Zentralabitur 2013 Grundlegendes ... - STARK Verlag

Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Grundlegendes Anforderungsniveau – Analysis 1
e) Fläche zwischen dem Graphen von f und der Hypotenuse CV (Gerade CV)
Geradengleichung g 1
(x) aufstellen mit C(0 | 15) und V(18,88 | 22,95) (siehe
Teilaufgabe d)
g 1
(x) = m ⋅ x + b
Da die Gerade durch (0 | 15) geht.
⇒ b = 15
Koordinaten von V in g 1
(x) einsetzen
7,95 795
795
22,95 = m ⋅ 18,88 + 15 ⇒ m = = , also g 1(x) = x + 15
18,88 1888
1888
Für die Fläche zwischen den Graphen von f und g 1
gilt dann
18,88
A = (f(x) − g (x)) dx
∫
0
1
und für das Volumen des benötigten Sandes:
18,88
V = 0,4⋅A ≈0,4 ⋅ (f (x) −g (x)) dx
∫
1
0
18,88
1 3 1 2
795
≈0,4⋅ ⎡⎛ x x x 15
⎞ ⎛
x 15
⎞⎤
∫ ⎢⎜− − + + dx
1350 60
⎟− ⎜ +
1888
⎟⎥
0 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
18,88
1 4 1 3 1 2 1 795
≈0,4⋅ ⎡
− x − x + x + 15x − ⋅ x 2 −15x
⎤
⎢
⎣ 5 400 180 2 2 1888 ⎥
⎦0
⎛ 1 4 1 3 1093
0,4 18,88 18,88 18,882⎞
≈ ⋅⎜− ⋅ − ⋅ + ⋅
5 400 180 3 776
⎟
⎝
⎠
≈16,91
Es werden etwa 16,9 m 3 Spielsand benötigt.
Hinweis: Mit den Koordinaten des Ersatzpunktes erhält man 19,2 m 3 Spielsand.
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