50 Aufgaben zur Spieltheorie

50 Aufgaben zur Spieltheorie
1. 50 Spieler wählen (unabhängig voneinander) eine Zahl zwischen 0 und 100. Die Zahl
gewinnt, die 2/3 des arithmetischen Mittelwerts aller gewählten Zahlen am nächsten
kommt.
a) Gibt es eines oder mehrere Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien?
Welche(s)?
b) Welche Zahl würden Sie wählen?
2. Das Spiel in Aufgabe 1 wird von N = 2 Personen gespielt. Bestimmen Sie das Nash-
Gleichgewicht. Ist die strategische Struktur anders als in der vorhergehenden
Aufgabe? Welche Zahl wählen Sie?
3. A teilt den Kuchen, B wählt aus. Begründen Sie, dass die 50:50-Aufteilung ein Nash-
Gleichgewicht ist. Ist die einfache Regel eine „Institution“? Was hat das Beispiel mit
dem „Mechanismus-Design“ zu tun? Überlegen Sie sich selbst erzwingende („self
enforcing“) Institutionen, die faire und effiziente Lösungen garantieren bei der
Aufteilung von Ressourcen, z.B. nach einer Ehescheidung.
4. In einer Szene des Films „A Beautiful Mind“ sind vier junge Studienfreunde in einer
Kneipe. Herein spaziert kommen fünf junge Frauen, darunter eine, die als besonders
schön hervorsticht. Mit diesem Regieeinfall soll das Nash-Gleichgewicht anschaulich
illustriert werden. Die Weltwoche vom 14.3.2002 schreibt unter der Überschrift “Wie
die Mathematik beim Flirten hilft”: “In der lustigen Studentenrunde befindet sich der
brillante junge Mathematiker John Forbes Nash. Er analysiert die Lage und schlägt
seinen Freunden eine kluge Alternative zum Rennen um die Schönste vor. Wenn sich
alle um den ersten Preis bemühen, kommt es lediglich zu einer Rauferei und alle
verlieren. Schlimmer noch: Da niemand zweite Wahl sein möchte, verspielen die
Männer auch ihre Chancen bei den anderen Frauen, und alle gehen solo nach Hause.
Besser also, die Attraktivste von vornherein links liegen zu lassen und sich mit ihren
Freundinnen zufrieden zu geben.
Die Szene stammt aus dem Film “A Beautiful Mind” mit Russell Crowe als John
Nash in der Hauptrolle. Sie ist Hollywoods Interpretation eines komplexen
mathematischen Problems, …”
Die “Neue Zürcher Zeitung” hat in ihrer Filmkritik vom 24.3.2002 gleich erkannt,
dass es sich bei dieser „Lösung“ keineswegs um ein Nash-Gleichgewicht handelt.
Worin besteht der Fehler?
5. Stellen Sie die folgenden Spiele in Matrixform dar: Koordinationsspiel (links oder
rechts fahren), Gefangenendilemma, Chickenspiel, Hirschjagd („Assurance-Spiel“),
Kampf der Geschlechter. Bestimmen Sie das oder die Nash-Gleichgewichte. Welche
Gleichgewichte sind effizient (Pareto-optimal)?
6. a) Rüstungswettlauf und b) Kuba-Krise, die die Welt 1962 an den Rand des
Atomkriegs brachte. Welche (unterschiedlichen) 2 x 2-Matrixspiele bieten sich an, um
– grob vereinfacht – diese beiden Situationen zu beschreiben?
7. In Puccinis Oper hat der Polizeichef Scarpia den Geliebten Toscas, Cavaradossi, ins
Gefängnis geworfen, um ihn exekutieren zu lassen. Es bietet Tosca an, das
Exekutionskommando mit Platzpatronen zu versehen, wenn Tosca bereit ist, die Nacht
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mit ihm zu verbringen. Tosca aber erdolcht den üblen Gesellen Scarpia. Dieser
seinerseits hat nicht, wie versprochen, die Patronen ausgetauscht. Welches Spiel wird
hier gespielt? Stellen Sie die Situation von Tosca und Scarpia als 2 x 2-Matrixspiel dar
(Rapoport 1962).
8. In der eidgenössischen Hauptstadt Bern gibt es zwei lokale Gazetten: „Der Bund“ und
die „Berner Zeitung“. Laut Aussage des Journalisten X hat dieser sich mit seinem
Kollegen Y vom Konkurrenzblatt des öfteren abgesprochen, am späten Nachmittag
über ein lokales Ereignis nicht mehr druckfrisch am nächsten Tag zu berichten. Solche
Artikel erschienen einen Tag später, so dass beide Redakteure einen ruhigen
Feierabend genießen konnten. Ist die Absprache in einer einmaligen Situation ein
Nash-Gleichgewicht? Könnte es sich um ein Gleichgewicht im wiederholten Spiel
handeln? (Anmerkung A.D.: Diese Geschichte ist nicht fiktiv.)
