Lösung 1.1: Minimale Realisierung

Lehrstuhlfür
Regelungstechnik
Moderne Methoden der Regelungstechnik 3
Einführung in die Modellreduktion
Lösung Blatt 1
Lösung 1.1: Minimale Realisierung
a) Die Übertragungsfunktion lautet:
G(s) = c T (sI − A) −1 b =
=
=0 =0
{}}{
2 · 0
s + 3 +
b) Es wird das Gilbert-Kriterium angewendet:
• Pol bei −3: nicht steuerbar
• Pol bei −5: nicht beobachtbar
4∑
i=1
{}}{
0 · 1
s + 5 + 6 · 8
c i · b i
s − λ i
=0
{}}{
s + 7 + 0 · 0
• Pol bei −10: sowohl nicht steuerbar als auch nicht beobachtbar
(1)
s + 10 = 48
s + 7 .
c) Die nicht steuerbaren/ beobachtbaren Pole spielen keine Rolle im Ein- /Ausgangsverhalten
des Systems. Graphisch lässt sich der Signalfluss im System folgendermaßen darstellen:
1
s+3
Transfer Fcn
2
c1
1
u(t)
1
b2
8
b3
1
s+5
Transfer Fcn1
1
s+7
Transfer Fcn2
6
c3
1
y(t)
1
s+10
Transfer Fcn3
Abbildung 1: Blockdiagramm des Systems
Daraus folgt, dass das Übertragungsverhalten vollständig durch ein System der Ordnung 1
bestimmt ist:
ẋ(t) = −7x(t) + 8u(t)
(2)
y(t) = 6x(t).
Allerdings stellt das System der Ordnung 1 keine Approximation des Originalsystems dar;
es bildet das Übertragungsverhalten exakt nach. Man spricht hierbei von einer minimalen
Realisierung des Systems. Minimale Realisierungen sind also vollständig steuerbar und
beobachtbar und werden in der Regel nicht als Modellreduktionen aufgefasst. Deshalb sollen
in dieser Vorlesung nur minimale Realisierungen als Originalsysteme betrachtet werden.
Dipl.-Ing. Thomas Wolf 1

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Einführung in die Modellreduktion
Lösung Blatt 1
Lösung 1.2: Pole als Kriterium zur Reduktion
a) Der Eigenwert (Pol) bei −100 klingt mit Abstand am schnellsten ab und sollte am ehesten
vernachlässigt werden. Dies zeigt sich auch in der Sprungantwort der Systeme (zur
Implementierung siehe Matlab-Datei):
100
Sprungantwort
80
60
40
original sys
ohne -100
ohne -0,1
20
0
0 10 20 30 40 50
t
b) Bei geänderten Eingangs-/Ausgangsvektoren bleiben die Eigenwerte unverändert. Allerdings
zeigt die Sprungantwort, dass nun eher der Eigenwert bei −0, 1 vernachlässigt werden sollte:
40
Sprungantwort
35
30
25
20
15
original sys
ohne -100
ohne -0,1
10
5
0
0 1 2 3 4 5
t
Daraus lässt sich folgern, dass die Lage der Eigenwerte allein ein ungenügendes Kriterium
zur Modellreduktion ist!
Dipl.-Ing. Thomas Wolf 2

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Lösung Blatt 1
Lösung 1.3: Schwache Steuer- und Beobachtbarkeit
a) Die Übertragungsfunktion (minimale Realisierung) lautet:
Daraus folgt:
G(s) =
300 · 0.01
s + 3
+
0.01 · 200
s + 5
+ 7 · 4 0.01 · 0.01
+
s + 7 s + 10 . (3)
• Pol bei −3: schwach steuerbar
• Pol bei −5: schwach beobachtbar
• Pol bei −10: schwach steuerbar / beobachtbar
b) Obwohl der Pol bei −3 schwach steuerbar ist, darf er nicht vernachlässigt werden, da er
sehr gut“ beobachtbar ist (Koeff. 300 im Ausgangsvektor c). Analog dazu ist der Pol bei
”
−5, der schwach beobachtbar aber stark“ steuerbar ist. Deshalb darf nur der Pol bei −10
”
vernachlässigt werden, wie in der Sprungantwort zu sehen ist (siehe Matlab-Datei):
6
Sprungantwort
5
4
3
2
1
original sys
ohne -3
ohne -5
ohne -10
0
0 0.5 1 1.5
t
Es dürfen nur solche Eigenwerte vernachlässigt werden, die sowohl schlecht steuerbar,
als auch schlecht beobachtbar sind!
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Lösung 1.4: Dominanzmaß
Das Dominanzmaß lautet:
Pol bei − 8 :
Pol bei − 9 :
Pol bei − 10 :
8
∣−8∣ = 1 (4)
8
∣−9∣ = 0, 889 (5)
10
∣−10∣ = 1 (6)
Da zwischen den Dominanzmaßen kein wesentlicher Unterschied vorliegt sollte keine modale
Reduktion durchgeführt werden. Dies zeigt auch die Sprungantwort, da streichen des Pols bei
−9 bereits zu einem enormen Fehler führt (siehe Matlab-Datei):
3
Sprungantwort
2.5
2
1.5
1
0.5
original sys
ohne -9
TBR
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Allerdings kann das System durchaus reduziert werden! Die Abbildung zeigt zusätzlich die
Sprungantwort des reduzierten Systems der Ordnung 1(!):
ẋ(t) = −9 x(t) + 5, 094 u(t),
y(t) = 5, 094 x(t),
(7)
Diese System wurde durch die Methode Truncated Balanced Realization (TBR) (deutsch: Balanciertes
Abschneiden) erzeugt. Diese Methode lernen wir in Kapitel 4 kennen...
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Lösung 1.5: Singulärwertzerlegung
siehe Matlab-Datei
Lösung 1.6: Singulärwertzerlegung
In exakter Arithmetik besitzt die Matrix A tatsächlich Rang 2, da die beiden Spalten linear
unabhängig sind. Computerprogramme arbeiten aber mit Gleitkommazahlen, was zu Rundungsfehlern
bei Berechnungen führt. Bei der in Matlab verwendeten double precision ist die
Maschinengenauigkeit ɛ = 2 −53 ≈ 1, 1 · 10 −16 . Ein Rundungsfehler von 10 −14 ist dabei durchaus
möglich! In einem solchen Fall besitzt die Matrix A nur Rang 1, da die beiden Spalten ”
mit
einer Toleranz von 10 −14 “ linear abhängig sind.
Aus diesem Grund ist der Matlab-Befehl rank mit Vorsicht zu genießen. Für die Beispielmatrix
liefert rank das Ergebnis 2! Besser ist es die Singulärwerte der Matrix zu betrachten:
σ 1 = 3, 1623, σ 2 = 7, 0217 · 10 −15 . (8)
Der große Unterschied legt die Interpretation nahe, dass es sich bei A mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit
um eine Matrix vom Rang 1 handelt.
Lösung 1.7: Matrix-Approximation
siehe Matlab-Datei
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