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T1 - Fachbereich Informatik - Hochschule Bonn-Rhein-Sieg

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<strong>Hochschule</strong><br />

<strong>Bonn</strong>-<strong>Rhein</strong>-<strong>Sieg</strong><br />

University<br />

of Applied Sciences<br />

<strong>Fachbereich</strong> <strong>Informatik</strong><br />

Physikalische Grundlagen der <strong>Informatik</strong><br />

Vorlesung WS 2009/10<br />

(Stand: 30.09.09)<br />

Prof. Dr.-Ing. Thomas Breuer<br />

Tel.: 02241/865-234<br />

thomas.breuer@fh-bonn-rhein-sieg.de


Inhaltsverzeichnis<br />

1 Einleitung..............................................................................................................................................................3<br />

1.1 Inhalte und Ziele der Vorlesung......................................................................................................................3<br />

1.2 Diese Vorlesung..............................................................................................................................................3<br />

1.3 Literaturhinweis...............................................................................................................................................4<br />

1.4 Methoden der Physik.......................................................................................................................................6<br />

1.5 Physikalische Größen und Einheiten...............................................................................................................6<br />

2 Mechanik...............................................................................................................................................................9<br />

2.1 Kinematik........................................................................................................................................................9<br />

2.2 Mechanik des Massenpunktes........................................................................................................................13<br />

2.3 Mechanik des starren Körpers.......................................................................................................................16<br />

2.4 Schwingungen................................................................................................................................................18<br />

3 Wellen.................................................................................................................................................................21<br />

3.1 Reflexion.......................................................................................................................................................22<br />

3.2 Interferenz......................................................................................................................................................22<br />

3.3 Brechung........................................................................................................................................................23<br />

3.4 Beugung.........................................................................................................................................................23<br />

4 Optik....................................................................................................................................................................25<br />

4.1 Reflexion und Brechung................................................................................................................................25<br />

4.2 Linse..............................................................................................................................................................26<br />

4.3 Prisma............................................................................................................................................................27<br />

5 Elektrotechnische Grundlagen.............................................................................................................................28<br />

5.1 Gleichstromkreis............................................................................................................................................28<br />

5.2 Elektrische Felder..........................................................................................................................................43<br />

5.3 Magnetische Felder........................................................................................................................................46<br />

5.4 Kondensator und Spule im Stromkreis..........................................................................................................50<br />

6 Elektronische Grundlagen....................................................................................................................................62<br />

6.1 Halbleiterbauelemente ..................................................................................................................................62<br />

6.2 Diode.............................................................................................................................................................66<br />

6.3 Bipolartransistor............................................................................................................................................70<br />

6.4 Feldeffekttransistor........................................................................................................................................76<br />

6.5 Operationsverstärker......................................................................................................................................83<br />

7 Digitale Grundschaltungen..................................................................................................................................87<br />

7.1 Logik-Funktionen (Gatter).............................................................................................................................87<br />

7.2 Flip-Flop........................................................................................................................................................88<br />

8 Tabellen...............................................................................................................................................................90<br />

8.1 SI-Einheiten...................................................................................................................................................90<br />

8.2 Abgeleitete Größen und Einheiten.................................................................................................................90<br />

8.3 Zehnerpotenzen und ihre Abkürzung.............................................................................................................91<br />

8.4 Physikalische Konstanten..............................................................................................................................92<br />

8.5 Wichtige Formeln..........................................................................................................................................93<br />

8.6 Ableitungen und Integrale einiger Funktionen...............................................................................................98<br />

2


1 Einleitung 3<br />

1 Einleitung<br />

1.1 Inhalte und Ziele der Vorlesung<br />

Mit der Erfindung des Transistors und der Verfügbarkeit hochintegrierter Schaltkreise hat die rasante Entwicklung<br />

der automatischen Informationsverarbeitung begonnen und ist seitdem eng mit der Physik und Elektronik verknüpft.<br />

Die <strong>Informatik</strong> hat sich als eigenständiges Wissensgebiet etabliert, deren Anwendung eine stetige Weiterentwickelung<br />

der Rechnerarchitekturen fordert und nutzt. Als Bindeglied zwischen Elektrotechnik und <strong>Informatik</strong><br />

befasst sich die Technische <strong>Informatik</strong> mit der Rechnerhardware und ihrer Funktion, aber auch mit möglichen<br />

Fehlfunktionen, sie beschreibt gewissermaßen das Handwerkszeug des <strong>Informatik</strong>ers.<br />

Die Kenntnis physikalischer und elektronischer Grundlagen erleichtert einerseits das Verständnis des Arbeitsgerätes,<br />

andererseits sind viele Anwendungen technischer Natur und erfordern fachkompetente Mitarbeit in einem<br />

interdisziplinären Team. Im Rahmen einer Einführungsvorlesung finden sicherlich nicht alle Aspekte Platz, so dass<br />

hier nur grundlegende Zusammenhänge erläutert werden. Dazu bietet sich aus didaktischen Gründen zunächst die<br />

Mechanik an, da viele Begriffe und Methoden anschaulich erläutert werden können, die das spätere Verständnis<br />

der Elektrotechnik und Elektronik wesentlich erleichtern. Neben dem Methodenwissen steht aber auch das Faktenwissen<br />

(z.B. über physikalische Gesetze und technische Verfahren), das in der hochtechnisierten (Berufs-)Welt<br />

unerlässlich ist.<br />

1.2 Diese Vorlesung<br />

Es werden die drei Teilgebiete „Physikalische Grundlagen“, „Elektrotechnische Grundlagen“ und „Grundlagen der<br />

Elektronik“, jeweils beschränkt auf die für das Grundverständnis notwendigen Aspekte, behandelt. Allerdings ist<br />

eine qualifizierte Beschäftigung mit Technik nicht ohne Mathematik möglich. Sofern notwendig, werden mathematische<br />

Zusammenhänge anwendungsorientiert in der Vorlesung erläutert. Bitte erwarten Sie hier keine geschlossene,<br />

mathematisch korrekte Darstellung, diese wird in den entsprechenden Mathematik-Vorlesungen angeboten.


1 Einleitung 4<br />

1.3 Literaturhinweis<br />

Zu jedem in der Vorlesung behandelten Teilgebiet gibt es ein Vielzahl an Lehrbüchern, aus der hier eine Auswahl<br />

zusammengestellt wurde. Diese Literatur soll dem tieferen Verständnis und dem weitergehenden Studium des Vorlesungsstoffes<br />

dienen. Allerdings wird an dieser Stelle bewusst auf die Empfehlung eines „vorlesungsbegleitenden<br />

Buches“ verzichtet, da die Vorlesung einerseits keinem der aufgeführten Bücher folgt und andererseits jeder Studierende<br />

unterschiedliche Vorlieben und Lernmethoden mitbringt.<br />

Sowohl die Hochschulbibliothek als auch Buchhandlungen bieten Ihnen die Möglichkeit, verschiedene Bücher anzusehen<br />

und zu vergleichen. Nutzen Sie die Möglichkeit und entscheiden Sie selbst, ob Sie sich eines dieser Bücher<br />

anschaffen bzw. ausleihen wollen, oder ob Ihnen die Mitschrift und dieses Skript ausreichen.<br />

Falls Sie weitere Bücher, die hier nicht aufgeführt sind, für erwähnenswert halten, bin ich natürlich für einen Literaturhinweis<br />

dankbar.<br />

1.3.1 Physik und Mathematik<br />

Bronstein IN, Semendjajew KA, Musiol G, Mühlig H<br />

Taschenbuch der Mathematik<br />

5. Aufl. 1998, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2015-X, € 39,95 (mit CD)<br />

oder ISBN 3-8171-2005-2, € 29,95 (ohne CD)<br />

Dobrinski P, Krakau G, Vogel A<br />

Physik für Ingenieure<br />

10. Aufl. 2003, Teubner, ISBN 3-519-46501-9, € 39,90<br />

Gerlach E, Grosse P<br />

Physik: Eine Einführung für Ingenieure<br />

4. Aufl. 1999, Teubner, ISBN 3-519-33212-4, € 29,90<br />

Höfling O<br />

Physik: Formeln und Einheiten (Sekundarstufe II )<br />

16. Aufl. 2002, Aulis, ISBN 3-7614-0314-3, € 4,40<br />

Lindner H, Siebke W<br />

Physik für Ingenieure<br />

16. Aufl. 2001,Carl Hanser, ISBN 3-446-21703-7, € 34,90<br />

Meschede D (Hrsg)<br />

Gerthsen Physik<br />

22. Aufl. 2004, Springer, ISBN 3-540-02622-3, € 64,95<br />

Sieber H, Huber L<br />

Mathematische Begriffe und Formeln (Sekundarstufe I+II)<br />

1. Auflage 1986, Klett, ISBN 3-12-718000-4<br />

1.3.2 Elektrotechnik<br />

Hagmann G<br />

Grundlagen der Elektrotechnik<br />

10. Aufl. 2003, Aula, ISBN 3-89104-677-4, € 19,80<br />

Lindner H, Brauer H, Lehmann C<br />

Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik<br />

8. Aufl. 2004, Carl Hanser, ISBN 3-446-22546-3, € 24,90<br />

Paul R<br />

Elektrotechnik für <strong>Informatik</strong>er<br />

1. Aufl. 2004, Teubner, ISBN 3-519-00360-0, € 49,90


1 Einleitung 5<br />

Zastrow D<br />

Elektrotechnik: Ein Grundlagenlehrbuch<br />

15. Aufl. 2004, Vieweg, ISBN 3-528-05034-9, € 29,90<br />

1.3.3 Elektronik<br />

Horowitz P, Hill W<br />

The Art of Electronics<br />

2. Aufl. 1989, Cambridge University Press, ISBN 0-521-37095-7<br />

Müller R<br />

Grundlagen der Halbleiter-Elektronik<br />

7. Aufl. 1995, Springer, ISBN 3-540-58912-0, € 39,95<br />

Palotas L (Hrsg.)<br />

Elektronik für Ingenieure: Analoge und digitale integrierte Schaltungen<br />

1. Aufl. 2003, Vieweg, ISBN 3-528-03915-9<br />

Paul R<br />

Elektronik für <strong>Informatik</strong>er<br />

1. Aufl. 2004, Teubner, ISBN 3-519-00361-9, € 39,90Unbehauen R<br />

Tietze U, Schenk<br />

Halbleiter-Schaltungstechnik<br />

2000, Springer, ISBN 3-540-64192-0, € 79,95<br />

1.3.4 Technische <strong>Informatik</strong><br />

Schiffmann W, Schmitz R<br />

Technische <strong>Informatik</strong> 1: Grundlagen der digitalen Elektronik<br />

5. Aufl. 2003, Springer, ISBN 3-540-40418-X, € 29,95<br />

Schiffmann W, Schmitz R<br />

Technische <strong>Informatik</strong> 2: Grundlagen der Computertechnik<br />

4. Aufl. 2002, Springer, ISBN 3-540-43854-8, € 29,95<br />

Schiffmann W, Schmitz R<br />

Technische <strong>Informatik</strong>: Übungsbuch zur Technischen <strong>Informatik</strong> 1 und 2<br />

2. Aufl. 2001, Springer, ISBN 3-540-20793-7, € 24,95


1 Einleitung 6<br />

1.4 Methoden der Physik<br />

Die Physik beschäftigt sich als Wissenschaft mit der unbelebten Natur. Sie ist unterteilt in die Gebiete Mechanik,<br />

Akustik, Wärmelehre, Elektrizität u. Magnetismus, Optik sowie Atom- und Kernphysik.<br />

Die Erkenntnisse und Methoden fließen in vielfältiger Form in den ingenieurwissenschaftlichen Arbeitsbereich mit<br />

ein.<br />

Experiment<br />

(Beobachtung)<br />

Messung physikalischer<br />

Grössen<br />

Physikalisches<br />

Gesetz<br />

Theorie<br />

(Modell)<br />

Mathematische<br />

Beschreibung<br />

Einen ersten, sehr anschaulichen Eindruck über die Arbeitsweise der Physik und ihren Einfluss auf die Technik<br />

lässt sich in der Mechanik gewinnen. Die dort benutzten Denkansätze und mathematischen Methoden werden in<br />

ähnlicher Weise auch in anderen Bereichen angewendet.<br />

Ausgehend von der Beobachtung natürlicher Vorgänge, die in Experimenten gewonnen werden, versucht die<br />

Physik Gesetzmäßigkeiten aufzudecken. Die Definition eindeutiger Begriffe und physikalischer Größen (z.B. Geschwindigkeit,<br />

Stromstärke, Leistung) ist eine notwendige Voraussetzung, um Beobachtungen zu erfassen und Gesetzmäßigkeiten<br />

mathematisch formulieren zu können. Die Komplexität natürlicher Vorgänge erfordert oft eine<br />

idealisierte, auf das wesentliche beschränkte Beschreibung (physikalisches Modell), die erst eine handliche mathematische<br />

Behandlung ermöglicht (z.B. Vernachlässigung der Reibung bei mechanischen Systemen). Die theoretische<br />

Physik erstellt auf der Basis wenige Grundannahmen (Axiome) ein vollständiges und widerspruchsfreies<br />

physikalisches Weltbild.<br />

Neue Erkenntnisse lassen sich durch zwei unterschiedliche Schlussweisen gewinnen:<br />

a) Induktion (vom Einzelfall auf das Allgemeine): Aus den Messergebnissen durchgeführter Experimente<br />

wird auf die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten geschlossen. Die so gefundenen Gesetzmäßigkeiten<br />

sind nur unter den im Experiment gegebenen Randbedingungen gültig und müssen durch Wiederholung<br />

bestätigt werden.<br />

b) Deduktion (vom Allgemeinen auf den Einzelfall): Allgemeingültige Gesetzmäßigkeiten werden auf<br />

den Einzelfall angewendet. Dies erlaubt das Nachvollziehen von Beobachtungen und die Vorhersage<br />

künftiger Ereignisse. Auch hier muss die Gültigkeit der getroffenen Aussagen durch Experimente bestätigt<br />

werden.<br />

1.5 Physikalische Größen und Einheiten<br />

Eine Beobachtung alltäglicher Vorgänge im Straßenverkehr könnte beispielsweise zu folgender Aussage führen:<br />

Fußgänger, Fahrrad und Auto „bewegen“ sich unterschiedlich „schnell“.<br />

Nach Ablauf einer bestimmten „Zeit“ haben die Objekte unterschiedliche „Wege“ zurückgelegt.<br />

Zeit, Weg und Geschwindigkeit sind physikalische Größen, die quantitativ erfasst, also gemessen werden können.<br />

Um dies zu tun, wird eine Maßzahl und eine Maßeinheit verwendet.<br />

Definition:<br />

physikalische Größe = Maßzahl ⋅ Maßeinheit<br />

Beispiel:<br />

Zeit = 3,45 s Weg = 7,89 m Geschwindigkeit = 2,29 m<br />

s


1 Einleitung 7<br />

1.5.1 Maßeinheiten<br />

Im SI-Einheitensystem werden die Einheiten von 7 physikalischen Basisgrößen festgelegt (siehe Kapitel 8.1). Die<br />

Einheiten aller anderen, abgeleiteten Größen lassen sich aus diesen Basiseinheiten ableiten (z.B.: Die Einheit der<br />

Geschwindigkeit ist abgeleitet aus den Einheiten der Zeit und der Länge). Die Einheit einer physikalischen Basisgröße<br />

wird willkürlich (aber zweckmässig) festgelegt. In der Mechanik sind dies:<br />

[Zeit ] = [t] = s = 1 1 1<br />

min = ⋅<br />

60 60 60<br />

1 1 1<br />

h = ⋅ ⋅<br />

60 60 24 d<br />

[Weg] = [s] = m = 1 Erdumfang<br />

km =<br />

1000 1000⋅1000⋅40<br />

[Masse] = [m] = kg = Masse von 1 l Wasser �1l = 10 −3 m 3 �<br />

Das SI-Einheitensystem (SI = Système International d´Unites) ist seit 1960 international verbindlich, wird aber<br />

nicht in allen Ländern (z.B. USA) verwendet.<br />

1.5.2 Maßzahl<br />

Größen unterscheiden sich oft um viele Zehnerpotenzen, Beispiele:<br />

– Struktur eines Halbleiter-Chips: 0,000.001 m<br />

– Entfernung eines Telekommunikations-Satelliten: 36.000.000 m<br />

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden Zahlen in Zehnerpotenzen (10 n ) dargestellt. Die hochgestellte Zahl<br />

(Exponent) hinter der 10 gibt an, wie oft die Zahl 10 mit sich selbst multipliziert werden muss. Eine negative Zahl<br />

bedeutet, dass der Kehrwert zu bilden ist. Die Anzahl Nullen im Ergebnis ist gleich dem Exponenten:<br />

10 n oder<br />

= 10⋅10⋅ ... ⋅10 = 100...0<br />

10 −n = 1 1 1<br />

⋅ ⋅ ... ⋅ = 0,00....1<br />

10 10 10<br />

Zu beachten ist noch folgende Rechenregel:<br />

10 n ⋅ 10 k = 10 n�k<br />

Beispiel:<br />

10 2 ⋅ 10 −1 = 10 2−1 = 10 1 = 10<br />

100 ⋅ 1<br />

10<br />

= 10<br />

Die Zehnerpotenzen können wiederum durch ein Abkürzungszeichen ersetzt werden (siehe Kapitel 8.3).<br />

Beispiele:<br />

2500m = 2,5⋅1000⋅m = 2,5⋅10 3 ⋅m = 2,5 km<br />

1,5 mg = 1,5⋅10 −3 ⋅g = 1,5⋅0,001⋅g = 0,0015 g<br />

Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 2cm besitzt ein Volumen von:<br />

V = 2 cm⋅2cm⋅2 cm = 2⋅10 −2 m ⋅ 2⋅10 −2 m ⋅ 2⋅10 −2 m ⋅ = 8⋅10 −6 m 3 = 8⋅10 −3 l = 8ml<br />

(Anm.: Gedanklich wird die Zehnerpotenz zur Maßzahl, das Kurzzeichen zur Masseinheit gezählt. Für die physikalische Größe<br />

ist dies jedoch unerheblich, da immer das Produkt gebildet wird.)<br />

1.5.3 Skalare und vektorielle Größen<br />

Physikalische Größen, denen keine Richtung zugeordnet werden kann, werden als Skalar bezeichnet. Beispiele<br />

skalarer Größen sind Temperatur, Masse, Zeit und Energie. Daneben gibt es Vektor-Größen, die sich nicht nur


1 Einleitung 8<br />

durch Maßzahl und -einheit auszeichnen, sondern auch durch ihr Richtung, beispielsweise Geschwindigkeit, Kraft<br />

und Impuls.<br />

Im Allgemeinen ist ein Vektor ein gerichteter Pfeil, dessen räumliche Ausrichtung die Wirkrichtung und dessen<br />

Länge (Betrag) das Maß der physikalischen Größe bezeichnet. Vektoren können in Komponenten zerlegt oder aus<br />

Komponenten zusammengesetzt werden. Die Zerlegung eines Vektors in senkrecht aufeinanderstehende Komponenten<br />

wird häufig verwendet, da diese Komponenten unabhängig voneinander betrachtet werden können.<br />

A<br />

B<br />

B<br />

A+B<br />

A<br />

A y<br />

A x<br />

A = A x + A y


2 Mechanik 9<br />

2 Mechanik<br />

2.1 Kinematik<br />

Die Kinematik beschäftigt sich mit der Bewegung von Objekten. Dazu werden Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung<br />

in Abhängigkeit der Zeit betrachtet.<br />

2.1.1 Geschwindigkeit<br />

Wird die Bewegung eines Objektes beobachtet, kann sein Aufenthaltsort durch den Abstand von einem Bezugspunkt<br />

beschrieben und in einem Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Im einfachen Fall einer gleichförmigen<br />

Bewegung ändert sich der Abstand s(t) zum Bezugspunkt linear mit der Zeit t, die Kurve ist eine Gerade.<br />

s(t)<br />

Δs<br />

Δt<br />

Die Geschwindigkeit wird definiert als zurückgelegte Strecke Δs pro Zeit Δt. In der grafischen Darstellung entspricht<br />

also die Geschwindigkeit der Steigung der Kurve s(t).<br />

Definition:<br />

Geschwindigkeit = Strecke<br />

Zeit<br />

Kurzform:<br />

� s<br />

v =<br />

�t<br />

Einheit :<br />

[ s]<br />

[v] =<br />

[t ]<br />

Im Allgemeinen ist die Geschwindigkeit jedoch nicht konstant, s.d. diese Definition zeitliche Änderungen nicht<br />

erfasst. Um die Momentangeschwindigkeit zu verschiedenen Punkten zu beschreiben, wird das Zeitintervall Δt<br />

beliebig klein gewählt. Mathematisch wird dieser Grenzübergang Δt → 0 dadurch ausgedrückt, dass „Δ“ durch „d“<br />

ersetzt wird. Die Geschwindigkeit kann dann zu jedem Zeitpunkt berechnet und als Steigung der Kurve s(t)<br />

aufgefasst werden.<br />

s(t)<br />

ds<br />

dt<br />

t<br />

t<br />

= m<br />

s


2 Mechanik 10<br />

Definition:<br />

v =<br />

d s<br />

d t<br />

= d<br />

dt ⋅s�t�<br />

Anmerkung zur Schreibweise: Zur besseren Übersichtlichkeit wird die Funktion (die auch ein längerer Ausdruck<br />

sein kann) ggf. neben den Bruchstrich geschrieben, „d/dt“ wird dann auch als „Operator“ bezeichnet. Weiterhin<br />

findet sich bei zeitlichen Ableitungen auch die Schreibweise ˙s�t � .<br />

Liegt eine mathematische Beschreibung der zurückgelegten Strecke s(t) vor, kann daraus durch Ableitung die<br />

Funktion v(t) berechnet werden (Kapitel 8.6 enthält dazu einige Funktionen und deren Ableitung). Andererseits<br />

kann aus der Geschwindigkeit v(t) durch Integration die Strecke s(t) berechnet werden, indem die Zeit in (beliebig)<br />

kleine Abschnitte dτ zerlegt wird. In jedem Intervall wird die Strecke<br />

d s = v ⋅d �<br />

zurückgelegt. Jetzt müssen noch alle Streckenelemente ds addiert werden. Ddies geschieht durch Integration<br />

(= Summierung kleinster Intervalle) über ein definiertes Zeitintervall, das festlegt, zu welchem Zeitpunkt die Integration<br />

beginnt und wann sie endet. s(t) ist also die Fläche unter der Kurve v(t):<br />

v(τ)<br />

Gesamtfläche:<br />

s �t�=s�t – d ���v���d � = ∑ v���d � � s�0�<br />

�=0<br />

Flächeninhalt:<br />

s(t – dτ)<br />

Für beliebig kleine Zeitintervalle dτ wird aus der Summe ein Integral:<br />

s�t � = ∫ 0<br />

t<br />

v��� d � � s�0�<br />

t<br />

�=t<br />

dτ<br />

Flächeninhalt:<br />

ds = v(τ)∙dτ<br />

Das Integral liefert „nur“ eine Aussage über die Ortsveränderung seit Beginn des Zeitintervalls, der Ort zu diesem<br />

Zeitpunkt muss dann noch als Anfangswert s(0) hinzuaddiert werden. Kapitel 8.6 enthält einige Formeln zur Berechnung<br />

der Integrale.<br />

2.1.2 Beschleunigung<br />

Analog zur Geschwindigkeit als Maß der Ortsveränderung wird die Beschleunigung als Maß der Geschwindigkeitsänderung<br />

definiert.<br />

Definition:<br />

a =<br />

d v<br />

dt<br />

[a] =<br />

[v ]<br />

[t ]<br />

= m<br />

s 2<br />

In der grafischen Darstellung stellt die Beschleunigung a(t) die Steigung der Geschwindigkeitskurve v(t) dar.<br />

τ


2 Mechanik 11<br />

Anfahren Bremsen<br />

Die Geschwindigkeit kann aus der bekannten Beschleunigung a(t) und dem Anfangswert v(0) ermittelt werden:<br />

v�t� = ∫ 0<br />

t<br />

a ���d � � v �0�<br />

Strecke (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren, da ihnen nicht nur ein Betrag, sondern auch<br />

eine Richtung zugeordnet werden kann. Werden diese Vektoren in senkrecht aufeinander stehende Komponenten<br />

zerlegt, können die Komponenten (diese werden oft als x-,y- und z-Komponente bezeichnet) unabhängig voneinander<br />

und als Skalar betrachtet werden.<br />

2.1.3 Kinematik der Kreisbewegung<br />

Analog zur bisher behandelten linearen (geradlinigen) Bewegung kann auch die Kreisbewegung betrachtet werden.<br />

An die Stelle der Strecke tritt nun der Winkel, der durch die Kreisbewegung überstrichen wird.<br />

φ<br />

r<br />

Der Winkel lässt sich auf zweierlei Weisen darstellen:<br />

– als Anteil am Vollkreises von 360° (GRAD): φ = 0,....,360°<br />

– als Verhältnis zw. Länge des Kreissegmentes s und Radius r (RAD): φ = s/r = 0,....,2π<br />

Bitte beachten Sie diesen Unterschied bei der Bedienung Ihres Taschenrechners! Zur Kontrolle: sin(90°)=sin(π/2)=1<br />

Der überstrichene Winkel sei, ähnlich wie die Strecke bei linearen Bewegungen, zeitabhängig. Es können dann die<br />

Winkelgeschwindigkeit ω (sprich: omega) und die Winkelbeschleunigung α (auch: ˙� , „omega dot“) angegeben<br />

werden:<br />

� =<br />

d �<br />

dt<br />

� = ˙� =<br />

d �<br />

dt<br />

[�] = [�]<br />

[t ]<br />

= 1<br />

s<br />

[�] = [�]<br />

[t]<br />

= 1<br />

s 2<br />

s<br />

s(t)<br />

a(t)<br />

v(t)<br />

t


2 Mechanik 12<br />

2.1.3.1 Gleichförmige Kreisbewegung<br />

Betrachtet man einen Punkt auf der Kreisbahn im Abstand r vom Mittelpunkt, so können seine Koordinaten<br />

angegeben werden mit:<br />

s x �t� = r ⋅ cos��t� und s y �t� = r ⋅ sin�� t�<br />

Die x- und y-Komponenten der Bahngeschwindigkeit werden durch Ableitung der Ort-Zeit-Funktionen sx(t) und<br />

sy(t) bestimmt werden:<br />

v x �t � = −� r ⋅ sin ��t � und v y �t � = � r ⋅ cos��t�<br />

und daraus ergibt sich durch erneute Ableitung die Beschleunigung:<br />

a x �t � = −� 2 r ⋅ cos�� t� und a y �t� = −� 2 r ⋅ sin �� t�<br />

Bahngeschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren, deren Komponenten oben berechnet wurden. Mit Hilfe<br />

der trigonometrischen Beziehung cos²(α) + sin²(α) = 1 können die Beträge dieser Größen bestimmt werden:<br />

v�t� = �⋅r<br />

a �t� = � 2 ⋅r<br />

sy<br />

y<br />

sx<br />

α<br />

Der Beschleunigungsvektor steht bei der gleichförmigen Kreisbewegung stets senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor,<br />

zeigt also zum Mittelpunkt. Durch die Beschleunigung zum Mittelpunkt ändert sich nur die Richtung<br />

der Bewegung, der Betrag der Geschwindigkeit bleibt unverändert. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit liegt zu<br />

jedem Zeitpunkt tangential zur Kreisbahn.<br />

(Anm.: Die hier besprochene Beschleunigung darf nicht mit der tangentialen Bahnbeschleunigung verwechselt werden, durch<br />

die sich die Bahngeschwindigkeit und somit auch die Winkelgeschwindigkeit ändert.)<br />

x<br />

v<br />

a


2 Mechanik 13<br />

2.2 Mechanik des Massenpunktes<br />

2.2.1 Kraft<br />

Der oben angegebene Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung ist völlig unabhängig<br />

von der Masse des Körpers. Diese spielt erst dann eine Rolle, wenn Kraftwirkungen betrachtet werden. Solange<br />

keine Drehbewegungen vorkommen (erst dann spielt die räumliche Massenverteilung eine Rolle), kann zur Vereinfachung<br />

angenommen werden, dass die Masse in einem Massenpunkt konzentriert ist. Die Masse hat keine Richtung,<br />

sie ist also eine skalare Größe (schließlich ändert ein Körper seine Masse nicht dadurch, dass er gedreht<br />

wird).<br />

Die Mechanik des Massenpunktes beruht auf den drei Newton'schen Axiomen:<br />

– Trägheitsprinzip: Ein Körper, auf den keine resultierenden äußeren Kräfte wirken, bewegt sich geradlinig und<br />

gleichförmig, d.h. er wird nicht beschleunigt: a(t) = 0<br />

– Aktionsprinzip: Wirkt auf einen Körper der Masse m die Kraft F, so wird der Körper mit a(t) = F(t)/m beschleunigt.<br />

– Reaktionsprinzip: Wenn ein Körper die Kraft F auf einen anderen Körper ausübt, so wirkt auf den ursprünglichen<br />

Körper die Gegenkraft -F (actio gleich reactio).<br />

Die ersten beiden Axiome können auch als Definition der Kraft aufgefasst werden:<br />

Um einen Körper mit der Masse m zu veranlassen, seine Geschwindigkeit zu ändern (= Beschleunigung a) muss<br />

auf ihn eine Kraft F einwirken.<br />

Definition:<br />

F = m ⋅ a [F ] = [ m] ⋅ [a] = kg⋅m<br />

s 2<br />

= N � Newton�<br />

Das dritte Axiom wird verständlich, wenn man die Verbindung zwischen zwei Körpern gedanklich aufschneidet<br />

und an der Schnittstelle Ersatzkräfte einführt. Das Kräftegleichgewicht bleibt erhalten, wenn an der Schnittstelle<br />

gleich große, aber entgegengesetzt orientierte Kräfte eingesetzt werden.<br />

a<br />

Fa= -Fb Fb= -Fa<br />

Alle Kräfte, die auf einen Körper wirken, können zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Es empfiehlt<br />

sich, zunächst ein Bezugssystem (senkrechtes Koordinatensystem mit x-, y- und ggf. z-Achse) einzuführen<br />

und alle Kräfte in x-, y und z-Komponenten aufzuteilen. Anschließend werden alle Kräfte entsprechend ihrer Richtung<br />

aufaddiert. Für jede dieser Richtungen gilt unabhängig das Kraftgesetz:<br />

∑ F i , x = F ges , x = m ⋅ ax (für die y- und z-Richtung entsprechend)<br />

i<br />

2.2.1.1 Kraftwirkungen<br />

In der Physik wird zwischen Nahwirkungskräften und Fernwirkungskräften unterschieden.<br />

Nahwirkungskräfte (Beispiele: Federkraft) treten innerhalb von Körpern oder bei Berührung von Körpern untereinander<br />

auf und sind durch atomare Phänomene begründet. Fernwirkungskräfte (dies sind Gravitation, magnetische<br />

und elektrische Kraft) benötigen zu ihrer Übertragung kein Medium, existieren also auch im Vakuum und<br />

üben ihre Wirkung auf große Entfernungen aus.<br />

b


2 Mechanik 14<br />

Federkraft<br />

Federkräfte entstehen durch die Verformung eines Festkörpers und sind sehr stark von den Materialeigenschaften<br />

abhängig. Eine gute Näherung, insbesondere bei kleinen Verformungen, wird durch das Hook'sche Gesetz erzielt,<br />

dieses besagt: Wird ein Körper (hier vereinfacht als Feder bezeichnet) aus seiner Ruhelage um die Strecke s verformt,<br />

ist dazu eine Kraft<br />

F feder = c feder ⋅ s c feder : material−u.konstruktionsabhängige Konstante<br />

notwendig. Die Federkraft ist also proportional der Auslenkung.<br />

Gravitationskraft<br />

Kräfte haben unterschiedliche Ursachen, von denen die Gravitation die auffälligste ist. Gravitationskräfte treten<br />

zwischen zwei Massen auf, sie üben untereinander eine Anziehungskraft aus:<br />

F gravitation = G m 1 ⋅m 2<br />

r 2<br />

Fasst man die Faktoren Erdradius r, Erdmasse m1 und Gravitationskonstante G zusammen, so wird eine Masse m<br />

auf der Erdoberfläche mit:<br />

F gravitation = m ⋅ g<br />

angezogen. Im freien Fall würde der Körper mit<br />

a = F gravitation<br />

=<br />

m<br />

m⋅g<br />

m<br />

= g = 9,81<br />

m s 2<br />

beschleunigt werden. Die Naturkonstante g wird daher auch als „Erdbeschleunigung“ bezeichnet. Sie ist, streng<br />

betrachtet, ein Vektor, der stets zum Erdmittelpunkt zeigt.<br />

In der Physik wird im Zusammenhang mit der Gravitation auch der Begriff schwere Masse, im Zusammenhang<br />

mit Beschleunigungskräften der Begriff träge Masse verwendet, sie sind aber dem Betrage nach gleich. Diese Unterscheidung<br />

zielt lediglich auf die unterschiedlichen Wirkungen der Masse ab und ist in der Praxis bedeutungslos.<br />

2.2.2 Arbeit und Energie<br />

Die Betrachtung von Kraftübertragungen (Hebel, Flaschenzug) führt zu der Erkenntnis, dass sich durch Übersetzung<br />

„Kraft gewinnen“ lässt, dafür aber der Weg länger wird. Das Produkt aus Kraft F und Weg s bleibt dabei<br />

konstant. Dieses Produkt wird als Arbeit bezeichnet.<br />

Definition:<br />

Arbeit = Kraft ⋅ Weg W = F ⋅ s [W ] = [F ]⋅[ s] = Nm = J � Joule�<br />

Im Allgemeinen ist die Kraft auf dem zurückgelegten Weg nicht konstant, so dass der Weg in kleine Streckenelementen<br />

ds zerlegt und die Arbeit für jedes dieser Streckenelemente berechnet werden muss. Die gesamte aufgebrachte<br />

Arbeit ergibt sich durch anschliessende Summation über alle Streckenelemente.<br />

S<br />

W = ∫ 0<br />

F �s�ds<br />

Wurde an einem Körper Arbeit verrichtet (z.B. Anheben oder Beschleunigen einer Masse, Spannen einer Feder) ist<br />

dieser Körper selbst in der Lage, Arbeit zu verrichten. Die Möglichkeit Arbeit zu verrichten, wird als Energie bezeichnet.<br />

Zur Unterscheidung zwischen Arbeit und Energie wird für die Energie manchmal auch das Formelzeichen<br />

E verwendet.<br />

2.2.2.1 Potentielle Energie<br />

Durch Anheben eines Körpers der Masse m um die Höhe h gegen die Schwerkraft, erhält dieser die potentielle<br />

Energie<br />

W pot = m⋅g⋅h<br />

Die potentielle Energie bezieht sich immer auf einen Bezugspunkt, von dem aus die Höhe h gemessen wird.


