Analysis II - Formelsammlung

Analysis II - Formelsammlung
von Julian Merkert, Sommersemester 2005, Dr. Schmoeger
• Dreiecksungleichungen und andere Standardsachen sind hier i.d.R nicht aufgeführt!
• Immer nachprüfen, ob Voraussetzungen erfüllt sind!
Skalarprodukt: x · y := xy := x 1 y 1 + ... + x n y n
Norm: ||x|| := (x · x) 1 2 = (x 2 1 + ... + x 2 n) 1 2
Abstand: ||x − y||
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: |x · y| ≤ ||x|| ||y||
∆-Ungleichung: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
Bolzano-Weierstraÿ: Ist (a (k) ) beschränkt, so enthält (a (k) ) eine konvergente TF.
Cauchy-Kriterium: (a (k) ) konvergent ⇔ ∀ ε > 0 ∃ k 0 ∈ N : ||a (k) − a (l) || < ε ∀ k, l ≥ k 0
Grenzwerte bei Funktionen:
• Sei y 0 ∈ R m . lim x→x0 f(x) = y 0 :⇔ für jede Folge (x (k) ) in D\ {x 0 } und x (k) → x 0 gilt: f(x (k) ) → y 0
In diesem Fall schreibt man: f(x) → y 0 (x → x 0 )
• lim x→x0 f(x) existiert :⇔ ∃ y 0 ∈ R m : lim x→x0 f(x) = y 0
• Ist f = (f 1 , ..., f m ) und y 0 = (y 1 , ..., y m ) ∈ R m , so gilt: f(x) → y 0 (x → x 0 ) ⇔ f j (x) → y j (x → x 0 ) (j = 1...m)
Stetigkeit: Sei x 0 ∈ D. f heiÿt stetig in x 0 ⇔ für jede Folge (x (k) ) in D mit x (k) → x 0 gilt: f(x (k) ) → f(x 0 )
Gleichmäÿige Stetigkeit: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ||f(x) − f(y)|| < ε ∀ x, y ∈ D : ||x − y|| < δ
• D sei beschränkt und abgeschlossen und es sei f ∈ C(D, R m ) ⇒ f ist auf D glm stetig
Lipschitzstetigkeit: ∃ L ≥ 0 : ||f(x) − f(y)|| ≤ L||x − y|| ∀ x, y ∈ D
Beschränktheit: ∃ c ≥ 0 : ||f(x)|| ≤ c ∀ x ∈ D
Partielle Dierenzierbarkeit / part. Ableitung in x 0 : ∃ lim t→0
f(x 0+te j)−f(x 0)
t
= ∂f
∂x j
(x 0 ) und ist ∈ R.
Satz von Schwarz: Es sei f ∈ C 2 (D, R), x 0 ∈ D und j, k ∈ {1, ..., n}. Dann: f xjx k
(x 0 ) = f xk x j
(x 0 )
Jacobi- / Funktionalmatrix in x 0 : ∂f
∂x (x 0) := ∂(f1,...,fm)
∂(x := J ⎜
1,...,x n) f (x 0 ) := ⎝
Dierenzierbarkeit in x 0 : ∃ (m × n)-Matrix A: lim h→0
f(x 0+h)−f(x 0)−Ah
||h||
= 0
⎛
∂f 1
∂x 1
(x 0 ) ...
.
∂f m
∂x 1
(x 0 ) ...
∂f 1
⎞
∂x n
(x 0 )
⎟
. ⎠
∂f m
∂x n
(x 0 )
• f sei in x 0 db ⇒ f ist in x 0 partiell db und die Matrix A ist eindeutig bestimmt: A = J f (x 0 ), f ′ (x 0 ) := A = J f (x 0 )
(Ableitung von f in x 0 )
• Ist f ∈ C 1 (D, R m ) ⇒ f ist auf D db.
Kettenregel: f sei in x 0 ∈ D db, ∅ ≠ E ⊆ R m . E sei oen, f(D) ⊆ E und g : E → R p sei db in y 0 := f(x 0 ). Dann ist
g ◦ f : D → R p db in x 0 und (g ◦ f) ′ (x 0 ) = g ′ (f(x 0 )) · f ′ (x 0 ) [Matrizenprodukt]
Verbindungsstrecke: Seien a, b ∈ R n , S[a, b] := {a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]}
Mittelwertsatz: f : D → R sei db auf D, es seien a, b ∈ D und S[a, b] ⊆ D. Dann:
∃ ξ ∈ S[a, b] : f(b) − f(a) = f ′ (ξ)(b − a)
Richtung / Richtungsvektor: a ∈ R n und ||a|| = 1
Di'barkeit in x 0 in Richtung a / Richtungsableitung: ∃ lim t→0
f(x 0+ta)−f(x 0)
t
• f in x 0 db ⇒ ∂f
∂a (x 0) existiert und ∂f
∂a (x 0) = a · grad f(x 0 )
1
= ∂f
∂a (x 0) und ist ∈ R

Taylorpolynom: T k ((x, y); (x 0 , y 0 )) := ∑ k ((x−x 0,y−y 0)∇) (i) f(x 0,y 0)
i=0
i!
