Physik I - Formelsammlung - Physik + Mathematik

Physik I - Formelsammlung
von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Prof. Drexlin
Fehlerrechnung
Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x und wahrer Wert x w :
x = 1 n
n∑
i=1
x i
1
x w = lim
n→∞ n
Standardabweichung σ einer Einzelmessung und σ m des Mittelwertes:
√ √ √√√ √√√
1 ∑
n
σ = √ (x − x i ) 2 1 ∑
n
σ m = √ (x − x i ) 2 = √ 1 σ
n − 1 n (n − 1) n
Mittelwert von n Meÿwerten, die in k Intervallen x i gemessen wurden:
i=1
n∑
i=1
x i
i=1
Normierte Gauÿfunktion:
• σ: Breite der Kurve
• Maximum: x w !
x = 1 n
k∑
n i x i
i=1
• Vertrauensbereich: x w = x ± n · σ
f (x) =
1
√
2πσ
2
Poisson-Verteilung:
x
x! e−x
Fehlerfortpanzung - Standartabweichung der Funktion f (x, y):
σ f =
√
σ 2 x
−(x−xw )2
e 2σ 2
( ) 2 ∂f
+ σy
∂x
2
( ) 2 ∂f
∂y
Mittlere quadratische Abweichung (n Messwerte x 1 , ..., x n mit Messwerten y 1 , ..., y n :
χ 2 = ∑ (y i − f (x i )) 2 ...minimieren!
Formeln zur Bestimmung der Ausgleichsgerade (Regressionsgerade) y = a ∗ x aus den Messwerten:
Kinematik
Ortsvektor:
Geschwindigkeit: ⃗v (t) = d⃗r
dt = ˙⃗r
Beschleunigung: ⃗a (t) = d⃗v
dt = ˙⃗v = ¨⃗r
[ m
s
a = xy − x y
x 2 − x 2
b = y − ax
Translation eines Massenpunktes
]
[ m
s 2 ]
Dynamik
Impuls (bzw. Bewegungszustand): ⃗p = m⃗v
Kraft: ⃗ F = d⃗p
dt = m⃗a
⃗r (t) =
⎛
[ ]
kg
m
s
⎝ x (t)
y (t)
z (t)
[
kg
m
s 2 = Newton = N ] 1
⎞
⎠ [Einheit: m]

Hangabtriebskraft: ⃗ F|| = m⃗g sin α
Federkraft (Hook'sches Gesetz): ⃗ FF = −k⃗x k : F ederkonstante ⇒ ω =
√
k
m ,
T = 2π√ m
k
Gravitationskraft: F ⃗ (⃗r) = − GmM
R
⃗r 2
(Normalkraft ⃗ N, Haftreibungskoezient µ H , Gleitreibungskoezient µ G )
Haftreibungskraft: f H = µ H
⃗ N
Gleitreibungskraft: f G = µ G
⃗ N
Arbeit = Kraft x Weg, die Arbeit ist skalar!
Arbeit, Energie und Kraftfelder
W =
∫ P 2
P 1
⃗F d⃗r
[Nm = Joule]
Leistung: P = dW dt
[ J
s = W att]
Im konservativen Kraftfeld gilt (v (⃗r): Potential):
∮
W = ⃗F d⃗r = 0 F ⃗ (⃗r) = −∇v ⃗ (⃗r) = −grad v (⃗r) rot F ⃗ = ∇ ⃗ × F ⃗ = 0
Kinetische Energie: E kin = 1 2 mv2 ,
Potentielle Energie: E pot = mgh,
W = ∆E kin
W = ∆E pot
Systeme von Massenpunkten, Stöÿe
Massenschwerpunkt (CM = centre of mass) (Volumen V , Dichte ϱ = m):
V
⃗r CM = 1 ∑
m i ⃗r i = 1 ∫
⃗rdm = ϱ ∫
⃗r (⃗r) dV
M
m m
Schwertpunktgeschwindigkeit: ⃗v CM = d dt ⃗r CM = 1 ∑
M i m i⃗v i
Schwerpunktbeschleunigung: ⃗a CM = d dt ⃗v CM = 1 ∑
M i m ia i
Gesamtimpuls: ⃗ P CM = ∑ i ⃗p i = M⃗v CM , im abgeschlossenen System erhalten!
