T1 - Fachbereich Informatik - Hochschule Bonn-Rhein-Sieg
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<strong>Hochschule</strong><br />
<strong>Bonn</strong>-<strong>Rhein</strong>-<strong>Sieg</strong><br />
University<br />
of Applied Sciences<br />
<strong>Fachbereich</strong> <strong>Informatik</strong><br />
Physikalische Grundlagen der <strong>Informatik</strong><br />
Vorlesung WS 2009/10<br />
(Stand: 30.09.09)<br />
Prof. Dr.-Ing. Thomas Breuer<br />
Tel.: 02241/865-234<br />
thomas.breuer@fh-bonn-rhein-sieg.de
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einleitung..............................................................................................................................................................3<br />
1.1 Inhalte und Ziele der Vorlesung......................................................................................................................3<br />
1.2 Diese Vorlesung..............................................................................................................................................3<br />
1.3 Literaturhinweis...............................................................................................................................................4<br />
1.4 Methoden der Physik.......................................................................................................................................6<br />
1.5 Physikalische Größen und Einheiten...............................................................................................................6<br />
2 Mechanik...............................................................................................................................................................9<br />
2.1 Kinematik........................................................................................................................................................9<br />
2.2 Mechanik des Massenpunktes........................................................................................................................13<br />
2.3 Mechanik des starren Körpers.......................................................................................................................16<br />
2.4 Schwingungen................................................................................................................................................18<br />
3 Wellen.................................................................................................................................................................21<br />
3.1 Reflexion.......................................................................................................................................................22<br />
3.2 Interferenz......................................................................................................................................................22<br />
3.3 Brechung........................................................................................................................................................23<br />
3.4 Beugung.........................................................................................................................................................23<br />
4 Optik....................................................................................................................................................................25<br />
4.1 Reflexion und Brechung................................................................................................................................25<br />
4.2 Linse..............................................................................................................................................................26<br />
4.3 Prisma............................................................................................................................................................27<br />
5 Elektrotechnische Grundlagen.............................................................................................................................28<br />
5.1 Gleichstromkreis............................................................................................................................................28<br />
5.2 Elektrische Felder..........................................................................................................................................43<br />
5.3 Magnetische Felder........................................................................................................................................46<br />
5.4 Kondensator und Spule im Stromkreis..........................................................................................................50<br />
6 Elektronische Grundlagen....................................................................................................................................62<br />
6.1 Halbleiterbauelemente ..................................................................................................................................62<br />
6.2 Diode.............................................................................................................................................................66<br />
6.3 Bipolartransistor............................................................................................................................................70<br />
6.4 Feldeffekttransistor........................................................................................................................................76<br />
6.5 Operationsverstärker......................................................................................................................................83<br />
7 Digitale Grundschaltungen..................................................................................................................................87<br />
7.1 Logik-Funktionen (Gatter).............................................................................................................................87<br />
7.2 Flip-Flop........................................................................................................................................................88<br />
8 Tabellen...............................................................................................................................................................90<br />
8.1 SI-Einheiten...................................................................................................................................................90<br />
8.2 Abgeleitete Größen und Einheiten.................................................................................................................90<br />
8.3 Zehnerpotenzen und ihre Abkürzung.............................................................................................................91<br />
8.4 Physikalische Konstanten..............................................................................................................................92<br />
8.5 Wichtige Formeln..........................................................................................................................................93<br />
8.6 Ableitungen und Integrale einiger Funktionen...............................................................................................98<br />
2
1 Einleitung 3<br />
1 Einleitung<br />
1.1 Inhalte und Ziele der Vorlesung<br />
Mit der Erfindung des Transistors und der Verfügbarkeit hochintegrierter Schaltkreise hat die rasante Entwicklung<br />
der automatischen Informationsverarbeitung begonnen und ist seitdem eng mit der Physik und Elektronik verknüpft.<br />
Die <strong>Informatik</strong> hat sich als eigenständiges Wissensgebiet etabliert, deren Anwendung eine stetige Weiterentwickelung<br />
der Rechnerarchitekturen fordert und nutzt. Als Bindeglied zwischen Elektrotechnik und <strong>Informatik</strong><br />
befasst sich die Technische <strong>Informatik</strong> mit der Rechnerhardware und ihrer Funktion, aber auch mit möglichen<br />
Fehlfunktionen, sie beschreibt gewissermaßen das Handwerkszeug des <strong>Informatik</strong>ers.<br />
Die Kenntnis physikalischer und elektronischer Grundlagen erleichtert einerseits das Verständnis des Arbeitsgerätes,<br />
andererseits sind viele Anwendungen technischer Natur und erfordern fachkompetente Mitarbeit in einem<br />
interdisziplinären Team. Im Rahmen einer Einführungsvorlesung finden sicherlich nicht alle Aspekte Platz, so dass<br />
hier nur grundlegende Zusammenhänge erläutert werden. Dazu bietet sich aus didaktischen Gründen zunächst die<br />
Mechanik an, da viele Begriffe und Methoden anschaulich erläutert werden können, die das spätere Verständnis<br />
der Elektrotechnik und Elektronik wesentlich erleichtern. Neben dem Methodenwissen steht aber auch das Faktenwissen<br />
(z.B. über physikalische Gesetze und technische Verfahren), das in der hochtechnisierten (Berufs-)Welt<br />
unerlässlich ist.<br />
1.2 Diese Vorlesung<br />
Es werden die drei Teilgebiete „Physikalische Grundlagen“, „Elektrotechnische Grundlagen“ und „Grundlagen der<br />
Elektronik“, jeweils beschränkt auf die für das Grundverständnis notwendigen Aspekte, behandelt. Allerdings ist<br />
eine qualifizierte Beschäftigung mit Technik nicht ohne Mathematik möglich. Sofern notwendig, werden mathematische<br />
Zusammenhänge anwendungsorientiert in der Vorlesung erläutert. Bitte erwarten Sie hier keine geschlossene,<br />
mathematisch korrekte Darstellung, diese wird in den entsprechenden Mathematik-Vorlesungen angeboten.
1 Einleitung 4<br />
1.3 Literaturhinweis<br />
Zu jedem in der Vorlesung behandelten Teilgebiet gibt es ein Vielzahl an Lehrbüchern, aus der hier eine Auswahl<br />
zusammengestellt wurde. Diese Literatur soll dem tieferen Verständnis und dem weitergehenden Studium des Vorlesungsstoffes<br />
dienen. Allerdings wird an dieser Stelle bewusst auf die Empfehlung eines „vorlesungsbegleitenden<br />
Buches“ verzichtet, da die Vorlesung einerseits keinem der aufgeführten Bücher folgt und andererseits jeder Studierende<br />
unterschiedliche Vorlieben und Lernmethoden mitbringt.<br />
Sowohl die Hochschulbibliothek als auch Buchhandlungen bieten Ihnen die Möglichkeit, verschiedene Bücher anzusehen<br />
und zu vergleichen. Nutzen Sie die Möglichkeit und entscheiden Sie selbst, ob Sie sich eines dieser Bücher<br />
anschaffen bzw. ausleihen wollen, oder ob Ihnen die Mitschrift und dieses Skript ausreichen.<br />
Falls Sie weitere Bücher, die hier nicht aufgeführt sind, für erwähnenswert halten, bin ich natürlich für einen Literaturhinweis<br />
dankbar.<br />
1.3.1 Physik und Mathematik<br />
Bronstein IN, Semendjajew KA, Musiol G, Mühlig H<br />
Taschenbuch der Mathematik<br />
5. Aufl. 1998, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2015-X, € 39,95 (mit CD)<br />
oder ISBN 3-8171-2005-2, € 29,95 (ohne CD)<br />
Dobrinski P, Krakau G, Vogel A<br />
Physik für Ingenieure<br />
10. Aufl. 2003, Teubner, ISBN 3-519-46501-9, € 39,90<br />
Gerlach E, Grosse P<br />
Physik: Eine Einführung für Ingenieure<br />
4. Aufl. 1999, Teubner, ISBN 3-519-33212-4, € 29,90<br />
Höfling O<br />
Physik: Formeln und Einheiten (Sekundarstufe II )<br />
16. Aufl. 2002, Aulis, ISBN 3-7614-0314-3, € 4,40<br />
Lindner H, Siebke W<br />
Physik für Ingenieure<br />
16. Aufl. 2001,Carl Hanser, ISBN 3-446-21703-7, € 34,90<br />
Meschede D (Hrsg)<br />
Gerthsen Physik<br />
22. Aufl. 2004, Springer, ISBN 3-540-02622-3, € 64,95<br />
Sieber H, Huber L<br />
Mathematische Begriffe und Formeln (Sekundarstufe I+II)<br />
1. Auflage 1986, Klett, ISBN 3-12-718000-4<br />
1.3.2 Elektrotechnik<br />
Hagmann G<br />
Grundlagen der Elektrotechnik<br />
10. Aufl. 2003, Aula, ISBN 3-89104-677-4, € 19,80<br />
Lindner H, Brauer H, Lehmann C<br />
Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik<br />
8. Aufl. 2004, Carl Hanser, ISBN 3-446-22546-3, € 24,90<br />
Paul R<br />
Elektrotechnik für <strong>Informatik</strong>er<br />
1. Aufl. 2004, Teubner, ISBN 3-519-00360-0, € 49,90
1 Einleitung 5<br />
Zastrow D<br />
Elektrotechnik: Ein Grundlagenlehrbuch<br />
15. Aufl. 2004, Vieweg, ISBN 3-528-05034-9, € 29,90<br />
1.3.3 Elektronik<br />
Horowitz P, Hill W<br />
The Art of Electronics<br />
2. Aufl. 1989, Cambridge University Press, ISBN 0-521-37095-7<br />
Müller R<br />
Grundlagen der Halbleiter-Elektronik<br />
7. Aufl. 1995, Springer, ISBN 3-540-58912-0, € 39,95<br />
Palotas L (Hrsg.)<br />
Elektronik für Ingenieure: Analoge und digitale integrierte Schaltungen<br />
1. Aufl. 2003, Vieweg, ISBN 3-528-03915-9<br />
Paul R<br />
Elektronik für <strong>Informatik</strong>er<br />
1. Aufl. 2004, Teubner, ISBN 3-519-00361-9, € 39,90Unbehauen R<br />
Tietze U, Schenk<br />
Halbleiter-Schaltungstechnik<br />
2000, Springer, ISBN 3-540-64192-0, € 79,95<br />
1.3.4 Technische <strong>Informatik</strong><br />
Schiffmann W, Schmitz R<br />
Technische <strong>Informatik</strong> 1: Grundlagen der digitalen Elektronik<br />
5. Aufl. 2003, Springer, ISBN 3-540-40418-X, € 29,95<br />
Schiffmann W, Schmitz R<br />
Technische <strong>Informatik</strong> 2: Grundlagen der Computertechnik<br />
4. Aufl. 2002, Springer, ISBN 3-540-43854-8, € 29,95<br />
Schiffmann W, Schmitz R<br />
Technische <strong>Informatik</strong>: Übungsbuch zur Technischen <strong>Informatik</strong> 1 und 2<br />
2. Aufl. 2001, Springer, ISBN 3-540-20793-7, € 24,95
1 Einleitung 6<br />
1.4 Methoden der Physik<br />
Die Physik beschäftigt sich als Wissenschaft mit der unbelebten Natur. Sie ist unterteilt in die Gebiete Mechanik,<br />
Akustik, Wärmelehre, Elektrizität u. Magnetismus, Optik sowie Atom- und Kernphysik.<br />
Die Erkenntnisse und Methoden fließen in vielfältiger Form in den ingenieurwissenschaftlichen Arbeitsbereich mit<br />
ein.<br />
Experiment<br />
(Beobachtung)<br />
Messung physikalischer<br />
Grössen<br />
Physikalisches<br />
Gesetz<br />
Theorie<br />
(Modell)<br />
Mathematische<br />
Beschreibung<br />
Einen ersten, sehr anschaulichen Eindruck über die Arbeitsweise der Physik und ihren Einfluss auf die Technik<br />
lässt sich in der Mechanik gewinnen. Die dort benutzten Denkansätze und mathematischen Methoden werden in<br />
ähnlicher Weise auch in anderen Bereichen angewendet.<br />
Ausgehend von der Beobachtung natürlicher Vorgänge, die in Experimenten gewonnen werden, versucht die<br />
Physik Gesetzmäßigkeiten aufzudecken. Die Definition eindeutiger Begriffe und physikalischer Größen (z.B. Geschwindigkeit,<br />
Stromstärke, Leistung) ist eine notwendige Voraussetzung, um Beobachtungen zu erfassen und Gesetzmäßigkeiten<br />
mathematisch formulieren zu können. Die Komplexität natürlicher Vorgänge erfordert oft eine<br />
idealisierte, auf das wesentliche beschränkte Beschreibung (physikalisches Modell), die erst eine handliche mathematische<br />
Behandlung ermöglicht (z.B. Vernachlässigung der Reibung bei mechanischen Systemen). Die theoretische<br />
Physik erstellt auf der Basis wenige Grundannahmen (Axiome) ein vollständiges und widerspruchsfreies<br />
physikalisches Weltbild.<br />
Neue Erkenntnisse lassen sich durch zwei unterschiedliche Schlussweisen gewinnen:<br />
a) Induktion (vom Einzelfall auf das Allgemeine): Aus den Messergebnissen durchgeführter Experimente<br />
wird auf die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten geschlossen. Die so gefundenen Gesetzmäßigkeiten<br />
sind nur unter den im Experiment gegebenen Randbedingungen gültig und müssen durch Wiederholung<br />
bestätigt werden.<br />
b) Deduktion (vom Allgemeinen auf den Einzelfall): Allgemeingültige Gesetzmäßigkeiten werden auf<br />
den Einzelfall angewendet. Dies erlaubt das Nachvollziehen von Beobachtungen und die Vorhersage<br />
künftiger Ereignisse. Auch hier muss die Gültigkeit der getroffenen Aussagen durch Experimente bestätigt<br />
werden.<br />
1.5 Physikalische Größen und Einheiten<br />
Eine Beobachtung alltäglicher Vorgänge im Straßenverkehr könnte beispielsweise zu folgender Aussage führen:<br />
Fußgänger, Fahrrad und Auto „bewegen“ sich unterschiedlich „schnell“.<br />
Nach Ablauf einer bestimmten „Zeit“ haben die Objekte unterschiedliche „Wege“ zurückgelegt.<br />
Zeit, Weg und Geschwindigkeit sind physikalische Größen, die quantitativ erfasst, also gemessen werden können.<br />
Um dies zu tun, wird eine Maßzahl und eine Maßeinheit verwendet.<br />
Definition:<br />
physikalische Größe = Maßzahl ⋅ Maßeinheit<br />
Beispiel:<br />
Zeit = 3,45 s Weg = 7,89 m Geschwindigkeit = 2,29 m<br />
s
1 Einleitung 7<br />
1.5.1 Maßeinheiten<br />
Im SI-Einheitensystem werden die Einheiten von 7 physikalischen Basisgrößen festgelegt (siehe Kapitel 8.1). Die<br />
Einheiten aller anderen, abgeleiteten Größen lassen sich aus diesen Basiseinheiten ableiten (z.B.: Die Einheit der<br />
Geschwindigkeit ist abgeleitet aus den Einheiten der Zeit und der Länge). Die Einheit einer physikalischen Basisgröße<br />
wird willkürlich (aber zweckmässig) festgelegt. In der Mechanik sind dies:<br />
[Zeit ] = [t] = s = 1 1 1<br />
min = ⋅<br />
60 60 60<br />
1 1 1<br />
h = ⋅ ⋅<br />
60 60 24 d<br />
[Weg] = [s] = m = 1 Erdumfang<br />
km =<br />
1000 1000⋅1000⋅40<br />
[Masse] = [m] = kg = Masse von 1 l Wasser �1l = 10 −3 m 3 �<br />
Das SI-Einheitensystem (SI = Système International d´Unites) ist seit 1960 international verbindlich, wird aber<br />
nicht in allen Ländern (z.B. USA) verwendet.<br />
1.5.2 Maßzahl<br />
Größen unterscheiden sich oft um viele Zehnerpotenzen, Beispiele:<br />
– Struktur eines Halbleiter-Chips: 0,000.001 m<br />
– Entfernung eines Telekommunikations-Satelliten: 36.000.000 m<br />
Zur Vereinfachung der Schreibweise werden Zahlen in Zehnerpotenzen (10 n ) dargestellt. Die hochgestellte Zahl<br />
(Exponent) hinter der 10 gibt an, wie oft die Zahl 10 mit sich selbst multipliziert werden muss. Eine negative Zahl<br />
bedeutet, dass der Kehrwert zu bilden ist. Die Anzahl Nullen im Ergebnis ist gleich dem Exponenten:<br />
10 n oder<br />
= 10⋅10⋅ ... ⋅10 = 100...0<br />
10 −n = 1 1 1<br />
⋅ ⋅ ... ⋅ = 0,00....1<br />
10 10 10<br />
Zu beachten ist noch folgende Rechenregel:<br />
10 n ⋅ 10 k = 10 n�k<br />
Beispiel:<br />
10 2 ⋅ 10 −1 = 10 2−1 = 10 1 = 10<br />
100 ⋅ 1<br />
10<br />
= 10<br />
Die Zehnerpotenzen können wiederum durch ein Abkürzungszeichen ersetzt werden (siehe Kapitel 8.3).<br />
Beispiele:<br />
2500m = 2,5⋅1000⋅m = 2,5⋅10 3 ⋅m = 2,5 km<br />
1,5 mg = 1,5⋅10 −3 ⋅g = 1,5⋅0,001⋅g = 0,0015 g<br />
Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 2cm besitzt ein Volumen von:<br />
V = 2 cm⋅2cm⋅2 cm = 2⋅10 −2 m ⋅ 2⋅10 −2 m ⋅ 2⋅10 −2 m ⋅ = 8⋅10 −6 m 3 = 8⋅10 −3 l = 8ml<br />
(Anm.: Gedanklich wird die Zehnerpotenz zur Maßzahl, das Kurzzeichen zur Masseinheit gezählt. Für die physikalische Größe<br />
ist dies jedoch unerheblich, da immer das Produkt gebildet wird.)<br />
1.5.3 Skalare und vektorielle Größen<br />
Physikalische Größen, denen keine Richtung zugeordnet werden kann, werden als Skalar bezeichnet. Beispiele<br />
skalarer Größen sind Temperatur, Masse, Zeit und Energie. Daneben gibt es Vektor-Größen, die sich nicht nur
1 Einleitung 8<br />
durch Maßzahl und -einheit auszeichnen, sondern auch durch ihr Richtung, beispielsweise Geschwindigkeit, Kraft<br />
und Impuls.<br />
Im Allgemeinen ist ein Vektor ein gerichteter Pfeil, dessen räumliche Ausrichtung die Wirkrichtung und dessen<br />
Länge (Betrag) das Maß der physikalischen Größe bezeichnet. Vektoren können in Komponenten zerlegt oder aus<br />
Komponenten zusammengesetzt werden. Die Zerlegung eines Vektors in senkrecht aufeinanderstehende Komponenten<br />
wird häufig verwendet, da diese Komponenten unabhängig voneinander betrachtet werden können.<br />
A<br />
B<br />
B<br />
A+B<br />
A<br />
A y<br />
A x<br />
A = A x + A y
2 Mechanik 9<br />
2 Mechanik<br />
2.1 Kinematik<br />
Die Kinematik beschäftigt sich mit der Bewegung von Objekten. Dazu werden Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung<br />
in Abhängigkeit der Zeit betrachtet.<br />
2.1.1 Geschwindigkeit<br />
Wird die Bewegung eines Objektes beobachtet, kann sein Aufenthaltsort durch den Abstand von einem Bezugspunkt<br />
beschrieben und in einem Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Im einfachen Fall einer gleichförmigen<br />
Bewegung ändert sich der Abstand s(t) zum Bezugspunkt linear mit der Zeit t, die Kurve ist eine Gerade.<br />
s(t)<br />
Δs<br />
Δt<br />
Die Geschwindigkeit wird definiert als zurückgelegte Strecke Δs pro Zeit Δt. In der grafischen Darstellung entspricht<br />
also die Geschwindigkeit der Steigung der Kurve s(t).<br />
Definition:<br />
Geschwindigkeit = Strecke<br />
Zeit<br />
Kurzform:<br />
� s<br />
v =<br />
�t<br />
Einheit :<br />
[ s]<br />
[v] =<br />
[t ]<br />
Im Allgemeinen ist die Geschwindigkeit jedoch nicht konstant, s.d. diese Definition zeitliche Änderungen nicht<br />
erfasst. Um die Momentangeschwindigkeit zu verschiedenen Punkten zu beschreiben, wird das Zeitintervall Δt<br />
beliebig klein gewählt. Mathematisch wird dieser Grenzübergang Δt → 0 dadurch ausgedrückt, dass „Δ“ durch „d“<br />
ersetzt wird. Die Geschwindigkeit kann dann zu jedem Zeitpunkt berechnet und als Steigung der Kurve s(t)<br />
aufgefasst werden.<br />
s(t)<br />
ds<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
= m<br />
s
2 Mechanik 10<br />
Definition:<br />
v =<br />
d s<br />
d t<br />
= d<br />
dt ⋅s�t�<br />
Anmerkung zur Schreibweise: Zur besseren Übersichtlichkeit wird die Funktion (die auch ein längerer Ausdruck<br />
sein kann) ggf. neben den Bruchstrich geschrieben, „d/dt“ wird dann auch als „Operator“ bezeichnet. Weiterhin<br />
findet sich bei zeitlichen Ableitungen auch die Schreibweise ˙s�t � .<br />
Liegt eine mathematische Beschreibung der zurückgelegten Strecke s(t) vor, kann daraus durch Ableitung die<br />
Funktion v(t) berechnet werden (Kapitel 8.6 enthält dazu einige Funktionen und deren Ableitung). Andererseits<br />
kann aus der Geschwindigkeit v(t) durch Integration die Strecke s(t) berechnet werden, indem die Zeit in (beliebig)<br />
kleine Abschnitte dτ zerlegt wird. In jedem Intervall wird die Strecke<br />
d s = v ⋅d �<br />
zurückgelegt. Jetzt müssen noch alle Streckenelemente ds addiert werden. Ddies geschieht durch Integration<br />
(= Summierung kleinster Intervalle) über ein definiertes Zeitintervall, das festlegt, zu welchem Zeitpunkt die Integration<br />
beginnt und wann sie endet. s(t) ist also die Fläche unter der Kurve v(t):<br />
v(τ)<br />
Gesamtfläche:<br />
s �t�=s�t – d ���v���d � = ∑ v���d � � s�0�<br />
�=0<br />
Flächeninhalt:<br />
s(t – dτ)<br />
Für beliebig kleine Zeitintervalle dτ wird aus der Summe ein Integral:<br />
s�t � = ∫ 0<br />
t<br />
v��� d � � s�0�<br />
t<br />
�=t<br />
dτ<br />
Flächeninhalt:<br />
ds = v(τ)∙dτ<br />
Das Integral liefert „nur“ eine Aussage über die Ortsveränderung seit Beginn des Zeitintervalls, der Ort zu diesem<br />
Zeitpunkt muss dann noch als Anfangswert s(0) hinzuaddiert werden. Kapitel 8.6 enthält einige Formeln zur Berechnung<br />
der Integrale.<br />
2.1.2 Beschleunigung<br />
Analog zur Geschwindigkeit als Maß der Ortsveränderung wird die Beschleunigung als Maß der Geschwindigkeitsänderung<br />
definiert.<br />
Definition:<br />
a =<br />
d v<br />
dt<br />
[a] =<br />
[v ]<br />
[t ]<br />
= m<br />
s 2<br />
In der grafischen Darstellung stellt die Beschleunigung a(t) die Steigung der Geschwindigkeitskurve v(t) dar.<br />
τ
2 Mechanik 11<br />
Anfahren Bremsen<br />
Die Geschwindigkeit kann aus der bekannten Beschleunigung a(t) und dem Anfangswert v(0) ermittelt werden:<br />
v�t� = ∫ 0<br />
t<br />
a ���d � � v �0�<br />
Strecke (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren, da ihnen nicht nur ein Betrag, sondern auch<br />
eine Richtung zugeordnet werden kann. Werden diese Vektoren in senkrecht aufeinander stehende Komponenten<br />
zerlegt, können die Komponenten (diese werden oft als x-,y- und z-Komponente bezeichnet) unabhängig voneinander<br />
und als Skalar betrachtet werden.<br />
2.1.3 Kinematik der Kreisbewegung<br />
Analog zur bisher behandelten linearen (geradlinigen) Bewegung kann auch die Kreisbewegung betrachtet werden.<br />
An die Stelle der Strecke tritt nun der Winkel, der durch die Kreisbewegung überstrichen wird.<br />
φ<br />
r<br />
Der Winkel lässt sich auf zweierlei Weisen darstellen:<br />
– als Anteil am Vollkreises von 360° (GRAD): φ = 0,....,360°<br />
– als Verhältnis zw. Länge des Kreissegmentes s und Radius r (RAD): φ = s/r = 0,....,2π<br />
Bitte beachten Sie diesen Unterschied bei der Bedienung Ihres Taschenrechners! Zur Kontrolle: sin(90°)=sin(π/2)=1<br />
Der überstrichene Winkel sei, ähnlich wie die Strecke bei linearen Bewegungen, zeitabhängig. Es können dann die<br />
Winkelgeschwindigkeit ω (sprich: omega) und die Winkelbeschleunigung α (auch: ˙� , „omega dot“) angegeben<br />
werden:<br />
� =<br />
d �<br />
dt<br />
� = ˙� =<br />
d �<br />
dt<br />
[�] = [�]<br />
[t ]<br />
= 1<br />
s<br />
[�] = [�]<br />
[t]<br />
= 1<br />
s 2<br />
s<br />
s(t)<br />
a(t)<br />
v(t)<br />
t
2 Mechanik 12<br />
2.1.3.1 Gleichförmige Kreisbewegung<br />
Betrachtet man einen Punkt auf der Kreisbahn im Abstand r vom Mittelpunkt, so können seine Koordinaten<br />
angegeben werden mit:<br />
s x �t� = r ⋅ cos��t� und s y �t� = r ⋅ sin�� t�<br />
Die x- und y-Komponenten der Bahngeschwindigkeit werden durch Ableitung der Ort-Zeit-Funktionen sx(t) und<br />
sy(t) bestimmt werden:<br />
v x �t � = −� r ⋅ sin ��t � und v y �t � = � r ⋅ cos��t�<br />
und daraus ergibt sich durch erneute Ableitung die Beschleunigung:<br />
a x �t � = −� 2 r ⋅ cos�� t� und a y �t� = −� 2 r ⋅ sin �� t�<br />
Bahngeschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren, deren Komponenten oben berechnet wurden. Mit Hilfe<br />
der trigonometrischen Beziehung cos²(α) + sin²(α) = 1 können die Beträge dieser Größen bestimmt werden:<br />
v�t� = �⋅r<br />
a �t� = � 2 ⋅r<br />
sy<br />
y<br />
sx<br />
α<br />
Der Beschleunigungsvektor steht bei der gleichförmigen Kreisbewegung stets senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor,<br />
zeigt also zum Mittelpunkt. Durch die Beschleunigung zum Mittelpunkt ändert sich nur die Richtung<br />
der Bewegung, der Betrag der Geschwindigkeit bleibt unverändert. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit liegt zu<br />
jedem Zeitpunkt tangential zur Kreisbahn.<br />
(Anm.: Die hier besprochene Beschleunigung darf nicht mit der tangentialen Bahnbeschleunigung verwechselt werden, durch<br />
die sich die Bahngeschwindigkeit und somit auch die Winkelgeschwindigkeit ändert.)<br />
x<br />
v<br />
a
2 Mechanik 13<br />
2.2 Mechanik des Massenpunktes<br />
2.2.1 Kraft<br />
Der oben angegebene Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung ist völlig unabhängig<br />
von der Masse des Körpers. Diese spielt erst dann eine Rolle, wenn Kraftwirkungen betrachtet werden. Solange<br />
keine Drehbewegungen vorkommen (erst dann spielt die räumliche Massenverteilung eine Rolle), kann zur Vereinfachung<br />
angenommen werden, dass die Masse in einem Massenpunkt konzentriert ist. Die Masse hat keine Richtung,<br />
sie ist also eine skalare Größe (schließlich ändert ein Körper seine Masse nicht dadurch, dass er gedreht<br />
wird).<br />
Die Mechanik des Massenpunktes beruht auf den drei Newton'schen Axiomen:<br />
– Trägheitsprinzip: Ein Körper, auf den keine resultierenden äußeren Kräfte wirken, bewegt sich geradlinig und<br />
gleichförmig, d.h. er wird nicht beschleunigt: a(t) = 0<br />
– Aktionsprinzip: Wirkt auf einen Körper der Masse m die Kraft F, so wird der Körper mit a(t) = F(t)/m beschleunigt.<br />
– Reaktionsprinzip: Wenn ein Körper die Kraft F auf einen anderen Körper ausübt, so wirkt auf den ursprünglichen<br />
Körper die Gegenkraft -F (actio gleich reactio).<br />
Die ersten beiden Axiome können auch als Definition der Kraft aufgefasst werden:<br />
Um einen Körper mit der Masse m zu veranlassen, seine Geschwindigkeit zu ändern (= Beschleunigung a) muss<br />
auf ihn eine Kraft F einwirken.<br />
Definition:<br />
F = m ⋅ a [F ] = [ m] ⋅ [a] = kg⋅m<br />
s 2<br />
= N � Newton�<br />
Das dritte Axiom wird verständlich, wenn man die Verbindung zwischen zwei Körpern gedanklich aufschneidet<br />
und an der Schnittstelle Ersatzkräfte einführt. Das Kräftegleichgewicht bleibt erhalten, wenn an der Schnittstelle<br />
gleich große, aber entgegengesetzt orientierte Kräfte eingesetzt werden.<br />
a<br />
Fa= -Fb Fb= -Fa<br />
Alle Kräfte, die auf einen Körper wirken, können zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Es empfiehlt<br />
sich, zunächst ein Bezugssystem (senkrechtes Koordinatensystem mit x-, y- und ggf. z-Achse) einzuführen<br />
und alle Kräfte in x-, y und z-Komponenten aufzuteilen. Anschließend werden alle Kräfte entsprechend ihrer Richtung<br />
aufaddiert. Für jede dieser Richtungen gilt unabhängig das Kraftgesetz:<br />
∑ F i , x = F ges , x = m ⋅ ax (für die y- und z-Richtung entsprechend)<br />
i<br />
2.2.1.1 Kraftwirkungen<br />
In der Physik wird zwischen Nahwirkungskräften und Fernwirkungskräften unterschieden.<br />
Nahwirkungskräfte (Beispiele: Federkraft) treten innerhalb von Körpern oder bei Berührung von Körpern untereinander<br />
auf und sind durch atomare Phänomene begründet. Fernwirkungskräfte (dies sind Gravitation, magnetische<br />
und elektrische Kraft) benötigen zu ihrer Übertragung kein Medium, existieren also auch im Vakuum und<br />
üben ihre Wirkung auf große Entfernungen aus.<br />
b
2 Mechanik 14<br />
Federkraft<br />
Federkräfte entstehen durch die Verformung eines Festkörpers und sind sehr stark von den Materialeigenschaften<br />
abhängig. Eine gute Näherung, insbesondere bei kleinen Verformungen, wird durch das Hook'sche Gesetz erzielt,<br />
dieses besagt: Wird ein Körper (hier vereinfacht als Feder bezeichnet) aus seiner Ruhelage um die Strecke s verformt,<br />
ist dazu eine Kraft<br />
F feder = c feder ⋅ s c feder : material−u.konstruktionsabhängige Konstante<br />
notwendig. Die Federkraft ist also proportional der Auslenkung.<br />
Gravitationskraft<br />
Kräfte haben unterschiedliche Ursachen, von denen die Gravitation die auffälligste ist. Gravitationskräfte treten<br />
zwischen zwei Massen auf, sie üben untereinander eine Anziehungskraft aus:<br />
F gravitation = G m 1 ⋅m 2<br />
r 2<br />
Fasst man die Faktoren Erdradius r, Erdmasse m1 und Gravitationskonstante G zusammen, so wird eine Masse m<br />
auf der Erdoberfläche mit:<br />
F gravitation = m ⋅ g<br />
angezogen. Im freien Fall würde der Körper mit<br />
a = F gravitation<br />
=<br />
m<br />
m⋅g<br />
m<br />
= g = 9,81<br />
m s 2<br />
beschleunigt werden. Die Naturkonstante g wird daher auch als „Erdbeschleunigung“ bezeichnet. Sie ist, streng<br />
betrachtet, ein Vektor, der stets zum Erdmittelpunkt zeigt.<br />
In der Physik wird im Zusammenhang mit der Gravitation auch der Begriff schwere Masse, im Zusammenhang<br />
mit Beschleunigungskräften der Begriff träge Masse verwendet, sie sind aber dem Betrage nach gleich. Diese Unterscheidung<br />
zielt lediglich auf die unterschiedlichen Wirkungen der Masse ab und ist in der Praxis bedeutungslos.<br />
2.2.2 Arbeit und Energie<br />
Die Betrachtung von Kraftübertragungen (Hebel, Flaschenzug) führt zu der Erkenntnis, dass sich durch Übersetzung<br />
„Kraft gewinnen“ lässt, dafür aber der Weg länger wird. Das Produkt aus Kraft F und Weg s bleibt dabei<br />
konstant. Dieses Produkt wird als Arbeit bezeichnet.<br />
Definition:<br />
Arbeit = Kraft ⋅ Weg W = F ⋅ s [W ] = [F ]⋅[ s] = Nm = J � Joule�<br />
Im Allgemeinen ist die Kraft auf dem zurückgelegten Weg nicht konstant, so dass der Weg in kleine Streckenelementen<br />
ds zerlegt und die Arbeit für jedes dieser Streckenelemente berechnet werden muss. Die gesamte aufgebrachte<br />
Arbeit ergibt sich durch anschliessende Summation über alle Streckenelemente.<br />
S<br />
W = ∫ 0<br />
F �s�ds<br />
Wurde an einem Körper Arbeit verrichtet (z.B. Anheben oder Beschleunigen einer Masse, Spannen einer Feder) ist<br />
dieser Körper selbst in der Lage, Arbeit zu verrichten. Die Möglichkeit Arbeit zu verrichten, wird als Energie bezeichnet.<br />
Zur Unterscheidung zwischen Arbeit und Energie wird für die Energie manchmal auch das Formelzeichen<br />
E verwendet.<br />
2.2.2.1 Potentielle Energie<br />
Durch Anheben eines Körpers der Masse m um die Höhe h gegen die Schwerkraft, erhält dieser die potentielle<br />
Energie<br />
W pot = m⋅g⋅h<br />
Die potentielle Energie bezieht sich immer auf einen Bezugspunkt, von dem aus die Höhe h gemessen wird.
