Klassenarbeit, Gymnaium, Klasse 11, Niedersachsen 2004 ... - Sharp

Klassenarbeit, Gymnaium, Klasse 11, Niedersachsen 2004: Differenzierbarkeit
1a)
2
Überprüfen Sie f mit f ( x)
= ( x − 2) für x ≤ 4 ∧ f(x) = 3x − 9
für x > 4 an der Stelle x = 4 auf Stetigkeit mittels Grenzwertbetrachtung.
b) Untersuchen Sie, ob f (in Abb. II) an der Stelle x = -1 differenzierbar ist.
c) Äußern Sie sich (ohne zu rechnen) in Abbildung (V) und (VI) über
Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den problematischen Stellen.
d) Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung von
5 2 4 3
f ( x)
= −3x
+ + x − 6
4
5x
e) Bestimmen Sie mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten die
Ableitung von
1
f ( x)
= x + 1
2a) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen f mit
2 2
f(x) = - 4x + 2x
die Tangentensteigung m = -1 hat.
b) Das Profil einer kleinen Skisprungschanze
lässt sich näherungsweise durch die
Funktion f mit
3
2
f(x) = - 0,002x + 0,12x - 2,4x + 18
im Bereich 0 ≤ x ≤ 16 (x und y in Meter)
beschreiben.
Wenn der Springer bei x = 16 abhebt, fliegt er zunächst fast tangential weiter.
Bestimmen Sie die Gleichung der Fluggeraden.
c) Berechnen Sie die Gleichung der Normale im Punkt Q(1 ; f(1)) der Funktion f mit f(x) = – x 2 + 4x + 1
d) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen in den Nullstellen der Funktion f mit f(x) = 2x 3 + 4x 2
e) Bestimmen Sie grafisch die 1. Ableitung der abgebildeten Funktion. Markieren Sie auf f und auf f´ charakteristische
Punkte.

f)
Ordnen Sie die Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion einander zu. Begründen Sie jeweils, warum der Graph
passt und warum er zu keiner der anderen Funktionen gehören kann.
g) Von welcher Funktion könnte f(x) = x 2 – x –12 die Ableitungsfunktion sein?
3) Petra hält sich für eine besonders korrekte Autofahrerin. „Gestern habe ich für die 2,5 km lange Ortsdurchfahrt von
Herzberg genau drei Minuten benötigt."
Angenommen, ihre Wegfunktion kann etwa durch
5 3 5 2
s ( t)
= − t + t
27 6
(t in Minuten, s in Kilometer) beschrieben werden.
a) Erläutern Sie den Graphen.
b) Wieso behauptet Petra besonders korrekt Auto zu
fahren?
c) Wie müsste der Graph aussehen, wenn Petra
korrekt gefahren wäre?
d) Petra hat erfahren, dass nach etwa 1,5 km eine
Geschwindigkeitsmessung vorgenommen wurde.
Muss sie eine Maßnahme nach dem Bußgeldkatalog erwarten? Wenn ja, welche Maßnahme droht ihr?
4) Die Flugkurve eines Speers kann näherungsweise durch
die Gleichung
2
y = f ( x)
= (78,5x - x ) ⋅ 0,015 + 1,5
beschrieben werden (x, y in m).
Bestimmen Sie
a) den Abwurfwinkel,
b) die Flughöhe und
c) die Wurfweite.
Erläutern Sie jeweils Ihr Vorgehen und begründen Sie
es mathematisch.
Erlaubtes Hilfsmittel:
GTR Sharp EL-9900