2 Mechanik 15<br />

2.2.2.2 Kinetische Energie<br />

Ein Körper der Masse m, der mit einer konstanten Kraft F beschleunigt wird, erreicht die Geschwindigkeit<br />

v = a⋅t und legt dabei die Strecke s = 1 2<br />

a⋅t<br />

2<br />

W kin = F⋅s = �m a� ⋅ � 1<br />

2 a t 2 � = 1<br />

2 m⋅�at �2 = 1<br />

m v2<br />

2<br />

2.2.2.3 Energieerhaltungssatz<br />

zurück. Seine kinetische Energie ist also<br />

Es existieren verschiedene Energieformen, z.B. potentielle Energie, kinetische Energie, Wärmeenergie, elektrische/magnetische<br />

Energie und chemische Energie. In einem abgeschlossenen System wird keine Energie erzeugt<br />

oder vernichtet, sondern in eine andere Form überführt (Beispiel Federpendel: periodischer Wechsel zwischen potentieller<br />

und kinetischer Energie). Es gilt der Energieerhaltungssatz:<br />

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant:<br />

∑ i<br />

W i = konstant<br />

2.2.3 Leistung<br />

h<br />

W'pot = m g h<br />

W'kin = 0<br />

W''pot = 0<br />

W''kin = ½ m v 2<br />

W'pot + W'kin = W''pot + W''kin<br />

Die pro Zeit umgesetzte Energie (bzw. geleistete Arbeit) ist die Leistung:<br />

Leistung = Arbeit<br />

Zeit<br />

2.2.4 Impuls<br />

P = dW<br />

dt<br />

Eine weitere wichtige Größe ist der Impuls:<br />

[P ] =<br />

[W ]<br />

[t]<br />

= Nm<br />

s<br />

= W �Watt�<br />

Impuls = Masse ⋅ Geschwinigkeit p = m ⋅ v [ p] = [m] ⋅ [v] = kg m<br />

s<br />

Es gilt der Impulserhaltungssatz:<br />

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Impulse konstant:<br />

∑ i<br />

p i = konstant


2 Mechanik 16<br />

2.3 Mechanik des starren Körpers<br />

2.3.1 Drehmoment und Trägheitsmoment<br />

Bisher war von Massenpunkten die Rede, s.d. alle Kräfte an einem gemeinsamen Punkt angreifen. Bei einer räumlichen<br />

Ausdehnung des Körpers kann es vorkommen, dass die Wirklinie der Kraft gegenüber dem Mittelpunkt<br />

(oder einem beliebigen anderen Bezugspunkt) verschoben ist. Denkt man sich den Bezugspunkt als Drehachse, so<br />

wird deutlich, dass durch die Verschiebung der Wirklinie eine Drehbewegung hervorgerufen wird.<br />

M<br />

(Anm.: Am Drehlager der Scheibe wirkt natürlich die Gegenkraft -F, ansonsten würde die Scheibe zusätzlich in Richtung der<br />

Kraft (geradlinig) beschleunigt, die resultierende Bewegung würde etwa die einer Frisbee-Scheibe entsprechen.)<br />

Durch die Verschiebung der Wirklinie um die Strecke r erhält die Kraft F eine Drehwirkung, die als Drehmoment<br />

bezeichnet wird:<br />

M = r⋅F [M ] = [r]⋅[F ] = Nm� Newtonmeter�<br />

r<br />

Das Drehmoment ist das Vektorprodukt aus Ortsvektor r und Kraftvektor F, also wiederum in Vektor, der senkrecht<br />

auf der durch den Bezugspunkt und die Wirklinie aufgespannten Fläche steht. In der Regel reicht es aus, nur<br />

mit den Beträgen zu rechnen, dann muss für r allerdings die kürzeste Verbindung zwischen dem Bezugsort und der<br />

Wirklinie eingesetzt werden.<br />

Analog zur geradlinigen Bewegung widersetzt sich die Scheibe der (Dreh-)Beschleunigung durch das Drehmoment<br />

M, diese Trägheit wird Trägheitsmoment genannt. Das Trägheitsmoment ist sowohl von der Masse des Körpers,<br />

als auch von seiner Formgebung abhängig, da der Beitrag eines Massenelements zum Trägheitsmoment von seinem<br />

Abstand r zur Drehachse abhängt:<br />

J = ∫ M<br />

r 2 dm<br />

Analog zur Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung gibt es eine Zusammenhang zwischen Drehmoment<br />

M, Trägheitsmoment J und Drehbeschleunigung ˙� :<br />

M = J⋅ ˙�<br />

Das Trägheitsmoment wird am Beispiel Kreisscheibe berechnet. Idee: Die Masse wird in schmale Ringe mit dem<br />

Radius r und der Breite dr zerlegt. Diese Ringe haben die Massen:<br />

dm = M ⋅<br />

2� r⋅dr M<br />

= ⋅ 2r⋅dr<br />

2 2<br />

� R R<br />

Die Integration über den gesamten Radius liefert:<br />

J = ∫ M<br />

r 2 dm = M<br />

R 2⋅∫<br />

R<br />

0<br />

r 2 ⋅�2r⋅dr� = M<br />

R 2⋅∫<br />

R<br />

0<br />

Weitere Trägheitsmomente finden Sie in folgender Tabelle:<br />

F<br />

2r 3 ⋅dr = M<br />

R 2⋅2<br />

4 R4 = 1<br />

2 M⋅R2


2 Mechanik 17<br />

Form Trägheitsmoment<br />

Scheibe<br />

Ring,<br />

Massenpunkt auf einer Kreisbahn<br />

Kugel<br />

Stab (Achse senkrecht zum Stab durch<br />

Mittelpunkt)<br />

1<br />

2 m⋅r2<br />

m⋅r 2<br />

2<br />

5 m⋅r2<br />

1<br />

12 m⋅r2<br />

(m: Masse des Körpers, r: Radius bzw. Länge des Körpers)<br />

2.3.2 Rotationsenergie und Drehimpuls<br />

Jeder Massenpunkt dm hat eine vom Radius r abhängige Bahngeschwindigkeit v und somit eine kinetische Energie<br />

dW = 1<br />

2 dm⋅v2 = 1<br />

2 �� r�2 ⋅dm<br />

Die Rotationsenergie des Gesamtkörpers kann durch Summation (Integration) über alle Massenelemente<br />

bestimmt werden:<br />

W rot = ∫ M<br />

1<br />

2 �� r�2 dm = 1<br />

2 �2⋅∫ r<br />

M<br />

2 dm = 1<br />

J �2<br />

2<br />

Der Drehimpuls (= Drall) eines starren Körpers ist:<br />

L = J �


2 Mechanik 18<br />

2.4 Schwingungen<br />

Schwingungen sind periodisch wiederkehrende Vorgänge. Sie treten auf, wenn ein Gleichgewichtszustand gestört<br />

und dadurch Rückstellkräfte wirksam werden, die eine Rückkehr in den Gleichgewichtszustand bewirken. Sie lassen<br />

sich am besten aus einer gleichförmigen Kreisbewegung herleiten.<br />

2.4.1 Die harmonische Schwingung<br />

Eine Scheibe drehe sich mit konstanter Geschwindigkeit. Dies bedeutet, dass sich der Winkel φ zwischen einer<br />

unbeweglichen Bezugslinie und einer mit der Scheibe verbundenen Linie zeitlich ändert:<br />

��t� = � ⋅ t<br />

Die Größe ω wird als Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz bezeichnet. Betrachtet man einen beliebigen<br />

Punkt auf dem Kreisrand und projiziert ihn auf eine Ebene, so beobachtet man eine periodische Bewegung. Die<br />

Auslenkung sy(t) der Projektion, seine Momentangeschwindigkeit und seine Beschleunigung können angegeben<br />

werden (siehe auch Kapitel 2.1.3.1):<br />

s y �t � = r⋅sin �� ⋅ t�<br />

v y �t� = �r⋅cos�� ⋅ t�<br />

a y �t� = −� 2 r⋅sin �� ⋅ t �<br />

s y<br />

φ<br />

Projektionsebene<br />

r<br />

-r<br />

Periodendauer<br />

Die maximale Auslenkung der Schwingung wird als Amplitude bezeichnet. Der Schwingungszustand wiederholt<br />

sich nach der Periodendauer<br />

T = 2�<br />

�<br />

Der Kehrwert der Periodendauer heißt Frequenz:<br />

f = 1<br />

T<br />

= �<br />

2�<br />

Vergleicht man die Funktionen ay(t) und sy(t) miteinander, so fällt auf, dass sich die Beschleunigung zeitgleich wie<br />

die Auslenkung verhält. Daraus folgt, dass sich alle schwingungsfähigen Systeme, bei denen die Rückstellkraft und<br />

damit die Beschleunigung proportional zur Auslenkung ist, wie eine Kreisbewegung verhalten. Auslenkung,<br />

Geschwindigkeit und Beschleunigung solcher Systeme haben immer ein sinusförmiges Zeitverhalten, dies wird als<br />

harmonische Schwingung bezeichnet.<br />

Amplitude<br />

Zeit


2 Mechanik 19<br />

2.4.2 Schwingungsfähige Systeme<br />

Um ein schwingungsfähiges System zu erhalten, werden immer 2 korrespondierende Energiespeicher benötigt, die<br />

periodisch Energie untereinander austauschen können. Sowohl im Federpendel als auch im Fadenpendel wird<br />

potentielle Energie (Massenpunkt maximal ausgelenkt) in kinetische Energie (Massenpunkt in Ruheposition aber<br />

in Bewegung) umgewandelt und umgekehrt.<br />

Federpendel<br />

Fadenpendel<br />

c feder<br />

m<br />

s<br />

F feder<br />

F rückstell<br />

F g = m ∙g<br />

F rückstell = c feder⋅s<br />

m<br />

s<br />

s'<br />

α<br />

L<br />

F seil<br />

α<br />

F rückstell<br />

F g = m∙g<br />

F rückstell = m⋅g<br />

L ⋅s'<br />

Näherung: s ≈ s'<br />

Die Rückstellkraft Frückstell ist proportional zur Auslenkung s und beschleunigt die Masse m entgegen der Auslenkung,<br />

s.d. sie eine Rückkehr (daher das negative Vorzeichen!) in die Ruhelage bewirkt :<br />

F rückstell �t � = −m⋅a�t � = −m⋅ d<br />

dt<br />

v�t�= −m⋅d2 s�t� 2<br />

dt<br />

Gleichzeitig ist Frückstell vom Aufenthaltsort der Masse abhängig (lineares Kraftgesetz, kann für kleine Auslenkungen<br />

immer angenommen werden):<br />

F rückstell �t � = D⋅s�t� mit : D = c (Federpendel) bzw. D = m⋅g<br />

L<br />

(Fadenpendel)<br />

Die letzten beiden Formeln geben jeweils die Rückstellkraft Frückstell an, sie können also gleichgesetzt werden. Es<br />

entsteht eine Differentialgleichung:<br />

−m⋅<br />

d 2<br />

s�t� = D⋅s�t �<br />

2<br />

dt<br />

Zur Lösung der Differentialgleichung wird eine Funktion s(t) gesucht, die diese Gleichung erfüllt. Wir wählen<br />

einen Lösungsansatz, den wir schon als harmonische Schwingung kennen. Mit diesem Lösungsansatz wird probiert,<br />

ob und unter welchen Voraussetzungen sich die Differentialgleichung lösen lässt:<br />

s�t � = �s⋅sin��⋅t� ⇒<br />

Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:<br />

−m⋅�−� 2 �⋅�s⋅sin��⋅t� = D⋅�s⋅sin ��⋅t�<br />

d 2<br />

dt 2 s�t� = −�2 ⋅�s⋅sin��⋅t�<br />

Die Amplitude �s und die Sin-Funktion kürzen sich heraus. Mit s(t) wurde eine Funktion gefunden, die die Differentialgleichung<br />

für alle t erfüllt, somit war der Lösungsansatz erfolgreich. Es bleibt noch eine Gleichung übrig,<br />

die zusätzlich erfüllt sein muss. Daraus kann die Frequenz berechnet werden:<br />

m � 2 = D ⇔ � = � D<br />

m<br />

Fadenpendel:<br />

D = m⋅g<br />

L<br />

⇒ � = � g<br />

L<br />

bzw. f = 1<br />

2�<br />

bzw. f = 1 ⋅�<br />

g<br />

2� L<br />

⋅�<br />

D<br />

m<br />

Die Schwingungsfrequenz des Pendels ist nur von der Fadenlänge L abhängig, nicht aber von der Masse des<br />

Schwingkörpers!


2 Mechanik 20<br />

Federpendel:<br />

D = c ⇒ � = � c<br />

m<br />

bzw. f = 1<br />

2� ⋅ � c<br />

m<br />

Hier haben geometrische Größen keinen Einfluss auf die Schwingungsfrequenz, sie wird allein durch das Verhältnis<br />

von Federkonstante c und Masse m bestimmt.<br />

Die Amplitude hängt in beiden Fällen nicht von der Konstruktion ab, sondern von der Energie, die zur Schwingungsanregung<br />

verwendet wurde. Der Zusammenhang zwischen Energie WPendel und Amplitude �s kann aus der<br />

Rückstellkraft berechnet werden:<br />

W Pendel = ∫ 0<br />

�s<br />

F rückstell ds = ∫ 0<br />

2.4.3 Gedämpfte Schwingung<br />

�s<br />

D⋅s ds = 1<br />

2 D⋅�s2<br />

Bisher wurde vom reibungsfreien Idealfall ausgegangen, s.d. dem schwingenden System keine Reibungsenergie<br />

(=Wärme) „entzogen“ wurde. Eine gedämpfte Schwingung liegt vor, wenn unter Berücksichtigung der Reibung die<br />

Schwingungsamplitude mit der Zeit immer kleiner wird (Beispiel: Amplitude des Fadenpendels wird durch<br />

Luftreibung kleiner). Die Reibung kann so groß werden, dass das System an der Schwingung gehindert wird, stattdessen<br />

tritt ein Kriechverhalten auf (Beispiel: Stoßdämpfer eines Fahrzeugs).<br />

Auslenkung<br />

Dämpfung δ<br />

Zeit


3 Wellen 21<br />

3 Wellen<br />

Wenn schwingfähige Elemente miteinander gekoppelt werden, überträgt sich die Schwingung eines Elements zeitlich<br />

verzögert auf benachbarte Elemente. Eine Erregung pflanzt sich dadurch mit einer charakteristischen Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />

räumlich fort. Die zeitliche und räumliche Zustandsänderung wird als Welle bezeichnet.<br />

Liegen Bewegungsrichtung der Elemente (Schwingungsebene) und Ausbreitungsrichtung parallel, wird dies als<br />

Longitudinalwelle bezeichnet (Beispiel: Schallwelle). Im Gegensatz dazu steht die Schwingungsebene bei Transversalwellen<br />

senkrecht auf der Ausbreitungrichtung (Beispiel: Wasserwelle).<br />

Longitudinal-Welle<br />

∙<br />

Bewegungsrichtung<br />

Ausbreitungsrichtung der Welle<br />

Auslenkung aus der Ruhelage<br />

Transversal-Welle<br />

∙<br />

Bewegungsrichtung<br />

Ausbreitungsrichtung der Welle<br />

In einem elastischen Medium (z.B. Luft) breitet sich die Welle, ausgehend von einer punktförmigen Quelle, in allen<br />

Richtungen aus, es entsteht eine Kugelwelle. Liegt die Quelle unendlich weit weg oder ist die Quelle eine ebene<br />

Fläche, so wird von einer ebenen Welle gesprochen.<br />

Kugelwelle Ebene Welle<br />

Wellenfront (Wellenberge)<br />

Der räumliche Abstand zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen (z.B. Wellenberg – Wellenberg) wird als<br />

Wellenlänge λ bezeichnet. Der zeitliche Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen ist die Periodendauer<br />

T (Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz: T = 1/f).<br />

Zeitverlauf<br />

(an einem festen Ort s 0 )<br />

T λ<br />

s 0<br />

s 0 +Δs<br />

räumlicher Verlauf<br />

(zu einem feste Zeitpunkt t 0 )<br />

t s<br />

t 0<br />

t 0 +Δt


3 Wellen 22<br />

Eine Wellenfront breitet sich aus mit der Geschwindigkeit<br />

Wellengeschwindigkeit = Wellenlänge<br />

Periodendauer<br />

Die wichtigsten Wellenerscheinungen sind:<br />

c = �<br />

T<br />

= �⋅f<br />

Art Ausbreitung Medium typische Frequenz<br />

bzw. Wellenlänge<br />

Schall longitudinal an ein Medium gebunden,<br />

c = 330 m/s in Luft<br />

c = 1485 m/s in Wasser<br />

c = 5100 m/s in Stahl<br />

Oberflächenwellen transversal Grenzfläche zwischen 2 Medien,<br />

c steigt mit zunehmender<br />

Wellenlänge (Dispersion)<br />

Elektromagnetische<br />

Wellen<br />

3.1 Reflexion<br />

transversal nicht an eine Medium gebunden,<br />

c = 3∙10 8 m/s im Vakuum<br />

Beispiele<br />

20 Hz – 20 kHz hörbarer Schall<br />

> 20 kHz Ultraschall, Materialprüfung,<br />

Medizin<br />

1 mm bis 1 km Wasserwelle<br />

bis 1mm Kommunikation, Radar<br />

380 nm bis 760 nm sichtbares Licht<br />

0,01 nm bis 1 nm Röntgenstrahlung<br />

kleiner 0,01nm γ-Strahlung<br />

Treffen Wellen auf eine „harte“ Grenzfläche, so werden die Wellen vollständig reflektiert (z.B. Schall an einer<br />

Zimmerwand, Licht an einem Spiegel, Wasserwellen an einer Kaimauer). Der Winkel, unter dem die Welle eintrifft<br />

(gemessen gegen das Flächennormal = Lot auf Grenzfläche), ist gleich dem Winkel, unter dem die Welle reflektiert<br />

wird.<br />

Reflexionsgesetz:<br />

α 1 α 2<br />

Richtung der<br />

Wellenausbreitung<br />

Einfallswinkel = Ausfallswinkel � 1 = � 2<br />

3.2 Interferenz<br />

Reflexionsebene<br />

Wellenfront<br />

Überlagern sich zwei Wellen, so addieren sich die Amplituden der einzelnen Wellen (Superposition): Wellenberg<br />

und Wellental löschen sich gegenseitig aus, Wellenberge bzw. und Wellentäler verstärken sich. Das dabei entstehende<br />

Wellenmuster wird Interferenzmuster genannt. Insbesondere bei Wellen gleicher Wellenlänge und gleicher<br />

Amplitude, die gegeneinander laufen (z.B. hin- und rücklaufende Welle an einer reflektierenden<br />

Grenzfläche), kann dies zu stehenden Wellen führen. Bei einer stehenden Welle bleiben die Wellenberg an einem<br />

festen Ort, ändern aber periodisch ihre Amplitude. Es bilden sich Schwingungsbäuche und Schwingungsknoten.


3 Wellen 23<br />

3.3 Brechung<br />

stehende Welle<br />

hin rück<br />

reflektierende Fläche<br />

Eine Wellen, die aus einem Medium in eine anderes Medium mit veränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit gelangt,<br />

ändert ihre Ausbreitungsrichtung, d.h. sie wird gebrochen. Der Austrittswinkel α2 wird kleiner (größer) als<br />

der Eintrittswinkel α1, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium kleiner (größer) ist, als im ersten<br />

Medium.<br />

Es gilt das Brechungsgesetz:<br />

sin�� 1 �<br />

sin �� 2 � = c 1<br />

c 2<br />

dichteres Medium<br />

α 1<br />

α 2<br />

c 1<br />

c 2<br />

Richtung der<br />

Wellenausbreitung<br />

Wellenfront<br />

(Anm.: Für α1 = 0 gilt natürlich auch α2 = 0, unabhängig von dem Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten)<br />

3.4 Beugung<br />

An einem Gitter, dessen Spalten den Abstand d haben und dessen Spaltenbreite klein gegenüber der Wellenlänge λ<br />

ist, werden Wellen gebeugt. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass der Spaltabstand größer als die Wellenlänge ist.<br />

Die einfallende Welle wird in Teilwellen aufgefächert, die gegenüber der Flächennormalen den Winkel αz einnehmen.<br />

Beugungseffekte treten auch an einem einfachen Spalt (z.B. an der Öffnung eines optischen Instruments) oder an<br />

einer Kante auf.


3 Wellen 24<br />

Richtung der<br />

Wellenausbreitung<br />

λ<br />

Gitter<br />

d<br />

Mit der Ordnungszahl z können diese Winkel angegeben werden:<br />

sin �� z � = z⋅ �<br />

d<br />

mit : z = ...,−1,0,1,2 ,...<br />

α z<br />

Wellenfront<br />

(Anm.: Für die Ordnungszahl muss gelten: |z| < d/λ, d.h. je nach Spaltenabstand bzw. Wellenlänge existieren unterschiedlich<br />

viele Beugungslinien)


4 Optik 25<br />

4 Optik<br />

Das Phänomen „Licht“ kann durch zwei Modelle erklärt werden, wobei jedes dieser Modelle bestimmte Effekte<br />

erklären kann, aber bei anderen Effekten versagt. So können Interferenzerscheinungen, Brechung, Beugung und<br />

Reflexion sehr gut durch das Wellenmodell begründet werden. Dieses Modell beschreibt Licht als eine elektromagnetische<br />

Welle, in der zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder miteinander wechselwirken. Tritt<br />

Licht jedoch mit Materie in Wechselwirkung, so gibt es Phänomene, die durch das Wellenmodell nicht erklärt werden<br />

können. Ein Beispiele dafür ist der Photoeffekt (= Herauslösen von Elektronen aus einer Metallplatte durch<br />

Licht), der eine Teilchencharakteristik des Lichtes erkennen lässt (Photon = Lichtteilchen). So tritt der Photoeffekt<br />

nur bei bestimmten Frequenzen auf, die Intensität des Lichtes spielt nur bei der Häufigkeit des Auftretens eine<br />

Rolle.<br />

Dieses Nebeneinander verschiedener Erklärungsansätze (Welle-Teilchen-Dualismus) erscheint dann nicht mehr<br />

widersprüchlich, wenn man ein „Teilchen“ als Wellenpaket fester Frequenz darstellt. Erst wenn die Frequenzen eines<br />

Wellenpaketes mit der Resonanzfrequenz der atomaren Strukturen übereinstimmt, treten Wechselwirkungen<br />

auf.<br />

Eine eingehende Behandlung dieses Zusammenhanges ist im Rahmen dieser Vorlesung allerdings unmöglich, wir<br />

beschränken uns auf die Annahmen, dass Licht sowohl<br />

• eine elektromagnetische Welle<br />

• eine Photonenstrahlung<br />

sein kann, eben je nach Anwendungsbereich.<br />

Lichtelektrische Effekte, die auf die Teilchencharakteristik des Lichtes zurückzuführen sind, werden in Kapitel<br />

Fehler: Referenz nicht gefunden behandelt. In diesem Kapitel geht es um die Wellenoptik.<br />

Betrachtet man Licht als Welle, können alle Erkenntnisse aus der oben behandelten Wellentheorie (Reflexion, Interferenz,<br />

Beugung und Brechung) übernommen werden.<br />

Beschränkt man sich weiter auf makroskopische Vorgänge (atomare Strukturen werden nicht betrachtet) und berücksichtigt<br />

die Tatsache, dass sich Licht geradlinig ausbreitet, kann die Wellenausbreitung durch Strahlengänge<br />

dargestellt werden (Strahlenoptik, geometrische Optik). Unter diesem Aspekt werden Reflexion und Brechung<br />

sowie verschiedene Anwendungen (Linse, Prisma, Lichtwellenleiter) betrachtet.<br />

4.1 Reflexion und Brechung<br />

Das Reflexionsgesetz kann, ebenso wie das Brechungsgesetz, direkt aus der Wellentheorie übernommen werden<br />

(siehe Kapitel 3.1 und 3.3). Mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c (Nach Einstein ist c die maximal mögliche<br />

Ausbreitungsgeschwindigkeit für Energie) ist eine von Wellenlänge und Material unabhängige Konstante gegeben.<br />

Durch Einführung der Brechzahl n, mit:<br />

n = c<br />

c m<br />

c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c m : Lichtgeschwindigkeit im Material<br />

entfällt das umständliche Rechnen mit der Lichtgeschwindigkeit und das Brechungsgesetz vereinfacht sich zu:<br />

sin�� 1 �<br />

sin �� 2 � = n 2<br />

n 1<br />

Die Brechzahl ist eine material- und wellenlängenabhängige Konstante, hierzu einige Beispiele:<br />

Material Brechungsindex<br />

Luft (Normaldruck) 1,000272<br />

Wasser 1,33<br />

Glas ~1,5<br />

(Die Tabelle gilt für λ = 589 nm, T = 20°C. Optische Gläser haben z.T. höhere Brechungsindizes)<br />

4.1.1 Totalreflexion<br />

Das Brechungsgesetz beschreibt, wie ein Lichtstrahl beim Übergang von einem Medium in das andere Medium<br />

gebrochen wird. Ein Strahl, der aus einem optisch dichteren Medium n1 in ein dünneres Medium n2 < n1 tritt, wird<br />

so gebrochen, dass der Ausfallswinkel α2 größer als der Einfallswinkel α1 wird. Der Grenzfall wird erreicht, wenn


4 Optik 26<br />

der Ausfallswinkel 90° beträgt, der Lichtstrahl kann das dünnere Medium nicht mehr verlassen und wird<br />

vollständig reflektiert.<br />

n 2<br />

n 1<br />

(2)<br />

(3)<br />

(1)<br />

α 1,grenz<br />

Der Grenzwinkel der Totalreflexion ergibt sich aus dem Brechungsgesetz:<br />

sin�� 1, grenz � = n 2<br />

n 1<br />

⋅ sin �90 °� = n 2<br />

n 1<br />

Anwendung findet dieser Effekt vor allem in Lichtwellenleitern, deren Kern aus einer optisch dünnen und deren<br />

Mantel aus einer optisch dichten Glasfaser aufgebaut ist (siehe Kapitel Fehler: Referenz nicht gefunden).<br />

4.2 Linse<br />

Eine Linse ist ein Glaskörper mit kugelförmigen Oberflächen. Ein Lichtstrahl wird einmal beim Übergang in den<br />

Glaskörper und ein weiteres Mal beim Austritt aus dem Glaskörper gebrochen. Eine Sammellinse bündelt parallel<br />

einfallendes Licht in ihrem Brennpunkt, dessen Abstand von der Hauptebene als Brennweite f bezeichnet wird.<br />

Die Oberfläche einer Sammellinse ist konkav, also nach außen gewölbt. Die Brennweite ist ein Kennwert der Linse,<br />

sie hängt ab vom Brechungsindex des Glases und den Krümmungsradien, die auf beiden Seiten der Linse<br />

durchaus unterschiedlich sein können. Eine Streulinse fächert parallel einfallendes Licht auf, sie hat eine negative<br />

Brennweite (f < 0). Es gibt auch Mischformen, bei denen die Eigenschaft (Streuung oder Fokussierung) davon abhängt,<br />

ob die stärker gekrümmte Oberfläche nach innen oder nach außen weist.<br />

Die Abbildung eines Gegenstandes G durch eine Sammellinse kann dadurch konstruiert werden, dass ausgehend<br />

vom Gegenstand verschiedene Strahlengänge eingezeichnet werden (siehe Abbildung):<br />

(1): Ein paralleler Lichtstrahl schneidet den Brennpunkt auf der Bildseite<br />

(2): Ein Lichtstrahl, der die Linse parallel verlässt, durchläuft den Brennpunkt der Gegenstandsseite<br />

(3): Lichtstrahlen durch den Mittelpunkt werden nicht gebrochen<br />

Am Schnittpunkt der Strahlengänge im Bildraum entsteht ein scharfes Bild. Die Konstruktion der Strahlengänge<br />

bei einer Streulinse ist etwas schwieriger, da die Brennpunkte „vertauscht“ sind und die Strahlengänge<br />

„rückwärts“ verlängert werden müssen.<br />

Sammellinse Streulinse<br />

G<br />

Hauptebene<br />

g b<br />

(1)<br />

f<br />

(2)<br />

f<br />

(3)<br />

(3)<br />

B<br />

: Brennpunkt<br />

(3)<br />

(1)<br />

(2)<br />

G<br />

g<br />

(1)<br />

-f<br />

-b<br />

B<br />

(virtuell)<br />

(3)<br />

-f<br />

(3)<br />

(2)


4 Optik 27<br />

Der Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f wird durch die Abbildungsgleichung<br />

beschrieben:<br />

1<br />

g<br />

� 1<br />

b<br />

= 1<br />

f<br />

Sammellinse:<br />

Streulinse:<br />

f � 0<br />

f � 0<br />

reales Bild:<br />

virtuelles Bild:<br />

b � 0<br />

b � 0<br />

Das Verhältnis zwischen Bildgröße B und Gegenstandsgröße G ist der Abbildungsmaßstab β. Es gilt:<br />

Abbildungsmaßstab = Bildgröße<br />

Gegenstandgröße<br />

� = B<br />

G<br />

Diese Beziehungen gelten sowohl für Sammel- als auch für Streulinsen. Je nach Brennweite und Gegenstandsweite<br />

kann die Bildweite aber auch negativ werden (b < 0). In diesem Falle handelt es sich um ein virtuelles Bild, das<br />

nicht auf eine Scheibe projiziert werden kann. Das virtuelle Bild ist etwas schwieriger zu verstehen: Verlängert<br />

man die durch die Linse gehenden Strahlen rückwärts, treffen sich diese im Bildpunkt B. Ein Beobachter auf der<br />

Bildseite kann nicht unterscheiden, ob die Lichtstrahlen durch die Linse abgelenkt wurden, oder ob sich in B ein<br />

Gegenstand befindet. In beiden Fällen entstehen auf der Bildseite identische Strahlengänge.<br />

4.2.1 Auflösungsvermögen optischer Instrumente<br />

Durch Kombination mehrerer Linsen zu einem System (Fernrohr, Mikroskop) lassen sich sehr große Auflösungen<br />

erzielen. Jedes optische Instrument hat aber eine Öffnung (Blende, Durchmesser d), an der Beugung auftritt, die<br />

das Abbild unscharf machen. Der Winkel δ, unter dem -trotz Beugung- zwei Punkte noch unterscheidbar sind,<br />

kann abgeschätzt werden mit:<br />

Auflösungsvermögen: � = 1,22 �<br />

d<br />

Mit einem Mikroskop lassen sich zwei Punkte gerade noch auflösen, deren Abstand in der Größenordnung der<br />

Wellenlänge liegt. Gleiches gilt auch für die Belichtung (z.B. Chip-Herstellung).<br />

4.3 Prisma<br />

Die Brechzahl eines Materials ist auch von der Wellenlänge des Lichtes abhängig. Dies wird bei einem Prisma<br />

ausgenutzt, um Licht in seine Spektralfarben zu zerlegen: Mit zunehmender Wellenlänge wird die Brechung größer,<br />

s.d. der Austrittswinkel von der Wellenlänge abhängt.<br />

weiß<br />

Prisma<br />

violett<br />

= b<br />

g<br />

rot<br />

Schirm<br />

Prismen werden u.a. in Spektrometer zur Analyse unbekannter Substanzen eingesetzt. Werden diese durch Verdampfen<br />

oder Erhitzen zur Lichtemission (= Lichtaussendung) angeregt, senden die Moleküle charakteristische<br />

Spektren (Farbanteile) aus, die dann durch ein Prisma aufgefächert und bestimmt werden können. Die aufgenommen<br />

Spektren erlauben dann Rückschlüsse auf die Materialzusammensetzung.