9. Eine fiktive Geschichte. Der begnadete Satiriker Michail Sostschenko hat zahlreiche
Satiren in den frühen Jahren der Sowjetunion verfasst. In einer Geschichte geht es um
die Sensation eines bärtigen Säuglings in Moskau. Zwei Reporter erfahren von dem
Ereignis, ein Reporter einer Provinzzeitung und der Reporter der Prawda. Sie können
sich jeweils entscheiden, einen Artikel mit Foto zu verfassen oder keinen Artikel zu
schreiben. Natürlich ist ein exklusiver Artikel von höherem Wert als ein Bericht, der
in beiden Zeitungen erscheint. Der Reporter der Provinzzeitung steht früh auf und
begibt sich mit Kamera auf den Weg zu der Familie des außergewöhnlichen Kindes.
Der Prawda-Reporter lässt sich Zeit, denn Redaktionsschluss für die aktuelle Ausgabe
des nächsten Tages ist erst am späten Nachmittag. Der schlaue Reporter der
Provinzzeitung aber ändert die Spielregeln. Er fotografiert den Säugling mit Bart –
und rasiert ihn danach. Die Prawda hat das Nachsehen. Es handelt sich um ein
sequenzielles Spiel. Stellen Sie das Spiel in der Extensivform dar.
10. Im Hirschjagdspiel („Assurance Game“) nach Jean Jaques Rousseau hat jeder Spieler
zwei Optionen. Die Auszahlungsmatrix ist „common knowledge“. Im simultanen
Spiel hat A zwei Strategien und B hat ebenfalls zwei Strategien. Nun wird das Spiel
sequenziell gespielt. Zunächst entscheidet sich Spieler A. Die Entscheidung von A
wird B bekannt gegeben. Anschließend entscheidet Spieler B.
a) Handelt es sich um ein Spiel mit vollständiger Information oder um ein Spiel
mit perfekter Information?
b) Wie viele Strategien hat Spieler A, wie viele hat B?
c) Stellen Sie das Spiel in der Extensivform dar.
d) Stellen Sie das Spiel in die Normalform dar (als Spielmatrix).
e) Bestimmen Sie das oder die Nash-Gleichgewichte.
f) Gibt es ein oder mehrere teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte? Welches bzw.
welche?
11. Gehen sie von dem sequenziellen Hirschjagdspiel in der vorhergehenden Aufgabe aus.
Bestimmen Sie:
a) Die Menge der Strategien von Spieler A und die Menge der Strategien von
Spieler B.
b) Die Menge der Strategienprofile.
c) Die Auszahlungsfunktion.
12. In einem Spiel verfügt Spieler A über 3 Alternativen und B über 4 Alternativen.
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a) Wie viele Strategien hat B im simultanen Spiel (d.h. in der Extensivform
liegen die „Endknoten“ aller Züge von A in einem Informationsbezirk)?
b) Wie viele Strategien hat B im sequenziellen Spiel mit perfekter Information
(jeder Informationsbezirk enthält nur einen Entscheidungsknoten)?
13. Im Schachspiel hat „Weiß“ bei der Eröffnung 20 Möglichkeiten (Strategien).
„Schwarz“ antwortet auf den Zug von Weiß (zweiter Halbzug). Wie viele Strategien
hat Schwarz beim zweiten Halbzug? (Rapoport 1998).
14. Beim Streichholzspiel (vereinfachte Version) hat jeder von zwei Spielern die Wahl,
ein Streichholz oder kein Streichholz verdeckt in die rechte Hand zu nehmen. Beide
Spieler machen dies simultan und unabhängig voneinander. Spieler A rät sodann die
Gesamtzahl der in beiden Händen befindlichen Streichhölzer. Spieler B gibt danach
seine Schätzung an, wobei er aber die von A genannte Zahl nicht mehr nennen darf.
Gewonnen hat, wer die korrekte Zahl der Streichhölzer in beiden Händen geraten hat.
Spieler A hat also 6 Strategien. Er kann 0 oder 1 Streichholz in die rechte Hand
nehmen und er kann die Gesamtzahl 0, 1, 2 nennen (eine Strategie lautet z.B. „1
Streichholz in die rechte Hand, 2 geraten“). Spieler B hat nach der Ansage von A zwei
Möglichkeiten. Er kann eine der beiden verbliebenen Zahlen nennen. Die Zahl der
Strategien ist aber größer, da Spieler B auf die von A geratene Zahl reagieren kann.
a) Handelt es sich um ein Spiel mit perfekter Information?
b) Wie viele Strategien hat B?
c) Stellen Sie das Spiel in der Extensivform dar.
(Hinweis: Beginnen sie mit B’s Wahl, 0 oder 1 Streichholz verdeckt in die Hand
zu nehmen. Die nächste Stufe sind die Strategien von A, sodann kommt die
Ansage von B. Achten Sie auf die Informationsbezirke.)
d) Stellen Sie das Spiel in der Normalform dar. Gibt es einen Sattelpunkt?
(*etwas aufwändig – ein Geduldsspiel!)
15. Der Elfmeterschütze weiß, dass der Torwart einen Linksdrall hat und sich mit
Wahrscheinlichkeit 0,6 in die linke Ecke werfen wird. Bei „links, links“ und „rechts,
rechts“ gewinnt der Torwart, bei „links, rechts“ und „rechts, links“ der
Elfmeterschütze. Torwart und Elfmeterschütze spielen simultan, d.h. der Torwart kann
nicht vor dem Schuss erkennen, in welche Ecke der Ball gehen wird. Welches ist die
„beste Antwort“ des Elfmeterschützen?
