Notizen

Automaten und formale Sprachen
Notizen zu den Folien
2 Sprachen und Grammatiken
Beispielableitung in einer Grammatik (Zu Folie 68)
Eine Ableitung des Wortes aabbcc in der Grammatik der Folie 64:
S ⇒ aSBC ⇒ aaBCBC ⇒ aaBBCC ⇒ aabBCC ⇒ aabbCC ⇒ aabbcC ⇒ aabbcc
Das heißt, aabbcc ∈ L(G).
Bemerkung zur Chomsky-Hierarchie für Grammatiken (Folie 78)
Alle genannten Bedingungen gelten zusätzlich zu den vorher genannten Bedingungen. Das heißt,
eine reguläre Grammatik G = (Σ, V, P, S) muss die folgenden Bedingungen erfüllen: für alle Regeln
l → r gilt:
• |l| ≤ |r|;
• l ∈ V (l ist eine einzelne Variable);
• r = a oder r = aB, für a ∈ Σ und B ∈ V .
Die Chomsky-Hierarchie für Grammatiken ist eine Hierarchie. Das heißt, jede Chomsky-i-Grammatik
ist auch eine Chomsky-(i − 1)-Grammatik (für i ∈ {1, 2, 3}).
Es ist möglich, dass die gleiche Sprache von zwei verschiedenen Grammatiken erzeugt wird. Die
zwei verschiedenen Grammatiken können auch vom verschiedenen Chomsky-Typ sein.
Grammatiken in Chomsky-Hierarchie einordnen (Folien 78, 79 und 82)
Beispiele
• Sei G 0 = ({S}, {a, b}, S, P 1 ), wobei P die folgende Produktionen enthält:
S → aaSbb | ɛ
aa → a
bb → b
aaa → ɛ
bbb → ɛ
Die Grammatik G 0 ist vom Typ 0, aber nicht vom Typ 1, denn es gibt Produktionen l → r
mit |l| > |r|.
• Sei G 1 = ({S, A, B}, {a, b}, S, P ), wobei P die folgende Produktionen enthält:
S → XT | a | b | ɛ
T → BT | T A | B | A
BA → AB
XA → aX
XB → bb
B → b
1

Die Grammatik G 1 ist kontextsensitiv (Typ 1), denn für alle Produktionen l → r gilt, dass
|l| ≤ |r| (S → ɛ is erlaubt wegen der ɛ-Sonderregel.)
Sie ist aber nicht kontextfrei, denn drei Produktionen enthalten nicht eine einzelne Variable
als linke Seite.
• Sei G 2 = ({S}, {a, b}, S, P ), wobei P die folgende Produktionen enthält:
S → T | ɛ
T → aT | T b | a | b
Die Grammatik G 2 ist kontextfrei (Typ 2), denn sie ist kontextsensitiv und alle linke Seiten
bestehen aus einer einzelnen Variable. (Die Produktion S → ɛ ist erlaubt wegen der ɛ-
Sonderregel.)
Sie ist aber nicht regulär (Typ 3), denn die rechte Seite der Produktion T → T b ist nicht
von der richtigen Form.
• Sei G 3 = ({S}, {a, b}, S, P ), wobei P die folgende Produktionen enthält:
S → aA | aB | a | bB | B | ɛ
A → aA | aB | a
B → bB | b
Die Grammatik G 3 ist regulär, denn sie ist konstextsensitiv, kontextfrei, und alle Regeln
haben die richtige Form. (S → ɛ is wieder erlaubt wegen der ɛ-Sonderregel.)
Übrigens gilt: L(G 0 ) = L(G 1 ) = L(G 2 ) = L(G 3 ) = {a k b n | n, m ≥ 0}. Die von allen Grammatiken
erzeugte Sprache ist also regulär, denn es gibt eine reguläre Grammatik, die die Sprache erzeugt
(in diesem Fall: G 3 ). (Die Sprache ist natürlich auch kontextfrei und kontextsensitiv.)