2 Mechanik 15<br />
2.2.2.2 Kinetische Energie<br />
Ein Körper der Masse m, der mit einer konstanten Kraft F beschleunigt wird, erreicht die Geschwindigkeit<br />
v = a⋅t und legt dabei die Strecke s = 1 2<br />
a⋅t<br />
2<br />
W kin = F⋅s = �m a� ⋅ � 1<br />
2 a t 2 � = 1<br />
2 m⋅�at �2 = 1<br />
m v2<br />
2<br />
2.2.2.3 Energieerhaltungssatz<br />
zurück. Seine kinetische Energie ist also<br />
Es existieren verschiedene Energieformen, z.B. potentielle Energie, kinetische Energie, Wärmeenergie, elektrische/magnetische<br />
Energie und chemische Energie. In einem abgeschlossenen System wird keine Energie erzeugt<br />
oder vernichtet, sondern in eine andere Form überführt (Beispiel Federpendel: periodischer Wechsel zwischen potentieller<br />
und kinetischer Energie). Es gilt der Energieerhaltungssatz:<br />
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant:<br />
∑ i<br />
W i = konstant<br />
2.2.3 Leistung<br />
h<br />
W'pot = m g h<br />
W'kin = 0<br />
W''pot = 0<br />
W''kin = ½ m v 2<br />
W'pot + W'kin = W''pot + W''kin<br />
Die pro Zeit umgesetzte Energie (bzw. geleistete Arbeit) ist die Leistung:<br />
Leistung = Arbeit<br />
Zeit<br />
2.2.4 Impuls<br />
P = dW<br />
dt<br />
Eine weitere wichtige Größe ist der Impuls:<br />
[P ] =<br />
[W ]<br />
[t]<br />
= Nm<br />
s<br />
= W �Watt�<br />
Impuls = Masse ⋅ Geschwinigkeit p = m ⋅ v [ p] = [m] ⋅ [v] = kg m<br />
s<br />
Es gilt der Impulserhaltungssatz:<br />
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Impulse konstant:<br />
∑ i<br />
p i = konstant
2 Mechanik 16<br />
2.3 Mechanik des starren Körpers<br />
2.3.1 Drehmoment und Trägheitsmoment<br />
Bisher war von Massenpunkten die Rede, s.d. alle Kräfte an einem gemeinsamen Punkt angreifen. Bei einer räumlichen<br />
Ausdehnung des Körpers kann es vorkommen, dass die Wirklinie der Kraft gegenüber dem Mittelpunkt<br />
(oder einem beliebigen anderen Bezugspunkt) verschoben ist. Denkt man sich den Bezugspunkt als Drehachse, so<br />
wird deutlich, dass durch die Verschiebung der Wirklinie eine Drehbewegung hervorgerufen wird.<br />
M<br />
(Anm.: Am Drehlager der Scheibe wirkt natürlich die Gegenkraft -F, ansonsten würde die Scheibe zusätzlich in Richtung der<br />
Kraft (geradlinig) beschleunigt, die resultierende Bewegung würde etwa die einer Frisbee-Scheibe entsprechen.)<br />
Durch die Verschiebung der Wirklinie um die Strecke r erhält die Kraft F eine Drehwirkung, die als Drehmoment<br />
bezeichnet wird:<br />
M = r⋅F [M ] = [r]⋅[F ] = Nm� Newtonmeter�<br />
r<br />
Das Drehmoment ist das Vektorprodukt aus Ortsvektor r und Kraftvektor F, also wiederum in Vektor, der senkrecht<br />
auf der durch den Bezugspunkt und die Wirklinie aufgespannten Fläche steht. In der Regel reicht es aus, nur<br />
mit den Beträgen zu rechnen, dann muss für r allerdings die kürzeste Verbindung zwischen dem Bezugsort und der<br />
Wirklinie eingesetzt werden.<br />
Analog zur geradlinigen Bewegung widersetzt sich die Scheibe der (Dreh-)Beschleunigung durch das Drehmoment<br />
M, diese Trägheit wird Trägheitsmoment genannt. Das Trägheitsmoment ist sowohl von der Masse des Körpers,<br />
als auch von seiner Formgebung abhängig, da der Beitrag eines Massenelements zum Trägheitsmoment von seinem<br />
Abstand r zur Drehachse abhängt:<br />
J = ∫ M<br />
r 2 dm<br />
Analog zur Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung gibt es eine Zusammenhang zwischen Drehmoment<br />
M, Trägheitsmoment J und Drehbeschleunigung ˙� :<br />
M = J⋅ ˙�<br />
Das Trägheitsmoment wird am Beispiel Kreisscheibe berechnet. Idee: Die Masse wird in schmale Ringe mit dem<br />
Radius r und der Breite dr zerlegt. Diese Ringe haben die Massen:<br />
dm = M ⋅<br />
2� r⋅dr M<br />
= ⋅ 2r⋅dr<br />
2 2<br />
� R R<br />
Die Integration über den gesamten Radius liefert:<br />
J = ∫ M<br />
r 2 dm = M<br />
R 2⋅∫<br />
R<br />
0<br />
r 2 ⋅�2r⋅dr� = M<br />
R 2⋅∫<br />
R<br />
0<br />
Weitere Trägheitsmomente finden Sie in folgender Tabelle:<br />
F<br />
2r 3 ⋅dr = M<br />
R 2⋅2<br />
4 R4 = 1<br />
2 M⋅R2
2 Mechanik 17<br />
Form Trägheitsmoment<br />
Scheibe<br />
Ring,<br />
Massenpunkt auf einer Kreisbahn<br />
Kugel<br />
Stab (Achse senkrecht zum Stab durch<br />
Mittelpunkt)<br />
1<br />
2 m⋅r2<br />
m⋅r 2<br />
2<br />
5 m⋅r2<br />
1<br />
12 m⋅r2<br />
(m: Masse des Körpers, r: Radius bzw. Länge des Körpers)<br />
2.3.2 Rotationsenergie und Drehimpuls<br />
Jeder Massenpunkt dm hat eine vom Radius r abhängige Bahngeschwindigkeit v und somit eine kinetische Energie<br />
dW = 1<br />
2 dm⋅v2 = 1<br />
2 �� r�2 ⋅dm<br />
Die Rotationsenergie des Gesamtkörpers kann durch Summation (Integration) über alle Massenelemente<br />
bestimmt werden:<br />
W rot = ∫ M<br />
1<br />
2 �� r�2 dm = 1<br />
2 �2⋅∫ r<br />
M<br />
2 dm = 1<br />
J �2<br />
2<br />
Der Drehimpuls (= Drall) eines starren Körpers ist:<br />
L = J �
2 Mechanik 18<br />
2.4 Schwingungen<br />
Schwingungen sind periodisch wiederkehrende Vorgänge. Sie treten auf, wenn ein Gleichgewichtszustand gestört<br />
und dadurch Rückstellkräfte wirksam werden, die eine Rückkehr in den Gleichgewichtszustand bewirken. Sie lassen<br />
sich am besten aus einer gleichförmigen Kreisbewegung herleiten.<br />
2.4.1 Die harmonische Schwingung<br />
Eine Scheibe drehe sich mit konstanter Geschwindigkeit. Dies bedeutet, dass sich der Winkel φ zwischen einer<br />
unbeweglichen Bezugslinie und einer mit der Scheibe verbundenen Linie zeitlich ändert:<br />
��t� = � ⋅ t<br />
Die Größe ω wird als Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz bezeichnet. Betrachtet man einen beliebigen<br />
Punkt auf dem Kreisrand und projiziert ihn auf eine Ebene, so beobachtet man eine periodische Bewegung. Die<br />
Auslenkung sy(t) der Projektion, seine Momentangeschwindigkeit und seine Beschleunigung können angegeben<br />
werden (siehe auch Kapitel 2.1.3.1):<br />
s y �t � = r⋅sin �� ⋅ t�<br />
v y �t� = �r⋅cos�� ⋅ t�<br />
a y �t� = −� 2 r⋅sin �� ⋅ t �<br />
s y<br />
φ<br />
Projektionsebene<br />
r<br />
-r<br />
Periodendauer<br />
Die maximale Auslenkung der Schwingung wird als Amplitude bezeichnet. Der Schwingungszustand wiederholt<br />
sich nach der Periodendauer<br />
T = 2�<br />
�<br />
Der Kehrwert der Periodendauer heißt Frequenz:<br />
f = 1<br />
T<br />
= �<br />
2�<br />
Vergleicht man die Funktionen ay(t) und sy(t) miteinander, so fällt auf, dass sich die Beschleunigung zeitgleich wie<br />
die Auslenkung verhält. Daraus folgt, dass sich alle schwingungsfähigen Systeme, bei denen die Rückstellkraft und<br />
damit die Beschleunigung proportional zur Auslenkung ist, wie eine Kreisbewegung verhalten. Auslenkung,<br />
Geschwindigkeit und Beschleunigung solcher Systeme haben immer ein sinusförmiges Zeitverhalten, dies wird als<br />
harmonische Schwingung bezeichnet.<br />
Amplitude<br />
Zeit
2 Mechanik 19<br />
2.4.2 Schwingungsfähige Systeme<br />
Um ein schwingungsfähiges System zu erhalten, werden immer 2 korrespondierende Energiespeicher benötigt, die<br />
periodisch Energie untereinander austauschen können. Sowohl im Federpendel als auch im Fadenpendel wird<br />
potentielle Energie (Massenpunkt maximal ausgelenkt) in kinetische Energie (Massenpunkt in Ruheposition aber<br />
in Bewegung) umgewandelt und umgekehrt.<br />
Federpendel<br />
Fadenpendel<br />
c feder<br />
m<br />
s<br />
F feder<br />
F rückstell<br />
F g = m ∙g<br />
F rückstell = c feder⋅s<br />
m<br />
s<br />
s'<br />
α<br />
L<br />
F seil<br />
α<br />
F rückstell<br />
F g = m∙g<br />
F rückstell = m⋅g<br />
L ⋅s'<br />
Näherung: s ≈ s'<br />
Die Rückstellkraft Frückstell ist proportional zur Auslenkung s und beschleunigt die Masse m entgegen der Auslenkung,<br />
s.d. sie eine Rückkehr (daher das negative Vorzeichen!) in die Ruhelage bewirkt :<br />
F rückstell �t � = −m⋅a�t � = −m⋅ d<br />
dt<br />
v�t�= −m⋅d2 s�t� 2<br />
dt<br />
Gleichzeitig ist Frückstell vom Aufenthaltsort der Masse abhängig (lineares Kraftgesetz, kann für kleine Auslenkungen<br />
immer angenommen werden):<br />
F rückstell �t � = D⋅s�t� mit : D = c (Federpendel) bzw. D = m⋅g<br />
L<br />
(Fadenpendel)<br />
Die letzten beiden Formeln geben jeweils die Rückstellkraft Frückstell an, sie können also gleichgesetzt werden. Es<br />
entsteht eine Differentialgleichung:<br />
−m⋅<br />
d 2<br />
s�t� = D⋅s�t �<br />
2<br />
dt<br />
Zur Lösung der Differentialgleichung wird eine Funktion s(t) gesucht, die diese Gleichung erfüllt. Wir wählen<br />
einen Lösungsansatz, den wir schon als harmonische Schwingung kennen. Mit diesem Lösungsansatz wird probiert,<br />
ob und unter welchen Voraussetzungen sich die Differentialgleichung lösen lässt:<br />
s�t � = �s⋅sin��⋅t� ⇒<br />
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:<br />
−m⋅�−� 2 �⋅�s⋅sin��⋅t� = D⋅�s⋅sin ��⋅t�<br />
d 2<br />
dt 2 s�t� = −�2 ⋅�s⋅sin��⋅t�<br />
Die Amplitude �s und die Sin-Funktion kürzen sich heraus. Mit s(t) wurde eine Funktion gefunden, die die Differentialgleichung<br />
für alle t erfüllt, somit war der Lösungsansatz erfolgreich. Es bleibt noch eine Gleichung übrig,<br />
die zusätzlich erfüllt sein muss. Daraus kann die Frequenz berechnet werden:<br />
m � 2 = D ⇔ � = � D<br />
m<br />
Fadenpendel:<br />
D = m⋅g<br />
L<br />
⇒ � = � g<br />
L<br />
bzw. f = 1<br />
2�<br />
bzw. f = 1 ⋅�<br />
g<br />
2� L<br />
⋅�<br />
D<br />
m<br />
Die Schwingungsfrequenz des Pendels ist nur von der Fadenlänge L abhängig, nicht aber von der Masse des<br />
Schwingkörpers!
2 Mechanik 20<br />
Federpendel:<br />
D = c ⇒ � = � c<br />
m<br />
bzw. f = 1<br />
2� ⋅ � c<br />
m<br />
Hier haben geometrische Größen keinen Einfluss auf die Schwingungsfrequenz, sie wird allein durch das Verhältnis<br />
von Federkonstante c und Masse m bestimmt.<br />
Die Amplitude hängt in beiden Fällen nicht von der Konstruktion ab, sondern von der Energie, die zur Schwingungsanregung<br />
verwendet wurde. Der Zusammenhang zwischen Energie WPendel und Amplitude �s kann aus der<br />
Rückstellkraft berechnet werden:<br />
W Pendel = ∫ 0<br />
�s<br />
F rückstell ds = ∫ 0<br />
2.4.3 Gedämpfte Schwingung<br />
�s<br />
D⋅s ds = 1<br />
2 D⋅�s2<br />
Bisher wurde vom reibungsfreien Idealfall ausgegangen, s.d. dem schwingenden System keine Reibungsenergie<br />
(=Wärme) „entzogen“ wurde. Eine gedämpfte Schwingung liegt vor, wenn unter Berücksichtigung der Reibung die<br />
Schwingungsamplitude mit der Zeit immer kleiner wird (Beispiel: Amplitude des Fadenpendels wird durch<br />
Luftreibung kleiner). Die Reibung kann so groß werden, dass das System an der Schwingung gehindert wird, stattdessen<br />
tritt ein Kriechverhalten auf (Beispiel: Stoßdämpfer eines Fahrzeugs).<br />
Auslenkung<br />
Dämpfung δ<br />
Zeit
3 Wellen 21<br />
3 Wellen<br />
Wenn schwingfähige Elemente miteinander gekoppelt werden, überträgt sich die Schwingung eines Elements zeitlich<br />
verzögert auf benachbarte Elemente. Eine Erregung pflanzt sich dadurch mit einer charakteristischen Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
räumlich fort. Die zeitliche und räumliche Zustandsänderung wird als Welle bezeichnet.<br />
Liegen Bewegungsrichtung der Elemente (Schwingungsebene) und Ausbreitungsrichtung parallel, wird dies als<br />
Longitudinalwelle bezeichnet (Beispiel: Schallwelle). Im Gegensatz dazu steht die Schwingungsebene bei Transversalwellen<br />
senkrecht auf der Ausbreitungrichtung (Beispiel: Wasserwelle).<br />
Longitudinal-Welle<br />
∙<br />
Bewegungsrichtung<br />
Ausbreitungsrichtung der Welle<br />
Auslenkung aus der Ruhelage<br />
Transversal-Welle<br />
∙<br />
Bewegungsrichtung<br />
Ausbreitungsrichtung der Welle<br />
In einem elastischen Medium (z.B. Luft) breitet sich die Welle, ausgehend von einer punktförmigen Quelle, in allen<br />
Richtungen aus, es entsteht eine Kugelwelle. Liegt die Quelle unendlich weit weg oder ist die Quelle eine ebene<br />
Fläche, so wird von einer ebenen Welle gesprochen.<br />
Kugelwelle Ebene Welle<br />
Wellenfront (Wellenberge)<br />
Der räumliche Abstand zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen (z.B. Wellenberg – Wellenberg) wird als<br />
Wellenlänge λ bezeichnet. Der zeitliche Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen ist die Periodendauer<br />
T (Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz: T = 1/f).<br />
Zeitverlauf<br />
(an einem festen Ort s 0 )<br />
T λ<br />
s 0<br />
s 0 +Δs<br />
räumlicher Verlauf<br />
(zu einem feste Zeitpunkt t 0 )<br />
t s<br />
t 0<br />
t 0 +Δt
3 Wellen 22<br />
Eine Wellenfront breitet sich aus mit der Geschwindigkeit<br />
Wellengeschwindigkeit = Wellenlänge<br />
Periodendauer<br />
Die wichtigsten Wellenerscheinungen sind:<br />
c = �<br />
T<br />
= �⋅f<br />
Art Ausbreitung Medium typische Frequenz<br />
bzw. Wellenlänge<br />
Schall longitudinal an ein Medium gebunden,<br />
c = 330 m/s in Luft<br />
c = 1485 m/s in Wasser<br />
c = 5100 m/s in Stahl<br />
Oberflächenwellen transversal Grenzfläche zwischen 2 Medien,<br />
c steigt mit zunehmender<br />
Wellenlänge (Dispersion)<br />
Elektromagnetische<br />
Wellen<br />
3.1 Reflexion<br />
transversal nicht an eine Medium gebunden,<br />
c = 3∙10 8 m/s im Vakuum<br />
Beispiele<br />
20 Hz – 20 kHz hörbarer Schall<br />
> 20 kHz Ultraschall, Materialprüfung,<br />
Medizin<br />
1 mm bis 1 km Wasserwelle<br />
bis 1mm Kommunikation, Radar<br />
380 nm bis 760 nm sichtbares Licht<br />
0,01 nm bis 1 nm Röntgenstrahlung<br />
kleiner 0,01nm γ-Strahlung<br />
Treffen Wellen auf eine „harte“ Grenzfläche, so werden die Wellen vollständig reflektiert (z.B. Schall an einer<br />
Zimmerwand, Licht an einem Spiegel, Wasserwellen an einer Kaimauer). Der Winkel, unter dem die Welle eintrifft<br />
(gemessen gegen das Flächennormal = Lot auf Grenzfläche), ist gleich dem Winkel, unter dem die Welle reflektiert<br />
wird.<br />
Reflexionsgesetz:<br />
α 1 α 2<br />
Richtung der<br />
Wellenausbreitung<br />
Einfallswinkel = Ausfallswinkel � 1 = � 2<br />
3.2 Interferenz<br />
Reflexionsebene<br />
Wellenfront<br />
Überlagern sich zwei Wellen, so addieren sich die Amplituden der einzelnen Wellen (Superposition): Wellenberg<br />
und Wellental löschen sich gegenseitig aus, Wellenberge bzw. und Wellentäler verstärken sich. Das dabei entstehende<br />
Wellenmuster wird Interferenzmuster genannt. Insbesondere bei Wellen gleicher Wellenlänge und gleicher<br />
Amplitude, die gegeneinander laufen (z.B. hin- und rücklaufende Welle an einer reflektierenden<br />
Grenzfläche), kann dies zu stehenden Wellen führen. Bei einer stehenden Welle bleiben die Wellenberg an einem<br />
festen Ort, ändern aber periodisch ihre Amplitude. Es bilden sich Schwingungsbäuche und Schwingungsknoten.
3 Wellen 23<br />
3.3 Brechung<br />
stehende Welle<br />
hin rück<br />
reflektierende Fläche<br />
Eine Wellen, die aus einem Medium in eine anderes Medium mit veränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit gelangt,<br />
ändert ihre Ausbreitungsrichtung, d.h. sie wird gebrochen. Der Austrittswinkel α2 wird kleiner (größer) als<br />
der Eintrittswinkel α1, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium kleiner (größer) ist, als im ersten<br />
Medium.<br />
Es gilt das Brechungsgesetz:<br />
sin�� 1 �<br />
sin �� 2 � = c 1<br />
c 2<br />
dichteres Medium<br />
α 1<br />
α 2<br />
c 1<br />
c 2<br />
Richtung der<br />
Wellenausbreitung<br />
Wellenfront<br />
(Anm.: Für α1 = 0 gilt natürlich auch α2 = 0, unabhängig von dem Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten)<br />
3.4 Beugung<br />
An einem Gitter, dessen Spalten den Abstand d haben und dessen Spaltenbreite klein gegenüber der Wellenlänge λ<br />
ist, werden Wellen gebeugt. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass der Spaltabstand größer als die Wellenlänge ist.<br />
Die einfallende Welle wird in Teilwellen aufgefächert, die gegenüber der Flächennormalen den Winkel αz einnehmen.<br />
Beugungseffekte treten auch an einem einfachen Spalt (z.B. an der Öffnung eines optischen Instruments) oder an<br />
einer Kante auf.
3 Wellen 24<br />
Richtung der<br />
Wellenausbreitung<br />
λ<br />
Gitter<br />
d<br />
Mit der Ordnungszahl z können diese Winkel angegeben werden:<br />
sin �� z � = z⋅ �<br />
d<br />
mit : z = ...,−1,0,1,2 ,...<br />
α z<br />
Wellenfront<br />
(Anm.: Für die Ordnungszahl muss gelten: |z| < d/λ, d.h. je nach Spaltenabstand bzw. Wellenlänge existieren unterschiedlich<br />
viele Beugungslinien)
4 Optik 25<br />
4 Optik<br />
Das Phänomen „Licht“ kann durch zwei Modelle erklärt werden, wobei jedes dieser Modelle bestimmte Effekte<br />
erklären kann, aber bei anderen Effekten versagt. So können Interferenzerscheinungen, Brechung, Beugung und<br />
Reflexion sehr gut durch das Wellenmodell begründet werden. Dieses Modell beschreibt Licht als eine elektromagnetische<br />
Welle, in der zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder miteinander wechselwirken. Tritt<br />
Licht jedoch mit Materie in Wechselwirkung, so gibt es Phänomene, die durch das Wellenmodell nicht erklärt werden<br />
können. Ein Beispiele dafür ist der Photoeffekt (= Herauslösen von Elektronen aus einer Metallplatte durch<br />
Licht), der eine Teilchencharakteristik des Lichtes erkennen lässt (Photon = Lichtteilchen). So tritt der Photoeffekt<br />
nur bei bestimmten Frequenzen auf, die Intensität des Lichtes spielt nur bei der Häufigkeit des Auftretens eine<br />
Rolle.<br />
Dieses Nebeneinander verschiedener Erklärungsansätze (Welle-Teilchen-Dualismus) erscheint dann nicht mehr<br />
widersprüchlich, wenn man ein „Teilchen“ als Wellenpaket fester Frequenz darstellt. Erst wenn die Frequenzen eines<br />
Wellenpaketes mit der Resonanzfrequenz der atomaren Strukturen übereinstimmt, treten Wechselwirkungen<br />
auf.<br />
Eine eingehende Behandlung dieses Zusammenhanges ist im Rahmen dieser Vorlesung allerdings unmöglich, wir<br />
beschränken uns auf die Annahmen, dass Licht sowohl<br />
• eine elektromagnetische Welle<br />
• eine Photonenstrahlung<br />
sein kann, eben je nach Anwendungsbereich.<br />
Lichtelektrische Effekte, die auf die Teilchencharakteristik des Lichtes zurückzuführen sind, werden in Kapitel<br />
Fehler: Referenz nicht gefunden behandelt. In diesem Kapitel geht es um die Wellenoptik.<br />
Betrachtet man Licht als Welle, können alle Erkenntnisse aus der oben behandelten Wellentheorie (Reflexion, Interferenz,<br />
Beugung und Brechung) übernommen werden.<br />
Beschränkt man sich weiter auf makroskopische Vorgänge (atomare Strukturen werden nicht betrachtet) und berücksichtigt<br />
die Tatsache, dass sich Licht geradlinig ausbreitet, kann die Wellenausbreitung durch Strahlengänge<br />
dargestellt werden (Strahlenoptik, geometrische Optik). Unter diesem Aspekt werden Reflexion und Brechung<br />
sowie verschiedene Anwendungen (Linse, Prisma, Lichtwellenleiter) betrachtet.<br />
4.1 Reflexion und Brechung<br />
Das Reflexionsgesetz kann, ebenso wie das Brechungsgesetz, direkt aus der Wellentheorie übernommen werden<br />
(siehe Kapitel 3.1 und 3.3). Mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c (Nach Einstein ist c die maximal mögliche<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit für Energie) ist eine von Wellenlänge und Material unabhängige Konstante gegeben.<br />
Durch Einführung der Brechzahl n, mit:<br />
n = c<br />
c m<br />
c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c m : Lichtgeschwindigkeit im Material<br />
entfällt das umständliche Rechnen mit der Lichtgeschwindigkeit und das Brechungsgesetz vereinfacht sich zu:<br />
sin�� 1 �<br />
sin �� 2 � = n 2<br />
n 1<br />
Die Brechzahl ist eine material- und wellenlängenabhängige Konstante, hierzu einige Beispiele:<br />
Material Brechungsindex<br />
Luft (Normaldruck) 1,000272<br />
Wasser 1,33<br />
Glas ~1,5<br />
(Die Tabelle gilt für λ = 589 nm, T = 20°C. Optische Gläser haben z.T. höhere Brechungsindizes)<br />
4.1.1 Totalreflexion<br />
Das Brechungsgesetz beschreibt, wie ein Lichtstrahl beim Übergang von einem Medium in das andere Medium<br />
gebrochen wird. Ein Strahl, der aus einem optisch dichteren Medium n1 in ein dünneres Medium n2 < n1 tritt, wird<br />
so gebrochen, dass der Ausfallswinkel α2 größer als der Einfallswinkel α1 wird. Der Grenzfall wird erreicht, wenn
4 Optik 26<br />
der Ausfallswinkel 90° beträgt, der Lichtstrahl kann das dünnere Medium nicht mehr verlassen und wird<br />
vollständig reflektiert.<br />
n 2<br />
n 1<br />
(2)<br />
(3)<br />
(1)<br />
α 1,grenz<br />
Der Grenzwinkel der Totalreflexion ergibt sich aus dem Brechungsgesetz:<br />
sin�� 1, grenz � = n 2<br />
n 1<br />
⋅ sin �90 °� = n 2<br />
n 1<br />
Anwendung findet dieser Effekt vor allem in Lichtwellenleitern, deren Kern aus einer optisch dünnen und deren<br />
Mantel aus einer optisch dichten Glasfaser aufgebaut ist (siehe Kapitel Fehler: Referenz nicht gefunden).<br />
4.2 Linse<br />
Eine Linse ist ein Glaskörper mit kugelförmigen Oberflächen. Ein Lichtstrahl wird einmal beim Übergang in den<br />
Glaskörper und ein weiteres Mal beim Austritt aus dem Glaskörper gebrochen. Eine Sammellinse bündelt parallel<br />
einfallendes Licht in ihrem Brennpunkt, dessen Abstand von der Hauptebene als Brennweite f bezeichnet wird.<br />
Die Oberfläche einer Sammellinse ist konkav, also nach außen gewölbt. Die Brennweite ist ein Kennwert der Linse,<br />
sie hängt ab vom Brechungsindex des Glases und den Krümmungsradien, die auf beiden Seiten der Linse<br />
durchaus unterschiedlich sein können. Eine Streulinse fächert parallel einfallendes Licht auf, sie hat eine negative<br />
Brennweite (f < 0). Es gibt auch Mischformen, bei denen die Eigenschaft (Streuung oder Fokussierung) davon abhängt,<br />
ob die stärker gekrümmte Oberfläche nach innen oder nach außen weist.<br />
Die Abbildung eines Gegenstandes G durch eine Sammellinse kann dadurch konstruiert werden, dass ausgehend<br />
vom Gegenstand verschiedene Strahlengänge eingezeichnet werden (siehe Abbildung):<br />
(1): Ein paralleler Lichtstrahl schneidet den Brennpunkt auf der Bildseite<br />
(2): Ein Lichtstrahl, der die Linse parallel verlässt, durchläuft den Brennpunkt der Gegenstandsseite<br />
(3): Lichtstrahlen durch den Mittelpunkt werden nicht gebrochen<br />
Am Schnittpunkt der Strahlengänge im Bildraum entsteht ein scharfes Bild. Die Konstruktion der Strahlengänge<br />
bei einer Streulinse ist etwas schwieriger, da die Brennpunkte „vertauscht“ sind und die Strahlengänge<br />
„rückwärts“ verlängert werden müssen.<br />
Sammellinse Streulinse<br />
G<br />
Hauptebene<br />
g b<br />
(1)<br />
f<br />
(2)<br />
f<br />
(3)<br />
(3)<br />
B<br />
: Brennpunkt<br />
(3)<br />
(1)<br />
(2)<br />
G<br />
g<br />
(1)<br />
-f<br />
-b<br />
B<br />
(virtuell)<br />
(3)<br />
-f<br />
(3)<br />
(2)
4 Optik 27<br />
Der Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f wird durch die Abbildungsgleichung<br />
beschrieben:<br />
1<br />
g<br />
� 1<br />
b<br />
= 1<br />
f<br />
Sammellinse:<br />
Streulinse:<br />
f � 0<br />
f � 0<br />
reales Bild:<br />
virtuelles Bild:<br />
b � 0<br />
b � 0<br />
Das Verhältnis zwischen Bildgröße B und Gegenstandsgröße G ist der Abbildungsmaßstab β. Es gilt:<br />
Abbildungsmaßstab = Bildgröße<br />
Gegenstandgröße<br />
� = B<br />
G<br />
Diese Beziehungen gelten sowohl für Sammel- als auch für Streulinsen. Je nach Brennweite und Gegenstandsweite<br />
kann die Bildweite aber auch negativ werden (b < 0). In diesem Falle handelt es sich um ein virtuelles Bild, das<br />
nicht auf eine Scheibe projiziert werden kann. Das virtuelle Bild ist etwas schwieriger zu verstehen: Verlängert<br />
man die durch die Linse gehenden Strahlen rückwärts, treffen sich diese im Bildpunkt B. Ein Beobachter auf der<br />
Bildseite kann nicht unterscheiden, ob die Lichtstrahlen durch die Linse abgelenkt wurden, oder ob sich in B ein<br />
Gegenstand befindet. In beiden Fällen entstehen auf der Bildseite identische Strahlengänge.<br />
4.2.1 Auflösungsvermögen optischer Instrumente<br />
Durch Kombination mehrerer Linsen zu einem System (Fernrohr, Mikroskop) lassen sich sehr große Auflösungen<br />
erzielen. Jedes optische Instrument hat aber eine Öffnung (Blende, Durchmesser d), an der Beugung auftritt, die<br />
das Abbild unscharf machen. Der Winkel δ, unter dem -trotz Beugung- zwei Punkte noch unterscheidbar sind,<br />
kann abgeschätzt werden mit:<br />
Auflösungsvermögen: � = 1,22 �<br />
d<br />
Mit einem Mikroskop lassen sich zwei Punkte gerade noch auflösen, deren Abstand in der Größenordnung der<br />
Wellenlänge liegt. Gleiches gilt auch für die Belichtung (z.B. Chip-Herstellung).<br />
4.3 Prisma<br />
Die Brechzahl eines Materials ist auch von der Wellenlänge des Lichtes abhängig. Dies wird bei einem Prisma<br />
ausgenutzt, um Licht in seine Spektralfarben zu zerlegen: Mit zunehmender Wellenlänge wird die Brechung größer,<br />
s.d. der Austrittswinkel von der Wellenlänge abhängt.<br />
weiß<br />
Prisma<br />
violett<br />
= b<br />
g<br />
rot<br />
Schirm<br />
Prismen werden u.a. in Spektrometer zur Analyse unbekannter Substanzen eingesetzt. Werden diese durch Verdampfen<br />
oder Erhitzen zur Lichtemission (= Lichtaussendung) angeregt, senden die Moleküle charakteristische<br />
Spektren (Farbanteile) aus, die dann durch ein Prisma aufgefächert und bestimmt werden können. Die aufgenommen<br />
Spektren erlauben dann Rückschlüsse auf die Materialzusammensetzung.
