Lösung - Institut für Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit

2. Übung zur Vorlesung Widerstand und Propulsion
Lösung: Glattwasserwiderstand
Plattenreibung
a) Zunächst muss überprüft werden, ob die Strömung um die ebene Platte laminar oder turbulent
ist. Dafür berechnet man für die jeweilige Platte die Reynolds-Zahl.
Re = v M · l M
ν M
(1)
Mit den entsprechenden Werten für Plattenlänge und Anströmgeschwindigkeit ergeben sich für
die einzelnen Versuche die in Tabelle 1 angegebenen Reynolds-Zahlen. Nach Vergleich mit der
kritischen Reynolds-Zahl ergibt sich der Strömungszustand:
Versuch Re Strömungszustand
1 2, 1 · 10 5 laminar
2 3, 36 · 10 6 turbulent
3 5, 0 · 10 7 turbulent
Tabelle 1: Ergebnisse
Versuch 1 Hier ist die Strömung laminar. Es gilt also für den Widerstandsbeiwert bei einer
Plattenbreite von 1m und laminarer Umströmung:
c W,L =
1, 328
√
Re
(2)
Versuch 2 und 3 Diese beiden Platten werden turbulent angeströmt. Für den Widerstandsbeiwert
gilt also näherungsweise:
c W,L = 0, 074 · (Re) −1 5 (3)
Aus den Widerstandsbeiwerten lassen sich dann die Plattenwiderstände errechnen:
R F,L/T = 1 2 · ̺ · v2 · A P · c w (4)
Es ergeben sich somit für die einzelnen Versuche die folgenden Widerstandsbeiwerte und Reibungswiderstände:
Versuch Widerstandsbeiwert Reibungswiderstand
1 0, 0029 0, 182N
2 0, 0037 29, 6N
3 0, 0021 756N
Tabelle 2: Widerstände
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2. Übung zur Vorlesung Widerstand und Propulsion
b) Der Widerstandsbeiwert errechnet sich nun nach der überschlägigen Formel für turbulente Umströmung
der Platte wie unter a) (Versuche 2 und 3). Es ergibt sich somit ein Beiwert von
c W,T = 0, 074 · (Re) − 1 5 = 0, 0064, was einen Widerstandswert von 0, 398N ergibt. Der Reibungswiderstand
erhöht sich also um 119%.
c) Hier legt man wiederum die kritische Reynolds-Zahl zu Grunde. Die Grenzschicht kann in Längsrichtung
also genau dann von laminar in turbulent umschlagen, wenn bezogen auf die bis dahin
umströmte Strecke die kritische Reynolds-Zahl erreicht ist. Man setzt:
Re krit = v · x krit
ν
= 5 · 10 5 (5)
Daraus ergibt sich:
x krit = Re krit · ν
v
= 5 · 105 −6 m2
· 1, 19 · 10
s
2 m s
= 0, 3m (6)
d) Der Widerstandswert wird nach der ITTC’57-Korrelationslinie folgendermaßen abgeschätzt:
c W,ITTC =
0, 075
(log Re − 2) 2 (7)
Es ergibt sich also nach ITTC’57-Korrelationslinie ein Widerstandswert von c W,ITTC = 0, 0023. Im
Vergleich zum Widerstandsbeiwert der Platte nach a) wird deutlich, dass der Reibungswiderstand
nun höher prognostiziert wird. Hier schlagen sich die 12% Zuschlag nieder.
Berechnet man den Widerstandswert nach Reibungslinie von Schoenherr, so lautet die Beziehung
zwischen Reynolds-Zahl und Widerstandsbeiwert:
1
√
cW,S
= 4, 13 · log(Re · c W,S ) (8)
Die Lösung muss also iterativ gefunden werden. Man beginnt mit einem sinnvoll gewählten Startwert.
