6. Multiplikation und Division

6. Multiplikation und Division 108
6. Multiplikation und Division
Lesen Sie zuerst in der Studieneinheit E4 das Kapitel l zur Einführung der Multiplikation,
das Kapitel 3 zum kartesischen Produkt von Mengen sowie das Kapitel 4 zur
Division.
6.1 Grundvorstellungen und Darstellungsformen
der Multiplikation
Die Multiplikation kann über verschiedene Grundvorstellungen verstanden und in
Form unterschiedlicher konkreter Darstellungen eingeführt und behandelt werden. Bei
den Grundvorstellungen unterscheidet man die Vorstellung von räumlichsimultanen
Anordnungen, die Vorstellung von zeitlich-sukzessiven Handlungen und
die kombinatorische Vorstellung. Hinzu kommt der Vorgang der Vervielfachung bei
Größen. Die in Schulbuchwerken am häufigsten vorkommenden Darstellungsformen der
Multiplikation sind das „Mengenmodell" und die „Größenmodelle". Daneben finden
sich das „Operatormodell" und das „Modell des Kreuzproduktes".
Darstellung durch Mengen
Die Darstellung durch Mengen wird in der Literatur häufig als Mengenmodell
bezeichnet. Beim Mengenmodell wird die Multiplikation über die Vereinigung
paarweise elementfremder, gleichmächtiger, endlicher Mengen eingeführt. Im
Produkt a • b gibt also der Multiplikand b die Kardinalzahl der einzelnen gleichmächtigen
Mengen an, der Multiplikator a die Anzahl dieser Mengen. Das Ergebnis
der Multiplikation liefert die Anzahlbestimmung der Vereinigungsmenge durch
wiederholte Addition gleicher Summanden.
Vielfältige Bezüge zur Umwelt werden durch Sachsituationen erreicht, in denen die
Multiplikationen durch räumlich-simultane Anordnungen (vgl. E4, 1.1.D, 2.
Beispiel) dargestellt werden. Diese Darstellungsform ist statisch.
Die beiden folgenden Aufgaben sind dem Lehrwerk Nußknacker für das 2.
Schuljahr entnommen und zeigen Darstellungen in analogischer, schematischer und
symbolischer Form. Nachdem die Sachsituation sprachlich und mit Hilfe der Addition
beschrieben worden ist, wird die Malschreibweise eingeführt.

6. Multiplikation und Division 109
Abb. 64 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.51
Zur Schematisierung und Systematisierung können die Malaufgaben durch gelegte
Steckwürfeltürme und anschließend durch gezeichnete Karotürme und Punktefelder
dargestellt werden.
Abb. 65
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.53
Die Darstellung der Multiplikation durch die Mengenvereinigung kann auch
dynamisch als Abfolge von Handlungen, also in einem zeitlich-sukzessiven Vorgang,
verstanden werden. Die Gesamtmenge entsteht dann schrittweise durch mehrmalige
Wiederholung des gleichen Vorgangs (vgl. E4, 1.1.D, 1. Beispiel). Bei der
Bestimmung der Elementzahl der Vereinigungsmenge wird auch hier die Multiplikation
als wiederholte Addition gleicher Summanden gedeutet.

6. Multiplikation und Division 110
Das folgende Beispiel stammt aus dem Unterrichtswerk Mathebaum 2 /Mathematik
für Grundschulen (Schroedel 1994) und zeigt jeweils den zeitlich-sukzessiven Aufbau
einer räumlich-simultanen Anordnung.
Abb. 66 aus Mathebaum 2 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.50
Darstellung durch Größen
Beide Grundvorstellungen räumlich-simultan und zeitlich-sukzessiv finden auch in
den Größenmodellen der Multiplikation ihre Anwendung. Neben der Verwendung
von Stückgrößen in Form konkreter Dinge (z. B. Schritte, Flaschen, Punkte) werden
im Unterricht vor allem die Größen Länge und Geldwert sowie der Zahlenstrahl zur
Darstellung der Multiplikation verwendet. Die folgenden Abbildungen zeigen hierzu
Beispiele aus verschiedenen Schulbüchern.
Vervielfachen von Längen:
Abb. 67
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.55

6. Multiplikation und Division 111
Eine weitere Möglichkeit zur Veranschaulichung der Multiplikation ergibt sich bei
den Cuisinaire-Stäbchen (Längenmodell) durch die Verwendung des Malkreuzes.
Zahlenstrahl:
Abb. 68 nach Mathematik Buch 2, Baden-Württemberg, Bayerischer Schulbuchverlag 1984,
111. v. Roland Jenne
Abb. 69
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.56
Die Arbeit am Zahlenstrahl festigt die Auffassung der Multiplikation als fortgesetzte
Addition. Dabei ist mit besonderer didaktischer Sorgfalt (z. B. bezüglich des Starts
bei Null) und mit Materialeinsatz (Nachlegen der Sprungweiten mit Längenmaterial)
vorzugehen.

