Zusammenfassung Stochastik I + II

Zusammenfassung 

Stochastik I + II 

Stephan Kuschel 

Vorlesung von Dr. Nagel 

Stochastik I: WS 2007/08 Stochastik II: SS 2008 

zuletzt aktualisiert: 7. Juli 2009 

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Inhaltsverzeichnis 

I Stochastik I 1 

1 Wahrscheinlichkeitsraum 1 

2 Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3 

3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 4 

4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 

5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 

II Stochastik II: mathematische Statistik 7 

1 Stichproben und der statistische Raum 8 

2 Punktschätzungen 9 

3 Verteilungen 10 

4 Konfidenzintervalle 11 

5 Tests 11 

6 Stat. Methoden für 2-dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14

Stochastik I Wahrscheinlichkeitsraum 1 

Teil I 

Stochastik I 


1 Wahrscheinlichkeitsraum 1 

1.1 Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Beschreibungsmöglichkeiten für Wahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.5 stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

2 Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3 

2.1 Zufällige Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.2 Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.3 Unabhängigkeit von Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.3.1 diskrete Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.3.2 stetige Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 4 

3.1 Transformationen von 1dim. Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

3.2 Summe zweier Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

3.3 Produkt & Quotient zweier Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

3.4 Injektive diffbare Transformationen von zufälligen Vektoren . . . . . . . . . . . . . 4 

4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 

4.1 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

4.2 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

4.3 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

4.4 Die Kovarianzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 

5.1 Markov-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

5.2 Tschebyscheff Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

5.3 Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

5.4 Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1 Wahrscheinlichkeitsraum 

1.1 Wahrscheinlichkeitsraum 

Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, A, P ], Ereignis A ∈ A, dann gilt: 

• Ω ∈ A 

• A ∈ A ⇒ A ∁ ∈ A ∀A ⊆ Ω 

• ∀Ai ∈ A ⇒ � ∞ i=1 Ai ∈ A 

Axiomensystem von Kolmogorov: P : A → [0, 1] 

A ⊆ p(Ω) ist σ-Algebra.

Stochastik I Wahrscheinlichkeitsraum 2 

• P (Ω) = 1 

• 

Folgerungen: 

Ai ∩ Aj � 

= ∅ 

∞� 

� 

∞� 

P 

= P (Ai) 

i=1 

Ai 

i=1 

• P (∅) = 0 P (Ω) = 1 

• P (A ∁ ) = 1 − P (A) 

• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 

• A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) 

⇒ P (B \ A) = P (B) − P (A) 

• A1 ⊆ A2 ⊆ ... ⇒ P ( � 

i Ai) = limi→∞ P (Ai) 

• A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⇒ P ( � 

i Ai) = limi→∞ P (Ai) 

(σ-Additivität von P ) 

1.2 Beschreibungsmöglichkeiten für Wahrscheinlichkeitsmaße 

1.3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsräume 

siehe Verteilungen 

1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 

P (A|B) = 

P (A) = � 

P ({ω}) 

P (A ∩ B) 

P (B) 

ω∈A 

• A1, A2 disjunkt ⇔ P (A1 ∪ A2|B) = P (A1|B) + P (A2|B) 

• P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) 

= P (B|A) · P (A) 

• Entnahme ohne Zurücklegen: 

1.5 stochastische Unabhängigkeit 

⇒ P (B|A) = P (A|B) · 

P (B) 

P (A) 

P (A1 ∩ ... ∩ An) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|A2 ∩ A1) · ... 

A, B stochastisch unabhängig ⇔ P (A ∩ B) = P (A) · P (B) 

Ai stochastisch vollständig unabhängig ⇔ P ( � 

i Ai) = � 

i P (Ai) 

• paarweise stochastische Unabhängigkeit ist etwas anderes! 

• (A, B) unabhängig ⇒ (A, B ∁ ), (A ∁ , B), (A ∁ , B ∁ ) unabhängig

Stochastik I Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3 

2 Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 

2.1 Zufällige Variablen 

g : Ω → Ω ′ 

g −1 : p(Ω ′ ) → p(Ω) 

g −1 (A ′ ) : {ω ∈ Ω : g(ω) ∈ A ′ } mit A ′ ⊆ Ω ′ 

2.2 Zufallsgrößen 

X : Ω → R 

PX(B) = P (X −1 (B)) B ∈ R 

Verteilungsfunktion: FX(x) = P (X ≤ x) x ∈ R 

• P (a < X < b) = FX(b) − FX(a) 

• P (X = a) = FX(a) − FX(a − 0) 

• FX(−∞) = 0 

• FX(∞) = 1 

2.3 Unabhängigkeit von Zufallsgrößen 

X, Y sollen unabh. heißen, wenn all Paare von Ereignissen, die Mithilfe von X, Y formuliert werden 

können unabhängig sind. 

