Begrenztes Wachstum - Goethe Oberschule

Begrenztes Wachstum
Die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums lautet:
f 't =k⋅G – f t mit der Grenze G und dem Wachstumsfaktor k.
Die Wachstumsgeschwindigkeit f'(t) ist proportional
zum „verbleibenden Platz“ (G – f(t)).
Die Lösung der Differentialgleichung f ' t =k⋅G – f t
gelingt mit dem Ansatz: g(t):=G-f(t) .
Die Gleichung g't=−f 't =−k⋅g t wird durch g t =C⋅e −k⋅t
gelöst.
f t=G – g t =G – C⋅e −k⋅t
ist die Lösungsfunktion.
Mit f(0) = G - C ergibt sich C = G - f(0) .
Man erhält die Lösung: f t=G−G−f 0⋅e −k⋅t
Rekursive Lösung: f n1=f np⋅G−f n .
Der Bestand wächst in gleichen Zeiten immer um p% von der Differenz
von gegenwärtigen Bestand und der Grenze G.
Das begrenzte Wachstum beschreibt unter anderen den Abkühlungsund
Erwärmungsprozess von Flüssigkeiten und Festen Körpern.
D. Müller CCS 2007 Begrenztes Wachstum- 4.1 -

Begrenztes Wachstum
1 Eine Flüssigkeit wird mit der Temperatur von 7°C aus dem Kühlschrank
genommen und in eine Umgebungstemperatur von 35°C gebracht.
Stelle den Erwärmungsprozess pro Minute mit einer Tabellenkalkulation
dar. Gehe von einer Erwärmung von 10% (12%) der jeweiligen
Differenz zur Grenze aus.
D. Müller CCS 2007 Begrenztes Wachstum- 4.2 -

Begrenztes Wachstum
2
D. Müller CCS 2007 Begrenztes Wachstum- 4.3 -

Begrenztes Wachstum
3 Auf einer Insel wurde von einer Firma ein neues Haushaltsgerät auf den Markt
gebracht. In den ersten 4 Monaten nach Einführung ergaben sich folgende
Verkaufszahlen: (Fokus BW Seite 89)
a) Skizziere den Verlauf des Schaubildes.
b) Welche Einwohnerzahl hat die Insel
c) Bestimme die Wachstumsfunktion.
d) Zeichne den Graphen dieser Funktion und vergleiche.
e) Diskutiere dein Ergebnis und ev. Fehler des Modells.
4 In einer Stadt gibt es ungefähr 80.000 Haushalte. Man schätzt dass rund ein
Viertel davon vom analogen zum digitalen Fernsehen wechseln wollen. In den
ersten drei Monaten werden 2000 der digitalen Receiver verkauft.
a) Werden im ersten Jahr wenigstens 8.000 Receiver verkauft
b) Wann sind 50% der interessierten Kunden vrsorgt
c) Wie viele Geräte werden nach 3 Jahren verkauft sein
d) Stelle den Verlauf graphisch dar und diskutiere das Modell.
5 In einem Teich wird eine Fischart ausgesetzt. Man nimmt an, dass sich die Fische
so vermehren, dass die Wachstumsrate pro Jahr 20% des Unterschiedes
zwischen dem vorhandenen Bestand und der geschätzten Gesamtkapazität von
1000 Fischen beträgt. Es werden 10 Fische ausgesetzt.
a) Stelle den Fischbestand durch eine Funktion und den Graphen dar.
b) Wann gibt es über 500 Fische
Nach 10 Jahren werden 450 Fische abgefischt.
c) Stelle den weiteren Verlauf des Bestandes dar.
d) Nach wieviel Jahren sind wieder mehr als 800 Fische vorhanden
6 Weitere Aufgaben siehe 6. Aufgaben und
Lambacher Schweitzer Kursstufe BW Seite 145
D. Müller CCS 2007 Begrenztes Wachstum- 4.4 -