6. Multiplikation und Division 112
Vervielfachen von Geldbeträgen:
Abb. 70
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.54
Teil l der Abbildung stellt den zeitlich-sukzessiven Aspekt heraus, der untere Teil 2
den räumlich-simultanen.
Darstellung durch Operatoren
Die Vervielfachung bei Größen erfährt durch das Operatormodell eine neue Deutung.
Sie stellt eine Verallgemeinerung der Vorgänge des Verdoppelns und Halbierens dar
und kann in der Ebene und im Raum als zentrische Streckung gedeutet werden. Bei
der Vervielfachung 3 • 5 m wird eine Strecke von 5 m auf das 3fache vergrößert und
geht in eine Strecke der Länge J5 m über. Während vorher das Vervielfachen durch
wiederholtes Addieren einer Länge oder einer anderen Größe veranschaulicht wurde,
wird nun das Vervielfachen in einem einzigen Schritt erreicht. Im Unterricht kann
dieser Vorgang durch Gummibänder verschiedener Längen veranschaulicht werden.
5m ⎯⎯→
⋅3
⎯⎯→
⋅3
Im 5. und 6. Schuljahr werden in Aufgaben des Typs 3 • 5 m unter Umständen beide
Faktoren als Operatoren gedeutet.
1m
⎯⎯→
⋅5 5m ⎯⎯→
⋅3
15m
⋅ 15
3 • 5 m sagt dann aus, dass die Strecke von l m Länge zunächst auf das 5fache und
anschließend diese Strecke auf das 3fache vergrößert wird. Die beiden Vorgänge
können durch einen einzigen Mal-Operator ersetzt werden, der die Vergrößerung
der Im-Strecke auf 15 m bewirkt, nämlich den Mal-15-Operator.

6. Multiplikation und Division 113
Die spielerische Verwendung von Multiplikationsmaschinen bereitet wie bei der
Addition und Subtraktion auf die Operatorschreibweise vor, mit der auch eine
Verbindung zur Division erreicht wird. Gleichzeitig kann hier der Übergang zum
reinen Zahlenrechnen vorgenommen werden.
Abb. 71
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.100
Darstellung durch das Kreuzprodukt
Als dritte wichtige Grundvorstellung der Multiplikation kommt der kombinatorische
Aspekt im Kreuzprodukt-Modell zum Ausdruck (vgl. E4, 3.D). Für das Produkt 3 • 5
hat das Baumdiagramm folgende Form (vgl. E4, 3.3.F):
Abb. 72

6. Multiplikation und Division 114
Unter den visuellen Darstellungsformen ist allerdings die Tafeldarstellung (vgl. E4,
3.3.F und 3.1.D, Abb. 29) vorzuziehen, weil damit der Zusammenhang mit der im
Mengenmodell enthaltenen Grundvorstellung zur Multiplikation über die Vereinigung
gleichmächtiger Mengen sehr deutlich hergestellt wird. Das Kreuzprodukt-
Modell sollte als eine weitere Grundvorstellung der Multiplikation benutzt werden.
Doch ist es als einführendes Modell nicht geeignet (vgl. E4, 3.3.D).
Während im Zuge der Reformbewegungen zur Neuen Mathematik sich viele Schulbuchwerke
mit diesem Modell auseinandersetzten und einige die Multiplikation
sogar damit einführten (vgl. z. B. Neunzig-Sorger Bd.2 1968), wurde in der Studieneinheit
E4 eine gemäßigte Linie vertreten, die sich in der Rückschau als realistischer
und bis heute noch als gültig erwiesen hat.
Multiplikation als wiederholte Addition
Ein völlig anderer Ansatz ergibt sich, wenn die Multiplikation formal als eine
Kurzschreibweise für eine Folge spezieller Additionen definiert und dargestellt
wird, z. B.:
3 • 5 = 5 + 5 + 5.
Wie in E4, 1.3.D ausgeführt, bewegt sich ein derartiger Zugang auf der rein
abstrakten Ebene der Zahl Verknüpfungen ohne Verwendung eines anschaulichen
Bildes, die Multiplikation wird hierbei nicht aus konkreten Sachverhalten entnommen.
Diese Form der Darstellung sollte deshalb erst nach der Einführung der
Multiplikation über die Darstellung gleichmächtiger Mengen eingeführt werden
und dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition an
Sachaufgaben herauszustellen.
6.2 Grundvorstellungen und Darstellungsformen
der Division
Die Grundvorstellungen zur Division beruhen auf den Handlungen des Verteilens
und Aufteilens (vgl. E4, 4.1.D, 4.2.D).
Beim Verteilen wird eine Menge in eine vorgeschriebene Anzahl gleichmächtiger
Teilmengen zerlegt.
Aufgabe: 14 Perlen sollen gerecht an 3 Mädchen verteilt werden. Wie viele Perlen
erhält jedes Mädchen Wie viele Perlen bleiben übrig

6. Multiplikation und Division 115
Abb. 73
Beim Aufteilen wird eine Menge in gleichmächtige Teilmengen vorgeschriebener
Größe zerlegt.
Aufgabe: 14 Perlen sollen zu je 3 Stück in Beutel verpackt werden. Wie viele Beutel
werden benötigt Wie viele Perlen bleiben übrig
Abb. 74
Zur Einführung und Darstellung der Division benützt die Grundschule das Mengenmodell
und auch das Größenmodell. Hierbei wird auf die oben beschriebenen Grundvorstellungen
eingegangen, wie folgende Beispiele aus Schulbüchern zeigen.

6. Multiplikation und Division 116
Darstellung durch Mengen
Verteilen:
Abb. 75 aus Denken und Rechnen 2, Baden-Württemberg, Westermann 1994, S.58
Da das Kind in der Regel noch nicht auf das kleine Einmaleins zugreifen kann, löst es
die Aufgabe zeichnerisch. Das sukzessive Abstreichen der Elemente der zu verteilenden
Menge entspricht auf der Handlungsebene der Vorgehensweise beim Kartenausteilen.
Aufteilen:
Abb. 76
aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu,
Baden-Württemberg, Klett 1994, S.58
Auch das Aufteilen wird zunächst zeichnerisch gelöst. Es entspricht dem Bündeln.