5 Elektrotechnische Grundlagen 28<br />

5 Elektrotechnische Grundlagen<br />

5.1 Gleichstromkreis<br />

Beobachtung: Verbindet man die Pole einer Batterie (= Spannungsquelle) mittels zweier Drähte (= metallischer<br />

Leiter) mit den Kontakten einer Lampe (= Verbraucher), so „fließt Strom“ und die Lampe leuchtet. Sobald aber<br />

an irgendeiner Stelle der Kontakt unterbrochen wird, erlischt die Lampe.<br />

Offensichtlich wird durch den Leiter etwas transportiert, das die Lampe zum Leuchten bringt. Weiterhin muss es<br />

auch eine „Rücktransport“ geben, da an der Lampe nichts „angehäuft“ wird.<br />

Durch den Leiter fließen Elektronen, das sind kleinste Massenteilchen, die zudem eine besondere Eigenschaft besitzen:<br />

Elektronen stoßen sich untereinander ab, sie besitzen eine Ladung. Elektronen sind als Elementarteilchen,<br />

neben den ebenfalls geladenen Atomkernen, Grundbestandteil der Materie. Elektronen (negative Ladung) und<br />

Atomkerne (positive Ladung) ziehen sich gegenseitig an, gleichnamige Ladungen stoßen sich gegenseitig ab. Sind<br />

in einem Körper überschüssige Elektronen vorhanden, so ist dieser Körper negativ („-“) geladen und er hat die Ladung<br />

Q < 0. Ein Körper, in dem Elektronenmangel herrscht, ist dementsprechend positiv („+“) geladen (Ladung Q<br />

> 0). In einer Batterie tragen chemische Prozesse dazu bei, Ladungen zu trennen, s.d. der Elektronenüberschuss am<br />

Minuspol und der Elektronenmangel am Pluspol aufrecht erhalten wird. Weitere Mechanismen, die zur Ladungstrennung<br />

führen, sind Reibung (z.B. Gewitter, Wolle/Kunststoff) und die magnetische Kraftwirkung auf Ladungen<br />

(z.B. Generator).<br />

Die Ladung eines Elektrons (= Elementarladung) beträgt<br />

q e =−1,602⋅10 −19 C �Coulomb�<br />

(Anm.: Die Tatsache, das der Elektronenladung ein negativer Wert zugeordnet wird, ist auf einen historischen Irrtum<br />

zurückzuführen. Die Festlegung des Vorzeichens der Elektronenladung erfolgte aber im Prinzip willkürlich.)<br />

Zwischen Ladungen herrschen elektrische Kräfte, die in Richtung eines Ladungsausgleichs orientiert sind. Werden<br />

diese Körper beispielsweise durch einen elektrischen Leiter miteinander verbunden, in dem sich Elektronen<br />

(= Ladungsträger) bewegen können, so fließt ein Strom.<br />

Die Ladung, die in einer bestimmten Zeit den Leitungsquerschnitt passiert, wird bezeichnet als<br />

Stromstärke:<br />

Stromstärke = Ladung<br />

Zeit<br />

I = dQ<br />

dt<br />

[I ] = A � Ampere�<br />

Die Stromstärke ist eine Basiseinheit (vergl. SI-Einheitensystem, Kapitel 1.5.1), die -anders als zu erwarten wäre-<br />

nicht durch die Ladung pro Zeit definiert wird, sondern durch die magnetische Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen<br />

Leitern:<br />

Definition:<br />

Das Ampere ist die Stärke eines elektrischen Stroms durch zwei parallele Leiter, die einen<br />

Abstand von 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom hervorgerufene<br />

Anziehungskraft je 1 m Leitungslänge 2∙10 −7 N beträgt.


5 Elektrotechnische Grundlagen 29<br />

1 m<br />

1 m<br />

F = 2∙10 -7 N<br />

Die technische Stromrichtung ist -ebenfalls willkürlich- festgelegt als die Bewegungsrichtung positiver Ladungen.<br />

Elektrische Ströme basieren aber im allgemeinen auf der Bewegung der Elektronen (negative Ladung), s.d.<br />

die technische Stromrichtung der tatsächlichen Elektronenbewegung entgegengesetzt ist. Dieser Zusammenhang<br />

ist zunächst verwirrend, aber nur zum Verständnis physikalischer Vorgänge relevant. Auf schaltungstechnischer<br />

Ebene wird nur mit der technischen Stromrichtung gearbeitet, in welche Richtung sich die Elektronen bewegen ist<br />

dann bedeutungslos.<br />

Die Einheit der Ladung kann nun aus den Basiseinheiten der Stromstärke und der Zeit abgeleitet werden:<br />

[Q] = C = A⋅s<br />

Bisher wurde gezeigt, dass ein Strom I einen Ladungsunterschied ausgleicht. Da sich ungleichnamige Ladungen<br />

anziehen, muss zunächst die Arbeit W aufgewendet werden, um die Ladungen zu trennen. Die dazu notwendige<br />

Energie pro Ladung wird als Spannung bezeichnet:<br />

Definition:<br />

Spannung =<br />

Elektrische Energie<br />

Ladung<br />

U = dW<br />

dQ<br />

[U ] = Nm<br />

As<br />

1A<br />

1A<br />

= V �Volt �<br />

Fließt ein Strom I = dQ/dt, so wird die Energie wieder in eine andere Form (z.B. Licht oder Wärme) umgewandelt.<br />

Das Produkt aus Spannung und Strom ist:<br />

U = dW<br />

dQ<br />

und I = dQ<br />

dt<br />

Man erhält also die elektrische Leistung:<br />

⇒ U⋅I = dW<br />

dQ ⋅dQ<br />

dt<br />

= dW<br />

dt<br />

Elektrische Leistung = Spannung⋅Stromstärke P = U⋅I [ P] = Nm Nm<br />

⋅A =<br />

As s<br />

= W �Watt �<br />

Der Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das Modell „Wasserkreislauf“ verständlich:<br />

Pumpe<br />

Fluss<br />

Druck<br />

Verbraucher<br />

Spannungs<br />

-quelle<br />

Strom<br />

Spannung<br />

Verbraucher


5 Elektrotechnische Grundlagen 30<br />

5.1.1 Ohm'sches Gesetz<br />

Damit ein Stromfluss zustande kommt, benötigt man nicht nur eine Spannungsquelle (also Elektronenüberschuss<br />

an dem einen Pol, Elektronenmangel an dem anderen Pol), sondern auch ein Medium, in dem sich die Ladungsträger<br />

bewegen können. Je nach verwendetem Material wird der Ladungsträgerstrom mehr oder weniger stark behindert,<br />

s.d. der fließende Strom bei gleicher Spannung unterschiedlich stark ausfällt. Metalle (insbesondere Silber<br />

und Kupfer) sind gute Leiter, die nur einen sehr geringen Widerstand haben. Andere Materialien (z.B. Glas, viele<br />

Kunststoffe oder trockene Luft) lassen keinen Ladungsträgerstrom zu, sie sind Nichtleiter (Isolatoren). Dazwischen<br />

gibt es verschiedene Leitermaterialien mit unterschiedlichsten Widerstandswerten.<br />

Bei vielen Leitern ist die Stromstärke I proportional zur angelegten Spannung U. Das Verhältnis aus Stromstärke<br />

und Spannung wird als elektrischer Widerstand R bezeichnet.<br />

Es gilt das Ohm'sche Gesetz:<br />

Widerstand = Spannung<br />

Stromstärke<br />

U<br />

R = U<br />

I<br />

ΔI<br />

[ R] = V<br />

A<br />

ΔU<br />

I<br />

= � �Ohm�<br />

Also: An einem Widerstand ist das Verhältnis zwischen Spannung und Strom konstant!<br />

Der elektrische Widerstand R eines einfachen, zylinderförmigen Bauteils kann aus der Materialeigenschaft (spezifischer<br />

Widerstand ρ), dem geometrischen Querschnitt A und der Länge L des betrachteten Leiters berechnet werden:<br />

R = �⋅L<br />

A<br />

Der Kehrwert des Widerstands ist der Leitwert:<br />

Leitwert =<br />

1<br />

Widerstand<br />

5.1.2 Elektrische Schaltkreise<br />

G = 1<br />

R<br />

[G] = 1<br />

�<br />

= S �Siemens �<br />

Aus Spannungsquellen, Leitern und Verbrauchern lassen sich nun elektrische Schaltkreise (Netzwerke) aufbauen.<br />

Dazu wird die Anordnung und Verbindung der Bauteile in einem schematischen Schaltplan dargestellt, in dem die<br />

Komponenten durch einfache Symbole dargestellt und durch Linien (= Leiter) verbunden werden. In einem solchen<br />

Schaltplan werden nur die elektrischen Eigenschaften der Bauteile berücksichtigt und weitestgehend idealisiert:


5 Elektrotechnische Grundlagen 31<br />

Komponente Schaltsymbol Wert Bemerkung<br />

Spannungsquelle<br />

Stromquelle<br />

Verbraucher<br />

= U<br />

= I<br />

R<br />

R<br />

Spannung U Unabhängig von I<br />

Stromstärke I Unabhängig von U<br />

Ohm'scher Widerstand R Es gilt das Ohm'sches Gesetz<br />

Potentiometer Veränderlicher Widerstand,<br />

Spannungsteiler<br />

Leiter Kreuzen sich zwei Leiter, wird ggf.<br />

eine elektrische Verbindung durch<br />

einen Punkt dargestellt.<br />

Schalter Öffnet oder schließt einen Leiter<br />

Voltmeter<br />

Amperemeter<br />

5.1.2.1 Ideale Spannungsquelle<br />

V<br />

A<br />

gemessene Spannung U Stromlose Messung<br />

gemessene Stromstärke I Spannungslose Messung<br />

Eine ideale Spannungsquelle erzeugt eine konstante Spannung U0, die unabhängig von der Stromstärke ist. Zusammen<br />

mit einem Widerstand lässt sich damit ein einfacher Stromkreis aufbauen:<br />

I<br />

= U 0 R<br />

Der Strom durch den Widerstand kann mit dem Ohm'schen Gesetz berechnet werden:<br />

mit : R = 100� und U 0 = 5 V ⇒ I = U 0<br />

R<br />

= 5V<br />

100�<br />

= 0,05 A<br />

Eine ideale Spannungsquelle darf nicht kurzgeschlossen oder mit einer anderen Spannungsquelle parallel geschaltet<br />

werden, da dann ein unendlich großer Strom fließen würde.


5 Elektrotechnische Grundlagen 32<br />

5.1.2.2 Ideale Stromquelle<br />

Die ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom I0, der von der Spannung unabhängig ist:<br />

= I U<br />

0 R<br />

Die am Widerstand abfallende Spannung ergibt sich wieder aus dem Ohm'schen Gesetz:<br />

mit : R = 100� und I 0 = 0,05 A ⇒ U = R⋅I 0 = 100�⋅0,05 A = 5V<br />

Eine ideale Stromquelle darf nicht im Leerlauf (offene Klemmen) oder in Reihe mit einer anderen Stromquelle betrieben<br />

werden, da ansonsten die Spannung an der Quelle unendlich groß wird.<br />

5.1.2.3 Reihenschaltung<br />

Werden zwei (oder mehrere) Widerstände hintereinander geschaltet, so entsteht eine Reihenschaltung (auch:<br />

Serienschaltung):<br />

= U 0<br />

Beide Widerstände werden von dem gleiche Strom I durchflossen, die Spannung U0 teilt sich auf beide Widerstände<br />

auf:<br />

U 1 = R 1 ⋅I und U 2 = R 2 ⋅I ⇒ U 0 = U 1 � U 2 = �R 1 � R 2 �⋅I<br />

Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist also:<br />

Gesamtwiderstand = Summe aller Reihenwiderstände R ges = R 1 � R 2 � ...<br />

An einem der Widerstände fällt also die Spannung<br />

U 1 = R 1⋅I = R 1⋅ U 0<br />

R ges<br />

=<br />

R 1<br />

R 1 � R 2<br />

⋅U 0<br />

⇒<br />

I<br />

U 1<br />

U 0<br />

U 1<br />

U 2<br />

=<br />

R 1<br />

R 1 � R 2<br />

ab. Die Gesamtspannung U0 wird also entsprechen den Widerstandsverhältnissen aufgeteilt, daher wird die Schaltung<br />

auch als Spannungsteiler bezeichnet.<br />

5.1.2.4 Parallelschaltung<br />

Widerstände können auch in einer Parallelschaltung angeordnet werden:<br />

I<br />

I 1<br />

= U 0 R1<br />

I 2<br />

R 1<br />

R 2<br />

R 2


5 Elektrotechnische Grundlagen 33<br />

Durch jeden der Widerstände fließt ein Strom, der zum Gesamtstrom addiert werden muss:<br />

I 1 = 1<br />

⋅U 0 und I 2 =<br />

R 1<br />

1<br />

⋅U 0 ⇒ I = I 1 � I 2 = �<br />

R 2<br />

1<br />

R1 Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist also:<br />

Gesamtleitwert = Summe über alle Parallelleitwerte G ges = 1<br />

R ges<br />

5.1.2.5 Reale Spannungsquelle<br />

� 1<br />

�⋅U 0<br />

R 2<br />

= 1<br />

R 1<br />

� 1<br />

R 2<br />

Bisher wurde von einer idealen Spannungsquelle ausgegangen, bei der die Spannung unabhängig von der Stromstärke<br />

ist. Diese Annahme ist jedoch i.A. unzureichend. Man beobachtet vielmehr, dass die Spannung mit zunehmender<br />

Stromstärke abnimmt. Eine reale Spannungsquelle kann mit den bereits bekannten Bauteilen modelliert<br />

werden: Eine ideale Spannungsquelle wird mit einem Widerstand (Innenwiderstand Ri) in Reihe geschaltet. Die<br />

Ausgangsspannung U ist jetzt vom Strom I abhängig.<br />

Der Strom IK, der bei Kurzschluss der Ausgangsklemmen fließt (U = 0), wird als Kurzschlussstrom bezeichnet.<br />

reale Spannungsquelle<br />

R i<br />

= U 0<br />

5.1.2.6 Reale Stromquelle<br />

I<br />

U<br />

R L<br />

U 0<br />

U<br />

ideale Spannungsquelle<br />

reale Spannungsquelle<br />

� ...<br />

U �I � = U 0 − R i ⋅I<br />

Eine reale Stromquelle erhält man durch Parallelschaltung des Innenwiderstandes zur idealen Stromquelle. Der<br />

Ausgangsstrom I ist jetzt von der Spannung U abhängig.<br />

Die Spannung UL, die bei offenen Klemmen vorhanden ist (I = 0), wird als Leerlaufspannung bezeichnet.<br />

reale Stromquelle<br />

=<br />

I 0<br />

R i<br />

I<br />

U<br />

R L<br />

I<br />

ideale Stromquelle<br />

reale Stromquelle<br />

Eine reale Spannungsquelle kann in eine reale Stromquelle umgewandelt werden und umgekehrt:<br />

Spannungsquelle ⇒ Stromquelle: I 0 = I K = U 0<br />

R i<br />

Stromquelle ⇒ Spannungsquelle: U 0 = U L = R i ⋅I 0<br />

Der Innenwiderstand Ri bleibt dabei unverändert.<br />

I 0<br />

I K<br />

I �U � = I 0 − 1<br />

⋅U<br />

Ri U L<br />

I<br />

U


5 Elektrotechnische Grundlagen 34<br />

5.1.3 Kirchhoff'sche Sätze<br />

Die Kirchhoff'schen Sätze wurden oben bereits angewendet, aber noch nicht formuliert. Dies wird jetzt nachgeholt.<br />

5.1.3.1 1. Kirchhoff'sche Satz (Knotensatz)<br />

Strom ist ein Ladungstransport, wobei Ladungen nicht angehäuft oder abgezogen werden können (Ladungserhaltung).<br />

Da die Summe der Ladungen in einem abgeschlossenen Bereich konstant ist, muss die Summe der hineinfließenden<br />

Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme sein. Dieser Zusammenhang gilt insbesondere auch<br />

für die Knoten eines Netzwerkes. Kennzeichnet man alle Ströme durch Zählpfeile und zählt zufließende Ströme<br />

positiv und wegfließende Ströme negativ, so gilt:<br />

Knotensatz:<br />

Die Summe aller Ströme an einem Knoten (zufließende Ströme<br />

sind positiv, abfließende Ströme sind negativ zu zählen) ist gleich null.<br />

∑ i<br />

±I i = 0<br />

5.1.3.2 2. Kirchhoff'sche Satz (Maschensatz)<br />

Die Spannung wurde definiert als die Energie, die beim Transport einer Ladung umgewandelt wird. Nach dem<br />

Energieerhaltungssatz ist es unerheblich, auf welchem Weg die Ladung dabei transportiert wird. Wird eine Probeladung<br />

(gedanklich) entlang eines beliebigen Leitungspfades verschoben und endet dieser Pfad wieder am Ausgangspunkt<br />

(geschlossener Pfad = Masche), so ist die Summe der aufgewendeten Energie (Transport gegensinnig<br />

zur Spannung) gleich der zurückgewonnen Energie (Transport gleichsinnig der Spannung). Kennzeichnet man die<br />

entlang eines Pfades auftretenden Spannungen mit Zählpfeilen und zählt die Spannungen im Umlaufsinn positiv<br />

bzw. die Spannungen gegen den Umlaufsinn negativ, so gilt:<br />

Maschensatz:<br />

Die Summe aller Spannungen eines Maschenumlaufs (gleichsinnige Spannungen<br />

sind positiv, ungleichsinnige Spannungen sind negativ zu zählen) ist gleich null.<br />

∑ i<br />

±U i = 0<br />

Beispiele zur Knoten- und Maschenregel:<br />

I 2<br />

∑ i<br />

I 1<br />

I 3<br />

I 5<br />

Knoten<br />

I i = 0 ⇒ I 1�I 2−I 3�I 4−I 5 = 0<br />

5.1.4 Analyse elektrischer Netzwerke<br />

I 4<br />

∑ i<br />

U 1<br />

=<br />

U 2<br />

Masche<br />

U 4<br />

U 3<br />

U i = 0 ⇒ −U 1�U 2�U 3−U 4 = 0<br />

Zur Analyse, aber auch zum Design elektrischer Netzwerke ist es notwendig, Ströme und Spannungen berechnen<br />

zu können. Mit den Kirchhoff'schen Sätzen können die entsprechenden Gleichungen aufgestellt und die gesuchten<br />

Größen gefunden werden. Voraussetzung für das Aufstellen der Gleichungen ist die Angabe der Zählpfeile. Diese


5 Elektrotechnische Grundlagen 35<br />

können im Prinzip beliebig gewählt werden, es muss aber gelten:<br />

Zählpfeile für I und U am Verbraucher müssen gleichsinnig, und an den Quellen (Erzeuger) gegensinnig sein.<br />

Verbraucherzählpfeilsystem<br />

I<br />

R<br />

U<br />

I<br />

=<br />

Erzeugerzählpfeilsystem<br />

U 0<br />

I 0<br />

= U<br />

Wurde ein Zählpfeil anders gewählt als der tatsächliche Strom, dann wird der Zahlenwert negativ (und man weiß<br />

dann, dass der Strom/die Spannung entgegen der ursprünglichen Annahme orientiert ist). Das Aufstellen der Gleichungen<br />

gelingt bei einfachen Schaltungen meist intuitiv, komplexere Netzwerke erfordern aber ein systematisches<br />

Vorgehen. Dazu werden im Folgenden das Maschenstromverfahren und die Ersatzstrom- bzw. Ersatzspannungsquelle<br />

vorgestellt.<br />

5.1.4.1 Maschenstromverfahren<br />

Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Maschenstromverfahrens ist ein Netzwerk, das durch Widerstandswerte<br />

und Spannungsquellen beschrieben ist. Enthält das Netzwerk Stromquellen, so müssen diese in Spannungsquellen<br />

umgerechnet werden. Das Netzwerk besteht dann aus n unabhängigen Maschen. Das Maschenstromverfahren beruht<br />

auf den Ansatz, dass in diesen n Maschen n unabhängige Maschenströme fließen. In den Zweigen, die zu<br />

mehreren Maschen gehört, überlagern sich diese Maschenströme und ergeben in Summe den Zweigstrom. Die n-1<br />

unabhängigen Maschenströme werden durch ein lineares Gleichungssystem berechnet. Das Vorgehen im Einzelnen:<br />

1. Stromquellen in Spannungsquellen umrechnen (U0 = Ri ·I0)<br />

2. Zählpfeile für Spannungen und Ströme angeben und benennen.<br />

Dazu muss man nicht wissen, in welche Richtung der Strom tatsächlich fließt. Falls das Ergebnis negativ ist, weiß<br />

man, dass der Strom entgegen der angenommenen Richtung orientiert ist.<br />

3. Für jede Masche einen Umlaufsinn und einen Namen angeben.<br />

4. Für jede der n Maschen wird jetzt der Maschensatz angewendet und eine Gleichung aufgestellt.<br />

Dazu werden alle Spannungen entlang des Maschenumlaufs unter Berücksichtigung des Vorzeichens addiert.<br />

Falls eine Spannung entgegen dem Umlaufsinn der Masche orientiert ist, wird diese Spannung negativ gezählt,<br />

ansonsten positiv. Die Spannung an einem Widerstand wird aus dem Ohm'schen Gesetz berechnet, wobei der<br />

Strom als Summe der beteiligten Maschenströme anzusetzen ist. Das Vorzeichen der einzelnen Maschenströme<br />

richtet sich wieder nach dem Umlaufsinn der entsprechenden Masche.<br />

5. Die n Maschen ergeben n unabhängige Gleichungen, die mit den bekannten mathematischen Verfahren gelöst werden<br />

können.<br />

6. Ggf. können jetzt die Zweigströme aus den Maschenströmen berechnet werden.<br />

Diese Vorgehen wird nun an einem Beispiel erläutert:<br />

R b<br />

= I0 R = a U R R c c<br />

b<br />

R a = 500�<br />

R b = 500�<br />

R c = 1k�<br />

I 0 = 40mA<br />

U b = 5 V


5 Elektrotechnische Grundlagen 36<br />

1. Schritt:<br />

Die Stromquelle I0 wird in die Spannungsquelle Ua = Ra∙ I0 umgerechnet. Der zur Stromquelle parallele<br />

Widerstand Ra wird zur Spannungsquelle in Reihe geschaltet.<br />

2. Schritt:<br />

Für die unbekannten Ströme Ia, Ib und Ic werden Zählpfeile und Namen vergeben.<br />

3. Schritt:<br />

Die Maschen I und II werden identifiziert und mit einem Umlaufsinn versehen.<br />

Und hier das modifizierte Schaltbild:<br />

= U a<br />

R a<br />

I a<br />

I c<br />

I b<br />

R b<br />

R c<br />

I II<br />

= U b<br />

R a = 500�<br />

R b = 500�<br />

R c = 1k�<br />

U a = 20V<br />

U b = 5 V<br />

4. Schritt:<br />

Dieser Schritt ist der entscheidende: Aus den Maschenumläufen ergeben sich die folgenden beiden Gleichungen.<br />

Der Strom durch Rc setzt sich zusammen aus dem Maschenstrom II und III: Ic = II - III<br />

Masche I : −U a � R a ⋅I I � R c ⋅�I I � I II � = 0<br />

Masche II : − U b � R b⋅I II � R c⋅�I II � I I� = 0<br />

Diese Gleichungen werden so umgeformt, dass links die Spannungen stehen:<br />

Masche I : U a = �R a � R c �⋅I I � R c ⋅I II<br />

Masche II : U b = �R c⋅I I � �R b � R c�⋅I II<br />

Diese Gleichungen können auch in Matrizenschreibweise formuliert werden:<br />

� U a<br />

U b� = � �Ra � Rc� R c<br />

R c<br />

�R b � Rc�� ⋅ � I I bzw.<br />

I II� � 20<br />

5 � V = � 1,5<br />

1,0<br />

1,0<br />

1,5� k � ⋅ � I I<br />

I II�<br />

6. Schritt:<br />

Mit entsprechenden mathematischen Verfahren kann das Gleichungssystem jetzt gelöst werden. Hier das<br />

Ergebnis:<br />

I I = �R b � R c �⋅U a − R c ⋅U b<br />

R a⋅R b � R a⋅R c � R b⋅R c<br />

I II = �R a � R c �⋅U b − R c ⋅U a<br />

R a⋅R b � R a⋅R c � R b⋅R c<br />

= 1,5⋅20 − 1,0⋅5<br />

= 1,5⋅5 − 1,0⋅20<br />

mA = 20mA<br />

�2,25 − 1�<br />

mA = −10mA<br />

�2,25 − 1 �<br />

7. Schritt:<br />

Die Zweigströme ergeben sich (endlich!) aus der Überlagerung der Maschenströme:<br />

I a = �I I<br />

I b = �I II<br />

I c = �I I � I II<br />

= �20mA<br />

= −10mA<br />

= �10mA<br />

(Anm.: Der Strom Ib ist < 0. Dies bedeutet, dass er tatsächlich anders herum fließt als es der Zählpfeil angibt.)


5 Elektrotechnische Grundlagen 37<br />

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass alternativ das Knotenpotentialverfahren angewendet werden kann.<br />

Bei diesem Verfahren müssen zunächst alle Spannungsquellen in Stromquellen, alle Widerstandswerte in Leitwerte<br />

überführt werden. Während beim Maschenstromverfahren der Maschensatz verwendet wird, kommt beim Knotenpotentialverfahren<br />

der Knotensatz zur Anwendung. Und an die Stelle der Maschenströme treten die Spannungsdifferenzen<br />

zwischen den unabhängigen Knoten und einem als Bezugspunkt gewählten Knoten.<br />

5.1.4.2 Ersatzspannungs- oder Stromquelle<br />

Die vollständige Analyse eines Netzwerkes (z.B. durch das Maschenstromverfahren) erfordert einen nicht unerheblichen<br />

Rechenaufwand. Oft werden aber nur Ströme oder Spannungen in einzelnen Zweigen des Netzwerkes<br />

gesucht, die mit einer vereinfachten Methode schneller gefunden werden können.<br />

Die Methoden Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle beruhen darauf, das gesamte übrige Netzwerk als<br />

„Black-Box“ darzustellen, die sich wie eine reale Spannungsquelle oder eine reale Stromquelle verhält. Das „übrige“<br />

Netzwerk wird also durch eine Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle dargestellt, s.d. Strom und Spannung<br />

im interessierenden Zweig leicht berechnet werden können.<br />

Die Umwandlung des Netzwerkes in eine Ersatzquelle erfolgt schrittweise, indem gleichartige Bauteile zusammengefasst<br />

werden. Die Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen bzw. Leitwerten wurde bereits oben (Kapitel<br />

5.1.2.3 und 5.1.2.4) behandelt. Auch Ideale Strom- bzw. Spannungsquellen lassen sich unter Beachtung der Vorzeichen<br />

zusammenfassen. Liegt eine reale Spannungs- bzw. Stromquelle parallel zu einem Widerstand oder einer<br />

anderen Quelle, müssen die Quellen ebenfalls geeignet umgewandelt werden.<br />

Ein Übersicht über die Zusammenfassung der Schaltungselemente gibt folgende Tabelle:<br />

Schaltungslemente Reihenschaltung Parallelschaltung<br />

Widerstände Ri R ges = R 1 � R 2 � ...<br />

1<br />

R ges<br />

= 1<br />

R 1<br />

� 1<br />

R 2<br />

� ...<br />

Ideale Stromquellen Ii nicht erlaubt I ges = ± I 1 ± I 2 ± ...<br />

Ideale Spannungsquellen Ui U ges = ± U 1 ± U 2 ± ... nicht erlaubt<br />

Die Methode der Ersatzspannungs/stromquelle wird nun an einem Beispiel vorgestellt. Als Beispiel dient die bereits<br />

oben benutzte Schaltung (siehe Kapitel 5.1.4.1). Gesucht ist der Strom Ic durch den Widerstand Rc:<br />

R b<br />

= I 0 R a = U b<br />

R c R c<br />

I c = ?<br />

R a = 500�<br />

R b = 500�<br />

R c = 1k�<br />

I 0 = 40mA<br />

U b = 5 V<br />

Zunächst wird das Netzwerk so dargestellt, dass der betroffene Widerstand und das übrige Netzwerk getrennt sind.<br />

Das übrige Netzwerk ist dann die Black-Box, die durch eine Ersatzquelle beschrieben werden soll:


5 Elektrotechnische Grundlagen 38<br />

I c<br />

R c R c<br />

U c<br />

= I 0 R a<br />

R b<br />

= U b<br />

Jetzt wird die aus Ub und Rb bestehende reale Spannungsquelle in eine Stromquelle umgewandelt:<br />

= I R R c c 0 Ra = I Ic Uc b Rb I b = 1<br />

⋅U b<br />

R b<br />

= 10mA<br />

Anschließend werden die parallelen Stromquellen I0 und Ib sowie die parallelen Widerstände Ra und Rb zusammengefasst:<br />

I c<br />

R c R c<br />

U c<br />

= I 2<br />

R 2<br />

1<br />

R 2<br />

= 1<br />

R a<br />

� 1<br />

R b<br />

=<br />

250 �<br />

I 2 = I 0 � I b = 50mA<br />

Zum Schluss kann die Ersatzstromquelle noch in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt werden:<br />

1


5 Elektrotechnische Grundlagen 39<br />

I c<br />

R c R c<br />

U c<br />

R 2<br />

= U 2<br />

Strom und Spannung am Widerstand Rc können jetzt leicht berechnet werden:<br />

I c =<br />

U 2<br />

R 2 � R c<br />

= 10mA und U c =<br />

5.1.5 Strom- und Spannungsmessung<br />

R c<br />

⋅U 2 = 10V<br />

R 2 � Rc U 2 = R 2 ⋅I 2 = 12,5V<br />

Die Stromstärke wird mit einem Amperemeter gemessen, das in den Stromkreis geschaltet wird. Der Zweig, dessen<br />

Strom gemessen werden soll, muss dazu unterbrochen werden. Allerdings hat jedes Amperemeter einen Innenwiderstand<br />

RiA der möglichst gering sein sollte (RiA > RL).<br />

= I 0<br />

R L<br />

U mess<br />

Voltmeter<br />

R iV<br />

V<br />

U mess =<br />

1<br />

R iV<br />

I 0<br />

� 1<br />

R L<br />

≈ R L⋅I 0


5 Elektrotechnische Grundlagen 40<br />

5.1.6 Potentiometer<br />

Ein Potentiometer ist ein verstellbarer Widerstand. Er besitzt einen Abgriff, mit dem der Widerstand in zwei Teilwiderstände<br />

Ra = x·R und Rb = (1-x)·R geteilt werden kann. Da Ra und Rb in Reihe geschaltet sind, kann mit einem<br />