In diesem Fall kennt man ja schon den ungefähren Wert aus a). Also startet man mit
c W,S = 0, 0021. Die Rechnungen haben den in Tabelle 3 gezeigten Verlauf:
Auch der mit der Reibungslinie von Schoenherr berechnete Widerstandsbeiwert liegt merklich über
dem der einfachen Plattenströmung. Daran zeigt sich, dass die Formeln für die einfache Plattenströmung
nur bis Reynolds-Zahlen von 10 7 mit den Messungen gute Übereinstimmungen haben.
Darüber hinaus ergeben sich größere Differenzen.
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Versuch Widerstandsbeiwert c W,S Differenz
1. 0, 0021 1, 08
2. 0, 0022 0, 50
3. 0, 0023 −0, 05
4. 0, 00228 0, 06
5. 0, 00229 0, 01
Tabelle 3: Recheniterationen
Propeller Durchmesser Modellmaßstab
1 15cm 29, 3
2 20cm 22, 0
3 25cm 17, 6
Tabelle 4: Modellmaßstäbe
Widerstandsversuch
a) Man errechnet zunächst anhand der gegebenen Durchmesser der Modellpropeller mögliche Modellmaßstäbe.
Aus Kostengründen will man vermeiden, für den anstehenden Propulsionsversuch einen
neuen Modellpropeller bauen lassen zu müssen. Die möglichen Modellmaßstäbe sind in Tabelle 4
aufgeführt.
Um bessere Versuchsergebnisse zu erzielen, wählt man den Modellmaßstab so groß wie möglich.
In unserem Fall kann man den Modellpropeller mit 25cm mit dem dazugehörigen Modellmaßstab
wählen, da die Modellabmessungen von Lpp = 7, 95m noch zulässig sind.
vM ·LppM
b) Man berechnet nun nach den bekannten Formeln Re =
ν tank
und Fn =
mit den Modellabmessungen die Froude- und Reynolds-Zahl.
v M √LppM
·g M
Geschwindigkeit [kn] Geschwindigkeit in [ m s
] Froude-Zahl Reynolds-Zahl
2, 4 1, 235 0, 1398 9, 81 · 10 6
2, 6 1, 338 0, 1515 1, 06 · 10 7
2, 8 1, 440 0, 1630 1, 14 · 10 7
2, 9 1, 492 0, 1689 1, 19 · 10 7
3, 0 1, 543 0, 1747 1, 23 · 10 7
3, 1 1, 595 0, 1806 1, 27 · 10 7
3, 2 1, 646 0, 1864 1, 31 · 10 7
3, 3 1, 698 0, 1923 1, 35 · 10 7
3, 4 1, 749 0, 1980 1, 39 · 10 7
Tabelle 5: Ähnlichkeitszahlen
zusammen
c) Hierzu ermittelt man zunächst über den Modellmaßstab die benetzte Oberfläche des Modells. Sie
ergibt sich zu S M = SG
λ 2 = 16, 5m 2 . Dann berechnet sich der Totalwiderstandsbeiwert des Modells
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2. Übung zur Vorlesung Widerstand und Propulsion
zu:
C T,M =
R T,M
1
2 · ̺tank · v 2 M · S M
Der Reibungswiderstandsbeiwert wird nach ITTC’57 berechnet:
C F,M =
Und schließlich ergibt sich daraus der Wellenwiderstandsbeiwert:
Die Ergebnisse sind in Tabelle 6 dargestellt.
