4 B¨aume und Minimalger ¨uste Minimalger ¨ust Anzahl an Ger ¨usten

4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
4 Bäume und Minimalgerüste
Definition 4.1.
Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph.
H = (V, E ′ ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein Baum ist und E ′ ⊆ E
gilt.
Bemerkung 4.1. Ein Gerüst ist also ein zusammenhängender, zykleinfreier,
aufspannender Untergraph von G.
Beispiel 4.1.
Ger üste f ür das Haus vom Nikolaus:
c
c
c
4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
Anzahl an Gerüsten
Satz 4.1. [Cayley] Es gibt n n−2 verschiedene Gerüste für den
vollständigen Graphen K n (mit n Knoten).
Bemerkung 4.2. Verschieden bedeutet hier wirklich verschieden und
nicht “nichtisomorph”.
2
2
2
b
d
b
d
b
d
Beweis.
1
3 1
3 1
3
a
e
a
e
a
e
• Idee: Prinzip der doppelten Abzählung: In jeder Matrix ist die Summe
der Zeilensummen gleich der Summe der Spaltensummen.
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4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
Minimalgerüst
Definition 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit
einer Kantengewichtsfunktion w : E → IR.
• F ür F ⊆ E heißt
das Gewicht der Kantenmenge F.
w(F) := ∑ e∈F
w(e)
• Es sei H = (V, F) ein Ger üst von G. Dann ist w(H) := w(F) das
Gewicht des Gerüstes H.
4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
• Sei t(n, k) die Anzahl der Bäume auf V = {1, . . . , n}, in denen der
Knoten 1 den Grad k hat.
• Es wird eine Formel f ür t(n, k) bestimmt. Das Ergebnis erfolgt durch
Aufsummieren über alle k.
• B sei ein Baum mit deg(1) = k − 1, C sei ein Baum mit deg(1) =
k. (B, C) heißt verwandtes Paar gdw. C aus B entsteht, indem eine
Kante {x, y} entfernt und eine Kante {1, y} eingef ügt wird.
1
x
y
1
x
y
• Ein Ger üst H von G heißt Minimalgerüst von G gdw. w(H) ≤ w(H ′ )
f ür alle Ger üste H ′ von G.
• Es seien B 1 , B 2 , . . . , B t(n,k−1)
B
C
die Bäume mit deg(1) = k − 1 und
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4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
C 1 , C 2 , . . . , C t(n,k) die Bäume mit deg(1) = k.
• Die t(n, k − 1) × t(n, k) Matrix A = (a ij ) sei definiert durch:
{
1 falls (Bi , C
a ij :=
j ) verwandtes Paar
0 sonst
• Aus B i kann jede der n − 1 Kanten entfernt werden, ausgenommen
die k − 1 mit 1 inzidenten Kanten.
In der i-ten Zeile von A stehen so viele Einsen, wie es verwandte
Paare (B i , C) gibt, also genau (n − 1) − (k − 1) = n − k.
Summe der Zeilensummen von A = t(n, k − 1)(n − k).
• In der j-ten Spalte von A stehen so viele Einsen, wie es verwandte
Paare (B, C j ) gibt.
4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
• Es gibt also genau (n − 1 − n 1 ) + · · · + (n − 1 − n k ) = (k − 1)(n − 1)
Einsen in der j-ten Spalte von A.
Summe der Spaltensummen von A = t(n, k)(k − 1)(n − 1).
• Das Prinzip der doppelten Abzählung liefert
bzw.
t(n, k − 1)(n − k) = t(n, k)(k − 1)(n − 1)
t(n, k − 1) = (n − 1) k − 1 t(n, k)
n − k
• Ausgehend von t(n, n − 1) = 1 ergibt sich durch Induktion
t(n, n − i) = (n − 1) i−1 (
n − 2
i − 1
)
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• Die in C j mit 1 verbundenen Knoten seien y 1 , . . . , y r .
y1
1
y2
y4
• Entfernt man eine der Kanten {1, y r }, so entsteht ein Graph mit zwei
ZHKs. V r sei die ZHK, die y r enthält und n r := |V r |.
C
y3
4. Bäume und Wälder Charakterisierung von Minimalgerüsten
• F ür die Anzahl t(n) aller Bäume ergibt sich somit
t(n) =
=
=
∑n−1
t(n, n − i)
i=1
∑n−1
(
n − 2
(n − 1) i−1 i − 1
i=1
∑n−2
(
n − 2
(n − 1) i i
i=0
)
= ((n − 1) + 1) n−2 = n n−2
)
• Ein verwandtes Paar (B, C j ) entsteht genau dann, wenn B = (C j \
{{1, y r }})∪{{x, y r }} gilt, wobei x einer der n−1−n r Knoten in V\({1}∪V r )
ist.
✷
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Berechnung von Minimalgerüsten
Lemma 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit
einer Kantengewichtsfunktion w : E → IR. Weiterhin sei U ⊆ V und e 0
eine Kante zwischen U und V \ U mit minimalem Gewicht.
Dann existiert ein Minimalgerüst für G, das die Kante e 0 enthält.
Beweis. Falls ein Minimalger üst T 0 die Kante e 0 nicht enthält, so nehmen
wir e 0 zu T 0 und entfernen eine Kante e 1 , die U und V \U verbindet.
