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Umwelt-Campus Birkenfeld
Technische Mechanik II
18. Räumliche Tragsysteme
der Fachhochschule Trier
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Bisher wurden nur Tragsysteme betrachtet, die durch Lasten in einer Ebene
beansprucht wurden. In der Praxis treten aber häufig räumliche Strukturen auf
mit Lasten in beliebiger Raumrichtung.
Räumliches Fachwerk
Räumliche Balkenträger
Greater New Orleans Bridge
8. Räumliche Tragsysteme
aus Hibbeler: Technische Mechanik
1

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Die Behandlung räumlicher Probleme erfolgt mit den gleichen Methoden wie
im ebenen Fall, erfordert jedoch ein räumliches Vorstellungsvermögen und ist
mit einem erhöhtem Berechnungsaufwand verbunden
Räumliche Strukturen und Lasten
werden i. allg. in einem räumlichen,
kartesischen Koordinatensystem beschrieben,
wobei die Achsen in der
Reihenfolge x, y und z ein rechtshändisches
System bilden.
0
z
P (a,b,c)
y
a c
b
x
Im Gegensatz zu ebenen Problemen lassen sich für räumliche Strukturen
keine praktikablen grafischen Lösungsmethoden angeben, so dass im
folgenden nur die analytische Methoden behandelt werden.
8. Räumliche Tragsysteme
2

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8.1 Zentrales räumliches Kräftesystem
Eine räumlich angeordnete Gruppe von Kräften, deren Wirkungslinien sich in
einem Punkt schneiden, ist ein zentrales räumliches Kräftesystem.
8.1.1 Zusammenfassen von Kräften
Mehrere Kräfte F i im Raum werden zu einer Resultierenden zusammengefasst,
indem ihre skalaren Komponenten addiert werden.
n
∑
R x
= F ix
i=
1
n
∑
R y
= F iy
i=
1
n
∑
R z
= F iz
i=
1
Der Betrag der Resultierenden ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras:
R = R + R +
2
x
2
y
R
2
z
8. Räumliche Tragsysteme
3

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Die skalaren Komponenten einer Kraft ergeben sich aus
⎡Fx
⎤
F z
→
x
= F ⋅ cosα
F z
F =
⎢
F
⎥
⎢
y mit
⎥
F y
= F ⋅ cos β
⎢⎣
Fz
⎥
F
⎦
F z
= F ⋅ cosγ
γ
Für die Raumwinkel gilt
β
2
2
2
cos α + cos β + cos γ = 1
F α
x
x
Beispiel:
⎡2⎤
⎡ − 1⎤
⎡ 1 ⎤
⎡2⎤
⎡ − 1⎤
⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤
→
→
→
→
⎢ ⎥
R =
⎢
1
⎥
+
⎢
− 3
⎥
+
⎢
− 2
⎥
F
⎢ ⎥
F 2
= − 3 F =
⎢
− 2
⎥
1
= 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3
=
⎢
− 4
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢3⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥
⎢3⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦
⎢ 4 ⎥ ⎥⎥ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎣
F y
y
2
2 2
R = R + R + R = 2 + ( −4)
+ 4 = 6
2
x
2
y
2
z
8. Räumliche Tragsysteme
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8.1.2 Gleichgewicht von Kräften
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Eine zentrale, räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre
Resultierende Null ist, d. h. wenn jede ihrer skalaren Komponenten für
sich null ist.
Damit lautet die Gleichgewichtsbedingungen für das zentrale räumliche
Kräftesystem
R
n
= ∑
x
F ix
i=
1
=
0
n
∑
R y
= F iy
i=
1
=
0 R z
= ∑ F iz
n
i=
1
=
0
oder in verkürzter Schreibweise
∑ x
∑ y
∑ z
F = 0 F = 0 F = 0
Bei einem zentralen räumlichen Kräftesystem gibt es genau drei
unabhängige Kräftegleichgewichtsbedingungen.
8. Räumliche Tragsysteme
5

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Beispiel: Räumlicher Stabdreischlag
Gegeben: F = 10 kN, α = 33,7°, β = 63,4°, γ = 71,6°
Gesucht: Stabkräfte S 1 , S 2 , und S 3
x
z
α
1
F
2
γ
β
3
y
8. Räumliche Tragsysteme
6

