Sinus / Cosinus / Tangens - städtisches Gymnasium Herten
Sinus / Cosinus / Tangens - städtisches Gymnasium Herten
Sinus / Cosinus / Tangens - städtisches Gymnasium Herten
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( April 2013)<br />
In diesem Kurs dreht sich alles um <strong>Sinus</strong>, <strong>Cosinus</strong> und <strong>Tangens</strong>.<br />
Bitte nutze diese Übersicht hier über alle Aufgabentypen, damit du dir gezielt die<br />
gewünschte Aufgabe bei bettermarks oder bei realmath heraussuchen kannst.<br />
Du kannst die Reihenfolge der Übungen selbst bestimmen; bettermarks bietet dir<br />
auch Tests an, die du auch zu Beginn zum Testen deines Wissens machen kannst.<br />
Beachte: Wenn dein Lehrer einsteigt mit der Definition am Einheitskreis, dann muss<br />
du bei bettermarks bei den Übungen (8.1) bis (8.11) einsteigen. Bei realmath steht die<br />
Einführung am Einheitskreis sofort unter (1).<br />
1. <strong>Sinus</strong>- <strong>Cosinus</strong>- <strong>Tangens</strong> im rechtwinkligen Dreieck - Einführung<br />
Übung (1.1) bis (1.3): Aufstellen der Grundformeln am rechtwinkligen Dreieck.<br />
Übung (1.4) bis (1.5): Wie bestimmt man mit dem Taschenrechner den sin/cos/tan-Wert<br />
für Winkel zwischen 0° und 90°. Die Erklärung findest du unter „Wissen“ - Buchsymbol<br />
anklicken.<br />
Übung (1.6) bis (1.9): Hier wird mit sin und cos – nicht mit tan (!)- ein einziges fehlendes<br />
Maß im rechtwinkligen Dreieck ausgerechnet. Übungen für Einsteiger mit Anleitung!
Übung (1.10) bis (1.15): Fortsetzung von (1.6) bis (1.9):Hier werden jetzt alle fehlenden<br />
Maße in einem rechtwinkligen Dreieck mit sin und cos berechnet.Mit Tests (1.13) bis<br />
(1.15).<br />
2. <strong>Sinus</strong>- <strong>Cosinus</strong>-<strong>Tangens</strong> im rechtwinkligen Dreieck – Level 2<br />
Übung (2.1) bis (2.4): Hier wurden zwei rechtwinklige Dreiecke zu einer einzigen neuen<br />
Figur zusammengesetzt … es sollen die fehlenden Maße mit sin ,cos und tan berechnet<br />
werden.<br />
Übung (2.5) bis (2.8): Konstruiere hier zu vorgegebenen <strong>Sinus</strong>- bzw. <strong>Cosinus</strong>werten das<br />
passende rechtwinklige Dreieck, mit interaktivem Zirkel; in (2.7) sogar mit <strong>Tangens</strong>.<br />
3. Bunte Mischung aus (1.1) bis (2.8) – Übungen und Tests<br />
Übungen (3.1) bis (3.4): Nur bezogen auf das rechtwinklige Dreieck, sonst bunte<br />
Mischung, Level 1-2.<br />
4. Textaufgaben aus dem Alltag - mit rechtwinkligen Dreiecken<br />
Übung (4.1) bis (4.6): Die Grundfigur ist immer ein rechtwinkliges Dreieck.<br />
Mit sin,cos und tan werden hier konkrete Messungen im Alltag durchgeführt. Level 1 – Level 2<br />
und Level 3 Übungen und auch Tests. Du kannst hier die gleichen Aufgaben als Übung (mit<br />
Erklärung) oder sofort als Tests (Erklärung am Ende) durchführen.<br />