5 Elektrotechnische Grundlagen 28<br />
5 Elektrotechnische Grundlagen<br />
5.1 Gleichstromkreis<br />
Beobachtung: Verbindet man die Pole einer Batterie (= Spannungsquelle) mittels zweier Drähte (= metallischer<br />
Leiter) mit den Kontakten einer Lampe (= Verbraucher), so „fließt Strom“ und die Lampe leuchtet. Sobald aber<br />
an irgendeiner Stelle der Kontakt unterbrochen wird, erlischt die Lampe.<br />
Offensichtlich wird durch den Leiter etwas transportiert, das die Lampe zum Leuchten bringt. Weiterhin muss es<br />
auch eine „Rücktransport“ geben, da an der Lampe nichts „angehäuft“ wird.<br />
Durch den Leiter fließen Elektronen, das sind kleinste Massenteilchen, die zudem eine besondere Eigenschaft besitzen:<br />
Elektronen stoßen sich untereinander ab, sie besitzen eine Ladung. Elektronen sind als Elementarteilchen,<br />
neben den ebenfalls geladenen Atomkernen, Grundbestandteil der Materie. Elektronen (negative Ladung) und<br />
Atomkerne (positive Ladung) ziehen sich gegenseitig an, gleichnamige Ladungen stoßen sich gegenseitig ab. Sind<br />
in einem Körper überschüssige Elektronen vorhanden, so ist dieser Körper negativ („-“) geladen und er hat die Ladung<br />
Q < 0. Ein Körper, in dem Elektronenmangel herrscht, ist dementsprechend positiv („+“) geladen (Ladung Q<br />
> 0). In einer Batterie tragen chemische Prozesse dazu bei, Ladungen zu trennen, s.d. der Elektronenüberschuss am<br />
Minuspol und der Elektronenmangel am Pluspol aufrecht erhalten wird. Weitere Mechanismen, die zur Ladungstrennung<br />
führen, sind Reibung (z.B. Gewitter, Wolle/Kunststoff) und die magnetische Kraftwirkung auf Ladungen<br />
(z.B. Generator).<br />
Die Ladung eines Elektrons (= Elementarladung) beträgt<br />
q e =−1,602⋅10 −19 C �Coulomb�<br />
(Anm.: Die Tatsache, das der Elektronenladung ein negativer Wert zugeordnet wird, ist auf einen historischen Irrtum<br />
zurückzuführen. Die Festlegung des Vorzeichens der Elektronenladung erfolgte aber im Prinzip willkürlich.)<br />
Zwischen Ladungen herrschen elektrische Kräfte, die in Richtung eines Ladungsausgleichs orientiert sind. Werden<br />
diese Körper beispielsweise durch einen elektrischen Leiter miteinander verbunden, in dem sich Elektronen<br />
(= Ladungsträger) bewegen können, so fließt ein Strom.<br />
Die Ladung, die in einer bestimmten Zeit den Leitungsquerschnitt passiert, wird bezeichnet als<br />
Stromstärke:<br />
Stromstärke = Ladung<br />
Zeit<br />
I = dQ<br />
dt<br />
[I ] = A � Ampere�<br />
Die Stromstärke ist eine Basiseinheit (vergl. SI-Einheitensystem, Kapitel 1.5.1), die -anders als zu erwarten wäre-<br />
nicht durch die Ladung pro Zeit definiert wird, sondern durch die magnetische Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen<br />
Leitern:<br />
Definition:<br />
Das Ampere ist die Stärke eines elektrischen Stroms durch zwei parallele Leiter, die einen<br />
Abstand von 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom hervorgerufene<br />
Anziehungskraft je 1 m Leitungslänge 2∙10 −7 N beträgt.
5 Elektrotechnische Grundlagen 29<br />
1 m<br />
1 m<br />
F = 2∙10 -7 N<br />
Die technische Stromrichtung ist -ebenfalls willkürlich- festgelegt als die Bewegungsrichtung positiver Ladungen.<br />
Elektrische Ströme basieren aber im allgemeinen auf der Bewegung der Elektronen (negative Ladung), s.d.<br />
die technische Stromrichtung der tatsächlichen Elektronenbewegung entgegengesetzt ist. Dieser Zusammenhang<br />
ist zunächst verwirrend, aber nur zum Verständnis physikalischer Vorgänge relevant. Auf schaltungstechnischer<br />
Ebene wird nur mit der technischen Stromrichtung gearbeitet, in welche Richtung sich die Elektronen bewegen ist<br />
dann bedeutungslos.<br />
Die Einheit der Ladung kann nun aus den Basiseinheiten der Stromstärke und der Zeit abgeleitet werden:<br />
[Q] = C = A⋅s<br />
Bisher wurde gezeigt, dass ein Strom I einen Ladungsunterschied ausgleicht. Da sich ungleichnamige Ladungen<br />
anziehen, muss zunächst die Arbeit W aufgewendet werden, um die Ladungen zu trennen. Die dazu notwendige<br />
Energie pro Ladung wird als Spannung bezeichnet:<br />
Definition:<br />
Spannung =<br />
Elektrische Energie<br />
Ladung<br />
U = dW<br />
dQ<br />
[U ] = Nm<br />
As<br />
1A<br />
1A<br />
= V �Volt �<br />
Fließt ein Strom I = dQ/dt, so wird die Energie wieder in eine andere Form (z.B. Licht oder Wärme) umgewandelt.<br />
Das Produkt aus Spannung und Strom ist:<br />
U = dW<br />
dQ<br />
und I = dQ<br />
dt<br />
Man erhält also die elektrische Leistung:<br />
⇒ U⋅I = dW<br />
dQ ⋅dQ<br />
dt<br />
= dW<br />
dt<br />
Elektrische Leistung = Spannung⋅Stromstärke P = U⋅I [ P] = Nm Nm<br />
⋅A =<br />
As s<br />
= W �Watt �<br />
Der Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das Modell „Wasserkreislauf“ verständlich:<br />
Pumpe<br />
Fluss<br />
Druck<br />
Verbraucher<br />
Spannungs<br />
-quelle<br />
Strom<br />
Spannung<br />
Verbraucher
5 Elektrotechnische Grundlagen 30<br />
5.1.1 Ohm'sches Gesetz<br />
Damit ein Stromfluss zustande kommt, benötigt man nicht nur eine Spannungsquelle (also Elektronenüberschuss<br />
an dem einen Pol, Elektronenmangel an dem anderen Pol), sondern auch ein Medium, in dem sich die Ladungsträger<br />
bewegen können. Je nach verwendetem Material wird der Ladungsträgerstrom mehr oder weniger stark behindert,<br />
s.d. der fließende Strom bei gleicher Spannung unterschiedlich stark ausfällt. Metalle (insbesondere Silber<br />
und Kupfer) sind gute Leiter, die nur einen sehr geringen Widerstand haben. Andere Materialien (z.B. Glas, viele<br />
Kunststoffe oder trockene Luft) lassen keinen Ladungsträgerstrom zu, sie sind Nichtleiter (Isolatoren). Dazwischen<br />
gibt es verschiedene Leitermaterialien mit unterschiedlichsten Widerstandswerten.<br />
Bei vielen Leitern ist die Stromstärke I proportional zur angelegten Spannung U. Das Verhältnis aus Stromstärke<br />
und Spannung wird als elektrischer Widerstand R bezeichnet.<br />
Es gilt das Ohm'sche Gesetz:<br />
Widerstand = Spannung<br />
Stromstärke<br />
U<br />
R = U<br />
I<br />
ΔI<br />
[ R] = V<br />
A<br />
ΔU<br />
I<br />
= � �Ohm�<br />
Also: An einem Widerstand ist das Verhältnis zwischen Spannung und Strom konstant!<br />
Der elektrische Widerstand R eines einfachen, zylinderförmigen Bauteils kann aus der Materialeigenschaft (spezifischer<br />
Widerstand ρ), dem geometrischen Querschnitt A und der Länge L des betrachteten Leiters berechnet werden:<br />
R = �⋅L<br />
A<br />
Der Kehrwert des Widerstands ist der Leitwert:<br />
Leitwert =<br />
1<br />
Widerstand<br />
5.1.2 Elektrische Schaltkreise<br />
G = 1<br />
R<br />
[G] = 1<br />
�<br />
= S �Siemens �<br />
Aus Spannungsquellen, Leitern und Verbrauchern lassen sich nun elektrische Schaltkreise (Netzwerke) aufbauen.<br />
Dazu wird die Anordnung und Verbindung der Bauteile in einem schematischen Schaltplan dargestellt, in dem die<br />
Komponenten durch einfache Symbole dargestellt und durch Linien (= Leiter) verbunden werden. In einem solchen<br />
Schaltplan werden nur die elektrischen Eigenschaften der Bauteile berücksichtigt und weitestgehend idealisiert:
5 Elektrotechnische Grundlagen 31<br />
Komponente Schaltsymbol Wert Bemerkung<br />
Spannungsquelle<br />
Stromquelle<br />
Verbraucher<br />
= U<br />
= I<br />
R<br />
R<br />
Spannung U Unabhängig von I<br />
Stromstärke I Unabhängig von U<br />
Ohm'scher Widerstand R Es gilt das Ohm'sches Gesetz<br />
Potentiometer Veränderlicher Widerstand,<br />
Spannungsteiler<br />
Leiter Kreuzen sich zwei Leiter, wird ggf.<br />
eine elektrische Verbindung durch<br />
einen Punkt dargestellt.<br />
Schalter Öffnet oder schließt einen Leiter<br />
Voltmeter<br />
Amperemeter<br />
5.1.2.1 Ideale Spannungsquelle<br />
V<br />
A<br />
gemessene Spannung U Stromlose Messung<br />
gemessene Stromstärke I Spannungslose Messung<br />
Eine ideale Spannungsquelle erzeugt eine konstante Spannung U0, die unabhängig von der Stromstärke ist. Zusammen<br />
mit einem Widerstand lässt sich damit ein einfacher Stromkreis aufbauen:<br />
I<br />
= U 0 R<br />
Der Strom durch den Widerstand kann mit dem Ohm'schen Gesetz berechnet werden:<br />
mit : R = 100� und U 0 = 5 V ⇒ I = U 0<br />
R<br />
= 5V<br />
100�<br />
= 0,05 A<br />
Eine ideale Spannungsquelle darf nicht kurzgeschlossen oder mit einer anderen Spannungsquelle parallel geschaltet<br />
werden, da dann ein unendlich großer Strom fließen würde.
5 Elektrotechnische Grundlagen 32<br />
5.1.2.2 Ideale Stromquelle<br />
Die ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom I0, der von der Spannung unabhängig ist:<br />
= I U<br />
0 R<br />
Die am Widerstand abfallende Spannung ergibt sich wieder aus dem Ohm'schen Gesetz:<br />
mit : R = 100� und I 0 = 0,05 A ⇒ U = R⋅I 0 = 100�⋅0,05 A = 5V<br />
Eine ideale Stromquelle darf nicht im Leerlauf (offene Klemmen) oder in Reihe mit einer anderen Stromquelle betrieben<br />
werden, da ansonsten die Spannung an der Quelle unendlich groß wird.<br />
5.1.2.3 Reihenschaltung<br />
Werden zwei (oder mehrere) Widerstände hintereinander geschaltet, so entsteht eine Reihenschaltung (auch:<br />
Serienschaltung):<br />
= U 0<br />
Beide Widerstände werden von dem gleiche Strom I durchflossen, die Spannung U0 teilt sich auf beide Widerstände<br />
auf:<br />
U 1 = R 1 ⋅I und U 2 = R 2 ⋅I ⇒ U 0 = U 1 � U 2 = �R 1 � R 2 �⋅I<br />
Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist also:<br />
Gesamtwiderstand = Summe aller Reihenwiderstände R ges = R 1 � R 2 � ...<br />
An einem der Widerstände fällt also die Spannung<br />
U 1 = R 1⋅I = R 1⋅ U 0<br />
R ges<br />
=<br />
R 1<br />
R 1 � R 2<br />
⋅U 0<br />
⇒<br />
I<br />
U 1<br />
U 0<br />
U 1<br />
U 2<br />
=<br />
R 1<br />
R 1 � R 2<br />
ab. Die Gesamtspannung U0 wird also entsprechen den Widerstandsverhältnissen aufgeteilt, daher wird die Schaltung<br />
auch als Spannungsteiler bezeichnet.<br />
5.1.2.4 Parallelschaltung<br />
Widerstände können auch in einer Parallelschaltung angeordnet werden:<br />
I<br />
I 1<br />
= U 0 R1<br />
I 2<br />
R 1<br />
R 2<br />
R 2
5 Elektrotechnische Grundlagen 33<br />
Durch jeden der Widerstände fließt ein Strom, der zum Gesamtstrom addiert werden muss:<br />
I 1 = 1<br />
⋅U 0 und I 2 =<br />
R 1<br />
1<br />
⋅U 0 ⇒ I = I 1 � I 2 = �<br />
R 2<br />
1<br />
R1 Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist also:<br />
Gesamtleitwert = Summe über alle Parallelleitwerte G ges = 1<br />
R ges<br />
5.1.2.5 Reale Spannungsquelle<br />
� 1<br />
�⋅U 0<br />
R 2<br />
= 1<br />
R 1<br />
� 1<br />
R 2<br />
Bisher wurde von einer idealen Spannungsquelle ausgegangen, bei der die Spannung unabhängig von der Stromstärke<br />
ist. Diese Annahme ist jedoch i.A. unzureichend. Man beobachtet vielmehr, dass die Spannung mit zunehmender<br />
Stromstärke abnimmt. Eine reale Spannungsquelle kann mit den bereits bekannten Bauteilen modelliert<br />
werden: Eine ideale Spannungsquelle wird mit einem Widerstand (Innenwiderstand Ri) in Reihe geschaltet. Die<br />
Ausgangsspannung U ist jetzt vom Strom I abhängig.<br />
Der Strom IK, der bei Kurzschluss der Ausgangsklemmen fließt (U = 0), wird als Kurzschlussstrom bezeichnet.<br />
reale Spannungsquelle<br />
R i<br />
= U 0<br />
5.1.2.6 Reale Stromquelle<br />
I<br />
U<br />
R L<br />
U 0<br />
U<br />
ideale Spannungsquelle<br />
reale Spannungsquelle<br />
� ...<br />
U �I � = U 0 − R i ⋅I<br />
Eine reale Stromquelle erhält man durch Parallelschaltung des Innenwiderstandes zur idealen Stromquelle. Der<br />
Ausgangsstrom I ist jetzt von der Spannung U abhängig.<br />
Die Spannung UL, die bei offenen Klemmen vorhanden ist (I = 0), wird als Leerlaufspannung bezeichnet.<br />
reale Stromquelle<br />
=<br />
I 0<br />
R i<br />
I<br />
U<br />
R L<br />
I<br />
ideale Stromquelle<br />
reale Stromquelle<br />
Eine reale Spannungsquelle kann in eine reale Stromquelle umgewandelt werden und umgekehrt:<br />
Spannungsquelle ⇒ Stromquelle: I 0 = I K = U 0<br />
R i<br />
Stromquelle ⇒ Spannungsquelle: U 0 = U L = R i ⋅I 0<br />
Der Innenwiderstand Ri bleibt dabei unverändert.<br />
I 0<br />
I K<br />
I �U � = I 0 − 1<br />
⋅U<br />
Ri U L<br />
I<br />
U
5 Elektrotechnische Grundlagen 34<br />
5.1.3 Kirchhoff'sche Sätze<br />
Die Kirchhoff'schen Sätze wurden oben bereits angewendet, aber noch nicht formuliert. Dies wird jetzt nachgeholt.<br />
5.1.3.1 1. Kirchhoff'sche Satz (Knotensatz)<br />
Strom ist ein Ladungstransport, wobei Ladungen nicht angehäuft oder abgezogen werden können (Ladungserhaltung).<br />
Da die Summe der Ladungen in einem abgeschlossenen Bereich konstant ist, muss die Summe der hineinfließenden<br />
Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme sein. Dieser Zusammenhang gilt insbesondere auch<br />
für die Knoten eines Netzwerkes. Kennzeichnet man alle Ströme durch Zählpfeile und zählt zufließende Ströme<br />
positiv und wegfließende Ströme negativ, so gilt:<br />
Knotensatz:<br />
Die Summe aller Ströme an einem Knoten (zufließende Ströme<br />
sind positiv, abfließende Ströme sind negativ zu zählen) ist gleich null.<br />
∑ i<br />
±I i = 0<br />
5.1.3.2 2. Kirchhoff'sche Satz (Maschensatz)<br />
Die Spannung wurde definiert als die Energie, die beim Transport einer Ladung umgewandelt wird. Nach dem<br />
Energieerhaltungssatz ist es unerheblich, auf welchem Weg die Ladung dabei transportiert wird. Wird eine Probeladung<br />
(gedanklich) entlang eines beliebigen Leitungspfades verschoben und endet dieser Pfad wieder am Ausgangspunkt<br />
(geschlossener Pfad = Masche), so ist die Summe der aufgewendeten Energie (Transport gegensinnig<br />
zur Spannung) gleich der zurückgewonnen Energie (Transport gleichsinnig der Spannung). Kennzeichnet man die<br />
entlang eines Pfades auftretenden Spannungen mit Zählpfeilen und zählt die Spannungen im Umlaufsinn positiv<br />
bzw. die Spannungen gegen den Umlaufsinn negativ, so gilt:<br />
Maschensatz:<br />
Die Summe aller Spannungen eines Maschenumlaufs (gleichsinnige Spannungen<br />
sind positiv, ungleichsinnige Spannungen sind negativ zu zählen) ist gleich null.<br />
∑ i<br />
±U i = 0<br />
Beispiele zur Knoten- und Maschenregel:<br />
I 2<br />
∑ i<br />
I 1<br />
I 3<br />
I 5<br />
Knoten<br />
I i = 0 ⇒ I 1�I 2−I 3�I 4−I 5 = 0<br />
5.1.4 Analyse elektrischer Netzwerke<br />
I 4<br />
∑ i<br />
U 1<br />
=<br />
U 2<br />
Masche<br />
U 4<br />
U 3<br />
U i = 0 ⇒ −U 1�U 2�U 3−U 4 = 0<br />
Zur Analyse, aber auch zum Design elektrischer Netzwerke ist es notwendig, Ströme und Spannungen berechnen<br />
zu können. Mit den Kirchhoff'schen Sätzen können die entsprechenden Gleichungen aufgestellt und die gesuchten<br />
Größen gefunden werden. Voraussetzung für das Aufstellen der Gleichungen ist die Angabe der Zählpfeile. Diese
5 Elektrotechnische Grundlagen 35<br />
können im Prinzip beliebig gewählt werden, es muss aber gelten:<br />
Zählpfeile für I und U am Verbraucher müssen gleichsinnig, und an den Quellen (Erzeuger) gegensinnig sein.<br />
Verbraucherzählpfeilsystem<br />
I<br />
R<br />
U<br />
I<br />
=<br />
Erzeugerzählpfeilsystem<br />
U 0<br />
I 0<br />
= U<br />
Wurde ein Zählpfeil anders gewählt als der tatsächliche Strom, dann wird der Zahlenwert negativ (und man weiß<br />
dann, dass der Strom/die Spannung entgegen der ursprünglichen Annahme orientiert ist). Das Aufstellen der Gleichungen<br />
gelingt bei einfachen Schaltungen meist intuitiv, komplexere Netzwerke erfordern aber ein systematisches<br />
Vorgehen. Dazu werden im Folgenden das Maschenstromverfahren und die Ersatzstrom- bzw. Ersatzspannungsquelle<br />
vorgestellt.<br />
5.1.4.1 Maschenstromverfahren<br />
Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Maschenstromverfahrens ist ein Netzwerk, das durch Widerstandswerte<br />
und Spannungsquellen beschrieben ist. Enthält das Netzwerk Stromquellen, so müssen diese in Spannungsquellen<br />
umgerechnet werden. Das Netzwerk besteht dann aus n unabhängigen Maschen. Das Maschenstromverfahren beruht<br />
auf den Ansatz, dass in diesen n Maschen n unabhängige Maschenströme fließen. In den Zweigen, die zu<br />
mehreren Maschen gehört, überlagern sich diese Maschenströme und ergeben in Summe den Zweigstrom. Die n-1<br />
unabhängigen Maschenströme werden durch ein lineares Gleichungssystem berechnet. Das Vorgehen im Einzelnen:<br />
1. Stromquellen in Spannungsquellen umrechnen (U0 = Ri ·I0)<br />
2. Zählpfeile für Spannungen und Ströme angeben und benennen.<br />
Dazu muss man nicht wissen, in welche Richtung der Strom tatsächlich fließt. Falls das Ergebnis negativ ist, weiß<br />
man, dass der Strom entgegen der angenommenen Richtung orientiert ist.<br />
3. Für jede Masche einen Umlaufsinn und einen Namen angeben.<br />
4. Für jede der n Maschen wird jetzt der Maschensatz angewendet und eine Gleichung aufgestellt.<br />
Dazu werden alle Spannungen entlang des Maschenumlaufs unter Berücksichtigung des Vorzeichens addiert.<br />
Falls eine Spannung entgegen dem Umlaufsinn der Masche orientiert ist, wird diese Spannung negativ gezählt,<br />
ansonsten positiv. Die Spannung an einem Widerstand wird aus dem Ohm'schen Gesetz berechnet, wobei der<br />
Strom als Summe der beteiligten Maschenströme anzusetzen ist. Das Vorzeichen der einzelnen Maschenströme<br />
richtet sich wieder nach dem Umlaufsinn der entsprechenden Masche.<br />
5. Die n Maschen ergeben n unabhängige Gleichungen, die mit den bekannten mathematischen Verfahren gelöst werden<br />
können.<br />
6. Ggf. können jetzt die Zweigströme aus den Maschenströmen berechnet werden.<br />
Diese Vorgehen wird nun an einem Beispiel erläutert:<br />
R b<br />
= I0 R = a U R R c c<br />
b<br />
R a = 500�<br />
R b = 500�<br />
R c = 1k�<br />
I 0 = 40mA<br />
U b = 5 V
5 Elektrotechnische Grundlagen 36<br />
1. Schritt:<br />
Die Stromquelle I0 wird in die Spannungsquelle Ua = Ra∙ I0 umgerechnet. Der zur Stromquelle parallele<br />
Widerstand Ra wird zur Spannungsquelle in Reihe geschaltet.<br />
2. Schritt:<br />
Für die unbekannten Ströme Ia, Ib und Ic werden Zählpfeile und Namen vergeben.<br />
3. Schritt:<br />
Die Maschen I und II werden identifiziert und mit einem Umlaufsinn versehen.<br />
Und hier das modifizierte Schaltbild:<br />
= U a<br />
R a<br />
I a<br />
I c<br />
I b<br />
R b<br />
R c<br />
I II<br />
= U b<br />
R a = 500�<br />
R b = 500�<br />
R c = 1k�<br />
U a = 20V<br />
U b = 5 V<br />
4. Schritt:<br />
Dieser Schritt ist der entscheidende: Aus den Maschenumläufen ergeben sich die folgenden beiden Gleichungen.<br />
Der Strom durch Rc setzt sich zusammen aus dem Maschenstrom II und III: Ic = II - III<br />
Masche I : −U a � R a ⋅I I � R c ⋅�I I � I II � = 0<br />
Masche II : − U b � R b⋅I II � R c⋅�I II � I I� = 0<br />
Diese Gleichungen werden so umgeformt, dass links die Spannungen stehen:<br />
Masche I : U a = �R a � R c �⋅I I � R c ⋅I II<br />
Masche II : U b = �R c⋅I I � �R b � R c�⋅I II<br />
Diese Gleichungen können auch in Matrizenschreibweise formuliert werden:<br />
� U a<br />
U b� = � �Ra � Rc� R c<br />
R c<br />
�R b � Rc�� ⋅ � I I bzw.<br />
I II� � 20<br />
5 � V = � 1,5<br />
1,0<br />
1,0<br />
1,5� k � ⋅ � I I<br />
I II�<br />
6. Schritt:<br />
Mit entsprechenden mathematischen Verfahren kann das Gleichungssystem jetzt gelöst werden. Hier das<br />
Ergebnis:<br />
I I = �R b � R c �⋅U a − R c ⋅U b<br />
R a⋅R b � R a⋅R c � R b⋅R c<br />
I II = �R a � R c �⋅U b − R c ⋅U a<br />
R a⋅R b � R a⋅R c � R b⋅R c<br />
= 1,5⋅20 − 1,0⋅5<br />
= 1,5⋅5 − 1,0⋅20<br />
mA = 20mA<br />
�2,25 − 1�<br />
mA = −10mA<br />
�2,25 − 1 �<br />
7. Schritt:<br />
Die Zweigströme ergeben sich (endlich!) aus der Überlagerung der Maschenströme:<br />
I a = �I I<br />
I b = �I II<br />
I c = �I I � I II<br />
= �20mA<br />
= −10mA<br />
= �10mA<br />
(Anm.: Der Strom Ib ist < 0. Dies bedeutet, dass er tatsächlich anders herum fließt als es der Zählpfeil angibt.)