Potentiometer ein verstellbarer Spannungsteiler realisiert werden.<br />

= U 0<br />

1-x<br />

x<br />

R<br />

Potentiometer<br />

Ohne Belastung durch den Lastwiderstand RL ist die Ausgangsspannung UL proportional der Verstellung:<br />

U L=<br />

x⋅R<br />

�1−x�⋅R � x⋅R ⋅U 0 = x⋅R<br />

R ⋅U 0 = x⋅U 0<br />

Wird an den Abgriff jedoch ein Strom entnommen, so ist die Ausgangsspannung auch vom Laststrom IL abhängig:<br />

U L = x⋅U 0 − x�1−x� R⋅I L<br />

5.1.7 Brückenschaltung<br />

Brückenschaltungen werden zur Messung von Widerständen Rx bzw. von Widerstandsänderungen ΔRx eingesetzt.<br />

Sie bestehen aus vier Widerständen, die paarweise einen Spannungsteiler bilden. Der Brückenzweig wird dann<br />

spannungs/stromlos, wenn beide Spannungsteiler das gleicher Verhältnis bilden.<br />

=<br />

U 0<br />

R x = ?<br />

R a<br />

V<br />

U mess<br />

R 1<br />

R 2<br />

U L<br />

I L<br />

R L<br />

Brückenschaltung<br />

Die Brückenspannung Umess wird also dann zu null, wenn die Abgleichbedingung<br />

R x = R 1<br />

⋅Ra R 2<br />

erfüllt ist. Damit kann der unbekannte Widerstand Rx aus dem bekannten Widerstand Ra und dem Verhältnis R1/R2<br />

berechnet werden. Verwendet man anstelle der Widerstände R1 und R2 einen Spannungsteile (Potentiometer), so<br />

kann der Widerstand direkt an der Stellung des Abgriffs abgelesen werden. Mit Ra lässt sich dabei der Messbereich<br />

einstellen. Da es sich um eine Vergleichsmessung handelt, kann der Widerstand ohne absolute Messung von Strom<br />

oder Spannung bestimmt werden, es wird lediglich ein Anzeigeinstrument benötigt, mit dem Umess = 0 nachgewiesen<br />

werden kann.<br />

Ein weitere Anwendungsbereich der Brückenschaltung ist eine Messbrücke, mit der kleine Widerstandsänderungen<br />

gemessen werden können. Wenn der spezielle Widerstand Rx von einer physikalischen Größe abhängig ist<br />

(z.B. Temperatur, Kraft, Licht etc.), kann so die physikalische Größe sehr genau gemessen werden. Ein Abgleich<br />

der Messbrücke ist leicht möglich, wenn die Widerstände R1 und R2 durch ein Potentiometer ersetzt werden. Au-


5 Elektrotechnische Grundlagen 41<br />

ßerdem lassen sich unerwünschte Temperaturabhängigkeiten durch Verwendung eines Widerstandes Ra kompensieren,<br />

der die gleiche Temperaturabhängigkeit hat wie der Messwiderstand Rx.<br />

Die Spannung Umess ist:<br />

U mess�R x� = −�<br />

R x<br />

R a � R x<br />

−<br />

R1 R1 � R � 2 ⋅U 0<br />

Im abgeglichenen Zustand ist Umess(Rx,0) = 0. Eine kleine Änderung des Widerstandes um ΔRx führt zu einer<br />

Brückenspannung<br />

Rx ,0�� R x<br />

R1 U mess�R �� R x ,0 x� = −�<br />

−<br />

Ra � R x ,0�� R R x 1 � R � 2 ⋅U 0 ≈ U mess�R Ra � − x ,0<br />

�Ra � R x ,0� 2 ⋅U 0⋅�R x<br />

Die gemessene Spannung ist also (für kleine Widerstandsänderungen) proportional zur Änderung:<br />

U mess�� R x� = − R a ⋅U 0<br />

�R a�R x ,0 � 2 ⋅ �R x<br />

Ist auch der Zusammenhang zwischen der Widerstandsänderung und der zu messenden physikalischen Größe bekannt,<br />

so kann mit der gemessenen Spannung Umess die physikalische Größe bestimmt werden.<br />

5.1.8 Elektrische Leistung<br />

Die elektrische Leistung wurde bereits im Kapitel 5.1 angegeben:<br />

P = U⋅I<br />

Mit dem Ohm'schen Gesetz kann nun die Leistung, die an einem Widerstand (Verbraucher) umgewandelt wird, berechnet<br />

werden:<br />

P = U⋅I = R⋅I 2 = 1 2<br />

⋅U<br />

R<br />

Ein Lastwiderstand RL wird nun mit einer reale Spannungsquelle verbunden:<br />

R i<br />

= U 0<br />

Die an dem Lastwiderstand abfallende Spannung kann leicht berechnet werden (Spannungsteiler):<br />

U =<br />

R L<br />

R i � R L<br />

⋅U 0<br />

Die umgewandelte Leistung ist dann<br />

P L = 1<br />

⋅U<br />

R L<br />

2 =<br />

R L<br />

�R i � R L� 2⋅U 2<br />

0<br />

Die in PL umgesetzte Leistung wird dann maximal, wenn<br />

U<br />

I<br />

R L


5 Elektrotechnische Grundlagen 42<br />

⇒<br />

dP L<br />

dR L<br />

R L = R i<br />

= 0 also:<br />

1<br />

�Ri � R L� 2 � R L⋅ −2<br />

3 = 0<br />

�R i � R L� Die Bedingung RL = Ri wird Leistungsanpassung genannt. Sie ist besonders in der Nachrichtentechnik wichtig, da<br />

bei der Leistungsanpassung das Signal/Rausch-Verhältnis am größten ist und Störsignale dann den geringsten Einfluss<br />

haben.


5 Elektrotechnische Grundlagen 43<br />

5.2 Elektrische Felder<br />

5.2.1 Ladung und elektrische Feldstärke<br />

Der Begriff „Ladung“ wurde bereits in Kapitel 5.1 als elementare Eigenschaft der Materie eingeführt. Es wurde<br />

gezeigt, dass sich negative Ladungen (Elektronen) und positive Ladungen (Atomkerne) gegenseitig anziehen,<br />

gleichnamige Ladungen jedoch abzustoßen.<br />

Q 2<br />

r<br />

F Coulomb<br />

Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Ladungen Q1 und Q2 wird als Coulombkraft bezeichnet und vom Abstand<br />

r der Ladungen bestimmt. Weiterhin hängt die Kraft von der Eigenschaft der Materie zwischen den Ladungen<br />

ab, die durch die Dielektrizitätskonstante ε = ε0εr beschrieben wird:<br />

F Coulomb = − Q 1 ⋅Q 2<br />

4�� 0� r⋅r 2<br />

Üblicherweise wird die Dielektrizitätskonstante ε als Produkt der elektrischen Feldkonstanten ε0 und der relativen<br />

Dielektrizitätszahl εr für verschiedene Materialien angegeben. Die Kraftwirkung zwischen den Ladungen ist<br />

nicht notwendigerweise an Materie gebunden, sie wirkt auch auf große Entfernungen (Fernwirkungskraft). Zu jedem<br />

Punkt in der Umgebung einer beliebig verteilten Ladung kann ein Kraftvektor angegeben werden, der auf eine<br />

Probeladung q wirkt. Dividiert man die Kraft durch eben diese die Probeladung, so resultiert daraus ein von q unabhängiger<br />

Vektor, die elektrische Feldstärke:<br />

E = F Coulomb<br />

q<br />

Die elektrische Feldstärke ist ein ortsabhängiger Vektor, der allgemein den Zustand des Raumes (Feld) unter dem<br />

Einfluss einer oder mehrerer Ladungen beschreibt. Die räumlicher Verteilung der elektrischen Feldstärke wird grafisch<br />

durch Feldlinien repräsentiert. An jedem Punkt im Raum liegt der Vektor der elektrischen Feldstärke tangential<br />

an den Feldlinien. Liegen mehrere Ladungen vor, so überlagern sich die Feldstärken der einzelnen Ladungen.<br />

Die Feldlinien des elektrischen Feldes haben immer einen Anfangs- und einen Endpunkt (Quelle und Senke), das<br />

elektrische Feld wird daher als Quellenfeld bezeichnet (Falls nur eine Ladung betrachtet wird, „enden“ die Feldlinien<br />

im Unendlichen). Im Gegensatz dazu ist das magnetische Feld ein so genanntes Wirbelfeld, bei dem die<br />

Feldlinien einen geschlossen Umlauf bilden (Siehe Kapitel 5.3.1). Weiterhin gilt, dass sich Feldlinien nicht überschneiden<br />

dürfen (Grund: an einem Schnittpunkt würde dann das Feld durch zwei verschiedene Feldstärkevektoren<br />

beschrieben werden, das ist aber unsinnig).<br />

Feldlinien zwischen<br />

Ladungen<br />

+<br />

ungleichnamige Ladungen (Dipol)<br />

-<br />

Q 1<br />

+ -<br />

Punktladung<br />

+ +<br />

gleichnamige Ladungen


5 Elektrotechnische Grundlagen 44<br />

5.2.2 Elektrisches Potential<br />

Beim Transport einer Ladung q durch ein elektrisches Feld wird Energie aufgewendet oder freigesetzt, je nach<br />

dem ob die Ladung entgegen oder mit der Richtung der Feldstärke bewegt wird. Wird dagegen die Ladung senkrecht<br />

zu den Feldlinien transportiert, wird dabei keine Energie umgesetzt. Die Flächen in einem elektrischen Feld,<br />

auf denen eine Probeladung ohne Energieumsatz transportiert werden kann, werden Äquipotentialflächen genannt.<br />

Das elektrische Potential φ bezeichnet nun die potentielle Energie, die die Ladung q auf einer solchen<br />

Äquipotentialfläche besitzt. Die Potentialdifferenz ist dann die notwendige Energie, um eine Ladung q zwischen<br />

zwei Äquipotentialflächen zu transportieren, sie entspricht der Definition der Spannung:<br />

� = W pot<br />

q<br />

⇒ �� = � 2−� 1 = W pot ,2 −W pot ,1<br />

q<br />

= U 2,1<br />

Die Spannung ist also immer eine Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.<br />

φ 1<br />

φ 2<br />

+Q<br />

φ 3<br />

-Q<br />

Feldlinien<br />

Äquipotential<br />

-flächen<br />

In einem homogenen elektrischen Feld liegen die Äquipotentialebenen parallel. Die Spannung U zwischen zwei<br />

Punkten mit dem Abstand d ist:<br />

U = W<br />

q<br />

= F⋅d<br />

q<br />

= q⋅E⋅d<br />

q<br />

= E⋅d<br />

Die elektrische Feldstärke in einem homogenen Feld ist also:<br />

elektrische Feldstärke : E = U<br />

d<br />

5.2.3 Verschiebungsdichte<br />

[ E] = V<br />

m<br />

Die Feldstärke ist, wie bereits oben gesehen, von der Ladungsverteilung und den Materialeigenschaften im Zwischenraum<br />

abhängig. Als materialunabhängige Feldgröße wird nun die elektrische Verschiebungsdichte definiert:<br />

D = � 0� r⋅E<br />

Konstruiert man eine Hüllfläche um eine beliebige Ladung Q, so durchdringen die elektrischen Feldlinien diese<br />

Hüllfläche. Die elektrische Verschiebungsdichte D ist nun gleich der Ladung Q im Inneren der Hüllfläche bezogen<br />

auf die Flächengröße A der Umhüllung:<br />

elektrische Verschiebungsdichte : D = Q<br />

A<br />

[ D] = As<br />

m 2<br />

(Anm.: Im Allgemeinen wird die Verschiebungsdichte durch das Flächenintegral über die Hüllfläche definiert. Beschränkt<br />

man sich auf symmetrische Ladungsverteilungen, so kann die Definition wie oben vereinfacht werden.)


5 Elektrotechnische Grundlagen 45<br />

Beispiel Punktladung:<br />

5.2.4 Kondensator<br />

+Q<br />

A Hülle = 4�⋅r 2<br />

Hüllfläche<br />

D<br />

⇒ D = Q<br />

4�⋅r 2<br />

Eine typische Anordnung mit „verteilten“ Ladungen ist der Kondensator. Er besteht aus zwei parallelen Platten,<br />

deren Zwischenraum mit einem Nichtleiter (z.B. Luft, Papier, Keramik) gefüllt ist. Wird ein solcher Kondensator<br />

geladen (eine Platte erhält die Ladung Q, die andere Platte die Ladung -Q), so entsteht im Inneren ein homogenes<br />

Feld (= an jeder Stelle des Innenraumes herrscht die gleiche Feldstärke, die Feldlinien verlaufen parallel und im<br />

gleichen Abstand).<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

-<br />

-<br />

-<br />

-<br />

-<br />

+Q -Q<br />

Kondensator<br />

platte<br />

Die Spannung U an den Klemmen eines Kondensators mit der Plattenfläche A und dem Plattenabstand d, der auf<br />

die Ladung Q aufgeladen wurde, beträgt:<br />

U = E⋅d = D⋅d<br />

� 0� r<br />

=<br />

d<br />

� 0� r⋅A ⋅Q<br />

(Anm.: Als Hüllfläche wird hier die wirksame Kondensatorfläche verwendet, da außerhalb des Kondensators das Feld<br />

näherungsweise vernachlässigt werden kann.)<br />

Die geometrischen Abmessungen und das Füllmaterial (Dielektrikum) eines Kondensators sind i.d.R. konstant,<br />

die entsprechenden Faktoren werden in der Kapazität C zusammengefasst:<br />

Kapazität : C = Q<br />

U<br />

Plattenkondensator : C = � 0� r⋅A<br />

d<br />

[C ] = A⋅s<br />

V<br />

= F �Farad �<br />

Die Spannung an einem Kondensator ändert sich genau dann, wenn die Ladung durch einen Stromfluss verändert<br />

wird. Die zeitliche Ableitung der Kondensatorspannung ergibt:<br />

du�t �<br />

dt<br />

= 1<br />

C ⋅dQ<br />

dt<br />

1<br />

= ⋅i �t �<br />

C<br />

Der Strom eines Kondensators führt also zu einer Spannungsänderung:<br />

i �t � = C ⋅ du�t�<br />

dt<br />

⇔ u�t � = 1<br />

C ⋅∫ t<br />

i �� �d � � u �0�<br />

0<br />

In einem elektrischen Schaltbild wird ein Kondensator durch zwei parallele Striche symbolisiert:<br />

C


5 Elektrotechnische Grundlagen 46<br />

5.3 Magnetische Felder<br />

Stromdurchflossene Leiter erzeugen ein Magnetfeld, in welchem andere stromdurchflossene Leiter eine Kraftwirkung<br />

erfahren. Dieser Zusammenhang basiert auf der magnetischen Wechselwirkung bewegter Ladung und wurde<br />

bereits zur Definition der Einheit der Stromstärke (Ampere, siehe Kap. 5.1) verwendet.<br />

5.3.1 Magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke<br />

Die Kraft zwischen zwei parallelen stromführenden Leitern ist allgemein:<br />

F magn = � 0� r<br />

2�r ⋅I 1 ⋅I 2 ⋅l<br />

Die für die magnetische Kraft ursächliche Ladungsbewegung wird durch die Ströme I1 und I2 ausgedrückt.<br />

I 1<br />

F magn<br />

Analog zur Herleitung der elektrischen Feldstärke kann man sich I1 als felderzeugenden Strom und I2 als Strom<br />

durch einen Probeleiter der Länge l vorstellen.<br />

Das magnetische Feld, welches durch I1 hervorgerufen wird, wird durch die magnetische Flussdichte beschrieben:<br />

magnetische Flussdichte : B = F magn<br />

I 2⋅l<br />

= � 0� r<br />

2� r ⋅I 1<br />

B<br />

l<br />

I 2<br />

[ B] = Vs<br />

= T �Tesla�<br />

2<br />

m<br />

Die so genannte Permeabilität µ = µ0∙µr setzt sich dabei aus der magnetischen Feldkonstanten µ0 und der materialabhängigen<br />

relativen Permeabilitätszahl µ0. (Anm.: Der Wert der Permeabilität beträgt µ0 = 4π∙10 -7 Vs/Am<br />

= 1,257∙10 -6 Vs/Am, er ergibt sich aus der Definition der Einheit der Stromstärke)<br />

Die magnetische Kraft ist ebenfalls eine Fernwirkungskraft, die kein übertragenes Medium voraussetzt.<br />

Die Form des magnetischen Feldes unterscheidet sich aber prinzipiell von der Form des elektrischen Feldes: Die<br />

ruhenden Ladungen des elektrischen Feldes erzeugen Kräfte unabhängig von ihrer räumlichen Orientierung.<br />

Stromdurchflossene Leiter erfahren aber nur dann eine Kraftwirkung, wenn sie parallel angeordnet sind, senkrecht<br />

aufeinander stehende Ströme zeigen keine Wechselwirkung. Dies führt zu der Erkenntnis, dass die magnetischen<br />

Feldlinien den Leiter kreisförmig umschließen. Magnetische Feldlinien sind stets in sich geschlossen, haben also<br />

keinen Anfang bzw. Ende (Wirbelfeld). Die Orientierung des Feldes ist durch die „Rechte-Hand-Regel“ bestimmt:<br />

Wenn der gestreckte Daumen in Stromrichtung zeigt, zeigen die geschlossenen Finger in Flussrichtung.<br />

Die magnetische Flussdichte B ist u.a. von der Permeabilitätskonstanten µ des den Leiter umgebenen Raumes abhängig.<br />

Eine materialunabhängige Größe wird durch die magnetische Feldstärke definiert:<br />

magnetische Feldstärke : H = B<br />

� 0 � r<br />

[ H ] = A<br />

m<br />

Da die magnetische Feldstärke den Leiter kreisförmig umgibt, wird im Abstand r vom Leiter die magnetische Feldstärke<br />

H =<br />

beobachtet.<br />

1<br />

2�⋅r ⋅I


5 Elektrotechnische Grundlagen 47<br />

elektrisches Feld magnetisches Feld<br />

Feldursache ruhende Ladung Q1,<br />

elektrische Verschiebungsdichte:<br />

D = Q 1<br />

4�⋅r 2<br />

Feldwirkung elektrische Feldstärke:<br />

E = 1<br />

⋅D<br />

�0� r<br />

Kraftgesetz Kraft auf ruhende Ladung Q2:<br />

F = Q 2 ⋅E<br />

5.3.2 Bewegte Ladung im Magnetfeld<br />

bewegte Ladung, Strom I1,<br />

magnetische Feldstärke:<br />

H =<br />

I 1<br />

2�⋅r<br />

elektrische Feldstärke:<br />

B = � 0� r⋅H<br />

Kraft auf bewegte Ladung, Strom I2<br />

F = I 2 ⋅l⋅B<br />

Bisher wurde die Bewegung der Ladung durch einen Strom I = dQ/dt beschrieben. Befindet sich in einem Körper<br />

mit der Länge l die Ladung Q und wird dieser Körper mit der Geschwindigkeit v bewegt, so wird in der Zeit<br />

t = l<br />

v<br />

I = Q<br />

t<br />

die Ladung Q durch die Querschnittsfläche transportiert. Die entspricht dies einem Strom<br />

= Q<br />

l ⋅v<br />

Auf diesen Körper wirkt nun die so genannte Lorenzkraft:<br />

F magn = I⋅l ⋅ B = Q⋅v ⋅ B<br />

Q<br />

l<br />

Querschnittsfläche<br />

Die magnetische Kraft tritt nur dann auf, wenn sich die Ladungen senkrecht zum magnetischen Feld bewegen. Die<br />

Kraftrichtung steht dabei senkrecht auf der Bewegungsrichtung und senkrecht zum magnetischen Feld.<br />

Dieses Kraftgesetz gilt in dieser Form auch für einzelne Ladungen Q.<br />

Q<br />

B<br />

F<br />

v<br />

v<br />

Die Orientierung der Kraft ist<br />

durch die Rechte-Hand-Regel<br />

bestimmt, es entspricht:<br />

Daumen -> v<br />

Zeigefinger -> B<br />

und Mittelfinger -> F


5 Elektrotechnische Grundlagen 48<br />

5.3.3 Permanentmagnet<br />

Magnetische Kraftwirkungen sind auch von einem Permanentmagneten (z.B. Magnettafel, Kompass) bekannt.<br />

Auch hier ist die Ursache bewegte Ladung, allerdings auf atomarer Ebene: Elektronen umkreisen den Atomkern<br />

und drehen sich darüber hinaus um ihre eigene Achse (Spin), sie erzeugen dadurch ein magnetisches Feld (magnetischer<br />

Dipol). Die Orientierung der Dipole ist normalerweise statistisch verteilt, s.d. sich ihre Wirkungen makroskopisch<br />

aufheben. In einigen Materialien (z.B. Eisen und Nickel) existieren kristalline Strukturen, in denen sich<br />

die Dipole nach äußerer Einwirkung (externes Magnetfeld) dauerhaft ausrichten, es entsteht ein permanentes Magnetfeld.<br />

Anwendungsbereiche für die Informationstechnik sind magnetische Massenspeicher (Festplatte, Band),<br />

bei denen die Daten durch Ausrichtung kleiner Bereiche gespeichert werden.<br />

5.3.4 Induktion<br />

Ein magnetisches Feld übt eine Kraft auf bewegte Ladungen aus. Es ist dabei unerheblich, ob sich die Ladungsträger<br />

durch einen Leiter bewegen (Strom) oder der Leiter mit den darin enthaltenen Ladungsträger mechanisch bewegt<br />

wird. In beiden Fällen übt das Magnetfeld eine Kraft auf die Ladungsträger aus.<br />

U ind<br />

B<br />

Die mechanische Verschiebung des Leiters durch das Magnetfeld B bewirkt nun eine magnetische Kraft auf die<br />

Ladungsträger und damit eine Ladungstrennung. Das dadurch entstehende elektrische Feld wirkt einer weiteren<br />

Trennung entgegen, es entsteht ein Kräftegleichgewicht:<br />

F mag = Q⋅v⋅B und F Coulomb = Q⋅E ⇒ v⋅B = E<br />

Bei einer Leiterlänge l ist das elektrische Feld E als Spannung Uind an den äußeren Klemmen messbar. Diese Spannung<br />

wird als Induktionsspannung bezeichnet:<br />

U ind = l⋅v⋅B<br />

Die Induktionsspannung tritt an den Klemmen einer Leiterschleife auf, die von einem Magnetfeld durchsetzt wird.<br />

Der Flächenanteil A der Leiterschleife, der vom Magnetfeld durchsetzt wird, ändert sich dabei zeitlich mit<br />

dA<br />

dt<br />

= L⋅v<br />

Das Induktionsgesetz kann dahingehend verallgemeinert werden, dass die Induktionsspannung durch die Flächenänderung<br />

verursacht wird:<br />

U ind = B⋅ dA<br />

dt<br />

Für die Induktionsspannung speilt es allerdings keine Rolle, ob die Leiterschleife oder das Magnetfeld bewegt werden.<br />

Das Induktionsgesetz kann weiter verallgemeinert werden, da es nur auf eine Änderung des die Leiterschleife<br />

durchsetzenden Feldes ankommt. Mit dem senkrecht auf der Leiterschleife (Fläche A(t)) stehenden Feld B(t) gilt<br />

das Induktionsgesetz allgemein:<br />

U ind = d<br />

� B �t �⋅A�t ��<br />

dt<br />

v


5 Elektrotechnische Grundlagen 49<br />

Die Anwendungen der elektromagnetischen Induktion sind vielfältig:<br />

Anwendung Wirkung Bemerkung<br />

Motor Strom im Magnetfeld erzeugt Kraft<br />

Generator Mechanisch angetriebene Bewegung erzeugt Spannung<br />

Magnetfeld wird durch weitere Spule oder<br />

durch Permanentmagnet erzeugt<br />

Transformator Veränderliches Magnetfeld erzeugt Spannung Magnetfeld wird durch Wechselstrom<br />

erzeugt<br />

5.3.5 Spule<br />

Eine Spule ist ein (kreisförmig) aufgewickelter Leiter. Die durch den Stromfluss entstehende magnetische Feldstärke<br />

der einzelnen Leiterabschnitte überlagern sich derart, dass im Inneren ein homogenes Magnetfeld entsteht.<br />

Spule<br />

mit N<br />

Windungen<br />

Die Feldstärke im Inneren der Spule ist:<br />

H Spule = N<br />

l ⋅I<br />

I<br />

l<br />

H Spule<br />

Bisher wurde die Felderzeugung und die Feldwirkung getrennt betrachtet. Eine zeitliche Änderung des Stromes<br />

durch eine Spule bewirkt aber auch eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes:<br />

H �t� = N<br />

l ⋅i �t � ⇒ B �t � = �0 �r⋅ N<br />

l<br />

⋅ i �t �<br />

Gemäß dem Induktionsgesetz erzeugt aber eine zeitlich veränderliches Magnetfeld in jeder Windung ein Spannung,<br />

die sich zur Gesamtspannung u(t) an den Spulenklemmen aufaddieren:<br />

u �t � = N⋅ d<br />

dt � B �t �⋅A� = � 0 � r<br />

N 2<br />

l<br />

⋅A ⋅ di �t �<br />

dt<br />

Die konstanten Größen werden zur Induktivität zusammengefasst:<br />

Induktivität �lange Spule�: L = � 0 � r<br />

N 2<br />

l<br />

⋅A [L] = Vs<br />

A<br />

Eine Stromänderung induziert also die Spulenspannung:<br />

di �t �<br />

u�t � = L⋅<br />

dt<br />

⇔ i �t� = 1<br />

L ⋅∫ t<br />

u ���d � � i �0�<br />

0<br />

= H �Henry�<br />

In einem elektrischen Schaltbild wird eine Spule durch ein gefülltes Rechteck symbolisiert:<br />

L


5 Elektrotechnische Grundlagen 50<br />

5.4 Kondensator und Spule im Stromkreis<br />

In den vorangegangenen Kapiteln 5.2 und 5.3 wurden elektrische und magnetische Felder untersucht und ihre Wirkung<br />

in den elektrotechnischen Komponenten „Kondensator“ (= Kapazität C) und „Spule“ (= Induktivität L) dargestellt.<br />

Die Bedeutung dieser Bauteile liegt darin, dass Strom/Spannung an ihren Klemmen von der Spannungs-/Stromänderung<br />

abhängig sind. Mit dem ohmschen Widerstand, dem Kondensator und der Spule stehen nun<br />

3 elementare Komponenten zur Verfügung, mit denen das dynamische (= zeitliche) Verhalten komplexer Netzwerke<br />

modelliert werden kann. Einerseits können R, C und L im Schaltungsentwurf als Bauteile vorgesehen werden,<br />

um das gewünschte Verhalten der Schaltung zu erzielen (Beispiel: Filterung von Signalen oder Festlegung von<br />

Zeitkonstanten durch RC-Reihenschaltung), andererseits dienen sie in der Schaltungsanalyse als Ersatz für gegebene<br />

Komponenten (Beispiel: Modellierung einer Batterie, eines Motors oder einer Datenleitung durch U0, R, C<br />

und L, die in der Realität nicht als diskrete Bauteile vorhanden sind, aber das elektrische Verhalten an den Klemmen<br />

widerspiegeln). Dieses Kapitel behandelt Schaltungen, in denen genau ein Kondensator bzw. eine Spule vorhanden<br />

ist. Die Analyse von Schaltungen, in denen mehrere Kondensatoren und/oder Spulen vorkommen, ist nur<br />

mit Hilfe der Theorie der komplexen Zahlen angemessen, s.d. derartige Schaltungen her nicht weiter betrachtet<br />

werden.<br />

Zur Unterscheidung zwischen zeitlich konstanten und veränderlichen Größen werden letztere in Kleinbuchstaben<br />

notiert.<br />

Folgende Tabelle fasst die in den vorangegangenen Kapiteln behandelten Zusammenhänge zwischen Strom und<br />

Spannung zusammen:<br />

i<br />

u<br />

i = 1<br />

R ⋅u<br />

u = R⋅i<br />

5.4.1 Wechselspannung<br />

R<br />

i<br />

u<br />

i = C⋅ du<br />

dt<br />

u = 1<br />

C ⋅∫ t<br />

i ��� d � � u �0�<br />

0<br />

C<br />

i<br />

u<br />

i = 1<br />

L ⋅∫ t<br />

u���d � � i �0�<br />

0<br />

u = L⋅ di<br />

dt<br />

Zunächst wird untersucht, wie sich Kondensator und Spule in einem Wechselspannungsnetzwerk verhalten. Eine<br />

Wechselspannung ist dadurch charakterisiert, dass sich die Spannungen, und damit auch die Ströme, periodisch ändern.<br />

Spannungen und Ströme werden allgemein durch eine Cosinus-Funktion beschrieben:<br />

u �t � = �u⋅cos��t � � u�<br />

bzw. i �t � = �i⋅cos��t � � i�<br />

mit:<br />

Amplitude : �u bzw. �i<br />

Frequenz : � = 2� f<br />

Phase : � = 2��t/T<br />

i(t), u(t)<br />

Δt<br />

T = 1/f<br />

Amplitude<br />

Die Phase φ bezeichnet die relative Zeitverschiebung der Cosinus-Funktion bezogen auf die Periodendauer.<br />

t<br />

L


5 Elektrotechnische Grundlagen 51<br />

5.4.1.1 Kondensator<br />

Liegt an einem Kondensator eine Wechselspannung<br />

u�t � = �u⋅cos �� t �<br />

an, so fließt der Strom<br />

i �t � = C⋅ du<br />

dt<br />

= −�u⋅�C⋅sin��t � = �u⋅�C⋅cos �� t � �<br />

2 �<br />

Daraus lassen sich zwei Erkenntnisse ableiten:<br />

1. Der Strom ist gegenüber der Spannung um π/2 zeitlich verschoben (voreilend):<br />

i(t), u(t)<br />

2. Bezüglich der Amplituden von Strom und Spannung verhält sich der Kondensator wie ein frequenzabhängiger<br />

Widerstand:<br />

�i = �u⋅�C ⇒ �u = 1<br />

�C ⋅�i<br />

In einem Wechselspannungsnetzwerk verhält sich ein Kondensator wie ein<br />

kapazitiver Widerstand : X C = 1<br />

� C<br />

Bei Gleichspannung (Frequenz = 0) wird der Wechselstromwiderstand eines Kondensators unendlich groß (= offene<br />

Klemmen). Mit zunehmender Frequenz wird der Wechselspannungswiderstand eines Kondensators kleiner.<br />

5.4.1.2 Spule<br />

Ein Wechselstrom<br />

i �t � = �i⋅cos�� t �<br />

induziert in der Spule eine Spannung<br />

u�t � = L⋅ di<br />

dt = −�i⋅� L⋅sin��t � = �i⋅� L⋅cos ��t � �<br />

2 �<br />

1. Der Strom ist gegenüber der Spannung um π/2 zeitlich verschoben (nacheilend):<br />

i(t), u(t)<br />

2. Auch die Spule ist ein frequenzabhängiger Widerstand:<br />

induktiver Widerstand : X L = � L<br />

Bei Gleichstrom (Frequenz = 0) ist der Wechselstromwiderstand einer Spule gleich 0. Mit zunehmender Frequenz<br />

wird der Wechselspannungswiderstand einer Spule größer.<br />

i(t)<br />

u(t)<br />

u(t)<br />

i(t)<br />

t<br />

t


5 Elektrotechnische Grundlagen 52<br />

5.4.1.3 Reihenschaltung eines Wechselstromwiderstandes mit einem ohmschen Widerstand<br />

Ein kapazitiver bzw. induktiver Widerstand X (= Wechselstromwiderstand) wird nun mit einem ohmschen Widerstand<br />

R in Reihe geschaltet.<br />

i(t)<br />

R<br />

u (t) R<br />

u (t) 0<br />

X<br />

u X (t)<br />

Auch in einem Wechselstromnetzwerk gilt der Kirchhoff'sche Maschensatz, s.d. die Summe der Teilspannungen<br />

gleich der Gesamtspannung ist:<br />

u 0 �t� = u R �t� � u X �t �<br />

Es wird zunächst angenommen, dass durch die Widerstände der Strom i(t) fließt:<br />

i 0�t� = �i⋅cos ��t �<br />

Damit lassen sich die Teilspannungen berechnen:<br />

u R �t� = R⋅�i⋅cos�� t � = �u R⋅cos��t �<br />

und<br />

u X �t � = ± X⋅�i⋅sin ��t � = ±�u R⋅sin��t �<br />

Die Summe der Teilspannungen ist also:<br />

u 0�t� = �u R⋅cos ��t � ± �u X⋅sin ��t �<br />

u(t)<br />

u 0 (t)<br />

Die Amplituden der Teilspannungen dürfen also nicht addiert werden. Da die Teilspannungen um π/2 = 90° phasenverschoben<br />

sind, also gewissermaßen „senkrecht aufeinander stehen“, wird ein Ansatz verwendet, der aus der<br />

