F z ≈ 0) 

Störübertragungsfunktion 

(gewünscht: R so, dass F d ≈ 0) 

Störgröße (ist unbekannt) 


Regler mit 2 strukturellen Freiheitsgraden – Grundidee: 

(für die Praxis sehr wichtige Reglerstruktur, die einen wesentlich 

besseren Kompromiss für den Reglerentwurf erlaubt) 

W(s) 

- 

�1 

d d 

e�W �y �P�( P �W) �y �0 

W(s)�P -1 (s) 

e � 0 

P(s) 

- 

z 

Messrauschen 

(ist unbekannt) 

Schwierig R zu 

entwerfen, da sehr 

unterschiedliche 

Anforderungen 


u 

Strecke 


der Strecke 

y 

y � W ( s) 

� 

Wenn z = 0, d = 0, und exakte Inversion, dann ist der Regelfehler e = 0 

(d.h. Steuerung ist für Führungsübertragung "zuständig" und 

Regler ist für Stabilisierung, Störgrößen, Streckenunsicherheiten, 

Messrauschen "zuständig") 

yd

Regler mit 2 strukturellen Freiheitsgraden – Analyse 

y d 

Sollgröße 

Fw () s � W 

W(s) 

P � R 

Fz() s � 

1�P�R 

- 

W(s)�P -1 (s) 

Regler 

Strecke 

u 

R(s) P(s) 

y � F () s �y�F () s �z�F () s �d Übertragungsfunktion 

w d z d 

1 

Fd() s � 

1�P�R 

Führungsübertragungsfunktion 

(gewünscht: W so, dass F w ≈ 1) 

Messübertragungsfunktion 

(gewünscht: R so, dass F z ≈ 0) 

Störübertragungsfunktion 

(gewünscht: R so, dass F d ≈ 0) 


der Strecke 


Die vorigen Überlegungen gelten nur für lineare Regler die für 

lineare Regelstrecken entworfen werden. 

d 

Störgröße (ist unbekannt) 

- 

z 

y 

Messrauschen 

(ist unbekannt) 

Da W nur in F w 

und R nur in F z, F d 

ist besserer 

Kompromiss 

möglich 

Diese fundamentale Reglerstruktur kann aber so erweitert werden, 

dass in der Vorsteuerung die Inverse des nicht-linearen Streckenmodells 

verwendet wird, und diese Inverse mit Modelica und Dymola automatisiert 

erstellt werden kann (da die Grundidee dieselbe ist, um mit einer geeigneten 

Vorsteuerung im idealen Fall einen Regelfehler von Null zu erreichen). 

Der Hauptvorteil ist, dass die Vorsteuerung so ausgelegt werden kann, 

dass diese für alle Betriebspunkte der Regelstrecke gilt (der vorige 

Reglerentwurf mit einem linearen Regelstreckenmodell gilt nur für 

einen Betriebspunkt der Regelstrecke). 


Lineare Inverse Modelle 

Für lineare Systeme 

z( 

s) 

y � �u 

n( 

s) 

y(t) wird aus u(t) berechnet 

Inversion 

u y 

z 

Fuy 

n 

� 

F 

F 

( s) 

( s) 

n( 

s) 

u � � y 

z( 

s) 

u(t) wird aus y(t) berechnet 

Differenzgrad 

d F = Grad(n F) - Grad(z F) 

Die Übertragsungsfunktion F ist 

kausal (= realisierbar), wenn 

d F � 0, d.h. Grad(n F) � Grad(z F) 

u y 

( s �1) 

Nullstellen s = 1 

Fuy � 

Pole s = 2, s = -3 

( s � 2)( 

s � 3) 

Differenzgrad d = 1 

w 

( s( 

s� 

�3 

)( 3)( 

s �s 

�4 

)( 4)( 

s �s 

�5 

) 5) 

( s �( 

s2� 

)( 1s)( 

�s 

T� 

)( 2) 

s �T 

) 

1 


Inverse Modelle können z.B. als Steuerung für stabile Strecken, oder 

als Vorsteuerung für ein geregeltes System benutzt werden: 

Ziel einer Steuerung: Vorgabe einer Wunschübertragungsfunktion W(s) 

S 

Steuerung S(s) 

2 

W 

u 

(s-1) im Nenner von S(s) nicht 

möglich, da S(s) sonst instabil ist 

W() s � 

( s�T1)( s�T2) M. Otter: Simulation von elektromechanischen Systemen, 8. Vorlesung 12 

F 

y 

stabile Regelstrecke F(s) 

( s �1)( 

s � 2) 

( s � 3)( 

s � 4)( 

s � 5) 

( s �1) 

Anforderungen 

• S stabil und kausal 

• Wstabil 

welche W(s) sind 

dann wählbar ? 