16. Welches ist die wechselseitig beste Antwort von Torwort und Elfmeterschütze in der
vorhergehenden Aufgabe, d.h. das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien?
(siehe dazu auch den Artikel von Berger und Hammer auf dieser Web-Seite.)
17. In Sir Arthur Conan Doyles Kriminalstory „The Final Problem“ versucht Sherlock
Holmes seinem Widersacher, dem Mathematiker und Genie des Verbrechens
Professor Moriarty, zu entfliehen. Holmes will zum Kontinent, doch leider wird er bei
der Abfahrt in London, Victoria Station, von Moriarty bemerkt. Moriarty folgt mit
einem Sonderzug. Zwischen London und Dover gibt es nur einen Halt, nämlich
Canterbury. Holmes überlegt nun, den Zug in Canterbury zu verlassen. Natürlich
denkt auch Moriarty an diese Möglichkeit. Da nun Moriarty weiss, so überlegt
Holmes, dass er in Canterbury aussteigen könnte, wäre es da nicht besser, im Zug bis
Dover zu bleiben? Der superschlaue Moriarty wird aber auch diese Überlegung
machen, so dass es doch vorziehen wäre, in Canterbury auszusteigen? Und so weiter –
ad infinitum.
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Holmes verlässt in „the Final Problem“ den Zug in Canterbury und Moriarty dampft
davon nach Dover. Doch die Rettung währt kurzfristig. Denn Holmes flieht - natürlich
in die Schweiz - und wird nahe Bern von Moriarty in eine Falle gelockt. Kämpfend
stürzen beide bei Meiringen in eine Schlucht. Weder Holmes noch Moriarty überleben
den Sturz – „the final problem!“
Holmes erste Präferenz ist, unbeschadet nach Dover zu kommen, um von dort auf den
Kontinent überzusetzen. Nehmen wir an, die Auszahlung entspricht +80. Canterbury
lebend zu erreichen ist nicht ganz so gut, sagen wir +60. Die tödliche Begegnung mit
Moriarty, ob in Dover oder Canterbury, gibt -100. Für Moriarty gelten die Werte mit
umgekehrtem Vorzeichen.
Sherlock Holmes ist Zeilenspieler. Das Nullsummenspiel hat – wie Sie leicht
feststellen werden – keinen Sattelpunkt. Berechnen Sie den Wert der gemischten
Gleichgewichtsstrategie für Holmes und Moriarty.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p wird Holmes „Dover“ wählen?
b) Wie hoch ist die erwartete Auszahlung?
(Dies Beispiel wurde von Oskar Morgenstern 1928, 1935 behandelt. Siehe die dazu
die Artikel von Morgenstern auf dieser Web-Seite. Die formale Darstellung als 2 x 2-
Matrixspiel findet sich bei Neumann und Morgenstern, 1947: 176-178.
18. Gehen Sie von einem 2 x 2 – Nullsummenspiel ohne Sattelpunkt aus. Gemäß dem
grundlegenden Theorem für Nullsummenspiele gilt, dass im gemischten
Gleichgewicht der Zeilenspieler die Wahrscheinlichkeit für eine Zeile so wählt, dass
der Spaltenspieler bezüglich der Wahl der Spalten indifferent ist. Ebenso adjustiert der
Spaltenspieler die Wahrscheinlichkeit für die Wahl einer Spalte derart, dass der
Zeilenspieler bezüglich der Wahl der Zeilen indifferent ist. Leiten Sie aus dem
Theorem eine allgemeine Formel für die gemischte Gleichgewichtsstrategie in 2 x 2 –
Nullsummenspielen ohne Sattelpunkt ab.
19. „Stein, Schere, Papier“. Stein „schlägt“ Schere, Schere „schlägt“ Papier, Papier
„schlägt“ Stein. Die Auszahlung beträgt 1 für den Gewinner und -1 für den Verlierer.
Bei Patt (z.B. Schere versus Schere) ist die Auszahlung für beide 0.
a) Stellen Sie das Nullsummenspiel in Matrixform dar.
b) Hat das Spiel einen Sattelpunkt?
c) Zeilenspieler wählt eine gemischte Strategie (p 1 , p 2 , 1-p 1 -p 2 ), Spaltenspieler
die gemischte Strategie (q 1 , q 2 , 1-q 1 -q 2 ). Berechnen Sie das Gleichgewicht in
gemischten Strategien.
d) Wie hoch ist die Auszahlung im Gleichgewicht?
Hinweis: Es gibt mehrere Wege zur Berechnung. Man kann z.B. allgemein einen
Ausdruck für den Erwartungswert E schreiben. Man ermittle sodann die (partiellen)
Ableitungen von E nach p 1 und p 2 . Da im gemischten Gleichgewicht durch eine
einseitige Änderung der Strategie kein Vorteil (aber auch kein Nachteil) erzielt wird,
erhält man nach Auflösung von ∂E/ p 1 = 0 und ∂E/ p 2 = 0 die (Nash-)
Gleichgewichtsstrategie des Zeilenspielers.