Trigonometrie (= Dreiecksberechnung) abgeleitet ist:<br />

�u R = �u 0⋅cos ���<br />

und<br />

�u X = �u 0⋅sin ���<br />

u X (t) u 0 (t)<br />

φ<br />

u R (t)<br />

u R (t)<br />

u x (t)<br />

Wird dieser Ansatz in die Maschengleichung eingesetzt, so lässt sich die Gesamtspannung berechnen:<br />

u 0�t� = �u 0⋅cos ���⋅cos �� t � � �u 0⋅sin ���⋅sin��t � = �u 0⋅cos��t ∓ ��<br />

Andererseits können mit obigem Ansatz auch die Quadrate der Amplituden der Teilspannungen addiert werden,<br />

die Summe ist das Quadrat der Gesamtspannung:<br />

t


5 Elektrotechnische Grundlagen 53<br />

2<br />

�u R<br />

2<br />

� �u X<br />

= � �u 0⋅cos ���� 2<br />

� � �u 0⋅sin ���� 2<br />

2<br />

= �u 0<br />

Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung aus genau einem ohmschen Widerstandes und einem Wechselstromwiderstand<br />

ist ein komplexer Widerstand (= Impedanz):<br />

Impedanz der Reihenschaltung : Z = � R 2 � X 2<br />

Auch die Spannungsteilerregel kann nun formuliert werden:<br />

�u R =<br />

R<br />

� R 2 � X 2 ⋅ �u 0 bzw. �u X =<br />

X<br />

� R 2 � X 2 ⋅ �u 0<br />

5.4.1.4 Parallelschaltung eines Wechselstromwiderstandes mit einem ohmschen Widerstand<br />

Die Parallelschaltung eines Wechselstromwiderstandes X mit einem ohmschen Widerstand lässt sich nun in ähnlicher<br />

Weise behandeln.<br />

i 0 (t)<br />

u 0 (t)<br />

R X<br />

u (t) R<br />

u X (t)<br />

Auch hier ist zu beachten, dass die Amplituden der Teilströme nicht direkt addiert werden dürfen. Die Amplitude<br />

des Gesamtstromes ist die Summe der Quadrate der Teilströme. Der komplexe Gesamtwiderstand (= Impedanz)<br />

der Parallelschaltung ist:<br />

Impedanz der Parallelschaltung : 1<br />

Z = � 1 1<br />

� 2<br />

R X 2<br />

5.4.2 Filter mit RC- und RL-Schaltungen<br />

Mit der Reihenschaltung eines Wechselstromwiderstandes und eines ohmschen Widerstandes lassen sich jetzt interessante<br />

Schaltungen aufbauen. Der Wechselstromwiderstand ist frequenzabhängig, s.d. die an ihm abfallende<br />

Spannung ebenfalls frequenzabhängig ist. Legt man eine Spannung uE als Eingangsspannung an die Reihenschaltung<br />

an und greift eine Teilspannung als Ausgangsspannung uA ab, so ist das Spannungsverhältnis uA/uE frequenzabhängig.<br />

Dies ist ein Filter!<br />

Die Eingangsspannung kann ein aus unterschiedlichen Frequenzen zusammengesetztes Signal sein (Beispiel:<br />

Überlagerung einer Gleichspannung mit einer Wechselspannung). Ein Tiefpass lässt nur die niederfrequenten Signalanteile<br />

durch (im Beispiel: Gleichspannung) und sperrt die hochfrequenten Signalanteile. Umgekehrt lässt ein<br />

Hochpass nur die hochfrequenten Signalanteile durch, die niederfrequenten Anteile (Beispiel: Gleichspannung)<br />

werden unterdrückt.<br />

(Anm.: In der folgenden Beschreibung von Tief- und Hochpassfiltern wird auf die Verwendung komplexer Zahlen verzichtet.<br />

Dadurch fehlt hier die Aussage über die Phasenverschiebung der Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung.)<br />

5.4.2.1 Tiefpass-Filter<br />

Die beiden folgenden Schaltungen sind Tiefpass-Filter (RC-Tiefpass bzw. RL-Tiefpass). Unter der Voraussetzung,<br />

dass am Eingang eine ideale Spannungsquelle angeschlossen und am Ausgang kein Strom entnommen wird, verhalten<br />

sich beide Schaltungen bezüglich der Spannungen identisch. Die Voraussetzungen können i.d.R. mit entsprechenden<br />

Vertstärkern erfüllt werden.<br />

Mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerregel wird das Verhältnis Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung<br />

uE berechnet:


5 Elektrotechnische Grundlagen 54<br />

�u A<br />

�u E<br />

=<br />

u E (t)<br />

R<br />

X C<br />

� R 2 � X 2<br />

C<br />

=<br />

C<br />

1<br />

� �� RC� 2 � 1<br />

u A (t)<br />

�u A<br />

�u E<br />

=<br />

L<br />

u (t) R u (t)<br />

E A<br />

R<br />

� R 2 � X 2<br />

L<br />

=<br />

1<br />

� �� L/ R� 2<br />

Nach einigen Umformungen ergibt sich für beide Schaltungen die gleiche Frequenzabhängigkeit des Spannungsteilerverhältnisses<br />

uA/uE. Dieses Verhältnis wird als Übertragungsfunktion G(ω) bezeichnet, sie wird durch die<br />

Zeitkonstante <strong>T1</strong> des Filters bestimmt. Die Frequenzabhängigkeit der Übertragungsfunktion wird in einem Diagramm<br />

dargestellt, dessen Achsen logarithmisch skaliert sind (= Bode-Diagramm). Im Durchlassbereich<br />

(ω < ωgrenz) ist die Übertragungsfunktion annähernd konstant, während sie im Sperrbereich (ω > ωgrenz) proportional<br />

zum Kehrwert der Frequenz abnimmt.<br />

G (ω) TP<br />

G TP ��� = �u A<br />

�u E<br />

=<br />

1<br />

� ��T 1 � 2 � 1<br />

mit : T 1 = RC oder T 1 = L<br />

R<br />

1,0<br />

0,7<br />

0,1<br />

0,01<br />

Durchlassbereich Sperrbereich<br />

G ~ 1/ω<br />

0,1 1,0 ωgrenz 10 100<br />

Als Grenzfrequenz ωgrenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der der Wechselstromwiderstand und der ohmsche<br />

Widerstand gleich sind. Das Spannungsverhältnis ist dann:<br />

X �� grenz � = R ⇒ � grenz ⋅T 1 = 1 ⇒<br />

�u A<br />

�u E<br />

=<br />

1<br />

� 1 2 � 1<br />

= 1<br />

� 2<br />

≈ 0,7<br />

Die Kreisfrequenz ω und die Schwingungsfrequenz f unterscheiden sich durch den Faktor 2π:<br />

� = 2�⋅f ⇒ f grenz = 1<br />

2� � grenz =<br />

5.4.2.2 Hochpass-Filter<br />

1<br />

2�⋅T 1<br />

Durch Vertauschen der Widerstände wird aus dem Tiefpass-Filter ein Hochpass-Filter (RC-Hochpass bzw. RL-<br />

Hochpass).<br />

Die Anwendung der Spannungsteilerregel führt nun zum Spannungsverhältnis uA/uE:<br />

�u A<br />

�u E<br />

=<br />

C<br />

u (t) R u (t)<br />

E A<br />

R<br />

� R 2 � X 2<br />

C<br />

=<br />

� RC<br />

� �� RC� 2<br />

� 1<br />

�u A<br />

�u E<br />

=<br />

R<br />

� 1<br />

u (t) L u (t)<br />

E A<br />

X L<br />

� R 2 � X 2<br />

L<br />

=<br />

� L/ R<br />

� �� L/ R� 2<br />

� 1<br />

ω


5 Elektrotechnische Grundlagen 55<br />

Die Übertragungsfunktion G(ω) zeigt einen Sperrbereich bis zur Grenzfrequenz ωgrenz, in dem das Spannungsverhältnis<br />

proportional zur Frequenz zunimmt. Bei größeren Frequenzen (ω > ωgrenz) ist das Übertragungsverhältnis<br />

annähernd konstant.<br />

G (ω)<br />

HP<br />

�T 1<br />

G HP��� = �u A<br />

�u E<br />

=<br />

� ��T 1� 2<br />

� 1<br />

mit : T 1 = RC oder T 1 = L<br />

R<br />

1,0<br />

0,7<br />

0,1<br />

0,01<br />

Sperrbereich Durchlassbereich<br />

G ~ 1/ω<br />

0,1 1,0 ωgrenz 10 100<br />

ω


5 Elektrotechnische Grundlagen 56<br />

5.4.3 Energie des elektrischen / magnetischen Feldes<br />

Zum Aufbau eines elektrischen oder magnetischen Felde wird Arbeit aufgewendet, die dann als Feldenergie gespeichert<br />

ist. Ein elektrisches Feld entsteht durch Trennung von Ladungen entgegen ihrer Anziehungskraft, die<br />

elektrische Feldenergie kann daher anschaulich mit der potentiellen Energie der Mechanik verglichen werden. Bewegte<br />

Ladungen erzeugen ein magnetisches Feld, die zur Beschleunigung notwendige Arbeit kann entsprechend<br />

mit der kinetische Energie der Mechanik verglichen werden). Beim Abbau des elektrischen bzw. magnetischen<br />

Feldes wird die gespeicherte Energie wieder an das Netz zurückgegeben und beispielsweise in Wärme umgewandelt.<br />

Bisher ist die elektrische Leistung P bekannt, die sich als Produkt aus Spannung und Stromstärke zusammensetzt:<br />

P�t� = u�t�⋅i �t �<br />

Da sowohl Spannung als auch Strom nicht notwendigerweise konstant sind, ist auch die Leistung zeitveränderlich.<br />

Die ursprüngliche Definition der Leistung stammt aus der Mechanik (siehe Kapitel 2.2.3), dort wurde die Leistung<br />

P definiert als Quotient aus Arbeit und Zeit:<br />

P�t� =<br />

dW �t �<br />

dt<br />

Um die von einem elektrischen System im Zeitintervall 0 bis T aufgenommene bzw. abgegebene Energie zu berechnen,<br />

wir die Leistung über dieses Zeitintervall integriert (= Summe). Wird zusätzlich der Anfangswert addiert,<br />

so ergibt sich die gesamte gespeicherte Energie:<br />

T<br />

W �T � = ∫ 0<br />

P �t �dt � W �0�<br />

Ein anfänglich ungeladener Kondensator wird jetzt so aufgeladen, dass die Spannung in der Zeit T von 0 auf den<br />

Wert U ansteigt. Die Spannung an diesem Kondensator ändert sich also zeitlich mit:<br />

u�t � = U⋅ t<br />

T<br />

u(t)<br />

U<br />

Der dazu notwendige Strom wird aus der Ableitung der Spannung berechnet, er ist konstant:<br />

du �t �<br />

i �t � = C⋅<br />

dt<br />

= C⋅U⋅1<br />

T<br />

Das Produkt aus Spannung und Stromstärke ergibt zu jedem Zeitpunkt die Momentanleistung:<br />

P�t� = U⋅ t<br />

T<br />

⋅ C⋅U⋅ 1<br />

T = C⋅U 2 t<br />

T 2<br />

Durch Integration wird daraus die Energie berechnet:<br />

T<br />

W �T � = ∫ 0<br />

C⋅U 2 t<br />

T 2 dt = C⋅U 2 1<br />

T 2⋅∫<br />

T<br />

0<br />

T<br />

t dt = 1 2<br />

⋅C⋅U<br />

2<br />

Die in einem Kondensator gespeicherte elektrische Energie ist also:<br />

W C = 1 2<br />

⋅C⋅U<br />

2<br />

Eine Spule speichert magnetische Energie, die aus Induktivität L und Stromstärke I berechnet werden kann:<br />

W L = 1 2<br />

⋅L⋅I<br />

2<br />

t


5 Elektrotechnische Grundlagen 57<br />

5.4.4 Schaltungen mit einem Energiespeicher, Ausgleichsvorgänge<br />

In einem Gleichstromnetzwerk sind Kapazitäten bzw. Spulen nicht relevant, da sie sich wie offene Klemmen<br />

(Kondensator: iC = C·duC/dt = 0) oder wie ein Kurzschluss (Spule: uL = L·diL/dt = 0) verhalten. Sie spielen erst<br />

dann eine Rolle, wenn Spannungs- bzw. Stromquellen zeitlich nicht konstant sind oder Schaltvorgänge stattfinden.<br />

Eine sprungförmige Änderung der Quellen, die auch durch Betätigung eines Schalters realisiert werden kann,<br />

verursacht Ausgleichsvorgänge, in denen sich neue Spannungen bzw. Ströme an Kondensator oder Spule einstellen.<br />

Die Analyse solcher Ausgleichsvorgänge in komplexen Netzwerken mit genau einem Energiespeicher (C oder<br />

L) kann wesentlich vereinfacht werden, in dem das gesamte übrige Netzwerk durch eine Ersatzspannungs- oder<br />

Ersatzstromquelle ersetzt wird (siehe Kapitel 5.1.4.2). Aufgrund der sprungförmigen Änderung (= Schaltvorgang),<br />

die typischerweise zum Zeitpunkt t = 0 stattfindet, „sieht“ der Energiespeicher vor und nach dem Sprung zwei unterschiedliche<br />

Netzwerke. Jedes dieser Netzwerke kann in eine Ersatzquelle umgewandelt werden: eine ist gültig<br />

für t≤0, die andere für t >0.<br />

Beispiel:<br />

R1 Ersatzquelle<br />

=<br />

U anfang<br />

i C = 0<br />

U anfang = U 1 ∙R 2 /(R 1 +R 2 )<br />

C<br />

u C<br />

t = 0<br />

C<br />

= U1 t ≤ 0 R2 t > 0<br />

Ersatzquelle<br />

=<br />

R i<br />

U ende<br />

i C<br />

C<br />

U ende = U 1 und R i = R 1<br />

Die Spannungen und Ströme am Kondensator können nun getrennt vor und nach dem Sprung mit einer Fallunterscheidung<br />

untersucht werden:<br />

1. Fall: t < 0<br />

Dies ist ein echter Gleichstromfall, da der Zustand seit „ewig“ besteht und alle Ausgleichsvorgänge abgeschlossen<br />

sind. Durch den Kondensator fließt kein Strom, s.d. auch am Widerstand keine Spannung abfallen<br />

kann. Die Kondensatorspannung ist also gleich der Quellenspannung:<br />

t�0: u C �t � = U anfang<br />

2. Fall: t > 0<br />

Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprungförmig ändern, dies hat nun den Ausgleichsvorgang<br />

zur Folge. Einerseits gilt für den Maschenumlauf:<br />

U ende = R⋅i c � u C<br />

und andererseits gilt am Kondensator:<br />

i C = C⋅ du C<br />

dt<br />

Zusammengesetzt ergibt sich daraus eine Differentialgleichung:<br />

U ende = RC⋅ du C<br />

dt � u C<br />

Es geht nun darum, eine Funktion uC(t) zu finden, die die Differentialgleichung erfüllt. Dazu wird ein Lösungsansatz<br />

mit folgenden Überlegungen aufgestellt:<br />

u C


5 Elektrotechnische Grundlagen 58<br />

– Eine sprungförmige Änderung der Kondensatorspannung ist nicht möglich, der Anfangswert der Kondensatorspannung<br />

Uanfang ist durch die Vergangenheit festgelegt, daher:<br />

u C �t =0 � = U anfang<br />

– Nach unendlicher Zeit ist der Ausgleichsvorgang abgeschlossen, der Strom wird für t→∞ beliebig klein<br />

und die Kondensatorspannung erreicht ihren Endwert Uende:<br />

u C �t �∞� = U ende<br />

– Die Kondensatorspannung passt sich immer näher an die Quellenspannung an, s.d. die Spannung am<br />

Widerstand R und damit der Ladestrom iC immer kleiner werden. Dies deutet auf einen exponentiellen<br />

Spannungsverlauf hin:<br />

u C �t � = U ende − �U ende − U anfang �⋅e −t<br />

T 1<br />

Dieser Ansatz wird nun geprüft, indem u(t) differenziert<br />

du C<br />

dt<br />

1<br />

= ⋅�U ende − U anfang �⋅e<br />

T 1<br />

−t<br />

T 1<br />

und in die Differentialgleichung eingesetzt wird:<br />

U ende = R C⋅� 1<br />

⋅�U ende − U anfang �⋅e<br />

T 1<br />

−t<br />

T 1� � U ende − �U ende − U anfang �⋅e−t<br />

T 1<br />

⇒<br />

U ende = U ende � � R⋅C<br />

T 1<br />

− 1� ⋅�U ende − U anfang �⋅e −t<br />

T 1<br />

Auf der rechten Seite steht ein zeitabhängiger Term, auf der linken Seite jedoch nicht. Der Lösungsansatz<br />

funktioniert also nur dann, wenn der zeitabhängige Term zu Null gemacht werden kann. Da die<br />

Zeitkonstante <strong>T1</strong> noch unbekannt ist, gelingt dies mit:<br />

� R⋅C<br />

<strong>T1</strong> − 1� = 0 ⇒ T 1 = R⋅C<br />

Damit ist die Lösung gefunden und der Ausgleichsvorgang an einem Kondensator ist vollständig beschrieben:<br />

t<br />

−<br />

T 1<br />

t≥0: uC�t � = U ende − �U ende − U anfang �⋅e<br />

Die Berechnung des Kondensatorstromes iC(t) macht nun keine größeren Probleme:<br />

t≥0: i C �t � = C⋅ du C<br />

dt<br />

t<br />

C<br />

−<br />

T 1<br />

1 = � U ende − U<br />

T<br />

anfang�⋅e =<br />

1<br />

R � U ende − U t<br />

−<br />

<strong>T1</strong> anfang�⋅e<br />

5.4.4.1 „Kochrezept“ zur Berechnung des Ausgleichvorganges<br />

Die am obigen Beispiel durchgeführte Herleitung des Ausgleichsvorganges nach Schaltvorgängen kann für beliebige<br />

Netzwerke mit einem Kondensator oder einer Spule (= Energiespeicher) verallgemeinert werden. Im Folgenden<br />

wird dazu ein allgemeiner Lösungsweg beschrieben.<br />

Zur Vorbereitung der Lösung wird das Netzwerk zunächst durch zwei Ersatzquellen (Spannungsquelle beim Kondensator,<br />

Stromquelle bei der Spule) ersetzt. Ggf. kann auf diese Vorbereitung verzichtet und etwas Rechenarbeit<br />

gespart werden, wenn der als „Alternative“ beschriebene Lösungsweg verwendet wird.<br />

Sollte vor dem betrachteten Schaltvorgang noch ein „alter“ Ausgleichsvorgang eine Rolle spielen, so ergeben sich<br />

die Anfangswerte aus der aktuellen Spannung bzw. dem aktuellen Strom an den Klemmen des Energiespeichers.


5 Elektrotechnische Grundlagen 59<br />

Beliebiges Netzwerk mit<br />

Schalter oder<br />

sprungförmiger Quelle<br />

Ersatzquelle<br />

=<br />

R 0<br />

t ≤ 0 t > 0<br />

R i,anfang<br />

U anfang<br />

i X<br />

X<br />

Verfahren zur Berechnung des Ausgleichvorganges:<br />

Schritt Kondensator C Spule L<br />

u X<br />

U 0<br />

i X<br />

X<br />

u X<br />

Ersatzquelle<br />

1. Ersatzquelle für t ≤ 0 auswerten: Anfangswert Uanfang bzw. Ianfang bestimmen<br />

=<br />

R i,ende<br />

U ende<br />

allgemein: Uanfang aus Ersatzspannungsquelle entnehmen Ianfang aus Ersatzstromquelle entnehmen<br />

Alternative: C entfernen,<br />

Ausgleichsvorgang:<br />

2. Ersatzquelle für t > 0 auswerten:<br />

Uanfang = Spannung an den Klemmen von C<br />

Uanfang = aktuelle Spannung des<br />

vorherigen Ausgleichsvorganges<br />

a) Endwert Uende bzw. Iende bestimmen<br />

i X<br />

X<br />

L durch Kurzschluss ersetzen,<br />

Ianfang = Strom durch Kurzschluss<br />

u X<br />

Ianfang = aktueller Strom des vorherigen<br />

Ausgleichsvorgang<br />

allgemein: Uende aus Ersatzspannungsquelle entnehmen Iende aus Ersatzstromquelle entnehmen<br />

Alternative: C entfernen,<br />

Uende = Spannung an den Klemmen von C<br />

b) Innenwiderstand Ri,ende bestimmen<br />

L durch Kurzschluss ersetzen,<br />

Iende = Strom durch Kurzschluss<br />

allgemein: Innenwiderstand Ri,ende aus Ersatzspannungs- bzw. Ersatzstromquelle entnehmen<br />

Alternative: Spannungsquellen entfernen, Stromquellen kurzschließen.<br />

Dann: Gesamtwiderstand des verbleibenden Netzwerkes an den Klemmen von C bzw. L<br />

berechnen. Ri,ende = Gesamtwiderstand<br />

3. Ggf. fehlende Anfangs- und Endwerte bestimmen<br />

4. Zeitkonstante <strong>T1</strong> bestimmen<br />

I anfang = �U ende − U anfang �<br />

R i ,ende<br />

I ende = 0 U ende = 0<br />

T 1 = R i ,ende ⋅ C T 1 = L<br />

R i ,ende<br />

Die so ermittelten Werte können nun in die allgemeine Lösung eingesetzt werden:<br />

und<br />

t<br />

−<br />

T 1<br />

u X �t � = U ende − � U ende − U anfang�⋅e<br />

t<br />

−<br />

T 1<br />

i X �t � = I ende − � I ende − I anfang �⋅e<br />

U anfang = R i ,ende ⋅�I ende − I anfang �


5 Elektrotechnische Grundlagen 60<br />

In der graphischen Darstellung sieht der Ausgleichsvorgang dann so aus:<br />

Kondensator C<br />

Spule L<br />

Spannung Strom<br />

t<br />

t<br />

− −<br />

T 1 T 1<br />

u X �t � = U ende − � U ende − U anfang�⋅e i X �t � = I ende − � I ende − I anfang�⋅e<br />

u C (t)<br />

U ende<br />

U anfang<br />

u L (t)<br />

U max<br />

T 1<br />

T 1<br />

0,63 ∙ (U ende - U anfang )<br />

U max = R⋅� I ende − I anfang �<br />

0,37∙ U max<br />

t<br />

t<br />

i C (t)<br />

I max<br />

i L (t)<br />

I ende<br />

I anfang<br />

T 1<br />

T 1<br />

I max = 1<br />

R ⋅� U ende − U anfang �<br />

0,37∙ I max<br />

0,63 ∙ (I ende - I anfang )<br />

t<br />

t


5 Elektrotechnische Grundlagen 61<br />

5.4.5 Parallel- und Reihenschaltung<br />

Zum Abschluss des Kapitels über Kondensatoren und Spule im Stromkreis wird noch die Frage behandelt, wie<br />

reihen- und parallelgeschaltete Kondensatoren bzw. Spulen zusammengefasst werden können.<br />

5.4.5.1 Reihenschaltung<br />

Werden Kondensatoren bzw. Spule in Reihe geschaltet, so werden sie vom gleiche Strom i durchflossen und die<br />

Gesamtspannung teilt sich auf die einzelnen Wechselstromwiderstände auf:<br />

Kondensator : du ges<br />

dt<br />

= du 1<br />

dt � du 2<br />

dt � ...= � 1<br />

C 1<br />

� 1<br />

C 2<br />

� ...�<br />

Spule: u ges = u 1 � u 2 � ... = � L 1 � L 2 �...� ⋅ di<br />

dt<br />

Daraus ergibt sich die Gesamtkapazität bzw. -induktivität:<br />

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung: 1<br />

C ges<br />

= 1overC 1 � 1<br />

C 2<br />

⋅ i<br />

� ...<br />

Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung : L ges = L 1 � L 2 � ...<br />

5.4.5.2 Parallelschaltung<br />

Bei einer Parallelschaltung liegen alle Bauteile an der gleichen Spannung u an. Der Gesamtstrom teilt sich auf die<br />

einzelnen Elemente auf:<br />

Kondensator : i ges = i1 � i2 � ... = �C1 � C2 � ...�⋅ du<br />

dt<br />

Spule:<br />

di ges<br />

dt<br />

= i1 dt � i2 dt<br />

� ...= �1<br />

L1 � 1<br />

L2 � ...�⋅u<br />

Daraus ergibt sich die Gesamtkapazität bzw. -induktivität:<br />

Gesamtkapazität einer Parallelschaltung : C ges = C 1 � C 2 � ...<br />

Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung : 1<br />

L ges<br />

= 1<br />

L 1<br />

� 1<br />

L 2<br />

� ...


6 Elektronische Grundlagen 62<br />

6 Elektronische Grundlagen<br />

6.1 Halbleiterbauelemente<br />

Der heutige Stand der Technik in der Informationsverarbeitung ist wesentlich durch den Einsatz von elektronischen<br />

Halbleiterbauelementen charakterisiert. Wesentliche Meilensteine waren dabei die Erfindung des Transistors<br />

und Entwicklung der Planar-Diffusionstechnik zur Herstellung integrierter Schaltkreise.<br />

Halbleiter sind Festkörper mit kristallinem Aufbau, deren Leitfähigkeit zwischen Nichtleitern und Leitern liegt und<br />

sehr stark von der Temperatur abhängig ist. Durch gezielte, räumlich begrenzte Beimischung bestimmter Stoffe<br />

lassen sich die physikalischen Eigenschaften eines Halbleiters so verändert werden, dass elementare Bauelemente<br />

(z.B. Transistor als Schalter) hergestellt werden können. Weiterhin kann eine hohe Anzahl dieser elementaren<br />

Bauelemente auf einem einzigen Halbleiterkristall realisiert werden (integrierter Schaltkreis, Halbleiter-Chip), wodurch<br />

sich sehr komplexe Systeme (Speicher, CPU, Mikrocontroller) auf kleinstem Raum unterbringen lassen.<br />

Das Verständnis für die Funktionsweise solcher Bauteile setzt die Kenntnis der zugrunde liegenden atomaren<br />

Strukturen voraus, die im folgenden Kapitel beschrieben werden.<br />

6.1.1 Halbleiterphysik<br />

Atomare Strukturen können durch das Bohrsche Atommodell beschrieben werden: Das Atom besteht aus einem<br />

n-fach positiv geladenen Atomkern und n negativ geladenen Elektronen, die den Atomkern auf bestimmten Bahnen<br />

umkreisen und die Atomhülle bilden. Durch die elektrische Anziehungskraft zwischen Elektron und Atomkern<br />

wird das Elektron gewissermaßen an den Atomkern gebunden. Ähnlich wie ein Satellit auf einer Erdumlaufbahn,<br />

der potentielle Energie (Höhe) und kinetische Energie (Geschwindigkeit) besitzt, ist das Energieniveau des Elektrons<br />

vom Bahnradius abhängig. Anders als aus der klassischen Physik bekannt, kann einem Elektron Energie nur<br />

in Quanten zugefügt werden, s.d. es nur diskrete Energieniveaus einnehmen kann. Weiterhin kann in einem<br />

Atom ein Energieniveau (= Schale) nur durch eine bestimmte Anzahl an Elektronen eingenommen werden. Besitzt<br />

ein Atom mehrere Elektronen, so werden zunächst die Schalen mit der geringsten Energie besetzt. Erst wenn eine<br />

Schale voll besetzt ist, wird die nächst höhere Schale aufgefüllt.<br />

Die Energieniveaus werden in Elektronenvolt „eV“ angegeben, dies ist die Energie, die einem Elektron zugeführt<br />

wird, wenn es eine Spannungsdifferenz von 1 Volt durchläuft.<br />

Atomkern<br />

Schale<br />

Elektron<br />

Energie [eV]<br />

10<br />

5<br />

0<br />

unbesetztes<br />

Energieniveau<br />

In einer voll besetzten Schale sind die Elektronen stabil, in einer teilweise besetzten Schale nur lose an das Atom<br />

gebunden. Dies ist der Grund dafür, dass Atome untereinander chemische Bindungen eingehen: Ein Atom mit einer<br />

gering besetzten äußeren Schale gibt die Elektronen (= Valenzelektron) an ein anderes Atom ab, dem Elektronen<br />

zum Auffüllen der äußere Schale fehlen. Die Atome teilen sich gewissermaßen ein oder mehrere Elektronen<br />

und sind dadurch aneinander gebunden, sie bilden ein Molekül (Beispiel: Zwei Wasserstoffatome mit je einem<br />

Elektron „teilen“ sich die Elektronen und besitzen dann jeweils eine mit 2 Elektronen voll besetzte Schale). In<br />

Festkörpern liegen oft Bindungen vor, bei denen die Atome in Kristallgittern angeordnet sind und die äußeren<br />

Valenzelektronen mit den jeweiligen Gitternachbarn wechselwirken.<br />

15<br />

n = 4<br />

n = 3<br />

n = 2<br />

n = 1<br />

n = 0


6 Elektronische Grundlagen 63<br />

In einem Atomverbund überlagern sich die Energieniveaus der einzelnen Atome derart, dass aus den diskreten Niveaus<br />

kontinuierliche Energiebänder entstehen. Die Elektronen eines Einzelatoms können nur diskrete Energieniveaus<br />

annehmen. Dementsprechend können sich die Elektronen im Kristall nur in den Energiebändern aufhalten,<br />

nicht jedoch in den dazwischen liegenden verbotenen Zonen. Die physikalischen und elektrischen Eigenschaften<br />

des Kristalls werden durch das Leitungsband und das Valenzband bestimmt: Das Valenzband ist das letzte voll<br />

besetzte, das Leitungsband ist das nächst höhere teilweise oder unbesetzte Energieband. Die Elektronen im Valenzband<br />

werden zwischen benachbarten Atomen ausgetauscht, sind aber an diesen gebunden und bewirken die<br />

Kristallbindung. Die Elektronen im Leitungsband sind nicht mehr an einem einzelnen Atom gebunden, sie bilden<br />

eine leicht verschiebliche „Elektronenwolke“ und ermöglichen so eine elektrische Leitung. Für die elektrische<br />

Leitfähigkeit eines Materials kommt es nun darauf an, ob sich im Leitungsband Elektronen befinden oder nicht.<br />

Leitungsband<br />

verbotene Zone<br />

Valenzband<br />

Einzelatom Molekül Kristall<br />

(3 Atome)<br />

In einem Nichtleiter ist das Leitungsband unbesetzt, s.d. keine Elektronen zum Ladungstransport beitragen können.<br />

Der Bandabstand zwischen dem Valenzband und dem Leitungsband ist so groß, dass auch durch thermische<br />

Anregung (Wärme ist Bewegung der Atome. Durch Stoßreaktionen können Elektronen auf ein höheres Energieniveau<br />

gebracht, also angeregt werden) keine Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband angehoben werden<br />

können.<br />

Am absoluten Temperatur-Nullpunkt (T = 0K = -273°C) verhält sich ein Halbleiter wie ein Nichtleiter. Der Bandabstand<br />

in einem Halbleiter ist jedoch so klein, dass die thermische Energie bei Raumtemperatur ausreicht, um<br />

Elektronen in das Leitungsband anheben zu können. Die Leitfähigkeit eines Halbleiters ist stark temperaturabhängig<br />

und nimmt mit steigender Temperatur zu.<br />

Durch die Überlappung von Valenz- und Leitungsband eines Leiters (Metall) befinden auch am absoluten Temperatur-Nullpunkt<br />

Elektronen im Leitungsband, s.d. das Material auch ohne thermische Anregung leitend ist.<br />

6.1.2 Reine Halbleiterkristalle<br />

Nichtleiter Halbleiter Leiter<br />

Leitungsband<br />

Valenzband<br />

Die Halbleiteratome Silizium (Si) und Germanium (Ge) haben jeweils vier Elektronen in der äußeren Schale, die<br />

mit 8 Elektronen voll besetzt wäre. In einem Kristallgitter geht jedes Atom mit jeweils vier benachbarten Atomen<br />

eine Elektronenpaarbindung (= Kovalenzbindung) ein, wodurch ein regelmäßige räumliche Struktur entsteht.<br />

(Die Atome sind in einem Tetraeder angeordnet. Die Abbildung zeigt ein zweidimensionales Modell der Gitterstruktur,<br />

in der die Elektronenpaarbindungen durch einen geraden Strich dargestellt werden.). Die Anzahl der<br />

Elektronen in der äußeren Schale wird auch als Wertigkeit bezeichnet. Neben den sogenannten IV-IV-Halbleitern<br />

(z.B. reines Silizium oder Germanium mit der Wertigkeit IV) existieren auch III-V-Halbleiter (Gallium-Arsenid,<br />

GaAs) und II-VI-Halbleiter (ZnS), die eine ähnlicher Gitterstruktur aufweisen.