6. Multiplikation und Division 117
Darstellung durch Größen (hier: Längen)
Verteilen:
Ein Streifen Papier wird in eine vorgeschriebene Anzahl gleichlanger
Streifen geschnitten. Wie lang sind diese Streifen
8 cm
Durch Falten in der Mitte erhält man:
4cm
4cm
8cm ÷ 2 = 4cm
Nochmaliges Falten ergibt:
2cm 2cm 2cm 2cm
8cm ÷ 4 = 2cm
Aufteilen:
Abmessen und fortgesetztes Abschneiden von gleichlangen Streifen
vorgeschriebener Länge führen auf die Division durch Aufteilen.
8 cm
Das Abmessen und Abschneiden von Streifen jeweils der Länge 2cm ergibt:
2cm 2cm 2cm 2cm
8cm ÷ 2cm = 4
Schneidet man jeweils 3 cm ab, so erhält man 2 Streifen dieser Länge und einen
Reststreifen der Länge 2cm.
3cm 3cm 2cm

6. Multiplikation und Division 118
Darstellung am Zahlenstrahl
Am Zahlenstrahl wird die Division als wiederholte Subtraktion des Divisors verstanden
und kann durch die Handlungen des wiederholten Rückwärtsspringens bzw.
Rückwärtszählens dargestellt werden.
Darstellung durch Operatoren
Die Handlungen und Vorstellungen des Verteilens und Aufteilens sind grundlegend für
das Verständnis der Division und sind deshalb unverzichtbar bei ihrer Einführung.
Zusätzliche Vertiefung der Fähigkeiten zur Division erwartet man vom Operatormodell.
Seine Veranschaulichung findet es in Divisionsmaschinen (vgl. E4, 4.1.D).
Diese können allerdings nur solche Zahlen verarbeiten, bei denen die Division
aufgeht. Deshalb ist es sinnvoll, nur Elemente entsprechender Vielfachenmengen einzugeben
(vgl. Abb. 71).
Durch Operatoren kann der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division
besonders deutlich gemacht werden.
Operatorkette:
3 ⎯⎯→
⋅5 15 ⎯ ⎯ ÷5 → 5
Operator und Umkehroperator:
⋅ 5
3 15
Division als wiederholte Subtraktion
÷ 5
In Analogie zur wiederholten Addition des zweiten Faktors bei der Multiplikation kann
die Division formal durch die wiederholte Subtraktion des Divisors dargestellt werden:
15:5 = 3 wegen 15-5-5-5 = 0
Während bei der Multiplikation das wiederholte Addieren für das „Ausrechnen"
tatsächlich eine Rolle spielt, wird das „Ausrechnen" bei der Division in der Regel
durch Zuhilfenahme der entsprechenden Multiplikationsaufgabe bewerkstelligt:
15 : 5 = 3 wegen 3 • 5 = 15.
Bei den Operationen der Multiplikation und Division ist es wichtig, dass die Schülerinnen
und Schüler vielerlei Handlungserfahrungen in Sachzusammenhängen erhalten. Insbesondere
sollte keine Einengung der Multiplikation auf wiederholte Addition bzw. der
Division auf wiederholte Subtraktion erfolgen.

6. Multiplikation und Division 119
6.3 Erarbeitung des Zahlenraumes durch
Multiplikation und Division
Die Rechenoperationen Multiplikation und Division geben den Schülerinnen und
Schülern noch wirkungsvollere Instrumente zum flexiblen und effektiven Operieren
im Zahlenraum in die Hand, als dies für die Addition und Subtraktion der Fall war.
Neben der Kenntnis des Stellenwerts und des Überschlagsrechnens stellt die
Beherrschung des Einmaleins die Voraussetzung für die Erarbeitung größerer Zahlenräume
dar. Hierzu gehören auch Rechenstrategien und die schriftlichen Rechenverfahren.
Wir gehen näher auf das kleine Einmaleins, auf Rechenstrategien sowie
speziell auf die Division mit Rest ein.
6.3.1 Rechenstrategien beim Multiplizieren und Dividieren
Die Rechengesetze der Multiplikation und Division lernen die Grundschülerinnen
und -schüler im allgemeinen in Form von besonders bezeichneten Aufgaben, wie
Tausch- und Nachbaraufgabe, oder auch als Rechenvorteile kennen. Wie bei der
Addition und Subtraktion können die Rechengesetze und -vorteile als heuristische
Rechenstrategien dienen, um neue Aufgaben auf bekannte zurückzuführen.
Tauschaufgaben:
Die Tauschaufgaben beruhen auf dem Kommutativgesetz und gestatten es, unbekannte
Aufgaben auf bekannte zurückzuführen.
Aufgabe: 3 ⋅ 15 =
Mögliche Vorgehensweise: 3 ⋅ 15 = 15 ⋅ 3 = 45
Begründung: 3 ⋅ 15 = 15 ⋅ 3 und 15 ⋅ 3 = 45
Zerlegen einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben:
a) unter Anwendung des Distributivgesetzes:
Aufgabe: 15 ⋅ 3 =
Mögliche Vorgehensweise: 10 ⋅ 3 = 30, 5 ⋅ 3 = 15, 30 + 15 = 45
Begründung: 15 = 10 + 5 und 15 ⋅ 3 = 10 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3
Aufgabe: 36 : 3 =
Mögliche Vorgehensweise: 30 : 3 = 10, 6 : 3 = 2, 10 + 2=12
Begründung: 36 = 30 + 6 und 36 : 3 = 30 : 3 + 6 : 3
b) unter Anwendung des Assoziativgesetzes:
Aufgabe: 24 ⋅ 5 =
Mögliche Vorgehen s weise: 24 = 4 ⋅ 6, 6 ⋅ 5 = 30 und 4 ⋅ 30 = 120
Begründung: 24 ⋅ 5=4⋅ 6 ⋅ 5=4⋅ 30