Reduzierte Masse: µ = m1m2
m 1+m 2
Elastischer Stoÿ: Impuls und Energie erhalten, v 1,i + v 1,f = v 2,i + v 2,f
Inelastischer Stoÿ: nur Impulserhaltung. Innere Energie Q = − 1 2 µv2 rel
i
Rotation
Radius R, Bahngeschwindigkeit v, Umlaufzeit T , Frequenz ν, Länge des Kreisbogens s
Rotationskinematik [
]
Winkel im Bogenmaÿ: ϕ = s R
1 rad = 360◦
2π
Winkelgeschwindigkeit: ω = dϕ
dt = v R = 2π
T = 2πν [ rad
]
s
Winkelbeschleunigung: α = dω
dt = ˙ϕ = ¨ϕ = a T
R
(a T : Tangentialbeschleunigung)
Zentripetalbeschleunigung: a z = ω 2 R = v2
R
Zentripetalkraft F z = ma z
2

Rotationsdynamik
Drehimpuls: ⃗ L = ⃗r × ⃗p = m (⃗r × ⃗v) = J⃗ω
Drehmoment: ⃗ D = dL
dt = ⃗r 0 × ⃗ F = Jα
[
kg m2
s
]
[
]
kg m2
s
= Nm
2
(⃗r 0 : Kraftarm ⊥ ⃗ F )
Trägheitsmoment: J = ∑ N
i
Rotationsenergie: E rot = ∫ ϕ 2
ϕ 1
⃗ D(ϕ)d⃗ϕ =
1
2 Jω2
m i a 2 i,⊥ = ∫ R
0 a2 dm = ϱ ∫ R
0 a2 dV = εMR 2 (ε = 0 . . . 1, a: Abstand zur Drehachse)
Steiner'scher Satz: J B = J CM + ma 2 (a: Abstand der Drehachse in B zu CM)
Hebelgesetz: F1
F 2
= r2
r 1
Kreisel
Nutation: gemeinsame Bewegung der Figurenachse ⃗c und der momentanen Drehachse ⃗ω um die raumfeste Drehimpulsachse
⃗ L (z.B. rotationssymm. Kreisel erhält kurzen Stoÿ)
Präzission: Es wirkt ein äuÿeres Drehmoment ⃗ D, ⃗ L ist nicht mehr raumfest. Präzissionsfrequenz: ω P =
D
L sin α = m⃗g⃗r
J⃗ω
Bezugssysteme
Intertialsysteme bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit und sind zur Beschreibung physikalischer Gesetze äquivalent.
Rotierende Bezugssysteme (Geschw. im ruhenden System ⃗v, Geschw. im beschl. System ⃗v ′ )
⃗v = ⃗v ′ + ⃗u = ⃗v ′ + ⃗ω × ⃗r (⃗u: Relativgeschwindigkeit ⊥⃗ω, ⊥⃗r)
Corioliskraft: ⃗ F C = 2m(⃗v ′ × ⃗ω)
Zentrifugalkraft: ⃗ F Zf = m⃗ω × (⃗r × ⃗ω)
Kepler'sche Gesetze
Gravitation
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
2. Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer gröÿten Halbachsen:
T1
2
T2
2
= a3 1
a 3 = const
2
Newton'sches Gravitationsgesetz: F ⃗ (⃗r) = −G mM ˆ⃗r r 2
Gravitationspotenzial: E pot = −G mM r
, ausgedehnte Körper: dE pot = −G m dM
r
Relativistische Mechanik
Transformationen
Inertialsystem S ′ bewegt sich mit v = v x relativ zum Inertialsystem S. Ortsvektor ⃗r = (x, y, z) mit Geschwindigkeit
⃗u, Beschleunigung ⃗a und Zeit t (' gemessen in S ′ ).
Galilei
Lorentz
x ′ = x − vt x = x ′ + vt x ′ = γ(x − vt) x = γ(x ′ + vt ′ )
y ′ = y y = y ′ y ′ = y y = y ′
z ′ = z z = z ′ z ′ = z z = z ′
t ′ = t t = t ′ t ′ = γ ( ) ( )
t − vx
c
t = γ t ′ + vx′
2 c 2
u ′ = u − v u = u ′ + v u ′ x = ux−v
1−
u v
x = u′ x +v
c 2 ux 1+ v
a ′ = a a = a ′ u ′ y,z =
Lorentzfaktor: γ =
1 q1− v2
c 2 3
u y,z
γ(1− v
c 2 ux) u y,z =
c 2 u′ x
u ′ y,z
γ(1+ v
c 2 u′ x)

Zeitdilatation: ∆t = γ ∆t ′
(∆t ′ gemessen im Ruhesystem des Objekts, ∆t gemessen im System S, in dem sich die Uhr bewegt.)