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Wird die Lage der Stäbe nicht durch ihre Raumwinkel, sondern durch ihre
Komponenten festgelegt, ist wie folgt vorzugehen:
Da die Stabkräfte S i in Richtung der Stäbe i wirken, sind die Kräftekomponenten
S ix , S iy und S iz proportional zu deren Längenkomponenten L ix ,
L iy und L iz . Es gilt mit den Proportionalitätsfaktoren x i
S
ix
=
x
i
⋅ L
ix
S
iy
= xi
⋅ Liy
iz i iz
Mit den Komponenten der eingeprägten Kräfte F x , F y und F z ergibt sich aus
der Bedingung, dass im Gleichgewicht die Resultierende aller Kräfte Null ist
S
=
x
⋅ L
R
=
n
∑
i = 1
x
i
⋅
⎡ L
⎢ L
⎢
⎣ L
ix
iy
iz
⎤
⎥
⎥
⎦
+
⎡ F
⎢ F
⎢
⎣ F
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎦
=
0
ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten x i . Die Stabkräfte ergeben
sich dann aus
S = x ⋅ L + L +
i
i
2
ix
2
iy
L
2
iz
8. Räumliche Tragsysteme
7

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Beispiel: Räumlicher Stabdreischlag
Gegeben: F = 10 kN, a = 3 m, b = 1 m c = 2 m
Gesucht: Stabkräfte S 1 , S 2 und S 3
z
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F α
S
S 3
1
c
S 2
Kräftegleichgewicht:
x
a
a
tan α = = 3 b
b
y
⇒ α = 71, 6°
Stabkräfte:
8. Räumliche Tragsysteme
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Übung: Abgespannter Mast
Gegeben: F = 1 kN, a = b = c = 2d = 6 m
Gesucht: Mastkraft S 1 , Seilkräfte S 2 und S 3
F
b
z
S 2 S 3
S 1
c
x
a
d
Kräftegleichgewicht:
Stabkräfte:
y
8. Räumliche Tragsysteme
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8.2 Allgemeines räumliches Kräftesystem
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Eine Kräftegruppe im Raum, deren Wirkungslinien sich nicht in einem
gemeinsamen Punkt schneiden, ist ein allgemeines räumliches Kräftesystem.
8.2.1 Moment einer Kraft
Das Moment einer Kraft bezüglich einer
Achse ergibt sich als Produkt der
Kraftkomponenten mit ihren Abständen
zur Bezugsachse
M z
z
F z
F
M
M
y
x
= F
= F
x
z
⋅
⋅ z
y 0
− F y
⋅
− F ⋅
0 z
x 0
z 0
F x
F y
z 0
x 0
M
z
=
und damit
F
y
⋅
x
0 x
y 0
M = M + M + M
x
2
x
−
F
⋅
2
y
2
z
M x
y 0
My
y
8. Räumliche Tragsysteme
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8.2.2 Gleichgewicht einer allgemeinen Kräftegruppe
Eine räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende
Kraft und das resultierende Moment für einen beliebigen Punkt Null ist.
Damit lautet die Gleichgewichtsbedingungen für das allgemeine räumliche
Kräftesystem:
∑ x
∑ y
∑ z
Kräftegleichgewicht: F = 0 F = 0 F = 0
Momentengleichgewicht:
∑
M = 0 M = 0 M = 0
P x
Die Kräftegleichgewichte lassen sich durch Momentengleichgewichte für
verschiedene Bezugspunkte oder um weitere Achsen ersetzen.
Insgesamt lassen sich aber nicht mehr als 6 unabhängige Gleichgewichtsbedingungen
an einem starren Körper aufstellen.
∑
P y
∑
P z
8. Räumliche Tragsysteme
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Beispiel: Konsole
Gegeben: G = 5 kN, a = 1 m
Gesucht: Stabkräfte
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a
F
a
a
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Übung: Betonplatte
Gegeben: a = 1 m, α = 45°, h = 0,4 m, ρ = 2,6 to/m 3 , g = 9,81 m/s 2