• P (X ∈ B1, Y ∈ B2) = P (X ∈ B1) · P (Y ∈ B2) ⇐⇒ X, Y unabh. 

• P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B2, . . . Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1) · . . . · P (Xn ∈ Bn) 

=⇒ X1, . . . , Xn vollständig unabhängig 

=⇒ X1, . . . , Xn i.i.d., falls X1, . . . , Xn Zufallsgrößen über demselben W.-Raum 

2.3.1 diskrete Zufallsgrößen 

X, Y unabhängig ⇐⇒ P (X = x, Y = y) = P (X = x) · P (Y = y) 

X ∼ geometrisch verteilt: („Gedächtnislosigkeit“) 

P (X = k + l|X ≥ k) = P (X = l) 

2.3.2 stetige Zufallsgrößen 

X = (X1, . . . , Xn) 

• Randverteilungsfunktion: FXi (x) = P (X1 ∈ R, . . . , xi ≤ x, . . . , Xn ∈ R) 

• gemeinsame Verteilungsfunktion: FX(x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) 

X1, . . . , Xn unabhängig ⇐⇒ FX(x1, . . . , xn) = FX1 (x1) · . . . · FXn(xn) 

� � xn x1 

Dichtefunktion FX(x1, . . . , xn) = . . . fX(t1, . . . , tn)dt1 . . . dtn 

� 

−∞ −∞ 

mit fX(t)dt = 1 ⇐⇒ f heißt Dichtefunktion 

R n 

Randdichte fxi = 

� 

R\span(xi) 

fX(t)

Stochastik I Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 

3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 

3.1 Transformationen von 1dim. Zufallsgrößen 

Fg(x)(x) = P (g(X) ≤ x) = P (X ∈ g−1 ((−∞, x])) 

� x 

oder Darstellung F g(x)(x) = 

−∞ 

3.2 Summe zweier Zufallsgrößen 

k(t)dt ⇒ g(x) hat VD k 

Seien X1, X2 unabhängig 

P (X1 + X2 = s) = � 

P (X1 = x1, X2 = s − x2) = � 

P (X1 = x1) · P (X2 = s − x1) 

x1 

⇒ X1 ∼ Πλ1 , X2 ∼ Πλ2 , X1 + X2 ∼ Πλ1+λ2 

fX1+X2 = 

� ∞ 

fX1 (t)fX2 (s − t)dt 

−∞ 

⇒ X1 ∼ N µ1,σ 2 1 , X2 ∼ N µ2,σ 2 2 , X1 + X2 ∼ N µ1+µ2,σ 2 1 +σ2 2 

fX1−X2 = 

� ∞ 

fX1 (t)fX2 (t − s)dt 

−∞ 

3.3 Produkt & Quotient zweier Zufallsgrößen 

fX1·X2 

f X1 (s) = 

X2 

� ∞ 

(s) = 

� ∞ 

−∞ 

1 

|t| fX1 

|t|fX1 

−∞ 

� � 

s 

fX2 

t 

(t)dt 

(st) fX2 (t)dt 

3.4 Injektive diffbare Transformationen von zufälligen Vektoren 

fY (u) = fX(T −1 (u)) 

| det T ′ (T −1 (u))| 

4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 

• Erwartungswert ˆ= Mittelwert 

• Varianz ˆ= mittlere quadratische Abweichung 

4.1 Erwartungswert 

� ∞ 

� ∞ 

EX = xfX(x)dx, Eg(X) = g(x)fX(x)dx 

−∞� 

−∞ 

∞ 

Existenz: |x|fX(x)dx < ∞ 

−∞ 

• E(aX1 + b) = aEX + b 

• E(X1 + X2) = EX1 + EX2 

• E(X1 · X2) = EX1 · EX2 

(gilt immer) 

x1 

(Zgr. unabhängig!)