5 Elektrotechnische Grundlagen 37<br />
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass alternativ das Knotenpotentialverfahren angewendet werden kann.<br />
Bei diesem Verfahren müssen zunächst alle Spannungsquellen in Stromquellen, alle Widerstandswerte in Leitwerte<br />
überführt werden. Während beim Maschenstromverfahren der Maschensatz verwendet wird, kommt beim Knotenpotentialverfahren<br />
der Knotensatz zur Anwendung. Und an die Stelle der Maschenströme treten die Spannungsdifferenzen<br />
zwischen den unabhängigen Knoten und einem als Bezugspunkt gewählten Knoten.<br />
5.1.4.2 Ersatzspannungs- oder Stromquelle<br />
Die vollständige Analyse eines Netzwerkes (z.B. durch das Maschenstromverfahren) erfordert einen nicht unerheblichen<br />
Rechenaufwand. Oft werden aber nur Ströme oder Spannungen in einzelnen Zweigen des Netzwerkes<br />
gesucht, die mit einer vereinfachten Methode schneller gefunden werden können.<br />
Die Methoden Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle beruhen darauf, das gesamte übrige Netzwerk als<br />
„Black-Box“ darzustellen, die sich wie eine reale Spannungsquelle oder eine reale Stromquelle verhält. Das „übrige“<br />
Netzwerk wird also durch eine Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle dargestellt, s.d. Strom und Spannung<br />
im interessierenden Zweig leicht berechnet werden können.<br />
Die Umwandlung des Netzwerkes in eine Ersatzquelle erfolgt schrittweise, indem gleichartige Bauteile zusammengefasst<br />
werden. Die Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen bzw. Leitwerten wurde bereits oben (Kapitel<br />
5.1.2.3 und 5.1.2.4) behandelt. Auch Ideale Strom- bzw. Spannungsquellen lassen sich unter Beachtung der Vorzeichen<br />
zusammenfassen. Liegt eine reale Spannungs- bzw. Stromquelle parallel zu einem Widerstand oder einer<br />
anderen Quelle, müssen die Quellen ebenfalls geeignet umgewandelt werden.<br />
Ein Übersicht über die Zusammenfassung der Schaltungselemente gibt folgende Tabelle:<br />
Schaltungslemente Reihenschaltung Parallelschaltung<br />
Widerstände Ri R ges = R 1 � R 2 � ...<br />
1<br />
R ges<br />
= 1<br />
R 1<br />
� 1<br />
R 2<br />
� ...<br />
Ideale Stromquellen Ii nicht erlaubt I ges = ± I 1 ± I 2 ± ...<br />
Ideale Spannungsquellen Ui U ges = ± U 1 ± U 2 ± ... nicht erlaubt<br />
Die Methode der Ersatzspannungs/stromquelle wird nun an einem Beispiel vorgestellt. Als Beispiel dient die bereits<br />
oben benutzte Schaltung (siehe Kapitel 5.1.4.1). Gesucht ist der Strom Ic durch den Widerstand Rc:<br />
R b<br />
= I 0 R a = U b<br />
R c R c<br />
I c = ?<br />
R a = 500�<br />
R b = 500�<br />
R c = 1k�<br />
I 0 = 40mA<br />
U b = 5 V<br />
Zunächst wird das Netzwerk so dargestellt, dass der betroffene Widerstand und das übrige Netzwerk getrennt sind.<br />
Das übrige Netzwerk ist dann die Black-Box, die durch eine Ersatzquelle beschrieben werden soll:
5 Elektrotechnische Grundlagen 38<br />
I c<br />
R c R c<br />
U c<br />
= I 0 R a<br />
R b<br />
= U b<br />
Jetzt wird die aus Ub und Rb bestehende reale Spannungsquelle in eine Stromquelle umgewandelt:<br />
= I R R c c 0 Ra = I Ic Uc b Rb I b = 1<br />
⋅U b<br />
R b<br />
= 10mA<br />
Anschließend werden die parallelen Stromquellen I0 und Ib sowie die parallelen Widerstände Ra und Rb zusammengefasst:<br />
I c<br />
R c R c<br />
U c<br />
= I 2<br />
R 2<br />
1<br />
R 2<br />
= 1<br />
R a<br />
� 1<br />
R b<br />
=<br />
250 �<br />
I 2 = I 0 � I b = 50mA<br />
Zum Schluss kann die Ersatzstromquelle noch in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt werden:<br />
1
5 Elektrotechnische Grundlagen 39<br />
I c<br />
R c R c<br />
U c<br />
R 2<br />
= U 2<br />
Strom und Spannung am Widerstand Rc können jetzt leicht berechnet werden:<br />
I c =<br />
U 2<br />
R 2 � R c<br />
= 10mA und U c =<br />
5.1.5 Strom- und Spannungsmessung<br />
R c<br />
⋅U 2 = 10V<br />
R 2 � Rc U 2 = R 2 ⋅I 2 = 12,5V<br />
Die Stromstärke wird mit einem Amperemeter gemessen, das in den Stromkreis geschaltet wird. Der Zweig, dessen<br />
Strom gemessen werden soll, muss dazu unterbrochen werden. Allerdings hat jedes Amperemeter einen Innenwiderstand<br />
RiA der möglichst gering sein sollte (RiA > RL).<br />
= I 0<br />
R L<br />
U mess<br />
Voltmeter<br />
R iV<br />
V<br />
U mess =<br />
1<br />
R iV<br />
I 0<br />
� 1<br />
R L<br />
≈ R L⋅I 0
5 Elektrotechnische Grundlagen 40<br />
5.1.6 Potentiometer<br />
Ein Potentiometer ist ein verstellbarer Widerstand. Er besitzt einen Abgriff, mit dem der Widerstand in zwei Teilwiderstände<br />
Ra = x·R und Rb = (1-x)·R geteilt werden kann. Da Ra und Rb in Reihe geschaltet sind, kann mit einem<br />
Potentiometer ein verstellbarer Spannungsteiler realisiert werden.<br />
= U 0<br />
1-x<br />
x<br />
R<br />
Potentiometer<br />
Ohne Belastung durch den Lastwiderstand RL ist die Ausgangsspannung UL proportional der Verstellung:<br />
U L=<br />
x⋅R<br />
�1−x�⋅R � x⋅R ⋅U 0 = x⋅R<br />
R ⋅U 0 = x⋅U 0<br />
Wird an den Abgriff jedoch ein Strom entnommen, so ist die Ausgangsspannung auch vom Laststrom IL abhängig:<br />
U L = x⋅U 0 − x�1−x� R⋅I L<br />
5.1.7 Brückenschaltung<br />
Brückenschaltungen werden zur Messung von Widerständen Rx bzw. von Widerstandsänderungen ΔRx eingesetzt.<br />
Sie bestehen aus vier Widerständen, die paarweise einen Spannungsteiler bilden. Der Brückenzweig wird dann<br />
spannungs/stromlos, wenn beide Spannungsteiler das gleicher Verhältnis bilden.<br />
=<br />
U 0<br />
R x = ?<br />
R a<br />
V<br />
U mess<br />
R 1<br />
R 2<br />
U L<br />
I L<br />
R L<br />
Brückenschaltung<br />
Die Brückenspannung Umess wird also dann zu null, wenn die Abgleichbedingung<br />
R x = R 1<br />
⋅Ra R 2<br />
erfüllt ist. Damit kann der unbekannte Widerstand Rx aus dem bekannten Widerstand Ra und dem Verhältnis R1/R2<br />
berechnet werden. Verwendet man anstelle der Widerstände R1 und R2 einen Spannungsteile (Potentiometer), so<br />
kann der Widerstand direkt an der Stellung des Abgriffs abgelesen werden. Mit Ra lässt sich dabei der Messbereich<br />
einstellen. Da es sich um eine Vergleichsmessung handelt, kann der Widerstand ohne absolute Messung von Strom<br />
oder Spannung bestimmt werden, es wird lediglich ein Anzeigeinstrument benötigt, mit dem Umess = 0 nachgewiesen<br />
werden kann.<br />
Ein weitere Anwendungsbereich der Brückenschaltung ist eine Messbrücke, mit der kleine Widerstandsänderungen<br />
gemessen werden können. Wenn der spezielle Widerstand Rx von einer physikalischen Größe abhängig ist<br />
(z.B. Temperatur, Kraft, Licht etc.), kann so die physikalische Größe sehr genau gemessen werden. Ein Abgleich<br />
der Messbrücke ist leicht möglich, wenn die Widerstände R1 und R2 durch ein Potentiometer ersetzt werden. Au-
5 Elektrotechnische Grundlagen 41<br />
ßerdem lassen sich unerwünschte Temperaturabhängigkeiten durch Verwendung eines Widerstandes Ra kompensieren,<br />
der die gleiche Temperaturabhängigkeit hat wie der Messwiderstand Rx.<br />
Die Spannung Umess ist:<br />
U mess�R x� = −�<br />
R x<br />
R a � R x<br />
−<br />
R1 R1 � R � 2 ⋅U 0<br />
Im abgeglichenen Zustand ist Umess(Rx,0) = 0. Eine kleine Änderung des Widerstandes um ΔRx führt zu einer<br />
Brückenspannung<br />
Rx ,0�� R x<br />
R1 U mess�R �� R x ,0 x� = −�<br />
−<br />
Ra � R x ,0�� R R x 1 � R � 2 ⋅U 0 ≈ U mess�R Ra � − x ,0<br />
�Ra � R x ,0� 2 ⋅U 0⋅�R x<br />
Die gemessene Spannung ist also (für kleine Widerstandsänderungen) proportional zur Änderung:<br />
U mess�� R x� = − R a ⋅U 0<br />
�R a�R x ,0 � 2 ⋅ �R x<br />
Ist auch der Zusammenhang zwischen der Widerstandsänderung und der zu messenden physikalischen Größe bekannt,<br />
so kann mit der gemessenen Spannung Umess die physikalische Größe bestimmt werden.<br />
5.1.8 Elektrische Leistung<br />
Die elektrische Leistung wurde bereits im Kapitel 5.1 angegeben:<br />
P = U⋅I<br />
Mit dem Ohm'schen Gesetz kann nun die Leistung, die an einem Widerstand (Verbraucher) umgewandelt wird, berechnet<br />
werden:<br />
P = U⋅I = R⋅I 2 = 1 2<br />
⋅U<br />
R<br />
Ein Lastwiderstand RL wird nun mit einer reale Spannungsquelle verbunden:<br />
R i<br />
= U 0<br />
Die an dem Lastwiderstand abfallende Spannung kann leicht berechnet werden (Spannungsteiler):<br />
U =<br />
R L<br />
R i � R L<br />
⋅U 0<br />
Die umgewandelte Leistung ist dann<br />
P L = 1<br />
⋅U<br />
R L<br />
2 =<br />
R L<br />
�R i � R L� 2⋅U 2<br />
0<br />
Die in PL umgesetzte Leistung wird dann maximal, wenn<br />
U<br />
I<br />
R L
5 Elektrotechnische Grundlagen 42<br />
⇒<br />
dP L<br />
dR L<br />
R L = R i<br />
= 0 also:<br />
1<br />
�Ri � R L� 2 � R L⋅ −2<br />
3 = 0<br />
�R i � R L� Die Bedingung RL = Ri wird Leistungsanpassung genannt. Sie ist besonders in der Nachrichtentechnik wichtig, da<br />
bei der Leistungsanpassung das Signal/Rausch-Verhältnis am größten ist und Störsignale dann den geringsten Einfluss<br />
haben.
5 Elektrotechnische Grundlagen 43<br />
5.2 Elektrische Felder<br />
5.2.1 Ladung und elektrische Feldstärke<br />
Der Begriff „Ladung“ wurde bereits in Kapitel 5.1 als elementare Eigenschaft der Materie eingeführt. Es wurde<br />
gezeigt, dass sich negative Ladungen (Elektronen) und positive Ladungen (Atomkerne) gegenseitig anziehen,<br />
gleichnamige Ladungen jedoch abzustoßen.<br />
Q 2<br />
r<br />
F Coulomb<br />
Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Ladungen Q1 und Q2 wird als Coulombkraft bezeichnet und vom Abstand<br />
r der Ladungen bestimmt. Weiterhin hängt die Kraft von der Eigenschaft der Materie zwischen den Ladungen<br />
ab, die durch die Dielektrizitätskonstante ε = ε0εr beschrieben wird:<br />
F Coulomb = − Q 1 ⋅Q 2<br />
4�� 0� r⋅r 2<br />
Üblicherweise wird die Dielektrizitätskonstante ε als Produkt der elektrischen Feldkonstanten ε0 und der relativen<br />
Dielektrizitätszahl εr für verschiedene Materialien angegeben. Die Kraftwirkung zwischen den Ladungen ist<br />
nicht notwendigerweise an Materie gebunden, sie wirkt auch auf große Entfernungen (Fernwirkungskraft). Zu jedem<br />
Punkt in der Umgebung einer beliebig verteilten Ladung kann ein Kraftvektor angegeben werden, der auf eine<br />
Probeladung q wirkt. Dividiert man die Kraft durch eben diese die Probeladung, so resultiert daraus ein von q unabhängiger<br />
Vektor, die elektrische Feldstärke:<br />
E = F Coulomb<br />
q<br />
Die elektrische Feldstärke ist ein ortsabhängiger Vektor, der allgemein den Zustand des Raumes (Feld) unter dem<br />
Einfluss einer oder mehrerer Ladungen beschreibt. Die räumlicher Verteilung der elektrischen Feldstärke wird grafisch<br />
durch Feldlinien repräsentiert. An jedem Punkt im Raum liegt der Vektor der elektrischen Feldstärke tangential<br />
an den Feldlinien. Liegen mehrere Ladungen vor, so überlagern sich die Feldstärken der einzelnen Ladungen.<br />
Die Feldlinien des elektrischen Feldes haben immer einen Anfangs- und einen Endpunkt (Quelle und Senke), das<br />
elektrische Feld wird daher als Quellenfeld bezeichnet (Falls nur eine Ladung betrachtet wird, „enden“ die Feldlinien<br />
im Unendlichen). Im Gegensatz dazu ist das magnetische Feld ein so genanntes Wirbelfeld, bei dem die<br />
Feldlinien einen geschlossen Umlauf bilden (Siehe Kapitel 5.3.1). Weiterhin gilt, dass sich Feldlinien nicht überschneiden<br />
dürfen (Grund: an einem Schnittpunkt würde dann das Feld durch zwei verschiedene Feldstärkevektoren<br />
beschrieben werden, das ist aber unsinnig).<br />
Feldlinien zwischen<br />
Ladungen<br />
+<br />
ungleichnamige Ladungen (Dipol)<br />
-<br />
Q 1<br />
+ -<br />
Punktladung<br />
+ +<br />
gleichnamige Ladungen
5 Elektrotechnische Grundlagen 44<br />
5.2.2 Elektrisches Potential<br />
Beim Transport einer Ladung q durch ein elektrisches Feld wird Energie aufgewendet oder freigesetzt, je nach<br />
dem ob die Ladung entgegen oder mit der Richtung der Feldstärke bewegt wird. Wird dagegen die Ladung senkrecht<br />
zu den Feldlinien transportiert, wird dabei keine Energie umgesetzt. Die Flächen in einem elektrischen Feld,<br />
auf denen eine Probeladung ohne Energieumsatz transportiert werden kann, werden Äquipotentialflächen genannt.<br />
Das elektrische Potential φ bezeichnet nun die potentielle Energie, die die Ladung q auf einer solchen<br />
Äquipotentialfläche besitzt. Die Potentialdifferenz ist dann die notwendige Energie, um eine Ladung q zwischen<br />
zwei Äquipotentialflächen zu transportieren, sie entspricht der Definition der Spannung:<br />
� = W pot<br />
q<br />
⇒ �� = � 2−� 1 = W pot ,2 −W pot ,1<br />
q<br />
= U 2,1<br />
Die Spannung ist also immer eine Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.<br />
φ 1<br />
φ 2<br />
+Q<br />
φ 3<br />
-Q<br />
Feldlinien<br />
Äquipotential<br />
-flächen<br />
In einem homogenen elektrischen Feld liegen die Äquipotentialebenen parallel. Die Spannung U zwischen zwei<br />
Punkten mit dem Abstand d ist:<br />
U = W<br />
q<br />
= F⋅d<br />
q<br />
= q⋅E⋅d<br />
q<br />
= E⋅d<br />
Die elektrische Feldstärke in einem homogenen Feld ist also:<br />
elektrische Feldstärke : E = U<br />
d<br />
5.2.3 Verschiebungsdichte<br />
[ E] = V<br />
m<br />
Die Feldstärke ist, wie bereits oben gesehen, von der Ladungsverteilung und den Materialeigenschaften im Zwischenraum<br />
abhängig. Als materialunabhängige Feldgröße wird nun die elektrische Verschiebungsdichte definiert:<br />
D = � 0� r⋅E<br />
Konstruiert man eine Hüllfläche um eine beliebige Ladung Q, so durchdringen die elektrischen Feldlinien diese<br />
Hüllfläche. Die elektrische Verschiebungsdichte D ist nun gleich der Ladung Q im Inneren der Hüllfläche bezogen<br />
auf die Flächengröße A der Umhüllung:<br />
elektrische Verschiebungsdichte : D = Q<br />
A<br />
[ D] = As<br />
m 2<br />
(Anm.: Im Allgemeinen wird die Verschiebungsdichte durch das Flächenintegral über die Hüllfläche definiert. Beschränkt<br />
man sich auf symmetrische Ladungsverteilungen, so kann die Definition wie oben vereinfacht werden.)
5 Elektrotechnische Grundlagen 45<br />
Beispiel Punktladung:<br />
5.2.4 Kondensator<br />
+Q<br />
A Hülle = 4�⋅r 2<br />
Hüllfläche<br />
D<br />
⇒ D = Q<br />
4�⋅r 2<br />
Eine typische Anordnung mit „verteilten“ Ladungen ist der Kondensator. Er besteht aus zwei parallelen Platten,<br />
deren Zwischenraum mit einem Nichtleiter (z.B. Luft, Papier, Keramik) gefüllt ist. Wird ein solcher Kondensator<br />
geladen (eine Platte erhält die Ladung Q, die andere Platte die Ladung -Q), so entsteht im Inneren ein homogenes<br />
Feld (= an jeder Stelle des Innenraumes herrscht die gleiche Feldstärke, die Feldlinien verlaufen parallel und im<br />
gleichen Abstand).<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
+Q -Q<br />
Kondensator<br />
platte<br />
Die Spannung U an den Klemmen eines Kondensators mit der Plattenfläche A und dem Plattenabstand d, der auf<br />
die Ladung Q aufgeladen wurde, beträgt:<br />
U = E⋅d = D⋅d<br />
� 0� r<br />
=<br />
d<br />
� 0� r⋅A ⋅Q<br />
(Anm.: Als Hüllfläche wird hier die wirksame Kondensatorfläche verwendet, da außerhalb des Kondensators das Feld<br />
näherungsweise vernachlässigt werden kann.)<br />
Die geometrischen Abmessungen und das Füllmaterial (Dielektrikum) eines Kondensators sind i.d.R. konstant,<br />
die entsprechenden Faktoren werden in der Kapazität C zusammengefasst:<br />
Kapazität : C = Q<br />
U<br />
Plattenkondensator : C = � 0� r⋅A<br />
d<br />
[C ] = A⋅s<br />
V<br />
= F �Farad �<br />
Die Spannung an einem Kondensator ändert sich genau dann, wenn die Ladung durch einen Stromfluss verändert<br />
wird. Die zeitliche Ableitung der Kondensatorspannung ergibt:<br />
du�t �<br />
dt<br />
= 1<br />
C ⋅dQ<br />
dt<br />
1<br />
= ⋅i �t �<br />
C<br />
Der Strom eines Kondensators führt also zu einer Spannungsänderung:<br />
i �t � = C ⋅ du�t�<br />
dt<br />
⇔ u�t � = 1<br />
C ⋅∫ t<br />
i �� �d � � u �0�<br />
0<br />
In einem elektrischen Schaltbild wird ein Kondensator durch zwei parallele Striche symbolisiert:<br />
C
5 Elektrotechnische Grundlagen 46<br />
5.3 Magnetische Felder<br />
Stromdurchflossene Leiter erzeugen ein Magnetfeld, in welchem andere stromdurchflossene Leiter eine Kraftwirkung<br />
erfahren. Dieser Zusammenhang basiert auf der magnetischen Wechselwirkung bewegter Ladung und wurde<br />
bereits zur Definition der Einheit der Stromstärke (Ampere, siehe Kap. 5.1) verwendet.<br />
5.3.1 Magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke<br />
Die Kraft zwischen zwei parallelen stromführenden Leitern ist allgemein:<br />
F magn = � 0� r<br />
2�r ⋅I 1 ⋅I 2 ⋅l<br />
Die für die magnetische Kraft ursächliche Ladungsbewegung wird durch die Ströme I1 und I2 ausgedrückt.<br />
I 1<br />
F magn<br />
Analog zur Herleitung der elektrischen Feldstärke kann man sich I1 als felderzeugenden Strom und I2 als Strom<br />
durch einen Probeleiter der Länge l vorstellen.<br />
Das magnetische Feld, welches durch I1 hervorgerufen wird, wird durch die magnetische Flussdichte beschrieben:<br />
magnetische Flussdichte : B = F magn<br />
I 2⋅l<br />
= � 0� r<br />
2� r ⋅I 1<br />
B<br />
l<br />
I 2<br />
[ B] = Vs<br />
= T �Tesla�<br />
2<br />
m<br />
Die so genannte Permeabilität µ = µ0∙µr setzt sich dabei aus der magnetischen Feldkonstanten µ0 und der materialabhängigen<br />
relativen Permeabilitätszahl µ0. (Anm.: Der Wert der Permeabilität beträgt µ0 = 4π∙10 -7 Vs/Am<br />
= 1,257∙10 -6 Vs/Am, er ergibt sich aus der Definition der Einheit der Stromstärke)<br />
Die magnetische Kraft ist ebenfalls eine Fernwirkungskraft, die kein übertragenes Medium voraussetzt.<br />
Die Form des magnetischen Feldes unterscheidet sich aber prinzipiell von der Form des elektrischen Feldes: Die<br />
ruhenden Ladungen des elektrischen Feldes erzeugen Kräfte unabhängig von ihrer räumlichen Orientierung.<br />
Stromdurchflossene Leiter erfahren aber nur dann eine Kraftwirkung, wenn sie parallel angeordnet sind, senkrecht<br />
aufeinander stehende Ströme zeigen keine Wechselwirkung. Dies führt zu der Erkenntnis, dass die magnetischen<br />
Feldlinien den Leiter kreisförmig umschließen. Magnetische Feldlinien sind stets in sich geschlossen, haben also<br />
keinen Anfang bzw. Ende (Wirbelfeld). Die Orientierung des Feldes ist durch die „Rechte-Hand-Regel“ bestimmt:<br />
Wenn der gestreckte Daumen in Stromrichtung zeigt, zeigen die geschlossenen Finger in Flussrichtung.<br />
Die magnetische Flussdichte B ist u.a. von der Permeabilitätskonstanten µ des den Leiter umgebenen Raumes abhängig.<br />
Eine materialunabhängige Größe wird durch die magnetische Feldstärke definiert:<br />
magnetische Feldstärke : H = B<br />
� 0 � r<br />
[ H ] = A<br />
m<br />
Da die magnetische Feldstärke den Leiter kreisförmig umgibt, wird im Abstand r vom Leiter die magnetische Feldstärke<br />
H =<br />
beobachtet.<br />
1<br />
2�⋅r ⋅I
5 Elektrotechnische Grundlagen 47<br />
elektrisches Feld magnetisches Feld<br />
Feldursache ruhende Ladung Q1,<br />
elektrische Verschiebungsdichte:<br />
D = Q 1<br />
4�⋅r 2<br />
Feldwirkung elektrische Feldstärke:<br />
E = 1<br />
⋅D<br />
�0� r<br />
Kraftgesetz Kraft auf ruhende Ladung Q2:<br />
F = Q 2 ⋅E<br />
5.3.2 Bewegte Ladung im Magnetfeld<br />
bewegte Ladung, Strom I1,<br />
magnetische Feldstärke:<br />
H =<br />
I 1<br />
2�⋅r<br />
elektrische Feldstärke:<br />
B = � 0� r⋅H<br />
Kraft auf bewegte Ladung, Strom I2<br />
F = I 2 ⋅l⋅B<br />
Bisher wurde die Bewegung der Ladung durch einen Strom I = dQ/dt beschrieben. Befindet sich in einem Körper<br />
mit der Länge l die Ladung Q und wird dieser Körper mit der Geschwindigkeit v bewegt, so wird in der Zeit<br />
t = l<br />
v<br />
I = Q<br />
t<br />
die Ladung Q durch die Querschnittsfläche transportiert. Die entspricht dies einem Strom<br />
= Q<br />
l ⋅v<br />
Auf diesen Körper wirkt nun die so genannte Lorenzkraft:<br />
F magn = I⋅l ⋅ B = Q⋅v ⋅ B<br />
Q<br />
l<br />
Querschnittsfläche<br />
Die magnetische Kraft tritt nur dann auf, wenn sich die Ladungen senkrecht zum magnetischen Feld bewegen. Die<br />
Kraftrichtung steht dabei senkrecht auf der Bewegungsrichtung und senkrecht zum magnetischen Feld.<br />
Dieses Kraftgesetz gilt in dieser Form auch für einzelne Ladungen Q.<br />
Q<br />
B<br />
F<br />
v<br />
v<br />
Die Orientierung der Kraft ist<br />
durch die Rechte-Hand-Regel<br />
bestimmt, es entspricht:<br />
Daumen -> v<br />
Zeigefinger -> B<br />
und Mittelfinger -> F
5 Elektrotechnische Grundlagen 48<br />
5.3.3 Permanentmagnet<br />
Magnetische Kraftwirkungen sind auch von einem Permanentmagneten (z.B. Magnettafel, Kompass) bekannt.<br />
Auch hier ist die Ursache bewegte Ladung, allerdings auf atomarer Ebene: Elektronen umkreisen den Atomkern<br />
und drehen sich darüber hinaus um ihre eigene Achse (Spin), sie erzeugen dadurch ein magnetisches Feld (magnetischer<br />
Dipol). Die Orientierung der Dipole ist normalerweise statistisch verteilt, s.d. sich ihre Wirkungen makroskopisch<br />
aufheben. In einigen Materialien (z.B. Eisen und Nickel) existieren kristalline Strukturen, in denen sich<br />
die Dipole nach äußerer Einwirkung (externes Magnetfeld) dauerhaft ausrichten, es entsteht ein permanentes Magnetfeld.<br />
Anwendungsbereiche für die Informationstechnik sind magnetische Massenspeicher (Festplatte, Band),<br />
bei denen die Daten durch Ausrichtung kleiner Bereiche gespeichert werden.<br />
5.3.4 Induktion<br />
Ein magnetisches Feld übt eine Kraft auf bewegte Ladungen aus. Es ist dabei unerheblich, ob sich die Ladungsträger<br />
durch einen Leiter bewegen (Strom) oder der Leiter mit den darin enthaltenen Ladungsträger mechanisch bewegt<br />
wird. In beiden Fällen übt das Magnetfeld eine Kraft auf die Ladungsträger aus.<br />
U ind<br />
B<br />
Die mechanische Verschiebung des Leiters durch das Magnetfeld B bewirkt nun eine magnetische Kraft auf die<br />
Ladungsträger und damit eine Ladungstrennung. Das dadurch entstehende elektrische Feld wirkt einer weiteren<br />
Trennung entgegen, es entsteht ein Kräftegleichgewicht:<br />
F mag = Q⋅v⋅B und F Coulomb = Q⋅E ⇒ v⋅B = E<br />
Bei einer Leiterlänge l ist das elektrische Feld E als Spannung Uind an den äußeren Klemmen messbar. Diese Spannung<br />
wird als Induktionsspannung bezeichnet:<br />
U ind = l⋅v⋅B<br />
Die Induktionsspannung tritt an den Klemmen einer Leiterschleife auf, die von einem Magnetfeld durchsetzt wird.<br />
Der Flächenanteil A der Leiterschleife, der vom Magnetfeld durchsetzt wird, ändert sich dabei zeitlich mit<br />
dA<br />
dt<br />
= L⋅v<br />
Das Induktionsgesetz kann dahingehend verallgemeinert werden, dass die Induktionsspannung durch die Flächenänderung<br />
verursacht wird:<br />
U ind = B⋅ dA<br />
dt<br />
Für die Induktionsspannung speilt es allerdings keine Rolle, ob die Leiterschleife oder das Magnetfeld bewegt werden.<br />
Das Induktionsgesetz kann weiter verallgemeinert werden, da es nur auf eine Änderung des die Leiterschleife<br />
durchsetzenden Feldes ankommt. Mit dem senkrecht auf der Leiterschleife (Fläche A(t)) stehenden Feld B(t) gilt<br />
das Induktionsgesetz allgemein:<br />
U ind = d<br />
� B �t �⋅A�t ��<br />
dt<br />
v
5 Elektrotechnische Grundlagen 49<br />
Die Anwendungen der elektromagnetischen Induktion sind vielfältig:<br />
Anwendung Wirkung Bemerkung<br />
Motor Strom im Magnetfeld erzeugt Kraft<br />
Generator Mechanisch angetriebene Bewegung erzeugt Spannung<br />
Magnetfeld wird durch weitere Spule oder<br />
durch Permanentmagnet erzeugt<br />
Transformator Veränderliches Magnetfeld erzeugt Spannung Magnetfeld wird durch Wechselstrom<br />
erzeugt<br />
5.3.5 Spule<br />
Eine Spule ist ein (kreisförmig) aufgewickelter Leiter. Die durch den Stromfluss entstehende magnetische Feldstärke<br />
der einzelnen Leiterabschnitte überlagern sich derart, dass im Inneren ein homogenes Magnetfeld entsteht.<br />
Spule<br />
mit N<br />
Windungen<br />
Die Feldstärke im Inneren der Spule ist:<br />
H Spule = N<br />
l ⋅I<br />
I<br />
l<br />
H Spule<br />
Bisher wurde die Felderzeugung und die Feldwirkung getrennt betrachtet. Eine zeitliche Änderung des Stromes<br />
durch eine Spule bewirkt aber auch eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes:<br />
H �t� = N<br />
l ⋅i �t � ⇒ B �t � = �0 �r⋅ N<br />
l<br />
⋅ i �t �<br />
Gemäß dem Induktionsgesetz erzeugt aber eine zeitlich veränderliches Magnetfeld in jeder Windung ein Spannung,<br />
die sich zur Gesamtspannung u(t) an den Spulenklemmen aufaddieren:<br />
u �t � = N⋅ d<br />
dt � B �t �⋅A� = � 0 � r<br />
N 2<br />
l<br />
⋅A ⋅ di �t �<br />
dt<br />
Die konstanten Größen werden zur Induktivität zusammengefasst:<br />
Induktivität �lange Spule�: L = � 0 � r<br />
N 2<br />
l<br />
⋅A [L] = Vs<br />
A<br />
Eine Stromänderung induziert also die Spulenspannung:<br />
di �t �<br />
u�t � = L⋅<br />
dt<br />
⇔ i �t� = 1<br />
L ⋅∫ t<br />
u ���d � � i �0�<br />
0<br />
= H �Henry�<br />
In einem elektrischen Schaltbild wird eine Spule durch ein gefülltes Rechteck symbolisiert:<br />
L
5 Elektrotechnische Grundlagen 50<br />
5.4 Kondensator und Spule im Stromkreis<br />
In den vorangegangenen Kapiteln 5.2 und 5.3 wurden elektrische und magnetische Felder untersucht und ihre Wirkung<br />
in den elektrotechnischen Komponenten „Kondensator“ (= Kapazität C) und „Spule“ (= Induktivität L) dargestellt.<br />
Die Bedeutung dieser Bauteile liegt darin, dass Strom/Spannung an ihren Klemmen von der Spannungs-/Stromänderung<br />
abhängig sind. Mit dem ohmschen Widerstand, dem Kondensator und der Spule stehen nun<br />
3 elementare Komponenten zur Verfügung, mit denen das dynamische (= zeitliche) Verhalten komplexer Netzwerke<br />
modelliert werden kann. Einerseits können R, C und L im Schaltungsentwurf als Bauteile vorgesehen werden,<br />
um das gewünschte Verhalten der Schaltung zu erzielen (Beispiel: Filterung von Signalen oder Festlegung von<br />
Zeitkonstanten durch RC-Reihenschaltung), andererseits dienen sie in der Schaltungsanalyse als Ersatz für gegebene<br />
Komponenten (Beispiel: Modellierung einer Batterie, eines Motors oder einer Datenleitung durch U0, R, C<br />
und L, die in der Realität nicht als diskrete Bauteile vorhanden sind, aber das elektrische Verhalten an den Klemmen<br />
widerspiegeln). Dieses Kapitel behandelt Schaltungen, in denen genau ein Kondensator bzw. eine Spule vorhanden<br />
ist. Die Analyse von Schaltungen, in denen mehrere Kondensatoren und/oder Spulen vorkommen, ist nur<br />
mit Hilfe der Theorie der komplexen Zahlen angemessen, s.d. derartige Schaltungen her nicht weiter betrachtet<br />
werden.<br />
Zur Unterscheidung zwischen zeitlich konstanten und veränderlichen Größen werden letztere in Kleinbuchstaben<br />
notiert.<br />
Folgende Tabelle fasst die in den vorangegangenen Kapiteln behandelten Zusammenhänge zwischen Strom und<br />
Spannung zusammen:<br />
i<br />
u<br />
i = 1<br />
R ⋅u<br />
u = R⋅i<br />
5.4.1 Wechselspannung<br />
R<br />
i<br />
u<br />
i = C⋅ du<br />
dt<br />
u = 1<br />
C ⋅∫ t<br />
i ��� d � � u �0�<br />
0<br />
C<br />
i<br />
u<br />
i = 1<br />
L ⋅∫ t<br />
u���d � � i �0�<br />
0<br />
u = L⋅ di<br />
dt<br />
Zunächst wird untersucht, wie sich Kondensator und Spule in einem Wechselspannungsnetzwerk verhalten. Eine<br />
Wechselspannung ist dadurch charakterisiert, dass sich die Spannungen, und damit auch die Ströme, periodisch ändern.<br />
Spannungen und Ströme werden allgemein durch eine Cosinus-Funktion beschrieben:<br />
u �t � = �u⋅cos��t � � u�<br />
bzw. i �t � = �i⋅cos��t � � i�<br />
mit:<br />
Amplitude : �u bzw. �i<br />
Frequenz : � = 2� f<br />
Phase : � = 2��t/T<br />
i(t), u(t)<br />
Δt<br />
T = 1/f<br />
Amplitude<br />
Die Phase φ bezeichnet die relative Zeitverschiebung der Cosinus-Funktion bezogen auf die Periodendauer.<br />
t<br />
L
5 Elektrotechnische Grundlagen 51<br />
5.4.1.1 Kondensator<br />
Liegt an einem Kondensator eine Wechselspannung<br />
u�t � = �u⋅cos �� t �<br />
an, so fließt der Strom<br />
i �t � = C⋅ du<br />
dt<br />
= −�u⋅�C⋅sin��t � = �u⋅�C⋅cos �� t � �<br />
2 �<br />
Daraus lassen sich zwei Erkenntnisse ableiten:<br />
1. Der Strom ist gegenüber der Spannung um π/2 zeitlich verschoben (voreilend):<br />
i(t), u(t)<br />