20. Zwei Eisverkäufer suchen den besten Standort an einem 1 km langen Strandabschnitt.
Kunden kaufen immer bei demjenigen Eisverkäufer, zu dem die Distanz am
geringsten ist.
a) Wo werden die Eisverkäufer im Nash-Gleichgewicht stehen?
b) Gibt es ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien bei drei Eisverkäufern
(Gintis 2009)?
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c) c) Statt eines Strandabschnitts nehmen wir ein eindimensionales
Wählerspektrum an mit Präferenzen von politisch links bis rechts. Wie ähnlich
oder unähnlich sind dann die Parteiprogramme in einem Zwei-Parteiensystem
und wo befinden sich die Parteien im politischen Spektrum?
(„Hotellings Eisverkäufer“ kommt im Originalaufsatz übrigens gar nicht vor. Siehe
den klassischen Artikel von Hotelling auf dieser Web-Seite. Die Anwendung von
Hotellings Theorie auf politische Parteien stammt von Anthony Downs. Die
Hypothese wird als Median-Wähler-Hypothese“ bezeichnet.)
21. Das 2-Personen-Gefangenendilemma wird zwei Mal wiederholt. Die Spieler wählen in
jeder Runde simultan. Nach einer Runde werden sie über die Entscheidung des
Mitspielers informiert.
a) Wie viele Strategien hat jeder Spieler in der zweiten Runde?
b) Wie viele Strategien hat jeder Spieler insgesamt?
c) Gibt es eines oder mehrere Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien?
Welches bzw. welche?
22. Stellen Sie den Spielbaum des sequenziellen Chickenspiels dar. „Übersetzen“ Sie das
sequenzielle Spiel in die Normalform. Charakterisieren Sie alle Nash-Gleichgewichte
in reinen Strategien. Welche Nash-Gleichgewichte sind teilspielperfekt?
23. Anstelle des Chickenspiels in der vorhergehenden Aufgabe nehmen Sie das Spiel
„Battle of Sex“. Gibt es auch hier einen Vorteil des ersten Zugs?
24. Das (simultane) Chickenspiel hat zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
Berechnen Sie das dritte, „gemischte“ Gleichgewicht.
25. Martina sagt zu Martin. Gib’ mit 100 Euro. Ich habe eine gute Geschäftsidee und
werde die Summe verdoppeln. Du bekommst dann den Einsatz von 100 Euro zurück
und dazu die Hälfte unseres Gewinns, also 50 Euro.
a) Stellen Sie den Spielbaum dieses Vertrauensspiels dar?
b) Was wird ein strikt rationaler Martin tun?
c) Martina will Martin einen goldenen Ring als Pfand geben. Welchen Wert muss
der Ring mindestens haben, damit Martin auf das Geschäft eingeht?
26. Im Ultimatumspiel teilt A den „Kuchen“ auf, z.B. eine Summe von 100 Geldeinheiten.
B kann akzeptieren oder ablehnen. Lehnt B die Aufteilung ab, erhalten beide nichts.
a) Geben Sie das oder die Nash-Gleichgewichte an?
b) Welche sind Pareto optimal?
c) Welche sind teilspielperfekt?
27. Anna ist Mitglied im Elternbeirat. Außer ihr gibt es noch vier weitere Mitglieder. Auf
der Sitzung soll über Plan A versus Plan B abgestimmt werden. Es gilt die
Mehrheitsregel, Enthaltungen sind nicht zulässig. Anna ist für Plan B, der einen
Zuschuss zur Schulspeisung für bedürftige Schüler vorsieht. Im Vergleich zu A ist ihr
B 160 Nutzeneinheiten mehr wert. Allerdings nimmt sie heute nicht gerne an der
Sitzung teil, da sie gerade eine Verabredung hat. Diese ist ihr 50 Einheiten wert. Die
Präferenzen der anderen Mitglieder im Elternbeirat kennt sie nicht. Sie geht davon
aus, dass ein Mitglied mit Wahrscheinlichkeit ½ für A oder B ist. Anna ist strikt
rational und risikoneutral.
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a) Wird sie zu der Sitzung gehen?
b) Wird sie zu der Sitzung gehen, wenn der Elternbeirat aus insgesamt neun
Mitgliedern besteht?
c) Was passiert mit wachsender Wählerzahl N? Bei politischen Wahlen ist die
Anzahl der Wähler wesentlich größer als im Beispiel des Elternbeirats. Wird
ein strikt rationaler Wähler zur Wahl gehen? Was glauben Sie, weshalb
dennoch viele Wähler sich an Wahlen beteiligen? (das sogenannte „Voting-
Paradox“).