Stochastik I Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 

4.2 Varianz 

varX = E(X − EX) 2 = EX 2 − (EX) 2 

• var(aX + b) = a 2 varX 

• var(X1 ± X2) = varX1 + varX2, X1, X2 unabhängig 

4.3 Kovarianz 

• cov(X1, X2) = E(X1 · X2) − (EX1) · (EX2) 

• var(X1 + X2) = varX1 + varX2 + 2cov(X1X2) 

• cov(X1, X2) = 0 ⇔ X1, X2 unkorreliert 

• cov(X, aX + b) = avarX 

• cov(X, X) = varX 

• Xi ∼ N µiσ 2 i : cov(X1, X2) = ρσ1σ2 

ρX1,X2 = cov(X1, X2) 

√ varX1 · varX2 

4.4 Die Kovarianzmatrix 

X = (X1, . . . , Xn) zufälliger Vektor 

ΣX = E(X − EX) T (X − EX) = (cov(Xi, Xj))ij 

n-dim Normalverteilung: � 

σ 

Nµ,Σ, n = 2 : Σ = 

2 � 

1 ρσ1σ2 

ρσ1σ2 

5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 

5.1 Markov-Ungleichung 

P (|X| ≥ c) ≤ E(g(|X|)) 

g(c) 

σ 2 2 

5.2 Tschebyscheff Ungleichung 

P (|X − EX| ≥ c) ≤ varX 

c 2 

g monoton, nicht fallend 

• X ∼ N µ,σ 2 : P (|X − µ| ≥ kσ) ≤ σ2 

k 2 σ 2 = 1 

k 2 

5.3 Gesetz der großen Zahlen 

(Xi)i i.i.d. 

lim 

n→∞ P 

� 1 

n 

n� 

|Xi − EX1| > ɛ 

i=1 

� 

= 0

Stochastik I Ungleichungen & Grenzwertsätze 6 

5.4 Der zentrale Grenzwertsatz 

(Xi)i i.i.d. mit EX 2 i < ∞, varXi = σ 2 > 0, EXi = m 

mit Φ(x) VF von N0,1 

lim 

n→∞ P 

��ni=1 � 

Xi − nµ 

√ ≤ x = Φ(x) 

nσ 

• Summen von i.i.d.Zgr. sind asymptotisch normalverteilt. 

• P (Xi = 1) = p = 1 − P (Xi = 0) 

lim 

n→∞ P 

�� 

ni=1 

Xi − np 

� ≤ x = Φ(x) 

np(1 − p) 

mit Korrekturformel: P ( � 

i Xi ≤ k) = P ( � 

i Xi < k) = Φ 

Approx der Binomialverteilung: 

• Poissonverteilung: λ = np, n groß, p klein 

• Normalverteilung: µ = np, σ 2 = np(1 − p) 

� 

1 

k+ 2 −np 

� 

√ 

np(1−p)

Stochastik II: mathematische Statistik Ungleichungen & Grenzwertsätze 7 

Teil II 

Stochastik II: mathematische Statistik 


1 Stichproben und der statistische Raum 8 

1.1 Liste wichtiger Statistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2 Punktschätzungen 9 

2.1 Punktschätzungen für Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2 Punktschätzung für die Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.3 Gütekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.4 Die Maximum-Likelihood-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3 Verteilungen 10 

3.1 χ 2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3.2 t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3.3 F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

4 Konfidenzintervalle 11 

4.1 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei bekannter Varianz . . . . . . . . . . . . 11 

4.2 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei unbekannter Varianz . . . . . . . . . . . 11 

4.3 Konfidenzintervall für Varianz bei unbekanntem Erwartungswert . . . . . . . . . . 11 

5 Tests 11 

5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

5.2 Tests für Normalverteilte Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

5.2.1 Gausstest: Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Varianz . . . . . . 12 

5.2.2 t-Test: Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Varianz . . . . . . . 12 

5.2.3 χ 2 -Test: Prüfung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert . . . . . . . 13 

5.3 Zwei Testprobleme für disjunkte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

5.3.1 Likelihood-Quotienten Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

5.3.2 Testen von Hypothesen über Parameter der hypergeometrischen Verteilung 13 

5.4 Anpassungstests (Kolmogorov-Smirnov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

5.5 Zwei-Stichproben Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6 Stat. Methoden für 2-dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14 

6.1 Test auf Unabhängigkeit von Beobachtungsparametern . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.1.1 Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.1.2 Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.1.3 χ 2 Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.2 Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Stochastik II: mathematische Statistik Stichproben und der statistische Raum 8 

