Zentralabitur 2013 Grundlegendes ... - STARK Verlag

Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Grundlegendes Anforderungsniveau – Analysis 1
c) Die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung liegt beim Hochpunkt der
Funktion f(x). Notwendige und hinreichende Bedingungen für einen Hochpunkt
sind f '(x E ) = 0 ∧ f ''(x E ) < 0.
1 2 1
f '(x) =− x − x + 1
450 30
1 1
f ''(x) =− x −
225 30
Mit f '(x) = 0 ⇒
⇔
1 2 1
− x − x + 1 = 0
450 30
x 2 + 15x − 450 = 0
⏐⋅ ( − 450)
x =− 7,5 ± 56,25 + 450
1, 2
x1, 2 =− 7,5 ± 506,25
x1, 2 =− 7,5±
22,5
x1
= 15
x 2 =−30 keine Lösung, da ∉D
Prüfen, ob x = 15 ein Hochpunkt ist:
1 1
f ''(15) =− ⋅15
−
225 30
1
=− < 0 ⇒ H(15 | f (15))
10
Für die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung gilt f(15) = 23,75.
Die Halbinsel ragt in Nordrichtung 23,75 m in den See.
d) Extremwertberechung:
Mit den gegebenen Angaben gilt für die Fläche des Dreiecks CBV
A(v) = 0,5 ⋅ v ⋅ (f(v) – 15)
Hauptbedingung (HB)
1 3 1
f (v) =− v − v2+ v + 15 Nebenbedingung (NB)
1350 60
NB in HB einsetzen ⇒ Zielfunktion (ZF):
1 3 1
A(v) = 0,5v ⋅
⎛
v v2
v 15 15
⎞
⎜− − + + −
1350 60
⎟
⎝
⎠
1 4 1 3 1
A(v) =− v − v + v2
2 700 120 2
Notwendige Bedingung für ein Extremum ist
A'(v) = 0
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