6. Multiplikation und Division 120
Zwei Spezialfälle dieses Gesetzes werden auch bei der Erarbeitung des kleinen
Einmaleins verwendet: Verdoppelt bzw. halbiert man in einem Produkt einen
Faktor, so ist das Ergebnis doppelt bzw. halb so groß (vgl. 6.3.2).
Nachbaraufgaben:
Hier wird die Zerlegung einer Aufgabe in eine leichtere benachbarte Aufgabe der
betreffenden Einmaleins-Reihe mit Hilfe des Distributivgesetzes durchgeführt.
Aufgabe: 9 • 8 =
Mögliche Vorgehensweise: 10 • 8 = 80, 80 - 8 = 72
Begründung: 9 = 10 - 1, 9 • 8 = 10 • 8 - 1 • 8
Dezimale Analogieaufgaben:
Die Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation auf volle Zehner- oder
Hunderterzahlen erlaubt es in vielen Fällen, den ersten Teilschritt der Rechnung
ohne die Nullen auszuführen.
Umkehraufgaben:
Aufgabe: 8 • 70 =
Mögliche Vorgehensweise: 8 • 7 = 56, 56 • 10 = 560
Begründung: 70 = 7 • 10, 8 • 70 = 56 • 10
Aufgabe: 80 : 4 =
Mögliche Vorgehensweise: 8 : 4 = 2, 2 • 10 = 20
Begründung: 80 = 8 • 10, 80 : 4 = 2 • 10
Aufgabe: 36: 4 =
Mögliche Vorgehensweise: 9 • 4 = 36, also 36 : 4 = 9
Begründung: 9 • 4 = 36
Konstanz des Produkts:
Ein Produkt bleibt konstant, wenn ein Faktor halbiert und gleichzeitig ein anderer
verdoppelt wird:
16 • 5 = 8 • 10 = 4 • 20 = 2 • 40 = l • 80 = 80
Konstanz des Quotienten:
Ein Quotient bleibt konstant, wenn sowohl Dividend als auch Divisor mit demselben
Faktor multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert, also z. B. gleichzeitig halbiert
oder verdoppelt werden:
32:8 = 16:4 = 8 : 2 = 4 : 1 = 4

6. Multiplikation und Division 121
6.3.2 Erarbeitung des kleinen Einmaleins und Aufgabennetze
Die Grundaufgaben der Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20 finden bei
der Multiplikation und Division ihre Entsprechung in den multiplikativen Grundaufgaben
im Zahlenraum bis 100, dem sogenannten kleinen Einmaleins, und ihrer
Umkehrung. Die Erarbeitung des kleinen Einmaleins stützt sich einerseits auf einige
leichte Kernaufgaben, im Unterricht häufig auch als Königsaufgaben bezeichnet, die
der Schüler und die Schülerin auswendig gelernt hat, und zum ändern auf Rechenstrategien,
mit denen die schwierigeren Aufgaben auf leichtere zurückgeführt
werden. Langfristiges Lernziel ist es, dass am Ende des 3. Schuljahres alle Aufgaben
des kleinen Einmaleins bei jedem Schüler und jeder Schülerin rasch verfügbar und
jederzeit abrufbar sind.
Am Beispiel des Einmaleins der Sieben soll ein mögliches Vorgehen gezeigt werden.
Es ist sinnvoll, die Aufgaben 1•7, 2•7, 10•7 sowie 5•7 als Kernaufgaben zu deklarieren.
Die anderen Aufgaben derselben Einmaleins-Reihe können dann allein von
den Kernaufgaben ausgehend unter ausschließlicher Zuhilfenahme der beiden
Strategien Verdoppeln bzw. Halbieren des ersten Faktors sowie Zerlegen unter
Verwendung der Nachbar auf gäbe erarbeitet werden.
Verdoppeln des ersten Faktors des Produkts:
Aufgabe: 4 • 7 =
bekannt: 2 • 7 = 14
Rechnung: 4 • 7 = 2 • 14 = 28
Zerlegen unter Verwendung der Nachbaraufgabe:
Aufgabe: 3 • 7 =
bekannt: 2 • 7 = 14
Rechnung: 3 • 7 = 2•7+1•7 = 14 + 7 = 21
Innerhalb der Einmaleins-Reihe bietet sich mit diesen Strategien ein schrittweises Erarbeiten
an, z. B.:
(1) 2 ⋅ 7 = 14 → 4 ⋅ 7 = 28 → 8 ⋅ 7 = 56
(2) 2 ⋅ 7 = 14 → 3 ⋅ 7 = 21
(3) 5 ⋅ 7 = 35 → 6 ⋅ 7 = 42 oder 3 ⋅ 7 = 21 → 6 ⋅ 7 = 42
(4) 10 ⋅ 7 = 70 → 9 ⋅ 7 = 63
(5) 6 ⋅ 7 = 42 → 7 ⋅ 7 = 49 oder 8 ⋅ 7 = 56 → 7 ⋅ 7 = 49
Etwas anspruchsvoller ist es, auch folgende Denkschritte anzuwenden:
(6) 7 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7
(7) 8 ⋅ 7 = 10 ⋅ 7 - 2 ⋅ 7