(
) k,
• (h∇) (k) ∂
∂
:= h 1 ∂x 1
+ ... + h n ∂x n
also insbesondere:
• (h∇) (0) f(x 0 ) := f(x 0 )
• (h∇)f(x 0 ) = h · grad f(x 0 )
• (h∇) (2) f(x 0 ) = ∑ n ∑ n
j=1 k=1 h ∂
jh k ·
2 f
∂x j∂x k
(x 0 )
• (h∇) (3) f(x 0 ) = ∑ n ∑ n ∑ n
j=1 k=1 l=1 h ∂
jh k h l ·
3 f
∂x j∂x k ∂x l
(x 0 )
Der Satz von Taylor: Sei k ∈ N, f ∈ C k+1 (D, R), x 0 ∈ D, h ∈ R n und S[x 0 , x 0 + h] ⊆ D.
Dann: f(x 0 + h) = ∑ k (h∇) (j) f(x 0)
j=0 j!
+ (h∇)k+1 f(ξ)
(k+1)!
, wobei ξ ∈ S[x 0 , x 0 + h]
Quadratische Form zu A: Q A (x) := x · (Ax)
⎛
f x1x 1
(x 0 ) · · · f x1x n
(x 0 )
f x2x 1
(x 0 ) · · · f x2x n
(x 0 )
Hesse-Matrix von f in x 0 : H f (x 0 ) := ⎜
⎝
.
.
f xnx 1
(x 0 ) · · · f xnx n
(x 0 )
⎞
⎟
⎠
Denitheit:
• A heiÿt positiv denit (pd) :⇔ Q A (x) > 0 ∀ x ∈ R n \ {0}
• A heiÿt negativ denit (nd) :⇔ Q A (x) < 0 ∀ x ∈ R n \ {0}
• A heiÿt indenit (id) :⇔ ∃ n, r ∈ R n : Q A (n) > 0, Q A (r) < 0
Extremwerte: Sei D oen, f ∈ C 2 (D, R) und grad f(x 0 ) = 0.
• Ist H f (x 0 ) pd ⇒ f hat in x 0 ein lokales Minimum.
• Ist H f (x 0 ) nd ⇒ f hat in x 0 ein lokales Maximum.
• Ist H f (x 0 ) id ⇒ f hat in x 0 kein lokales Extremum.
Umkehrsatz: Sei ∅ ≠ D ⊆ R n , D sei oen, f ∈ C 1 (D, R n ), x 0 ∈ D und det f ′ (x 0 ) ≠ 0.
Dann existiert eine oene Umgebung U von x 0 und eine oene Umgebung V von f(x 0 ) mit:
(a) f ist auf U injektiv, f(U) = V und det f ′ (x) ≠ 0 ∀ x ∈ U
(b) Für f −1 : V → U : f −1 ist stetig db auf V und (f −1 ) ′ (f(x)) = f ′ (x) −1 ∀ x ∈ U.
Satz über implizit denierte Funktionen:
Sei (x 0 , y 0 ) ∈ D, D oen, f(x 0 , y 0 ) = 0, f ∈ C 1 (D, R p ) und det ∂f
∂y (x 0, y 0 ) ≠ 0.
Dann existiert eine oene Umgebung U ⊆ R n von x 0 und genau eine Funktion g : U → R p mit:
(1) (x, g(x)) ∈ D ∀ x ∈ U
(2) g(x 0 ) = y 0
(3) f(x, g(x)) = 0 ∀ x ∈ U
(4) g ∈ C 1 (U, R p )
(5) det ∂f
∂y
(x, g(x)) ≠ 0 ∀ x ∈ U
( ) −1
(6) g ′ (x) = − ∂f
∂y (x, g(x)) ∂f
∂x
(x, g(x)) ∀ x ∈ U
Multiplikatorenregel von Lagrange:
f habe in x 0 ∈ D ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung ϕ = 0 und es sei Rang ϕ ′ (x 0 ) = p.