28. In einer Wohnanlage leben 100 Familien mit Kindern. Die Mieterversammlung plant
den Bau eines Kinderspielplatzes in Eigenarbeit. Aus jeder Familie soll ein Elternteil
freiwillig a Arbeitsstunden leisten. Die Zahl der Eltern, die sich beteiligen ist x. Der
Spielplatz ist umso wertvoller, je mehr Eltern sich beteiligen. Der Nutzen für jede
Familie ist A = ax. Der Arbeitseinsatz ist mit Kosten al verbunden, wobei l der
Stundenlohn ist (wir nehmen vereinfacht an, dass der Lohnsatz aller Eltern ungefähr
gleich ist). Familien, die sich nicht beteiligen, können von der Nutzung des
Spielplatzes nicht ausgeschlossen werden. Der Spielplatz ist also ein Kollektivgut der
Wohnsiedlung.
a) Stellen Sie die strategische Situation des symmetrischen N-Personenspiels in
einer Spielmatrix dar. (Hinweis: An die Zeilen schreiben Sie „beteiligen = C“
versus „nicht beteiligen = D“. An den Spalten steht die Anzahl anderer
Spieler, die sich beteiligen, also C wählen).
b) Analysieren Sie das Spiel. Gibt es eine dominierende Strategie? Geben Sie die
Gleichgewichtsstrategie an.
c) Überlegen Sie sich andere Beispiele von Kollektivgutproblemen. Warum
kommen Protestdemonstrationen oftmals nicht zustande bzw. haben nur
wenige Teilnehmer, obwohl alle ein Interesse am Erfolg eines Protests haben?
Warum tragen Leute zur Umweltverschmutzung bei, obwohl sie an einer
intakten Umwelt interessiert sind? “Jeden Tag sterben durchschnittlich drei
Menschen, weil für sie ein Organ nicht rechtzeitig zur Verfügung steht. Sie
sterben an ‘akutem Organspende-Versagen’, wie es der Medizinrechtler Hans
Lilie ausdrückt” (Hardenberg 2008). Warum haben nur wenige Leute einen
Organspenderausweis (in Deutschland etwa 12 %), obwohl die meisten
Menschen Organspenden befürworten (etwa 80 %)?
d) Wie könnte man das Kollektivgutproblem „Bau eines Kinderspielplatzes“
lösen? Mancur Olson zeigte, dass kollektive Güter produziert werden, wenn
„selektive Anreize“ eingeführt werden. Wie hoch müssten diese Anreize sein?
e) Eine Möglichkeit zur Lösung des Kollektivgutproblems ist, eine Steuer oder
Abgabe von allen Familien zu verlangen, die sich nicht beteiligen. Wie hoch
müsste die Abgabe mindestens sein?
29. Gefangenendilemma wird mit den Auszahlungen T=5, R=3, P=1, S=0 über 200
Runden gespielt (Axelrod 1984). Wie hoch sind die Auszahlungen an die Strategien:
a) „Immer D“ gegen „Tit-for-Tat“ (TFT)?
b) „Immer D“ gegen „Immer C“?
c) RANDOM gegen RANDOM? (C und D wird mit Wahrscheinlichkeit 0,5
gewählt)
d) TFT gegen RANDOM?
e) „Immer D“ gegen RANDOM?
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f) „Immer D“ gegen FRIEDMAN? (FRIEDMAN beginnt mit C und antwortet
auf ein C des Partners immer mit Kooperation. Ein D des Mitspielers wird mit
immerwährender Defektion vergolten („ewige Verdammnis“).
g) TFT gegen FRIEDMAN?
30. Nowak und Sigmund haben die neue Strategie PAVLOV vorgeschlagen. PAVLOV
verfährt nach dem Prinzip „Win-stay, lose-shift“. „Win“ wird dabei definiert als
wechselseitige Kooperation, aber auch als gelungene Ausbeutung durch PAVLOV.
Die beiden anderen Kombinationen gelten als „lose“. PAVLOV wechselt also von C
auf D bzw. D auf C, falls PAVLOV in der letzten Runde S oder P erhalten hat und
bleibt ansonsten bei der Wahl in der Vorrunde. PAVLOV beginnt mit C. Wieviel
Punkte erzielt PAVLOV gegen:
a) TFT?
b) FRIEDMAN?
c) „Immer D“
31. Was passiert, wenn PAVLOV und TFT ab und zu mit einer kleinen
Wahrscheinlichkeit ε Fehler machen? Es kann vorkommen, dass gelegentlich so zu
sagen auf den falschen Knopf gedrückt wird. Wir bezeichnen die Strategien mit
Fehlerwahrscheinlichkeit als ε-PAVLOV bzw. ε-TFT. Nowak und Sigmund
argumentieren, dass ε-PAVLOV robuster bei kleinen Fehlerwahrscheinlichkeiten
reagiert als ε-TFT. Vor allem werden „Echo-Effekte“ vermieden. Versuchen Sie, das
Argument anhand der folgenden Begegnungen nachzuvollziehen:
a) ε-TFT gegen ε-TFT.
b) ε-PAVLOV gegen ε-PAVLOV.
c) ε-PAVLOV gegen ε-TFT.
32. Im unendlich oft wiederholten 2-Personen-Gefangenendilemma gilt für die
Auszahlungen T > R > P > S und R > (T + S)/2. Der Diskontfaktor ist 0 < w < 1.
a) Wie hoch ist die Auszahlung bei der Begegnung von zwei „freundlichen“
Strategien (eine freundliche Strategie wählt nie als erste Defektion)?
b) Wie hoch ist die Auszahlung für „Immer D“ gegen „Tit-for-Tat“ (TFT)?