6. Multiplikation und Division 122
Die Erarbeitung der Einmaleins-Reihen kann in vielfältiger Weise und mit unterschiedlichen
Rechen Strategien durchgeführt werden, wobei sich viele Schülerinnen
und Schüler beim Entdecken von Strategien als sehr kreativ erweisen können.
Wichtig ist die Verwendung des Kommutativgesetzes in Form von
Tauschaufgaben, um die Anzahl der auswendig zu lernenden Aufgaben zu
reduzieren:
3 ⋅ 7 = 7⋅ 3 oder 7 ⋅ 8 = 8⋅ 7
Der Satz der Kernaufgaben sollte noch um alle Aufgaben mit Quadratzahlen wie
7 ⋅7 erweitert werden, was vor allem das Rechnen bei den höheren Reihen erleichtert.
6.3.3 Division mit Rest
Divisionsaufgaben, bei denen die Ergebnisse nicht ganzzahlig sind, sondern von
null verschiedene Divisionsreste aufweisen, werden je nach Bundesland und verwendetem
Schulbuchwerk in drei verschiedenen Dar Stellung s formen geschrieben.
Sie werden am Beispiel 14:3 vorgestellt.
Restschreibweise:
Zerlegungsschreibweise:
Divisionsschreibweise:
14 : 3 = 4 Rest 2
14 = 3 ⋅ 4 + 2
14: 3=4 +2:3
Während bis Anfang der siebziger Jahre die Restschreibweise in der Grundschule
üblich war, rückte man im Zuge der fachwissenschaftlichen Reformbemühungen
von dieser Darstellungsform ab und gab statt dessen der Zerlegungsschreibweise
den Vorzug. Ausschlaggebend war hierzu vor allem der Gesichtspunkt, dass bei der
Restschreibweise das Gleichheitszeichen nicht korrekt im mathematischen Sinne
verwendet wird.
In der Folgezeit wiesen verschiedene Untersuchungen daraufhin, dass von allen drei
Schreibweisen für die Grundschülerinnen und -schüler die Restschreibweise am
verständlichsten ist. Schwierigkeiten treten bei der Zerlegungsschreibweise
dadurch auf, dass die Divisionsaufgabe von der Schreibweise her nicht mehr
erkennbar ist. Zudem geben ein erhöhter Schreibaufwand und der Umstand, dass das
Ergebnis mitten in der Aufgabe steht, Anlass zu einer Reihe typischer Fehler. Bei
der Divisionsschreibweise wirken sich die beiden Divisionszeichen und die neu
entstandene und unlösbare zweite Divisionsaufgabe als gravierende Nachteile aus.
Außerdem muss hier die Punkt-vor-Strich-Regel angewandt werden. Die
Restschreibweise kann im Gegensatz zur Zerlegungsschreibweise auch in der
Sekundarstufe fortgesetzt werden, indem der Divisionsrest durch eine Bruchzahl
ausgedrückt wird, womit der Übergang zur Divisionsschreibweise vollzogen
wird. Ein Abwägen dieser Vor- und Nachteile hat dazu geführt, dass heutzutage
die Restschreibweise bevorzugt verwendet wird.

6. Multiplikation und Division 123
6.4 Weitere Themen zur Multiplikation und Division
6.4.1 Rechnen im Hunderter- und Tausenderraum
Die Behandlung der Multiplikation und Division größerer Zahlen in mündlicher
und halbschriftlicher Form lässt sich auf der Grundlage des kleinen Einmaleins und
mit Hilfe der in 6.3.2 besprochenen Rechen Strategien durchführen. Die Aufgaben
des großen Einmaleins werden bis auf einfache Fälle (z. B. 11, 12, 15 und 25 in
Klasse 5) nicht gesondert gelernt, sondern durch Anwendung des Distributivgesetzes
auf Aufgaben des kleinen Einmaleins zurückgeführt.
Die in 5.2.4 für die Addition und Subtraktion gemachten Ausführungen können
direkt auf die Multiplikation und Division übertragen werden. Für die Erarbeitung
der Gesetzmäßigkeiten stehen auch hier verschiedene Darstellungsmittel zur Verfügung:
Hundertertafel, Mehr-System-Blöcke und Feld-Balken-Punkt-Darstellung,
Zahlenstrahl, Rechengeld und Stellenwerttafel.
Dezimale Analogieaufgaben
Zum Erkennen der Analogiebeziehungen ist der Einsatz von Bündelmaterial unverzichtbar,
damit das Kind nicht mechanisch einfach Nullen anhängt.
Halbschriftliches Rechnen
Bei der halbschriftlichen Multiplikation und Division wird eine Aufgabe in leichtere
Teilaufgaben zerlegt, die dann zwar im Kopf ausgeführt, aber zur Entlastung des
Kurzzeitgedächtnisses schriftlich notiert werden. Zur Erkundung der Vor- und Nachteile
verschiedenartiger Zerlegungen stellt das halbschriftliche Rechnen ein wichtiges
Werkzeug bei der Erarbeitung des Hunderter- und Tausenderraumes dar und sollte
vor Einführung der durch den Lehrplan festgelegten Schreibweise der schriftlichen
Rechenverfahren ausreichend geübt werden.

6. Multiplikation und Division 124
Abb. 77
aus Mathematik 3, 3. Jahrgangsstufe deutsch-griechisch,
Institut für Film und Bild in Wissenschaft und Unterricht 1984
Im folgenden werden für die Aufgaben 7 • 48 und 196 : 4 mit Hilfe des Distributivgesetzes
verschiedene Zerlegungen des zweiten Faktors bzw. des Dividenden durchgeführt.
Bei der Division ist darauf zu achten, dass alle neu auftretenden Quotienten
auch natürliche Zahlen ergeben.
(a) (b) (c)
7 • 48 = 7 • 48 = 7 • 48 =
7 • 40 = 280 7 • 20 = 140 7 • 50 = 350
7 • 8 = 56 7 • 20 = 140 7 • 2 = 14
7 • 48 = 336 7 • 8 = 56 7 • 48 = 336
7 • 48 = 336
(d) (e) (f)
196 ÷ 4 = 196 ÷ 4 = 196 ÷ 4 =
160 ÷ 4 = 40 120 ÷ 4 = 30 200 ÷ 4 = 50
36 ÷ 4 = 9 40 ÷ 4 = 10 4 ÷ 4 = 1
196 ÷ 4 = 49 36 ÷ 4 = 9 196 ÷ 4 = 49
196 ÷ 4 = 49
Auch bei Divisionen, die aufgehen, muss das Kind darauf achten, solche
Zerlegungen zu wählen, bei denen die Teilquotienten natürliche Zahlen sind.
Geeignete Zerlegung
Ungeeignete Zerlegung
196 ÷ 7 = 196 ÷ 7 =
140 ÷ 7 = 20 160 ÷ 7 =
56 ÷ 7 = 8 36 ÷ 7 =
196 ÷ 7 = 28 196 ÷ 7 =