6 Elektronische Grundlagen 64<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

Struktur eines reinen Halbleiterkristalls<br />

Durch thermische Anregung kann ein Elektron aus dieser Bindung herausgelöst und in das Leitungsband gehoben<br />

werden, es trägt dann zur elektrischen Leitfähigkeit bei (Eigenleitung). Gleichzeitig hinterlässt das Elektron ein<br />

ortsfestes Loch (= Defektelektron), das von einem anderen Elektron besetzt werden kann. Dieser Vorgang wird<br />

als Generation und Rekombination bezeichnet. Da die Elektronen, die durch Rekombination freie Löcher besetzen,<br />

selbst Löcher an anderer Stelle hinterlassen, entsteht eine scheinbare Löcherbewegung, die als Transport positiver<br />

Ladungen (= Löcherleitung) interpretiert werden kann.<br />

6.1.3 Dotierte Halbleiterkristalle<br />

+ - + - + - +<br />

+ - + - + + -<br />

+ - + + - + -<br />

+ + - + - +-<br />

+<br />

+<br />

+<br />

Schematische Darstellung der<br />

Löcherleitung:<br />

Die Elektronen bewegen sich von<br />

links nach rechts. Gleichzeitig<br />

wandert das Loch (Defektelektronen)<br />

von rechts nach links.<br />

Die Eigenleitfähigkeit reiner Halbleiterkristalle ist sehr gering und stark temperaturabhängig, s.d. sie für technische<br />

Zwecke nicht genutzt werden. Die Leitfähigkeit kann aber durch gezieltes Verunreinigen (= Dotierung) des<br />

Kristalls um einige Zehnerpotenzen vergrößert und weitestgehend temperaturunabhängig gestaltet werden (= Störstellenleitfähigkeit):<br />

6.1.3.1 P-Dotierung<br />

Ein Fremdatom, dass nur drei Valenzelektronen hat, kann nur mit drei der vier Nachbaratomen eine Elektronenpaarbindung<br />

eingehen, s.d. für ein voll besetztes Valenzband genau ein Elektron fehlt. Das Fremdatom stellt also<br />

ein Loch bzw. Defektelektron zur Verfügung und trägt damit zum Ladungstransport bei, der durch positive bewegliche<br />

Ladungsträger beschrieben werden kann. Diese Art der Verunreinigung wird daher P-Dotierung genannt, die<br />

Fremdatome werden als Akzeptoratome bezeichnet. Zur P-Dotierung sind die Elemente Aluminium (Al), Bor (B)<br />

und Indium (In) geeignet.<br />

6.1.3.2 N-Dotierung<br />

Wird ein Halbleiter mit Fremdatomen dotiert, die fünf Valenzelektronen besitzen (Donatoratom), so gehen vier<br />

Valenzelektronen in die Elektronenpaarbindung mit den benachbarten Atomen ein. Das fünfte Valenzelektron wird<br />

nicht mit eingebunden und steht somit als negative bewegliche Ladung dem Ladungstransport zur Verfügung. Geeignete<br />

Elemente zur N-Dotierung sind: Arsen (As), Antimon (Sb) und Phosphor (P).<br />

Die Dotierungsdichte Fremdatome pro Halbleiteratome liegt in der Größenordnung zwischen 1:10 6 und 1:10 3 .


6 Elektronische Grundlagen 65<br />

+<br />

+<br />

+<br />

Defektelektron<br />

6.1.4 PN-Übergang<br />

+<br />

+<br />

+<br />

Akzeptoratom<br />

P-dotierter Halbleiter<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

freies<br />

Elektron<br />

+<br />

+<br />

+<br />

Donatoratom<br />

N-dotierter Halbleiter<br />

Die Funktionsweise von Halbleiterbauelementen basiert auf den physikalischen Effekten, die an der Grenzschicht<br />

zwischen unterschiedlich dotierten Halbleitern (bipolare Bauelemente) bzw. zwischen Metall und dotiertem Halbleiter<br />

(unipolare Bauelemente) auftreten. Diese Effekte werden nun anhand eines PN-Übergangs erläutert.<br />

Im P-dotierten Bereich sind sehr viele Löcher aber nur wenige freie Elektronen vorhanden. Im N-dotierten Bereich<br />

sind dagegen nur wenige Löcher aber viele freie Elektronen vorhanden. Fasst man die Löcher als positive und die<br />

Elektronen als negative Ladungsträger auf, so liegt am PN-Übergang zunächst eine sprunghafte Änderung der Ladungsträgerdichten<br />

vor. Die unterschiedlichen Ladungsträgerdichten werden jedoch durch Diffusion, bei der<br />

freie Elektronen aus dem N-Bereich in den P-Bereich wandern, ausgeglichen (= Diffusionsstrom). Die Elektronen<br />

hinterlassen im N-Bereich Löcher, dies entspricht einer Diffusion der Löcher aus dem P-Bereich in den N-Bereich.<br />

In der Grenzschicht rekombinieren die in den P-Bereich hineindiffundierten Elektronen mit den Löchern, s.d. dort<br />

ein ortsfester negativer Ladungsüberschuss (-) entsteht. Andererseits fehlen die Elektronen im N-Bereich der<br />

Grenzschicht, dort entsteht ein ortsfester positiver Ladungsüberschuss (+). Der aufgrund des Dichtegefälles einsetzende<br />

Diffusionsstrom erzeugt eine Ladungstrennung und damit ein elektrisches Feld, welches eine weitere Diffusion<br />

verhindert. Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der Diffusionswirkung und der Kraftwirkung durch das<br />

elektrische Feld ein. In der Grenzschicht entsteht eine Raumladungszone, in der keine freien Ladungsträger existieren:<br />

die Grenzschicht ist zu einer hochohmigen Sperrschicht geworden.<br />

P N<br />

- - -<br />

- - -<br />

- - -<br />

Feldstärke<br />

+ + +<br />

Diffusion<br />

el. Feld<br />

+ + +<br />

+ + +<br />

Raumladungszon<br />

e Spannung<br />

Ladungsdicht<br />

e<br />

Die in der Grenzschicht herrschende Spannung wird als Diffusionsspannung UD bezeichnet, diese beträgt bei<br />

Raumtemperatur UD = 0,37 V (Ge) bzw. UD = 0,75 V (Si).<br />

(Anm.: Die Diffusionsspannung kann allerdings nicht direkt gemessen werden. Durch Kontaktierung des Halbleiters entsteht<br />

ein neuer Übergang, an dem ebenfalls eine Diffusionsspannung entsteht, die der Diffussionspannung am PN-Übergang<br />

entgegengesetzt ist.)<br />

x<br />

+<br />

+<br />

+


6 Elektronische Grundlagen 66<br />

6.2 Diode<br />

Die Diode ist ein Halbleiterbauelement, die auf den Eigenschaften eines PN-Übergangs basiert. Die wesentliche<br />

Eigenschaft einer Diode besteht darin, dass sie den Strom nur in einer Richtung durchlässt.<br />

Polung in Sperrrichtung:<br />

Wird eine äußere Spannungsquelle U mit dem Pluspol an den N-Bereich (= Kathode) und mit dem Minuspol an<br />

den P-Bereich (= Anode) angeschlossen, so fließen zunächst Elektronen in den P-Bereich (und rekombinieren dort<br />

mit den freien Löchern), bzw. werden aus dem N-Bereich abgezogen. Die Grenzschicht verarmt dadurch noch<br />

mehr an freien Ladungsträgern und die hochohmige Sperrschicht wird breiter. Durch die vergrößerte Raumladungszone<br />

steigt, ähnlich wie bei einem Kondensator, die innere Feldstärke und damit die Spannung an der Grenzschicht.<br />

Ein weiterer Stromfluss ist (fast) nicht mehr möglich, die Diode ist in Sperrrichtung gepolt. Ein verbleibender<br />

geringer Sperrstrom (typisch: einige µA) ist durch die thermisch bedingte Generation von Ladungsträgerpaaren,<br />

wie sie auch im undotierten Halbleitermaterial zu finden ist, möglich.<br />

A<br />

=<br />

U<br />

- - - - - - + + + + +<br />

P - - - - - - + + + + + N<br />

- - - - - - + + + + +<br />

U D<br />

K<br />

Diode in Sperrrichtung:<br />

Die äußere Spannung<br />

vergrößert die<br />

Diffusionsspannung, der<br />

Sperrbereich wird dadurch<br />

vergrößert<br />

Erreicht die externe Spannung einen bestimmten Schwellenwert (= Durchbruchspannung UBR) kann es allerdings<br />

zu einem Durchbruch kommen und die Diode verliert ihre Sperrwirkung: Ein solcher Durchbruch kann verschiedene<br />

Ursachen haben:<br />

1. Zener-Effekt: Bei einer sehr hohen Dotierung des Halbleitermaterials ist die Sperrschicht sehr schmal,<br />

s.d. Elektronen bei einer hohen Feldstärke diese Sperrschicht überwinden können (Tunneleffekt). Dieser<br />

Effekt tritt bei Durchbruchspannungen bis 5V auf.<br />

2. Avalanche-Effekt: Aufgrund der hohen Feldstärke werden Elektronen so stark beschleunigt, dass sie<br />

durch Stoßionisation weitere Ladungsträgerpaare erzeugen können (Ladungsvervielfachung). Dieser<br />

Durchbruch überwiegt bei Durchbruchspannungen größer 5V.<br />

3. Wärmedurchbruch: Durch thermische Effekte werden Ladungsträgerpaare generiert, die zur Erhöhung<br />

des Sperrstromes und damit zur weiteren Erwärmung führen. Die Ladungsträgergeneration und<br />

der Sperrstrom steigen bis zur Zerstörung der Diode weiter an.<br />

Der Zener- bzw. der Avalanche-Effekt wird in sogenannten Z-Dioden ausgenutzt. Da die Durchbruchspannung<br />

sehr genau spezifiziert werden kann und nicht zur Zerstörung der Diode führt, werden Z-Dioden typischerweise<br />

zur Spannungsstabilisierung eingesetzt.<br />

Polung in Durchlassrichtung:<br />

Eine äußere Spannung U, deren Pluspol am P-Bereich und deren Minuspol am N-Bereich angelegt wird, wirkt der<br />

Diffusionsspannung entgegen. Die aus dem N-Bereich in den P-Bereich diffundierten Elektronen werden abgezogen<br />

und rekombinieren nicht mehr vollständig mit den Löchern. Außerdem werden die im N-Bereich fehlenden<br />

Elektronen durch Elektronen aus der Spannungsquelle ersetzt. Der Diffusionstrom führt nun nicht mehr zu einer<br />

Verarmung an Ladungsträgern und die Sperrschicht wird abgebaut.<br />

A<br />

=<br />

U<br />

P N<br />

U D<br />

K<br />

Diode in Durchlassrichtung:<br />

Die äußere Spannung wirkt der<br />

Diffusionsspannung entgegen,<br />

der Sperrbereich wird dadurch<br />

aufgehoben


6 Elektronische Grundlagen 67<br />

Überschreitet die äußere Spannung den Wert der Diffusionsspannung (U > UD), wird der Halbleiter mit Ladungsträgern<br />

überschwemmt, es ist keine Raumladungszone vorhanden und die innere Feldstärke ist null. Durch den<br />

Überfluss an Ladungsträgern nimmt die Leitfähigkeit stark zu, die Diode ist in Durchlassrichtung gepolt.<br />

6.2.1 Dioden-Kennlinie<br />

Eine in Sperrrichtung gepolte Diode ist hochohmig, eine in Durchlassrichtung gepolte Diode ist niederohmig. Die<br />

Beziehung zwischen Strom und Spannung kann nicht mehr, wie an einem einfachen Widerstand, durch das ohmsche<br />

Gesetz beschrieben werden, sondern wird als Kennlinie dargestellt:<br />

Im Sperrbereich (Diode in Sperrrichtung gepolt) fließt unterhalb der Durchbruchspannung (-UBR < U < 0) nur ein<br />

sehr kleiner Sperrstrom IS, der in einer idealisierten Kennlinie vernachlässigt werden kann. Erreicht die Diodenspannung<br />

die Durchbruchspannung (U = -UBR), so kann ein beliebig großer Strom fließen, die Diodenspannung<br />

kann (ohne Zerstörung der Diode) nicht mehr weiter ansteigen.<br />

Im Durchlassbereich steigt der Strom oberhalb der Schleusenspannung (U > US) annähernd linear an. Unterhalb<br />

der Schleusenspannung fließt bereits ein Durchlassstrom, der aber in der idealisierten Kennlinie vernachlässigt<br />

wird. Die Schleusenspannung US unterscheidet sich von der Diffusionsspannung UD , sie liegt bei Germanium (Ge)<br />

zwischen 0,2 V und 0,5 V und bei Silizium zwischen 0,6 V und 0,8 V.<br />

Kennlinie:<br />

-UBR -30 V<br />

-20 V<br />

Sperrbereich<br />

I<br />

2 mA<br />

1 mA<br />

I S<br />

-10 µA<br />

-20 µA<br />

U S<br />

Durchlassbereich<br />

2 V<br />

Diode:<br />

Schaltzeichen:<br />

P N<br />

U U<br />

reale Kennlinie<br />

ideale Kennlinie<br />

I<br />

Anode<br />

Kathod<br />

e<br />

Das nichtlineare Verhalten von Strom und Spannung an einer Diode erschwert die Analyse von Schaltungen, die<br />

eine Diode enthalten. In einer Fallunterscheidung kann die Diode aber durch entsprechende Ersatzschaltbilder ersetzt<br />

werden:<br />

1. Fall: U = -UBR<br />

Die Diodenspannung U ist in diesem Falle unabhängig vom Diodenstrom I. Dies bedeutet, dass<br />

sich die Diode wie eine ideale Spannungsquelle verhält. Allerdings liefert die Quelle keine Leistung,<br />

sondern verbraucht sie und setzt sie in Wärme um.<br />

Dieser Fall ist nur für Zener-Dioden (Zener-Effekt, UBR < 5V) bzw. Z-Dioden (Avalanche-Effekt,<br />

UBR > 5V) relevant, die für einen Spannungsdurchbruch ausgelegt sind. Normale Dioden können<br />

bei einem solchen Durchbruch leicht zerstört werden. Schaltzeichen:<br />

2. Fall: -UBR < U < US<br />

In diesem Spannungsbereich fließt keine Strom, die Diode verhält sich wie ein geöffneter Schalter<br />

(= Leerlauf) .<br />

3. Fall: U > US<br />

Erreicht die Diodenspannung die Schleusenspannung, steigt der Strom linear mit der Diodenspannung<br />

an. Mit dem Innenwiderstand R i gilt für den Strom I:<br />

I = U − U S<br />

R i<br />

Diese Geradengleichung entspricht dem ohmschen Gesetz, sofern man die Schleusenspannung von


6 Elektronische Grundlagen 68<br />

der Diodenspannung subtrahiert. Im Ersatzschaltbild wird dies durch die ideale Spannungsquelle<br />

US dargestellt, die mit dem Innenwiderstand in Reihe geschaltet ist. Im Durchlassbereich verhält<br />

sich die Diode wie eine reale Spannungsquelle, die allerdings keine Leistung abgibt sondern aufnimmt.<br />

I < 0<br />

=<br />

U BR<br />

U < 0<br />

U = -UBR<br />

I<br />

I = 0<br />

U<br />

-UBR < U < US<br />

U<br />

U > US<br />

I = (U – U S ) / R i<br />

R i<br />

=<br />

U S<br />

U > U S<br />

Für eine grobe Schaltungsanalyse können die Schleusenspannung (US = 0) und der Innenwiderstand (R i = 0) vernachlässigt<br />

werden. Für Dioden, die nicht im Durchbruch betrieben werden, ergibt sich daraus folgendes Verhalten:<br />

Für Spannungen kleiner null ist die Diode in Sperrrichtung gepolt, es fließt kein Strom (= Leerlauf). Wird die<br />

Diode in Durchlassrichtung gepolt, kann ein beliebig großer Strom fließen, es fällt aber keine Spannung ab<br />

(= Kurzschluss).<br />

Sperrrichtung<br />

I = 0<br />

offener Schalter<br />

= Leerlauf<br />

6.2.2 Anwendungen der Diode<br />

6.2.2.1 Verpolungsschutz<br />

I<br />

U<br />

Durchlassrichtung<br />

U = 0<br />

geschlossener Schalter<br />

= Kurzschluss<br />

Kennlinie:<br />

Der Strom kann nur in eine Richtung durch die Diode fließen!<br />

Eine einfache Anwendung findet die Diode als Schutz gegen Verpolung.<br />

U Batt<br />

+<br />

I > 0<br />

U L<br />

Batterie richtig eingelegt:<br />

U L ~ U Batt<br />

elektronische<br />

Schaltung<br />

R L<br />

U Batt<br />

+<br />

I = 0<br />

I<br />

U L<br />

Batterie falsch eingelegt:<br />

U L = 0<br />

R L<br />

U<br />

elektronische<br />

Schaltung


6 Elektronische Grundlagen 69<br />

Da der Strom nur in eine Richtung durch die Diode fließen kann, wird ein Stromfluss, der zu einer Zerstörung der<br />

elektronischen Schaltung führen könnte, bei vertauschter Polarität verhindert.<br />

6.2.2.2 Gleichrichter<br />

Ein Gleichrichter wandelt eine Wechselspannung in eine Gleichspannung um. In einem Halbwellengleichrichter<br />

leitet die Diode bei einer positiven Halbwelle, die negative Halbwelle wird gesperrt. Ausgangsseitig entsteht eine<br />

Spannung mit hohem Gleichanteil. Die Ausgangsspannung kann durch einen möglichst großen Kondensator geglättet<br />

werde. Während der Sperrzeit der Diode wird der Kondensator durch den Lastwiderstand entladen, s.d. die<br />

Ausgangsspannung eine Restwelligkeit behält. Eine Verbesserung kann durch einen Brückengleichrichter erzielt<br />

werden, bei dem die Dioden so angeordnet sind, dass beide Halbwellen zur Ausgangsspannung beitragen. Die<br />

Restwelligkeit des Brückengleichrichters ist geringer, dafür ist der Schaltungsaufwand größer.<br />

Halbwellengleichrichter<br />

U 0<br />

~<br />

Brückengleichrichter<br />

U 0 ~<br />

6.2.2.3 Spannungsstabilisierung<br />

~<br />

+<br />

-<br />

~<br />

C<br />

C<br />

U L<br />

U L<br />

R L<br />

R L<br />

U<br />

U<br />

U L (ohne C)<br />

U 0<br />

U L (ohne C)<br />

U 0<br />

U L (mit C)<br />

t<br />

U L (mit C)<br />

Der sehr ausgeprägte „Knick“ im Sperrbereich der Kennlinie der Zener-Diode (bzw. Z-Diode) und die Möglichkeit,<br />

die Durchbruchspannung durch das Design der Diode in einem weiten Bereich festzulegen, kann zur Spannungsstabilisierung<br />

und erzeugen einer Referenzspannung ausgenutzt werden. Dazu wird die in Sperrrichtung<br />

gepolte Diode mit einem Vorwiderstand RZ in Reihe geschaltet. Solange U0 > UBR gilt, bleibt die an der Diode abfallende<br />

Spannung stabil, sie ist gleich der Durchbruchspannung (UL = UBR). Ein Anstieg der Quellenspannung U0<br />

führt zu einem Anstieg des Diodenstromes (der auch durch RZ fließt) und damit zu einem Anstieg der an RZ abfallenden<br />

Spannung: Die Diodenspannung UL bleibt konstant.<br />

U 0<br />

=<br />

R Z<br />

U BR<br />

I L<br />

U L<br />

elektronische<br />

Schaltung<br />

R L<br />

t


6 Elektronische Grundlagen 70<br />

6.3 Bipolartransistor<br />

Im Bipolartransistor werden ebenfalls die physikalischen Effekte an einem PN-Übergang ausgenutzt, er besteht<br />

aus zwei in Reihe geschalteten Übergängen. Je nach Art der Dotierung wird zwischen NPN- und PNP-Transistoren<br />

unterschieden. Da die meisten Anwendungen einen NPN-Transistor verwenden, wird hier der PNP-Transistor<br />

nicht weiter behandelt. Seine Funktionsweise ist ähnlich dem NPN-Transistor, allerdings sind die Polaritäten und<br />

Stromrichtungen vertauscht. Es existieren sehr viele unterschiedliche Varianten des Bipolartransistors, die sich im<br />

Aufbau und den Eigenschaften sehr stark unterscheiden. Er wird als diskretes Einzelbauteil oder als Bestandteil integrierter<br />

Schaltungen eingesetzt.<br />

Die drei Halbleiterschichten sind kontaktiert und und werden als Kollektor („C“) , Basis („B“) und Emitter („E“)<br />

bezeichnet. Liegt zwischen Kollektor und Emitter eine Spannung UCE an, so bildet der Kollektor-Basis-Übergang<br />

eine in Sperrrichtung gepolte Diode, es fließt kein Strom.<br />

I C<br />

+ -<br />

C<br />

N +<br />

+<br />

-P<br />

-<br />

B<br />

N<br />

E<br />

=<br />

U CE<br />

Eine Spannung UBE zwischen Basis und Emitter führt zu einem Basisstrom IB, da der PN-Übergang zwischen Basis<br />

und Emitter in Durchlassrichtung gepolt ist. Der in der Basis hineinfließende technische Strom IB entspricht einem<br />

Elektronenfluss vom Emitter in die Basis.<br />

+ -<br />

C<br />

N +<br />

+<br />

-P<br />

-<br />

B<br />

N<br />

E<br />

I B<br />

=<br />

U BE<br />

Elektronenfluss<br />

Die Basisschicht ist so dünn, dass die aus dem Emitter in die Basis übertretenden Elektronen in die Sperrschicht<br />

des Kollektor-Basis-Übergangs gelangen (= Injektion) und diese „überschwemmen“. Damit stehen in der Sperrschicht<br />

genügend freie Elektronen zur Verfügung, um die Sperrwirkung aufzuheben und es kommt ein Elektronenfluss<br />

vom Emitter zum Kollektor zustande, dem der technische Kollektorstrom IC entspricht. Falls die Kollektor-<br />

Emitter-Spannung UCE hinreichend groß ist, ist der Kollektorstrom IC von dieser Spannung unabhängig und wird<br />

nur noch durch den sehr viel kleineren Basisstrom IB bestimmt.<br />

I C<br />

N P N<br />

C E<br />

I B<br />

=<br />

U CE<br />

B<br />

=<br />

U BE<br />

Elektronenfluss


6 Elektronische Grundlagen 71<br />

Die folgende Tabelle zeigt die Schaltbilder des NPN- und PNP-Transistors:<br />

schematischer Aufbau Schaltzeichen<br />

NPN-<br />

Transistor<br />

PNP-<br />

Transistor<br />

6.3.1 Transistor-Kennlinien<br />

Basis<br />

Basis<br />

Kollektor<br />

N<br />

P<br />

N<br />

Emitter<br />

Kollektor<br />

P<br />

N<br />

P<br />

Emitter<br />

An den drei Klemmen des Transistors können drei Ströme und drei Spannungen gemessen werden. Da auch für<br />

den Transistor die Kirchhoff'schen Sätze gelten, ergeben sich der Emitterstrom IE und die Kollektor-Basis-Spannung<br />

UCB aus den anderen Größen:<br />

I E = −�I C � I B � und U CB = U CE − U BE<br />

Die Eigenschaften des Transistors werden graphisch durch Kennlinien beschrieben, in der die Wechselwirkung der<br />

vier elektrischen Größen UBE, UCE, IB und IC dargestellt wird.<br />

Die wesentliche Eigenschaft des Transistors besteht nun darin, dass der Kollektorstrom IC durch einen sehr viel<br />

kleineren Basisstrom IB gesteuert werden kann. Ursache für den Basisstrom IB ist die Basis-Emitterspannung UBE,<br />

die an der Basis-Emitter-Diode anliegt, s.d. die Eingangskennlinie die Charakteristik einer Diodenkennlinie besitzt.<br />

Sie ist gekennzeichnet durch die Schwellenspannung US, ab der der Basisstrom einsetzt und dem<br />

Eingangswiderstand der Basis-Emitterstrecke:<br />

Eingangswiderstand : R BE = �U BE<br />

� I B<br />

typisch : R BE ≈ 1k� bis 10k �<br />

Unter der Voraussetzung, dass UCE hinreichend groß ist (UCE > UBE), hängt der Ausgangsstrom IC linear vom Eingangsstrom<br />

IB ab. Dieser Zusammenhang wird durch die Transferkennlinie wiedergegeben. Das Verhältnis IC zu<br />

IB wird als Stromverstärkung bezeichnet:<br />

Stromverstärkung : B = I C<br />

I B<br />

typisch: B ≈ 100 bis 500<br />

Falls jedoch UCE nicht hinreichend groß ist, wird die Stromverstärkung nicht erreicht, der Transistor wird im Sättigungsbereich<br />

betrieben. (Anm.: Mit UCE < UBE gilt auch UBC > 0, die Kollektor-Basis-Diode ist in Durchlassrichtung<br />

gepolt, s.d. ein Strom aus der Basis zum Kollektor fließt.)<br />

Die Ausgangskennlinie stellt den Zusammenhang zwischen der Kollektor-Emitter-Spannung UCE und dem Kollektorstrom<br />

IC dar. Außerhalb des Sättigungsbereiches ist der Kollektorstrom IC nicht mehr von UCE abhängig, daher<br />

besteht diese Kennlinie aus einer Kurvenschar mit dem Parameter IB. Im Sättigungsbereich steigt IC linear mit<br />

der Spannung UCE.<br />

Die dargestellte Kennlinie ist eine Idealisierung der realen Transistorkennlinie. Sie gibt aber das prinzipielle Verhalten<br />

des Transistors wieder und kann einer vereinfachten Schaltungsanalyse verwendet werden.<br />

B<br />

B<br />

C<br />

E<br />

C<br />

E


6 Elektronische Grundlagen 72<br />

U CE<br />

Stromverstärkung:<br />

I C = B * I B<br />

200µA<br />

IB 100µA<br />

Eingangswiderstand:<br />

R BE = ΔU BE /ΔI B<br />

Zusammenfassung:<br />

Eingangskennlinie<br />

Transferkennlinie<br />

Ausgangskennlinie<br />

I C<br />

20mA<br />

10mA<br />

0,5V<br />

U S<br />

1V<br />

UBE UBE → IB<br />

5V<br />

10V<br />

I B =<br />

U CE<br />

250µA<br />

200µA<br />

150µA<br />

100µA<br />

50µA<br />

I B<br />

U BE<br />

B<br />

C<br />

E<br />

U CE<br />

Beispiel:<br />

1. Liegt U BE = 0,875V an, so fließt ein Basisstrom I B = 150 µA<br />

2. Mit B = 100 fließt ein Kollektorstrom I C = 15 mA<br />

3. Der Kollektorstrom ist unabhängig von U CE<br />

Der Basis-Emitterübergang entspricht einer in Flussrichtung<br />

gepolten Diode.<br />

IB → IC Stromverstärkung: IC = B·IB, falls UCE > UBE<br />

IC → UCE<br />

6.3.2 Ersatzschaltbild des Bipolartransistors<br />

Sättigungsbereich: IC nimmt linear mit UCE zu<br />

sonst: IC unabhängig von ICE, Kurvenschar mit Parameter IB<br />

Der Eingang des Transistors (Basis-Emitterstrecke) ist vom Ausgang (Kollektor-Emitterstrecke) unabhängig und<br />

entspricht im elektrischen Verhalten einer Diode. Weiterhin ist der Kollektorstrom IC, ausreichende Kollektor-<br />

Emitterspannung UCE vorausgesetzt, nur vom Basisstrom IB abhängig. Mit diesen Erkenntnissen kann der Bipolartransistor<br />

durch ein vereinfachtes Großsignal-Ersatzschaltbild modelliert werden. Die Basis-Emitterstrecke wird<br />

darin durch eine Diode, die Kollektor-Emitterstrecke durch eine gesteuerte Stromquelle (B·IB) ersetzt.<br />

Soll der Transistor zur Verstärker einer Eingangsspannung Ue (Wechselspannung) eingesetzt werden, muss durch<br />

externe Beschaltung dafür gesorgt werden, dass die Basis-Emitterspannung immer größer als die Schwellspannung<br />

ist. Dies wird durch Addition der Signalspannung mit einer ausreichenden Gleichspannung erreicht (Kap. 6.3.3.1).<br />

Die zu verstärkende Signalspannung bewirkt dann eine Änderung der Basis-Emitterspannung (ΔUBE ~ Ue). Da die<br />

Basis-Emitterdiode im Durchlassbereich betrieben wird, kann sie zur Modellierung in einem Kleinsignal-Ersatzschaltbild<br />

durch ihren Innenwiderstand RBE ersetzt werden.<br />

U BE<br />

I B<br />

B<br />

C<br />

E<br />

I C<br />

U CE<br />

U BE<br />

I B<br />

B·I B<br />

Transistor Großsignal-<br />

Ersatzschaltbild<br />

I C<br />

U CE<br />

ΔU BE<br />

ΔI B<br />

R BE<br />

I C<br />

ΔI C<br />

B·ΔI B<br />

ΔU CE<br />

Kleinsignal-<br />

Ersatzschaltbild


6 Elektronische Grundlagen 73<br />

6.3.3 Grundschaltungen des Bipolartransistors<br />

Der Bipolartransistor kann in den drei Grundschaltungen „Emitterschaltung“, „Kollektorschaltung“ oder „Basisschaltung“<br />

betrieben werden. Der Bipolartransistor wirkt als Schalt- oder Verstärkerbauelement mit einem Eingangs-<br />

und einem Ausgangsstromkreis. Die Bezeichnung der Schaltungsart richtet sich nun danach, welcher der<br />

drei Anschlüsse sowohl im Eingangs- als auch im Ausgangskreis liegt (bzw. an der gemeinsamen Stromversorgung<br />

angeschlossen ist). Von diesen Schaltungsarten haben die Emitter- und Kollektorschaltung die größte Bedeutung,<br />

die Basisschaltung findet weniger Anwendungen und wird hier nicht weiter behandelt.<br />

U e<br />

B<br />

U 0<br />

C<br />

E<br />

R C<br />

U a<br />

U e<br />

B<br />

Emitterschaltung Kollektorschaltung Basisschaltung<br />

6.3.3.1 Emitterschaltung<br />

Der Eingangsstromkreis der Emitterschaltung beinhaltet den PN-Übergang zwischen Basis und Emitter, der sich<br />

wie eine Diode verhält. Der zur Steuerung des Kollektorstrom (Ausgangskreis) notwendige Basisstrom kommt erst<br />

dann zustande, wenn die Eingangsspannung UBE die Schwellspannung US überschreitet. Um mit einem Transistor<br />

Signale (Wechselspannungen) möglichst verzerrungsfrei verstärken zu können, muss durch externe Beschaltung<br />

zunächst der Arbeitspunkt eingestellt werden, indem das Eingangssignal mit einer geeigneten Gleichspannung<br />

überlagert wird. Dies wird mit einen Basiswiderstand RB erreicht, der zusammen mit dem Eingangswiderstand RBE<br />

der Basis-Emitterdiode die Betriebsspannung U0 teilt. Solange keine Eingangsspannung anliegt (Ue = 0), wird die<br />