5. Anwendungen: Vierecke , Vielecke u. Körpern<br />
Übung (5.1) bis (5.4): Rechnen mit sin,cos, tan im Rechteck,Trapez und gleichschenkligem<br />
Dreieck. Level 1.<br />
Übung (5.5) bis (5.6): Rechnen im Parallelogramm. Level 2.<br />
Übung (5.7) bis (5.9): Rechnen im gleichseitigen Dreieck, Berechnung der Neigungswinkel<br />
im Quader und Pyramide. Level 2-3.<br />
Übung (5.10) bis (5.12): Rechnen im Kegel, Pyramide und Quader. Level 3.<br />
Übung (5.13) bis (5.14): Rechnen im regelmäßigen Vieleck. Level 3.<br />
Übung (5.15): Bunte Mischung zu (5.1) bis (5.14)<br />
Test (5.16): Bunte Mischung zu (5.1) bis (5.13)
6. Grundlegende Zusammenhänge zwischen <strong>Sinus</strong>-<strong>Cosinus</strong>-<strong>Tangens</strong><br />
Übung (6.1) bis (6.5) : Zusammenhänge zwischen <strong>Sinus</strong>- und <strong>Cosinus</strong>werten und auch<br />
<strong>Tangens</strong>(Level 2). In (6.3) Wiederholung der Def. von sin/cos/tan im rechtwinkligen<br />
Dreieck.;Level 1.<br />
Übung (6.5): sind/cos/tan von speziellen Winkeln, nämlich 30°, 45° und 60°.<br />
Übungen (6.6) bis (6.8): Anwendung der Zusammenhänge aus (6.1) für die Berechnung<br />
von fehlenden Werten in einer Wertetabelle; Level 2 – 3.<br />
Übung (6.9): Bunte Mischung aus (6.1) bis (6.8). Level 2 bis Level 3.<br />
Test (6.10): Bunte Mischung zu (6.1) bis (6.8). Level 2 bis Level 3.<br />
7. Wiederholung von (1) bis (6) – Übungen und Tests - Übung (7.1) – (7.4)<br />
Hier hat der Computer nach dem Zufallsprinzip eine Mischung aus allen Aufgabentypen von (1.1)<br />
bis (6.8) zusammengestellt. Level 1-3 gemischt.<br />
8. <strong>Sinus</strong> – <strong>Cosinus</strong>- <strong>Tangens</strong>- Einführung am Einheitskreis<br />
Beachte: Man kann sin,cos unnd tan auch am Einheitskreis definieren anstatt am<br />
rechtwinkligen Dreieck. Das lernst du hier in (8.1) bis (8.11) oder bei realmath unter<br />
Punkt (1).<br />
Übung (8.1) bis (8.11): Für welche Winkel ist der <strong>Sinus</strong>wert bzw. der <strong>Cosinus</strong>wert negativ?<br />
Welche Winkel haben den gleichen <strong>Sinus</strong>- bzw. <strong>Cosinus</strong>wert ? Sowie einfache Aufgaben der<br />
Form: Gesucht ist der Winkel, für den gilt …<br />
9. <strong>Sinus</strong>satz - Berechnungen in beliebigen Dreiecken<br />
Übung (9.1): Herleitung des <strong>Sinus</strong>satzes.<br />
Übung (9.2) bis (Test (9.5): Berechnung einer einzigen fehlenden Größe im beliebigen<br />
Dreieck mit Hilfe des <strong>Sinus</strong>satzes, mit Anleitung.<br />
Übung (9.6): Mit gegebenen Maßen nach WSW werden mit dem <strong>Sinus</strong>satz sämtliche<br />
fehlenden Maße selbst berechnet. Die ausführliche Lösung auf Wunsch anzeigen lassen.<br />
Level 2-3.<br />
Bei realmath findest du dazu weitere Aufgabentypen dazu in (7.2) und (7.3).