6. Multiplikation und Division 125
Strukturierung der Aufgaben nach dem Schwierigkeitsgrad
Die Aufgaben für die Multiplikation und Division können nach steigendem Schwierigkeitsgrad
in vier Gruppen gegliedert werden. Zur Verdeutlichung der Schwierigkeitsstufen
werden für die Gruppen 2 - 4 die Rechnungen jeweils in halb schriftlicher Form
gegeben.
1. Aufgaben mit vollen Zehnerzahlen:
8 • 30 = 8 • 3 Z = 24 Z = 240
2. Aufgaben mit Zehner-Einer-Zahlen:
8 • 36 =
8 • 30 = 240
8 • 6 = 48
8 • 36 = 288
3. Aufgaben mit Hunderter-Zehner-Zahlen:
4 • 240 =
4 • 200 = 800
4 • 40 = 160
4 • 240 = 960
4. Aufgaben mit Hunderter-Zehner-Einer-Zahlen:
4 • 248 =
4 • 200 = 800
4 • 40 = 160
4 • 8 = 32
4 • 248 = 992
Die halbschriftliche Form der Division kann entsprechend gestuft nach dem
Schwierigkeitsgrad erarbeitet werden.
6.4.2 Multiplikation und Division mit der Null
Multiplizieren und Dividieren mit null kommen als Teilaufgaben in den schriftlichen
Normalformen vor und bereiten erfahrungsgemäß vielen Schülerinnen und Schülern
große Verständnisschwierigkeiten. Zusätzlich zum Aufstellen von Merksätzen wie
„Durch null darf man nicht dividieren!" ist auch hier die Veranschaulichung und
Begründung durch Verwendung geeigneter Darstellungsmodelle notwendig.
Beispielsweise erfolgt eine Visualisierung der Aufgabe 4 • 3 im Längenmodell durch
Hintereinanderlegen von vier Stäben der Länge 3cm oder 3dm oder 3m. Bei der Darstellung
mit dem Zahlenstrahl werden beginnend bei der Null vier Sprünge der Länge 3
in eine Richtung ausgeführt. Frage: Bei welcher Zahl lande ich, wenn ich vom Nullpunkt
des Zahlenstrahls ausgehe und vier Sprünge der Länge 3 ausführe Dementsprechend
kann die Aufgabe 4 • 0 als vier Stäbe oder Sprünge der Länge null interpretiert
werden, die Aufgabe 0 • 4 dagegen als 0 Sprünge der Länge 4.

6. Multiplikation und Division 126
In analoger Weise kann die Division im Zahlenstrahlmodell durch Rückwärtssprünge
am Zahlenstrahl gedeutet werden. Bei der Aufgabe 6 : 2 stellt sich dann die
Frage: Wie viele Sprünge der Länge 2 ergeben sich, um von der Zahl 6 auf dem
Zahlenstrahl zur Null zu gelangen Antwort: 3 Sprünge der Länge 2. Die Division
durch null wird entsprechend interpretiert. Für die Aufgabe 6 : 0 lautet die Frage:
Wie viele Sprünge der Länge 0 ergeben sich, um auf dem Zahlenstrahl von 6 nach 0
zu gelangen Antwort: So viele Sprünge man auch macht, man kommt von der 6
nicht weg. Also hat die Aufgabe keine Lösung. Dass eine Division durch 0 nicht
möglich ist, wird auch einsichtig, wenn man die Division als Umkehroperation der
Multiplikation auffasst:
6 : 2 = ↔ 2 ⋅ = 6, Antwort: 3
6 : 0 = ↔ 0 ⋅ = 6, Antwort: Geht nicht!
6.4.3 Typische Fehler beim kleinen Einmaleins und beim
nichtschriftlichen Multiplizieren und Dividieren
Für die Beherrschung des kleinen Einmaleins sind die erworbene Sicherheit in der
Ausführung der Rechnung und die schnelle Verfügbarkeit des Ergebnisses die
wichtigsten Kriterien. Folgende typische Fehler werden beobachtet:
1. Fehler bei hohen Einmaleins-Kombinationen zwischen 6 • 6 und 9 • 9. Die
höchsten Fehlerhäufigkeiten innerhalb dieser Kombinationen ergeben sich bei
allen Produkten mit 8.
2. Fehler mit den beiden Produkten 8 • 4 und 9 • 4 und ihre Umkehrungen.
3. Nullfehler: Multiplikationsaufgaben mit null, und zwar unabhängig davon, ob die
Null an erster oder zweiter Stelle steht.
Fast die Hälfte aller im 3. und 4. Schuljahr auftretenden Einmaleins-Fehler entfallen
auf die Nullfehler, die sich durch gezielte Übungen innerhalb relativ kurzer Zeit
erheblich reduzieren lassen. Andererseits zeigen Untersuchungen, dass die anderen
Einmaleins-Fehler auch in der Sekundarstufe in ihren Häufigkeiten im wesentlichen
unverändert bleiben.
Die größeren Fehlerhäufigkeiten bei den hohen Einmaleins-Kombinationen, vor
allem bei den Produkten mit 7 und 8, erklären sich dadurch, dass das Ergebnis, falls
es als auswendig gelerntes Wissen nicht zur Verfügung steht, aus den Kernaufgaben
nur in zwei Schritten zu erreichen ist. Hinzu kommt, dass bei den hohen Kombinationen
häufiger Zehnerüberschreitungen auftreten als bei den niedrigeren.

