¨Ubungsblatt Uneigentliche Integrale Aufgaben 1. Berechne ... - gxy.ch

Übungsblatt Uneigentliche Integrale Aufgaben
1. Berechne die uneigentlichen Integrale, sofern sie existieren.
(a)
(b)
(c)
(d)
∫ ∞
1
∫ ∞
1
∫ ∞
3
∫ 0
−∞
1
x 4 dx
1
dx
x1.1 4 + t
t 3
e −t dt
dt
(e)
(f)
(g)
(h)
∫ 2
0
∫ 4
0
∫ 4
0
∫ ∞
−∞
2
x 2 dx
2
√
t
dt
u −3 2 du
2
z 2 + 1 dz
2. Zeige mit Abschätzungen durch Integrale, dass der Grenzwert für n → ∞ existiert
bzw. nicht existiert.
(a) s n =
(b) s n =
n∑
k=1
n∑
k=1
1
k
1
k(k + 1)
existiert nicht
existiert
3. Welchen Inhalt hat die Fläche, die alle Punkte enthält, deren Koordinaten die Bedingungen
1
0 ≤ y ≤ und x ≥ 3
(x − 2) 2
erfüllen
4. Der Graph der Funktion f rotiert für x ≥ 1 um die x-Achse. Dabei entsteht ein
Körper, der sich ins Unendliche erstreckt. Wie gross ist sein Volumen
(a) f(x) = 1 x 3
(b) f(x) =
√ x
x 2

Übungsblatt Uneigentliche Integrale Lösungen+
1. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) 2
∫ a
1
lim
a→∞
∫ a
1
lim
a→∞
∫ a
3
[
1
x dx = − 1 ] a 4 3x 3 1
(
− 1
3a + 1 )
= 1 3 3 3
[
1
x dx = − 10 ] a 1.1 x 0.1 1
(
10 − 10 )
= 10
a 0.1
4
t 3 + 1 t 2 dt = [ −2
lim
a→∞(
5
9 − 2 a 2 − 1 a
∫ 0
a
lim
a→−∞
∫ 2
a
lim
a→0
∫ 4
a
lim
a→0
∫ 4
a
lim
a→0
∫ b
a
lim
a→−∞
= − 1
3a 3 + 1 3
= − 10
a
t − 1 a
t] 2 3
)
= 5 9
e −t dt = [ −e −t] 0
= −1 + e−a
a
(
−1 + e
−a ) existiert nicht
] 2
a
[
2 −2
x dx = = −1 + 2 2 x a
( ) 2
a − 1 existiert nicht
2
[
√ dt = 4 √ ] 4
t = 8 − 4 √ t
t a
(
8 − 4 √ )
t = 8
u −3 2 du =
[−2u −1 2
] 4
a
10 10
+ = 10 −
0.1
10.1 a 0.1
= − 2 a − 1 (
2 a − − 2 9 − 1 )
= 5 3 9 − 2 a − 1 2 a
= −1 + 2 √ a
(
−1 + √ 2 )
existiert nicht
a
1
z 2 + 1 dz = 2 [arctan z]b a
= 2(arctanb − arctana)
(
)
lim 2(arctanb − arctan a) = lim
b→∞
( π
)
2
a→−∞ 2 − arctan a ( π
= 2
2 + π = 2π
2)
2. (a) f(1) = 1, f(2) = 1 2 , f(3) = 1 3 , ..., f(x) = 1 x

Für alle n ∈ N gilt:
∫ n
1
1
n∑
x dx < 1
k
k=1
Das Integral ist eine Minorante der Summe. Wenn das Integral keinen Grenzwert
hat, so kann auch die Summe keinen endlichen Grenzwert haben.
∫ n
1
lim dx = lim
n→∞ x [ln n→∞ x]n 1 = lim ln n existiert nicht
n→∞
1
(b) f(1) = 1 2 , f(2) = 1 6 , f(3) = 1 12 , ..., f(x) = 1
x(x + 1)
Für alle n ∈ N, n ≥ 2 gilt:
n∑
k=2
∫
1 n
k(k + 1) < 1
x(x + 1) dx
1
Mit der gleichen Begründung wie im letzten Beispiel, wurde der erste Summand
der Summe weggelassen.
Besitzt das Integral einen Grenzwert, so hat auch die Summe einen Grenzwert:
∫ n
[∫
1
n
] [∫
1
n
]
lim dx = lim
n→∞ x(x + 1) n→∞
1 x 2 + x dx 1
< lim
n→∞
1 x dx = · · · = 1
2
1
Wobei wir ausgenützt haben, dass für jedes x > 1 der Funktionswert 1 grösser
x
1
2 ist, als der von , was zu einer entsprechenden Abschätzung der Integrale
x 2 +x
führt.
3. Die Bedingung führt auf das uneigentliche Integral:
∫ a
[ a (
1
−1
lim dx = lim = lim 1 −
a→∞
3 (x − 2)
2 a→∞ x − 2] 1 )
a→∞
3
a − 2
4. Formel für die Volumenberechnung von Rotationskörpern: V = π
(a) lim
a→∞
π
(b) lim
a→∞
π
∫ a
1
∫ a
1
( ) 2 ∫ 1 a
dx = π lim
x 3 a→∞
(√ ) 2 ∫ x
a
dx = π lim
x 2 a→∞
1
1
∫ b
(
1
1
dx = · · · = π lim
x6 a→∞ 5 − 1
1
dx = · · · = π lim
x3 a→∞
a
= 1
[f(x)] 2 dx
)
= π 5a 5 5
( 1
2 − 1 )
= π 2a 2 2