Längenkontraktion (Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion): l = γ l ′
(l: Eigenlänge im ruhenden Bezugssystem, l ′ gemessen im bewegten System)
Relativistische Dynamik
Relative Massenzunahme: m(v) = γm 0 =
Relativistischer Impuls: ⃗p = m⃗v = γm 0 ⃗v
Relativistische Kraft: ⃗ F = m 0 aγ 3 v c 2 ⃗v + m⃗a
m0 q1− v2
c 2
Verbindung von Energie und Trägheit: E = mc 2
Relativistische kinetische Energie: E kin = m 0 c 2 (γ − 1)
Gesamtenergie: E tot = E kin + m 0 c 2 = γm 0 c 2
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung: E 2 tot = p 2 c 2 + ( m 0 c 2) 2
Amplitude A, Phase ϕ, Kreisfrequenz ω 2 0 = k m
Schwingungen
Freier harmonischer Oszillator
Hook'sches Gesetz: ⃗ F = −k⃗x = m d2 x
dt 2 ⇒ Dierentialgleichung: d2 x
dt 2 + ω 2 0x = 0
Exponential-Ansatz (c, λ ∈ C): x(t) = ce λt ⇒ λ 1,2 = ± √ −ω 2 0 = ± i ω 0
Darstellungsformen der Bewegungsgleichung:
1. x(t) = ce iω0t + c ∗ e −iω0t (c = a + ib; a, b ∈ R aus Anfangsbedingungen)
2. x(t) = |c|[e i(ω0t+ϕ) + e −i(ω0t+ϕ) ] (Euler-Darstellung aus c = |c|e iϕ )
3. x(t) = c 1 cos(ω 0 t) + c 2 sin(ω 0 t) (aus e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, c 1 = c + c ∗ = |c|2 cos ϕ, c 2 = i(c − c ∗ ) = |c|(−2) sin ϕ)
4. x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ)
Schwingungsdauer (Periode): T = 1 f = 2π
ω 0
Freier gedämpfter Oszillator
Dierentialgleichung: md2 x
dt 2
= −kx − b dx
dt
⇒ d2 x
dt 2
Exponential-Ansatz liefert: λ 1,2 = −γ ± √ γ 2 − ω 2 0
+ 2γ dx
dt + ω2 0x = 0 (γ = b
2m : Dämpfungskonstante)
1. Schwache Dämpfung (Schwingfall): ω 0 > γ ⇒ λ 1,2 = −γ ± iω ω = √ ω 2 0 − γ2
x(t) = e −γt (ce iωt + c ∗ e −iωt ) = Ae −γt cos(ωt + ϕ)
(e −γt : exponentieller Dämpfungsterm)
• Relaxationszeit τ der Energie (beim gedämpften Oszillator nicht erhalten!).
τ = m b = 1
2γ , E tot = E 0 e −2γt = E 0 e − t τ
( )
• Logarithmisches Dekrement: δ = ln x(t)
x(t+T )
= γT = T 2τ
• Gütefaktor Q:
Q
2π = τ T , Q = ωτ
(hohe Güte → geringe Dämpfung)
2. Starke Dämpfung (Kriechfall): γ > ω 0 (Überdämpfung) ⇒ λ 1,2 = −γ ± √ γ 2 − ω0 2 = −γ ± α (α reell!)
x(t) = e −γt [c 1 e αt + c 2 e −αt ] (Keine Schwingung!)