Übung (9.7) bis (9.8): Textaufgaben mit <strong>Sinus</strong>satz lösen. Vermessungen. Level 2-3<br />
Übung (9.9): Mit welchem Satz kann man die fehlenden Maße berechnen, mit dem<br />
<strong>Sinus</strong>satz oder Pythagoras oder sin/cos im rechtwinkligen Dreieck. Training der<br />
Lösungsstrategien. Sehr gut gemacht!<br />
Übung (9.10): Kann man mit diesen Maßen überhaupt ein Dreieck konstruieren?<br />
Anwendung vom <strong>Sinus</strong>satz.<br />
Übung und Tests (9.11) bis (9.14) nach Zufallsprinzip. Level 1-3<br />
10. <strong>Cosinus</strong>satz – Berechnung an beliebigen Dreicken<br />
Hier findest du reine Übungen zum <strong>Cosinus</strong>satz ( Übung (10.1) bis (10.8); aber auch eine<br />
Kombination von <strong>Sinus</strong>satz und <strong>Cosinus</strong>satz in den Übungen (10.9). bis (10.10).<br />
Mit Tests (10.11) bis (10.12) – Zufallsmischung Level 1-3.<br />
Bei realmath findest du weitere Übungen dazu in (8.1) bis (8.3)<br />
11. Komplexere Aufgaben – Lösungsstrategien entwickeln<br />
Wann muss man mit dem <strong>Cosinus</strong>satz anfangen ? In welcher Reihenfolge kann man hier<br />
arbeiten? Und die restlichen Anwendungsaufgaben … das alles findest du hier in den<br />
Übungen (11.1) bis (11.8).<br />
12. Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß<br />
Übung (12.1) bis (12.19): Hier lernst du Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß anzugeben<br />
bzw. von Grad in Bogenmaß umzuwandeln und umgekehrt. Es geht hier nur um Winkel, bis<br />
360 ° und auch negative Winkel.<br />
13. Sin / cos / tan von Winkeln im Bogenmaß bestimmen<br />
Übung (13.1) bis (13.6): Wie berechnet man – u.a. mit dem Taschenrechner- die <strong>Sinus</strong>,<br />
<strong>Cosinus</strong>- oder <strong>Tangens</strong>werte von einem Winkel, der nicht in Grad, sondern im Bogenmaß<br />
angegeben ist? Nur Level 1, nur dieser Aufgabentyp.
14. Die Graphen von <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong><br />
Übung (14.1) bis (14.8): Die Graphen von <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong> werden hier auf Periodizität,<br />
Symmetrie, Nullstellen und Extremstellen untersucht. Wie geht der Graph von der<br />
<strong>Cosinus</strong>funktion aus dem Graphen der <strong>Sinus</strong>funktion hervor?<br />
Übung (14.9): Eigenschaften des Graphen von sin und cos.<br />
Übung (14.10) bis (14.11): Einfache Gleichungen mit sin und cos lösen.<br />
Übung und Test (14.12) und (14.13): Zufallsmischung, Level 1 bis Level 3.<br />
15. Der Graph von <strong>Tangens</strong><br />
Hier findest du die gleichen Themen wie in (14), nur jetzt hier für die <strong>Tangens</strong>funktion.<br />
Übung (15.1) bis (15.4): Der Graph von der <strong>Tangens</strong>funktion wird auf Periodizität,<br />
Nullstellen, Definitionslücken und Symmetrie untersucht.<br />
Übung (15.5): Eigenschaften des Graphen der Tagensfunktion.<br />
Übung und Test (15.6) bis (15.8) zu (15.1) bis (15.5).<br />
Diese Spalte findest du rechts auf allen Seiten von realmath zum <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong>. Das ist<br />
so etwas wie eine ganz spezielle Menüleiste, hier gelangst du auch durch ein einfaches Anklicken<br />
auf weitere interessante Seiten zu diesen Themen.<br />
1. Einheitskreis: Einführung und Zusammenhänge von sin/cos/tan<br />
(1.1) Für <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong>: Hier kannst du dir selbst deinen gewünschten Winkel im<br />
Einheitskreis erzeugen, indem du einfach den Punkt auf dem Einheitskreis weiter bewegst.<br />
Das ist toll! http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigo/eisico.php<br />
(1.2) Für <strong>Tangens</strong> – auch so topp gemacht wie mit sinus /cosinus, unbedingt testen!<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigo/eitan.php
(1.3) Grundlegende Zusammenhänge zwischen sinus, cosinus und tangens, am<br />
Einheitskreis.<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigo/supplement.php<br />
2. Gesucht : die Winkel zu einem vorgegebenen <strong>Sinus</strong>-/<strong>Cosinus</strong>-/ oder<br />
<strong>Tangens</strong>wert<br />
(2.1) <strong>Sinus</strong>werte:<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniosin01.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniosin.html<br />
(2.2) <strong>Cosinus</strong>werte:<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniocos01.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniocos.html<br />
(2.3) <strong>Tangens</strong>werte<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniotan01.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniotan.html<br />
(2.4) Variable Übung: Alle drei gemischt<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/goniovar.html<br />