1 Stichproben und der statistische Raum 

Stichproben 

• math. Stichprobe: X1, . . . , Xn 

• konkrete Stichprobe: x1, . . . , xn 

Der statistische Raum: [R n , Rn, {P ⊗n 

θ , θ ∈ Θ}] 

Θ ⊆ R l , l ≥ 1, Pθ ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf [R, R] ∀θ 

1.1 Liste wichtiger Statistiken 

1. Stichprobenmittel / empirischer Erwartungswert 

T (x1, . . . , xn) = 1 

n 

2. r-tes Stichprobenmoment / empirisches r-tes Moment 

3. Stichprobenstreuung / empirische Varianz 

n� 

xi = ¯x 

i=1 

T (x1, . . . , xn) = 1 

n 

T (x1, . . . , xn) = 1 

n 

n� 

n� 

x 

i=1 

r i 

(xi − ¯x) 

i=1 

2 = ¯σ 2 

4. korrigierte Stichprobenstreuung / korrigierte empirische Varianz 

T (x1, . . . , xn) = 1 

n − 1 

5. konkrete geordnete Stichprobe / Variationsreihe 

6. i-te geordnete Statistik / i-te Rangstatistik 

7. Spannweite einer Stichprobe 

n� 

(xi − ¯x) 

i=1 

2 = ˆσ 2 = n 

n − 1 ¯σ2 

T (x1, . . . , xn) = (x ∗ 1, . . . , x ∗ n) (sortieren) 

T (x1, . . . , xn) = x ∗ i 

8. Stichprobenmedian / empirischer Zentralwert 

T (x1, . . . , xn) = ˜x 1 

2 

mit x ∗ 1 ≤ . . . ≤ x ∗ n 

(nach Sortieren, i-tes Element) 

T (x1, . . . , xn) = x ∗ n − x ∗ 1 

⎧ 

⎨x 

= 

⎩ 

∗ n+1 

�2 

1 

2 

x ∗ n 

2 

+ x ∗ n 

2 +1 

� 

falls n ungerade 

falls n gerade

Stochastik II: mathematische Statistik Punktschätzungen 9 

9. Stichproben-α-Quantil / empirisches α-Quantil, 

⎧ 

α ∈ (0, 1) 

⎨x 

T (x1, . . . , xn) = ˜xα = 

⎩ 

∗ ⌊nα⌋+1 

1 

� 

falls nα nicht ganzzahlig 

falls nα ganzzahlig 

10. empirische Verteilungsfunktion 

� 

2 x∗ nα + x∗ nα+1 

T (x1, . . . , xn) = ˆ F (s) = 1 

n� 

1 

n 

[xi,α)(s) 

i=1 

= 1 

n |{i ∈ 1, . . . , n : xi ≤ s}| 

11. Histogramm oder rel. Häufigkeiten zu einer Vorgegebenen Klasseneinteilung ∆1, . . . , ∆k 

� 

n� 1 

T (x1, . . . , xn) = 1∆1 

n 

(xi), . . . , 1 

n� 

1∆k n 

(xi) 

� 

12. Box-Plot 

i=1 

• ∆1, . . . ∆k paarweise Disjunkt, äquidistant 

• Faustregel von STURGES: k = 1 + 3.32 log 10 n 

2 Punktschätzungen 

2.1 Punktschätzungen für Erwartungswert 

ˆµ(x1, . . . , xn) = ¯x 

varθ ˆµ(X1, . . . , Xn) = 1 

n varθX1 

2.2 Punktschätzung für die Varianz 

ˆσ 2 (x1, . . . , xn) = 1 

n − 1 

2.3 Gütekriterien 

n� 

(xi − ¯x) 

i=1 

2 

i=1 

T (x1, . . . , xn) = (˜x0.1, ˜x0.25, ˜x0.5, ˜x0.75, ˜x0.9) 

falls X1, . . . , Xn i.i.d. 

