Blatt 7 - Institut für Theoretische Physik I

Blatt 7 Wintersemester 2010/11
Übungen zur theoretischen Physik III (Quantenmechanik)
Aufgabe 18: Operatoren in Matrixdarstellung
Die Matrixdarstellung eines Operators A bezüglich einer Basis {ψ n (x)} ist definiert als
A nm = (ψ n , Aψ m ) .
(a) Bei einem Wechsel in eine andere Basis {ψ ′ i(x)} transformiert sich A zu A ′ = S † AS.
Zeigen sie, dass die Matrix S unitär ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Matrixdarstellung des Ortsoperators x bezüglich des Systems von
Energieeigenfunktionen des eindimensionalen harmonischen Oszillators folgende Form
annimmt:
√
( √nδn,m+1
x nm =
+ √ )
n + 1δ n,m−1 .
2ωm
(c) Berechnen Sie nun die Matrixelemente der Operatoren der kinetischen Energie und
der potentiellen Energie bezüglich der Basis der Energieeigenfunktionen des eindimensionalen
harmonischen Oszillators.
Aufgabe 19: Heisenberg-Bild
Der Index H bezeichnet hier Operatoren und Zustände im Heisenberg-Bild.
(a) Geben Sie die formale Lösung der Schrödinger-Gleichung im Schrödinger-Bild an. Was
muss dabei für den Hamilton-Operator gelten? Wie sieht diese Lösung bezüglich einer
Basis der Energieeigenzustände aus?
(b) Was ist der Unterschied zwischen dem Schrödinger- und dem Heisenberg-Bild? Wieso
sind dennoch beide Beschreibungen physikalisch äquivalent?
(c) Wie hängt |ψ, 0〉 mit |ψ, t〉 H
|ψ, t〉 H .
zusammen? Berechnen Sie die Zeitabhängigkeit von
(d) Berechnen Sie nun die Heisenberg-Operatoren p H (t) und x H (t) für ein Elektron in
einem elektrischen Feld E = E 0 e z , mit gegebenen Anfangswerten.
Bitte wenden!

Aufgabe 20: Harmonischer Oszillator im Heisenberg-Bild
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit
H = p2
2m + mω2 x 2
2
Auch hier bezeichnet der Index H die Darstellung im Heisenberg-Bild.
(a) Wie transformiert sich allgemein ein Operator aus dem Schrödinger-Bild ins Heisenberg-
Bild? Transformieren Sie H in die Heisenberg-Darstellung.
(b) Bestimmen Sie die Zeitentwicklungsgleichungen der Operatoren a H , a † H , p H und x H .
Es ist hier günstiger, den Hamilton-Operator mit Auf- und Absteigeoperatoren zu
formulieren.
(c) Bestimmen Sie nun a H (t).
.
Geben Sie bitte Ihren Namen, Matrikelnummer und
Übungsgruppe an. Pro Lösung dürfen nicht mehr als zwei
Namen angegeben werden. Benutzen Sie bitte für die Lösung
jeder Aufgabe separate Zettel.
Abgabe bis Montag, den 13.12.2010 zu Beginn der Vorlesung oder vorher in den
Briefkasten NB/7 Süd im Aufzugsfoyer.