Die mehrdimensionale Normalverteilung

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6 Kapitel 2: Die mehrdimensionale Normalverteilung Dabei haben wir die Identität EY 2k = (2k)! benutzt, die in den Übungen nachgerechnet worden 2 k k! ist. Notation: Ein Zufallsvektor ist ein Vektor X = (X 1 ,... ,X n ) T von Zufallsvariablen X i ,(1 ≤ i ≤ n). Der Erwartungswert von X wird komponentenweise definiert: EX := (EX 1 ,... ,EX n ) T . Die Kovarianzmatrix von X wird durch Kov(X) := (Kov(X i ,X j )) 1≤i,j≤n definiert, falls EX 2 i < ∞ ist für i = 1,... ,n. Dann gilt Kov(X) ij = Kov(X i ,X j ) = E((X i − EX i )(X j − EX j )) = E(X i X j − EX i EX j ) = E((X − EX)(X − EX) T ) ij . Kov(X) ist also offensichtlich eine symmetrische n×n-Matrix. Außerdem ist Kov(X) nichtnegativdefinit (d.h. für alle a ∈ R n gilt a T Kov(X)a ≥ 0), denn a T Kov(X)a = a T E((X − EX)(X − EX) T )a = E ( a T (X − EX)(X − EX) T a ] = E((a T (X − EX)) 2 ) ( n∑ = E a i (X i − EX i ) i=1 ≥ 0. Im Folgenden sehen wir, dass umgekehrt jede nichtnegativ-definite symmetrische Matrix Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors ist. Hierzu bemerken wir: Zu jeder nichtnegativ-definiten symmetrischen n × n-Matrix Σ gibt es eine nichtnegativ-definite und symmetrische “Wurzel” Q mit Σ = Q · Q T : Ist Σ nichtnegative und symmetrische n × n-Matrix, dann gibt es eine orthogonale Matrix O mit ⎛ ˜Σ = OΣO −1 und ˜Σ = ⎜ ⎝ ˜σ 2 1 ) 2 . .. ˜σ 2 n ⎞ ⎟ ⎠ . Dabei sind ˜σ 2 i ≥ 0,(i = 1,... ,n), denn für a ∈ Rn gilt a T ˜Σa = a T OΣO −1 a = (O T a) T ΣO T a ≥ 0. Definition 2.1 Ein Zufallsvektor X : Ω → R n , X = (X 1 ,... ,X n ) T heißt n-dimensional normalverteilt, wenn für jedes a ∈ R n die Zufallsvariable a T X = ∑ n i=1 a iX i eindimensional normalverteilt ist. Bemerkung 2.2 Ist X n-dimensional normalverteilt und ist A eine m×n-Matrix, so ist AX m-dimensional normalverteilt.
7 Satz 2.3 Sei Σ eine symmetrische und nichtnegativ-definite n × n-Matrix und sei µ ∈ R n . Dann existiert ein Zufallsvektor X mit EX = µ und Kov(X) = Σ, der n-dimensional normalverteilt ist. Außerdem gilt Ee itT X = exp{it T µ − 1 2 tT Σ t} für t ∈ R n . Beweis: 1. Schritt: Wir zeigen die Behauptung für µ = 0 und Σ = E (wobei E die Einheitsmatrix in R n × R n bezeichnet). Seien Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach N(0,1), dann ist der Zufallsvektor Y = (Y 1 ,...,Y n ) T n-dimensional normalverteilt mit EY = 0 und Kov(Y ) = E. Weiter gilt für s ∈ R ⎧ ⎫ ⎨ n∑ ⎬ Ee isaT Y = E exp ⎩ is a j Y j ⎭ = = n∏ j=1 n∏ j=1 = exp Ee isa jY j e −1 2 (sa j) 2 j=1 { − 1 } 2 s2 a T a . Dies ist die charakteristische Funktion einer N(0,a T a)-verteilten Zufallsvariablen. Daher ist a T Y normalverteilt. 2. Schritt: Sei Q symmetrisch und nichtnegativ-definit mit Σ = QQ T und sei Y wie in Schritt 1. Dann ist X := QY +µ nach Bemerkung 2.2 n-dimensional normalverteilt mit EX = µ und Kov(X) = E((X − µ)(X − µ) T ) = E(QY (QY ) T ) = QQ T = Σ. Die charakteristische Funktion ist Ee itT X = Ee itT (QY +µ) = e itT µ Ee itT QY und { Ee itT QY = Ee i(QT t) T Y = exp − 1 } { 2 (QT t) T Q T t = exp − 1 } 2 tT Σ t . ✷ Satz 2.4 Seien Σ = QQ T und X = µ + QY mit Y = (Y 1 ,...Y n ) T und Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach N(0,1). Ist det(Σ) > 0, so hat die Verteilung L(X) eine Dichte f bezüglich des Lebesgue- Maßes λ n auf R n mit f(x) = 1 √ {− √ (2π) n det(Σ) exp 1 } 2 (x − µ)T Σ −1 (x − µ) für x ∈ R n . Beweis: Für eine beliebige Borelmenge A ⊂ R n gilt ∫ P(X ∈ A) = P(µ + QY ∈ A) = P(Y ∈ Q −1 (A − µ)) = Y ∈Q −1 (A−µ) g(y)dy
Seite 1: Kapitel 2 Die mehrdimensionale Norm

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