Wegen der Minimalitätseigenschaft von e 0 erhöhen wir damit nicht das
Gewicht des Ger üstes. ✷
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Algorithmus 4.1. [Prim] Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender
Graph mit V = {1, . . . , n} und Kantengewichtsfunktion w. Es gelte
w({i, j}) = ∞, falls {i, j} /∈ E. Der Algorithmus berechnet ein Minimalger
üst in B.
U := {1};
for i := 2 to n do d u (i) := w({1, i});
while U ≠ V do
bestimme Knoten u mit d U (u) = min{d U (v) : v ∈ V \ U}; (*)
bestimme Kante e := {x, u} mit w(e) = d U (u) und x ∈ U; (*)
B := B ∪ {e};
U := U ∪ {u};
for all v ∈ V \ U do d U (v) := min{d U (v), w({u, v}); (**)
end
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Der Algorithmus von Prim
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
c
9
b 4
v0=a
• Wir beginnen mit einem beliebigen Knoten v, d.h. U := {v}.
• In einem Iterationsschritt berechnen wir f ür alle v ∈ V \ U den Knoten
w, der am nächsten zu einem Knoten in U liegt.
• Dieser Knoten w wird selektiert, die entsprechenden Kante wird in
den Baum aufgenommen und w wird in U aufgenommen.
• Dies setzen wir fort, bis alle Knoten in U sind.
Beispiel 4.2. Wir betrachten
den Graphen:
Es ergibt sich in dieser Reihenfolge:
5 2
d
26
g
10
e
13 1
3
18
5
6 4
f
4
i
2 2
h
B = {{a, d}, {b, d}, {b, c}, {c, f}, {e, f}, {e, h}, {g, h}, {h, i}}
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Beispiel 4.3.
b
m
12
f
12
4 4
l
7
10
11
a
c
k
20
5
7
10
17
3
13
8
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Der Algorithmus von Kruskal
• Beim Algorithmus von Prim baut man ausgehend von einem Knoten
den Baum sukzessive auf.
• Beim Algorithmus von Kruskal beginnt man stattdessen mit den einzelnen
Knoten. Diese stellen einen Wald dar.
d
g
3 20
e
i
16
j
• Man versucht nun, diese Wälder optimal zu einem Baum zusammenzusetzen.
8
h
9
• Hierzu sortiert man zunächst alle Kanten aufsteigend nach ihrer
Länge.
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Satz 4.3. Algorithmus 4.1 berechnet ein Minimalgerüst in Zeit O(|V| 2 ).
Beweis. Es sind zwei Dinge zu beweisen:
• Korrektheit des Algorithmus
Wir zeigen induktiv: Nach jeder Ausf ührung von (*) (bzw. nach (**))
gibt d U (v) f ür alle v ∈ V \ U den Abstand zu einem nächstgelegenen
Knoten u ∈ U an.
Korrektheit des Algorithmus folgt dann mit Lemma 4.2. Tafel ✎.
• Laufzeit
– Die dominieren Schritte innerhalb der While-Schleife: (*) und (**).
– Die While-Schleife wird |V|-mal durchlaufen.
– Schritte (*) und (**) können in O(|V|) ausgef ührt werden.
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
• Man beginnt, in dem man die die k ürzeste Kante in den Wald aufnimmt.
Der Wald hat jetzt eine ZHK weniger.
• In Iteration i: Falls die i-te Kante zu einem Kreis f ühren w ürde, verwirft
man sie. Andernfalls nimmt man sie in den Wald auf, wodurch
sich wiederum die Anzahl der ZHKs verringert.
• Dies macht man solange, bis ein aufspannender Baum entstanden
ist.
• Dies ist genau dann der Fall, wenn man n − 1 Kanten aufgenommen
hat (vgl. Satz 1.4 und Satz 1.5).
✷
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
c
9
b 4
v0=a
5 2
10
6 4
Beispiel 4.4. Wir betrachten
den Graphen:
d
e
13 1
f
26
18
3
5
4
Es ergibt sich in dieser Reihenfolge:
g
2 2
h
i
B = {{e, f}, {b, d}, {g, h}, {h, i}, {e, h}, {b, c}, {c, f}, {a, d}}
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4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Algorithmus 4.2. [Kruskal]
beim Algorithmus von Prim.
Vorraussetzungen, Ein- und Ausgabe wie
B := ∅; ZHK := ∅; i := 0;
L := Liste der Kanten aufsteigend sortiert nach ihrer Länge;
for all v ∈ V do ZHK := ZHK ∪ {{v}};
while |ZHK| > 1 do
i := i + 1;
Es sei {v, w} das i-te Element von L;
if v und w gehören zu verschiedenen Komponenten K 1 und K 2 in ZHK then
ZHK := (ZHK \ {K 1 , K 2 }) ∪ {K 1 ∪ K 2 };
B := B ∪ {v, w};
end
end
4. Bäume und Wälder Berechnung von Minimalgerüsten
Satz 4.4. Algorithmus 4.2 berechnet ein Minimalgerüst in Zeit
O(|E| log |V|).
Beweis. Die Korrektheit des Algorithmus von Kruskal kann induktiv
durch wiederholte Anwendung von Lemma 4.2 gezeigt werden. Tafel
✎.
Zeitaufwand: Der dominierende Schritt ist die Sortierung. Der Aufwand
zur Sortierung der Kanten ist
O(|E| log |E|) = O(|E| log |V| 2 ) = O(|E| 2 log |V|) = O(|E| log |V|)
F ür die effiziente Vereinigung der ZHKs und den vorangehenden
Test benutzt man Datenstrukturen f ür das sogenannte Union-Find-
Problem. ✷
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