6. Multiplikation und Division 127
Beim nichtschriftlichen Multiplizieren und Dividieren können häufig folgende
Fehlerarten beobachtet werden:
Verzählen bei wiederholter Addition und Subtraktion:
Bei den Multiplikationsaufgaben wird sich beim Vorwärtszählen, bei den Divisionsaufgaben
beim Rückwärtszählen um eine Schrittlänge verzählt:
4 • 4 =12
48 : 8=7
Nullfehler:
0 • 8 = 8
5 • 0 = 8
3 : 0 = 0
Perseverationsfehler, d. h., dominierende Ziffern wirken nach:
3 • 6 = 1 6
9 • 90 = 9 9 0
330 : 3 = 130
Fehlerhafte Anwendung von Rechenstrategien:
9 • 4 = 31 gerechnet: 1 0 •4 - 1•9 = 31
7 • 81 = 63 gerechnet: 7•8 = 56, 7• l = 7, 56 + 7 = 63
155 : 5 = 301 gerechnet: 150:5 = 30, 5 •5 = 1, also 155:5 = 301
96 : 16 = 10 gerechnet: 90:10 = 9, 6 : 6=1, also 96:16 = 10
Fehlerhafte Multiplikation und Division von reinen Zehnerzahlen:
400 • 50 = 200 Schwierigkeiten beim Umgang mit den Endnullen
900 : 30 = 3 Schwierigkeiten beim Umgang mit den Endnullen
7 • 80 = 567 gerechnet: 7•8=56, 7•0 = 7 (Nullfehler!),
also 7 •80 = 567
300 : 60 = 20 gedankliches Vertauschen von Dividend und Divisor
1000 :200 = 500 gerechnet: 10:2 = 5, an das Teilergebnis werden zwei
Nullen „angehängt"

6. Multiplikation und Division 128
6.5 Methodisch-didaktische Anregungen zur
Multiplikation und Division
Im folgenden werden einige Lernspiele, mathematische Rätsel und Problemlöseaufgaben
vorgestellt.
1. Nicht ärgern beim Würfeln (für 2 - 4 Spieler ab 3. Schuljahr)
Dieses Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 9/1985 und 4/1985) entstand in
Anlehnung an das bekannte Spiel „Mensch ärgere Dich nicht!". In dieser Fassung
geht es um das Erkennen von Vielfachen der Zahlen 6, 7, 8 und 9 und damit um ein
Üben der entsprechenden Einmaleins-Reihen. In der vierten Klasse kann es bei der
Vorbereitung auf die schriftliche Division eingesetzt werden. Die Vielfachen von 6,
7, 8 und 9 wurden so über das Spielfeld verteilt, dass die Gewinnchancen für alle
etwa gleich sind. Nach dem Spiel kann man das Entwerfen eigener Spielpläne zu
anderen Einmaleins-Reihen anregen.
Abb. 78
Material: Ein Spielwürfel und für jeden Mitspieler vier Setzer in einer Farbe.
Ziel: Sieger ist, wer zuerst alle seine Setzer in seine Zielfelder gebracht hat.

6. Multiplikation und Division 129
Spielregeln:
1) Die Mitspieler verteilen die Einmaleins-Reihen unter sich und besetzen die
Ausgangsfelder mit ihren vier Setzern.
2) Es wird der Reihe nach gewürfelt und gesetzt.
3) Mit einer gewürfelten „6" kommt man aus dem Ausgangsfeld in das schraffierte
erste Spielfeld. Hierbei hat man drei Versuche.
4) Wenn man beim Würfeln auf eine Zahl aus der eigenen Einmaleins-Reihe kommt,
darf man noch einmal würfeln und setzen. Dabei kann man auch einen seiner
anderen Setzer bewegen.
5) Wer auf ein besetztes Feld kommt, darf den entsprechenden Setzer hinauswerfen.
Dieser Setzer muss zurück in sein Ausgangsfeld.
2. Würfelspiel (für 2 - 4 Spieler ab 3. Schuljahr)
Abb. 79

6. Multiplikation und Division 130
Hierbei handelt es sich um ein Würfelspiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 12/
1985 und 6/1985), bei dem die mündliche Division im Bereich des kleinen
Einmaleins geübt werden soll.
Material: Ein Spielwürfel, ein Kartenspiel mit den Kartenwerten von 2 bis 10 (36
Karten) und für jeden Mitspieler ein Setzer.
Ziel: Als erster das Zielfeld erreichen.
Spielregeln: siehe Abb. 79
Hinweise:
Die Austauschmöglichkeit der Spielkarten vor dem Würfeln bewirkt, dass die Spieler
vorher die Ergebnisse der nächsten Felder ausrechnen, um dann zu entscheiden, ob
sie Karten ablegen wollen oder nicht. Die Mitspieler kontrollieren, ob nochmal
gewürfelt werden darf. Dazu muss die abgelegte Karte offen neben den Kartenstapel
gelegt werden. Ist der verdeckte Kartenstapel abgeräumt, werden die abgelegten
Karten gemischt und verdeckt auf einen Stapel gelegt.
Wenn mehrere Durchgänge gespielt werden, empfiehlt sich die Anlage einer Tabelle
mit den Namen der Mitspieler, in die dann nach jedem Durchgang die Minuspunkte
eingetragen werden. Der jeweilige Sieger bleibt straffrei.
Varianten:
1) Man verabredet als zusätzliche Regel das „Rauswerfen".
2) Statt zwei Karten erhält jeder Spieler drei oder vier Karten.
3) Man darf, wenn man die passenden Karten hat, in einer Runde auch noch ein
drittes Mal würfeln.
4) Die Schüler zeichnen sich einen eigenen Plan mit neuen Aufgabenverteilungen
und spielen darauf.
3. Schlangen und Leitern (für 2 - 4 Spieler ab 2. Schuljahr)
In diesem Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 12/1986 und 6/1986) werden
Kopfrechenübungen zur Division mit Rest mit dem Spaß und der Spannung des
Spiels „snakes and ladders" verbunden, das im englischen Sprachraum gern zur
Unterhaltung bei Kinderparties gespielt wird. Die vorliegende Konzeption ist ab dem
2. Schuljahr einsetzbar, nachdem die Einmaleins-Reihen 2, 3 und 4 sowie die
Division mit Rest eingeführt wurden.
Ziel: Ziel des Spiels ist es, möglichst rasch das Zielfeld 64 zu erreichen. Einen
Vorteil erhält hierbei ein Spieler, wenn er auf einem Feld mit unterem Leiterende
landet. Bei Division der Feldnummer durch die gewürfelte Augenzahl wird der Rest
bestimmt, dessen Größe die Anzahl der Felder angibt, die der Spieler die Leiter
entlang vorrücken kann.
Material: Ein Spielplan, ein Spielwürfel mit den Augenzahlen 2, 3, 4 sowie ein
Setzer für jeden Mitspieler. Der Würfel kann aus einem normalen Spielwürfel oder
auch Rohwürfel hergestellt werden, indem man die gegenüberliegenden Flächen
jeweils mit den Augenzahlen 2, 3 und 4 beklebt.