• T erwartungstreue Punktschätzung für γ 

⇔ EθT (X1, . . . , Xn) = γ(θ) ∀θ ∈ Θ 

• T1 effizienter als T2 

⇔ varθT1(X1, . . . , Xn) < varθT2(X1, . . . , Xn) < ∞ 

• T ∗ bester erwartungstreuer Schätzer (BUE - best unbiased estimator) 

⇔ varθT ∗ (X1, . . . , Xn) ≤ varθTi(X1, . . . , Xn) ∀θ ∈ Θ und Ti erwartungstreu ∀i 

Mögliche andere Kriterien 

• Eθ(T (X1, . . . , Xn) − θ) 2 

• Asymptot. Verhalten für n → ∞ 

Anmerkung: ˆµ = ¯x ist bester erwartungstreuer Schätzer, falls Grundgesamtheit normalverteilt, 

poissonverteilt, binomialverteilt, aber nicht bei Gleichverteilung auf (a, b), a, b unbekannt.

Stochastik II: mathematische Statistik Verteilungen 10 

2.4 Die Maximum-Likelihood-Methode 

θ ∈ Θ suchen für das diese Stichprobe den Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte liefert. 

• Likelihood-Funktion: 

L : θ × Rn → [0, ∞) 

L(θ, x1, . . . , xn) 

n� 

= fθ(xi) (stetig) 

i=1 

n� 

= Pθ(Xi = xi) 

i=1 

(diskret) 

• Maximum-Likelihood Schätzwert ˆ θ ∗ 

L( ˆ θ ∗ , x1, . . . , xn) ≥ L(θ, x1, . . . , xn) ∀θ ∈ Θ 

• Zur Berechnung häufig ln L betrachten. 

3 Verteilungen 

Xi ∼ N0,1 

Zi ∼ N µ,σ 2 

3.1 χ 2 -Verteilung 

r� 

• X 

i=1 

2 i ∼ χ 2 r 

• 1 

σ2 � 

n(Zi − µ) 

i=1 

2 ∼ χ 2 n 

• 1 

σ2 � 

n(Zi − 

i=1 

¯ Z) 2 ∼ χ 2 n−1 

• Y1 ∼ χ 2 r1 Y2 ∼ χ 2 r2 Y1 + Y2 ∼ χ 2 r1+r2 

• χ 2 2 = ε 1 

2 

3.2 t-Verteilung 

• fY (−x) = fY (x) 

• r = 1: Cauchy-Verteilung 

⎧ 

⎪⎨ 0 x < 0 

fY (x) = 

⎪⎩ 

1 

2 r 2 Γ( r 

r 

x 2 

2) −1 x2 

− e 2 x ≥ 0 

fY (x) = 

� 

r+1 Γ( 2 ) 

Γ( r 

2) √ � 

πr 

• r → ∞: Normalverteilung mit µ = 0, σ 2 = 1 

• 

� 1 

r 

• √ n 

X0 

� ri=1 X 2 i 

� 1 

n−1 

∼ tr 

¯Z − µ 

�ni=1 (Xi − ¯ ∼ tn−1 

X) 2 

1 + x2 

r 

� − r+1 

2 

x ∈ R

Stochastik II: mathematische Statistik Tests 11 

3.3 F-Verteilung 

• 

1 �r+s s i=r+1 X2 i 

1 �ri=1 r X2 i 

∼ Fs,r 

4 Konfidenzintervalle 

⎧ 

⎨0 

x < 0 

fY (x) = � 

⎩ s 

r 

� s 

2 x s 

2 −1 � 1 + s 

r x� − s+r 

2 x ≥ 0 

(1 − α)-Konfidenzintervall P ⊗n 

θ (C(X1, . . . , Xn) ∋ γ(θ)) ≥ 1 − α ∀θ ∈ Θ 

Häufig (1 − α) ∈ {0.9; 0.95; 0.99} 

4.1 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei bekannter Varianz 

ist (1 − α)-KI 

C(x1, . . . , xn) = 

� 

¯x − σ √ Φ 

n −1 (1 − α 

2 ), ¯x + σ √ Φ 

n −1 (1 − α 

2 ) 