Dann existiert ein λ 0 ∈ R p : H ′ (x 0 , λ 0 ) = 0. (λ 0 heiÿt ein Multiplikator)
• H ist für x = (x 1 , .., x n ) ∈ D und λ = (λ 1 , ..., λ p ) ∈ R p folgendermaÿen deniert:
H(x, λ) := f(x) + λϕ(x) = f(x) + λ 1 ϕ 1 (x) + ... + λ p ϕ p (x)
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Weg im R n : Sei [a, b] ⊆ R. γ : [a, b] → R n stetig heiÿt Weg.
{
L(γ|[a,b] ) : t ∈ (a, b]
Weglängenfunktion zu γ: s(t) :=
0 : t = a
Länge von γ: L(γ) = ∫ b
a ||γ′ (t)||dt, falls γ ein stetig dber Weg.
• Ist s die zu γ gehörende Weglängenfunktion, so ist s ∈ C 1 [a, b] und s ′ (t) = ||γ ′ (t)|| ∀ t ∈ [a, b]
γ heiÿt glatt :⇔ γ ist stetig db und ||γ ′ (t)|| > 0 ∀ t ∈ [a, b]
Wegintegral von f längs γ: ∫ γ f(x) · dx := ∫ γ f 1(x)dx 1 + ... + f n (x)dx n := ∫ b
a f 1(γ(t))dγ 1 (t) + ... + ∫ b
a f n(γ(t))dγ n (t)
• γ stetig db ⇒ ∫ γ f j(x)dx j = ∫ b
a f j(γ(t))γ ′ j (t)dt (j = 1..n) und ∫ γ f(x) · dx = ∫ b
a f(γ(t))γ′ (t)dt
Integral bezüglich der Weglänge: ∫ γ g(x)ds := ∫ b
a g(γ(t))ds(t)
• γ stetig db ⇒ ∫ γ g(x)ds = ∫ b
a g(γ(t)) ||γ′ (t)||dt
Stammfunktionen:
• f besitze auf G die SF ϕ, γ sei ein stückw. stetig dber Weg ⇒ ∫ f(x) · dx = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ(a))
γ
• f besitze auf G die SF ϕ ⇒ ∫ y 0
x 0
f(x) · dx = ϕ(y 0 ) − ϕ(x 0 )
• Sei G sternförmig und f ∈ C 1 (G, R n ). Dann: f besitzt auf G eine SF ⇔ f erfüllt auf G die IB.
Integrabilitätsbedingungen:
∂f j
∂x k
= ∂f k
∂x j
auf G (j = 1..n)
Sei ∅ ≠ M ⊆ R n . M heiÿt sternförmig :⇔ ∃ x 0 ∈ M : S[x 0 , x] ⊆ M ∀ x ∈ M
{ 1, x ∈ A
Charakteristische Funktion: 1 A (x) :=
0, x ∈ R n \A
{
f(x) x ∈ A
Triviale Fortsetzung: f A (x) :=
0 x /∈ A
Lebesgueintegral von f über A: ∫ A fdx := ∫ A f(x)dx := ∫ R n f A dx
• Sei A ⊆ R n oen und beschränkt und f ∈ C(A, R) sei beschränkt. Dann: f ∈ L(A)
• A ⊆ R n sei abgeschlossen und beschränkt und f ∈ C(A, R). Dann: f ∈ L(A)
Bezeichnungen: R n+m = R n × R m = {(x, y) : x ∈ R n , y ∈ R m }. Sei A ⊆ R n+m .
• Für y ∈ R m : A y := {x ∈ R n : (x, y) ∈ A} ⊆ R n
• Für x ∈ R n : A x := {y ∈ R m : (x, y) ∈ A} ⊆ R m
Kleiner Satz von Fubini:
A ⊆ R n+m sei beschränkt und oen (abgeschlossen) und f ∈ C(A, R) sei beschränkt. Dann:
(1) Für jedes y ∈ R m ist die Funktion x ↦→ f(x, y) lebesgueintegrierbar über A y
(2) Die Funktion y ↦→ ∫ A y
f(x, y)dx ist lebesgueintegrierbar über R m und ∫ A f(x, y)d(x, y) = ∫ ( ∫ )
R m A y
f(x, y)dx dy
(3) analog zu (1), (2): ∫ A f(x, y)d(x, y) = ∫ ( ∫ )
R n A x
f(x, y)dy dx
Einfachheit bzgl. eines Faktors:
• Sei A ⊆ R n−1 × R (= R n ).
A heiÿt einfach bezüglich des 1. Faktors (R n−1 ) :⇔ ∀ x ∈ R n−1 ist A x = ∅ oder ein Intervall in R.
• Sei A ⊆ R × R n−1 (= R n ).