Bemerkung zur Chomsky-Hierarchie für Sprachen (Folie 82)
Es gilt folgendes:
• Die Sprachklassen sind in einander enthalten. Jede Typ i-Sprache ist auch eine Typ-(i − 1)-
Sprache (für i ∈ {1, 2, 3}).
• Die Sprachklassen sind echt in einander enthalten. Für jede Sprachklasse Typ i (wobei i ∈
{0, 1, 2}), gibt es eine Sprache die vom Typ i ist, aber nicht vom Typ (i + 1).
• Es gibt auch Sprachen, die gar nicht von einer Grammatik erzeugt werden! (Dazu mehr in
der Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität.)
Wortproblem-Algorithmus für Typ-1-Grammatiken (Folie 86)
Wortproblem für das Wort aabbc und die Beispiel-Grammatik von Folie 70.
Anfang: T = {S}
1. Schritt: T = {S, aSBC, aBC}
2. Schritt: T = {S, aSBC, aBC,✭✭✭✭✭
aaBCBC,✭✭✭✭✭
aaSBCBC, abC}
3. Schritt: T = {S, aSBC, aBC, abC, abc}
4. Schritt: T = {S, aSBC, aBC, abC, abc}
Keine Änderungen mehr, also terminiert der Algorithmus. Weil aabbc /∈ T , gilt aabbc /∈ L(G).
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3 Endliche Automaten
Überführungsfunction eines DFA (Folie 92)
Wie sieht die Überführungfunktion aus?
δ : Z × Σ → Z
Das heißt: Ein Paar aus Zustand und Alphabetsymbol wird auf einen Zustand abgebildet. Also,
δ(z 1 , a) = z 2 heißt, dass ein mit a beschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht.
Beispiel: der Automat auf Folie 89 wird wie folgt ”
textuell“ dargestellt:
M = ({z 1 , z 2 }, {a, b}, δ, z 1 , {z 2 }), wobei:
δ(z 1 , a) = z 1 δ(z 2 , a) = z 2
δ(z 1 , b) = z 2 δ(z 2 , b) = z 1
Erweiterung von δ auf Wörter (Folie 93)
Die Funktion ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symbolen auf Wörter. Beispiel (siehe Automat auf
Folie 89):
ˆδ(z 1 , ab) = ˆδ(δ(z 1 , a), b) = ˆδ(z 1 , b) = ˆδ(δ(z 1 , b), ɛ) = ˆδ(z 2 , ɛ) = z 2
Das bedeutet, dass das Einlesen des Wortes ab den Automaten vom Zustand z 1 in den Zustand
z 2 führt.
Beispiel-DFAs (Folie 95)
• Antwort der ersten Aufgabe:
L = {x ∈ Σ ∗ | x enthält genau 1 b}
• Antwort der zweiten Aufgabe:
M = (Z, Σ, δ, z 0 , E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {a, b}, z 0 = 1, E = {4}:
a
b
1 2 3
a
b
a b
4
a, b
Die verschiedene Zustände eines DFA haben alle eine Bedeutung. In diesem Fall:
1. Wenn der Automat in Zustand 1 ist, hat sie gerade angefangen und noch kein Symbol
eingelesen.
2. Wenn der Automat in Zustand 2 ist, war das erste eingelesene Symbol ein a, und war
auch das zuletzt eingelesene Symbol ein a.
3. Wenn der Automat in Zustand 3 ist, war das erste eingelesene Symbol ein a, und war
das zuletzt eingelesene Symbol ein b. (In diesem Zustand kann das Wort akzeptiert
werden.)
4. Wenn der Automat in Zustand 4 ist, war das erste eingelesene Symbol kein a. Das heißt,
dass das Wort nicht in der Sprache liegen kann. Deswegen kann aus diesem Zustand
kein Endzustand mehr erreicht werden.
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