3. Aperiodischer Grenzfall: γ = ω 0 (Entartung) ⇒ λ 1 = λ 2 = −γ = −ω 0
Modizierter Ansatz: x(t) = c(t)e λt ⇒ x(t) = (c 1 t + c 2 ) e −γt
} {{ }
=c(t)
4

Erzwungene Schwingungen
Inhomogene DGL: m d2 x
dt
= −kx − b dx
2
dt + F 0 cos ωt ⇒ ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = F0
m
cos ωt
• Homogene DGL: allgemeine Lösung A 1 e −γt cos(ω 1 t + ϕ 1 )
• Inhomogene DGL: spezielle Lösung A 2 cos(ωt + ϕ 2 )
Schwingung)
⇒ x(t) = A 1 e −γt cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 cos(ωt + ϕ 2 )
Phasenverschiebung ϕ 2 : tan ϕ 2 = −2γω
ω 2 0 −ω2
Amplitude A 2 : A 2 =
F 0
m √ (ω 2 0 −ω2 ) 2 +(2γω) 2
Resonanzfrequenz: ω R = √ ω 2 0 − 2γ2
(ω: Erregerfrequenz, ω 1 Frequenz der freien gedämpften
Schwebung ( )
ω1 − ω 2
x(t) = 2a cos t
2
} {{ }
Amplitude A(t)
(
ω1 + ω 2
cos
2
)
t
} {{ }
harm. Schwingung
(Die harmonische Schwingung hat die 'Mittenfrequenz')
Pendel
Mathematisches Pendel: a ⊥ = αl = ¨ϕl ⇒ ¨ϕ + g l sin ϕ = 0 ⇒ ¨ϕ + g l
ϕ = 0 (harmonische Näherung: sin ϕ = ϕ)
Physikalisches Pendel: ¨ϕ + RMg
J ϕ = 0, ω 0 =
√
RMg
J
Wellen
Frequenz ν, Wellenlänge λ, Schwingungsperiode T , Kreisfrequenz ω = 2π
T , Wellenzahl k = 2π λ , Dichte ϱ = dm V ,
Amplitude A, lineare Massendichte µ
• transversale Wellen: Auslenkung ⊥ Ausbreitung
• longitudinale Wellen: Auslenkung || Ausbreitung
Phasengeschwindigkeit: v P h = λν = ω k
bzw. λ = v P h T (Dispersionsrelation)
{ }
Wellenfunktion: Ψ(z, t) = A sin(ωt − kz) = ce i(ωt−kz) = A sin ω(t −
z
v P h
)
Wellengleichung für ebene Wellen: ∂2 Ψ
∂z
= 1 ∂ 2 Ψ
2 vP 2 ∂t h
2
√
Wellengleichung einer entspannten Saite: ∂2 x
∂z
= µ ∂ 2 x
2 |F S | ∂t
(v 2 P h = |FS |
) µ
Wellengleichung in 3D: ∆Ψ ⃗ = 1 ∂ 2 Ψ ⃗
vP 2 ∂t h
2
(Laplace-Operator: ∆ = ∂2
∂x
+ ∂2
2 ∂y
+ ∂2
2 ∂z
) 2
Intensität: I = 1 2 ϱ v P h A 2 ω 2
Leistung: P = 1 2 µ v P h A 2 ω 2
Gruppengeschwindigkeit: v G = dω
dk = v P h + k dv P h
dk
= v P h − λ dv P h
dλ
Schallwellen
Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10 −23 J , absolute Temperatur K T , Molekülmasse m, Hörschwelle I 0 = 10 −12 W m 2
Schallgeschwindigkeit: v S =
√
kT
m
Lautstärke: LS = 10 log I I 0
[dB]
Doppler-Eekt
hin
weg
Quelle bewegt sich mit u Z λ = λ 0 − u Z T λ = λ 0 + u Z T
1
1
f = f 0 1− u Z f = f 0
v 1+ u Z
P h v P h
Beobachter bewegt sich mit u B f = f 0 (1 + u B
v P h
) f = f 0 (1 − u B
v P h
)
5

Doppler-Verschiebung: ∆f = f − f 0
Önungswinkel des Mach'schen Kegels: sin β = v P h
u
Feste Körper
Elastische Verformung
Dehnung ∆L,
Spannung F , Elastizitätsmodul L A E [ N m
], relative Volumenabnahme ∆V
2 V
, Fläche A, Kraft F
Zugkräfte im linearen Bereich: ∆L
L
= 1 E
Schermodul: G = F/A
∆L/L = F/A
tan θ
[ N m 2 ]
Kompressionsmodul: K = −∆p
∆V/V
Thermische Eigenschaften
Längenänderung: ∆L
L
= α∆T (α: Längenänderungskoezient)
Volumenänderung: ∆V
V
Wärmetransport:
= 3α∆T
• Wärmeleitung: Energietransport durch Stöÿe, ortsfeste Atome
• Konvektion: Energietransport durch Stotransport
• Strahlung: Energietransport durch elektromagnetische Strahlung
Wärmestrom: dQ
dt
Temperaturgradient: dT
dx
Wärmestrom: dQ
dt
Wärmemenge dQ
= Zeiteinheit dt
F
A
=
Temperaturänderung dT
Längeneinheit dx
dT
= −λA
dx
(λ: thermische Leitfähigkeit [ W mK ]
Pascal'sches Gesetz: p(h) = p 0 + ϱ F l g h
(h: Höhe)
Flüssigkeiten
Auftriebskraft = Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeit
Hydraulische Presse: F 2 = F 1
A 2
A 1
, h 2 = A1
A 2
h 1
6