. (9)
0, 075
(log(Re M ) − 2) 2 (10)
C W,M = C T,M − C F,M (11)
Geschwindigkeit [kn] Geschwindigkeit in [ m s ] C T,M C F,M C W,M
2, 4 1, 235 3, 46 · 10 −3 3, 01 · 10 −3 4, 52 · 10 −4
2, 6 1, 338 3, 71 · 10 −3 2, 97 · 10 −3 7, 42 · 10 −4
2, 8 1, 440 3, 85 · 10 −3 2, 93 · 10 −3 9, 21 · 10 −4
2, 9 1, 492 4, 08 · 10 −3 2, 91 · 10 −3 1, 17 · 10 −3
3, 0 1, 543 4, 12 · 10 −3 2, 89 · 10 −3 1, 23 · 10 −3
3, 1 1, 595 4, 19 · 10 −3 2, 88 · 10 −3 1, 31 · 10 −3
3, 2 1, 646 4, 25 · 10 −3 2, 86 · 10 −3 1, 39 · 10 −3
3, 3 1, 698 4, 29 · 10 −3 2, 85 · 10 −3 1, 44 · 10 −3
3, 4 1, 749 4, 65 · 10 −3 2, 84 · 10 −3 1, 81 · 10 −3
Tabelle 6: Beiwerte
d) Durch Einhalten der Froude’schen Ähnlichkeit ergeben sich die Geschwindigkeiten und Reynolds-
Zahlen der Großausführung, wie in Tabelle 7 angegeben.
Froude-Zahl Geschwindigkeit [ m s
] Geschwindigkeit in [kn] Re
0, 1398 5, 18 10, 1 6, 09 · 10 8
0, 1515 5, 61 10, 9 6, 60 · 10 8
0, 1630 6, 04 11, 7 7, 11 · 10 8
0, 1689 6, 26 12, 2 7, 36 · 10 8
0, 1747 6, 47 12, 6 7, 61 · 10 8
0, 1806 6, 69 13, 0 7, 87 · 10 8
0, 1864 6, 91 13, 4 8, 13 · 10 8
0, 1923 7, 13 13, 9 8, 39 · 10 8
0, 1980 7, 34 14, 3 8, 64 · 10 8
Tabelle 7: Großausführung
e) Nach der Froude’schen Methode setzt man den Wellenwiderstand des Modells mit dem der Großausführung
gleich (c W,M = c W,S ). Mit Hilfe der Korrelationslinie ITTC’57 errechnet man sich nun
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v in [kn] v in [ m s ] c F,S(ITTC’57) c W,M c T,S R T,S [kN]
10, 1 5, 18 1, 63 · 10 −3 4, 52 · 10 −4 2, 08 · 10 −3 145, 9
10, 9 5, 61 1, 61 · 10 −3 7, 42 · 10 −4 2, 35 · 10 −3 177, 8
11, 7 6, 04 1, 60 · 10 −3 9, 21 · 10 −4 2, 52 · 10 −3 240, 3
12, 2 6, 26 1, 59 · 10 −3 1, 17 · 10 −3 2, 76 · 10 −3 282, 7
12, 6 6, 47 1, 58 · 10 −3 1, 23 · 10 −3 2, 81 · 10 −3 307, 5
13, 0 6, 69 1, 58 · 10 −3 1, 31 · 10 −3 2, 89 · 10 −3 338, 1
13, 4 6, 91 1, 57 · 10 −3 1, 39 · 10 −3 2, 96 · 10 −3 369, 4
13, 9 7, 13 1, 56 · 10 −3 1, 44 · 10 −3 3, 00 · 10 −3 398, 6
14, 3 7, 34 1, 56 · 10 −3 1, 81 · 10 −3 3, 37 · 10 −3 474, 6
Tabelle 8: Großausführungswiderstand
für die Reynolds-Zahlen der Großausführung neue Reibungswiderstände und erhält als Summe
den Schleppwiderstand der Großausführung.
cW,S, cF,S, cT,S
0.0045
0.0040
0.0035
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
0
c T,S
c W,S
c F,S
0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20
Froude − Zahl
Abbildung 1: Widerstandsanteile
Man wählt nun sinnvollerweise die maximale Geschwindigkeit, welche noch vor dem massiven
Anwachsen der Steigung des Graphen liegt. In diesem Fall wäre die Geschwindigkeit, die zu einer
Froude-Zahl von 0.19 führt. Also sollte das Schiff, um wirtschaftlich betrieben werden zu können,
ca. 13, 8kn laufen.
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