� 

4.2 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei unbekannter Varianz 

ist (1 − α)-KI 

C(x1, . . . , xn) = 

� 

¯x − 

√ ˆσ 2 

√ t α 

n−1,1− , ¯x + 

n 2 

√ � 

ˆσ 2 

√ t α 

n−1,1− 

n 2 

4.3 Konfidenzintervall für Varianz bei unbekanntem Erwartungswert 

weil 

(n − 1)ˆσ2 

σ 2 

5 Tests 

∼ χ 2 n−1 

5.1 Grundbegriffe 

Θ partitionieren in Θ0, Θ1 

H0 : θ ∈ Θ0 Nullhypothese 

H1 : θ ∈ Θ1 Alternativhypothese 

⎡ 

(n − 1)ˆσ2 

C(x1, . . . , xn) = ⎣ , (n − 1)ˆσ2 

H0 wahr H1 wahr 

H0 wählen � Fehler 2. Art 

H0 ablehnen Fehler 1. Art � 

• Test: D : R n → {H0, H1} 

• Testgröße: T : R n → R 

χ 2 n−1,1− α 

2 

χ 2 n−1, α 

2 

⎤ 

⎦ 

2.Art: irrtümliche Annahme von H1 

1.Art: irrtümliche Ablehnung von H0


• Kritischer Bereich K ⊆ R sodass 

T (x1, . . . , xn) ∈ K ⇒ H1 wählen 

T (x1, . . . , xn) �∈ K ⇒ H0 wählen 

• Gütefunktion des Tests D 

βD : θ → [0, 1] mit 

β(θ) = P ⊗n 

θ (D(X1, . . . , Xn) = H1) 

• Signifikanzniveau zum Niveau α 

βD(θ) ≤ α ∀θ ∈ Θ 

βD(θ) ≥ sup 

θ ′ βD(θ 

∈Θ0 

′ ) ∀θ ∈ Θ1 (Unverfälschtheit) 

5.2 Tests für Normalverteilte Grundgesamtheit 

5.2.1 Gausstest: Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Varianz 

(a) H0 : µ = µ0 

H1 : µ �= µ0 

T (X1, . . . , Xn) = √ n ¯ X − µ0 

K = 

(b) H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 

Testgröße wie bei Punkt a 

� 

−∞, Φ −1 

K = 

σ0 

� �� 

α 

∪ Φ 

2 

−1 

∼ ↑ 

falls µ=µ0 (!) 

� 

� 

−∞, −Φ −1 � 

(1 − α) 

N0,1 

1 − α 

� � 

, ∞ 

2 

5.2.2 t-Test: Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Varianz 

(a) H0 : µ = µ0 

H1 : µ �= µ0 

T (X1, . . . , Xn) = 

K = (−∞, −t n−1,1− α 

√ 

n 

√ 

ˆσ 2 ( ¯ X − µ0) ∼ tn−1 

↑ 

falls µ=µ0 (!) 

2 ) ∪ (tn−1,1− α 

2 

K ist ein wenig kleiner als beim entsprechenden Gauss-Test 

, ∞) 

• α kann auch als Überschreitungswahrscheinlichkeit gelesen werden, sodass 

P Ü (X1, . . . , Xn) < α 

(b) H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 


K = (−∞, −tn−1,1−α)


5.2.3 χ 2 -Test: Prüfung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert und normalverteilter 

Grundgesamtheit 

(a) H0 : σ 2 = σ 2 0 

(b) H0 : σ 2 ≥ σ 2 0 

H1 : σ 2 �= σ 2 0 

T (X1, . . . , Xn) = ˆσ2 (n − 1) 

H1 : σ < σ 2 0 


= 1 

σ 2 0 

K = [0, χ 2 n−1, α 

2 

σ2 0 

n� 

(Xi − 

i=1 

¯ X) 2 

∼ 

↑ 

falls σ2 =σ2 0 (!) 

χ 2 n−1 

) ∪ (χ 2 n−1,1− α , ∞) 

2 

T (X1, . . . , Xn) �∈ K ⇐⇒ α 

2 ≤ pü ≤ 1 − α 

2 

K = (0, χ 2 n−1,α) 

5.3 Zwei Testprobleme für disjunkte Verteilungen 

5.3.1 Likelihood-Quotienten Methode 

Allgemeines Prinzip zur Konstruktion von Tests bzw von Testgrößen. 

Betrachten [Rn , Rn{Pθ0 , Pθ1 }] d.h. θ = {Pθ0 , Pθ1 } 

H0 : θ = θ0 

H1 : θ = θ1 

L(θ1, x1, . . . , xn) 

L(θ0, x1, . . . , xn) > c dann H0 ablehnen 

c so wählen, dass Wahrscheinlichkeit für Fehler 1.Art β(θ0) ≤ α0 

Man kann zeigen, dass dieser Test, falls β(θ0) = α bester α-Signifikanztest ist, in dem Sinne, dass 

β(θ1) ≥ βD(θ1) ∀α-Signifikanztests D. 