2. Bezüglich der Amplituden von Strom und Spannung verhält sich der Kondensator wie ein frequenzabhängiger<br />
Widerstand:<br />
�i = �u⋅�C ⇒ �u = 1<br />
�C ⋅�i<br />
In einem Wechselspannungsnetzwerk verhält sich ein Kondensator wie ein<br />
kapazitiver Widerstand : X C = 1<br />
� C<br />
Bei Gleichspannung (Frequenz = 0) wird der Wechselstromwiderstand eines Kondensators unendlich groß (= offene<br />
Klemmen). Mit zunehmender Frequenz wird der Wechselspannungswiderstand eines Kondensators kleiner.<br />
5.4.1.2 Spule<br />
Ein Wechselstrom<br />
i �t � = �i⋅cos�� t �<br />
induziert in der Spule eine Spannung<br />
u�t � = L⋅ di<br />
dt = −�i⋅� L⋅sin��t � = �i⋅� L⋅cos ��t � �<br />
2 �<br />
1. Der Strom ist gegenüber der Spannung um π/2 zeitlich verschoben (nacheilend):<br />
i(t), u(t)<br />
2. Auch die Spule ist ein frequenzabhängiger Widerstand:<br />
induktiver Widerstand : X L = � L<br />
Bei Gleichstrom (Frequenz = 0) ist der Wechselstromwiderstand einer Spule gleich 0. Mit zunehmender Frequenz<br />
wird der Wechselspannungswiderstand einer Spule größer.<br />
i(t)<br />
u(t)<br />
u(t)<br />
i(t)<br />
t<br />
t
5 Elektrotechnische Grundlagen 52<br />
5.4.1.3 Reihenschaltung eines Wechselstromwiderstandes mit einem ohmschen Widerstand<br />
Ein kapazitiver bzw. induktiver Widerstand X (= Wechselstromwiderstand) wird nun mit einem ohmschen Widerstand<br />
R in Reihe geschaltet.<br />
i(t)<br />
R<br />
u (t) R<br />
u (t) 0<br />
X<br />
u X (t)<br />
Auch in einem Wechselstromnetzwerk gilt der Kirchhoff'sche Maschensatz, s.d. die Summe der Teilspannungen<br />
gleich der Gesamtspannung ist:<br />
u 0 �t� = u R �t� � u X �t �<br />
Es wird zunächst angenommen, dass durch die Widerstände der Strom i(t) fließt:<br />
i 0�t� = �i⋅cos ��t �<br />
Damit lassen sich die Teilspannungen berechnen:<br />
u R �t� = R⋅�i⋅cos�� t � = �u R⋅cos��t �<br />
und<br />
u X �t � = ± X⋅�i⋅sin ��t � = ±�u R⋅sin��t �<br />
Die Summe der Teilspannungen ist also:<br />
u 0�t� = �u R⋅cos ��t � ± �u X⋅sin ��t �<br />
u(t)<br />
u 0 (t)<br />
Die Amplituden der Teilspannungen dürfen also nicht addiert werden. Da die Teilspannungen um π/2 = 90° phasenverschoben<br />
sind, also gewissermaßen „senkrecht aufeinander stehen“, wird ein Ansatz verwendet, der aus der<br />
Trigonometrie (= Dreiecksberechnung) abgeleitet ist:<br />
�u R = �u 0⋅cos ���<br />
und<br />
�u X = �u 0⋅sin ���<br />
u X (t) u 0 (t)<br />
φ<br />
u R (t)<br />
u R (t)<br />
u x (t)<br />
Wird dieser Ansatz in die Maschengleichung eingesetzt, so lässt sich die Gesamtspannung berechnen:<br />
u 0�t� = �u 0⋅cos ���⋅cos �� t � � �u 0⋅sin ���⋅sin��t � = �u 0⋅cos��t ∓ ��<br />
Andererseits können mit obigem Ansatz auch die Quadrate der Amplituden der Teilspannungen addiert werden,<br />
die Summe ist das Quadrat der Gesamtspannung:<br />
t
5 Elektrotechnische Grundlagen 53<br />
2<br />
�u R<br />
2<br />
� �u X<br />
= � �u 0⋅cos ���� 2<br />
� � �u 0⋅sin ���� 2<br />
2<br />
= �u 0<br />
Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung aus genau einem ohmschen Widerstandes und einem Wechselstromwiderstand<br />
ist ein komplexer Widerstand (= Impedanz):<br />
Impedanz der Reihenschaltung : Z = � R 2 � X 2<br />
Auch die Spannungsteilerregel kann nun formuliert werden:<br />
�u R =<br />
R<br />
� R 2 � X 2 ⋅ �u 0 bzw. �u X =<br />
X<br />
� R 2 � X 2 ⋅ �u 0<br />
5.4.1.4 Parallelschaltung eines Wechselstromwiderstandes mit einem ohmschen Widerstand<br />
Die Parallelschaltung eines Wechselstromwiderstandes X mit einem ohmschen Widerstand lässt sich nun in ähnlicher<br />
Weise behandeln.<br />
i 0 (t)<br />
u 0 (t)<br />
R X<br />
u (t) R<br />
u X (t)<br />
Auch hier ist zu beachten, dass die Amplituden der Teilströme nicht direkt addiert werden dürfen. Die Amplitude<br />
des Gesamtstromes ist die Summe der Quadrate der Teilströme. Der komplexe Gesamtwiderstand (= Impedanz)<br />
der Parallelschaltung ist:<br />
Impedanz der Parallelschaltung : 1<br />
Z = � 1 1<br />
� 2<br />
R X 2<br />
5.4.2 Filter mit RC- und RL-Schaltungen<br />
Mit der Reihenschaltung eines Wechselstromwiderstandes und eines ohmschen Widerstandes lassen sich jetzt interessante<br />
Schaltungen aufbauen. Der Wechselstromwiderstand ist frequenzabhängig, s.d. die an ihm abfallende<br />
Spannung ebenfalls frequenzabhängig ist. Legt man eine Spannung uE als Eingangsspannung an die Reihenschaltung<br />
an und greift eine Teilspannung als Ausgangsspannung uA ab, so ist das Spannungsverhältnis uA/uE frequenzabhängig.<br />
Dies ist ein Filter!<br />
Die Eingangsspannung kann ein aus unterschiedlichen Frequenzen zusammengesetztes Signal sein (Beispiel:<br />
Überlagerung einer Gleichspannung mit einer Wechselspannung). Ein Tiefpass lässt nur die niederfrequenten Signalanteile<br />
durch (im Beispiel: Gleichspannung) und sperrt die hochfrequenten Signalanteile. Umgekehrt lässt ein<br />
Hochpass nur die hochfrequenten Signalanteile durch, die niederfrequenten Anteile (Beispiel: Gleichspannung)<br />
werden unterdrückt.<br />
(Anm.: In der folgenden Beschreibung von Tief- und Hochpassfiltern wird auf die Verwendung komplexer Zahlen verzichtet.<br />
Dadurch fehlt hier die Aussage über die Phasenverschiebung der Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung.)<br />
5.4.2.1 Tiefpass-Filter<br />
Die beiden folgenden Schaltungen sind Tiefpass-Filter (RC-Tiefpass bzw. RL-Tiefpass). Unter der Voraussetzung,<br />
dass am Eingang eine ideale Spannungsquelle angeschlossen und am Ausgang kein Strom entnommen wird, verhalten<br />
sich beide Schaltungen bezüglich der Spannungen identisch. Die Voraussetzungen können i.d.R. mit entsprechenden<br />
Vertstärkern erfüllt werden.<br />
Mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerregel wird das Verhältnis Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung<br />
uE berechnet:
5 Elektrotechnische Grundlagen 54<br />
�u A<br />
�u E<br />
=<br />
u E (t)<br />
R<br />
X C<br />
� R 2 � X 2<br />
C<br />
=<br />
C<br />
1<br />
� �� RC� 2 � 1<br />
u A (t)<br />
�u A<br />
�u E<br />
=<br />
L<br />
u (t) R u (t)<br />
E A<br />
R<br />
� R 2 � X 2<br />
L<br />
=<br />
1<br />
� �� L/ R� 2<br />
Nach einigen Umformungen ergibt sich für beide Schaltungen die gleiche Frequenzabhängigkeit des Spannungsteilerverhältnisses<br />
uA/uE. Dieses Verhältnis wird als Übertragungsfunktion G(ω) bezeichnet, sie wird durch die<br />
Zeitkonstante <strong>T1</strong> des Filters bestimmt. Die Frequenzabhängigkeit der Übertragungsfunktion wird in einem Diagramm<br />
dargestellt, dessen Achsen logarithmisch skaliert sind (= Bode-Diagramm). Im Durchlassbereich<br />
(ω < ωgrenz) ist die Übertragungsfunktion annähernd konstant, während sie im Sperrbereich (ω > ωgrenz) proportional<br />
zum Kehrwert der Frequenz abnimmt.<br />
G (ω) TP<br />
G TP ��� = �u A<br />
�u E<br />
=<br />
1<br />
� ��T 1 � 2 � 1<br />
mit : T 1 = RC oder T 1 = L<br />
R<br />
1,0<br />
0,7<br />
0,1<br />
0,01<br />
Durchlassbereich Sperrbereich<br />
G ~ 1/ω<br />
0,1 1,0 ωgrenz 10 100<br />
Als Grenzfrequenz ωgrenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der der Wechselstromwiderstand und der ohmsche<br />
Widerstand gleich sind. Das Spannungsverhältnis ist dann:<br />
X �� grenz � = R ⇒ � grenz ⋅T 1 = 1 ⇒<br />
�u A<br />
�u E<br />
=<br />
1<br />
� 1 2 � 1<br />
= 1<br />
� 2<br />
≈ 0,7<br />
Die Kreisfrequenz ω und die Schwingungsfrequenz f unterscheiden sich durch den Faktor 2π:<br />
� = 2�⋅f ⇒ f grenz = 1<br />
2� � grenz =<br />
5.4.2.2 Hochpass-Filter<br />
1<br />
2�⋅T 1<br />
Durch Vertauschen der Widerstände wird aus dem Tiefpass-Filter ein Hochpass-Filter (RC-Hochpass bzw. RL-<br />
Hochpass).<br />
Die Anwendung der Spannungsteilerregel führt nun zum Spannungsverhältnis uA/uE:<br />
�u A<br />
�u E<br />
=<br />
C<br />
u (t) R u (t)<br />
E A<br />
R<br />
� R 2 � X 2<br />
C<br />
=<br />
� RC<br />
� �� RC� 2<br />
� 1<br />
�u A<br />
�u E<br />
=<br />
R<br />
� 1<br />
u (t) L u (t)<br />
E A<br />
X L<br />
� R 2 � X 2<br />
L<br />
=<br />
� L/ R<br />
� �� L/ R� 2<br />
� 1<br />
ω
5 Elektrotechnische Grundlagen 55<br />
Die Übertragungsfunktion G(ω) zeigt einen Sperrbereich bis zur Grenzfrequenz ωgrenz, in dem das Spannungsverhältnis<br />
proportional zur Frequenz zunimmt. Bei größeren Frequenzen (ω > ωgrenz) ist das Übertragungsverhältnis<br />
annähernd konstant.<br />
G (ω)<br />
HP<br />
�T 1<br />
G HP��� = �u A<br />
�u E<br />
=<br />
� ��T 1� 2<br />
� 1<br />
mit : T 1 = RC oder T 1 = L<br />
R<br />
1,0<br />
0,7<br />
0,1<br />
0,01<br />
Sperrbereich Durchlassbereich<br />
G ~ 1/ω<br />
0,1 1,0 ωgrenz 10 100<br />
ω
5 Elektrotechnische Grundlagen 56<br />
5.4.3 Energie des elektrischen / magnetischen Feldes<br />
Zum Aufbau eines elektrischen oder magnetischen Felde wird Arbeit aufgewendet, die dann als Feldenergie gespeichert<br />
ist. Ein elektrisches Feld entsteht durch Trennung von Ladungen entgegen ihrer Anziehungskraft, die<br />
elektrische Feldenergie kann daher anschaulich mit der potentiellen Energie der Mechanik verglichen werden. Bewegte<br />
Ladungen erzeugen ein magnetisches Feld, die zur Beschleunigung notwendige Arbeit kann entsprechend<br />
mit der kinetische Energie der Mechanik verglichen werden). Beim Abbau des elektrischen bzw. magnetischen<br />
Feldes wird die gespeicherte Energie wieder an das Netz zurückgegeben und beispielsweise in Wärme umgewandelt.<br />
Bisher ist die elektrische Leistung P bekannt, die sich als Produkt aus Spannung und Stromstärke zusammensetzt:<br />
P�t� = u�t�⋅i �t �<br />
Da sowohl Spannung als auch Strom nicht notwendigerweise konstant sind, ist auch die Leistung zeitveränderlich.<br />
Die ursprüngliche Definition der Leistung stammt aus der Mechanik (siehe Kapitel 2.2.3), dort wurde die Leistung<br />
P definiert als Quotient aus Arbeit und Zeit:<br />
P�t� =<br />
dW �t �<br />
dt<br />
Um die von einem elektrischen System im Zeitintervall 0 bis T aufgenommene bzw. abgegebene Energie zu berechnen,<br />
wir die Leistung über dieses Zeitintervall integriert (= Summe). Wird zusätzlich der Anfangswert addiert,<br />
so ergibt sich die gesamte gespeicherte Energie:<br />
T<br />
W �T � = ∫ 0<br />
P �t �dt � W �0�<br />
Ein anfänglich ungeladener Kondensator wird jetzt so aufgeladen, dass die Spannung in der Zeit T von 0 auf den<br />
Wert U ansteigt. Die Spannung an diesem Kondensator ändert sich also zeitlich mit:<br />
u�t � = U⋅ t<br />
T<br />
u(t)<br />
U<br />
Der dazu notwendige Strom wird aus der Ableitung der Spannung berechnet, er ist konstant:<br />
du �t �<br />
i �t � = C⋅<br />
dt<br />
= C⋅U⋅1<br />
T<br />
Das Produkt aus Spannung und Stromstärke ergibt zu jedem Zeitpunkt die Momentanleistung:<br />
P�t� = U⋅ t<br />
T<br />
⋅ C⋅U⋅ 1<br />
T = C⋅U 2 t<br />
T 2<br />
Durch Integration wird daraus die Energie berechnet:<br />
T<br />
W �T � = ∫ 0<br />
C⋅U 2 t<br />
T 2 dt = C⋅U 2 1<br />
T 2⋅∫<br />
T<br />
0<br />
T<br />
t dt = 1 2<br />
⋅C⋅U<br />
2<br />
Die in einem Kondensator gespeicherte elektrische Energie ist also:<br />
W C = 1 2<br />
⋅C⋅U<br />
2<br />
Eine Spule speichert magnetische Energie, die aus Induktivität L und Stromstärke I berechnet werden kann:<br />
W L = 1 2<br />
⋅L⋅I<br />
2<br />
t
5 Elektrotechnische Grundlagen 57<br />
5.4.4 Schaltungen mit einem Energiespeicher, Ausgleichsvorgänge<br />
In einem Gleichstromnetzwerk sind Kapazitäten bzw. Spulen nicht relevant, da sie sich wie offene Klemmen<br />
(Kondensator: iC = C·duC/dt = 0) oder wie ein Kurzschluss (Spule: uL = L·diL/dt = 0) verhalten. Sie spielen erst<br />
dann eine Rolle, wenn Spannungs- bzw. Stromquellen zeitlich nicht konstant sind oder Schaltvorgänge stattfinden.<br />
Eine sprungförmige Änderung der Quellen, die auch durch Betätigung eines Schalters realisiert werden kann,<br />
verursacht Ausgleichsvorgänge, in denen sich neue Spannungen bzw. Ströme an Kondensator oder Spule einstellen.<br />
Die Analyse solcher Ausgleichsvorgänge in komplexen Netzwerken mit genau einem Energiespeicher (C oder<br />
L) kann wesentlich vereinfacht werden, in dem das gesamte übrige Netzwerk durch eine Ersatzspannungs- oder<br />
Ersatzstromquelle ersetzt wird (siehe Kapitel 5.1.4.2). Aufgrund der sprungförmigen Änderung (= Schaltvorgang),<br />
die typischerweise zum Zeitpunkt t = 0 stattfindet, „sieht“ der Energiespeicher vor und nach dem Sprung zwei unterschiedliche<br />
Netzwerke. Jedes dieser Netzwerke kann in eine Ersatzquelle umgewandelt werden: eine ist gültig<br />
für t≤0, die andere für t >0.<br />
Beispiel:<br />
R1 Ersatzquelle<br />
=<br />
U anfang<br />
i C = 0<br />
U anfang = U 1 ∙R 2 /(R 1 +R 2 )<br />
C<br />
u C<br />
t = 0<br />
C<br />
= U1 t ≤ 0 R2 t > 0<br />
Ersatzquelle<br />
=<br />
R i<br />
U ende<br />
i C<br />
C<br />
U ende = U 1 und R i = R 1<br />
Die Spannungen und Ströme am Kondensator können nun getrennt vor und nach dem Sprung mit einer Fallunterscheidung<br />
untersucht werden:<br />
1. Fall: t < 0<br />
Dies ist ein echter Gleichstromfall, da der Zustand seit „ewig“ besteht und alle Ausgleichsvorgänge abgeschlossen<br />
sind. Durch den Kondensator fließt kein Strom, s.d. auch am Widerstand keine Spannung abfallen<br />
kann. Die Kondensatorspannung ist also gleich der Quellenspannung:<br />
t�0: u C �t � = U anfang<br />
2. Fall: t > 0<br />
Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprungförmig ändern, dies hat nun den Ausgleichsvorgang<br />
zur Folge. Einerseits gilt für den Maschenumlauf:<br />
U ende = R⋅i c � u C<br />
und andererseits gilt am Kondensator:<br />
i C = C⋅ du C<br />
dt<br />
Zusammengesetzt ergibt sich daraus eine Differentialgleichung:<br />
U ende = RC⋅ du C<br />
dt � u C<br />
Es geht nun darum, eine Funktion uC(t) zu finden, die die Differentialgleichung erfüllt. Dazu wird ein Lösungsansatz<br />
mit folgenden Überlegungen aufgestellt:<br />
u C
5 Elektrotechnische Grundlagen 58<br />
– Eine sprungförmige Änderung der Kondensatorspannung ist nicht möglich, der Anfangswert der Kondensatorspannung<br />
Uanfang ist durch die Vergangenheit festgelegt, daher:<br />
u C �t =0 � = U anfang<br />
– Nach unendlicher Zeit ist der Ausgleichsvorgang abgeschlossen, der Strom wird für t→∞ beliebig klein<br />
und die Kondensatorspannung erreicht ihren Endwert Uende:<br />
u C �t �∞� = U ende<br />
– Die Kondensatorspannung passt sich immer näher an die Quellenspannung an, s.d. die Spannung am<br />
Widerstand R und damit der Ladestrom iC immer kleiner werden. Dies deutet auf einen exponentiellen<br />
Spannungsverlauf hin:<br />
u C �t � = U ende − �U ende − U anfang �⋅e −t<br />
T 1<br />
Dieser Ansatz wird nun geprüft, indem u(t) differenziert<br />
du C<br />
dt<br />
1<br />
= ⋅�U ende − U anfang �⋅e<br />
T 1<br />
−t<br />
T 1<br />
und in die Differentialgleichung eingesetzt wird:<br />
U ende = R C⋅� 1<br />
⋅�U ende − U anfang �⋅e<br />
T 1<br />
−t<br />
T 1� � U ende − �U ende − U anfang �⋅e−t<br />
T 1<br />
⇒<br />
U ende = U ende � � R⋅C<br />
T 1<br />
− 1� ⋅�U ende − U anfang �⋅e −t<br />
T 1<br />
Auf der rechten Seite steht ein zeitabhängiger Term, auf der linken Seite jedoch nicht. Der Lösungsansatz<br />
funktioniert also nur dann, wenn der zeitabhängige Term zu Null gemacht werden kann. Da die<br />
Zeitkonstante <strong>T1</strong> noch unbekannt ist, gelingt dies mit:<br />
� R⋅C<br />
<strong>T1</strong> − 1� = 0 ⇒ T 1 = R⋅C<br />
Damit ist die Lösung gefunden und der Ausgleichsvorgang an einem Kondensator ist vollständig beschrieben:<br />
t<br />
−<br />
T 1<br />
t≥0: uC�t � = U ende − �U ende − U anfang �⋅e<br />
Die Berechnung des Kondensatorstromes iC(t) macht nun keine größeren Probleme:<br />
t≥0: i C �t � = C⋅ du C<br />
dt<br />
t<br />
C<br />
−<br />
T 1<br />
1 = � U ende − U<br />
T<br />
anfang�⋅e =<br />
1<br />
R � U ende − U t<br />
−<br />
<strong>T1</strong> anfang�⋅e<br />
5.4.4.1 „Kochrezept“ zur Berechnung des Ausgleichvorganges<br />
Die am obigen Beispiel durchgeführte Herleitung des Ausgleichsvorganges nach Schaltvorgängen kann für beliebige<br />
Netzwerke mit einem Kondensator oder einer Spule (= Energiespeicher) verallgemeinert werden. Im Folgenden<br />
wird dazu ein allgemeiner Lösungsweg beschrieben.<br />
Zur Vorbereitung der Lösung wird das Netzwerk zunächst durch zwei Ersatzquellen (Spannungsquelle beim Kondensator,<br />
Stromquelle bei der Spule) ersetzt. Ggf. kann auf diese Vorbereitung verzichtet und etwas Rechenarbeit<br />
gespart werden, wenn der als „Alternative“ beschriebene Lösungsweg verwendet wird.<br />
Sollte vor dem betrachteten Schaltvorgang noch ein „alter“ Ausgleichsvorgang eine Rolle spielen, so ergeben sich<br />
die Anfangswerte aus der aktuellen Spannung bzw. dem aktuellen Strom an den Klemmen des Energiespeichers.
5 Elektrotechnische Grundlagen 59<br />
Beliebiges Netzwerk mit<br />
Schalter oder<br />
sprungförmiger Quelle<br />
Ersatzquelle<br />
=<br />
R 0<br />
t ≤ 0 t > 0<br />
R i,anfang<br />
U anfang<br />
i X<br />
X<br />
Verfahren zur Berechnung des Ausgleichvorganges:<br />
Schritt Kondensator C Spule L<br />
u X<br />
U 0<br />
i X<br />
X<br />
u X<br />
Ersatzquelle<br />
1. Ersatzquelle für t ≤ 0 auswerten: Anfangswert Uanfang bzw. Ianfang bestimmen<br />
=<br />
R i,ende<br />
U ende<br />
allgemein: Uanfang aus Ersatzspannungsquelle entnehmen Ianfang aus Ersatzstromquelle entnehmen<br />
Alternative: C entfernen,<br />
Ausgleichsvorgang:<br />
2. Ersatzquelle für t > 0 auswerten:<br />
Uanfang = Spannung an den Klemmen von C<br />
Uanfang = aktuelle Spannung des<br />
vorherigen Ausgleichsvorganges<br />
a) Endwert Uende bzw. Iende bestimmen<br />
i X<br />
X<br />
L durch Kurzschluss ersetzen,<br />
Ianfang = Strom durch Kurzschluss<br />
u X<br />
Ianfang = aktueller Strom des vorherigen<br />
Ausgleichsvorgang<br />
allgemein: Uende aus Ersatzspannungsquelle entnehmen Iende aus Ersatzstromquelle entnehmen<br />
Alternative: C entfernen,<br />
Uende = Spannung an den Klemmen von C<br />
b) Innenwiderstand Ri,ende bestimmen<br />
L durch Kurzschluss ersetzen,<br />
Iende = Strom durch Kurzschluss<br />
allgemein: Innenwiderstand Ri,ende aus Ersatzspannungs- bzw. Ersatzstromquelle entnehmen<br />
Alternative: Spannungsquellen entfernen, Stromquellen kurzschließen.<br />
Dann: Gesamtwiderstand des verbleibenden Netzwerkes an den Klemmen von C bzw. L<br />
berechnen. Ri,ende = Gesamtwiderstand<br />
3. Ggf. fehlende Anfangs- und Endwerte bestimmen<br />
4. Zeitkonstante <strong>T1</strong> bestimmen<br />
I anfang = �U ende − U anfang �<br />
R i ,ende<br />
I ende = 0 U ende = 0<br />
T 1 = R i ,ende ⋅ C T 1 = L<br />
R i ,ende<br />
Die so ermittelten Werte können nun in die allgemeine Lösung eingesetzt werden:<br />
und<br />
t<br />
−<br />
T 1<br />
u X �t � = U ende − � U ende − U anfang�⋅e<br />
t<br />
−<br />
T 1<br />
i X �t � = I ende − � I ende − I anfang �⋅e<br />
U anfang = R i ,ende ⋅�I ende − I anfang �
5 Elektrotechnische Grundlagen 60<br />
In der graphischen Darstellung sieht der Ausgleichsvorgang dann so aus:<br />
Kondensator C<br />
Spule L<br />
Spannung Strom<br />
t<br />
t<br />
− −<br />
T 1 T 1<br />
u X �t � = U ende − � U ende − U anfang�⋅e i X �t � = I ende − � I ende − I anfang�⋅e<br />
u C (t)<br />
U ende<br />
U anfang<br />
u L (t)<br />
U max<br />
T 1<br />
T 1<br />
0,63 ∙ (U ende - U anfang )<br />
U max = R⋅� I ende − I anfang �<br />
0,37∙ U max<br />
t<br />
t<br />
i C (t)<br />
I max<br />
i L (t)<br />
I ende<br />
I anfang<br />
T 1<br />
T 1<br />
I max = 1<br />
R ⋅� U ende − U anfang �<br />
0,37∙ I max<br />
0,63 ∙ (I ende - I anfang )<br />
t<br />
t
5 Elektrotechnische Grundlagen 61<br />
5.4.5 Parallel- und Reihenschaltung<br />
Zum Abschluss des Kapitels über Kondensatoren und Spule im Stromkreis wird noch die Frage behandelt, wie<br />
reihen- und parallelgeschaltete Kondensatoren bzw. Spulen zusammengefasst werden können.<br />
5.4.5.1 Reihenschaltung<br />
Werden Kondensatoren bzw. Spule in Reihe geschaltet, so werden sie vom gleiche Strom i durchflossen und die<br />
Gesamtspannung teilt sich auf die einzelnen Wechselstromwiderstände auf:<br />
Kondensator : du ges<br />
dt<br />
= du 1<br />
dt � du 2<br />
dt � ...= � 1<br />
C 1<br />
� 1<br />
C 2<br />
� ...�<br />
Spule: u ges = u 1 � u 2 � ... = � L 1 � L 2 �...� ⋅ di<br />
dt<br />
Daraus ergibt sich die Gesamtkapazität bzw. -induktivität:<br />
Gesamtkapazität einer Reihenschaltung: 1<br />
C ges<br />
= 1overC 1 � 1<br />
C 2<br />
⋅ i<br />
� ...<br />
Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung : L ges = L 1 � L 2 � ...<br />
5.4.5.2 Parallelschaltung<br />
Bei einer Parallelschaltung liegen alle Bauteile an der gleichen Spannung u an. Der Gesamtstrom teilt sich auf die<br />
einzelnen Elemente auf:<br />
Kondensator : i ges = i1 � i2 � ... = �C1 � C2 � ...�⋅ du<br />
dt<br />
Spule:<br />
di ges<br />
dt<br />
= i1 dt � i2 dt<br />
� ...= �1<br />
L1 � 1<br />
L2 � ...�⋅u<br />
Daraus ergibt sich die Gesamtkapazität bzw. -induktivität:<br />
Gesamtkapazität einer Parallelschaltung : C ges = C 1 � C 2 � ...<br />
Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung : 1<br />
L ges<br />
= 1<br />
L 1<br />
� 1<br />
L 2<br />
� ...
6 Elektronische Grundlagen 62<br />
6 Elektronische Grundlagen<br />
6.1 Halbleiterbauelemente<br />
Der heutige Stand der Technik in der Informationsverarbeitung ist wesentlich durch den Einsatz von elektronischen<br />
Halbleiterbauelementen charakterisiert. Wesentliche Meilensteine waren dabei die Erfindung des Transistors<br />
und Entwicklung der Planar-Diffusionstechnik zur Herstellung integrierter Schaltkreise.<br />
Halbleiter sind Festkörper mit kristallinem Aufbau, deren Leitfähigkeit zwischen Nichtleitern und Leitern liegt und<br />
sehr stark von der Temperatur abhängig ist. Durch gezielte, räumlich begrenzte Beimischung bestimmter Stoffe<br />
lassen sich die physikalischen Eigenschaften eines Halbleiters so verändert werden, dass elementare Bauelemente<br />
(z.B. Transistor als Schalter) hergestellt werden können. Weiterhin kann eine hohe Anzahl dieser elementaren<br />
Bauelemente auf einem einzigen Halbleiterkristall realisiert werden (integrierter Schaltkreis, Halbleiter-Chip), wodurch<br />
sich sehr komplexe Systeme (Speicher, CPU, Mikrocontroller) auf kleinstem Raum unterbringen lassen.<br />
Das Verständnis für die Funktionsweise solcher Bauteile setzt die Kenntnis der zugrunde liegenden atomaren<br />
Strukturen voraus, die im folgenden Kapitel beschrieben werden.<br />
6.1.1 Halbleiterphysik<br />
Atomare Strukturen können durch das Bohrsche Atommodell beschrieben werden: Das Atom besteht aus einem<br />
n-fach positiv geladenen Atomkern und n negativ geladenen Elektronen, die den Atomkern auf bestimmten Bahnen<br />
umkreisen und die Atomhülle bilden. Durch die elektrische Anziehungskraft zwischen Elektron und Atomkern<br />
wird das Elektron gewissermaßen an den Atomkern gebunden. Ähnlich wie ein Satellit auf einer Erdumlaufbahn,<br />
der potentielle Energie (Höhe) und kinetische Energie (Geschwindigkeit) besitzt, ist das Energieniveau des Elektrons<br />
vom Bahnradius abhängig. Anders als aus der klassischen Physik bekannt, kann einem Elektron Energie nur<br />
in Quanten zugefügt werden, s.d. es nur diskrete Energieniveaus einnehmen kann. Weiterhin kann in einem<br />
Atom ein Energieniveau (= Schale) nur durch eine bestimmte Anzahl an Elektronen eingenommen werden. Besitzt<br />
ein Atom mehrere Elektronen, so werden zunächst die Schalen mit der geringsten Energie besetzt. Erst wenn eine<br />
Schale voll besetzt ist, wird die nächst höhere Schale aufgefüllt.<br />
Die Energieniveaus werden in Elektronenvolt „eV“ angegeben, dies ist die Energie, die einem Elektron zugeführt<br />
wird, wenn es eine Spannungsdifferenz von 1 Volt durchläuft.<br />
Atomkern<br />
Schale<br />
Elektron<br />
Energie [eV]<br />
10<br />
5<br />
0<br />
unbesetztes<br />
Energieniveau<br />
In einer voll besetzten Schale sind die Elektronen stabil, in einer teilweise besetzten Schale nur lose an das Atom<br />
gebunden. Dies ist der Grund dafür, dass Atome untereinander chemische Bindungen eingehen: Ein Atom mit einer<br />
gering besetzten äußeren Schale gibt die Elektronen (= Valenzelektron) an ein anderes Atom ab, dem Elektronen<br />
zum Auffüllen der äußere Schale fehlen. Die Atome teilen sich gewissermaßen ein oder mehrere Elektronen<br />
und sind dadurch aneinander gebunden, sie bilden ein Molekül (Beispiel: Zwei Wasserstoffatome mit je einem<br />
Elektron „teilen“ sich die Elektronen und besitzen dann jeweils eine mit 2 Elektronen voll besetzte Schale). In<br />
Festkörpern liegen oft Bindungen vor, bei denen die Atome in Kristallgittern angeordnet sind und die äußeren<br />
Valenzelektronen mit den jeweiligen Gitternachbarn wechselwirken.<br />
15<br />
n = 4<br />
n = 3<br />
n = 2<br />
n = 1<br />
n = 0
6 Elektronische Grundlagen 63<br />
In einem Atomverbund überlagern sich die Energieniveaus der einzelnen Atome derart, dass aus den diskreten Niveaus<br />
kontinuierliche Energiebänder entstehen. Die Elektronen eines Einzelatoms können nur diskrete Energieniveaus<br />
annehmen. Dementsprechend können sich die Elektronen im Kristall nur in den Energiebändern aufhalten,<br />
nicht jedoch in den dazwischen liegenden verbotenen Zonen. Die physikalischen und elektrischen Eigenschaften<br />
des Kristalls werden durch das Leitungsband und das Valenzband bestimmt: Das Valenzband ist das letzte voll<br />
besetzte, das Leitungsband ist das nächst höhere teilweise oder unbesetzte Energieband. Die Elektronen im Valenzband<br />
werden zwischen benachbarten Atomen ausgetauscht, sind aber an diesen gebunden und bewirken die<br />
Kristallbindung. Die Elektronen im Leitungsband sind nicht mehr an einem einzelnen Atom gebunden, sie bilden<br />
eine leicht verschiebliche „Elektronenwolke“ und ermöglichen so eine elektrische Leitung. Für die elektrische<br />
Leitfähigkeit eines Materials kommt es nun darauf an, ob sich im Leitungsband Elektronen befinden oder nicht.<br />
Leitungsband<br />
verbotene Zone<br />
Valenzband<br />
Einzelatom Molekül Kristall<br />
(3 Atome)<br />
In einem Nichtleiter ist das Leitungsband unbesetzt, s.d. keine Elektronen zum Ladungstransport beitragen können.<br />
Der Bandabstand zwischen dem Valenzband und dem Leitungsband ist so groß, dass auch durch thermische<br />
Anregung (Wärme ist Bewegung der Atome. Durch Stoßreaktionen können Elektronen auf ein höheres Energieniveau<br />
gebracht, also angeregt werden) keine Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband angehoben werden<br />
können.<br />
Am absoluten Temperatur-Nullpunkt (T = 0K = -273°C) verhält sich ein Halbleiter wie ein Nichtleiter. Der Bandabstand<br />
in einem Halbleiter ist jedoch so klein, dass die thermische Energie bei Raumtemperatur ausreicht, um<br />
Elektronen in das Leitungsband anheben zu können. Die Leitfähigkeit eines Halbleiters ist stark temperaturabhängig<br />
und nimmt mit steigender Temperatur zu.<br />
Durch die Überlappung von Valenz- und Leitungsband eines Leiters (Metall) befinden auch am absoluten Temperatur-Nullpunkt<br />
Elektronen im Leitungsband, s.d. das Material auch ohne thermische Anregung leitend ist.<br />
6.1.2 Reine Halbleiterkristalle<br />
Nichtleiter Halbleiter Leiter<br />
Leitungsband<br />
Valenzband<br />
Die Halbleiteratome Silizium (Si) und Germanium (Ge) haben jeweils vier Elektronen in der äußeren Schale, die<br />
mit 8 Elektronen voll besetzt wäre. In einem Kristallgitter geht jedes Atom mit jeweils vier benachbarten Atomen<br />
eine Elektronenpaarbindung (= Kovalenzbindung) ein, wodurch ein regelmäßige räumliche Struktur entsteht.<br />
(Die Atome sind in einem Tetraeder angeordnet. Die Abbildung zeigt ein zweidimensionales Modell der Gitterstruktur,<br />
in der die Elektronenpaarbindungen durch einen geraden Strich dargestellt werden.). Die Anzahl der<br />
Elektronen in der äußeren Schale wird auch als Wertigkeit bezeichnet. Neben den sogenannten IV-IV-Halbleitern<br />
(z.B. reines Silizium oder Germanium mit der Wertigkeit IV) existieren auch III-V-Halbleiter (Gallium-Arsenid,<br />
GaAs) und II-VI-Halbleiter (ZnS), die eine ähnlicher Gitterstruktur aufweisen.