33. Im unendlich oft wiederholten 2-Personen-Gefangenendilemma mit Auszahlungen T >
R > P > S und R > (T + S)/2 ist „Tit-for-Tat“ (TFT) bei einem genügend großen
„Schatten der Zukunft“ (hinreichend großer Diskontfaktor) eine Nash-
Gleichgewichtsstrategie.
Wie groß muss der Diskontfaktor mindestens sein, damit TFT eine Nash-
Gleichgewichtsstrategie ist?
34. Angenommen TFT ist in der vorhergehenden Aufgabe eine Nash-
Gleichgewichtsstrategie. Gilt dann, dass TFT evolutionär stabil ist, d.h. ist TFT auch
eine ESS?
35. Das folgende „Spiel der großen Zahl“ wurde von Douglas Hofstadter vorgeschlagen.
Es nehmen N Spieler teil. Jeder Spieler sendet eine ganze Zahl ein, die größer als Null
sein muss. Die höchste Zahl gewinnt den Preis von einer Million US $ („Scientific
American“ hatte diesen Preis tatsächlich ausgelobt), wobei allerdings der Preis durch
die Siegerzahl dividiert wird. Bei mehreren Gewinnern wird die sich ergebende
Preissumme geteilt.
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Zeigen Sie, dass ein Nash-Gleichgewicht nicht existiert. Wie ist diese Tatsache mit
dem fundamentalen Satz von Nash über die Existenz von mindestens einem
Gleichgewicht vereinbar? Welche Zahl würden Sie einsenden?
36. Die folgende Entscheidungssituation wurde von Van Huyick, Battalio, Beil (1990,
Gintis 2009) vorgeschlagen und experimentell untersucht: Sie können eine ganze Zahl
x von 1 bis 7 auswählen. Die Auszahlung beträgt: 0,60 + 0,10x – 0,20(x – y). Dabei ist
y die kleinste Zahl, die irgendein Spieler wählt, Sie eingeschlossen.
a) Bestimmen Sie das oder die Nash-Gleichgewichte.
b) Welches Gleichgewicht ist auszahlungsdominant, welches ist risikodominant?
c) Welche Strategie würden Sie wählen?
37. Im Volunteer’s Dilemma können N Akteure (N > 1) zwischen Kooperation (C) und
Defektion (D) wählen. Kooperative Personen erhalten U – K und defektive Akteure
erhalten U, vorausgesetzt mindestens eine Person verhält sich kooperativ. Wählen alle
Personen D, gehen alle leer aus. Es gilt U > K > 0. In dieser Entscheidungssituation
genügt also bereits eine Person, um das Kollektivgut U herzustellen.
a) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
b) Berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
c) Welchen Einfluss haben die Gruppengröße N und die Kosten/Nutzen-Relation
auf die Kooperationswahrscheinlichkeit gemäß der Lösung von b)?
d) Wie hoch ist die Auszahlung im gemischten Gleichgewicht und wie hoch ist
sie bei der Maximin-Strategie?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Herstellung des Kollektivguts, d.h.
dass mindestens eine Person kooperativ handelt, wenn sich alle Akteure die
gemischte Gleichgewichtsstrategie zu eigen machen?
f) In italienischen Kirchen konnte man früher ein wertvolles Gemälde
beleuchten, indem man 50 Lire in eine Box einwarf. Mehrere Touristen
versammeln sich vor dem Bild. Beschreiben Sie die strategische Situation.
g) „Stevia“ ist ein pflanzlicher Süßstoff, der herkömmlichen Süßstoffen überlegen
ist. Für eine Zulassung in der EU als Nahrungsmittel sind aber noch
wissenschaftliche Studien erforderlich, die mehrere Millionen Euro kosten.
Eine Firma, die diese Kosten trägt hat das Nachsehen, da die anderen Firmen
dann als Trittbrettfahrer profitieren können. Stellen Sie die Situation im
spieltheoretischen Modell dar. Welche Regelungen würden Sie vorschlagen,
um zu einem effizienten Ergebnis zu kommen?
h) Überlegen Sie, welche weiteren realen Anwendungen durch das Volunteer’s
Dilemma beschrieben werden können.
i) In Äsops Fabel beschließt das Parlament der Mäuse, der Katze eine Schelle
umzuhängen, damit die Mäuse gewarnt sind, wenn sich die Katze nähert.
Leider scheitert die Exekution des Beschlusses, da keine Maus die
selbstmörderische Aktion, der Katze eine Glocke umzuhängen ausführen
möchte. Die Situation wird durch eine Variante des Volunteer’s Dilemma
beschrieben, dass als „Missing-Hero-Dilemma“ bezeichnet wird. Stellen Sie
das spiel dar. Gibt es eine dominierende Strategie?
38. Ein evolutionäres Spiel hat die Auszahlungsstruktur des Gefangenendilemmas. Bei
einer Begegnung von zwei Spielern können diese C mit Wahrscheinlichkeit p und D
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 – p „wählen“. Zeigen Sie, dass q = 1 eine ESS ist.
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39. Verkehrsteilnehmer können rechts oder links fahren. Gehen Sie von einem 2 x 2 –
Matrixspiel mit den Strategien „links“ und „rechts“ jeweils für den Zeilen- und für den
Spaltenspieler aus. Es gibt zwei Nash-Gleichgewichte. Zeigen Sie, dass diese
Gleichgewichte evolutionär stabil sind (Geisterfahrer können eine Population
regeltreuer Verkehrsteilnehmer nicht unterwandern!)
