Die Tschebyscheff-Ungleichung

Würde man zusätzlich pÿ(1-p) � 1/
4 berücksichtigen (da f(p) = pÿ(1-p) für p = ½ maximal ist),
dann ergibt sich folgende Ungleichung:
1
P�X/ n � p � ���2
4 � � � n
Wir erhalten somit Abschätzungen für den Abstand der relativen Häufigkeiten der
„Erfolge“ zur Wahrscheinlichkeit p.
Beispielaufgabe:
Eine Partei wird von 20% der Bevölkerung gewählt. Bei einer Umfrage werden 1000
Personen befragt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit höchstens, dass in dieser Umfrage
die relative Anzahl der Personen, die diese Partei wählen, 5 Prozentpunkte oder mehr von
20% abweicht:
Verwendet man die letzte Abschätzung, dann gilt:
1
P �
2
4 � 0,
05 �1000
�X/ n � 0,
20 � 0,
05��0,
1
Also beträgt diese Wahrscheinlichkeit maximal 10%. Damit liegt - mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% (= 100% - 10%) - der Anteil der Wähler dieser
Partei in dieser Umfrage zwischen 15% (= 20% - 5%) und 25% (= 20% + 5%).