6 Elektronische Grundlagen 64<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Struktur eines reinen Halbleiterkristalls<br />
Durch thermische Anregung kann ein Elektron aus dieser Bindung herausgelöst und in das Leitungsband gehoben<br />
werden, es trägt dann zur elektrischen Leitfähigkeit bei (Eigenleitung). Gleichzeitig hinterlässt das Elektron ein<br />
ortsfestes Loch (= Defektelektron), das von einem anderen Elektron besetzt werden kann. Dieser Vorgang wird<br />
als Generation und Rekombination bezeichnet. Da die Elektronen, die durch Rekombination freie Löcher besetzen,<br />
selbst Löcher an anderer Stelle hinterlassen, entsteht eine scheinbare Löcherbewegung, die als Transport positiver<br />
Ladungen (= Löcherleitung) interpretiert werden kann.<br />
6.1.3 Dotierte Halbleiterkristalle<br />
+ - + - + - +<br />
+ - + - + + -<br />
+ - + + - + -<br />
+ + - + - +-<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Schematische Darstellung der<br />
Löcherleitung:<br />
Die Elektronen bewegen sich von<br />
links nach rechts. Gleichzeitig<br />
wandert das Loch (Defektelektronen)<br />
von rechts nach links.<br />
Die Eigenleitfähigkeit reiner Halbleiterkristalle ist sehr gering und stark temperaturabhängig, s.d. sie für technische<br />
Zwecke nicht genutzt werden. Die Leitfähigkeit kann aber durch gezieltes Verunreinigen (= Dotierung) des<br />
Kristalls um einige Zehnerpotenzen vergrößert und weitestgehend temperaturunabhängig gestaltet werden (= Störstellenleitfähigkeit):<br />
6.1.3.1 P-Dotierung<br />
Ein Fremdatom, dass nur drei Valenzelektronen hat, kann nur mit drei der vier Nachbaratomen eine Elektronenpaarbindung<br />
eingehen, s.d. für ein voll besetztes Valenzband genau ein Elektron fehlt. Das Fremdatom stellt also<br />
ein Loch bzw. Defektelektron zur Verfügung und trägt damit zum Ladungstransport bei, der durch positive bewegliche<br />
Ladungsträger beschrieben werden kann. Diese Art der Verunreinigung wird daher P-Dotierung genannt, die<br />
Fremdatome werden als Akzeptoratome bezeichnet. Zur P-Dotierung sind die Elemente Aluminium (Al), Bor (B)<br />
und Indium (In) geeignet.<br />
6.1.3.2 N-Dotierung<br />
Wird ein Halbleiter mit Fremdatomen dotiert, die fünf Valenzelektronen besitzen (Donatoratom), so gehen vier<br />
Valenzelektronen in die Elektronenpaarbindung mit den benachbarten Atomen ein. Das fünfte Valenzelektron wird<br />
nicht mit eingebunden und steht somit als negative bewegliche Ladung dem Ladungstransport zur Verfügung. Geeignete<br />
Elemente zur N-Dotierung sind: Arsen (As), Antimon (Sb) und Phosphor (P).<br />
Die Dotierungsdichte Fremdatome pro Halbleiteratome liegt in der Größenordnung zwischen 1:10 6 und 1:10 3 .
6 Elektronische Grundlagen 65<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Defektelektron<br />
6.1.4 PN-Übergang<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Akzeptoratom<br />
P-dotierter Halbleiter<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
freies<br />
Elektron<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Donatoratom<br />
N-dotierter Halbleiter<br />
Die Funktionsweise von Halbleiterbauelementen basiert auf den physikalischen Effekten, die an der Grenzschicht<br />
zwischen unterschiedlich dotierten Halbleitern (bipolare Bauelemente) bzw. zwischen Metall und dotiertem Halbleiter<br />
(unipolare Bauelemente) auftreten. Diese Effekte werden nun anhand eines PN-Übergangs erläutert.<br />
Im P-dotierten Bereich sind sehr viele Löcher aber nur wenige freie Elektronen vorhanden. Im N-dotierten Bereich<br />
sind dagegen nur wenige Löcher aber viele freie Elektronen vorhanden. Fasst man die Löcher als positive und die<br />
Elektronen als negative Ladungsträger auf, so liegt am PN-Übergang zunächst eine sprunghafte Änderung der Ladungsträgerdichten<br />
vor. Die unterschiedlichen Ladungsträgerdichten werden jedoch durch Diffusion, bei der<br />
freie Elektronen aus dem N-Bereich in den P-Bereich wandern, ausgeglichen (= Diffusionsstrom). Die Elektronen<br />
hinterlassen im N-Bereich Löcher, dies entspricht einer Diffusion der Löcher aus dem P-Bereich in den N-Bereich.<br />
In der Grenzschicht rekombinieren die in den P-Bereich hineindiffundierten Elektronen mit den Löchern, s.d. dort<br />
ein ortsfester negativer Ladungsüberschuss (-) entsteht. Andererseits fehlen die Elektronen im N-Bereich der<br />
Grenzschicht, dort entsteht ein ortsfester positiver Ladungsüberschuss (+). Der aufgrund des Dichtegefälles einsetzende<br />
Diffusionsstrom erzeugt eine Ladungstrennung und damit ein elektrisches Feld, welches eine weitere Diffusion<br />
verhindert. Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der Diffusionswirkung und der Kraftwirkung durch das<br />
elektrische Feld ein. In der Grenzschicht entsteht eine Raumladungszone, in der keine freien Ladungsträger existieren:<br />
die Grenzschicht ist zu einer hochohmigen Sperrschicht geworden.<br />
P N<br />
- - -<br />
- - -<br />
- - -<br />
Feldstärke<br />
+ + +<br />
Diffusion<br />
el. Feld<br />
+ + +<br />
+ + +<br />
Raumladungszon<br />
e Spannung<br />
Ladungsdicht<br />
e<br />
Die in der Grenzschicht herrschende Spannung wird als Diffusionsspannung UD bezeichnet, diese beträgt bei<br />
Raumtemperatur UD = 0,37 V (Ge) bzw. UD = 0,75 V (Si).<br />
(Anm.: Die Diffusionsspannung kann allerdings nicht direkt gemessen werden. Durch Kontaktierung des Halbleiters entsteht<br />
ein neuer Übergang, an dem ebenfalls eine Diffusionsspannung entsteht, die der Diffussionspannung am PN-Übergang<br />
entgegengesetzt ist.)<br />
x<br />
+<br />
+<br />
+
6 Elektronische Grundlagen 66<br />
6.2 Diode<br />
Die Diode ist ein Halbleiterbauelement, die auf den Eigenschaften eines PN-Übergangs basiert. Die wesentliche<br />
Eigenschaft einer Diode besteht darin, dass sie den Strom nur in einer Richtung durchlässt.<br />
Polung in Sperrrichtung:<br />
Wird eine äußere Spannungsquelle U mit dem Pluspol an den N-Bereich (= Kathode) und mit dem Minuspol an<br />
den P-Bereich (= Anode) angeschlossen, so fließen zunächst Elektronen in den P-Bereich (und rekombinieren dort<br />
mit den freien Löchern), bzw. werden aus dem N-Bereich abgezogen. Die Grenzschicht verarmt dadurch noch<br />
mehr an freien Ladungsträgern und die hochohmige Sperrschicht wird breiter. Durch die vergrößerte Raumladungszone<br />
steigt, ähnlich wie bei einem Kondensator, die innere Feldstärke und damit die Spannung an der Grenzschicht.<br />
Ein weiterer Stromfluss ist (fast) nicht mehr möglich, die Diode ist in Sperrrichtung gepolt. Ein verbleibender<br />
geringer Sperrstrom (typisch: einige µA) ist durch die thermisch bedingte Generation von Ladungsträgerpaaren,<br />
wie sie auch im undotierten Halbleitermaterial zu finden ist, möglich.<br />
A<br />
=<br />
U<br />
- - - - - - + + + + +<br />
P - - - - - - + + + + + N<br />
- - - - - - + + + + +<br />
U D<br />
K<br />
Diode in Sperrrichtung:<br />
Die äußere Spannung<br />
vergrößert die<br />
Diffusionsspannung, der<br />
Sperrbereich wird dadurch<br />
vergrößert<br />
Erreicht die externe Spannung einen bestimmten Schwellenwert (= Durchbruchspannung UBR) kann es allerdings<br />
zu einem Durchbruch kommen und die Diode verliert ihre Sperrwirkung: Ein solcher Durchbruch kann verschiedene<br />
Ursachen haben:<br />
1. Zener-Effekt: Bei einer sehr hohen Dotierung des Halbleitermaterials ist die Sperrschicht sehr schmal,<br />
s.d. Elektronen bei einer hohen Feldstärke diese Sperrschicht überwinden können (Tunneleffekt). Dieser<br />
Effekt tritt bei Durchbruchspannungen bis 5V auf.<br />
2. Avalanche-Effekt: Aufgrund der hohen Feldstärke werden Elektronen so stark beschleunigt, dass sie<br />
durch Stoßionisation weitere Ladungsträgerpaare erzeugen können (Ladungsvervielfachung). Dieser<br />
Durchbruch überwiegt bei Durchbruchspannungen größer 5V.<br />
3. Wärmedurchbruch: Durch thermische Effekte werden Ladungsträgerpaare generiert, die zur Erhöhung<br />
des Sperrstromes und damit zur weiteren Erwärmung führen. Die Ladungsträgergeneration und<br />
der Sperrstrom steigen bis zur Zerstörung der Diode weiter an.<br />
Der Zener- bzw. der Avalanche-Effekt wird in sogenannten Z-Dioden ausgenutzt. Da die Durchbruchspannung<br />
sehr genau spezifiziert werden kann und nicht zur Zerstörung der Diode führt, werden Z-Dioden typischerweise<br />
zur Spannungsstabilisierung eingesetzt.<br />
Polung in Durchlassrichtung:<br />
Eine äußere Spannung U, deren Pluspol am P-Bereich und deren Minuspol am N-Bereich angelegt wird, wirkt der<br />
Diffusionsspannung entgegen. Die aus dem N-Bereich in den P-Bereich diffundierten Elektronen werden abgezogen<br />
und rekombinieren nicht mehr vollständig mit den Löchern. Außerdem werden die im N-Bereich fehlenden<br />
Elektronen durch Elektronen aus der Spannungsquelle ersetzt. Der Diffusionstrom führt nun nicht mehr zu einer<br />
Verarmung an Ladungsträgern und die Sperrschicht wird abgebaut.<br />
A<br />
=<br />
U<br />
P N<br />
U D<br />
K<br />
Diode in Durchlassrichtung:<br />
Die äußere Spannung wirkt der<br />
Diffusionsspannung entgegen,<br />
der Sperrbereich wird dadurch<br />
aufgehoben
6 Elektronische Grundlagen 67<br />
Überschreitet die äußere Spannung den Wert der Diffusionsspannung (U > UD), wird der Halbleiter mit Ladungsträgern<br />
überschwemmt, es ist keine Raumladungszone vorhanden und die innere Feldstärke ist null. Durch den<br />
Überfluss an Ladungsträgern nimmt die Leitfähigkeit stark zu, die Diode ist in Durchlassrichtung gepolt.<br />
6.2.1 Dioden-Kennlinie<br />
Eine in Sperrrichtung gepolte Diode ist hochohmig, eine in Durchlassrichtung gepolte Diode ist niederohmig. Die<br />
Beziehung zwischen Strom und Spannung kann nicht mehr, wie an einem einfachen Widerstand, durch das ohmsche<br />
Gesetz beschrieben werden, sondern wird als Kennlinie dargestellt:<br />
Im Sperrbereich (Diode in Sperrrichtung gepolt) fließt unterhalb der Durchbruchspannung (-UBR < U < 0) nur ein<br />
sehr kleiner Sperrstrom IS, der in einer idealisierten Kennlinie vernachlässigt werden kann. Erreicht die Diodenspannung<br />
die Durchbruchspannung (U = -UBR), so kann ein beliebig großer Strom fließen, die Diodenspannung<br />
kann (ohne Zerstörung der Diode) nicht mehr weiter ansteigen.<br />
Im Durchlassbereich steigt der Strom oberhalb der Schleusenspannung (U > US) annähernd linear an. Unterhalb<br />
der Schleusenspannung fließt bereits ein Durchlassstrom, der aber in der idealisierten Kennlinie vernachlässigt<br />
wird. Die Schleusenspannung US unterscheidet sich von der Diffusionsspannung UD , sie liegt bei Germanium (Ge)<br />
zwischen 0,2 V und 0,5 V und bei Silizium zwischen 0,6 V und 0,8 V.<br />
Kennlinie:<br />
-UBR -30 V<br />
-20 V<br />
Sperrbereich<br />
I<br />
2 mA<br />
1 mA<br />
I S<br />
-10 µA<br />
-20 µA<br />
U S<br />
Durchlassbereich<br />
2 V<br />
Diode:<br />
Schaltzeichen:<br />
P N<br />
U U<br />
reale Kennlinie<br />
ideale Kennlinie<br />
I<br />
Anode<br />
Kathod<br />
e<br />
Das nichtlineare Verhalten von Strom und Spannung an einer Diode erschwert die Analyse von Schaltungen, die<br />
eine Diode enthalten. In einer Fallunterscheidung kann die Diode aber durch entsprechende Ersatzschaltbilder ersetzt<br />
werden:<br />
1. Fall: U = -UBR<br />
Die Diodenspannung U ist in diesem Falle unabhängig vom Diodenstrom I. Dies bedeutet, dass<br />
sich die Diode wie eine ideale Spannungsquelle verhält. Allerdings liefert die Quelle keine Leistung,<br />
sondern verbraucht sie und setzt sie in Wärme um.<br />
Dieser Fall ist nur für Zener-Dioden (Zener-Effekt, UBR < 5V) bzw. Z-Dioden (Avalanche-Effekt,<br />
UBR > 5V) relevant, die für einen Spannungsdurchbruch ausgelegt sind. Normale Dioden können<br />
bei einem solchen Durchbruch leicht zerstört werden. Schaltzeichen:<br />
2. Fall: -UBR < U < US<br />
In diesem Spannungsbereich fließt keine Strom, die Diode verhält sich wie ein geöffneter Schalter<br />
(= Leerlauf) .<br />
3. Fall: U > US<br />
Erreicht die Diodenspannung die Schleusenspannung, steigt der Strom linear mit der Diodenspannung<br />
an. Mit dem Innenwiderstand R i gilt für den Strom I:<br />
I = U − U S<br />
R i<br />
Diese Geradengleichung entspricht dem ohmschen Gesetz, sofern man die Schleusenspannung von
6 Elektronische Grundlagen 68<br />
der Diodenspannung subtrahiert. Im Ersatzschaltbild wird dies durch die ideale Spannungsquelle<br />
US dargestellt, die mit dem Innenwiderstand in Reihe geschaltet ist. Im Durchlassbereich verhält<br />
sich die Diode wie eine reale Spannungsquelle, die allerdings keine Leistung abgibt sondern aufnimmt.<br />
I < 0<br />
=<br />
U BR<br />
U < 0<br />
U = -UBR<br />
I<br />
I = 0<br />
U<br />
-UBR < U < US<br />
U<br />
U > US<br />
I = (U – U S ) / R i<br />
R i<br />
=<br />
U S<br />
U > U S<br />
Für eine grobe Schaltungsanalyse können die Schleusenspannung (US = 0) und der Innenwiderstand (R i = 0) vernachlässigt<br />
werden. Für Dioden, die nicht im Durchbruch betrieben werden, ergibt sich daraus folgendes Verhalten:<br />
Für Spannungen kleiner null ist die Diode in Sperrrichtung gepolt, es fließt kein Strom (= Leerlauf). Wird die<br />
Diode in Durchlassrichtung gepolt, kann ein beliebig großer Strom fließen, es fällt aber keine Spannung ab<br />
(= Kurzschluss).<br />
Sperrrichtung<br />
I = 0<br />
offener Schalter<br />
= Leerlauf<br />
6.2.2 Anwendungen der Diode<br />
6.2.2.1 Verpolungsschutz<br />
I<br />
U<br />
Durchlassrichtung<br />
U = 0<br />
geschlossener Schalter<br />
= Kurzschluss<br />
Kennlinie:<br />
Der Strom kann nur in eine Richtung durch die Diode fließen!<br />
Eine einfache Anwendung findet die Diode als Schutz gegen Verpolung.<br />
U Batt<br />
+<br />
I > 0<br />
U L<br />
Batterie richtig eingelegt:<br />
U L ~ U Batt<br />
elektronische<br />
Schaltung<br />
R L<br />
U Batt<br />
+<br />
I = 0<br />
I<br />
U L<br />
Batterie falsch eingelegt:<br />
U L = 0<br />
R L<br />
U<br />
elektronische<br />
Schaltung
6 Elektronische Grundlagen 69<br />
Da der Strom nur in eine Richtung durch die Diode fließen kann, wird ein Stromfluss, der zu einer Zerstörung der<br />
elektronischen Schaltung führen könnte, bei vertauschter Polarität verhindert.<br />
6.2.2.2 Gleichrichter<br />
Ein Gleichrichter wandelt eine Wechselspannung in eine Gleichspannung um. In einem Halbwellengleichrichter<br />
leitet die Diode bei einer positiven Halbwelle, die negative Halbwelle wird gesperrt. Ausgangsseitig entsteht eine<br />
Spannung mit hohem Gleichanteil. Die Ausgangsspannung kann durch einen möglichst großen Kondensator geglättet<br />
werde. Während der Sperrzeit der Diode wird der Kondensator durch den Lastwiderstand entladen, s.d. die<br />
Ausgangsspannung eine Restwelligkeit behält. Eine Verbesserung kann durch einen Brückengleichrichter erzielt<br />
werden, bei dem die Dioden so angeordnet sind, dass beide Halbwellen zur Ausgangsspannung beitragen. Die<br />
Restwelligkeit des Brückengleichrichters ist geringer, dafür ist der Schaltungsaufwand größer.<br />
Halbwellengleichrichter<br />
U 0<br />
~<br />
Brückengleichrichter<br />
U 0 ~<br />
6.2.2.3 Spannungsstabilisierung<br />
~<br />
+<br />
-<br />
~<br />
C<br />
C<br />
U L<br />
U L<br />
R L<br />
R L<br />
U<br />
U<br />
U L (ohne C)<br />
U 0<br />
U L (ohne C)<br />
U 0<br />
U L (mit C)<br />
t<br />
U L (mit C)<br />
Der sehr ausgeprägte „Knick“ im Sperrbereich der Kennlinie der Zener-Diode (bzw. Z-Diode) und die Möglichkeit,<br />
die Durchbruchspannung durch das Design der Diode in einem weiten Bereich festzulegen, kann zur Spannungsstabilisierung<br />
und erzeugen einer Referenzspannung ausgenutzt werden. Dazu wird die in Sperrrichtung<br />
gepolte Diode mit einem Vorwiderstand RZ in Reihe geschaltet. Solange U0 > UBR gilt, bleibt die an der Diode abfallende<br />
Spannung stabil, sie ist gleich der Durchbruchspannung (UL = UBR). Ein Anstieg der Quellenspannung U0<br />
führt zu einem Anstieg des Diodenstromes (der auch durch RZ fließt) und damit zu einem Anstieg der an RZ abfallenden<br />
Spannung: Die Diodenspannung UL bleibt konstant.<br />
U 0<br />
=<br />
R Z<br />
U BR<br />
I L<br />
U L<br />
elektronische<br />
Schaltung<br />
R L<br />
t
6 Elektronische Grundlagen 70<br />
6.3 Bipolartransistor<br />
Im Bipolartransistor werden ebenfalls die physikalischen Effekte an einem PN-Übergang ausgenutzt, er besteht<br />
aus zwei in Reihe geschalteten Übergängen. Je nach Art der Dotierung wird zwischen NPN- und PNP-Transistoren<br />
unterschieden. Da die meisten Anwendungen einen NPN-Transistor verwenden, wird hier der PNP-Transistor<br />
nicht weiter behandelt. Seine Funktionsweise ist ähnlich dem NPN-Transistor, allerdings sind die Polaritäten und<br />
Stromrichtungen vertauscht. Es existieren sehr viele unterschiedliche Varianten des Bipolartransistors, die sich im<br />
Aufbau und den Eigenschaften sehr stark unterscheiden. Er wird als diskretes Einzelbauteil oder als Bestandteil integrierter<br />
Schaltungen eingesetzt.<br />
Die drei Halbleiterschichten sind kontaktiert und und werden als Kollektor („C“) , Basis („B“) und Emitter („E“)<br />
bezeichnet. Liegt zwischen Kollektor und Emitter eine Spannung UCE an, so bildet der Kollektor-Basis-Übergang<br />
eine in Sperrrichtung gepolte Diode, es fließt kein Strom.<br />
I C<br />
+ -<br />
C<br />
N +<br />
+<br />
-P<br />
-<br />
B<br />
N<br />
E<br />
=<br />
U CE<br />
Eine Spannung UBE zwischen Basis und Emitter führt zu einem Basisstrom IB, da der PN-Übergang zwischen Basis<br />
und Emitter in Durchlassrichtung gepolt ist. Der in der Basis hineinfließende technische Strom IB entspricht einem<br />
Elektronenfluss vom Emitter in die Basis.<br />
+ -<br />
C<br />
N +<br />
+<br />
-P<br />
-<br />
B<br />
N<br />
E<br />
I B<br />
=<br />
U BE<br />
Elektronenfluss<br />
Die Basisschicht ist so dünn, dass die aus dem Emitter in die Basis übertretenden Elektronen in die Sperrschicht<br />
des Kollektor-Basis-Übergangs gelangen (= Injektion) und diese „überschwemmen“. Damit stehen in der Sperrschicht<br />
genügend freie Elektronen zur Verfügung, um die Sperrwirkung aufzuheben und es kommt ein Elektronenfluss<br />
vom Emitter zum Kollektor zustande, dem der technische Kollektorstrom IC entspricht. Falls die Kollektor-<br />
Emitter-Spannung UCE hinreichend groß ist, ist der Kollektorstrom IC von dieser Spannung unabhängig und wird<br />
nur noch durch den sehr viel kleineren Basisstrom IB bestimmt.<br />
I C<br />
N P N<br />
C E<br />
I B<br />
=<br />
U CE<br />
B<br />
=<br />
U BE<br />
Elektronenfluss
6 Elektronische Grundlagen 71<br />
Die folgende Tabelle zeigt die Schaltbilder des NPN- und PNP-Transistors:<br />
schematischer Aufbau Schaltzeichen<br />
NPN-<br />
Transistor<br />
PNP-<br />
Transistor<br />
6.3.1 Transistor-Kennlinien<br />
Basis<br />
Basis<br />
Kollektor<br />
N<br />
P<br />
N<br />
Emitter<br />
Kollektor<br />
P<br />
N<br />
P<br />
Emitter<br />
An den drei Klemmen des Transistors können drei Ströme und drei Spannungen gemessen werden. Da auch für<br />
den Transistor die Kirchhoff'schen Sätze gelten, ergeben sich der Emitterstrom IE und die Kollektor-Basis-Spannung<br />
UCB aus den anderen Größen:<br />
I E = −�I C � I B � und U CB = U CE − U BE<br />
Die Eigenschaften des Transistors werden graphisch durch Kennlinien beschrieben, in der die Wechselwirkung der<br />
vier elektrischen Größen UBE, UCE, IB und IC dargestellt wird.<br />
Die wesentliche Eigenschaft des Transistors besteht nun darin, dass der Kollektorstrom IC durch einen sehr viel<br />
kleineren Basisstrom IB gesteuert werden kann. Ursache für den Basisstrom IB ist die Basis-Emitterspannung UBE,<br />
die an der Basis-Emitter-Diode anliegt, s.d. die Eingangskennlinie die Charakteristik einer Diodenkennlinie besitzt.<br />
Sie ist gekennzeichnet durch die Schwellenspannung US, ab der der Basisstrom einsetzt und dem<br />
Eingangswiderstand der Basis-Emitterstrecke:<br />
Eingangswiderstand : R BE = �U BE<br />
� I B<br />
typisch : R BE ≈ 1k� bis 10k �<br />
Unter der Voraussetzung, dass UCE hinreichend groß ist (UCE > UBE), hängt der Ausgangsstrom IC linear vom Eingangsstrom<br />
IB ab. Dieser Zusammenhang wird durch die Transferkennlinie wiedergegeben. Das Verhältnis IC zu<br />
IB wird als Stromverstärkung bezeichnet:<br />
Stromverstärkung : B = I C<br />
I B<br />
typisch: B ≈ 100 bis 500<br />
Falls jedoch UCE nicht hinreichend groß ist, wird die Stromverstärkung nicht erreicht, der Transistor wird im Sättigungsbereich<br />
betrieben. (Anm.: Mit UCE < UBE gilt auch UBC > 0, die Kollektor-Basis-Diode ist in Durchlassrichtung<br />
gepolt, s.d. ein Strom aus der Basis zum Kollektor fließt.)<br />
Die Ausgangskennlinie stellt den Zusammenhang zwischen der Kollektor-Emitter-Spannung UCE und dem Kollektorstrom<br />
IC dar. Außerhalb des Sättigungsbereiches ist der Kollektorstrom IC nicht mehr von UCE abhängig, daher<br />
besteht diese Kennlinie aus einer Kurvenschar mit dem Parameter IB. Im Sättigungsbereich steigt IC linear mit<br />
der Spannung UCE.<br />
Die dargestellte Kennlinie ist eine Idealisierung der realen Transistorkennlinie. Sie gibt aber das prinzipielle Verhalten<br />
des Transistors wieder und kann einer vereinfachten Schaltungsanalyse verwendet werden.<br />
B<br />
B<br />
C<br />
E<br />
C<br />
E
6 Elektronische Grundlagen 72<br />
U CE<br />
Stromverstärkung:<br />
I C = B * I B<br />
200µA<br />
IB 100µA<br />
Eingangswiderstand:<br />
R BE = ΔU BE /ΔI B<br />
Zusammenfassung:<br />
Eingangskennlinie<br />
Transferkennlinie<br />
Ausgangskennlinie<br />
I C<br />
20mA<br />
10mA<br />
0,5V<br />
U S<br />
1V<br />
UBE UBE → IB<br />
5V<br />
10V<br />
I B =<br />
U CE<br />
250µA<br />
200µA<br />
150µA<br />
100µA<br />
50µA<br />
I B<br />
U BE<br />
B<br />
C<br />
E<br />
U CE<br />
Beispiel:<br />
1. Liegt U BE = 0,875V an, so fließt ein Basisstrom I B = 150 µA<br />
2. Mit B = 100 fließt ein Kollektorstrom I C = 15 mA<br />
3. Der Kollektorstrom ist unabhängig von U CE<br />
Der Basis-Emitterübergang entspricht einer in Flussrichtung<br />
gepolten Diode.<br />
IB → IC Stromverstärkung: IC = B·IB, falls UCE > UBE<br />
IC → UCE<br />
6.3.2 Ersatzschaltbild des Bipolartransistors<br />
Sättigungsbereich: IC nimmt linear mit UCE zu<br />
sonst: IC unabhängig von ICE, Kurvenschar mit Parameter IB<br />
Der Eingang des Transistors (Basis-Emitterstrecke) ist vom Ausgang (Kollektor-Emitterstrecke) unabhängig und<br />
entspricht im elektrischen Verhalten einer Diode. Weiterhin ist der Kollektorstrom IC, ausreichende Kollektor-<br />
Emitterspannung UCE vorausgesetzt, nur vom Basisstrom IB abhängig. Mit diesen Erkenntnissen kann der Bipolartransistor<br />
durch ein vereinfachtes Großsignal-Ersatzschaltbild modelliert werden. Die Basis-Emitterstrecke wird<br />
darin durch eine Diode, die Kollektor-Emitterstrecke durch eine gesteuerte Stromquelle (B·IB) ersetzt.<br />
Soll der Transistor zur Verstärker einer Eingangsspannung Ue (Wechselspannung) eingesetzt werden, muss durch<br />
externe Beschaltung dafür gesorgt werden, dass die Basis-Emitterspannung immer größer als die Schwellspannung<br />
ist. Dies wird durch Addition der Signalspannung mit einer ausreichenden Gleichspannung erreicht (Kap. 6.3.3.1).<br />
Die zu verstärkende Signalspannung bewirkt dann eine Änderung der Basis-Emitterspannung (ΔUBE ~ Ue). Da die<br />
Basis-Emitterdiode im Durchlassbereich betrieben wird, kann sie zur Modellierung in einem Kleinsignal-Ersatzschaltbild<br />
durch ihren Innenwiderstand RBE ersetzt werden.<br />
U BE<br />
I B<br />
B<br />
C<br />
E<br />
I C<br />
U CE<br />
U BE<br />
I B<br />
B·I B<br />
Transistor Großsignal-<br />
Ersatzschaltbild<br />
I C<br />
U CE<br />
ΔU BE<br />
ΔI B<br />
R BE<br />
I C<br />
ΔI C<br />
B·ΔI B<br />
ΔU CE<br />
Kleinsignal-<br />
Ersatzschaltbild
6 Elektronische Grundlagen 73<br />
6.3.3 Grundschaltungen des Bipolartransistors<br />
Der Bipolartransistor kann in den drei Grundschaltungen „Emitterschaltung“, „Kollektorschaltung“ oder „Basisschaltung“<br />
betrieben werden. Der Bipolartransistor wirkt als Schalt- oder Verstärkerbauelement mit einem Eingangs-<br />
und einem Ausgangsstromkreis. Die Bezeichnung der Schaltungsart richtet sich nun danach, welcher der<br />
drei Anschlüsse sowohl im Eingangs- als auch im Ausgangskreis liegt (bzw. an der gemeinsamen Stromversorgung<br />
angeschlossen ist). Von diesen Schaltungsarten haben die Emitter- und Kollektorschaltung die größte Bedeutung,<br />
die Basisschaltung findet weniger Anwendungen und wird hier nicht weiter behandelt.<br />
U e<br />
B<br />
U 0<br />
C<br />
E<br />
R C<br />
U a<br />
U e<br />
B<br />
Emitterschaltung Kollektorschaltung Basisschaltung<br />
6.3.3.1 Emitterschaltung<br />
Der Eingangsstromkreis der Emitterschaltung beinhaltet den PN-Übergang zwischen Basis und Emitter, der sich<br />