40. Im evolutionären Falke-Taube-Spiel (mit der Auszahlungsmatrix eines Chickenspiels)
wird die Falken-Strategie mit Wahrscheinlichkeit p und die Tauben-Strategie mit
Wahrscheinlichkeit q = 1 – p gewählt. Zeigen Sie, dass weder die Strategie p = 1, noch
die Strategie q = 1 die ESS-Eigenschaft hat, ein evolutionär stabiles Gleichgewicht in
reinen Strategien also nicht existiert.
41. Zeigen Sie, dass auch im „Abnutzungskampf“ („war of attrition“) keine ESS in reinen
Strategien existiert.
42. Sie haben für das Spiel „Stein, Schere, Papier“ die Nash-Gleichgewichtsstrategie
berechnet (siehe die entsprechende Aufgabe). Ist diese Strategie auch eine ESS?
43. Milinski (2008) hat ein Klimaspiel entwickelt, bei dem ein Schwellenwert für ein
kollektives Gut erreicht werden muss. Wird der Schwellenwert verfehlt, werden alle
Ressourcen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vernichtet. Das über mehrere
Runden laufende Spiel stellt den Konflikt zwischen Individual- und
Gruppeninteressen (Kollektivgutproblem) und zwischen kurz- und langfristigen
Interessen dar. Die Regeln sind wie folgt:
Das Experiment geht über 10 Runden: Die Ausstattung jedes Spielers beträgt 40 €.
Gespielt wird in Gruppen mit n = 6 Personen. In jeder Runde muss jeder Spieler die
Entscheidung fällen, 0, 2 oder 4 € für Klimaschutz zu investieren. Nach 10 Runden
müssen mindestens 120 € im “Topf” sein. In jeder Runde werden die Personen über
die Einzahlungen der anderen Spieler in der Vorrunde informiert.
Die Personen bekommen am Ende nur das nicht investierte Geld, sofern mindestens
120 € im Topf sind.
Wurden weniger als 120 € investiert, gehen die privaten Ersparnisse mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit verloren. Diese beträgt:
90 % Verlustrisiko in der Bedingung “hohes Risiko”,
50 % Verlustrisiko in der Bedingung “mittleres Risiko”,
10 % Verlustrisiko in der Bedingung “geringes Risiko”.
Das Experiment wurde mit 180 Versuchspersonen, je 10 Gruppen in jeder Bedingung,
durchgeführt.
Bestimmen Sie das oder die Nash-Gleichgewichte für die drei Bedingungen. Unter
welcher Bedingung werden die Versuchspersonen am meisten in den kollektiven
„Topf“ investieren?
44. Bei einem Klimaspiel können die Versuchspersonen in die Firma A oder die Firma B
investieren. Investitionen in Firma A sind mit hohen CO2-Emissionen verbunden, die
zu Lasten aller gehen. Firma B produziert dagegen umweltfreundlich. Die Rendite a
von Investitionen in Firma A ist allerdings höher als die Rendite b von Investitionen in
Firma B. Das Spiel wird über zehn Runden gespielt. Die Versuchspersonen
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ekommen in jeder Runde eine Ausstattung E, die sie in Firma A und Firma B
investieren können. Investitionen eines Akteurs i in Firma A werden mit x i bezeichnet,
Investitionen in B sind dann E-x i . Die Auszahlung U i ist:
U i = (1 + a) x i + (1 + b) (E – x i ) - pΣx i
p > 0 ist der Schadensparameter. Summiert wird über die Investitionen aller N Spieler
in Firma A. Wir betrachten nur eine Runde. Es gilt a – p > b.
a) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht und die Auszahlungen an die Spieler im
Gleichgewicht.
b) Wie viel würden die Spieler verdienen, wenn alle ausschließlich in die Firma B
investierten?
45. Im Vertrauensspiel mit unvollkommener Information gibt es zwei Typen von
Treuhändern. Der „unehrliche“ Typ B hat die üblichen Präferenzen des
Vertrauensspiels, nämlich T > R > P > S. der „ehrliche“ Typ A hat die Präferenzen R
> T – c > P > S. Ist Typ A am Zug, wird er defektieren, während Typ B kooperiert.
Der Anteil von Typ A ist α, der Anteil von Typ B ist 1 – α.
a) Stellen Sie das Vertrauensspiel mit den Typen A und B in der Extensivform
dar.
b) Wie hoch ist der Erwartungswert des Treugebers bei Kooperation und bei
Defektion?
c) Wie groß muss α sein, damit ein Treugeber immer kooperiert?
46. Im vorhergehend beschriebenen Vertrauensspiel mit unvollkommener Information
wird die Möglichkeit kostspieliger Signale eingeführt. Typ A hat Signalkosten von a
und Typ B von b. Unter welchen Bedingungen bezüglich der Signalkosten der
Treuhänder existiert ein separierendes Gleichgewicht? Welche Auszahlungen erhalten
Typ A, Typ B und der Treugeber im separierenden Gleichgewicht?