3. Besondere Winkelmaße bei <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong> 30°, 45° und 60°<br />
(3.1) <strong>Sinus</strong> und <strong>Cosinus</strong> von 30 °<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigonometrie/besonderewinkel30.html<br />
(3.2) … von 45 °<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigonometrie/besonderewinkel45.html<br />
(3.3) … von 60 °<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigonometrie/besonderewinkel60.html<br />
4. <strong>Tangens</strong> am Einheitskreis und über die Steigung einer Geraden<br />
<br />
(4.1) Einheitskreis:<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/tangenssteigung.html<br />
(4.2) Punktsteigungsform der Geradengleichung und der <strong>Tangens</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/tansteigueb.html<br />
(4.3) Geradengleichung und Schnittwinkel von Gerade und x-Achse<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/tangens/mundtan.html
(4.4) Polarkoordinaten und kartesiche Koordinaten – interessant für Tüftler<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/polar/polarkoordinaten.html<br />
5. Im rechtwinkligen Dreieck<br />
(5.1) Einführung im rechtwinkligen Dreieck am Einheitskreis/Strahlensatz<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/sinuseinf.html <strong>Sinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/kosinuseinf.html <strong>Cosinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/tangenseinf.html <strong>Tangens</strong><br />
(5.2) Anwendung im rechtwinkligen Dreieck - d.h. die richtigen Gleichungen aufstellen<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/sinus.html für <strong>Sinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/kosinus.html für <strong>Cosinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/tangens.html für <strong>Tangens</strong><br />
(5.3) Mischung aus sin, cos und tan - die richtigen Gleichungen aufstellen<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen3b.html<br />
6. Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Nutzung vom <strong>Sinus</strong><br />
(6.1) Herleitung der Formel für die verschiedenen Grundseiten a,b und c<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.html<br />
(6.2) Anwendung der Formel → Flächeninhalt berechnen<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.html<br />
7. <strong>Sinus</strong> in beliebigen Dreiecken → <strong>Sinus</strong>satz<br />
(7.1) Herleitung<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/sinsatz/sinussatz.html<br />
(7.2) Anwendung des <strong>Sinus</strong>satzes für WSW – Übung<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/sinsatz/sinsatzaufg01.html<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/sinsatz/sinsatzaufg01.html<br />
(7.3) Anwendung des <strong>Sinus</strong>satzes für die SsW – Übung<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/sinsatz/sinsatzaufg01.html<br />
Vgl. bei bettermarks Abschnitt (9).
8. <strong>Cosinus</strong> in beliebigen Dreiecken → <strong>Cosinus</strong>satz<br />
(8.1) <strong>Cosinus</strong>satz SWS Übung<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/kosinussatz/kosinussatz2.html<br />
(8.2) <strong>Cosinus</strong>satz SSS-Übung<br />
http://www.realmath.de/Neues/10zwo/kosinussatz/kosinussatz.html<br />
(8.3) Weitere Übung<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigo/kossatz2.html<br />
(8.4) Geometrische Veranschaulichung: der <strong>Cosinus</strong>satz als Verallgemeinerung des<br />
Pythagoras<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trigo/kosinusflaeche.html<br />
9. Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen<br />
(9.1) Die Funktion am Einheitskreis erklärt – topp!<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/sinusfunktion.html sin x<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/cosinusfunktion.html cos x<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/tangensfunktion.html<br />
tan x<br />
(9.2) Veränderungen der einfachen Funktionsgraphen<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/sinusfunktionvar.html y= a * sin(x-b) + c<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/cosinusfunktionvar.html y= a* cos(x-b) +c<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/trifkt/tangensfunktionvar.html y= a* tan(x-b) + c<br />
10. Herleitung der Additionstheoreme<br />
(10.1) des <strong>Sinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/additionstheoreme/sinaddtheorem.html<br />
(10.2) des <strong>Cosinus</strong><br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/additionstheoreme/cosaddtheorem.html
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