wie eine Diode verhält. Der zur Steuerung des Kollektorstrom (Ausgangskreis) notwendige Basisstrom kommt erst<br />
dann zustande, wenn die Eingangsspannung UBE die Schwellspannung US überschreitet. Um mit einem Transistor<br />
Signale (Wechselspannungen) möglichst verzerrungsfrei verstärken zu können, muss durch externe Beschaltung<br />
zunächst der Arbeitspunkt eingestellt werden, indem das Eingangssignal mit einer geeigneten Gleichspannung<br />
überlagert wird. Dies wird mit einen Basiswiderstand RB erreicht, der zusammen mit dem Eingangswiderstand RBE<br />
der Basis-Emitterdiode die Betriebsspannung U0 teilt. Solange keine Eingangsspannung anliegt (Ue = 0), wird die<br />
Basis-Emitterspannung UBE bzw. der Basisstrom IB bestimmt durch:<br />
U BE =<br />
R BE<br />
⋅U 0 � U S bzw. I B =<br />
R B � R BE<br />
U 0 − U S<br />
RB � R BE<br />
Die Betriebsspannung bildet zusammen mit dem Widerstand RC eine reale Spannungsquelle, an deren Klemmen<br />
der Transistor mit Kollektor und Emitter angeschlossen ist. Der Spannungsquelle wird der Strom IC entnommen,<br />
s.d. an den Klemmen die Spannung UCE abfällt:<br />
U CE = U 0 − R C ⋅I C<br />
Die äußere Beschaltung mit U0 und RC liefert somit eine weitere Gleichung, die als Lastgerade in die Kennlinie<br />
eingezeichnet werden kann. Am Transistor stellen sich Kollektorstrom und Kollektor-Emitterspannung so ein, dass<br />
I C und UCE auf dieser Lastgeraden liegen. Der Schnittpunkt dieser Lastgeraden mit der für IB „zuständigen“ Kennlinie<br />
ergibt nun den Arbeitspunkt.<br />
U 0<br />
C<br />
E<br />
R E<br />
U a<br />
U e<br />
E<br />
R E<br />
B<br />
C<br />
U 0<br />
R C<br />
U a
6 Elektronische Grundlagen 74<br />
200µA<br />
IB 100µA<br />
I C<br />
20mA<br />
10mA<br />
Lastgerade<br />
0,5V<br />
1V<br />
UBE 5V<br />
Arbeitspunkt<br />
10V<br />
I B =<br />
U CE<br />
250µA<br />
200µA<br />
150µA<br />
100µA<br />
50µA<br />
Beispiel:<br />
1. Mit U 0 = 10V, R B = 92kΩ, R BE = 1,5kΩ und U S = 0,65V<br />
liegt der Arbeitspunkt bei U BE = 0,8V / I B = 100µA<br />
2. B = 100, R C = 500Ω: Der Kollektorstrom beträgt I C = B∙I B = 10mA,<br />
die Ausgangsspannung liegt bei U a = 5V<br />
3. Eine Eingangsspannung mit der Amplitude ΔU a = 75mV führt zu einer<br />
Amplitude der Ausgangsspannung von ΔU e = 2,5V<br />
Wird nun die Eingangsspannung Ue über einen Kondensator an die Basis angelegt (der Kondensator verhindert,<br />
dass der Arbeitspunkt durch die Eingangsspannung verschoben wird), so verursacht eine Spannungsamplitude<br />
ΔUBE = ΔUe eine Stromänderung ΔIC von<br />
� I C = B⋅� I B = B<br />
⋅�U BE<br />
RBE Im Kleinsignal-Ersatzschaltbild gilt für die Basis-Emitterstrecke das Ohmsche Gesetz, s.d. die gesteuerte Stromquelle<br />
direkt von der Basis-Emitterspannung abhängt. Mit der Transistorkenngröße<br />
Steilheit : S = B<br />
R BE<br />
kann geschrieben werden:<br />
� I C = S⋅� U BE = S⋅� U e<br />
Die Änderung der Ausgangsspannung ΔUa ist proportional der Stromänderung -ΔIC und damit proportional der Änderung<br />
der Eingangsspannung:<br />
� U a = �U CE = −R C⋅S⋅� U e<br />
Die Eingangsspannung wird also durch die Emitterschaltung verstärkt:<br />
Spannungsverstärkung der Emitterschaltung : v u = �U a<br />
�U e<br />
= −R C ⋅S<br />
Der ausgangsseitige Kondensator lässt, ebenso wie der Eingangskondensator, nur die Wechselspannung durch. Er<br />
verhindert, dass die Gleichspannung zur Einstellung des Arbeitspunktes am Ausgang messbar wird.<br />
Die Emitterschaltung wird zur Spannungsverstärkung eingesetzt, wobei zu beachten ist, dass das Ausgangssignal<br />
gegenüber dem Eingangssignal invertiert wird (vu < 0). Allerdings ist die Verstärkung von den Steilheit S und damit<br />
direkt von den Transistoreigenschaften abhängig, die großen Temperatureinflüssen und Exemplarstreuungen<br />
unterliegen. Durch zusätzliche äußere Beschaltungen können diese Einflüsse jedoch minimiert werden.<br />
6.3.3.2 Kollektorschaltung<br />
In der Kollektorschaltung (= Emitterfolger) wird der Vorwiderstand RE an den Emitter des Transistors angeschlossen,<br />
der Kollektor liegt hingegen direkt an der Betriebsspannung U0. Der Arbeitspunkt wird auch hier durch<br />
RB eingestellt. Die Ausgangsspannung wird am Widerstand RE abgegriffen.<br />
U e<br />
R B<br />
B<br />
U 0<br />
C<br />
E<br />
R C<br />
U a
6 Elektronische Grundlagen 75<br />
U e<br />
B<br />
U BE<br />
R B<br />
In dieser Schaltung ist die Basis-Emitterspannung nicht allein von der Eingangsspannung sondern von der Differenz<br />
aus Eingangs- und Ausgangsspannung abhängig, die Ausgangsspannung wird rückgekoppelt:<br />
� U BE = �U e − � U a<br />
Der Kollektorstrom ist, wie bei der Emitterschaltung, vom Basisstrom IB bzw. von der Basis-Emitterspannung UBE<br />
abhängig:<br />
� I C = B⋅� I B = S⋅�U BE<br />
Kollektorstrom und Emitterstrom unterscheiden sich nur durch den relativ kleinen Basisstrom IB, s.d. für die an RE<br />
abfallende Ausgangsspannung gilt:<br />
� U a ≈ R E⋅� I C<br />
Die letzten drei Gleichungen können ineinander eingesetzt werden und liefern:<br />
� U a ≈ R E ⋅� I C = R E ⋅S⋅� U BE = R E ⋅S⋅� � U e − �U a � ⇒ v u = � U a<br />
� U e<br />
U 0<br />
C<br />
E<br />
R E<br />
U a<br />
=<br />
R E⋅S<br />
R E ⋅S � 1<br />
Mit der Kollektorschaltung lässt sich also keine Spannungsverstärkung erzielen. Ausgangsseitig verhält sie sich<br />
wie eine Spannungsquelle mit kleinem Innenwiderstand, s.d. ein großer Laststrom entnommen werden kann. Die<br />
Kollektorschaltung eignet sich daher als Leistungsendstufe (= Stromverstärkung).<br />
≈ 1
6 Elektronische Grundlagen 76<br />
6.4 Feldeffekttransistor<br />
Ein Feldeffekttransistor (= FET) ist ein Halbleiterbauelement mit einer spannungsgesteuerten Leitfähigkeit. Der<br />
Vorteil des FET gegenüber dem Bipolartransistor liegt darin, dass die Leitfähigkeit stromlos und damit leistungslos<br />
beeinflussbar ist. Die Funktionsweise eines FET beruht auf der Ausbildung eines leitfähigen Kanals innerhalb<br />
des Halbleitersubstrates unter dem Einfluss eine elektrischen Feldes, das durch eine Steuerelektrode erzeugt wird.<br />
Der leitfähige Kanal wird durch die Anschlüsse Source („S“) und Drain („D“) kontaktiert. Die Steuerelektrode<br />
wird als Gate („G“) bezeichnet, das Substrat als Bulk („B“). In integrierten Schaltungen sind sehr viele FETs, zusammen<br />
mit anderen Halbleiterbauelementen, auf einem gemeinsamen Substrat untergebracht. Der für alle Transistoren<br />
gemeinsame Bulk-Anschluss kann dann nicht genutzt werden. Bei diskreten FET (Einzelbauteile) ist der<br />
Bulk-Anschluss intern mit dem Source-Anschluss verbunden und nicht nach außen geführt.<br />
Die Steuerelektrode ist gegenüber dem Kanal isoliert, was durch zwei Varianten erreicht wird: Beim MOSFET (=<br />
Metal-Oxide-Semiconductor-FET) ist das Gate durch ein Oxid-Schicht vom Kanal getrennt, beim Sperrschicht-<br />
FET (= Junction-FET, JFET) trennt ein in Sperrrichtung betriebener PN-Übergang das Gate.<br />
6.4.1 MOSFET<br />
Ein MOSFET besteht aus einem p-dotierten Substrat, in dem zwei n-dotierte Zonen (Source und Drain) eingelassen<br />
sind. Zwischen diesen Zonen befindet sich das Gate, das gegenüber dem Substrat durch eine Oxidschicht isolierend<br />
getrennt ist. Drain und Substrat bilden eine in Sperrrichtung gepolte Diode, s.d. bei Anlegen einer Drain-<br />
Sourcespannung UDS zunächst kein Strom fließen kann.<br />
N<br />
S<br />
U GS<br />
P<br />
G<br />
B<br />
=<br />
U DS<br />
Oxid<br />
-Schicht<br />
N<br />
D<br />
I D<br />
Diodensperrschicht<br />
Substrat<br />
Sperrbereich:<br />
U GS < U TH<br />
=> I D = 0<br />
Wird das Gate durch eine zusätzliche Gate-Sourcespannung UGS positiv aufgeladen, so werden Elektronen aus dem<br />
Substrat in den Bereich unterhalb des Gates angezogen. Diese Elektronen besetzen zunächst die freien Löcher des<br />
p-dotierten Materials und tragen nicht zu Ladungstransport bei. Überschreitet jedoch die Gate-Sourcespannung<br />
die Schwellspannung UTH (0,5 V bis 2 V, abhängig vom Transistortyp), überschreitet die Elektronendichte die<br />
Dichte der verfügbaren Löcher (Dotierungsdichte) und es stehen freie Elektronen zum Ladungstransport bereit.<br />
Unterhalb des Gates ist im p-dotierten Substrat eine Inversionsschicht entstanden, die einen leitfähigen Kanal zwischen<br />
Drain und Source bildet.<br />
=<br />
U GS<br />
P<br />
=<br />
S G<br />
+ + + + + +<br />
N<br />
- - - - - -<br />
- - - - - -<br />
B<br />
U DS<br />
N<br />
D<br />
I D<br />
Inversionskanal<br />
Ohmscher Bereich:<br />
U TH < U GS<br />
0 < U DS < U DS.ab<br />
=> I D ~ U DS
6 Elektronische Grundlagen 77<br />
Die Dichte freier Elektronen im Inversionskanal ist proportional der Gate-Sourcespannung, s.d. die Leitfähigkeit<br />
der Drain-Sourcestrecke und damit der Drainstrom ID durch UGS eingestellt werden kann (= Ohmscher Bereich).<br />
Bei sehr kleiner Drain-Sourcespannung ist die UGS etwa gleich der UGD, s.d. sich ein symmetrischer Inversionskanal<br />
ausbilden kann. Mit zunehmender Drain-Sourcespannung tritt allerdings ein weiterer Effekt auf: Die Gate-<br />
Drainspannung wird wegen U GD = U GS − U DS kleiner und der Kanal wird auf der Drainseite eingeengt. Erreicht<br />
UDS die so genannte Abschnürgrenze UDS,ab, kann der Drainstrom nicht weiter ansteigen<br />
(= Abschnürbereich).<br />
N<br />
S<br />
=<br />
U GS<br />
P<br />
G<br />
- - - - -<br />
- -<br />
B<br />
=<br />
U DS<br />
+ + + + + +<br />
6.4.2 Kennlinie des Feldeffekttransistors<br />
U GD<br />
N<br />
D<br />
I D<br />
Abschnürung<br />
Abschnürbereich:<br />
U TH < U GS<br />
U DS.ab < U DS<br />
=> I D = konstant<br />
Da das Gate isoliert ist, kann im Normalbetrieb kein Eingangsstrom fließen, die Eingangskennlinie des Feldeffekttransistors<br />
kann daher entfallen. Bei zu hohen Eingangsspannungen (z.B. > 40V) wird die Feldstärke in der<br />
Isolierschicht so groß, dass es zu einem Durchbruch und einer Zerstörung des Transistors kommt. Da die Spannung<br />
nicht abgeleitet wird, ist der FET sehr empfindlich gegenüber elektrostatischen Aufladungen. Der FET kann zwar<br />
durch eine interne Z-Diode gegen Überspannungen geschützt werden, bei der Handhabung hochintegrierter Schaltungen<br />
sind dennoch besondere Maßnahmen (Stichwort: EGB = Elektrostatisch gefährdete Bauteile) erforderlich,<br />
um die Lebensdauer der Bauteile zu erhalten.<br />
Die Übertragungskennlinie gibt die Abhängigkeit des Drainstromes ID von der Gate-Sourcespannung UGS an, der<br />
ab einer Spannung UGS > UTH einsetzt und im Abschnürbetrieb linear mit UGS zunimmt.<br />
Die Ausgangskennlinie zeigt den Zusammenhang zwischen Drain-Sourcespannung UDS und dem Drainstrom ID.<br />
Im Ohmschen Bereich ist die Steigung von UGS abhängig, der FET verhält sich wie ein mit UGS spannungsgesteuerter<br />
Widerstand. Im Abschnürbereich ist ID von UDS unabhängig und wird alleine durch UGS bestimmt.<br />
Kennlinie eines N-Kanal-MOSFET<br />
I D<br />
20mA<br />
10mA<br />
U TH<br />
2V<br />
4V<br />
6.4.3 Sperrschicht-FET<br />
U DS<br />
U GS<br />
I D<br />
20mA<br />
10mA<br />
5V<br />
10V<br />
U GS = 4V<br />
Während beim MOSFET das metallische Gate mit einer Isolierschicht (Si-Oxid) vom Substrat getrennt wird, wird<br />
beim Sperrschicht-FET (= JFET) das Gate durch einen p-dotierten Halbleiter gebildet. Die n-dotierten Zonen<br />
Drain und Source sind miteinander verbunden. Durch eine negative Gate-Sourcespannung wird der PN-Übergang<br />
3,5V<br />
3,0V<br />
2,5V<br />
U DS<br />
U GS<br />
G<br />
D<br />
S<br />
U DS<br />
I D
6 Elektronische Grundlagen 78<br />
in Sperrrichtung gepolt und es bildet sich eine hochohmige Raumladungszone, die weit in den N-Bereich hineinreicht.<br />
Die Leitfähigkeit der Drain-Sourcestrecke wird dadurch herabgesetzt und der Drainstrom ID kann mit UGS<br />
gesteuert werden. Die Kennlinie des Sperrschicht-FET entspricht der Kennlinie des MOSFET mit einem Unterschied:<br />
Die Schwellspannung UTH ist negativ. (Arbeitsbereich: -UTH < UGS < 0).<br />
N<br />
=<br />
U < 0 GS<br />
S G<br />
- - - -<br />
P<br />
P<br />
=<br />
U DS<br />
6.4.4 Varianten des Feldeffekttransistos<br />
D<br />
I D<br />
Diodensperrschicht<br />
Zu den bisher beschriebenen Grundtypen existieren weitere Varianten, s.d. insgesamt 6 verschiedene Typen angegeben<br />
werden können.<br />
6.4.4.1 Depletion-MOSFET<br />
Durch eine positive Gate-Sourcespannung entsteht (wie oben beschrieben) beim Enhancement-FET (= Anreicherungstyp,<br />
selbstsperrend) ein leitender Inversionkanal. Beim Depletion-FET (Verarmungstyp, selbstleitend)<br />
ist dieser Kanal durch entsprechende Dotierung auch ohne Gate-Sourcespannung leitend. Er wird erst mit negativer<br />
Spannung (UGS < UTH < 0) hochohmig.<br />
6.4.5 P-Kanal-Feldeffekttransistor<br />
Alle drei bisher beschriebene Transistortypen (N-Kanal) können auch mit einem P-Kanal realisiert werden, wobei<br />
sämtliche Dotierungen invertiert ausgeführt werden. Die Kennlinie verlaufen entsprechend den N-Kanal-Typen,<br />
allerdings sind die Vorzeichen von UGS, UDS und ID ebenfalls invertiert.<br />
Typ N-Kanal P-Kanal<br />
Enhancement-FET N-MOSFET (selbstsperrend)<br />
Depletion-FET N-MOSFET (selbstleitend)<br />
D<br />
Sperrschicht-FET N-JFET<br />
D<br />
G<br />
G<br />
G<br />
D<br />
S<br />
S<br />
S<br />
U TH<br />
-2V<br />
-1V<br />
I D<br />
20mA<br />
10mA<br />
U GS<br />
P-MOSFET (selbstsperrend)<br />
D<br />
G<br />
P-MOSFET (selbstleitend)<br />
D<br />
G<br />
G<br />
S<br />
S<br />
P-JFET<br />
D<br />
S
6 Elektronische Grundlagen 79<br />
6.4.6 Ersatzschaltbild und Grundschaltungen des Feldeffekttransistors<br />
Das Ersatzschaltbild des FET wird bestimmt durch die Kondensatorwirkung des Gates, die allerdings erst bei sehr<br />
hohen Frequenzen wirksam wird, und die Spannungssteuerung des Drainstromes. Ein vereinfachtes Modell (Kleinsignalersatzschaltbild<br />
für den Abschnürbereich) stellt den FET als Stromquelle mit der Steilheit S als Transistorkennwert<br />
dar:<br />
U GS<br />
G<br />
D<br />
S<br />
Transistor<br />
I D<br />
U DS<br />
ΔU GS<br />
C GS<br />
ΔI D<br />
S·ΔU GS<br />
Kleinsignal-<br />
Ersatzschaltbild<br />
Der Feldeffekttransistor kann ebenso wie der Bipolartransistor als Verstärker oder Schaltelement eingesetzt werden.<br />
In der Digitaltechnik werden vorzugsweise MOSFET eingesetzt, während JFET in der Analogtechnik Verwendung<br />
finden. Die Grundschaltungen des FET sind analog zu den Grundschaltungen des Bipolartransistors, die<br />
Bezeichnung richtet sich auch hier nach dem gemeinsamen Bezugspunkt von Eingangs- und Ausgangskreis:<br />
U e<br />
G<br />
U 0<br />
D<br />
S<br />
R D<br />
U a<br />
U e<br />
U 0<br />
R S<br />
U a<br />
U e<br />
ΔU DS<br />
Sourceschaltung Drainschaltung Gateschaltung<br />
6.4.7 Feldeffekttransistor als Schalter<br />
G<br />
Ein FET kann in der Sourceschaltung als Schaltelement eingesetzt werden. Unterschreitet Ue die Schwellspannung<br />
des Transistors (Ue < UTH), so kann kein Drainstrom ID fließen: der Transistor sperrt und die Ausgangsspannung ist<br />
gleich der Betriebsspannung (Ua = U0).<br />
U e<br />
G<br />
U 0<br />
D<br />
S<br />
R D<br />
T<br />
U a<br />
Ue UTH I D<br />
D<br />
S<br />
0 1 0<br />
1 0 1<br />
Ua UTH U0<br />
U 0 - R D ∙I D<br />
S∙U e<br />
I D<br />
UE<br />
R S<br />
G<br />
S<br />
Lastgerade<br />
U GS > U TH : T leitet<br />
U A<br />
D<br />
U 0<br />
R D<br />
U a<br />
U GS > U TH : T sperrt<br />
U DS = U a
6 Elektronische Grundlagen 80<br />
Erst wenn die Gate-Sourcespannung die Schwellspannung überschreitet (Ue > UTH), leitet der Transistor und es<br />
kann ein Drainstrom fließen. Die Ausgangsspannung vermindert sich dadurch um den Spannungsabfall an RC, dies<br />
wird durch die Lastgerade beschrieben:<br />
U a = U 0 − R C ⋅I D<br />
Der Schnittpunkt der Lastgerade mit der für UGS „zuständigen“ Kennlinie bildet den Betriebspunkt für Ue > UTH .<br />
Durch geeignete Wahl des Lastwiderstandes RC kann eine hinreichend (aber nicht beliebig) kleine Ausgangsspannung<br />
erreicht werden, die beispielsweise nachfolgende Schaltstufen ansteuert. Interpretiert man die möglichen Eingangszustände<br />
als Binärwerte, so arbeitet diese digitale Schaltung als Inverter.<br />
Inverter<br />
Eingang Ue<br />
Ausgang Ua<br />
Spannung Binärwert Spannung Binärwert<br />
~ 0 0 ~ U0 1<br />
~ U0 1 ~ 0 0<br />
6.4.8 Feldeffekttransistor in digitalen Grundschaltungen<br />
6.4.8.1 Inverter<br />
Der Widerstand RD in der oben beschriebenen Inverter-Schaltung ist nicht unproblematisch: Falls der Transistor<br />
sperrt, sollte der Widerstand möglichst klein sein, damit Ua auch dann konstant bleibt, wenn die die Ausgangsspannung<br />
durch die nachfolgende Schaltung belastet wird. Andererseits sollte, wenn der Transistor leitet, RD möglichst<br />
groß sein, um eine kleine Ausgangsspannung und niedrige Verlustleistung (Pverlust = U0/RD) zu erreichen. Beide Anforderungen<br />
lassen sich erfüllen, wenn der Widerstand durch einen zweiten, komplementären Transistor ersetzt<br />
wird. Ein N-MOSFET leitet, wenn eine Gate-Sourcespannung UGS > UTH > 0 anliegt. Der dazu komplementäre<br />
P-MOSFET leitet bei einer negativen Gate-Sourcespannung (UGS < -UTH < 0). Mit UGS ≈ 0 sind beide Transistoren<br />
gesperrt. In nachfolgender Schaltung liegen die Gates beider Transistoren TN und TP an der gleichen Eingangsspannung,<br />
aber es gilt: UGS,N = Ue und UGS,P = Ue - U0. Die Schaltzustände der Transistoren werden nun in einer<br />
Fallunterscheidung untersucht:<br />
a) Ue ≈ 0 → TN sperrt (UGS,N = Ue ≈ 0) und TP leitet (UGS,P = U e - U0 ≈ 0 - U0 < -UTH) → Ua ≈ U0<br />
b) Ue ≈ U0 → TN leitet (UGS,N = Ue ≈ U0) und TP sperrt (UGS,P = U0 - Ue ≈ U0 - U0 = 0) → Ua ≈ 0<br />
Derartige Schaltungen, die auf einer Kombination komplementärer MOSFET beruhen, werden als CMOS-Logik<br />
bezeichnet. Der Vorteil gegenüber der Widerstandslogik besteht darin, dass die Schaltung verlustlos arbeitet. Lediglich<br />
während eines Umschaltvorganges (leitend sperrend) durchlaufen beide Transistoren gleichzeitig<br />
einen Zustand, bei dem sie weder voll gesperrt noch leitend sind. Sie bilden dadurch zwei ohmsche Widerstände,<br />
in denen Verlustleistung auftritt. Stromverbrauch und Verlustleistung (= Wärmeentwicklung) steigen bei der<br />
CMOS-Logik daher proportional mit der Taktfrequenz.<br />
Inverter (CMOS-Logik)<br />
U e<br />
U GS,P = U e -U 0<br />
G<br />
G<br />
U GS,N = U e<br />
U 0<br />
S<br />
D<br />
D<br />
S<br />
T P<br />
T N<br />
U a<br />
U 0<br />
T P leitet<br />
T N sperrt<br />
Schaltbild U e ≈ 0 => U a ≈ U 0<br />
U 0<br />
T P sperrt<br />
T N<br />
leitet<br />
U e ≈ U 0 => U a ≈ 0
6 Elektronische Grundlagen 81<br />
6.4.8.2 NAND-Gatter<br />
Ein NAND-Gatter lässt sich zunächst sehr anschaulich in der Widerstands-Logik erkennen: Anstelle des einzelnen<br />
Transistors des Inverters treten zwei in Reihe geschaltete Transistoren <strong>T1</strong> & T2, deren Gates an zwei verschiedenen<br />
Eingangsspannungen Ue,1 und Ue,2 liegen. Solange einer der beiden Transistoren wegen Ue,1 ≈ 0 oder Ue,2 ≈ 0,<br />
sperrt, sperrt auch die Reihenschaltung und die Ausgangsspannung wird Ua ≈ U0 . Erst wenn beide Transistoren<br />
leiten (Ue,1 ≈ U0 und Ue,2 ≈ U0), kann ein Drainstrom fließen und die Ausgangsspannung wird Ua ≈ 0.<br />
NAND-Gatter<br />
U e,1<br />
U e,2<br />
U 0<br />
R D<br />
T 1<br />
T 2<br />
Widerstands-Logik<br />
U a<br />
U e,1<br />
T P,1<br />
U e,2<br />
CMOS<br />
Der Ausgang Ua dieser Schaltung liefert also die NAND-Verknüpfung der (binär interpretierten) Eingangsspannungen<br />
Ue,1 und Ue,2. Die möglichen Kombinationen sind in folgender Tabelle zusammengefasst.<br />
NAND-Gatter<br />
Ue,1 Ue,2 Ua<br />
U 0<br />
T P,2<br />
T N,1<br />
T N,2<br />
Spannung Binärwert Spannung Binärwert Spannung Binärwert<br />
~ 0 0 ~ 0 0 ~ U0 1<br />
~ 0 0 ~ U0 1 ~ U0 1<br />
~ U0 1 ~ 0 0 ~ U0 1<br />
~ U0 1 ~ U0 1 ~ 0 0<br />
Auch in dieser Schaltung kann der Widerstand RD aus oben genannten Gründen durch komplementäre Transistoren<br />
ersetzt werden, deren Gate ebenfalls an den beiden Eingangsspannungen liegen. Dann, und nur dann, wenn sowohl<br />
TN,1 als auch TN,2 leiten (Ua wird dadurch kurzgeschlossen), müssen beide Komplementärtransistoren TP,1 und TP,2<br />
sperren. Sobald TN,1 oder TN,2 sperren (damit sperrt auch die Reihenschaltung) müssen TP,1 oder TP,2 leiten. Diese<br />
Kombination wird durch Parallelschaltung (TP,1 | TP,2) erreicht. Einen Überblick über die Schaltzustände gibt folgende<br />
Tabelle:<br />
NAND-Gatter<br />
Ue,1 Ue,2 Ua<br />
Binärwert TN,1 TP,1 Binärwert TN,2 TP,2 TN,1 & TN,2 TP,1 | TP,2 Binärwert<br />
0 sperrt leitet 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />
0 sperrt leitet 1 leitet sperrt sperrt leitet 1<br />
1 leitet sperrt 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />
1 leitet sperrt 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />
U a
6 Elektronische Grundlagen 82<br />
6.4.8.3 NOR-Gatter<br />
Durch zwei parallele Transistoren <strong>T1</strong> und T2 lässt sich ein NOR-Gatter realisieren. Wenn einer der beiden Transistoren<br />
<strong>T1</strong> oder T2 leitet (also Ue,1 ≈ U0 oder Ue,2 ≈ U0), wird Ua ≈ 0. Sperren beide Transistoren gleichzeitig, wird<br />
Ua ≈ U0..<br />
NOR-Gatter<br />
U e,1<br />
T 1<br />
U e,2<br />
U 0<br />
R D<br />
T 2<br />
U a<br />
U e,1<br />
T N,1<br />
U e,2<br />
Widerstands-Logik CMOS<br />
Auch hier kann der Widerstand ersetzt werden, diesmal jedoch durch eine Reihenschaltung aus zwei komplementären<br />
Transistoren. Die Reihenschaltung TP,1 & TP,2 ist genau dann leitend, wenn die Parallelschaltung TN,1 | TN,2<br />
sperrt. Auch hierzu gibt die folgende Tabelle ein Übersicht über die möglichen Schaltzustände:<br />
NOR-Gatter<br />
U 0<br />
T P,1<br />
T P,2<br />
T N,2<br />
Ue,1 Ue,2 Ua<br />
Binärwert TN,1 TP,1 Binärwert TN,2 TP,2 TN,1 | TN,2 TP,1 & TP,2 Binärwert<br />
0 sperrt leitet 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />
0 sperrt leitet 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />
1 leitet sperrt 0 sperrt leitet leitet sperrt 0<br />
1 leitet sperrt 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />
U a
6 Elektronische Grundlagen 83<br />
6.5 Operationsverstärker<br />
In Kapitel 6.3.3 wurde gezeigt, wie ein Transistor prinzipiell als Verstärker eingesetzt werden kann. Durch Zusammenschaltung<br />
mehrerer Transistoren lassen sich Verstärker realisieren, die unterschiedlichsten Anforderungen hinsichtlich<br />
Temperaturstabilität, Frequenzabhängigkeit der Verstärkung, Ein- und Ausgangswiderstand etc. genügen.<br />
Je nach Anwendungsbereich und Anforderung werden dazu Bipolartransistoren oder Feldeffekttransistoren eingesetzt.<br />
In einer konkreten Anwendung wird allerdings nur in Ausnahmefällen auf diskrete Transistoren zurückgegriffen.<br />
Stattdessen werden vorgefertigte komplexe Verstärkerstufen verwendet, die als integrierte Schaltkreise erhältlich<br />
sind und als Operationsverstärker (= OP) bezeichnet werden. Das folgende Bild zeigt exemplarisch den<br />
inneren Aufbau eines solchen Operationsverstärkers, von denen es ein Vielzahl an Varianten gibt:<br />
Schaltbild des Operationsverstärkers LM741<br />
Für die Anwendung ist der innere Aufbau jedoch nicht relevant, es kommt vielmehr darauf an, wie sich der OP an<br />
seinen Klemmen verhält. Der OP wird dazu durch folgendes Schaltbild dargestellt:<br />
U +<br />
U -<br />
+<br />
_<br />
+ VCC V CC -<br />
Schaltzeichen OP<br />
U a<br />
Anschlüsse:<br />
+ Versorgungsspannung (+)<br />
VCC VCC - Versorgungsspannung (-)<br />
U + positiver Eingang<br />
U -<br />
U a<br />
negativer Eingang<br />
Ausgang<br />
Der OP hat zwei Anschlüsse für die Versorgungsspannung, zwei Anschlüsse für die Eingangsspannungen sowie<br />
einen Anschluss für die Ausgangsspannung.<br />
Die Funktion des OP's besteht darin, dass die zwischen den Eingängen U+ (nichtinvertierender Eingang) und U-<br />
(invertierender Eingang) anliegende Differenzspannung Ud verstärkt wird:<br />
Spannungsverstärkung eines OP ' s: U a = v d ⋅ U d mit : U d = U � − U -<br />
Die Spannungsverstärkung üblicher OP's liegt in der Größenordnung 10 5 bis 10 6 .<br />
Da die Differenzspannung und damit auch die Ausgangsspannung auch negativ sein kann, wird der OP an zwei in<br />
Reihe geschaltete Spannungsquellen VCC (Versorgungsspannungen werden üblicherweise mit „VCC“ = voltage<br />
constant current bezeichnet) angeschlossen. Der Mittelpunkt der Reihenschaltung wird mit der Masseleitung verbunden.<br />
Die Masse ist der gemeinsame Bezugspunkt der in der Schaltung vorkommenden Spannungen. Masseleitungen<br />
werden in Schaltplänen oft nicht eingezeichnet, sondern durch das Massesymbol gekennzeichnet.