47. Zeigen Sie mit der Formel von Bayes, dass der Treugeber nach „Bayesianischem
Updating“ mit Wahrscheinlichkeit eins schließen kann, dass er (unter den in der
vorhergehenden Aufgabe ermittelten Bedingungen für ein separierendes
Gleichgewicht) bei einem Signal mit Typ A interagiert, während das Ausbleiben eines
Signals mit Sicherheit auf Typ B schließen lässt (Kap.9, S. 191, bei der zweiten
Formel auf der Seite muss jeweils ein Strich über dem s stehen. Siehe auch Errata auf
dieser Web-Seite.)
48. Das „Öffentliche-Güter-Spiel“ („Public Good Game“) war Grundlage eines
Experiments von Fehr und Gächter (2002) über Kooperation durch „altruistische
Bestrafung“. Die Regeln sind wie folgt:
Es wird in Gruppen von 4 Personen gespielt. Jeder Spieler erhält eine Ausstattung von
20 Punkten. Ein Spieler kann 0 bis 20 Punkte in ein Gruppenprojekt (Fonds)
einzahlen, den Rest behält er. Jeder Spieler erhält 0,4 mal den Inhalt des Fonds
Beispiel: A, B und C zahlen je 20 Einheiten in den Fonds ein, D ist Trittbrettfahrer
und behält die 20 Punkte. Die Auszahlung an A, B, C beträgt: 0,4 x 60 = 24, die
Auszahlung an D: 24 + 20 = 44 Punkte.
a) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichtsstrategie? Ist das Gleichgewicht Paretooptimal?
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) Zusätzlich wird eingeführt, dass die Spieler nach der Einzahlung in den Fonds und
nach Information über die Entscheidungen der Mitspieler andere Spieler mit 0 bis
10 Strafpunkten sanktionieren können. Jeder Strafpunkt kostet den
sanktionierenden Spieler 1 Punkt und den bestraften Spieler 3 Punkte. Bestimmen
Sie das Nash-Gleichgewicht im „Öffentliche-Güter-Spiel“ mit Sanktionen.
49. Psychologische oder „behavioral game theory“: Fehr und Schmidt (1999) haben eine
Theorie der Ungleichheitsaversion entwickelt. Für 2 Spieler lautet die Nutzenfunktion:
u i (x i ) = x i – α i max{x j -x i ; 0} – β i max{x i – x j ; 0}.
u i ist der Nutzen der Auszahlung x i an Akteur i. α i und β i sind Personenparameter,
wobei gilt: 0 ≤ β i < 1 und β i < α i . Der erste Term auf der rechten Seite bezeichnet die
materiellen Auszahlungen x i , der zweite Term bezieht sich auf die „Neidkomponente“
einer Auszahlung und der dritte Term auf die Unfairness der Auszahlung.
a) Kann man aus der Theorie ableiten, dass ein Spieler unter bestimmten
Bedingungen im Diktatorspiel mehr als 50 % abgibt?
b) Unter welchen Bedingungen wird ein Spieler ein Angebot im Ultimatumspiel
ablehnen?
c) Kann man aus dem Modell ableiten, dass im Gefangenendilemma unter
bestimmten Bedingungen wechselseitige Kooperation ein Nash-Gleichgewicht
ergibt? Wenn ja, geben Sie die Bedingungen an.
50. McCabe, Rigdon und Smith (2003) haben in einem Experiment eine Gruppe von
Versuchspersonen das Vertrauensspiel vorgelegt. In Gruppe A wurde registriert, wie
viele Treuhänder auf eine kooperative Entscheidung des Treugebers ebenfalls mit
Kooperation reagieren. Gruppe B wurde dagegen nur die Treuhänder-Entscheidung
vorgelegt. In Gruppe A entscheidet zunächst nur der Treugeber zwischen D und C. Bei
D bekommt er 20 Punkte und der Treuhänder ebenfalls 20 Punkte. Bei C geht die
Entscheidung an den Treuhänder, der zwischen der kooperativen Aufteilung
(Treugeber erhält 25, Treuhänder erhält 25) und der defektiven Aufteilung (15, 30)
entscheiden kann. In Gruppe B gibt es dagegen nur eine Spielstufe. Hier entscheidet
der Treuhänder direkt zwischen der kooperativen Aufteilung (25, 25) und der
defektiven Aufteilung (15, 30). Die Versuchspersonen wurden auf die beiden Gruppen
A und B zufällig aufgeteilt. Das Experiment ergab, dass sich in Gruppe A 65 Prozent
der Treuhänder, dagegen in Gruppe B nur 33 Prozent der Treuhänder kooperativ
verhielten. Der Unterschied ist für α = 0.05 signifikant.
a) Stellen sie die beiden Spiele in Gruppe A und B in der Extensivform dar.
b) Wie wird sich ein homo oeconomicus in Gruppe A, wie in Gruppe B
verhalten?
c) Ist mit dem Fehr-Schmidt-Modell der Ungleichheitsversion erklärbar, das sich
die Treuhänder kooperativ verhalten?
d) Ist mit dem Modell der Ungleichheitsversion erklärbar, dass sich die
Kooperationsanteile zwischen den Gruppen A und B signifikant
unterscheiden?
e) Welche Erklärung könnte man für die Differenz anführen?
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