Maximale Flüsse in Netzwerken

6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
6 Flüsse und Matchings
In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten
interpretiert, die über diese Kante pro Zeiteinheit transportiert
werden können.
Wir können uns einen Graphen als Versorgungsnetzwerk vorstellen,
z.B. als Datennetz.
Die entscheidende Frage ist, welchen maximalen Durchsatz wir erreichen
können.
Wieviele Einheiten können wir maximal von einem Knoten zu einem
anderen pro Zeiteinheit transportieren
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 165
6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Flußnetzwerk
Ein Flußnetzwerk ¡ ist ein Tupel ¡ ¢ £¥¤§¦©¨¦¦¥ beste-
Definition 6.1.
hend aus:
, einem gerichteten Graphen,
£¦
,
¤¢
einer Kapazitätsfunktion auf den gerichteten Kanten
"! ¨
mit nichtnegativen Werten und
, zwei ausgezeichneten Knoten, der Quelle und der Senke
mit .
)( ¢ #¦$&%'
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6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Fluß
Definition 6.2. Es sei ein Flußnetzwerk. Für einen Knoten+
sei und .
.-0/£ + 12¢435£76"¦ + 8%,§9 ;:=@£ + AB¢C3D£+ ¦E6FG%H§9
Eine ¡ Abbildung ¢ heißt £¥¤§¦*¨¦¦$ Fluß auf ,
%,
wenn die folgenden
¡
Bedingungen erfüllt sind:
J " I
1. K)LMI £ENO L ¨P£QNO
für alle NR%, ,
d.h. die Kapazität wird für keine Kante überschritten und
2. S TVUXWZY\[]_^5`DI £QNOa¢ S TVUXWPbdcVe]_^5`fI £ENO
für alle+
%,hgi3V¦$59
,
d.h. aus jedem Knoten fließt genausoviel heraus wie hinein, mit Ausnahme
der Quelle und Senke.
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6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Lemma 6.1.
Für einen Fluß I eines Flußnetzwerks ¡ ¢ £¥¤§¦*¨j¦©¦¥ gilt
k £ I AB¢
l
bdcVe ]2mE` I £QNOon l
TVUXW Y\[ ]2mE` I £QNOA¢ l
TVUXW Y\[ ]> ` I £QNOon
TVUXW
l
bdcVe ]> ` I £QNO
TVUXW
Definition 6.3. Der Wert aus Lemma 6.1 heißt Wert des Flusses
auf .
k
Ein Fluß £ mit für
I
alle Flüsse
I
auf ¡ heißt Maximalfluß
IOq IOq ¡
auf .
¡ £ k .p £ I k I
Das Maximalflußproblem besteht darin, zu einem gegebenen Flußnetzwerk
einen Maximalfluß zu bestimmen.
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6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Zunehmender Weg
Definition 6.4. Gegeben sei ein Flußnetzwerk mit einem
. Eine Folge heißt zunehmender Weg +r ¦Dststsu¦ +wv
FlußI bzgl.I gdw.
für ¡ eine ¢ der £¥¤§¦*¨¦¦$ folgenden Bedingungen erfüllt ist:
£ yz¦Dsfss¦V{ ¢
jedesx
1.
£+ -}|P~¦ + -=8%,
und I £+ -7|~@¦ + -=a€ ¨P£+ -7|P~@¦ + -=
“Vorwärtskante”
2.
£+ -¥¦ + -7|P~©8%,
und I £+ -V¦ + -}|P~©G K “Rückwärtskante”
Vorwärtskante
+1
+1
−1
Rückwärtskante
+1
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6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Offensichtlich können wir den Fluß erhöhen, wenn wir einen zunehmenden
Weg gefunden haben.
Die Existenz eines zunehmenden Weges ist also hinreichend für eine
Flußerhöhung.
Der folgende Satz zeigt, daß dieses Kriterium auch notwendig ist.
Satz 6.2. Ein Fluß in einem Flußnetzwerk ist genau dann ein Maximalfluß,
wenn kein zunehmender Weg von nach existiert.
¡ I
Beweis. “‚ ”: Wenn ein zunehmender Weg ƒ von nach existiert,
dann kann k £ I
um das Minimum der Werte ¨£ENO1n I £QNO
für Vorwärtskanten
vonƒ bzw. I £QNO
für Rückwärtskanten vonƒ erhöht werden.
”: Es gebe keinen zunehmenden Weg von nach .
Es sei
“„
die Menge der Knoten, die von aus mit einem zunehmenden
…
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 170