A heiÿt einfach bezüglich des 2. Faktors (R n−1 ) :⇔ ∀ y ∈ R n−1 ist A y = ∅ oder ein Intervall in R.
A ⊆ R n−1 × R sei beschränkt und abgeschlossen und einfach bezüglich des 1. Faktors. B := { x ∈ R n−1 : A x ≠ ∅ }
(1) ∀ x ∈ B : A x ist ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall in R.
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(2) ∀ f ∈ C(A, R) : ∫ A f(x, y)d(x, y) = ∫ ( ∫ )
B A x
f(x, y)dy dx
A ⊆ R × R n−1 sei beschränkt und abgeschlossen und einfach bezüglich des 2. Faktors. B := { y ∈ R n−1 : A y ≠ ∅ }
(1) ∀ y ∈ B : A x ist ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall in R.
(2) ∀ f ∈ C(A, R) : ∫ A f(x, y)d(x, y) = ∫ ( ∫ )
B A y
f(x, y)dx dy
n-dim. Volumen / Lebesguemaÿ von A: v n (A) := ∫ 1
R n A dx = ∫ 1dx, falls A quadrierbar
A
Quadrierbarkeit: A heiÿt quadrierbar (qb) :⇔ 1 A ∈ L(R n ) (⇔ 1 ∈ L(A))
• Sei A ⊆ R n beschränkt. Ist A oen oder abgeschlossen ⇒ A ist qb.
Prinzip von Cavalieri:
Sei A ⊆ R n × R = R n+1 = {(x, z) : x ∈ R n , z ∈ R} beschränkt und abgeschlossen (also qb im R n+1 ). Dann:
(1) ∀ z ∈ R ist A z beschränkt und abgeschlossen (also qb im R n )
(2) v n+1 (A) = ∫ R n v n (A z )dz
Satz von Beppo Levi:
Sei (f k ) eine Folge im L(R n ) mit f 1 ≤ f 2 ≤ f 3 ≤ ... auf R n und ( ∫ f k dx) beschränkt.
f : R n → ˜R sei deniert durch f(x) := lim k→∞ f k (x).
Dann: f ∈ L(R n ) und ∫ fdx = lim ∫ f k dx (= ∫ (lim f k (x)dx))
Satz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz):
Sei A ⊆ R n und (f k ) eine Folge in L(A) und (f k ) konvergiere f.ü. auf A punktweise gegen f : A → ˜R
(1) Ist F ∈ L(A) und gilt |f k | ≤ F auf A ∀ k ∈ N, so ist f ∈ L(A) und ∫ A fdx = lim ∫ A f kdx
(2) Ist A qb und existiert ein M ≥ 0 mit (f k ) ≤ M auf A ∀ k ∈ N, so ist f ∈ L(A) und
∫
A fdx = lim ∫ A f kdx
Satz von Fubini:
R n+m = R n × R m = {(x, y) : x ∈ R n , y ∈ R m }. Es sei f ∈ L(R n × R m ).
(1) ∃ Nullmenge N ⊆ R m : für jedes y ∈ R m \N ist x ↦→ f(x, y) lebesgueintegrierbar über R n .
(2) Mit F (y) :=
{ ∫
f(x, y)dx falls y ∈ R m \N
R n
0 falls y ∈ N
gilt:
F ∈ L(R m ) und ∫ R n+m f(x, y)d(x, y) = ∫ R m F (y)dy
Substitutionsregel:
Sei U ⊆ R n oen und beschränkt. φ ∈ C 1 (U, R n ) sei auf U injektiv und lipschitzstetig. Es sei B := Ū (B ist beschränkt
und ∫ abgeschlossen). Dann lässt sich φ lipschitzstetig auf B fortsetzen und für A := φ(B) gilt:
A f(x)dx = ∫ B f (φ (z)) | det φ′ (z)| dz ∀ f ∈ C(A, R)
(A ist beschränkt und abgeschlossen, i.a. ist auf der Nullmenge ∂U φ ′ nicht erklärt)
Polarkoordinaten (n=2)
r = ||(x, y)|| = √ x 2 + y 2 x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (r ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2π])
Φ(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ), det Φ ′ (r, ϕ) = r
Zylinderkoordinaten (n=3)
Φ(r, ϕ, z) := (r cos ϕ, r sin ϕ, z), det Φ ′ (r, ϕ, z) = r (r ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2π], z ∈ R)
Kugelkoordinaten (n=3)
r = ||(x, y, z)|| = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2 x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ
r ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2π], ϑ ∈ [0, π]
Φ(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ), det Φ ′ (r, ϕ, ϑ) = −r 2 sin ϑ
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