Basis-Emitterspannung UBE bzw. der Basisstrom IB bestimmt durch:<br />

U BE =<br />

R BE<br />

⋅U 0 � U S bzw. I B =<br />

R B � R BE<br />

U 0 − U S<br />

RB � R BE<br />

Die Betriebsspannung bildet zusammen mit dem Widerstand RC eine reale Spannungsquelle, an deren Klemmen<br />

der Transistor mit Kollektor und Emitter angeschlossen ist. Der Spannungsquelle wird der Strom IC entnommen,<br />

s.d. an den Klemmen die Spannung UCE abfällt:<br />

U CE = U 0 − R C ⋅I C<br />

Die äußere Beschaltung mit U0 und RC liefert somit eine weitere Gleichung, die als Lastgerade in die Kennlinie<br />

eingezeichnet werden kann. Am Transistor stellen sich Kollektorstrom und Kollektor-Emitterspannung so ein, dass<br />

I C und UCE auf dieser Lastgeraden liegen. Der Schnittpunkt dieser Lastgeraden mit der für IB „zuständigen“ Kennlinie<br />

ergibt nun den Arbeitspunkt.<br />

U 0<br />

C<br />

E<br />

R E<br />

U a<br />

U e<br />

E<br />

R E<br />

B<br />

C<br />

U 0<br />

R C<br />

U a


6 Elektronische Grundlagen 74<br />

200µA<br />

IB 100µA<br />

I C<br />

20mA<br />

10mA<br />

Lastgerade<br />

0,5V<br />

1V<br />

UBE 5V<br />

Arbeitspunkt<br />

10V<br />

I B =<br />

U CE<br />

250µA<br />

200µA<br />

150µA<br />

100µA<br />

50µA<br />

Beispiel:<br />

1. Mit U 0 = 10V, R B = 92kΩ, R BE = 1,5kΩ und U S = 0,65V<br />

liegt der Arbeitspunkt bei U BE = 0,8V / I B = 100µA<br />

2. B = 100, R C = 500Ω: Der Kollektorstrom beträgt I C = B∙I B = 10mA,<br />

die Ausgangsspannung liegt bei U a = 5V<br />

3. Eine Eingangsspannung mit der Amplitude ΔU a = 75mV führt zu einer<br />

Amplitude der Ausgangsspannung von ΔU e = 2,5V<br />

Wird nun die Eingangsspannung Ue über einen Kondensator an die Basis angelegt (der Kondensator verhindert,<br />

dass der Arbeitspunkt durch die Eingangsspannung verschoben wird), so verursacht eine Spannungsamplitude<br />

ΔUBE = ΔUe eine Stromänderung ΔIC von<br />

� I C = B⋅� I B = B<br />

⋅�U BE<br />

RBE Im Kleinsignal-Ersatzschaltbild gilt für die Basis-Emitterstrecke das Ohmsche Gesetz, s.d. die gesteuerte Stromquelle<br />

direkt von der Basis-Emitterspannung abhängt. Mit der Transistorkenngröße<br />

Steilheit : S = B<br />

R BE<br />

kann geschrieben werden:<br />

� I C = S⋅� U BE = S⋅� U e<br />

Die Änderung der Ausgangsspannung ΔUa ist proportional der Stromänderung -ΔIC und damit proportional der Änderung<br />

der Eingangsspannung:<br />

� U a = �U CE = −R C⋅S⋅� U e<br />

Die Eingangsspannung wird also durch die Emitterschaltung verstärkt:<br />

Spannungsverstärkung der Emitterschaltung : v u = �U a<br />

�U e<br />

= −R C ⋅S<br />

Der ausgangsseitige Kondensator lässt, ebenso wie der Eingangskondensator, nur die Wechselspannung durch. Er<br />

verhindert, dass die Gleichspannung zur Einstellung des Arbeitspunktes am Ausgang messbar wird.<br />

Die Emitterschaltung wird zur Spannungsverstärkung eingesetzt, wobei zu beachten ist, dass das Ausgangssignal<br />

gegenüber dem Eingangssignal invertiert wird (vu < 0). Allerdings ist die Verstärkung von den Steilheit S und damit<br />

direkt von den Transistoreigenschaften abhängig, die großen Temperatureinflüssen und Exemplarstreuungen<br />

unterliegen. Durch zusätzliche äußere Beschaltungen können diese Einflüsse jedoch minimiert werden.<br />

6.3.3.2 Kollektorschaltung<br />

In der Kollektorschaltung (= Emitterfolger) wird der Vorwiderstand RE an den Emitter des Transistors angeschlossen,<br />

der Kollektor liegt hingegen direkt an der Betriebsspannung U0. Der Arbeitspunkt wird auch hier durch<br />

RB eingestellt. Die Ausgangsspannung wird am Widerstand RE abgegriffen.<br />

U e<br />

R B<br />

B<br />

U 0<br />

C<br />

E<br />

R C<br />

U a


6 Elektronische Grundlagen 75<br />

U e<br />

B<br />

U BE<br />

R B<br />

In dieser Schaltung ist die Basis-Emitterspannung nicht allein von der Eingangsspannung sondern von der Differenz<br />

aus Eingangs- und Ausgangsspannung abhängig, die Ausgangsspannung wird rückgekoppelt:<br />

� U BE = �U e − � U a<br />

Der Kollektorstrom ist, wie bei der Emitterschaltung, vom Basisstrom IB bzw. von der Basis-Emitterspannung UBE<br />

abhängig:<br />

� I C = B⋅� I B = S⋅�U BE<br />

Kollektorstrom und Emitterstrom unterscheiden sich nur durch den relativ kleinen Basisstrom IB, s.d. für die an RE<br />

abfallende Ausgangsspannung gilt:<br />

� U a ≈ R E⋅� I C<br />

Die letzten drei Gleichungen können ineinander eingesetzt werden und liefern:<br />

� U a ≈ R E ⋅� I C = R E ⋅S⋅� U BE = R E ⋅S⋅� � U e − �U a � ⇒ v u = � U a<br />

� U e<br />

U 0<br />

C<br />

E<br />

R E<br />

U a<br />

=<br />

R E⋅S<br />

R E ⋅S � 1<br />

Mit der Kollektorschaltung lässt sich also keine Spannungsverstärkung erzielen. Ausgangsseitig verhält sie sich<br />

wie eine Spannungsquelle mit kleinem Innenwiderstand, s.d. ein großer Laststrom entnommen werden kann. Die<br />

Kollektorschaltung eignet sich daher als Leistungsendstufe (= Stromverstärkung).<br />

≈ 1


6 Elektronische Grundlagen 76<br />

6.4 Feldeffekttransistor<br />

Ein Feldeffekttransistor (= FET) ist ein Halbleiterbauelement mit einer spannungsgesteuerten Leitfähigkeit. Der<br />

Vorteil des FET gegenüber dem Bipolartransistor liegt darin, dass die Leitfähigkeit stromlos und damit leistungslos<br />

beeinflussbar ist. Die Funktionsweise eines FET beruht auf der Ausbildung eines leitfähigen Kanals innerhalb<br />

des Halbleitersubstrates unter dem Einfluss eine elektrischen Feldes, das durch eine Steuerelektrode erzeugt wird.<br />

Der leitfähige Kanal wird durch die Anschlüsse Source („S“) und Drain („D“) kontaktiert. Die Steuerelektrode<br />

wird als Gate („G“) bezeichnet, das Substrat als Bulk („B“). In integrierten Schaltungen sind sehr viele FETs, zusammen<br />

mit anderen Halbleiterbauelementen, auf einem gemeinsamen Substrat untergebracht. Der für alle Transistoren<br />

gemeinsame Bulk-Anschluss kann dann nicht genutzt werden. Bei diskreten FET (Einzelbauteile) ist der<br />

Bulk-Anschluss intern mit dem Source-Anschluss verbunden und nicht nach außen geführt.<br />

Die Steuerelektrode ist gegenüber dem Kanal isoliert, was durch zwei Varianten erreicht wird: Beim MOSFET (=<br />

Metal-Oxide-Semiconductor-FET) ist das Gate durch ein Oxid-Schicht vom Kanal getrennt, beim Sperrschicht-<br />

FET (= Junction-FET, JFET) trennt ein in Sperrrichtung betriebener PN-Übergang das Gate.<br />

6.4.1 MOSFET<br />

Ein MOSFET besteht aus einem p-dotierten Substrat, in dem zwei n-dotierte Zonen (Source und Drain) eingelassen<br />

sind. Zwischen diesen Zonen befindet sich das Gate, das gegenüber dem Substrat durch eine Oxidschicht isolierend<br />

getrennt ist. Drain und Substrat bilden eine in Sperrrichtung gepolte Diode, s.d. bei Anlegen einer Drain-<br />

Sourcespannung UDS zunächst kein Strom fließen kann.<br />

N<br />

S<br />

U GS<br />

P<br />

G<br />

B<br />

=<br />

U DS<br />

Oxid<br />

-Schicht<br />

N<br />

D<br />

I D<br />

Diodensperrschicht<br />

Substrat<br />

Sperrbereich:<br />

U GS < U TH<br />

=> I D = 0<br />

Wird das Gate durch eine zusätzliche Gate-Sourcespannung UGS positiv aufgeladen, so werden Elektronen aus dem<br />

Substrat in den Bereich unterhalb des Gates angezogen. Diese Elektronen besetzen zunächst die freien Löcher des<br />

p-dotierten Materials und tragen nicht zu Ladungstransport bei. Überschreitet jedoch die Gate-Sourcespannung<br />

die Schwellspannung UTH (0,5 V bis 2 V, abhängig vom Transistortyp), überschreitet die Elektronendichte die<br />

Dichte der verfügbaren Löcher (Dotierungsdichte) und es stehen freie Elektronen zum Ladungstransport bereit.<br />

Unterhalb des Gates ist im p-dotierten Substrat eine Inversionsschicht entstanden, die einen leitfähigen Kanal zwischen<br />

Drain und Source bildet.<br />

=<br />

U GS<br />

P<br />

=<br />

S G<br />

+ + + + + +<br />

N<br />

- - - - - -<br />

- - - - - -<br />

B<br />

U DS<br />

N<br />

D<br />

I D<br />

Inversionskanal<br />

Ohmscher Bereich:<br />

U TH < U GS<br />

0 < U DS < U DS.ab<br />

=> I D ~ U DS


6 Elektronische Grundlagen 77<br />

Die Dichte freier Elektronen im Inversionskanal ist proportional der Gate-Sourcespannung, s.d. die Leitfähigkeit<br />

der Drain-Sourcestrecke und damit der Drainstrom ID durch UGS eingestellt werden kann (= Ohmscher Bereich).<br />

Bei sehr kleiner Drain-Sourcespannung ist die UGS etwa gleich der UGD, s.d. sich ein symmetrischer Inversionskanal<br />

ausbilden kann. Mit zunehmender Drain-Sourcespannung tritt allerdings ein weiterer Effekt auf: Die Gate-<br />

Drainspannung wird wegen U GD = U GS − U DS kleiner und der Kanal wird auf der Drainseite eingeengt. Erreicht<br />

UDS die so genannte Abschnürgrenze UDS,ab, kann der Drainstrom nicht weiter ansteigen<br />

(= Abschnürbereich).<br />

N<br />

S<br />

=<br />

U GS<br />

P<br />

G<br />

- - - - -<br />

- -<br />

B<br />

=<br />

U DS<br />

+ + + + + +<br />

6.4.2 Kennlinie des Feldeffekttransistors<br />

U GD<br />

N<br />

D<br />

I D<br />

Abschnürung<br />

Abschnürbereich:<br />

U TH < U GS<br />

U DS.ab < U DS<br />

=> I D = konstant<br />

Da das Gate isoliert ist, kann im Normalbetrieb kein Eingangsstrom fließen, die Eingangskennlinie des Feldeffekttransistors<br />

kann daher entfallen. Bei zu hohen Eingangsspannungen (z.B. > 40V) wird die Feldstärke in der<br />

Isolierschicht so groß, dass es zu einem Durchbruch und einer Zerstörung des Transistors kommt. Da die Spannung<br />

nicht abgeleitet wird, ist der FET sehr empfindlich gegenüber elektrostatischen Aufladungen. Der FET kann zwar<br />

durch eine interne Z-Diode gegen Überspannungen geschützt werden, bei der Handhabung hochintegrierter Schaltungen<br />

sind dennoch besondere Maßnahmen (Stichwort: EGB = Elektrostatisch gefährdete Bauteile) erforderlich,<br />

um die Lebensdauer der Bauteile zu erhalten.<br />

Die Übertragungskennlinie gibt die Abhängigkeit des Drainstromes ID von der Gate-Sourcespannung UGS an, der<br />

ab einer Spannung UGS > UTH einsetzt und im Abschnürbetrieb linear mit UGS zunimmt.<br />

Die Ausgangskennlinie zeigt den Zusammenhang zwischen Drain-Sourcespannung UDS und dem Drainstrom ID.<br />

Im Ohmschen Bereich ist die Steigung von UGS abhängig, der FET verhält sich wie ein mit UGS spannungsgesteuerter<br />

Widerstand. Im Abschnürbereich ist ID von UDS unabhängig und wird alleine durch UGS bestimmt.<br />

Kennlinie eines N-Kanal-MOSFET<br />

I D<br />

20mA<br />

10mA<br />

U TH<br />

2V<br />

4V<br />

6.4.3 Sperrschicht-FET<br />

U DS<br />

U GS<br />

I D<br />

20mA<br />

10mA<br />

5V<br />

10V<br />

U GS = 4V<br />

Während beim MOSFET das metallische Gate mit einer Isolierschicht (Si-Oxid) vom Substrat getrennt wird, wird<br />

beim Sperrschicht-FET (= JFET) das Gate durch einen p-dotierten Halbleiter gebildet. Die n-dotierten Zonen<br />

Drain und Source sind miteinander verbunden. Durch eine negative Gate-Sourcespannung wird der PN-Übergang<br />

3,5V<br />

3,0V<br />

2,5V<br />

U DS<br />

U GS<br />

G<br />

D<br />

S<br />

U DS<br />

I D


6 Elektronische Grundlagen 78<br />

in Sperrrichtung gepolt und es bildet sich eine hochohmige Raumladungszone, die weit in den N-Bereich hineinreicht.<br />

Die Leitfähigkeit der Drain-Sourcestrecke wird dadurch herabgesetzt und der Drainstrom ID kann mit UGS<br />

gesteuert werden. Die Kennlinie des Sperrschicht-FET entspricht der Kennlinie des MOSFET mit einem Unterschied:<br />

Die Schwellspannung UTH ist negativ. (Arbeitsbereich: -UTH < UGS < 0).<br />

N<br />

=<br />

U < 0 GS<br />

S G<br />

- - - -<br />

P<br />

P<br />

=<br />

U DS<br />

6.4.4 Varianten des Feldeffekttransistos<br />

D<br />

I D<br />

Diodensperrschicht<br />

Zu den bisher beschriebenen Grundtypen existieren weitere Varianten, s.d. insgesamt 6 verschiedene Typen angegeben<br />

werden können.<br />

6.4.4.1 Depletion-MOSFET<br />

Durch eine positive Gate-Sourcespannung entsteht (wie oben beschrieben) beim Enhancement-FET (= Anreicherungstyp,<br />

selbstsperrend) ein leitender Inversionkanal. Beim Depletion-FET (Verarmungstyp, selbstleitend)<br />

ist dieser Kanal durch entsprechende Dotierung auch ohne Gate-Sourcespannung leitend. Er wird erst mit negativer<br />

Spannung (UGS < UTH < 0) hochohmig.<br />

6.4.5 P-Kanal-Feldeffekttransistor<br />

Alle drei bisher beschriebene Transistortypen (N-Kanal) können auch mit einem P-Kanal realisiert werden, wobei<br />

sämtliche Dotierungen invertiert ausgeführt werden. Die Kennlinie verlaufen entsprechend den N-Kanal-Typen,<br />

allerdings sind die Vorzeichen von UGS, UDS und ID ebenfalls invertiert.<br />

Typ N-Kanal P-Kanal<br />

Enhancement-FET N-MOSFET (selbstsperrend)<br />

Depletion-FET N-MOSFET (selbstleitend)<br />

D<br />

Sperrschicht-FET N-JFET<br />

D<br />

G<br />

G<br />

G<br />

D<br />

S<br />

S<br />

S<br />

U TH<br />

-2V<br />

-1V<br />

I D<br />

20mA<br />

10mA<br />

U GS<br />

P-MOSFET (selbstsperrend)<br />

D<br />

G<br />

P-MOSFET (selbstleitend)<br />

D<br />

G<br />

G<br />

S<br />

S<br />

P-JFET<br />

D<br />

S


6 Elektronische Grundlagen 79<br />

6.4.6 Ersatzschaltbild und Grundschaltungen des Feldeffekttransistors<br />

Das Ersatzschaltbild des FET wird bestimmt durch die Kondensatorwirkung des Gates, die allerdings erst bei sehr<br />

hohen Frequenzen wirksam wird, und die Spannungssteuerung des Drainstromes. Ein vereinfachtes Modell (Kleinsignalersatzschaltbild<br />

für den Abschnürbereich) stellt den FET als Stromquelle mit der Steilheit S als Transistorkennwert<br />

dar:<br />

U GS<br />

G<br />

D<br />

S<br />

Transistor<br />

I D<br />

U DS<br />

ΔU GS<br />

C GS<br />

ΔI D<br />

S·ΔU GS<br />

Kleinsignal-<br />

Ersatzschaltbild<br />

Der Feldeffekttransistor kann ebenso wie der Bipolartransistor als Verstärker oder Schaltelement eingesetzt werden.<br />

In der Digitaltechnik werden vorzugsweise MOSFET eingesetzt, während JFET in der Analogtechnik Verwendung<br />

finden. Die Grundschaltungen des FET sind analog zu den Grundschaltungen des Bipolartransistors, die<br />

Bezeichnung richtet sich auch hier nach dem gemeinsamen Bezugspunkt von Eingangs- und Ausgangskreis:<br />

U e<br />

G<br />

U 0<br />

D<br />

S<br />

R D<br />

U a<br />

U e<br />

U 0<br />

R S<br />

U a<br />

U e<br />

ΔU DS<br />

Sourceschaltung Drainschaltung Gateschaltung<br />

6.4.7 Feldeffekttransistor als Schalter<br />

G<br />

Ein FET kann in der Sourceschaltung als Schaltelement eingesetzt werden. Unterschreitet Ue die Schwellspannung<br />

des Transistors (Ue < UTH), so kann kein Drainstrom ID fließen: der Transistor sperrt und die Ausgangsspannung ist<br />

gleich der Betriebsspannung (Ua = U0).<br />

U e<br />

G<br />

U 0<br />

D<br />

S<br />

R D<br />

T<br />

U a<br />

Ue UTH I D<br />

D<br />

S<br />

0 1 0<br />

1 0 1<br />

Ua UTH U0<br />

U 0 - R D ∙I D<br />

S∙U e<br />

I D<br />

UE<br />

R S<br />

G<br />

S<br />

Lastgerade<br />

U GS > U TH : T leitet<br />

U A<br />

D<br />

U 0<br />

R D<br />

U a<br />

U GS > U TH : T sperrt<br />

U DS = U a


6 Elektronische Grundlagen 80<br />

Erst wenn die Gate-Sourcespannung die Schwellspannung überschreitet (Ue > UTH), leitet der Transistor und es<br />

kann ein Drainstrom fließen. Die Ausgangsspannung vermindert sich dadurch um den Spannungsabfall an RC, dies<br />

wird durch die Lastgerade beschrieben:<br />

U a = U 0 − R C ⋅I D<br />

Der Schnittpunkt der Lastgerade mit der für UGS „zuständigen“ Kennlinie bildet den Betriebspunkt für Ue > UTH .<br />

Durch geeignete Wahl des Lastwiderstandes RC kann eine hinreichend (aber nicht beliebig) kleine Ausgangsspannung<br />

erreicht werden, die beispielsweise nachfolgende Schaltstufen ansteuert. Interpretiert man die möglichen Eingangszustände<br />

als Binärwerte, so arbeitet diese digitale Schaltung als Inverter.<br />

Inverter<br />

Eingang Ue<br />

Ausgang Ua<br />

Spannung Binärwert Spannung Binärwert<br />

~ 0 0 ~ U0 1<br />

~ U0 1 ~ 0 0<br />

6.4.8 Feldeffekttransistor in digitalen Grundschaltungen<br />

6.4.8.1 Inverter<br />

Der Widerstand RD in der oben beschriebenen Inverter-Schaltung ist nicht unproblematisch: Falls der Transistor<br />

sperrt, sollte der Widerstand möglichst klein sein, damit Ua auch dann konstant bleibt, wenn die die Ausgangsspannung<br />

durch die nachfolgende Schaltung belastet wird. Andererseits sollte, wenn der Transistor leitet, RD möglichst<br />

groß sein, um eine kleine Ausgangsspannung und niedrige Verlustleistung (Pverlust = U0/RD) zu erreichen. Beide Anforderungen<br />

lassen sich erfüllen, wenn der Widerstand durch einen zweiten, komplementären Transistor ersetzt<br />

wird. Ein N-MOSFET leitet, wenn eine Gate-Sourcespannung UGS > UTH > 0 anliegt. Der dazu komplementäre<br />

P-MOSFET leitet bei einer negativen Gate-Sourcespannung (UGS < -UTH < 0). Mit UGS ≈ 0 sind beide Transistoren<br />

gesperrt. In nachfolgender Schaltung liegen die Gates beider Transistoren TN und TP an der gleichen Eingangsspannung,<br />

aber es gilt: UGS,N = Ue und UGS,P = Ue - U0. Die Schaltzustände der Transistoren werden nun in einer<br />

Fallunterscheidung untersucht:<br />

a) Ue ≈ 0 → TN sperrt (UGS,N = Ue ≈ 0) und TP leitet (UGS,P = U e - U0 ≈ 0 - U0 < -UTH) → Ua ≈ U0<br />

b) Ue ≈ U0 → TN leitet (UGS,N = Ue ≈ U0) und TP sperrt (UGS,P = U0 - Ue ≈ U0 - U0 = 0) → Ua ≈ 0<br />

Derartige Schaltungen, die auf einer Kombination komplementärer MOSFET beruhen, werden als CMOS-Logik<br />

bezeichnet. Der Vorteil gegenüber der Widerstandslogik besteht darin, dass die Schaltung verlustlos arbeitet. Lediglich<br />

während eines Umschaltvorganges (leitend sperrend) durchlaufen beide Transistoren gleichzeitig<br />

einen Zustand, bei dem sie weder voll gesperrt noch leitend sind. Sie bilden dadurch zwei ohmsche Widerstände,<br />

in denen Verlustleistung auftritt. Stromverbrauch und Verlustleistung (= Wärmeentwicklung) steigen bei der<br />

CMOS-Logik daher proportional mit der Taktfrequenz.<br />

Inverter (CMOS-Logik)<br />

U e<br />

U GS,P = U e -U 0<br />

G<br />

G<br />

U GS,N = U e<br />

U 0<br />

S<br />

D<br />

D<br />

S<br />

T P<br />

T N<br />

U a<br />

U 0<br />

T P leitet<br />

T N sperrt<br />

Schaltbild U e ≈ 0 => U a ≈ U 0<br />

U 0<br />

T P sperrt<br />

T N<br />

leitet<br />

U e ≈ U 0 => U a ≈ 0


6 Elektronische Grundlagen 81<br />

6.4.8.2 NAND-Gatter<br />

Ein NAND-Gatter lässt sich zunächst sehr anschaulich in der Widerstands-Logik erkennen: Anstelle des einzelnen<br />

Transistors des Inverters treten zwei in Reihe geschaltete Transistoren <strong>T1</strong> & T2, deren Gates an zwei verschiedenen<br />

Eingangsspannungen Ue,1 und Ue,2 liegen. Solange einer der beiden Transistoren wegen Ue,1 ≈ 0 oder Ue,2 ≈ 0,<br />

sperrt, sperrt auch die Reihenschaltung und die Ausgangsspannung wird Ua ≈ U0 . Erst wenn beide Transistoren<br />

leiten (Ue,1 ≈ U0 und Ue,2 ≈ U0), kann ein Drainstrom fließen und die Ausgangsspannung wird Ua ≈ 0.<br />

NAND-Gatter<br />

U e,1<br />

U e,2<br />

U 0<br />

R D<br />

T 1<br />

T 2<br />

Widerstands-Logik<br />

U a<br />

U e,1<br />

T P,1<br />

U e,2<br />

CMOS<br />

Der Ausgang Ua dieser Schaltung liefert also die NAND-Verknüpfung der (binär interpretierten) Eingangsspannungen<br />

Ue,1 und Ue,2. Die möglichen Kombinationen sind in folgender Tabelle zusammengefasst.<br />

NAND-Gatter<br />

Ue,1 Ue,2 Ua<br />

U 0<br />

T P,2<br />

T N,1<br />

T N,2<br />

Spannung Binärwert Spannung Binärwert Spannung Binärwert<br />

~ 0 0 ~ 0 0 ~ U0 1<br />

~ 0 0 ~ U0 1 ~ U0 1<br />

~ U0 1 ~ 0 0 ~ U0 1<br />

~ U0 1 ~ U0 1 ~ 0 0<br />

Auch in dieser Schaltung kann der Widerstand RD aus oben genannten Gründen durch komplementäre Transistoren<br />

ersetzt werden, deren Gate ebenfalls an den beiden Eingangsspannungen liegen. Dann, und nur dann, wenn sowohl<br />

TN,1 als auch TN,2 leiten (Ua wird dadurch kurzgeschlossen), müssen beide Komplementärtransistoren TP,1 und TP,2<br />

sperren. Sobald TN,1 oder TN,2 sperren (damit sperrt auch die Reihenschaltung) müssen TP,1 oder TP,2 leiten. Diese<br />

Kombination wird durch Parallelschaltung (TP,1 | TP,2) erreicht. Einen Überblick über die Schaltzustände gibt folgende<br />

Tabelle:<br />

NAND-Gatter<br />

Ue,1 Ue,2 Ua<br />

Binärwert TN,1 TP,1 Binärwert TN,2 TP,2 TN,1 & TN,2 TP,1 | TP,2 Binärwert<br />

0 sperrt leitet 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />

0 sperrt leitet 1 leitet sperrt sperrt leitet 1<br />

1 leitet sperrt 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />

1 leitet sperrt 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />

U a


6 Elektronische Grundlagen 82<br />

6.4.8.3 NOR-Gatter<br />

Durch zwei parallele Transistoren <strong>T1</strong> und T2 lässt sich ein NOR-Gatter realisieren. Wenn einer der beiden Transistoren<br />

<strong>T1</strong> oder T2 leitet (also Ue,1 ≈ U0 oder Ue,2 ≈ U0), wird Ua ≈ 0. Sperren beide Transistoren gleichzeitig, wird<br />

Ua ≈ U0..<br />

NOR-Gatter<br />

U e,1<br />

T 1<br />

U e,2<br />

U 0<br />

R D<br />

T 2<br />

U a<br />

U e,1<br />

T N,1<br />

U e,2<br />

Widerstands-Logik CMOS<br />

Auch hier kann der Widerstand ersetzt werden, diesmal jedoch durch eine Reihenschaltung aus zwei komplementären<br />

Transistoren. Die Reihenschaltung TP,1 & TP,2 ist genau dann leitend, wenn die Parallelschaltung TN,1 | TN,2<br />

sperrt. Auch hierzu gibt die folgende Tabelle ein Übersicht über die möglichen Schaltzustände:<br />

NOR-Gatter<br />

U 0<br />

T P,1<br />

T P,2<br />

T N,2<br />

Ue,1 Ue,2 Ua<br />

Binärwert TN,1 TP,1 Binärwert TN,2 TP,2 TN,1 | TN,2 TP,1 & TP,2 Binärwert<br />

0 sperrt leitet 0 sperrt leitet sperrt leitet 1<br />

0 sperrt leitet 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />

1 leitet sperrt 0 sperrt leitet leitet sperrt 0<br />

1 leitet sperrt 1 leitet sperrt leitet sperrt 0<br />

U a


6 Elektronische Grundlagen 83<br />

6.5 Operationsverstärker<br />

In Kapitel 6.3.3 wurde gezeigt, wie ein Transistor prinzipiell als Verstärker eingesetzt werden kann. Durch Zusammenschaltung<br />

mehrerer Transistoren lassen sich Verstärker realisieren, die unterschiedlichsten Anforderungen hinsichtlich<br />

Temperaturstabilität, Frequenzabhängigkeit der Verstärkung, Ein- und Ausgangswiderstand etc. genügen.<br />

Je nach Anwendungsbereich und Anforderung werden dazu Bipolartransistoren oder Feldeffekttransistoren eingesetzt.<br />

In einer konkreten Anwendung wird allerdings nur in Ausnahmefällen auf diskrete Transistoren zurückgegriffen.<br />

Stattdessen werden vorgefertigte komplexe Verstärkerstufen verwendet, die als integrierte Schaltkreise erhältlich<br />

sind und als Operationsverstärker (= OP) bezeichnet werden. Das folgende Bild zeigt exemplarisch den<br />

inneren Aufbau eines solchen Operationsverstärkers, von denen es ein Vielzahl an Varianten gibt:<br />

Schaltbild des Operationsverstärkers LM741<br />

Für die Anwendung ist der innere Aufbau jedoch nicht relevant, es kommt vielmehr darauf an, wie sich der OP an<br />

seinen Klemmen verhält. Der OP wird dazu durch folgendes Schaltbild dargestellt:<br />

U +<br />

U -<br />

+<br />

_<br />

+ VCC V CC -<br />

Schaltzeichen OP<br />

U a<br />

Anschlüsse:<br />

+ Versorgungsspannung (+)<br />

VCC VCC - Versorgungsspannung (-)<br />

U + positiver Eingang<br />

U -<br />

U a<br />

negativer Eingang<br />

Ausgang<br />

Der OP hat zwei Anschlüsse für die Versorgungsspannung, zwei Anschlüsse für die Eingangsspannungen sowie<br />

einen Anschluss für die Ausgangsspannung.<br />

Die Funktion des OP's besteht darin, dass die zwischen den Eingängen U+ (nichtinvertierender Eingang) und U-<br />

(invertierender Eingang) anliegende Differenzspannung Ud verstärkt wird:<br />

Spannungsverstärkung eines OP ' s: U a = v d ⋅ U d mit : U d = U � − U -<br />

Die Spannungsverstärkung üblicher OP's liegt in der Größenordnung 10 5 bis 10 6 .<br />

Da die Differenzspannung und damit auch die Ausgangsspannung auch negativ sein kann, wird der OP an zwei in<br />

Reihe geschaltete Spannungsquellen VCC (Versorgungsspannungen werden üblicherweise mit „VCC“ = voltage<br />

constant current bezeichnet) angeschlossen. Der Mittelpunkt der Reihenschaltung wird mit der Masseleitung verbunden.<br />

Die Masse ist der gemeinsame Bezugspunkt der in der Schaltung vorkommenden Spannungen. Masseleitungen<br />

werden in Schaltplänen oft nicht eingezeichnet, sondern durch das Massesymbol gekennzeichnet.