Für jede Kante £ + ¦ˆ‰¦ + % … ¦Šˆ % † gilt: I £+ ¦ˆ‰A¢ ¨P£+ ¦Eˆ‹
6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke
Weg erreichbar sind, und sei † 2¢‡hg … .
Für jede Kante gilt: + ¦ˆ % † ¦ + % … I £ŒˆŽ¦ + A¢ K
Anschaulich: Die Kanten zwischen £Œˆ und bilden ¦ einen Engpaß, der
eine Flußerhöhung verhindert.
† …
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6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Berechnung eines Maximalflusses
Satz 6.2 liefert die Basis zur Berechnung eines Maximalflusses.
1. Wir starten mit einem beliebigen Fluß, z.B. I £ENO ¢ K für alle N‘%M .
Weiter mit 2.
2. Wenn es keinen zunehmenden Weg bzgl.I gibt, dann STOP. Ansonsten
weiter mit 3.
3. Sei ein zunehmender Weg von nach
~¦fsfstsu¦ +wv ¢
bzgl. und sei
ƒ + ¦ +r £’¢ ¢
I
min Vorwärtskante £ 3¥¨P£ + -}|P~¦ + -=on I £+ -7|P~”¦ + -$*•–£+ -7|~¦ + -=
vonƒ
Rückwärtskante
9
“ 2¢
I £+ -V¦ + -}|P~©*•–£+ -¥¦ + -7|P~©
vonƒ
9
3 —
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 172

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Setze für jede Vorwärtskante .
I £+ -7|P~@¦ + -$o˜ “ £ + -}|P~@¦ + -=
Setze für
I £+
jede
-7|P~@¦
Rückwärtskante .
+ -=12¢
-7|~ 12¢ I £+ - ¦ + -7|~ on “ £ + - ¦ + -7|~ + ¦ - £+ I
Weiter mit 2.
Beispiel 6.1. Wir betrachten das folgende Flußnetzwerk. Die Kapazität
ist für alle Kanten 1. Der Fluß ist zunächst auf allen Kanten 0.
a
0|1
c
0|1
0|1
s
0|1
t
0|1
0|1
b
0|1
d
ist ein zunehmender Weg mit . Alle Kanten des Weges
sind Vorwärtskanten.
y ¢ “ £¦V8¦©¨¦$
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6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Flußerhöhung auf dem zunehmenden
Weg ergibt den Graphen:
a
0|1
c
Auf der Rückwärtskante wird der
Fluß verringert, ansonsten erhöht.
a
1|1
c
0|1
1|1
1|1
1|1
s
1|1
t
s
0|1
t
1|1
0|1
1|1
1|1
b
mit . I a¢ y £ k
0|1
ist nun ein zunehmender
Weg mit , wobei
eine Rückwärtskante ist.
£¦Dš1¦©¨¦V8¦5›1¦$
¢ “ y
¦¨Z £œ
d
b
1|1
d
Wir haben k £ I H¢ ž
und es existiert
kein zunehmender Weg. Damit
ist der angegebene Fluß ein
Maximalfluß.
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 174