6. Multiplikation und Division 131
Regeln:
Abb. 80
1) Es wird reihum gewürfelt. Jeder Spieler rückt seinen Setzer um die gewürfelte
Augenzahl in Reihenfolge der nummerierten Felder vor.
2) Landet ein Spieler auf einem Feld mit Leiteranfang, so darf er nochmals würfeln. Die
Feldnummer wird durch die jetzt gewürfelte Augenzahl geteilt und der Rest ermittelt.
Der Wert des Restes gibt an, um wie viele Felder der Spieler mit seinem Setzer die
Leiter hochklettern darf.
Beispiel: Feld mit Nummer 11. Division durch die gewürfelte Augenzahl 2, 3, 4
ergibt als Rest die Werte l, 2 und 3. Das bedeutet, dass der Spieler bei der

6. Multiplikation und Division 132
gewürfelten Augenzahl 2 auf Feld 22, bei 3 auf Feld 27 und bei 4 auf Feld 28
vorrücken darf.
Abb. 8l
3) Landet ein Spieler auf einem Feld mit Schlangenkopf, so muss er zurück zum
Ende der Schlange.
4) Sieger ist, wer als erster durch das Ziel bei 64 geht.
4. Orangen, Orangen (ab 3. Schuljahr)
Ein großer Behälter wird von einer Maschine mit Orangen beladen.
In der ersten Minute ist eine Orange im Behälter.
In der zweiten Minute sind zwei Orangen im Behälter.
In der dritten Minute sind vier Orangen im Behälter.
In der vierten Minute sind acht Orangen im Behälter.
Nach zehn Minuten ist der Behälter ganz gefüllt.
Nach wie vielen Minuten war er halb voll
(Antwort: In jeder Minute verdoppelt sich der Inhalt des Behälters. Da er nach 10
Minuten ganz gefüllt ist, ist er nach 9 Minuten halb voll.) .
5. Die Schnecke im Brunnen (ab 3. Schuljahr)
Eine Schnecke sitzt im Brunnen und möchte heraus. Der Brunnen ist 16 m tief.
Jeden Tag kriecht sie vier Meter hoch, rutscht aber nachts wieder einen Meter
zurück. Am wievielten Tag hat sie den Rand erreicht
(Antwort: In den ersten vier Tagen kriecht die Schnecke an jedem Tag 4 m hoch und
rutscht in jeder Nacht l m zurück, also 4 • 4m - 4 • lm = 4 • 3 m = 12m . Am Ende des
5. Tages erreicht die Schnecke den Brunnenrand, somit 12m + 4m=16m oder
5• 4m -4m=16m.)

6. Multiplikation und Division 133
6. Ein Münzentrick (ab 3. Schuljahr)
Der Zauberer bittet sein Publikum um eine 2-Pfennig- und eine 5-Pfennig-Münze.
Die beiden Münzen werden nun an zwei der Zuschauer so ausgegeben, dass der
Zauberer nicht weiß, welche Pfennig-Münze wer bekommt. Der Zauberer gibt nun
jedem der beiden Personen je eine Liste mit zehn (oder auch mehr) verschiedenen
Zahlen. Jede Person wählt eine der Zahlen auf seiner Liste aus und multipliziert sie
mit dem Wert der Münze. Danach werden die beiden Ergebnisse addiert und die
Summe dem Zauberer mitgeteilt. Der Zauberer kann nun sofort sagen, wer welche
Münze bekommen hat.
Erklärung:
Einer der beiden Zuschauer erhält eine Liste mit nur ungeraden, der andere mit nur
geraden Zahlen. Der Zuschauer mit den geraden Zahlen wird bei seiner Rechnung
stets ein geradzahliges Ergebnis erhalten. Der Zuschauer mit den ungeraden Zahlen
wird bei seiner Rechnung dagegen entweder ein ungeradzahliges oder ein
geradzahliges Ergebnis erhalten, je nachdem er die 5-Pfennig- oder 2-Pfennig-
Münze auswählt. Aus diesem Umstand kann der Zauberer auf folgendes schließen:
Wenn die Endsumme eine ungerade Zahl ist, so besitzt der Zuschauer mit der Liste
der ungeraden Zahlen die 5-Pfennig-Münze; wenn die Endsumme dagegen gerade
ist, so wird dieser Zuschauer die 2-Pfennig-Münze haben.