5.3.2 Testen von Hypothesen über Parameter der hypergeometrischen Verteilung 

N - Gesamtzahl der Produkte in einer Lieferung 

θ - Anzahl der fehlerhaften Produkte (unbekannt), θ ∈ {0, 1, 2, . . . , N} = Θ 

m - Anzahl geprüfter Produkte 

Zufallsgröße: κ - Anzahl der fehlerhaften Produkte unter den geprüften Produkten. κ besitzt eine 

hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, θ, m = HN,θ,m 

H0 : θ ≤ θ0 H1 : θ ≥ θ1 

Kritischen Bereich aus Quantilen wählen. 

• N >> m ⇒ HN,θ,m ≈ B m, θ 

N 

Pθ(κ = k) = 

�θ��N−θ� k m−k 

�N� m 

• Diese Binomialverteilung gegebenenfalls mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes durch Normalverteilung 

oder durch Poissonverteilung mit λ = m·θ 

N nähern.

Stochastik II: mathematische Statistik Stat. Methoden für 2-dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14 

5.4 Anpassungstests (Kolmogorov-Smirnov) 

H0 : F = F0 

H1 : F �= F0 

5.5 Zwei-Stichproben Test 

H0 : µ1 ≤ µ2 

H1 : µ1 > µ2 

T (X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn) = 

• Vergleich der Varianzen: F-Test 

• σ 2 1 �= σ2 2 

: Welch Test 

T (x1, . . . , xn) = √ n sup 

t∈R 

� n · m 

n + m 

� 

� 

� ˆ � 

� 

F (t) − F0(t) � 

¯X − ¯ Y 

�ˆσ 2 

ˆσ 2 1 

= 

n + m − 2 

K = (tm+n−2,1−α, ∞) 

∼ ↑ 

falls µ1=µ2 

und varX1=varX2=σ2 � 

(n − 1)ˆσ 2 X + (m − 1)ˆσ 2 � 

Y 

tn+m−2 

6 Stat. Methoden für 2-dim Stichproben (Multivariatstatistik) 

6.1 Test auf Unabhängigkeit von Beobachtungsparametern 

6.1.1 Randverteilungen 

F (X,Y )(x, y) = FX(x) · FY (y) ⇐⇒ Unabhängigkeit von X und Y 

mit F (X,Y )(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) 

6.1.2 Korrelationskoeffizient 

ρX,Y = 

cov(X, Y ) 

√ varX · varY 

6.1.3 χ 2 Unabhängigkeitstest 

Es seien a1, . . . , ar ∈ R und b1, . . . , bs ∈ R 

Bezeichnung: 

nur falls X, Y normalverteilt ⇒ 

⇐ gilt immer 

pij = P (X1 = ai, Y1 = bj) mit � 

pij = 1 

i,j 

X, Y unabhängig 

s� 

pi· = pij = P (X1 = ai) 

r� 

p·j = pij = P (Y1 = bj) 

j=1 

i=1 

H0 : pij = pi· · p·j ∀i,j 

H1 : pij �= pi· · p·j für wenigstens ein Paar (i, j)

Stochastik II: mathematische Statistik Stat. Methoden für 2-dim Stichproben (Multivariatstatistik) 15 

Zufallsgröße: Hij - Anzahl {l : Xl = ai, Yl = bj} ˆ= Absolute Häufigkeit des Auftretens ddes Paares 

(ai, bj) in der Stichprobe. 

Testgröße: 

Kritischer Bereich: 

T = n · 

s� 

s� 

Hi· = Hij 

j=1 

j=1 i=1 

� 

r� Hij − Hi··H·j 

n 

K = 

Hi· · H·j 

� 2 

r� 

H·j = Hij 

i=1 

� 

χ 2 � 

(r−1)(s−1),1−α , ∞ 

∼ χ 

↑ 

asymptot. n→∞ 

H0 wahr 

2 (r−1)(s−1) 

• Falls X1 und Y1 nicht diskret mithilfe von Klasseneinteilung diskretisieren 

• ACHTUNG: Falls H0 abgelehnt wird, dann Annahme dass notwendige Bedingung für die Unabhängigkeit 

verletzt ist! 

Falls H0 angenommen wird, dann also keine Aussage über die Unabhängigkeitshypothese möglich 

6.2 Regressionsanalyse 

MKQ is BLUE 

Gauss Markov Theorem 

Zufällige Prozesse !

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