Signalverarbeitung UE 5 z-Transformation - Signal Processing and ...

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Signalverarbeitung UE 5
z-Transformation
Signal Processing and Speech Communication Laboratory, Inffeldgasse 16c/EG
Sommersemester 2013
Beispiel 5.1
Bestimmen Sie für folgendes Signal x[n] die z-Transformierte X(z) und ihren Konvergenzbereich
(ROC). Skizzieren Sie das Pol-/Nullstellendiagramm in der komplexen z-Ebene.
x[n] = a n u[n]+b n u[n]+c n u[−n−1],
|a| < |b| < |c|
Thema z-Transformation exponentieller Folgen
Begründung Die z-Transformation konvergiert in vielen Fällen, in denen die DTFT dies nicht
tut – insbesondere bei exponentiellen Folgen. Damit erlaubt sie eine Analyse von
SignalenundSystemen, diemittelsDTFTnichtuntersuchtwerdenkönnen. Jedoch
konvergiert sie nicht für beliebige Argumente z, sondern nur in einem bestimmten
Konvergenzbereich.
Übersicht Wir bestimmen über die geometrische Reihe die z-Transformierte einer einzelnen
exponentiellen Folge und ihre Konvergenzbereich. Aus der Linearität folgt dann
die z-Transformierte des gegebenen Signals. Der Konvergenzbereich des Signals
ist die Schnittmenge aller Konvergenzbereiche der Teilsignale.
Lernziel Verständnis des Zusammenhangs zwischen Polstelle, ROC und Basis der exponentiellen
Folge.
Oppenheim & Schafer Chapter 3.1 und 3.2, Seite 128-144 (spez. Examples 3.1-3.5).

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Beispiel 5.2
Bestimmen Sie die inverse z-Transformation des folgenden Ausdrucks. Hinweis: Verwenden
Sie die Partialbruchzerlegung.
X(z) =
3
z − 1 − 1 x[n] ist absolut summierbar
z−1,
4 8
Thema Inverse z-Transformation
Begründung Die inverse z-Transformation ist über ein komplexes Ringintegral definiert, das
in einigen Fällen mittels Residuenkalkül lösbar ist. Es gibt oft jedoch einfachere
Methoden, die inverse z-Transformation zu bestimmen, indem man sie geeignet
zerlegt und die Formelsammlung einsetzt. Eine dieser geeigneten Zerlegungen ist
die Partialbruchzerlegung (PBZ).
Übersicht Für eine z-Transformierte mit einfachen Pol- und Nullstellen wenden wir die PBZ
an, um sie in Terme zu zerlegen, die jeweils nur einen einzelnen Pol besitzen.
Mit Beispiel 5.1 können wir diese Terme als exponentielle Folgen im Zeitbereich
darstellen (unter Verwendung des Hinweises über Summierbarkeit. Aus der Linearität
folgt das Ergebnis.
Lernziel Inverse z-Transformation einer rationel Übertragungsfunktion, Üben der PBZ.
Oppenheim & Schafer Chapter 3.3, Seite 144-153 (spez. Example 3.9).
Beispiel 5.3
Analysieren Sie das durch die folgende Differenzengleichung definierte LTI-System mittels
der z-Transformation:
y[n] = x[n]− 1
15 y[n−1]+ 2 5 y[n−2].
(a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) = Y(z)/X(z).
(b) Skizzieren Sie die Pol- und Nullstellen von H(z) in der komplexen z-Ebene und geben Sie
den Konvergenzbereich an. Ist das System stabil?
(c) Konvergiert die Fourier-Transformierte H(e jθ )? Zeichnen Sie qualitativ den Betragsfrequenzgang
|H(e jθ )|.
(d) Bestimmen Sie die Impulsantwort h[n] des Systems.
Thema z-Übertragungsfunktion
Begründung Die z-Transformierte der Impulsantwort eines System ist dessen
Übertragungsfunktion, welche über die Differenzengleichung einfach bestimmt
werden kann. Aus ihr lässt sich – mit etwas Zusatzwissen über Kausalität – die
Stabilität und die DTFT des Systems ablesen. Sogar der Betragsfrequenzgang
kann anhand der Übertragungsfunktion abgeschätzt weden.
Übersicht FürdasgegebeneSystembestimmenwirdieÜbertragungsfunktionundderenROC,
woraus sich die Stabilität ergibt. Die DTFT erhalten wir durch Auswertung von
H(z) am Einheitskreis, den Betragsfrequenzgang aus dem sogenannten Gummihautmodell.
Mit Beispiel 5.2 erhalten wir zudem die Impulsantwort des Systems.
Lernziel Bestimmen der z-Transformierten aus der Differenzengleichung, Bestimmen des
Betragsfrequenzgangs aus dem Pol-/Nullstellendiagramm.
Oppenheim & Schafer Chapter 3.5, Seite 160-164 und Chapter 5.3, Seite 318-329 (spez. Example 5.6).

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Im{z}
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111 a b
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
ROC
c
Re{z}
Possible zeros
Possible zeros
Figure 1: Pol-/Nullstellendiagramm und ROC für Beispiel 5.1
output of >>zplane(roots([1 0 0]),roots([1 1/15 −2/5]))
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
2
−1 −0.5 0 0.5 1
Real Part
Figure 2: Pol-/Nullstellendiagramm für Beispiel 5.3

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magnitude of the z−Transform
2
abs(H(z))
7
6
5
4
3
2
1
0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0
Im(z)
−2
−2
−1
0
Re(z)
1
2
0.2
0
Figure 3: Betrag der z-Transformierten für Beispiel 5.3
10
output of >>freqz(1,[1 1/15 −2/5],’whole’)
Magnitude (dB)
5
0
−5
0 0.5 1 1.5 2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
40
Phase (degrees)
20
0
−20
−40
0 0.5 1 1.5 2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Figure 4: Frequenzgang H(e jθ ) für Beispiel 5.3