Aufgabenblatt 7 - Mathematik

Institut für Mathematische Optimierung
Konvexe und Kombinatorische Optimierung
Prof. Dr. Uwe Zimmermann 25.05.2012
Dennis Egbers Übungsblatt 7
Abgabe: 08.06.2012, 09:45 Uhr
Aufgabe 17 (4 Punkte)
Man zeige
a) Seien S ⊆ R n , T ⊆ R m konvexe Mengen und f : R n → R m eine affine Funktion (d.h. f
hat die Form f(x) = Ax+b mit A ∈ R m×m und b ∈ R m ). Dann sind auch die Mengen
f(S) und f −1 (x) = {x | f(x) ∈ T} konvex.
b) Die Perspektivfunktion p : Rn+1 → Rn mit Definitionsbereich domp = Rn ×R+\{0} ist
. Sei S ⊆ domp konvex, dann ist auch die Menge p(S) konvex.
definiert durch p(z,t) = z
t
Aufgabe 18 (4 Punkte)
Welche der folgenden Mengen sind konvex? Beweisen Sie ihre Aussagen.
a) Eine Scheibe, d.h. eine Menge der Form � x ∈ R n � � α ≤ a T x ≤ β � .
b) Ein Rechteck, d.h. eine Menge der Form {x ∈ Rn | αi ≤ xi ≤ βi, i = 1,...,n}.
c) Ein Keil, d.h. eine Menge der Form � x ∈ Rn � � T a1x ≤ b1, aT �
2x ≤ b2 .
d) Die Menge
{x ∈ R n | ||x−x0||2 ≤ ||x−y||2 ∀ y ∈ S}
der Punkte, die näher an einem gegebenen Punkt x0 ∈ R n liegen als an einer Menge
S ⊆ R n .
e) Die Menge {x ∈ R n | x+T ⊆ S} mit S ⊆ R n konvex, T ⊆ R n .
Aufgabe 19 (4 Punkte)
a) Voronoi-Darstellung von Halbräumen
Seien a,b ∈ R n , a �= b. Man zeige, dass die Menge
{x ∈ R n | ||x−a||2 ≤ ||x−b||2}
aller Punkte, die bzgl. der euklidischen Norm näher an a als an b liegen, ein Halbraum
ist. Beschreiben Sie den Halbraum explizit durch eine Ungleichung und fertigen Sie eine
Skizze für n = 2 an.

) Voronoi-Mengen und Polyeder-Dekomposition
Seien x0,...,xk ∈ R n . Dann nennt man die Menge
V = {x ∈ R n | ||x−x0||2 ≤ ||x−xi||2 ∀ i = 1,...,k}
der Punkte, die näher an x0 als an den restlichen xi liegen, die Voronoi-Region um x0
bzgl. x1,...,xk.
Man zeige, dass V ein Polyeder ist.