Gesucht: Gewichtskraft G, Stützenkräfte A und B und Seilkräfte S 1 und S 2
y
a
z
S 1
C
A
3a
G
S 2
α
2a
x
B
h
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8.2.3 Räumliche Lagerungen
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Wie beim ebenen Fall entstehen Kräfte in einem Lager, das translatorische
Freiheitsgrade sperrt und Momente, wenn die Drehung behindert wird. Je
nach Anzahl der auftretenden unabhängigen Auflagerreaktionen können
räumliche Lager ein- bis sechswertig sein.
Einwertiges
Pendellager
(Sonderanfertigung)
Foto: Mageba
Einzelne Lager können i. allg. nur geringe Momente aufnehmen, da diese zu
hohen Beanspruchungen im Lager führen. In der Praxis werden daher mehrere
Lager so angeordnet, dass allein die Lagerkräfte ausreichen, einen Körper
statisch bestimmt zu lagern. Die Momente werden als statisch überzählige
nicht berücksichtigt.
8. Räumliche Tragsysteme
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Lagerungstyp Symbol Lagerreaktion
Loslager, Seil,
Kontaktfläche
Rollenlager
Kugelgelenk
Momentenstütze
Radiallager,
Schiebehülse
Führung, Axiallager,
Scharnier
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Wertigkeit
1
2
3
4
5
Einspannung 6
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Beispiel: Gelagerter Winkelträger
Gegeben: q = 1 kN/m, F y = 1 kN, F z = 2 kN, a = 2 m
Gesucht: Auflagerreaktionen
y
A
z
a
x
F z
B
a
q
a
C
F y
8. Räumliche Tragsysteme
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... Fortsetzung
8. Räumliche Tragsysteme
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Beispiel: Torsionsbalken
Gegeben: F x = 1 kN, F y = 2 kN, a = 0,5 m
Gesucht: Lagerreaktionen
F x
der Fachhochschule Trier
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F y
y
A
z
a
a
B
a
x
8. Räumliche Tragsysteme
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Übung:
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Eingespannter Winkelträger
Gegeben: F x = 3 kN, F y = 1 kN, F z = 2 kN, L = 1 m , a = 0,5 m
Gesucht: Auflagerreaktionen
L
der Fachhochschule Trier
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y
a
z
F z
x
F y
F x
8. Räumliche Tragsysteme
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8.2.4 Schnittgrößen
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Entsprechend der Anzahl der unabhängigen Freiheitsgrade treten bei einem
räumlichen System sechs Schnittgrößen auf. Die Eintragung der
Schnittgrößen erfolgt nach den Regeln der Vorzeichenkonvention
y
Q z
positives + M z Q y
Schnittufern r T
M y N
M
x
n r
y
T
M z
z Q y negatives Schnittufer
Q z
Hierbei ist N die Normalkraft, T das Torsionsmoment, Q y und Q z sind die
Querkräfte und M y und M z die Biegemomente.
8. Räumliche Tragsysteme
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Beispiel 1: Abgewinkelter Träger
A x =-2 kN
F z
q
F y
A y =-1 kN
A z =1 kN
C x =-2 kN
B z = 2 kN
C z = 1 kN
8. Räumliche Tragsysteme
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...Fortsetzung
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8. Räumliche Tragsysteme
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...Fortsetzung
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8. Räumliche Tragsysteme
23