min
… — 3â9©¦©£B¢ £ — 3œˆ«9©¦ … B¢
ˆ‰AB¢ ¦ “ £Œˆ‰12¢ 3 “ £76F¦*¨£¨6"¦ˆ‰on I £76"¦ˆ‰Š9
£Œˆ‹AB¢46"¦=Ÿ£ +
min
… — 3â9©¦*£HB¢ £ — 3œˆ«9©¦ … B¢
¡ ¦ “ £Œˆ‰¬2¢ 3 “ £76F¦ I £Œˆ ¦E6FŠ9
£Œˆ‹1B¢C6"¦=Ÿw£Œˆ‰AB¢ +
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Markierungsalgorithmus
Der Markierungsalgorithmus von Ford und Fulkerson (1956) konkretisiert
das Verfahren zur Berechnung maximaler Flüsse.
Man markiert sukzessive die Knoten ˆ auf einem zunehmenden
Weg mit drei Werten+
£Œˆ‰¦=Ÿ£ ˆ‰¦ “ £Œˆ‰
.
ist der vonˆ Vorgänger in dem zunehmenden Weg.
gibt die Richtung der verwendeten Kante an
+
( Vorwärtskante, Rückwärtskante).
£Œˆ‰
ist
Ÿ£Œˆ‰
der mögliche zusätzliche Fluß auf dem Weg .
¢
nachˆ £Œˆ‰ C¢ “ ¡
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 175
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Algorithmus 6.1. Gegeben sei ein Flußnetzwerk und
ein initialer Fluß . I £QNOa¢ K
1. Setze ¡ .
¢ £¥¤§¦*¨¦¦$ £XAB¢ ¤
2. Wähle einen Knoten .
B¢43V”9*¦£HB¢43¥59*¦
Setze
“
.
£HB¢ £¥g¦3§6G9 …
3. 6C% Für mit und £ :
£¨6©¦Šˆ‰ %‘ I £76"¦Eˆ‹A€ ¨P£76"¦ˆ‹ … alleˆ %‘hg
4. Für alleˆ %‘hg … mit £ ˆ ¦Q6F %‘ und I £Œˆ ¦Q6F8 K :
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 176

7. Falls
Falls
+ £Œˆ‰¦ I £76"¦ˆ‹AB¢ I £76"¦ˆ‹o˜ “
Ÿ£Œˆ‰A¢ ¡ u6°B¢ + £Œˆ‰¦ I £Œˆ ¦E6FAB¢ I £Œˆ ¦Q6F±n “
4u6°B¢ Ÿ£Œˆ‰A¢
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
5. Falls £­¢ ® , dann STOP. Falls ‘% … , dann weiter mit 6, ansonsten
weiter mit 2.
6.
“ B¢ “ £dE¯Šˆ B¢
.
8. ˆ B¢ + £Œˆ‰
. Fallsˆ ¢ , dann weiter mit 1, ansonsten weiter mit 7.
Satz 6.3.
Sei
¡ ¢ £$¤§¦¨¦©¦¥
ein Flußnetzwerk mit rationaler Kapazitätsfunktion¨
. Dann berechnet Algorithmus 6.1 einen maximalen Fluß
I auf ¡ .
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6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Bemerkung 6.1.
Bei irrationalen Kapazitäten kann es vorkommen, daß der Markierungsalgorithmus
immer weitere Verbesserungen des Flußwertes
findet, ohne jemals zu terminieren.
Auch bei ganzzahligen Kapazitäten ist die Laufzeit des Markierungsalgorithmus
nicht polynomial, da die Anzahl der Schritte von
¨
abhängen kann.
Eine polynomiale Lauzeit erhält man aber, wenn man für die Suche
nach einem zunehmenden Weg die Breitensuche einsetzt (Edmonds
und Karp, 1972).
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6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse
Satz 6.4.
Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch
2a. Wähle den Knoten 6 % £ , der zuerst in £ eingefügt wurde. Setze
£2¢ £¥gi3§69
.
dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen
in ² £$•¥•³•_´ •µ”
einen Maximalfluß.
Beispiel 6.2.
Anwendung des Markierungsalgorithmus. Tafel ✎
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 179