Die mehrdimensionale Normalverteilung

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Satz 2.3 Sei Σ eine symmetrische und nichtnegativ-definite n × n-Matrix und sei µ ∈ R n .
Dann existiert ein Zufallsvektor X mit EX = µ und Kov(X) = Σ, der n-dimensional normalverteilt
ist. Außerdem gilt Ee itT X = exp{it T µ − 1 2 tT Σ t} für t ∈ R n .
Beweis: 1. Schritt: Wir zeigen die Behauptung für µ = 0 und Σ = E (wobei E die
Einheitsmatrix in R n × R n bezeichnet).
Seien Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach N(0,1), dann ist der Zufallsvektor Y = (Y 1 ,...,Y n ) T n-dimensional
normalverteilt mit EY = 0 und Kov(Y ) = E. Weiter gilt für s ∈ R
⎧ ⎫
⎨ n∑ ⎬
Ee isaT Y
= E exp
⎩ is a j Y j
⎭
=
=
n∏
j=1
n∏
j=1
= exp
Ee isa jY j
e −1 2 (sa j) 2
j=1
{
− 1 }
2 s2 a T a .
Dies ist die charakteristische Funktion einer N(0,a T a)-verteilten Zufallsvariablen. Daher ist
a T Y normalverteilt.
2. Schritt: Sei Q symmetrisch und nichtnegativ-definit mit Σ = QQ T und sei Y wie in Schritt
1. Dann ist X := QY +µ nach Bemerkung 2.2 n-dimensional normalverteilt mit EX = µ und
Kov(X) = E((X − µ)(X − µ) T ) = E(QY (QY ) T ) = QQ T = Σ.
Die charakteristische Funktion ist
Ee itT X = Ee itT (QY +µ) = e itT µ Ee itT QY
und
{
Ee itT QY = Ee i(QT t) T Y = exp − 1 } {
2 (QT t) T Q T t = exp − 1 }
2 tT Σ t . ✷
Satz 2.4 Seien Σ = QQ T und X = µ + QY mit Y = (Y 1 ,...Y n ) T und Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach
N(0,1). Ist det(Σ) > 0, so hat die Verteilung L(X) eine Dichte f bezüglich des Lebesgue-
Maßes λ n auf R n mit
f(x) =
1
√
{− √
(2π) n det(Σ) exp 1 }
2 (x − µ)T Σ −1 (x − µ)
für x ∈ R n .
Beweis: Für eine beliebige Borelmenge A ⊂ R n gilt
∫
P(X ∈ A) = P(µ + QY ∈ A) = P(Y ∈ Q −1 (A − µ)) =
Y ∈Q −1 (A−µ)
g(y)dy