6 Elektronische Grundlagen 84<br />

U +<br />

U d<br />

U -<br />

+<br />

_<br />

U a<br />

=<br />

=<br />

V CC<br />

V CC<br />

Vollständige Beschaltung eines OP's Vereinfachte Darstellung<br />

Masse = gemeinsamer Bezugspunkt für Spannungen<br />

Masseleitung, wird in Schaltbildern üblicherweise nicht eingezeichnet<br />

Der Sinn der Differenzverstärkung besteht nun darin, dass durch eine einfache äußere Beschaltung des OP's mit<br />

einfachen, passiven Bauelementen (Widerstand, Kondensator) die Wirkungsweise bestimmt werden kann.<br />

6.5.1 Grundschaltungen mit Operationsverstärkern<br />

Bereits kleinste Differenzspannungen am Eingang des OP's (einige µV) würden aufgrund der hohen Verstärkung<br />

dazu führen, dass die Ausgangsspannung den Wert der Versorgungsspannung erreicht und der OP die Aussteuergrenze<br />

erreicht. Um eine definierte Gesamtverstärkung vg einstellen zu können, wird die Ausgangsspannung auf<br />

den Eingang zurückgekoppelt. Das Prinzip der Rückkopplung zeigt folgendes Bild:<br />

U e<br />

+<br />

U d = U e − k⋅U a<br />

+<br />

-<br />

v d<br />

Rückkopplung<br />

k<br />

Verstärker<br />

Ua U +<br />

U d<br />

U -<br />

+<br />

_<br />

U a<br />

Rückkopplung:<br />

Der Ausgangswert wird abgegriffen, mit k<br />

multipliziert und anschließend vom Eingangssignal<br />

abgezogen. Ein „zu großer“ Ausgangswert führt<br />

dadurch zu einer Verkleinerung des<br />

Verstärkereinganges und rückwirkend zu einer<br />

Verkleinerung der Ausgangswertes.<br />

Von der Eingangsspannung Ue der Verstärkerschaltung wird die mit k multiplizierte Ausgangsspannung Ua subtrahiert.<br />

Es gilt:<br />

U d = U e − k⋅U a und U a = v d ⋅U d<br />

Wird die erste Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt, so folgt:<br />

U a = v d⋅ � U e − k⋅U a� ⇒ U a =<br />

v d<br />

1 � k⋅v d<br />

Wenn aufgrund der sehr hohen Verstärkung des OP's k∙vd >> 1 ist, so gilt näherungsweise:<br />

U a =<br />

v d<br />

1 � k⋅v d<br />

⋅U e ≈ v d<br />

Die Gesamtverstärkung ist also<br />

v g = U a<br />

U e<br />

= 1<br />

k<br />

k⋅v d<br />

= 1<br />

k ⋅U e<br />

⋅U e


6 Elektronische Grundlagen 85<br />

Die Gesamtverstärkung vg wird also ausschließlich durch die Rückkopplung k bestimmt, die durch die äußere Beschaltung<br />

vorgegeben wird. Dieses Rückkopplungsprinzip kann mit einem OP sehr leicht realisiert werden. Die<br />

Subtraktion (= Differenzbildung) zweier Spannungen und die hohe Verstärkung dieser Differenz sind Aufgabe des<br />

OP's. Die Multiplikation der Ausgangsspannung mit dem Faktor k < 1 (dies entspricht einer Spannungsverkleinerung)<br />

wird durch einen Spannungsteiler (RN und R1) realisiert. Damit ergibt sich folgendes Schaltbild:<br />

U e<br />

+<br />

+<br />

-<br />

U d<br />

v d >> 1<br />

1/v g<br />

Schaltungsprinzip<br />

OP<br />

U a<br />

Spannungsteiler<br />

U e<br />

U d<br />

+<br />

_<br />

R 1<br />

R N<br />

OP-Verstärkerschaltung<br />

(Anm.: Diese und andere Verstärkerschaltungen setzen einen idealen Operationsverstärker (Eingangsströme = 0,<br />

Ausgangsspannung unabhängig vom Ausgangsstrom und Verstärkung vd → ∞) voraus. Bei einem realen Operationsverstärker<br />

sind diese Bedingungen nur näherungsweise (typabhängig!) erfüllt.)<br />

Die multiplizierte (verkleinerte) Ausgangsspannung k∙Ua liegt am invertierenden Eingang U- an, der Spannungswert<br />

wird durch die Spannungsteilerregel bestimmt:<br />

k⋅U a = U - =<br />

R 1<br />

R 1 � R N<br />

⋅U a<br />

Wegen vg = 1/k folgt daraus für die Gesamtverstärkung vg:<br />

nichtinvertierender Verstärker : v g = U a<br />

U e<br />

= 1 � R N<br />

R 1<br />

Die Wirkungsweise der Rückkopplung lässt sich auch so beschreiben: Eine Erhöhung der am invertierenden Eingang<br />

anliegenden Eingangsspannung Ue bewirkt eine Vergrößerung der Ausgangsspannung Ua, die dann eine Vergrößerung<br />

der Spannung U- nach sich zieht. Der OP vergrößert die Ausgangsspannung dabei solange, bis U- (fast)<br />

den Wert von U+ erreicht, die Differenzspannung bleibt sehr klein (Ud ≈ 0).<br />

Bei dieser Verstärkerschaltung haben Eingangsspannung Ue und Ausgangsspannung Ua das gleiche Vorzeichen, es<br />

handelt sich um einen nichtinvertierenden Verstärker. Das Rückkopplungsprinzip lässt sich aber auch in einem<br />

invertierenden Verstärker umsetzen:<br />

U e<br />

R 1<br />

U d<br />

virtuelle<br />

Masse<br />

+<br />

_<br />

R N<br />

U a<br />

invertierender OP-Verstärker<br />

Hier bewirkt eine Erhöhung der Eingangsspannung eine Vergrößerung der Spannung am invertierenden Eingang.<br />

Der OP senkt dadurch die Ausgangsspannung soweit ab, dass die Differenzspannung wieder Ud ≈ 0 wird. Da der<br />

nichtinvertierende Eingang auf Massepotential liegt (Spannung gegen Masse = 0), bleib auch der invertierende<br />

Eingang auf dem Massepotential, obwohl er nicht direkt mit der Masse verbunden ist (= virtuelle Masse). Die Gesamtverstärkung<br />

des invertierenden Verstärkers ist (diesmal ohne Herleitung):<br />

U a


6 Elektronische Grundlagen 86<br />

invertierender Verstärker : v g = U a<br />

U e<br />

= − R N<br />

R 1<br />

Das folgende Bild zeigt noch einmal die beiden Verstärkerschaltungen. Die Spannungsverhältnisse kann man sich<br />

auch an einer Wippe veranschaulichen, an der die Ein- und Ausgangsspannung „ziehen“. Die unterschiedlichen<br />

Balkenlängen entsprechen den Widerstände und der Drehpunkt bildet die Masse. Durch die Rückkopplung wird erzwungen,<br />

dass die Differenzspannung gleich 0 wird (U+ = U-), die Wippe bleibt im Gleichgewicht.<br />

U e<br />

U d<br />

R 1<br />

+<br />

_<br />

R N<br />

nichtinvertierender Verstärker<br />

� U a = 1 � R � N<br />

R1 ⋅U e<br />

Masse<br />

R 1<br />

R N<br />

U e = U + = U -<br />

U a<br />

U a<br />

Ue<br />

U e<br />

R 1<br />

U d<br />

+<br />

_<br />

R N<br />

invertierender Verstärker<br />

R 1<br />

U a = − RN ⋅U e<br />

R1 Masse<br />

Die OP-Verstärkerschaltungen können durch weitere ohmsche Widerstände oder Wechselstromwiderstände (vorzugsweise<br />

Kondensatoren) ergänzt werden. Dadurch wird die Verstärkung frequenzabhängig, es entstehen, je nach<br />

Beschaltung, Filter mit unterschiedlicher Charakteristik. Mit einem Operationsverstärker lassen sich durch die äußere<br />

Beschaltung neben verschiedenen Analogfiltern auch andere mathematische Operationen (daher der Name!),<br />

z.B. Addition, Subtraktion, Ableitung oder Integration, leicht realisieren. Beispielsweise wird aus dem invertierenden<br />

Verstärker ein Integrator, wenn RN durch einen Kondensator, bzw. ein Differenzierer, wenn R1 durch einen<br />

Kondensator ersetzt wird.<br />

R N<br />

U a<br />

U a


7 Digitale Grundschaltungen 87<br />

7 Digitale Grundschaltungen<br />

In Kapitel 6.4.8 wurde gezeigt, wie Transistoren in Digitalschaltungen als Schalter eingesetzt werden können. Es<br />

existieren verschiedene Schaltungsfamilien, in denen unterschiedliche Technologien zum Einsatz kommen. Charakteristisch<br />

sind neben der eingesetzten Transistortechnik (Bipolar oder FET) auch das Design der Transistoren<br />

und ihre interne Verschaltung zu logischen Gattern, die in integrierten Schaltungen implementiert sind. Nach außen<br />

bestehen zwischen den Schaltungsfamilien Unterschiede u.a. in der Versorgungsspannung, der Schaltgeschwindigkeit,<br />

der Leistungsaufnahme und der Störempfindlichkeit. Eine Übersicht über die wichtigsten Schaltungsfamilien<br />

gibt folgende Tabelle:<br />

Bezeichnung Technologie Varianten Anwendungsbereich /Eigenschaften<br />

TTL<br />

(Transistor-Transistor-Logik)<br />

CMOS<br />

(Complementary- Metal-<br />

Oxide-Semiconductor)<br />

BiCMOS<br />

(Bus Interface CMOS)<br />

ECL<br />

(Emitter Coupled Logic)<br />

Bipolar LS, ALS,<br />

F, AS<br />

MOS HC, HCT,<br />

AC, ACT<br />

MOS+<br />

Bipolar<br />

ABT,<br />

BCT<br />

Bipolar ECL,<br />

ECTL<br />

schnell<br />

niedriger Ausgangswiderstand<br />

weit verbreitet<br />

niedrige (statische) Verlustleistung<br />

TTL-Kompatibilität (HCT, ACT)<br />

erfordert Schutzmaßnahmen gegen statische<br />

Aufladung (EGB)<br />

schnell<br />

niedrige Verlustleistung<br />

Schnittstelle zw. Rechner u. Peripherie<br />

sehr schnell<br />

hohe Verlustleistung<br />

Herstellung aufwendig<br />

Großrechnertechnik<br />

Innerhalb einer Schaltungsfamilie sind die Spannungspegelbereiche „High“ und „Low“ genormt, die als Binärwert<br />

interpretiert werden können. Mit dem Störabstand MH bzw. ML wird sichergestellt, dass ein Ausgangswert<br />

vom nächsten Gatter richtig erkannt wird.<br />

V CC<br />

V IH<br />

V IL<br />

0V<br />

H<br />

L<br />

Spannungspegel<br />

Input Output<br />

7.1 Logik-Funktionen (Gatter)<br />

V OH<br />

V OL<br />

H<br />

L<br />

VCC Supply Voltage = 5,0V<br />

VIH Input High Voltage = 2,0V<br />

VIL Input Low Voltage = 0,8V<br />

VOH Output High Voltage = 2,7V<br />

Output Low Voltage = 0,5V<br />

V OL<br />

(Zahlenwerte gelten für TTL)<br />

Störabstand:<br />

M H = V OH – V IL<br />

M L = V IL - V OL<br />

Ein Schaltnetz verknüpft mehrere Eingangsvariablen xi mit einer oder mehreren Ausgangsvariablen yi ohne Verwendung<br />

eines Speichers. Diese Digital-Schaltungen können durch Wahrheitstafeln oder Boole'sche Funktionen<br />

beschrieben werden. Neben den elementaren Funktionen „NOT“, „AND“ und „OR“ lassen sich eine ganze Reihe<br />

weiterer Grundfunktionen (z.B. „NAND“, „NOR“, „XOR“ „XNOR“), durch Logik-Gatter darstellen, aus denen<br />

sich dann komplexeren Abbildungen zusammensetzen lassen. Die Realisierung komplexer Schaltnetze kann durch<br />

Verdrahtung einfacher, diskreter Logik-Gatter (die als Einzelchip erhältlich sind) oder durch PLD (PLD = programmable<br />

logic device) bzw. ASIC (application specific integrated circuit) auf einem einzigen Chip erfolgen.<br />

Welche Realisierung auch immer gewählt wird, die Funktionsweise lässt sich immer durch die elementaren Grundfunktionen<br />

darstellen.


7 Digitale Grundschaltungen 88<br />

Bezeichnung Logikgleichung Wahrheitstabelle<br />

x1 = 0 0 1 1<br />

x2 = 0 1 0 1<br />

Schaltzeichen<br />

NOT y = x 1 y = 1 1 0 0 1<br />

x 1<br />

AND<br />

OR<br />

NAND<br />

NOR<br />

XOR<br />

(exclusive-or)<br />

XNOR<br />

(exclusive-not-or)<br />

7.2 Flip-Flop<br />

y = x 1 ⋅x 2<br />

y = x 1∧x 2<br />

y = x 1 �x 2<br />

y = x 1∨x 2<br />

y = x 1 ⋅x 2<br />

y = x 1∧x 2<br />

y = x 1 �x 2<br />

y = x 1∨x 2<br />

y = 0 0 0 1<br />

y = 0 1 1 1<br />

y = 1 1 1 0<br />

y = 1 0 0 0<br />

x 1<br />

x 2<br />

x 1<br />

x 2<br />

x 1<br />

x 2<br />

x 1<br />

x 2<br />

&<br />

≥1<br />

&<br />

≥1<br />

y = x1⋅x 2 � x1⋅x 2<br />

y = � x1∧x 2�∨�x 1∧x 2� y = 0 1 1 0 =1<br />

y = x1⋅x 2 � x1⋅x 2<br />

y = � x1∧x 2�∨�x 1∧x 2� y = 1 0 0 1 =<br />

Digitale Schaltungen, die einen Speicher enthalten, werden als Schaltwerke bezeichnet. Ihr Ausgangszustand<br />

hängt hängt dann nicht nur vom Eingangszustand, sondern auch von der Vorgeschichte ab. Zur Speicherung eines<br />

binären Zustands können Flip-Flops verwendet werden, deren Funktionsweise an einem einfachen RS-Flip-Flop<br />

beschrieben wird. Das RS-Flip-Flop besitzt keinen Takt-Eingang, es kann jedoch durch entsprechende Erweiterung<br />

als zustand- oder flankengesteuertes Flip-Flop realisiert werden: das Flip-Flop nimmt den neuen Zustand erst dann<br />

ein, wenn der Takteingang gesetzt ist oder seinen Wert ändert.<br />

Flip-Flops können mit Transistoren bzw. Logik-Gattern realisiert werden:<br />

Flip-Flop in Transistorschaltung<br />

S R<br />

Q Q<br />

T 1<br />

T 1<br />

T 2<br />

S<br />

R<br />

U 0<br />

T 2<br />

Flip-Flop aus NOR-Gattern<br />

S<br />

R<br />

≥1<br />

≥1<br />

Q<br />

Q<br />

x 1<br />

x 2<br />

x 1<br />

x 2<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

Schaltzeichen<br />

(RS-Flip-Flop)<br />

S Q<br />

R Q


7 Digitale Grundschaltungen 89<br />

Bei einem Flip-Flop aus Transistoren werden zwei Inverter gegeneinander verschaltet. Nimmt man zunächst an,<br />

dass der Transistor <strong>T1</strong> leitend ist, so wird Q = 0 und der durch Q angesteuerte Transistor T2 sperrt. Der Ausgang<br />

¬Q = 1 („¬Q“ = „nicht Q“) belässt <strong>T1</strong> im leitenden Zustand. Durch Schließen des Tasters S wird das Gate von T2<br />

an die Betriebsspannung gelegt und der Transistor T2 leitet. Infolgedessen wird der Ausgang ¬Q = 0, s.d. das Gate<br />

von <strong>T1</strong> an Masse liegt und <strong>T1</strong> sperrt. Da jetzt Q = 1 ist, bleibt T2 auch dann leitet (und <strong>T1</strong> geschlossen), wenn der<br />

Taster S wieder geöffnet wird. Durch Betätigung des Tasters S (= Set) wird also der Ausgang dauerhaft auf Q = 1<br />

gesetzt. Umgekehrt wird durch kurzzeitiges Betätigen des Tasters R (= Reset) <strong>T1</strong> leitend und T2 sperrt, der Ausgang<br />

nimmt dauerhaft den Zustand Q = 0 ein.<br />

Auch bei einem Flip-Flops aus NOR-Gattern werden die Ausgänge kreuzweise an die Eingänge zurückgeführt.<br />

Ein stabiler Zustand ist mit Q = 0 oder Q = 1 gegeben. Liegen zum Zeitpunkt n die Werte S = 0 und R = 0 an den<br />

Eingängen, bleibt dieser Zustand auch für n+1 erhalten:<br />

Q n�1 = S∨Q n = 0∨Q n = Q n und Q n�1 = R∨Q n = 0∨Q n = Q n<br />

Flip-Flop setzen:<br />

Werden die Eingang S = 1 und R = 0 angelegt, so wird dadurch der Ausgang auf<br />

Q n�1 = S∨Q n = 1∨Q n = 1 = 0<br />

gesetzt.<br />

Dieser Ausgang ist aber auf den Eingang des zweiten NOR-Gatters zurückgekoppelt, es ändert seinen Ausgang in<br />

Q n�1 = R∨Q n�1 = 0∨0 = 1<br />

Flip-Flop rücksetzen:<br />

Umgekehrt führt der Eingangszustand S = 0 und R = 1 zu<br />

Q n�1 = R∨Q n�1 = 1∨Q n = 0<br />

Aufgrund der Rückkopplung folgt der Ausgang ¬Q mit:<br />

Q n�1 = S∨Q n�1 = 0∨0 = 1<br />

Der Eingang S = 1 und R = 1 ist sowohl in der Transistorschaltung als auch in der NOR-Schaltung nicht zulässig,<br />

da der Speicherzustand nach Verlassen dieses Eingangszustandes von Bauteiltoleranzen abhängt und daher nicht<br />

vorhersehbar ist.<br />

Die möglichen Zustände des RS-Flip-Flops sind in nachfolgender Tabelle aufgelistet:<br />

Zustandstabelle RS-Flip-Flop<br />

S R Qn+1<br />

0 0 Qn speichern<br />

1 0 1 setzen<br />

0 1 0 rücksetzen<br />

1 1 - nicht erlaubt<br />

Mit den logischen Grundschaltungen (Logik-Gattern) und dem als 1-Bit-Speicherelement einsetzbaren RS-Flip-<br />

Flop stehen die primären Grundlagen für die Digitaltechnik bereit. Es bleibt anzumerken, dass bis zur vollständigen<br />

Rechnerarchitektur zahlreiche weitere Überlegungen und Schritte sowie die Diskussion unterschiedlicher<br />

Technologien anstehen.


8 Tabellen 90<br />

8 Tabellen<br />

8.1 SI-Einheiten<br />

Größe Einheit<br />

Länge s Meter m<br />

Masse m Gramm g<br />

Zeit t Sekunde s<br />

elektrische Stromstärke i Ampere A<br />

Temperatur T Kelvin K<br />

Stoffmenge n Mol mol<br />

Lichtstärke IV Candela cd<br />

8.2 Abgeleitete Größen und Einheiten<br />

Größe Einheit Definition<br />

Frequenz f Hertz Hz 1 Hz = 1/s<br />

Kraft F Newton N 1 N = 1 kg m/s²<br />

Energie, Arbeit W,E Joule J 1 J = 1 Nm<br />

Leistung P Watt W 1 W = 1 J/s<br />

Spannung U Volt V 1 V = 1 W/A = 1 J/C<br />

Ladung Q Coulomb C 1 C = 1 As<br />

Widerstand R Ohm Ω 1 Ω = 1 V/A<br />

Leitwert G Siemens S 1 S = 1 A/V<br />

Kapazität C Farad F 1 F = 1As/V<br />

magnetischer Fluss Ф Weber Wb 1 Wb = 1 Vs<br />

magnetische Flussdichte B Tesla T 1 T = 1 Vs/m²<br />

Induktivität L Henry H 1 H = 1 Vs/A<br />

Lichtstrom ФV Lumen lm 1 lm = 1 cd * sr<br />

Beleuchtung EV Lux lx 1 lx = 1 lm/m²


8 Tabellen 91<br />

8.3 Zehnerpotenzen und ihre Abkürzung<br />

Faktor Name Kurzzeichen<br />

0,000.000.000.000.001 10 -15 Femto f<br />

0,000.000.000.001 10 -12 Piko p<br />

0,000.000.001 10 -9 Nano n<br />

0,000.001 10 -6 Mikro µ<br />

0,001 10 -3 Milli m<br />

0,01 10 -2 Zenti c<br />

0,1 10 -1 Dezi d<br />

1 10 0<br />

10 10 1 Deka D<br />

100 10 2 Hekto h<br />

1.000 10 3 Kilo k<br />

1.000.000 10 6 Mega M<br />

1.000.000.000 10 9 Giga G<br />

1.000.000.000.000 10 12 Tera T<br />

1.000.000.000.000.000 10 15 Peta P<br />

1.000.000.000.000.000.000 10 18 Exa E


8 Tabellen 92<br />

8.4 Physikalische Konstanten<br />

Anm.: Die Werte in dieser Tabelle sind teilweise gerundet.<br />

Formel-<br />

Größe<br />

zeichen<br />

Randbedingungen<br />

Schallgeschwindigkeit cs 330 m/s Luft: 20°C, 1000mbar<br />

Lichtgeschwindigkeit c 3·10 8 m/s Vakuum<br />

Gravitationskonstante G 6,67·10 -11 m 3 /(kg·s 2 )<br />

Erdbeschleunigung g 9,81 m/s² Erdoberfläche<br />

Elementarladung<br />

(Ladung eines Elektrons)<br />

-qe<br />

-1,602·10 -19 As<br />

Elektronenmasse me 9,1091·10 -31 kg<br />

elektrische Feldkonstante ε0 8,859·10 -12 As/Vm<br />

Dielektrizitätszahl<br />

(relative Dielektrizität)<br />

εr<br />

1<br />

4...12<br />

16<br />

12<br />

10 3 ...10 4<br />

80<br />

magnetische Feldkonstante µ0 4π ∙10 -7 Vs/Am<br />

= 1,257∙10 -6 Vs/Am<br />

Permeabilitätszahl<br />

(relative Permeabilität)<br />

µr<br />

1<br />

≤ 1 (diamagnetisch)<br />

≥ 1 (paramagnetisch)<br />

10 2 ...10 4 (ferromagnetisch)<br />

Vakuum, Luft<br />

Glas<br />

Germanium<br />

Silizium<br />

Keramik<br />

Wasser<br />

Vakuum, Luft<br />

Cu, Pb<br />

Al, Pt<br />

Fe, Ni, Ferrit


8 Tabellen 93<br />

8.5 Wichtige Formeln<br />

Geradlinige Bewegung<br />

Geschwindigkeit<br />

Beschleunigung<br />

konstante Beschleunigung<br />

v =<br />

d s<br />

dt<br />

a = dv<br />

dt<br />

s = 1<br />

2 a⋅t 2 � v 0⋅t � s 0<br />

v = a⋅t � v 0<br />

gleichförmige Bewegung s = v 0 ⋅t � s 0<br />

v = v 0<br />

Kreisbewegung<br />

Winkelgeschwindigkeit<br />

Winkelbeschleunigung<br />

� =<br />

d �<br />

dt<br />

� = ˙� =<br />

Bahngeschwindigkeit v = �⋅r<br />

Bahnbeschleunigung<br />

(Änderung der Bahngeschw.)<br />

Beschleunigung<br />

(zum Mittelpunkt)<br />

Mechanik des Massenpunktes<br />

a bahn = ˙�⋅r<br />

a ┴ = � 2 ⋅r<br />

Kraftgesetz F = m⋅a<br />

Gravitationskraft<br />

d �<br />

dt<br />

F = G m 1 ⋅m 2<br />

r 2<br />

t<br />

s = ∫ 0<br />

t<br />

v = ∫ 0<br />

v���d � � s 0<br />

a���d � � v 0<br />

Bedingung: a�t� = konst.<br />

Bedingung: a �t� = 0<br />

G = 6,67·10 −11 m 3 /� kg· s 2 �<br />

Gewichtskraft (Erdoberfläche) F = m⋅g g = 9,81 m/s 2<br />

Federkraft<br />

(Hook'sches Gesetz)<br />

F = c feder ⋅s<br />

Arbeit / Energie W = ∫ F �s�ds<br />

Potentielle Energie<br />

(Lageenergie)<br />

W = F⋅s Bedingung: F � s� = konst.<br />

W pot = m⋅g⋅h<br />

Kinetische Energie<br />

(Bewegungsenergie) W kin = 1<br />

2 m⋅v2<br />

Verformungsenergie<br />

(Federenergie) W feder = 1<br />

2 c feder⋅s2 Impuls p = m⋅v<br />

Leistung<br />

P = dW<br />

dt


8 Tabellen 94<br />

Mechanik des starren Körpers<br />

Drehmoment M = r⋅F<br />

Trägheitsmoment J = ∫ M<br />

„Kraftgesetz“ für die<br />

Drehbewegung<br />

Rotationsenergie<br />

r 2 dm<br />

M = J⋅ ˙�<br />

W rot = 1<br />

J �2<br />

2<br />

Drehimpuls L = J �<br />

Schwingungen<br />

Frequenz,<br />

Periodendauer,<br />

Kreisfrequenz<br />

Frequenz eines Fadenpendels<br />

Frequenz eines Federpendels<br />

Wellen<br />

Wellengeschwindigkeit<br />

f = 1<br />

T<br />

= �<br />

2 �<br />

f = 1 ⋅�<br />

g<br />

2� L<br />

f = 1<br />

2� ⋅� c feder<br />

m<br />

c = �<br />

T<br />

Reflexionsgesetz � 1 = � 2<br />

= �⋅f<br />

Brechungsgesetz sin�� 1 �<br />

sin �� 2 � = c 1<br />

c 2<br />

Beugung<br />

Optik<br />

sin �� z � = z⋅ �<br />

d<br />

Brechungsgesetz sin�� 1 �<br />

sin �� 2 � = n 2<br />

n 1<br />

Abbildungsgleichung 1<br />

g<br />

Abbildungsmaßstab<br />

Grenzwinkel Totalreflexion<br />

� 1<br />

b<br />

� = B<br />

G<br />

= 1<br />

f<br />

= b<br />

g<br />

sin�� 1, grenz � = n 2<br />

n 1<br />

J Scheibe = 1<br />

2 m⋅r2<br />

J Ring = m⋅r 2<br />

J Kugel = 2<br />

5 m⋅r2<br />

J Stab = 1<br />

12 m⋅r2<br />

mit : z = ... ,−1,0 ,1,2 ,...<br />

n i = c i<br />

c m


8 Tabellen 95<br />

Elektronik<br />

Strom<br />

Spannung<br />

Widerstand<br />

Leitwert<br />

I = dQ<br />

dt<br />

U = dW<br />

dQ<br />

R = U<br />

I<br />

G = 1<br />

R<br />

= I<br />

U<br />

Reihenschaltung R ges = R 1 � R 2 � ...<br />

Parallelschaltung 1<br />

R ges<br />

Leistung<br />

= 1<br />

R 1<br />

� 1<br />

R 2<br />

� ...<br />

P = U⋅I = R⋅I 2 = 1 2<br />

⋅U<br />

R<br />

Coulomb-Kraft<br />

(Punktladungen Q1 und Q2) F Coulomb = − Q 1 ⋅Q 2<br />

4�� 0� r⋅r 2<br />

elektrische Feldstärke<br />

elektrische<br />

Verschiebungsdichte<br />

Kapazität<br />

Kondensator<br />

Elektrische Energie<br />

(Kondensator)<br />

E = F<br />

q<br />

E = U<br />

d<br />

E =<br />

E =<br />

Q<br />

4� � 0� r⋅r 2<br />

Q<br />

� 0� r⋅A<br />

D = � 0� r⋅E<br />

D = Q<br />

A<br />

C = Q<br />

U<br />

C = � 0� r⋅A<br />

d<br />

1<br />

C ges<br />

= 1<br />

C 1<br />

� 1<br />

C 2<br />

homogenes Feld<br />

Punktladung<br />

Kondensator<br />

Punktladung: A = 4�⋅r 2<br />

Plattenkondensator<br />

� ... Reihenschaltung<br />

C ges = C 1 � C 2 � ... Parallelschaltung<br />

i �t � = C ⋅<br />

u�t � = 1<br />

C ⋅∫ t<br />

0<br />

du �t�<br />

dt<br />

W el = 1 2<br />

C⋅U<br />

2<br />

i ���d � � u �0�


8 Tabellen 96<br />

Elektronik<br />

magnetische Kraft<br />

(parallele Leiter) F magn = � 0� r<br />

2� r ⋅I 1⋅I 2⋅l<br />

Lorenz-Kraft<br />

(bewegte Ladung)<br />

magnetische Flussdichte<br />

magnetische Feldstärke<br />

Induktionsgesetz<br />

Induktivität<br />

Spule<br />

magnetische Energie<br />

(Spule)<br />

Wechselstrom<br />

Tiefpass-Filter<br />

Hochpass-Filter<br />

F Lorenz = Q⋅v⋅B Rechte-Hand-Regel<br />

B = F<br />

I⋅l<br />

B = � 0� r⋅H<br />

H =<br />

1<br />

2�⋅r ⋅I geradliniger Leiter<br />

H = N<br />

⋅I Spule<br />

l<br />

U ind = d<br />

� B �t �⋅A�t ��<br />

dt<br />

L = � 0 � r<br />

N 2<br />

⋅A lange Spule<br />

l<br />

L ges = L 1 � L 2 � ... Reihenschaltung<br />

1<br />

L ges<br />

= 1<br />

L 1<br />

� 1<br />

L 2<br />

di �t �<br />

u �t � = L⋅<br />

dt<br />

i �t � = 1<br />

L ⋅∫ 0<br />

W magn = 1 2<br />

L⋅I<br />

2<br />

X C = 1<br />

�C<br />

t<br />

� ... Parallelschaltung<br />

u ��� d � � i �0�<br />

kapazitiver Widerstand<br />

X L = � L induktiver Widerstand<br />

Z = � R 2 � X 2<br />

1<br />

Z = � 1 1<br />

� 2<br />

R X 2<br />

G TP��� =<br />

G HP ��� =<br />

1<br />

� ��T 1� 2<br />

� 1<br />

�T 1<br />

� ��T 1 � 2<br />

� 1<br />

Grenzfrequenz<br />

(Tief- oder Hochpass-Filter) f grenz = 1<br />

2� � grenz =<br />

1<br />

2�⋅T 1<br />

t<br />

Ausgleichsvorgang<br />

−<br />

T 1<br />

(Kondensator oder Spule) u X �t � = U ende − � U ende−U anfang�⋅e<br />

i X �t � = I ende − � I ende −I anfang�⋅e −t<br />

T 1<br />

Impedanz (Reihenschaltung)<br />

Impedanz (Parallelschaltung)<br />

mit der Zeitkonstante:<br />

bzw.<br />

T 1 = R⋅C<br />

T 1 = L<br />

R<br />

(<strong>T1</strong> ist nicht die Periodendauer!)


8 Tabellen 97<br />

Elektronik<br />

Transistor<br />

(Bipolar) R BE = �U BE<br />

� I B<br />

B = I C<br />

I B<br />

S = � I C<br />

� U BE<br />

Transistor<br />

(FET) S = � I D<br />

� U GS<br />

Emitter- oder<br />

Sourceschaltung v u = � U a<br />

�U e<br />

Spannungsverstärkung<br />

(Operationsverstärker)<br />

U a = v d ⋅ U d<br />

OP-Verstärkerschaltung<br />

(RN : Rückkoppelwiderstand) v g = U a<br />

U e<br />

v g = U a<br />

U e<br />

= B<br />

R BE<br />

= −R C ⋅S<br />

= 1 � R N<br />

R 1<br />

= − R N<br />

R 1<br />

Eingangswiderstand<br />

Stromverstärkung<br />

Steilheit<br />

Steilheit<br />

Spannungsverstärkung<br />

mit:<br />

U d = U � − U -<br />

idealer OP:<br />

v d � ∞<br />

nichtinvertierender Verstärker<br />

(RN: Rückkoppelwiderstand)<br />

invertierender Verstärker


8 Tabellen 98<br />

8.6 Ableitungen und Integrale einiger Funktionen<br />

Ableitung unbestimmtes Integral bestimmtes Integral<br />

x�t� ˙x�t� = d<br />

dt x�t� X �t� = t<br />

∫ x�t �dt X �t�−X �0� = ∫<br />

0<br />

c 0 c⋅t c⋅t<br />

c⋅t c c⋅ 1 2<br />

⋅t<br />

2<br />

c⋅t 2 c⋅2⋅t c⋅ 1 3<br />

⋅t<br />

3<br />

c⋅t n<br />

t<br />

−<br />

T<br />

e − 1<br />

t<br />

T<br />

e−<br />

T<br />

c⋅n⋅t n−1 c⋅ 1 n�1<br />

⋅t<br />

n�1<br />

t<br />

−<br />

T<br />

−T e<br />

sin��⋅t� �⋅cos��⋅t� − 1<br />

� ⋅cos��⋅t�<br />

cos��⋅t� −�⋅sin ��⋅t �<br />

1<br />

� ⋅sin��⋅t�<br />

Anm.: Das bestimmte Integral wird hier speziell für das Intervall [0;t] angegeben.<br />

c⋅ 1 2<br />

⋅t<br />

2<br />

c⋅ 1 3<br />

⋅t<br />

3<br />

c⋅ 1 n�1<br />

⋅t<br />

n�1<br />

t<br />

−<br />

T<br />

T �1 − e �<br />

x��� d �<br />

1<br />

⋅�1 − ⋅cos��⋅t ��<br />

�<br />

1<br />

� ⋅sin��⋅t�

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