Materialien zum Modul Methoden der Demographie, Wirtschafts ...

62 4 PROZESSE UND ABLAUFSCHEMAS
4.2 ZEITREIHEN UND STATISTISCHE PROZESSE 63
Modelle für Prozesse konstruieren, an denen Menschen beteiligt sind. Dies
geschieht normalerweise in einer Beobachterperspektive, und es kann meistens
nicht angenommen werden, dass das wissenschaftlich konstruierte
Regelwissen auch bei den Akteuren der Prozesse vorhanden ist (z.B. bei
einem Modell zur Erklärung des Zustandekommens von Staus auf Autobahnen).
Dementsprechend muss auch zwischen Verhaltensregelmäßigkeiten,
die aus einer Beobachterperspektive festgestellt werden können, und
Regeln, an denen sich Akteure in ihrem Verhalten orientieren, begrifflich
unterschieden werden.
4.2 Zeitreihen und statistische Prozesse
Wenn man sich im Rahmen der empirischen Sozialforschung mit Prozessen
beschäftigt, werden diese fast immer als Realisationen theoretisch konzipierter
Ablaufschemas betrachtet. Möglichkeiten zur Konstruktion von
Ablaufschemas hängen in erster Linie von der Konzeption der Prozesse
ab. In diesem Abschnitt beziehen wir uns auf Zeitreihen und statistische
Prozesse.
1. Zeitachsen. Offenbar benötigt man zur Konzeption von Ablaufschemas
einen zeitlichen Rahmen. Meistens wird eine Zeitachse verwendet. Es gibt
hauptsächlich zwei Varianten:
– Man kann sich die Zeit als eine Folge von Zeitstellen (z.B. Sekunden,
Stunden, Tage, Monate, Jahre) vorstellen. Zur Repräsentation der Zeitstellen
werden die natürlichen oder ganzen Zahlen verwendet, und man
spricht von einer diskreten Zeitachse.
– Man kann versuchen, sich die Zeit als ein linear geordnetes Kontinuum
von Zeitpunkten vorzustellen. Zur Repräsentation werden in diesem Fall
die reellen Zahlen verwendet, und man spricht von einer stetigen oder
kontinuierlichen Zeitachse.
Unabhängig von dieser Unterscheidung, die die begriffliche Repräsentation
von Zeit(stellen) betrifft, kann man Verwendungskontexte unterscheiden.
Zunächst kann man an eine historische Zeitachse denken, die zur Repräsentation
der historischen Zeit dient, in der sich das Leben der Menschen
tatsächlich abspielt. Gedankliche Bezugnahmen auf diese Zeitachse erfolgen
mithilfe von Kalendern und Uhren. 11 Davon zu unterscheiden sind
Modell-Zeitachsen (auch Prozesszeitachsen genannt), die zur Konstruktion
von Modellen verwendet werden, die einer modalen Reflexion von
Prozessabläufen dienen sollen.
Will man eine explizite Repräsentation zeitlicher Bezüge vornehmen,
muss man sich für eine diskrete oder eine stetige Darstellung entscheiden.
11 Darüber, wie sich solche Orientierungsmittel historisch entwickelt und verändert haben,
gibt es eine umfangreiche Literatur, man vgl. z.B. E. G. Richards (1998).
Wir werden in diesem Text in den meisten Fällen eine diskrete Zeitachse
zugrunde legen und dafür die Notation T := {. . .,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
verwenden, so dass T formal der Menge der ganzen Zahlen entspricht und
die Ordnungsrelation zwischen diesen Zahlen (≤ und ge) als zeitliche Relation
zwischen den durch sie bezeichneten Zeitstellen verstanden werden
kann. Festlegungen über die Art der Zeitstellen und Verknüpfungen mit
einer historischen Zeitachse können bei Bedarf erfolgen. Natürlich benötigt
man zur Repräsentation von Daten oft nur einen Teil der Zeitachse; wir
verwenden dann die Notation T ∗ , womit stets eine zusammenhängende
und meistens (wenn nicht ausdrücklich anders angegeben) auch eine endliche
Teilmenge von T gemeint sein soll.
2. Zeitreihen. Sobald man über den Begriff einer Zeitachse verfügt, kann
man in sehr allgemeiner Weise von Zeitreihen sprechen. Zur formalen Vergegenwärtigung
kann ein Zeitreihenschema
X : T ∗ −→ ˜X (4.1)
verwendet werden, also eine Funktion, durch die jeder Zeitstelle t einer
Zeitachse T ∗ ein Wert X(t) in einem Wertebereich ˜X zugeordnet wird. Je
nachdem ob es sich bei T ∗ um eine kontinuierliche oder diskrete Zeitachse
handelt, kann man kontinuierliche (stetige) und diskrete Zeitreihen unterscheiden.
Hinsichtlich des Wertebereichs ˜X kann man außerdem folgende
Unterscheidungen treffen:
– Einfache Zeitreihen. In diesem Fall wird jeder Zeitstelle t ein einfacher
Wert X(t) zugeordnet, so dass ˜X numerisch durch reelle Zahlen
repräsentiert werden kann; zum Beispiel: die Entwicklung der Körpertemperatur
eines Patienten oder der Bevölkerungszahl eines Landes
während eines gewissen Zeitraums.
– Vektorielle Zeitreihen. In diesem Fall wird jeder Zeitstelle t ein Vektor
X(t) = (X 1 (t), . . . , X m (t)) zugeordnet. Als Beispiel kann man daran
denken, dass bei neugeborenen Kindern für einen gewissen Zeitraum
sowohl die Körpergröße als auch das Körpergewicht erfasst wird.
– Funktionale Zeitreihen. In diesem Fall wird jeder Zeitstelle t eine Funktion
zugeordnet; X(t) ist dann keine Zahl, sondern eine Funktion (und
wir verwenden dann meistens die Schreibweise X t anstelle von X(t)).
Bei diesen Funktionen kann es sich insbesondere um statistische Variablen
handeln, so dass statistische Prozesse entstehen (das wird weiter
unten genauer besprochen).
Bei einfachen und vektoriellen Zeitreihen kann der Wertebereich ˜X dem
Merkmalsraum einer ein- bzw. mehrdimensionalen statistischen Variablen
entsprechen (man vgl. die Ausführungen in Abschnitt 2.1). Auch dann ist
jedoch die Analogie zwischen dem Zeitreihenschema (4.1) und dem für statistische
Variablen verwendeten Schema X : Ω −→ ˜X rein formal, denn