(d = 1) 

(d = 1)

Vorgehen zum Entwurf einer Steuerung für eine stabile Strecke: 

1. Die Pole der Strecke werden die Nullstellen der Steuerung. 

2. Die stabilen Nullstellen der Strecke werden die Pole der Steuerung. 

3. Es werden so viele Pole T i bei der Steuerung hinzugefügt, bis die Steuerung 

mindestens so viele Pole wie Nullstellen hat, d.h. der Differenzgrad >= 0 ist 

(damit die Steuerung realisierbar ist). 

4. Die Pole T i werden geeignet gewählt (= Wunschübertragungsfunktion). 

Da die Wunschübertragungsfunktion = 1 ist, sollte diese möglichst 

lange bei "1" sein und dann abfallen: 

→ Verwende Tiefpassfilter als Wunschübertragungsfunktion, d.h. 

Nach Vorgabe der Eckfrequenz (sowie des Filtertyps) 

und der Filterordnung ≥ (Strecken-Differenzgrad + instabile Nullstellen) 

ist alles festgelegt. Die Eckfrequenz soll so gross wie möglich sein 

(wird durch "Probieren" ermittelt, bzw. erster Ansatzpunkt: 

bis zu welcher Frequenz stimmt Modell der Strecke mit realer Strecke 

überein?) 


Welchen Filtertyp verwenden? 

Eingang: Step 

Ausgang: Filterausgang 

→ Als Wunschübertragungsfunktion kommt nur 

"CriticalDamping" oder "Bessel" Filter in Frage, z.B. 

Modelica.Blocks.Continuous.CriticalDamping oder 

Modelica_LinearSystems2.Sampled.Filter (analogFilter = Bessel) 

sonst weicht das gefilterte Eingangssignal zu stark vom 

Eingangssignal ab und hat unerwünschte Schwingungen. 


3. Regler mit nicht-linearen, inversen Modellen 

Verallgemeinerung auf nichtlineare DAEs (u: Eingänge, y: Ausgänge): 

0 � f ( x� 

, x, 

y, 

u, 

t) 

Inverses Modell: Bedeutung von Ein- und Ausgang vertauschen. 

Z.B. ein Ausgang y i ist Eingangssignal (war vorher unbekannt), 

ein Eingang u i ist Ausgangssignal (war vorher bekannt). 

Vertauschung von Ein- und Ausgängen führt in der Regel auf 

singuläre DAEs, d.h. Gleichungen müssen differenziert werden, 

um auf Zustandsform transformiert werden zu können. 

Bei linearen Systemen gibt der Differenzgrad an, wie oft das 

inverse Modell differenziert werden muss, um auf Zustandsform 

transformiert zu werden. Beispiel 

( s � 2) 

y � 

�u 

( s � 3)( 

s � 4)( 

s � 5) 

d = 2 

(2-Mal differenzieren) 

Beispiel: 

( s � 3)( 

s � 4)( 

s � 5) 

u � 

� y 

( s � 2) 


x 

m 

f (t) 

Normalerweise: f(t) gegeben, x(t) gesucht. 

Inverses Modell: x(t) gegeben, f(t) gesucht 

f �� 

Lösung: � m � x 

m � �x 

� � 

D.h. der "Eingang" x(t) muss zwei Mal differenziert werden. 

