Die Tschebyscheff-Ungleichung

Die Tschebyscheff-Ungleichung
Hier ist die Tschebyscheff-Ungleichung für eine Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert m
und der Varianz s 2 (für c > 0) zu sehen:
P
�
c
2
�X� � � c��2
|X - m| § c kann man auch wie folgt schreiben: X ¥ m + c oder X § m - c
Damit kann man die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass die Zufallsvariable mindestens
einen Abstand c zum Erwartungswert hat. Mit steigendem c wird die Wahrscheinlichkeit
immer kleiner.
Aus der Tschebyscheff-Ungleichung folgt
und somit:
P
�
c
2
�X� � � c��1�P�X���c��2
P
�
c
2
�X� � � c��1�2
Also beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens 100%ÿ(1 - s 2 /c 2 ), dass die Zufallsvariable X
einen Wert im Intervall ] m - c; m + c [ annimmt.
Wenn X binomialverteilt ist mit den Parametern n und p, dann ist � � n � p und
2
� � n � p � ( 1�
p)
. Hier ergibt sich dann die folgende Ungleichung:
P
n � p � ( 1�
p)
c
�X� � � c��P�X�n�p�c��P�X�n�p/
n � c / n��P�X/
n � p � c / n��2
Wenn wir � = c/n bzw. c = � � n setzen, dann erhalten wir:
p � ( 1�
p)
P�X/ n �
p � ���2
� � n

Würde man zusätzlich pÿ(1-p) � 1/
4 berücksichtigen (da f(p) = pÿ(1-p) für p = ½ maximal ist),
dann ergibt sich folgende Ungleichung:
1
P�X/ n � p � ���2
4 � � � n
Wir erhalten somit Abschätzungen für den Abstand der relativen Häufigkeiten der
„Erfolge“ zur Wahrscheinlichkeit p.
Beispielaufgabe:
Eine Partei wird von 20% der Bevölkerung gewählt. Bei einer Umfrage werden 1000
Personen befragt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit höchstens, dass in dieser Umfrage
die relative Anzahl der Personen, die diese Partei wählen, 5 Prozentpunkte oder mehr von
20% abweicht:
Verwendet man die letzte Abschätzung, dann gilt:
1
P �
2
4 � 0,
05 �1000
�X/ n � 0,
20 � 0,
05��0,
1
Also beträgt diese Wahrscheinlichkeit maximal 10%. Damit liegt - mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% (= 100% - 10%) - der Anteil der Wähler dieser
Partei in dieser Umfrage zwischen 15% (= 20% - 5%) und 25% (= 20% + 5%).