6 Elektronische Grundlagen 84<br />
U +<br />
U d<br />
U -<br />
+<br />
_<br />
U a<br />
=<br />
=<br />
V CC<br />
V CC<br />
Vollständige Beschaltung eines OP's Vereinfachte Darstellung<br />
Masse = gemeinsamer Bezugspunkt für Spannungen<br />
Masseleitung, wird in Schaltbildern üblicherweise nicht eingezeichnet<br />
Der Sinn der Differenzverstärkung besteht nun darin, dass durch eine einfache äußere Beschaltung des OP's mit<br />
einfachen, passiven Bauelementen (Widerstand, Kondensator) die Wirkungsweise bestimmt werden kann.<br />
6.5.1 Grundschaltungen mit Operationsverstärkern<br />
Bereits kleinste Differenzspannungen am Eingang des OP's (einige µV) würden aufgrund der hohen Verstärkung<br />
dazu führen, dass die Ausgangsspannung den Wert der Versorgungsspannung erreicht und der OP die Aussteuergrenze<br />
erreicht. Um eine definierte Gesamtverstärkung vg einstellen zu können, wird die Ausgangsspannung auf<br />
den Eingang zurückgekoppelt. Das Prinzip der Rückkopplung zeigt folgendes Bild:<br />
U e<br />
+<br />
U d = U e − k⋅U a<br />
+<br />
-<br />
v d<br />
Rückkopplung<br />
k<br />
Verstärker<br />
Ua U +<br />
U d<br />
U -<br />
+<br />
_<br />
U a<br />
Rückkopplung:<br />
Der Ausgangswert wird abgegriffen, mit k<br />
multipliziert und anschließend vom Eingangssignal<br />
abgezogen. Ein „zu großer“ Ausgangswert führt<br />
dadurch zu einer Verkleinerung des<br />
Verstärkereinganges und rückwirkend zu einer<br />
Verkleinerung der Ausgangswertes.<br />
Von der Eingangsspannung Ue der Verstärkerschaltung wird die mit k multiplizierte Ausgangsspannung Ua subtrahiert.<br />
Es gilt:<br />
U d = U e − k⋅U a und U a = v d ⋅U d<br />
Wird die erste Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt, so folgt:<br />
U a = v d⋅ � U e − k⋅U a� ⇒ U a =<br />
v d<br />
1 � k⋅v d<br />
Wenn aufgrund der sehr hohen Verstärkung des OP's k∙vd >> 1 ist, so gilt näherungsweise:<br />
U a =<br />
v d<br />
1 � k⋅v d<br />
⋅U e ≈ v d<br />
Die Gesamtverstärkung ist also<br />
v g = U a<br />
U e<br />
= 1<br />
k<br />
k⋅v d<br />
= 1<br />
k ⋅U e<br />
⋅U e
6 Elektronische Grundlagen 85<br />
Die Gesamtverstärkung vg wird also ausschließlich durch die Rückkopplung k bestimmt, die durch die äußere Beschaltung<br />
vorgegeben wird. Dieses Rückkopplungsprinzip kann mit einem OP sehr leicht realisiert werden. Die<br />
Subtraktion (= Differenzbildung) zweier Spannungen und die hohe Verstärkung dieser Differenz sind Aufgabe des<br />
OP's. Die Multiplikation der Ausgangsspannung mit dem Faktor k < 1 (dies entspricht einer Spannungsverkleinerung)<br />
wird durch einen Spannungsteiler (RN und R1) realisiert. Damit ergibt sich folgendes Schaltbild:<br />
U e<br />
+<br />
+<br />
-<br />
U d<br />
v d >> 1<br />
1/v g<br />
Schaltungsprinzip<br />
OP<br />
U a<br />
Spannungsteiler<br />
U e<br />
U d<br />
+<br />
_<br />
R 1<br />
R N<br />
OP-Verstärkerschaltung<br />
(Anm.: Diese und andere Verstärkerschaltungen setzen einen idealen Operationsverstärker (Eingangsströme = 0,<br />
Ausgangsspannung unabhängig vom Ausgangsstrom und Verstärkung vd → ∞) voraus. Bei einem realen Operationsverstärker<br />
sind diese Bedingungen nur näherungsweise (typabhängig!) erfüllt.)<br />
Die multiplizierte (verkleinerte) Ausgangsspannung k∙Ua liegt am invertierenden Eingang U- an, der Spannungswert<br />
wird durch die Spannungsteilerregel bestimmt:<br />
k⋅U a = U - =<br />
R 1<br />
R 1 � R N<br />
⋅U a<br />
Wegen vg = 1/k folgt daraus für die Gesamtverstärkung vg:<br />
nichtinvertierender Verstärker : v g = U a<br />
U e<br />
= 1 � R N<br />
R 1<br />
Die Wirkungsweise der Rückkopplung lässt sich auch so beschreiben: Eine Erhöhung der am invertierenden Eingang<br />
anliegenden Eingangsspannung Ue bewirkt eine Vergrößerung der Ausgangsspannung Ua, die dann eine Vergrößerung<br />
der Spannung U- nach sich zieht. Der OP vergrößert die Ausgangsspannung dabei solange, bis U- (fast)<br />
den Wert von U+ erreicht, die Differenzspannung bleibt sehr klein (Ud ≈ 0).<br />
Bei dieser Verstärkerschaltung haben Eingangsspannung Ue und Ausgangsspannung Ua das gleiche Vorzeichen, es<br />
handelt sich um einen nichtinvertierenden Verstärker. Das Rückkopplungsprinzip lässt sich aber auch in einem<br />
invertierenden Verstärker umsetzen:<br />
U e<br />
R 1<br />
U d<br />
virtuelle<br />
Masse<br />
+<br />
_<br />
R N<br />
U a<br />
invertierender OP-Verstärker<br />
Hier bewirkt eine Erhöhung der Eingangsspannung eine Vergrößerung der Spannung am invertierenden Eingang.<br />
Der OP senkt dadurch die Ausgangsspannung soweit ab, dass die Differenzspannung wieder Ud ≈ 0 wird. Da der<br />
nichtinvertierende Eingang auf Massepotential liegt (Spannung gegen Masse = 0), bleib auch der invertierende<br />
Eingang auf dem Massepotential, obwohl er nicht direkt mit der Masse verbunden ist (= virtuelle Masse). Die Gesamtverstärkung<br />
des invertierenden Verstärkers ist (diesmal ohne Herleitung):<br />
U a
6 Elektronische Grundlagen 86<br />
invertierender Verstärker : v g = U a<br />
U e<br />
= − R N<br />
R 1<br />
Das folgende Bild zeigt noch einmal die beiden Verstärkerschaltungen. Die Spannungsverhältnisse kann man sich<br />
auch an einer Wippe veranschaulichen, an der die Ein- und Ausgangsspannung „ziehen“. Die unterschiedlichen<br />
Balkenlängen entsprechen den Widerstände und der Drehpunkt bildet die Masse. Durch die Rückkopplung wird erzwungen,<br />
dass die Differenzspannung gleich 0 wird (U+ = U-), die Wippe bleibt im Gleichgewicht.<br />
U e<br />
U d<br />
R 1<br />
+<br />
_<br />
R N<br />
nichtinvertierender Verstärker<br />
� U a = 1 � R � N<br />
R1 ⋅U e<br />
Masse<br />
R 1<br />
R N<br />
U e = U + = U -<br />
U a<br />
U a<br />
Ue<br />
U e<br />
R 1<br />
U d<br />
+<br />
_<br />
R N<br />
invertierender Verstärker<br />
R 1<br />
U a = − RN ⋅U e<br />
R1 Masse<br />
Die OP-Verstärkerschaltungen können durch weitere ohmsche Widerstände oder Wechselstromwiderstände (vorzugsweise<br />
Kondensatoren) ergänzt werden. Dadurch wird die Verstärkung frequenzabhängig, es entstehen, je nach<br />
Beschaltung, Filter mit unterschiedlicher Charakteristik. Mit einem Operationsverstärker lassen sich durch die äußere<br />
Beschaltung neben verschiedenen Analogfiltern auch andere mathematische Operationen (daher der Name!),<br />
z.B. Addition, Subtraktion, Ableitung oder Integration, leicht realisieren. Beispielsweise wird aus dem invertierenden<br />
Verstärker ein Integrator, wenn RN durch einen Kondensator, bzw. ein Differenzierer, wenn R1 durch einen<br />
Kondensator ersetzt wird.<br />
R N<br />
U a<br />
U a
7 Digitale Grundschaltungen 87<br />
7 Digitale Grundschaltungen<br />
In Kapitel 6.4.8 wurde gezeigt, wie Transistoren in Digitalschaltungen als Schalter eingesetzt werden können. Es<br />
existieren verschiedene Schaltungsfamilien, in denen unterschiedliche Technologien zum Einsatz kommen. Charakteristisch<br />
sind neben der eingesetzten Transistortechnik (Bipolar oder FET) auch das Design der Transistoren<br />
und ihre interne Verschaltung zu logischen Gattern, die in integrierten Schaltungen implementiert sind. Nach außen<br />
bestehen zwischen den Schaltungsfamilien Unterschiede u.a. in der Versorgungsspannung, der Schaltgeschwindigkeit,<br />
der Leistungsaufnahme und der Störempfindlichkeit. Eine Übersicht über die wichtigsten Schaltungsfamilien<br />
gibt folgende Tabelle:<br />
Bezeichnung Technologie Varianten Anwendungsbereich /Eigenschaften<br />
TTL<br />
(Transistor-Transistor-Logik)<br />
CMOS<br />
(Complementary- Metal-<br />
Oxide-Semiconductor)<br />
BiCMOS<br />
(Bus Interface CMOS)<br />
ECL<br />
(Emitter Coupled Logic)<br />
Bipolar LS, ALS,<br />
F, AS<br />
MOS HC, HCT,<br />
AC, ACT<br />
MOS+<br />
Bipolar<br />
ABT,<br />
BCT<br />
Bipolar ECL,<br />
ECTL<br />
schnell<br />
niedriger Ausgangswiderstand<br />
weit verbreitet<br />
niedrige (statische) Verlustleistung<br />
TTL-Kompatibilität (HCT, ACT)<br />
erfordert Schutzmaßnahmen gegen statische<br />
Aufladung (EGB)<br />
schnell<br />
niedrige Verlustleistung<br />
Schnittstelle zw. Rechner u. Peripherie<br />
sehr schnell<br />
hohe Verlustleistung<br />
Herstellung aufwendig<br />
Großrechnertechnik<br />
Innerhalb einer Schaltungsfamilie sind die Spannungspegelbereiche „High“ und „Low“ genormt, die als Binärwert<br />
interpretiert werden können. Mit dem Störabstand MH bzw. ML wird sichergestellt, dass ein Ausgangswert<br />
vom nächsten Gatter richtig erkannt wird.<br />
V CC<br />
V IH<br />
V IL<br />
0V<br />
H<br />
L<br />
Spannungspegel<br />
Input Output<br />
7.1 Logik-Funktionen (Gatter)<br />
V OH<br />
V OL<br />
H<br />
L<br />
VCC Supply Voltage = 5,0V<br />
VIH Input High Voltage = 2,0V<br />
VIL Input Low Voltage = 0,8V<br />
VOH Output High Voltage = 2,7V<br />
Output Low Voltage = 0,5V<br />
V OL<br />
(Zahlenwerte gelten für TTL)<br />
Störabstand:<br />
M H = V OH – V IL<br />
M L = V IL - V OL<br />
Ein Schaltnetz verknüpft mehrere Eingangsvariablen xi mit einer oder mehreren Ausgangsvariablen yi ohne Verwendung<br />
eines Speichers. Diese Digital-Schaltungen können durch Wahrheitstafeln oder Boole'sche Funktionen<br />
beschrieben werden. Neben den elementaren Funktionen „NOT“, „AND“ und „OR“ lassen sich eine ganze Reihe<br />
weiterer Grundfunktionen (z.B. „NAND“, „NOR“, „XOR“ „XNOR“), durch Logik-Gatter darstellen, aus denen<br />
sich dann komplexeren Abbildungen zusammensetzen lassen. Die Realisierung komplexer Schaltnetze kann durch<br />
Verdrahtung einfacher, diskreter Logik-Gatter (die als Einzelchip erhältlich sind) oder durch PLD (PLD = programmable<br />
logic device) bzw. ASIC (application specific integrated circuit) auf einem einzigen Chip erfolgen.<br />
Welche Realisierung auch immer gewählt wird, die Funktionsweise lässt sich immer durch die elementaren Grundfunktionen<br />
darstellen.
7 Digitale Grundschaltungen 88<br />
Bezeichnung Logikgleichung Wahrheitstabelle<br />
x1 = 0 0 1 1<br />
x2 = 0 1 0 1<br />
Schaltzeichen<br />
NOT y = x 1 y = 1 1 0 0 1<br />
x 1<br />
AND<br />
OR<br />
NAND<br />
NOR<br />
XOR<br />
(exclusive-or)<br />
XNOR<br />
(exclusive-not-or)<br />
7.2 Flip-Flop<br />
y = x 1 ⋅x 2<br />
y = x 1∧x 2<br />
y = x 1 �x 2<br />
y = x 1∨x 2<br />
y = x 1 ⋅x 2<br />
y = x 1∧x 2<br />
y = x 1 �x 2<br />
y = x 1∨x 2<br />
y = 0 0 0 1<br />
y = 0 1 1 1<br />
y = 1 1 1 0<br />
y = 1 0 0 0<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
x 2<br />
&<br />
≥1<br />
&<br />
≥1<br />
y = x1⋅x 2 � x1⋅x 2<br />
y = � x1∧x 2�∨�x 1∧x 2� y = 0 1 1 0 =1<br />
y = x1⋅x 2 � x1⋅x 2<br />
y = � x1∧x 2�∨�x 1∧x 2� y = 1 0 0 1 =<br />
Digitale Schaltungen, die einen Speicher enthalten, werden als Schaltwerke bezeichnet. Ihr Ausgangszustand<br />
hängt hängt dann nicht nur vom Eingangszustand, sondern auch von der Vorgeschichte ab. Zur Speicherung eines<br />
binären Zustands können Flip-Flops verwendet werden, deren Funktionsweise an einem einfachen RS-Flip-Flop<br />
beschrieben wird. Das RS-Flip-Flop besitzt keinen Takt-Eingang, es kann jedoch durch entsprechende Erweiterung<br />
als zustand- oder flankengesteuertes Flip-Flop realisiert werden: das Flip-Flop nimmt den neuen Zustand erst dann<br />
ein, wenn der Takteingang gesetzt ist oder seinen Wert ändert.<br />
Flip-Flops können mit Transistoren bzw. Logik-Gattern realisiert werden:<br />
Flip-Flop in Transistorschaltung<br />
S R<br />
Q Q<br />
T 1<br />
T 1<br />
T 2<br />
S<br />
R<br />
U 0<br />
T 2<br />
Flip-Flop aus NOR-Gattern<br />
S<br />
R<br />
≥1<br />
≥1<br />
Q<br />
Q<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
x 2<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
Schaltzeichen<br />
(RS-Flip-Flop)<br />
S Q<br />
R Q
7 Digitale Grundschaltungen 89<br />
Bei einem Flip-Flop aus Transistoren werden zwei Inverter gegeneinander verschaltet. Nimmt man zunächst an,<br />
dass der Transistor <strong>T1</strong> leitend ist, so wird Q = 0 und der durch Q angesteuerte Transistor T2 sperrt. Der Ausgang<br />
¬Q = 1 („¬Q“ = „nicht Q“) belässt <strong>T1</strong> im leitenden Zustand. Durch Schließen des Tasters S wird das Gate von T2<br />
an die Betriebsspannung gelegt und der Transistor T2 leitet. Infolgedessen wird der Ausgang ¬Q = 0, s.d. das Gate<br />
von <strong>T1</strong> an Masse liegt und <strong>T1</strong> sperrt. Da jetzt Q = 1 ist, bleibt T2 auch dann leitet (und <strong>T1</strong> geschlossen), wenn der<br />
Taster S wieder geöffnet wird. Durch Betätigung des Tasters S (= Set) wird also der Ausgang dauerhaft auf Q = 1<br />
gesetzt. Umgekehrt wird durch kurzzeitiges Betätigen des Tasters R (= Reset) <strong>T1</strong> leitend und T2 sperrt, der Ausgang<br />
nimmt dauerhaft den Zustand Q = 0 ein.<br />
Auch bei einem Flip-Flops aus NOR-Gattern werden die Ausgänge kreuzweise an die Eingänge zurückgeführt.<br />
Ein stabiler Zustand ist mit Q = 0 oder Q = 1 gegeben. Liegen zum Zeitpunkt n die Werte S = 0 und R = 0 an den<br />
Eingängen, bleibt dieser Zustand auch für n+1 erhalten:<br />
Q n�1 = S∨Q n = 0∨Q n = Q n und Q n�1 = R∨Q n = 0∨Q n = Q n<br />
Flip-Flop setzen:<br />
Werden die Eingang S = 1 und R = 0 angelegt, so wird dadurch der Ausgang auf<br />
Q n�1 = S∨Q n = 1∨Q n = 1 = 0<br />
gesetzt.<br />
Dieser Ausgang ist aber auf den Eingang des zweiten NOR-Gatters zurückgekoppelt, es ändert seinen Ausgang in<br />
Q n�1 = R∨Q n�1 = 0∨0 = 1<br />
Flip-Flop rücksetzen:<br />
Umgekehrt führt der Eingangszustand S = 0 und R = 1 zu<br />
Q n�1 = R∨Q n�1 = 1∨Q n = 0<br />
Aufgrund der Rückkopplung folgt der Ausgang ¬Q mit:<br />
Q n�1 = S∨Q n�1 = 0∨0 = 1<br />
Der Eingang S = 1 und R = 1 ist sowohl in der Transistorschaltung als auch in der NOR-Schaltung nicht zulässig,<br />
da der Speicherzustand nach Verlassen dieses Eingangszustandes von Bauteiltoleranzen abhängt und daher nicht<br />
vorhersehbar ist.<br />
Die möglichen Zustände des RS-Flip-Flops sind in nachfolgender Tabelle aufgelistet:<br />
Zustandstabelle RS-Flip-Flop<br />
S R Qn+1<br />
0 0 Qn speichern<br />
1 0 1 setzen<br />
0 1 0 rücksetzen<br />
1 1 - nicht erlaubt<br />
Mit den logischen Grundschaltungen (Logik-Gattern) und dem als 1-Bit-Speicherelement einsetzbaren RS-Flip-<br />
Flop stehen die primären Grundlagen für die Digitaltechnik bereit. Es bleibt anzumerken, dass bis zur vollständigen<br />
Rechnerarchitektur zahlreiche weitere Überlegungen und Schritte sowie die Diskussion unterschiedlicher<br />
Technologien anstehen.
8 Tabellen 90<br />
8 Tabellen<br />
8.1 SI-Einheiten<br />
Größe Einheit<br />
Länge s Meter m<br />
Masse m Gramm g<br />
Zeit t Sekunde s<br />
elektrische Stromstärke i Ampere A<br />
Temperatur T Kelvin K<br />
Stoffmenge n Mol mol<br />
Lichtstärke IV Candela cd<br />
8.2 Abgeleitete Größen und Einheiten<br />
Größe Einheit Definition<br />
Frequenz f Hertz Hz 1 Hz = 1/s<br />
Kraft F Newton N 1 N = 1 kg m/s²<br />
Energie, Arbeit W,E Joule J 1 J = 1 Nm<br />
Leistung P Watt W 1 W = 1 J/s<br />
Spannung U Volt V 1 V = 1 W/A = 1 J/C<br />
Ladung Q Coulomb C 1 C = 1 As<br />
Widerstand R Ohm Ω 1 Ω = 1 V/A<br />
Leitwert G Siemens S 1 S = 1 A/V<br />
Kapazität C Farad F 1 F = 1As/V<br />
magnetischer Fluss Ф Weber Wb 1 Wb = 1 Vs<br />
magnetische Flussdichte B Tesla T 1 T = 1 Vs/m²<br />
Induktivität L Henry H 1 H = 1 Vs/A<br />
Lichtstrom ФV Lumen lm 1 lm = 1 cd * sr<br />
Beleuchtung EV Lux lx 1 lx = 1 lm/m²
8 Tabellen 91<br />
8.3 Zehnerpotenzen und ihre Abkürzung<br />
Faktor Name Kurzzeichen<br />
0,000.000.000.000.001 10 -15 Femto f<br />
0,000.000.000.001 10 -12 Piko p<br />
0,000.000.001 10 -9 Nano n<br />
0,000.001 10 -6 Mikro µ<br />
0,001 10 -3 Milli m<br />
0,01 10 -2 Zenti c<br />
0,1 10 -1 Dezi d<br />
1 10 0<br />
10 10 1 Deka D<br />
100 10 2 Hekto h<br />
1.000 10 3 Kilo k<br />
1.000.000 10 6 Mega M<br />
1.000.000.000 10 9 Giga G<br />
1.000.000.000.000 10 12 Tera T<br />
1.000.000.000.000.000 10 15 Peta P<br />
1.000.000.000.000.000.000 10 18 Exa E
8 Tabellen 92<br />
8.4 Physikalische Konstanten<br />
Anm.: Die Werte in dieser Tabelle sind teilweise gerundet.<br />
Formel-<br />
Größe<br />
zeichen<br />
Randbedingungen<br />
Schallgeschwindigkeit cs 330 m/s Luft: 20°C, 1000mbar<br />
Lichtgeschwindigkeit c 3·10 8 m/s Vakuum<br />
Gravitationskonstante G 6,67·10 -11 m 3 /(kg·s 2 )<br />
Erdbeschleunigung g 9,81 m/s² Erdoberfläche<br />
Elementarladung<br />
(Ladung eines Elektrons)<br />
-qe<br />
-1,602·10 -19 As<br />
Elektronenmasse me 9,1091·10 -31 kg<br />
elektrische Feldkonstante ε0 8,859·10 -12 As/Vm<br />
Dielektrizitätszahl<br />
(relative Dielektrizität)<br />
εr<br />
1<br />
4...12<br />
16<br />
12<br />
10 3 ...10 4<br />
80<br />
magnetische Feldkonstante µ0 4π ∙10 -7 Vs/Am<br />
= 1,257∙10 -6 Vs/Am<br />
Permeabilitätszahl<br />
(relative Permeabilität)<br />
µr<br />
1<br />
≤ 1 (diamagnetisch)<br />
≥ 1 (paramagnetisch)<br />
10 2 ...10 4 (ferromagnetisch)<br />
Vakuum, Luft<br />
Glas<br />
Germanium<br />
Silizium<br />
Keramik<br />
Wasser<br />
Vakuum, Luft<br />
Cu, Pb<br />
Al, Pt<br />
Fe, Ni, Ferrit
8 Tabellen 93<br />
8.5 Wichtige Formeln<br />
Geradlinige Bewegung<br />
Geschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
konstante Beschleunigung<br />
v =<br />
d s<br />
dt<br />
a = dv<br />
dt<br />
s = 1<br />
2 a⋅t 2 � v 0⋅t � s 0<br />
v = a⋅t � v 0<br />
gleichförmige Bewegung s = v 0 ⋅t � s 0<br />
v = v 0<br />
Kreisbewegung<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
Winkelbeschleunigung<br />
� =<br />
d �<br />
dt<br />
� = ˙� =<br />
Bahngeschwindigkeit v = �⋅r<br />
Bahnbeschleunigung<br />
(Änderung der Bahngeschw.)<br />
Beschleunigung<br />
(zum Mittelpunkt)<br />
Mechanik des Massenpunktes<br />
a bahn = ˙�⋅r<br />
a ┴ = � 2 ⋅r<br />
Kraftgesetz F = m⋅a<br />
Gravitationskraft<br />
d �<br />
dt<br />
F = G m 1 ⋅m 2<br />
r 2<br />
t<br />
s = ∫ 0<br />
t<br />
v = ∫ 0<br />
v���d � � s 0<br />
a���d � � v 0<br />
Bedingung: a�t� = konst.<br />
Bedingung: a �t� = 0<br />
G = 6,67·10 −11 m 3 /� kg· s 2 �<br />
Gewichtskraft (Erdoberfläche) F = m⋅g g = 9,81 m/s 2<br />
Federkraft<br />
(Hook'sches Gesetz)<br />
F = c feder ⋅s<br />
Arbeit / Energie W = ∫ F �s�ds<br />
Potentielle Energie<br />
(Lageenergie)<br />
W = F⋅s Bedingung: F � s� = konst.<br />
W pot = m⋅g⋅h<br />
Kinetische Energie<br />
(Bewegungsenergie) W kin = 1<br />
2 m⋅v2<br />
Verformungsenergie<br />
(Federenergie) W feder = 1<br />
2 c feder⋅s2 Impuls p = m⋅v<br />
Leistung<br />
P = dW<br />
dt
8 Tabellen 94<br />
Mechanik des starren Körpers<br />
Drehmoment M = r⋅F<br />
Trägheitsmoment J = ∫ M<br />
„Kraftgesetz“ für die<br />
Drehbewegung<br />
Rotationsenergie<br />
r 2 dm<br />
M = J⋅ ˙�<br />
W rot = 1<br />
J �2<br />
2<br />
Drehimpuls L = J �<br />
Schwingungen<br />
Frequenz,<br />
Periodendauer,<br />
Kreisfrequenz<br />
Frequenz eines Fadenpendels<br />
Frequenz eines Federpendels<br />
Wellen<br />
Wellengeschwindigkeit<br />
f = 1<br />
T<br />
= �<br />
2 �<br />
f = 1 ⋅�<br />
g<br />
2� L<br />
f = 1<br />
2� ⋅� c feder<br />
m<br />
c = �<br />
T<br />
Reflexionsgesetz � 1 = � 2<br />
= �⋅f<br />
Brechungsgesetz sin�� 1 �<br />
sin �� 2 � = c 1<br />
c 2<br />
Beugung<br />
Optik<br />
sin �� z � = z⋅ �<br />
d<br />
Brechungsgesetz sin�� 1 �<br />
sin �� 2 � = n 2<br />
n 1<br />
Abbildungsgleichung 1<br />
g<br />
Abbildungsmaßstab<br />
Grenzwinkel Totalreflexion<br />
� 1<br />
b<br />
� = B<br />
G<br />
= 1<br />
f<br />
= b<br />
g<br />
sin�� 1, grenz � = n 2<br />
n 1<br />
J Scheibe = 1<br />
2 m⋅r2<br />
J Ring = m⋅r 2<br />
J Kugel = 2<br />
5 m⋅r2<br />
J Stab = 1<br />
12 m⋅r2<br />
mit : z = ... ,−1,0 ,1,2 ,...<br />
n i = c i<br />
c m
8 Tabellen 95<br />
Elektronik<br />
Strom<br />
Spannung<br />
Widerstand<br />
Leitwert<br />
I = dQ<br />
dt<br />
U = dW<br />
dQ<br />
R = U<br />
I<br />
G = 1<br />
R<br />
= I<br />
U<br />
Reihenschaltung R ges = R 1 � R 2 � ...<br />
Parallelschaltung 1<br />
R ges<br />
Leistung<br />
= 1<br />
R 1<br />
� 1<br />
R 2<br />
� ...<br />
P = U⋅I = R⋅I 2 = 1 2<br />
⋅U<br />
R<br />
Coulomb-Kraft<br />
(Punktladungen Q1 und Q2) F Coulomb = − Q 1 ⋅Q 2<br />
4�� 0� r⋅r 2<br />
elektrische Feldstärke<br />
elektrische<br />
Verschiebungsdichte<br />
Kapazität<br />
Kondensator<br />
Elektrische Energie<br />
(Kondensator)<br />
E = F<br />
q<br />
E = U<br />
d<br />
E =<br />
E =<br />
Q<br />
4� � 0� r⋅r 2<br />
Q<br />
� 0� r⋅A<br />
D = � 0� r⋅E<br />
D = Q<br />
A<br />
C = Q<br />
U<br />
C = � 0� r⋅A<br />
d<br />
1<br />
C ges<br />
= 1<br />
C 1<br />
� 1<br />
C 2<br />
homogenes Feld<br />
Punktladung<br />
Kondensator<br />
Punktladung: A = 4�⋅r 2<br />
Plattenkondensator<br />
� ... Reihenschaltung<br />
C ges = C 1 � C 2 � ... Parallelschaltung<br />
i �t � = C ⋅<br />
u�t � = 1<br />
C ⋅∫ t<br />
0<br />
du �t�<br />
dt<br />
W el = 1 2<br />
C⋅U<br />
2<br />
i ���d � � u �0�
8 Tabellen 96<br />
Elektronik<br />
magnetische Kraft<br />
(parallele Leiter) F magn = � 0� r<br />
2� r ⋅I 1⋅I 2⋅l<br />
Lorenz-Kraft<br />
(bewegte Ladung)<br />
magnetische Flussdichte<br />
magnetische Feldstärke<br />
Induktionsgesetz<br />
Induktivität<br />
Spule<br />
magnetische Energie<br />
(Spule)<br />
Wechselstrom<br />
Tiefpass-Filter<br />
Hochpass-Filter<br />
F Lorenz = Q⋅v⋅B Rechte-Hand-Regel<br />
B = F<br />
I⋅l<br />
B = � 0� r⋅H<br />
H =<br />
1<br />
2�⋅r ⋅I geradliniger Leiter<br />
H = N<br />
⋅I Spule<br />
l<br />
U ind = d<br />
� B �t �⋅A�t ��<br />
dt<br />
L = � 0 � r<br />
N 2<br />
⋅A lange Spule<br />
l<br />
L ges = L 1 � L 2 � ... Reihenschaltung<br />
1<br />
L ges<br />
= 1<br />
L 1<br />
� 1<br />
L 2<br />
di �t �<br />
u �t � = L⋅<br />
dt<br />
i �t � = 1<br />
L ⋅∫ 0<br />
W magn = 1 2<br />
L⋅I<br />
2<br />
X C = 1<br />
�C<br />
t<br />
� ... Parallelschaltung<br />
u ��� d � � i �0�<br />
kapazitiver Widerstand<br />
X L = � L induktiver Widerstand<br />
Z = � R 2 � X 2<br />
1<br />
Z = � 1 1<br />
� 2<br />
R X 2<br />
G TP��� =<br />
G HP ��� =<br />
1<br />
� ��T 1� 2<br />
� 1<br />
�T 1<br />
� ��T 1 � 2<br />
� 1<br />
Grenzfrequenz<br />
(Tief- oder Hochpass-Filter) f grenz = 1<br />
2� � grenz =<br />
1<br />
2�⋅T 1<br />
t<br />
Ausgleichsvorgang<br />
−<br />
T 1<br />
(Kondensator oder Spule) u X �t � = U ende − � U ende−U anfang�⋅e<br />
i X �t � = I ende − � I ende −I anfang�⋅e −t<br />
T 1<br />
Impedanz (Reihenschaltung)<br />
Impedanz (Parallelschaltung)<br />
mit der Zeitkonstante:<br />
bzw.<br />
T 1 = R⋅C<br />
T 1 = L<br />
R<br />
(<strong>T1</strong> ist nicht die Periodendauer!)
8 Tabellen 97<br />
Elektronik<br />
Transistor<br />
(Bipolar) R BE = �U BE<br />
� I B<br />
B = I C<br />
I B<br />
S = � I C<br />
� U BE<br />
Transistor<br />
(FET) S = � I D<br />
� U GS<br />
Emitter- oder<br />
Sourceschaltung v u = � U a<br />
�U e<br />
Spannungsverstärkung<br />
(Operationsverstärker)<br />
U a = v d ⋅ U d<br />
OP-Verstärkerschaltung<br />
(RN : Rückkoppelwiderstand) v g = U a<br />
U e<br />
v g = U a<br />
U e<br />
= B<br />
R BE<br />
= −R C ⋅S<br />
= 1 � R N<br />
R 1<br />
= − R N<br />
R 1<br />
Eingangswiderstand<br />
Stromverstärkung<br />
Steilheit<br />
Steilheit<br />
Spannungsverstärkung<br />
mit:<br />
U d = U � − U -<br />
idealer OP:<br />
v d � ∞<br />
nichtinvertierender Verstärker<br />
(RN: Rückkoppelwiderstand)<br />
invertierender Verstärker
8 Tabellen 98<br />
8.6 Ableitungen und Integrale einiger Funktionen<br />
Ableitung unbestimmtes Integral bestimmtes Integral<br />
x�t� ˙x�t� = d<br />
dt x�t� X �t� = t<br />
∫ x�t �dt X �t�−X �0� = ∫<br />
0<br />
c 0 c⋅t c⋅t<br />
c⋅t c c⋅ 1 2<br />
⋅t<br />
2<br />
c⋅t 2 c⋅2⋅t c⋅ 1 3<br />
⋅t<br />
3<br />
c⋅t n<br />
t<br />
−<br />
T<br />
e − 1<br />
t<br />
T<br />
e−<br />
T<br />
c⋅n⋅t n−1 c⋅ 1 n�1<br />
⋅t<br />
n�1<br />
t<br />
−<br />
T<br />
−T e<br />
sin��⋅t� �⋅cos��⋅t� − 1<br />
� ⋅cos��⋅t�<br />
cos��⋅t� −�⋅sin ��⋅t �<br />
1<br />
� ⋅sin��⋅t�<br />
Anm.: Das bestimmte Integral wird hier speziell für das Intervall [0;t] angegeben.<br />
c⋅ 1 2<br />
⋅t<br />
2<br />
c⋅ 1 3<br />
⋅t<br />
3<br />
c⋅ 1 n�1<br />
⋅t<br />
n�1<br />
t<br />
−<br />
T<br />
T �1 − e �<br />
x��� d �<br />
1<br />
⋅�1 − ⋅cos��⋅t ��<br />
�<br />
1<br />
� ⋅sin��⋅t