Üblicherweise ist das nicht möglich. Deswegen wird x(t) zuerst 

gefiltert (entspricht bei linearen Systemen dem Hinzufügen der 

T i-Pole, bis der Differenzgrad >= 0 ist). 


f

Beispiel: Filter erster Ordnung 

1 

y � �u 

T � s �1 

bzw. 

und damit: y� �u�y� � 

T 

1 

Beispiel: Filter zweiter Ordnung 

Ergebnis Eingang : x 

Ausgang: f 

1 

y � 

�u 

2 

� s � s 

� � 

� 2� 

D � �1 

�� 

� � 

1 2 � D 

� �x 

�f 

� x� 

f � x f � x 

2 

� � 

T � y� 

� y � u 

bzw. mit 

u(t) := x(t) 

y(t) := x f(t) (= gefiltertes x) 

Wenn x f als Eingang verwendet 

wird, und x f differenziert wird, 

stehen die 1. und 2. Ableitung 

zur Verfügung! 


1 2 � D 

� �x 

�f 

� x� 

2 

� � 

f � m � �x 

� 

f 


f 

� x 

f 

� x 

Der Eingang x wird über das Filter geglättet. Gleichzeitig wird über 

das Filter d2xf/dt2 berechnet und dann im inversen Modell verwendet 

um f zu berechnen. Da im Beispiel alles linear ist, kann das inverse Modell 

hier auch als Übertragungsfunktion dargestellt werden: 

1 

Strecke: xs � � f 2 

m � s 

Steuerung: 

(inv. Strecke) 

m � s 

f � 

� x 

1 2 2 � D 

� s � s �1 

2 

� � 

1 

Reihenschaltung: xs � 

� x 

1 2 2 � D 

� s � s �1 

2 

� � 

(= Wunschübertragungsfunktion) 

2

in Modelica 

Vorgegebene Position s 

der Masse 

oder kürzer 

Filter 2. Ordnung 

(Modelica.Blocks.Continuous.CriticalDamping) 

Eingang von „force“ 

wird berechnet 

Inverse Verschaltung von Ein- und Ausgang 

(Modelica.Blocks.Math.InverseBlockConstraints): 

(die Komponente 

"Position" hat einen 

eingebauten Filter) 


Funktioniert auch bei nichtlinearen Systemen 

Hier: Vorgabe des Lastwinkels (inertia2.flange_b.phi) über die CombiTimeTable 

und Berechnung des hierfür benötigten Antriebsmomentes (torque.tau). 

Problem bei nichtlinearen Systemen: 

Es ist normalerweise nicht im vorneherein klar, wie oft die Eingangssignale 

differenziert werden müssen, d.h. die minimale Filterordnung ist unbekannt. 


Vorgehen: Eingangssignal-Connector verwenden (kann von Dymola nicht 

differenziert werden) und Filter entfernen. Dies ergibt eine Fehlermeldung, in der 

die nötige Differentiationsordnung angegeben ist: 

Ab Filterordnung 4 

kann dieses Modell 

also übersetzt 

werden. 

y c,d(t) 


Beispiel für Einsatz eines nicht-linearen inversen Modells in der Regelung: 

reference 

model 

controller 

(p) 

y cr,d,y cr,d..,y cr,d 

inverse 

plant model 

y m,d 

- 

e 

feedback 

controller 


u c 

u d 

u 

plant 

1. Die Sollvorgaben des Regelgrößen y c,d gehen in das Referenzmodell, 

z.B. ein Filter. 

2. Die Ausgangsgrößen des Referenzmodells sind die Eingänge der inversen 

Strecke. Dort werden die Soll-Steuergrößen u d und die Soll-Meßgrößen 

y m,d berechnet. 

3. Der "feedback controller" regelt die Strecke mit den Meßgrößen y m auf 

die Soll-Messgrößen y m,d 

4. Der Eingang in die Strecke u ist der Soll-Eingang u d vom inversen 

Streckenmodell + Korrekturen u c auf Grund des Reglers 

y c 

y m

Beispiel aus Script (Kapitel 19.7): 

Soll-Konzentration 

Regelung eines Mischreaktors: 

Tc: Kühltemperatur (Stellgröße) 

T : Reaktortemperatur (Messgröße) 

c : Konzentration (Regelgröße) 

inverse Strecke 

Man beachte: Hier ist Messgröße und Regelgröße unterschiedlich 

(das was geregelt werden soll, wird nicht gemessen) 

Strecke

Inhalt der 1. Vorlesung

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