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... Fortsetzung
A x = -2 kN
F z = 2 kN
A y = -1 kN
y
A z = 1 kN
z
x
B z = 2 kN
q = 1 kN/m
Fy = 1 kN
N-Linie
C x = -2 kN
C z = 1 kN
T-Linie
Q-Linie
M-Linie
8. Räumliche Tragsysteme
24

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Beispiel: Räumlicher Träger
Gegeben: Lasten und Auflagerkräfte
Gesucht: Schnittgrößenverlauf im Balken
A x = -1 kN
F x = 1 kN
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F y = 2 kN
T = 1 kNm
A y = 1 kN
A z = -0,5 kN
B y = 1 kN
B z = 0,5 kN
8. Räumliche Tragsysteme
25

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...Fortsetzung
8. Räumliche Tragsysteme
26

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...Fortsetzung
A x = -1 kN
F x = 1 kN
F y = 2 kN
N-Linie
A y = 1 kN
A z = -0,5 kN
B y = 1 kN
Q-Linie
T = 1 kNm
B z = 0,5 kN
T-Linie
M-Linie
8. Räumliche Tragsysteme
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Beispiel 1: Riemenscheibe (F 1 = 3 kN, F 2 = 9 kN, a = 0,5 m, α = 60°)
F 2
Abtrieb
a
α
x
z
y
a
2a
F 1
8. Räumliche Tragsysteme
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Übung: Z-Träger
Gegeben: F y = 2 kN, F z = 1 kN, T = 1,5 kNm, a = 0,5 m
Gesucht: Auflagerkräfte und Schnittgrößenverlauf
A
y
F z
x
F y
B
C
T
a
z
a
a
a
8. Räumliche Tragsysteme
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... Fortsetzung
N-Linie
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A y = -2 kN
F z = 1 kN
A z = 2,5 kN
A x = 1 kN
F y = 2 kN
T = 1,5 kNm
C z = 2,5 kN
B z = -4 kN
C x = -1 kN
T-Linie
Q-Linie
M-Linie
8. Räumliche Tragsysteme
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Ergänzung: Räumlicher Träger
Gegeben: F x = 1 kN, F z = 2 kN, M = 1 kNm, a = 0,5 m
∑ F = 0 = Ax
+ Cx
+
x
∑ y
= 0
∑ z
= 0 =
F = B + C
F A + B + F
B
∑ M = 0 =
x
∑
z
y
A
z
z
y
z
⋅ a + C
F
y
x
⋅ a
A
M
y
= 0 = M + Bz
⋅a
+ Cx
⋅a
+ Fz
⋅2a
A
M
y
a
F x
x
a
z
B
C
a
F z
a
D
C
∑ M = 0 =
z
A
x
⋅ a −
B
y
⋅ a
Für Systeme, deren Lager nicht in
einer Ebene liegen, lassen sich
keine entkoppelten Momentengleichungen
aufstellen.
M
A z
F x
A x
B y
B z
C y
F z
C x
8. Räumliche Tragsysteme
31

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... Fortsetzung
Die Gleichgewichtsbedingungen stellen ein lineares Gleichungssystem für
die unbekannten Auflagerreaktionen dar:
A
x
+ 0 ⋅ A + 0 ⋅ B + 0 ⋅ B + C + 0 ⋅ C
z
y
0 ⋅ A + 0 ⋅ A + B + 0 ⋅ B + 0 ⋅C
+ C =
x
x
z
z
y
0 ⋅ A + A + 0 ⋅ B + B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ C
y
z
z
z
x
x
x
y
y
y
= −F
0
x
= −F
0 ⋅ Ax
+ Az
+ 0 ⋅ By
+ 0 ⋅ Bz
+ 0 ⋅Cx
+ C
y
= 0
M
0 ⋅ Ax
+ 0 ⋅ Az
+ 0 ⋅ By
+ Bz
+ Cx
+ 0 ⋅ C
y
= − − 2F
a
A 0 ⋅ A − B + 0 ⋅ B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ C = 0
x
+
z y z x y
Da in diesem Fall die Berechnung der unbekannten Auflagerreaktionen von
Hand aufwändig ist, soll das Gleichungssystem numerisch (z. B. mit dem
Gauß´schen Eliminationsverfahren) gelöst werden.
z
z
8. Räumliche Tragsysteme
32

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... Fortsetzung:
Setzt man die Zahlenwerte F x = 1 kN, F z = 2 kN, M = 1 kNm, a = 0,5 m
ergibt sich das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
⎡1
⎢
0
⎢
⎢0
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣1
0
0
1
1
0
0
0 0 1 0⎤
1 0 0 1
⎥
⎥
0 1 0 0⎥
⎥
0 0 0 1
⎥
0 1 1 0⎥
⎥
− 1 0 0 0⎦
·
⎡ A
⎢
A
⎢
⎢B
⎢
⎢
B
⎢C
⎢
⎢⎣
C
x
z
y
z
x
y
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
=
⎡ − 1⎤
⎢
0
⎥
⎢ ⎥
⎢−
2⎥
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢−
6⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
[K] – Koeffizientenmatrix
{x} – Unbekanntenvektor
{F} –Konstantenvektor
[K] · {x} = {F}
Mit Hilfe eines programmierbaren Taschenrechners oder eines geeigneten
Programms (z. B. MATLAB) erhält man die Lösung :
A x = A z = B y = 1,5 kN, B z = – 3,5 kN, C x = – 2,5 kN, C y = – 1,5 kN
8. Räumliche Tragsysteme
33